commande Numrique des systmes
I. Introduction
II. chantillonnage dun signal
III. Reprsentation des systmes Discrets
IV. Reprsentation d tat des systmes discrets
V. Analyse des systmes Discrets
VI. Synthse: gain de rtroaction
VII. Transposition des correcteurs analogiques
VIII. Synthse de correcteurs Numriques 1
Dfinitions Automatique: science qui tudie les automatismes.
Automatisme: dispositif technologique qui remplace l'oprateur humain dans la
conduite d'une machine, d'un processus, d'une installation industrielle.
Processus: (ou systme) C'est l'ensemble de l'installation que l'on doit piloter. Il
est caractris par des signaux d'entre et de sortie et les lois mathmatiques
reliant ces signaux.
Exemple de systmes: four, robot, avion, usine chimique, colonne de distillation,...
Signal : Grandeur physique gnre par un appareil ou traduite par un capteur
(temprature, dbit etc.) On distingue :
Signal dentre : indpendant du systme, il se dcompose en commandable et non commandable (perturbations)
Signal de sortie : dpendant du systme et du signal dentre. Contrle : On peut contrler un systme de manire automatise pour:
- maintenir une grandeur de sortie constante (Rgulation)
- faire suivre certaines sorties une squence (automatisme squentiel) ou une
loi donne (asservissement).
Si on ajoute l'optimisation d'un critre (de cot par exemple) on parle alors de
contrle optimal.
I. Introduction
2
Structure d'un systme asservi
Commande en boucle ouverte:
Ceci est une commande en boucle ouverte qui ne permet pas de rgler
prcisment le niveau de sortie et corriger l'effet des perturbations.
3
Commande en boucle ferme:
Pour rgler le niveau on dois agir sur l'organe de rglage (la vanne) en
fonction de lcart entre la valeur dsire et la valeur relle.
4
Structure gnrale
5
Exemple : RGULATION DE TEMPRATURE
Schma fonctionnel
6
Concepts utiles l'tude des systmes asservis
Les caractristiques tudier dans un systme asservi sont
prcision statique et dynamique , rapidit, stabilit
7
Rgulation analogique
8
Rgulation numrique
9
Classification des automatismes
On peut classer les automatismes selon la nature des signaux d'entre et sortie
Signaux numriques
Un signal numrique est un signal discret dont lamplitude a t quantifie
10
signal sinusodal
Amplitude : 0.8
Dure : 0.03 seconde Priode : 0.02 seconde Frquence : 1/0.02 = 50Hz Signal analogique et (en temps) continu Expression : s(t)= 0.8*sin(2**t/0.02)
11
script Matlab
% crer et afficher le signal sinusodal prcdent
freq= 50; % en Hertz (Hz)
ampl= 0.8; % ';' signifie ne pas afficher le rsultat
temps= [0:1:299]/10000; % dfinir vecteur temps(secondes)
signal= ampl*sin(2*pi*freq*temps); % crer vecteur signal
plot(temps, signal) % trace la courbe signal(temps)
axis([0, temps(length(temps)), -1, 1]) % dfinir les axes
grid % tracer la grille
title('chronogramme d''un signal en temps continu')
xlabel('axe des temps (secondes)')
ylabel('amplitude du signal')
'chronogramme d''un signal en temps continu
12
Signal discret On nomme signal discret un ensemble de valeurs relles dfinies pour une suite dinstants
tn = nT multiples dune priode T dchantillonnage (en anglais sampling ). On notera
, ou la nime valeur dun tel signal discret.
f nT( )
f n( )
f nCausalit : le signal discret est causal si il est nul pour .
