Download - BAB 2. RELASI - ilhamsaifudin12.files.wordpress.com · Sifat-sifat Relasi Biner Operasi Relasi Binary Relasi n-ary Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT ... himpunan adalah dengan himpunan

Outline

BAB 2. RELASI

Jurusan Teknik Informatika

Fakultas TeknikUniversitas Muhammadiyah Jember

18th October 2016

Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT

Page 2: BAB 2. RELASI - ilhamsaifudin12.files.wordpress.com · Sifat-sifat Relasi Biner Operasi Relasi Binary Relasi n-ary Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT ... himpunan adalah dengan himpunan

Outline

1 Relasi

Definisi Relasi

Representasi Relasi

Sifat-sifat Relasi Biner

Operasi Relasi Binary

Relasi n-ary

Relasi

Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary

MATEMATIKA DISKRIT

1 Relasi

Definisi Relasi

Representasi Relasi

Relasi n-ary

Relasi

Definisi

Adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang

lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2

himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan

terurut diperoleh dari perkalian kartesian.

Relasi

Definisi

1 Relasi biner R antara himpunan X dan Y adalah himpunan bagian dariX × Y .

2 Notasi:R ⊆ (X × Y ).

3 x R y adalah notasi untuk (x , y) ∈ R yang artinya x dihubungkandengan y oleh R.

4 x 6 R y adalah notasi untuk (x , y) 6∈ R yang artinya x tidak dihubungkandengan y oleh R.

5 Himpunan X disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan Ydisebut daerah hasil (range) dari R.

Relasi

Definisi

Relasi

Definisi

Relasi

Definisi

Relasi

Definisi

Relasi

Definisi

Relasi

Contoh

Misalnya variabel x dan y adalah bilangan real dalam interval tertutup [x1, x2]

dan [y1, y2], sehingga : X = [x1, x2] dan Y = [y1, y2]

maka:X × Y = {(x1, y1), (x1, y2), (x2, y1), (x2, y2)}Y × X = {(y1, x1), (y1, x2), (y2, x1), (y2, x2)}X × X = {(x1, x1), (x1, x2), (x2, x1), (x2, x2)}Y × Y = {(y1, y1), (y1, y2), (y2, y1), (y2, y2)}maka relasi R antara elemen-elemen dalam himpunan X danY adalah R ⊆ X × Y . Pasangan - pasanan elemen dalam Rmenggambarkan relasi, karena ada 2 himpunan yang terlibatdalam relasi, maka relasi demikian disebut relasi binary.

Relasi

MATEMATIKA DISKRIT

1 Relasi

Definisi Relasi

Representasi Relasi

Relasi n-ary

Relasi

1. Pemetaan

Pemetaan adalah paparan visual relasi dengan menghubungkan anggotas

suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lain, sebagai contoh :

Relasi

2. Koordinat

Relasi dapat dipaparkan menggunakan koordinat sebagai contoh :

R = {(Microsoft , Windows), (IBM, Os/2), (Macintosh, MacOS)}

Relasi

3. Matriks

Relasi dapat dipaparkan melalui sebuah matriks yaitu dengan nilai 1 apabila

ada relasi antara 2 elemen pasangan terurut, atau 0 apabila tidak ada relasi

antara 2 elemen pasangan terurut, sebagai contoh :

Relasi

4. Graf berarah

1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafisdengan graf berarah (directed graph atau digraph)

2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi darisuatu himpunan ke himpunan lain

3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut jugasimpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan denganbusur (arc)

4 Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b.Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul bdisebut simpultujuan (terminal vertex)

5 Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul akesimpul asendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop)

Relasi

4. Graf berarah

Relasi

4. Graf berarah

Relasi

4. Graf berarah

Relasi

4. Graf berarah

Relasi

4. Graf berarah

Relasi

4. Graf berarah

Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d , b)} adalah

relasi pada himpunan {a, b, c, d}. R direpresentasikan dengan graf berarah

sbb:

Relasi

MATEMATIKA DISKRIT

1 Relasi

Definisi Relasi

Representasi Relasi

Relasi n-ary

Relasi

1. Refleksif reflexive

a Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiapa ∈ A

b Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikiansehingga (a, a) 6∈ R.

contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah inididefinisikan pada himpunan A, maka:X RelasiR = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk(a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan(4, 4)X Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} tidakbersifat refleksif karena (3, 3) 6∈ R.

Relasi

2. Menghantar Transitive

Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan(b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus padamatriks representasinya

b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busurdari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c

contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah inididefinisikan pada himpunan A, maka:

Relasi

2. Menghantar Transitivecontoh 1 :

X R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} bersifatmenghantar. Lihat tabel berikut:

Relasi

contoh 1 :

X R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2)} tidak manghantar karena(2, 4) dan (4, 2) ∈ R, tetapi (2, 2) 6∈ R, begitu juga (4, 2) dan(2, 3) ∈ R, tetapi (4, 3) 6∈ R.X Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} jelas menghantar.X Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada(a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R sedemikian sehingga (a, c) ∈ R

Relasi

3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric

1 Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) ∈ R, maka(b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A.

2 Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikiansehingga (b, a) 6∈ R

3 Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan(b, a) ∈ R hanya jika a = b untuk a, b ∈ A disebut tolaksetangkup

4 Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemenberbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R

Relasi

ContohMisalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan padahimpunan A, maka

1 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} bersifatsetangkup karena jika (a, b) ∈ R maka (b, a) juga ∈ R. Di sini (1, 2)dan (2, 1) ∈ R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ∈ R.

2 Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2)} tidak setangkup karena(2, 3) ∈ R, tetapi (3, 2) 6∈ R.