f n
n 0
Par exemple, avec la frquence dchantillonnage .400Hz s t t( ) sin( ) 100
donne : s sn n
n ( ) sin( )400 4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
temps en seconde
sig
na
l
ch
an
tillo
nn
Signal Discret ou Echantillonn
exp(-t)*sint(2*t), T = .2 seconde
Reprsentation graphique dun signal discret par MATLAB (fonction stem) :
13
ii. chantillonnage dun signal
Signal bloqu : Pour reconstituer un signal continu (qui dure dans le temps) partir dun signal discret, le
bloqueur dordre zro (ou BOZ) maintient la valeur sn entre les instants
nTtn et t n Tn 1 1( )
)(nTs
Signal chantillonn Associ au signal discret tir du signal continu )(ts , ce signal not traditionnellement s t
* ( )
permet de dfinir mathmatiquement lchantillonnage:
s t s n t nT s n t nTdf
nn
*( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
si s n( ) est causal.
t
-4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T
s(-4) s(-3) s(-2) s(-1) s(0) s(1) s(2) s(3) s(4)
un chantillonneur idal est un filtre qui donne partir de s t( )
compte tenu des proprits de la distribution de Dirac, le signal chantillonn
)()()()()(* tPtsnTttsts Tn
o )()( nTttPT
ou peigne de Dirac , donc une suite priodique dimpulsions de Dirac.
s t( )
s t s t P tT* ( ) ( ) ( )
T
On symbolise ci-dessous lchantillonneur idal pour le signal
)(ts
avec la priode T :
s t* ( )
est la fonction peigne
14
Les avancs en moyen informatique (puissance de calcul) ont rendu possible
lexpression et traitement de signaux en forme numrique. Mais pour numriser, il faut d'abord chantillonner. Le passage analogique numrique implique ncessairement une perte d'information. Cette perte peut tre minimiser par
l'application des outils adapts.
chantillonnage
15
16
Conversion analogique numerique
Dun point de vue modlisation, lensemble capteur convertisseur analogique-numrique peut tre assimile une prise dchantillons de la sortie continue y(t) a priode fixe T (priode dchantillonnage). Si lon fait lhypothse que le temps de codage est ngligeable (chantillonnage instantan) et quil ny a pas derreur de quantification, on peut reprsenter lopration de conversion analogique-numrique selon le schma
lopration dchantillonnage peut tre assimile la modulation du signal continu y(t) par un train dimpulsions unitaires de priode T not T (peigne de Dirac)
ou y*(t) est un signal temps continu gal y(t) aux instants t(kT) et zro ailleurs.
ou yk = y(kT) est la valeur de lchantillon de y(t)a linstant kT . Le signal chantillonn est reprsent par la squence des valeurs y*(kT)mesures
avec la priode T : 17
Lchantillonnage conduit une perte dinformation au regard du signal continu. Cette perte dinformation est dautant plus grande que la frquence f =1/T est petite. Idalement il faudrait donc chantillonner une frquence infinie, cependant, le choix
de la priode dchantillonnage dpend du type de procd et des possibilits offertes par les outils numriques. En tout tat de cause, lchantillonnage doit respecter le thorme de Shannon qui prcise que la frquence dchantillonnage f=1/T doit tre au moins gale deux fois la plus grande frquence contenue dans le
spectre du signal que lon veut chantillonner.
Conversion numrique analogique Le processeur calculant la commande appliquer au procd travaille de manire
squentielle et gnre des valeurs numriques uk avec la mme priode T que celle
qui a t choisie pour lchantillonnage. Lopration de conversion numrique-analogique la plus courante consiste a produire un signal de commande u(t) en
escalier partir des valeurs uk selon le schma
18
19
Choix de la frquence dchantillonnage
Le processus n'est observ et la commande ne peut changer qu'aux instants Te :
Le choix du pas Te est important car
Si Te est trop petit, le calculateur corrigera sans arrt a tout petits coups; Si Te est trop grand, le calculateur risque de perdre des informations importantes mais trop rapides ou mme ne plus pouvoir commander car les erreurs (sortie-
consigne) seront trop importantes.
En pratique, on choisira une frquence dchantillonnage fe en fonction de la frquence la plus haute que l'on souhaite observer fh (ce qui est directement
li la frquence de coupure du systme que l'on souhaite commander).