3 Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} tolak-setangkup karena 1 = 1 dan(1, 1) ∈ R, 2 = 2 dan (2, 2) ∈ R, dan 3 = 3 dan (3, 3) ∈ R. Perhatikanbahwa R juga setangkup

4 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} tolak-setangkup karena(1, 1) ∈ R dan 1 = 1 dan, (2, 2) ∈ R dan 2 = 2.

Relasi

Sifat

1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yangelemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan darielemen-elemen di atas diagonal utama.

2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikanoleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jika mij = 1dengan i 6= j , maka mji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasitolak-setangkup adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bilai 6= j

4 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak setangkupdicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalamarah berlawanan antara dua simpul berbeda.

Relasi

Sifat

Relasi

Sifat

Relasi

Sifat

Relasi

Sifat

Relasi

MATEMATIKA DISKRIT

1 Relasi

Definisi Relasi

Representasi Relasi

Relasi n-ary

Relasi

1. Relasi Inversi

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi

R, dilambangkan dengan R−1 , adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan

oleh

R−1 = {(a, b)|(a, b) ∈ R}Contoh: Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jikakita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) ∈ R jika phabis membagi q maka kita perolehR = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)}R−1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan(q, p) ∈ R−1 jika q adalah kelipatan dari p, maka diperoleh:

Relasi

1. Relasi InversiJika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R

M =

1 1 1 0 00 0 0 1 11 1 1 0 0

maka matriks yang merepresentasikan relasi R−1, misalkan N,diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M

M =

1 0 11 0 11 0 10 1 00 1 0

Relasi

2. Mengkombinasikan Relasi

Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi

himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua

relasi atau lebih juga berlaku.

Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B,

maka R1 ∩R2, R1 ∪R2, R1 −R2 , dan R1 ⊕R2 juga adalah relasi dari A ke B.

Relasi

Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi

himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua

relasi atau lebih juga berlaku.

Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B,

maka R1 ∩R2, R1 ∪R2, R1 −R2 , dan R1 ⊕R2 juga adalah relasi dari A ke B.

Relasi

ContohMisalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}

Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}R1 ∩ R2 = {(a, a)}R1 ∪ R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}R1 − R2 = {(b, b), (c, c)}R2 − R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}R1 ⊕ R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

Relasi

3. Komposisi Relasi

ContohMisalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah

relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan

dengan S ◦ R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

S ◦ R = {(a, c)|a ∈ A, c ∈ C, dan untuk beberapab ∈ B, (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ S }Contoh:Misalkan R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adalahrelasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} danS = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} adalah relasi darihimpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t , u}Maka komposisi relasi R dan S adalahS ◦ R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}.

Relasi

3. Komposisi Relasi

ContohKomposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram

panah:

Relasi

3. Komposisi Relasi

ContohMisalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

R1 =

1 0 11 1 00 0 0

dan R2 =

0 1 00 0 11 0 1

Relasi

3. Komposisi Relasi

Contohmaka matriks yang menyatakan R2 ◦ R1 adalah

MR2◦R1 = MR1 · MR2

=

1 1 10 1 10 0 0

Relasi

MATEMATIKA DISKRIT

1 Relasi

Definisi Relasi

Representasi Relasi

Relasi n-ary

Relasi

Relasi n-ary

Contoh

1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan.

2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buahhimpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-ary (baca: ener)

3 Misalkan A1, A2, ..., An adalah himpunan. Relasi n-ary R padahimpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dariA1 × A2 × ... × An , atau dengan notasi R ⊆ A1 × A2 × ... × An .Himpunan A1, A2, ..., An disebut daerah asal relasi dan n disebut derajat.

Relasi

Relasi n-ary

Contoh

Relasi

Relasi n-ary

Contoh

Relasi

Relasi n-ary

Contoh

Relasi

Relasi n-ary

Contoh:MisalkanNIM= {13598011, 13598014, 13598015, 13598019,

13598021, 13598025}Nama= {Amir , Santi , Irwan, Ahmad , Cecep, Hamdan}MatKul= {MatematikaDiskrit , Algoritma, StrukturData,

ArsitekturKomputer}Nilai= {A, B, C, D, E}Relasi MHS terdiri dari 5-tupel (NIM, Nama, MatKul, Nilai):MHS ⊆ NIM × Nama × MatKul × Nilai

Relasi

Relasi n-aryBeberapa keterangan

1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel

2 Salah satu model basisdata adalah model basisdatarelasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan padakonsep relasi n-ary.

3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiapkolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalahhimpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.

4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagaisebuah file.

5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiapatribut menyatakan sebuah field.

6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalahkumpulan record, setiap record terdiri atas sejumlah field.

Relasi

Relasi n-ary

Beberapa keterangan

1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemenrelasi disebut kunci(key).

2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintahpertanyaan yang disebut query.

3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil matakuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa denganNIM = 13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIMdan mata kuliah yang diambil”

4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrakdengan operasi pada relasi n-ary.

5 Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalahseleksi, proyeksi, dan join.

Relasi

Relasi n-ary

Beberapa keterangan

Relasi

Relasi n-ary

Beberapa keterangan

Relasi

Relasi n-ary

Beberapa keterangan

Relasi

Relasi n-ary

Beberapa keterangan

Relasi

Relasi n-ary

Beberapa keterangan

Relasi

Relasi n-ary

Beberapa contoh operasi

1 Seleksi : Operasi seleksi σ memilih baris tertentu dari suatu tabel yangmemenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita inginmenampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliahMatematik Diskrit. Operasi seleksinya adalah σ Matkul=”MatematikaDiskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan(13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B)

2 Proyeksi : Operasi proyeksi Π memilih kolom tertentu dari suatu tabel.Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satukali.

3 Join : Operasi join Γ menggabungkan dua buah tabel menjadi satu bilakedua tabel mempunyai atribut yang sama.