Le thorme de Shannon prcise que la frquence dchantillonnage f =1/T doit tre au moins gale deux fois la plus grande frquence contenue dans le spectre
du signal que lon veut chantillonner. Ce rsultat est exploitable uniquement la donne dun signal. Cependant, le signal de sortie dun systme y(t) nest pas connu dans la problmatique considre. Le vritable problme envisag est celui de
lchantillonnage en sortie dun procd dont on connait, sa fonction de transfert mais la sortie du systme est inconnue car elle dpend du signal dentre u(t) qui nest pas prcis. La mthode consiste alors analyser les frquences transmises par le systme. En traant le diagramme de Bode il est possible de dterminer la
frquence de coupure fc du systme et donc dindiquer que toutes les frquences suprieures fc dans le spectre du signal de sortie seront attnues.
fe = (6 25) bande passante de la boucle ferme
1er ordre :
Te = 1/fe : priode dchantillonnage
BF
BPfBF
BPf
pTpG
01
1)(
0
02
1
TffBF
00
4TT
Te
20
2me ordre :
2
6.01
27.0
2
0
0
2
0
2
0
2
0
BP
BP
f
f
pppF
10.7 ;5.125.0 0 eT
1 ;75.14.0
7.0 ;125.0
0
0
e
e
T
T
Exemple Considrons ce systme
Diagramme de Bode du procd
La frquence de coupure est approximativement de wc=5rad /s ou encore fc =wc/2. La priode dchantillonnage choisir donc est:
21
Nous choisissons T =0,2s pour observer le comportement quand lchantillonnage implique la plus grande perte dinformation. Leffet de cette priode dchantillonnage est observe sur des exemples de signaux en sortie du systme. Pour une entre
impulsionnelle et une entre en chelon. On observe que la priode dchantillonnage rend correctement compte de la ralit du signal temps continu. Il ny a pas de perte significative de linformation contenue dans le signal
Les observations peuvent galement se faire avec T= 0,05s, quand lchantillonnage devient lev au regard des frquences non-attnues par le systme. On constate
que lchantillonnage est trs dense en comparaison des dynamiques observes. Tout chantillonnage plus rapide demanderait des vitesses de capacit de traitement
non ncessaires.
Sorties a temps continu et chantillonnes T= 0,05s T =0,2s 22
Transforme en z (transforme de Laplace des signaux discrets) :
a. Dfinition La transforme en Z dun signal chantillonne est dduite de sa transforme de Laplace
)(zS est la transforme en z du signal discret s nT( ) (signal s t( ) chantillonn avec la cadence T).
s t s p s t e dtL tp( ) ~( ) ( )
0
par chantillonnage
0
)()()( nZ znTszSnTs
1z est loprateur retard .
La transforme en Z est une forme de la transforme de Laplace. La relation
est fondamentale, car elle permet dtendre les rsultats tablis pour les systmes en temps
continu aux systmes en temps discret.
Tpez
0
)()()]([n
nznxzXnxZ
0
10 ......n
nn UUUUSUne srie S : converge si la condition suivante est satisfaite :
1lim1
nn
nU Dans le cas de la TZ, on a :
L f t nT e L f tnTp( ( )) ( ( )) n
nTtnsts )()()(* avec le thorme du dcalage temporel
0
** )())(()(~
n
nTpenTstsLps La transforme en Z sobtient en posant Tpez
23
1)(lim soit, 1)(lim 111
znxznx n
n
nn
n
Posons, rnx nn
1
)(lim
Daprs la relation prcdente : rzr
z111
1
La srie converge donc pour z > r, le disque de convergence.
La figure illustre ce domaine de convergence pour r = a.
b. Transforme en z des signaux lmentaires : En appliquant la dfinition (1) de la transforme en z, on tablit aisment que :
Echelon unit: u t( ) 0 1 donne par chantillonnage u nT( ) 1 pour n 0
.
11
1
1
1lim))((
110
z
z
zz
zznTuZ
n
nn
n si 11 z
soit 1z (cest le domaine de convergence)
Impulsion: en temps continu, cest limpulsion de Dirac ( )t
on utilise la fonction de Kronecker, soit 1)( n si n 0, et 0)0( n
On trouve donc 1)( nZ sans condition de convergence sur z.
, en temps discret,
24
Premier ordre : naTZanTLaplaceat zeenTsap
ets
)()(,1
)(
qui converge vers 1
1 1
z e
z
z eaT aTaTez si
Exponentielle 1 si 1
1)()( 1
1
az
az
z
azzEane n
az soit
c. Quelques proprits de la transforme en Z : Les transformes en Z et de Laplace L ont des proprits lies par la relation
z eTp
Z est donc linaire, do la possibilit de dcomposition en lments simples.
Le thorme du retard de Z remplace celui de la drive et permet le calcul de la fonction
de transfert : e n E z
e n e n z e z E z
Z
Z n
n
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
0
1
A condition initiale )1(e nulle, on a donc : Z e n z Z e n( ) ( ) 1 1
et plus gnralement Z e n k z Z e nk( ) ( ) 25
Translation temporelle )1(....)1()0()()( 1 kzeezezneZzkneZ kkk
Multiplication par nk
zEdz
dznenZ
zEdz
dznneZ
k
k
)(
)(
Thormes des valeurs initiale et finale : soit e n E zZ
( ) ( )
Thorme de la Valeur Initiale : )(lim)(lim)(
1lim)0( 1
01
zEzEzE
z
ze
zzz
Thorme de la Valeur Finale : )()1(lim)()1(lim)(lim 1111 1
zEzzEzne
zzn
a
zEneaZ n )( Multiplication par an
Thorme de sommation: )(lim)(lim)(1
110
1
zEzEnezz
n 26
. Transforme du Produit de Convolution * : Le produit de convolution de deux signaux discrets a et b est dfini comme suit :
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b n a n i b i a i b n ii i
, avec ni 0 si a bet sont causaux.
Comme pour la transforme de Laplace, on a : )()()()(
)()())((
nbZnaZnbnaZ
nbZnaZnbaZ
Formule des rsidus : pour inverser la transforme en z,
1)(
111 ))(()(2
1)()(
nzzH
ples
n
C
n zzHRsidusdzzHzj
zHZnh
avec, pour le rsidu de )(zF en az ple dordre mazenpris
m
m
m
zFazdz
d
m
))()(()!1(
11
1
d. Inversion de la transforme en z
Division suivant les puissances croissantes de z
......1
...)( 22
1
102
2
1
1
2
2
1
10
zszsszbzbzb
zazazaazH
p
p
n
n
Mthode des fractions rationnelles Dcomposer en lments simples H(z)/z et dduire la dcomposition de H(z) sous la forme:
puis dvelopper ces fractions lmentaires en srie
en tenant compte de la couronne de convergence.
......)(2
2
1
1
bz
za
bz
zazH
27
Mthode de l'quation aux diffrences
Exemple: 11
1
)(
)(
azzX
zY on a )()()()()1)(( 11 zXzYazzYzXazzY
...])2()()0([...])2()()0([...])2()()0([ 2121121 zTxzTxxzTyzTyyazzTyzTyy
Exemple: zzz
zzX
1
5.05.1
2)(
2
5.0
4
1
4
5.05.1
2)(2
zzzzz
zX
zz
z
z
zzX
1
5.0
4
1
4)(
Do la squence ))5.0(1(4)( kkx
))1(()()(
)())1()(
.................................
)()0()(
)0()0(
TnaynTxnTy
nTxTnaynTy
TxayTy
xy
do
....)()()( 2211 nn babanTh
28
29
Dfinition 1 Un systme linaire discret (SLD) est un processus dynamique qui
transforme un signal d'entre x(n) en un signal de sortie y(n). Le terme 'linaire'
implique le principe de superposition.
Dfinition 3 Un systme est stable si, quelle que soit la squence damplitude finie
applique lentre, sa sortie ne devient pas infiniment grande.
Dfinition 2 Un systme est causal si la squence de sortie ne dpend que des valeurs
actuelle ou passes de la squence dentre.
30
III. Reprsentation des systmes Discrets
1. Systme discret Un systme temps discret se dfinit comme un oprateur entre deux signaux
temps discret. Considrons le systme reprsent sur la figure , o x(n) reprsente
le terme gnral de la squence dentre et y(n) le terme gnral de la squence de sortie. Un modle entre-sortie, appele aussi modle externe, ne fait intervenir que
les variables dentre u(n) et de sortie y(n).
31
Un systme linaire discret (SLD) est dit stable si, pour le signal d'entre
x(n) = on a y(n) = h(n) avec :
Une condition ncessaire (mais non suffisante) est la suivante :
n
nh )()(n
0))((lim
nhn
2. Equations aux diffrences La manire dont un systme linaire discret causal transforme un signal d'entre x(n) en
un signal de sortie y(n) est dcrite par la relation suivante :
)(....)2(.)1(.
)(....)2(.)1(.)(.)(
21
210
Pnyanyanya
Mnxbnxbnxbnxbny
p
M
Plus formellement :
P
p
p
M
m
m pnyamnxbny10
)(.)(.)(
Lquation dcrit une quation aux diffrences.
Le systme est causal, les sorties dpendent uniquement des vnements passs.
lquation rcurrente est bien adapte au calcul numrique. Cest la forme sous laquelle
seront prsents les algorithmes de commande des procds. Le systme est entirement
dfini et lquation rcurrente peut tre rsolue si lon prcise les conditions initiales.
Dfinition 4 Le SLD est dit 'non rcursif' si a1 = a2 = a3 = = ap = 0 (principe du filtre
FIR). Il est dit 'rcursif' si un seul coefficient ai est diffrent de zro (principe du filtre IIR).
La transforme en Z de y(n), on a :
)(.....)(..)(..
)(.....)(..)(..)(.)(
2
2
1
1
2
2
1
10
zYzazYzazYza
zXzbzXzbzXzbzXbZY
P
P
M
M
Plus formellement :
P
p
p
p
M
m
m
m zazYzbzXzY00
.).(.).()(
32
3. Fonction de transfert
)().()(.
.1
.
)(
0
0 zXzHzX
za
zb
zYP
p
p
p
M
m
m
m
p
p
M
M
P
p
p
p
M
m
m
m
zazaza
zbzbzbb
za
zb
zH
......1
......
.1
.
)(2
2
1
1
2
2
1
10
0
0
La fonction H(z) est appele fonction de transfert. Ce n'est rien d'autre qu'une
fraction rationnelle. On la rcrit :
Si x(n) = (n), alors Y(z) = H(z) et y(n) = h(n) !
La relation (4) scrit encore sous la forme dun produit de convolution discret puisque :
))(()()()()(1
nxhnyzXzHzY Z
)()( 1 zHZnh est alors la rponse impulsionnelle du processus discret dquation (4)
et de fonction de transfert )(zH , on a comme en temps continu
)]([)( nhZzH
n
k
knxkhny0
)().()(Soit, pour un systme causal
33
Matlab
% Cration d'un systme linaire discret :
Te=0.1;
sysd = tf ( [b0 b1 b2], [1 a0 a2 a3] ,Te,'variable' ,'z^-1' ) ;
34
Exemple
)2(.5.0)1()1(.4)(.2)(
)(..5.0)(.)(..4)(.2)(
)()..42()()..5.01(
)(..5.01
.42)(
.5.01
.42)(
211
121
21
1
21
1
nynynxnxny
zYzzYzzXzzXzY
zXzzYzz
zXzz
zzY
zz
zzH
On a:
Z inverse:
Cest l'quation aux diffrences correspondant la fonction de transfert H(z).
Elle est valable quel que soit le signal d'entre x(n). Si on veut la rponse impulsionnelle,
on pose x(n)=(n).
4. Rponses temporelle et frquentielle Pour caractriser des systmes on s'intresse souvent leur rponse
impulsionnelle ou, plus souvent, leur rponse indicielle.
a- Rponse impulsionnelle :
)()( zHzY
Matlab
% Rponse impulsionnelle d'un systme :
[y, t ] =impulse(sysd) ;
35
alorszHz
zzY
z
zzX )(
1)(,
1)(
1
)()( 1
z
zzHZny
le script pour obtenir les 20 premiers chantillons de la rponse indicielle d'un systme
Matlab
% Rponse indiciel le d'un systme :
[y, t ] =step(s ysd,20) ;
Gain statique : 1
)(limz
zH
b- Rponse indicielle :
c- Rponse harmonique : On procde comme en temps continu avec Tpez
p j se traduit par z e j T
do la rponse harmonique ou frquentielle, Gain = )(TjeH et Phase = )( TjeH
5. Rponse des systmes discret
a- A partir de lquation rcurrente Un systme temps discret peut tre reprsent par une quation rcurrente :
Cette modlisation est sous forme algorithmique adaptable limplantation dans le processeur. Elle est bien adapte la formulation des lois de commande.
Exemple
Soit le systme temps discret suivant :
Il est suppos initialement au repos
et on applique une entre impulsionnelle
Lapplication successive de lalgorithme conduit :
soit
36
Comme dans le cas des systmes temps continu, la fonction de transfert permet un
calcul ais des rponses uniquement dans le cas des systmes initialement au repos.
b- A partir de la fonction de transfert
Soit G(z)une fonction de transfert et U(z)=Z[u(k)] la transforme en Z dune squence dentre, sous lhypothse de conditions initiales nulles la rponse du systme est donne par :
c- Notion de modes pour calculer la rponse dun systme temps discret, il est possible de procder par dcomposition en lments simples de Y(z)/z.
Soit G(z)la fonction de transfert dun systme comprenant np ples nots p1,, pnp. Chaque ple peut ventuellement apparaitre plusieurs fois dans le dnominateur.
On parlera de mi, lordre de multiplicit du ple pi (i=1,.,np). Identiquement on dfinit une entre quelconque U(z) pour le systme. Sa transforme
en z se caractrise par un polynme au dnominateur avec un certain nombres de
racines r1,,rq. Aprs avoir effectuer la dcomposition en lments simples de Y(z)/z=G(z)U(z)/z on
trouve une reprsentation
37
les fonctions G(z) se dcomposent comme suit :
leur transforme en z inverse scrit :
lvolution de ce terme dpend essentiellement de la valeur de pi. On parlera de mode associ au ple pi et nous allons dcrire dans la suite des catgories de
comportement de ces modes en fonction de la valeur (relle ou complexe) de pi.
Par superposition, la rponse dun systme une entre quelconque comprends toujours une somme de termes tels que :
dont dvolution temporelle est caractrise par chacun des modes. Il y a autant de modes que le systme a de ples distincts.
d- Mode rel Un mode rel est associ un ple rel. Soit p ce ple et la suite
correspondant la contribution de ce ple la rponse du systme.
38
Si p< 1, alors la suite converge vers 0 quand k . On parle alors de mode convergent dont la convergence est porte par la suite
gomtrique. La vitesse de convergence dpend essentiellement de la valeur de p.
Plus la valeur de p est faible, plus le mode converge vite vers lorigine (convergence exponentielle).
Si p> 1, alors la suite diverge quand k . On parle alors de mode divergent dont la divergence est porte par la suite
gomtrique. La vitesse de divergence dpend essentiellement de la valeur de p. Plus
la valeur de p est grande, plus le mode diverge vite (divergence exponentielle).
Si p= 1 et que P(k)= P(0) est un polynme constant, alors la contribution de ce mode est un signal qui ne diverge ni ne converge. On parle alors de mode entretenu.
Ce cas est possible uniquement si P(k)est un polynme constant (i.e. de degr zro)
ce qui est possible uniquement quand lordre de multiplicit du ple est gal a m=1.
Si p= 1 et P(k) est de degr non nul, alors la suite diverge quand k On parle de mode divergent dont la divergence est porte par la suite .
Si p>0, alors la suite a tendance (au signe de P(k)prs) a tre du mme signe (mode apriodique).
Si p
Si p=0, alors la suite converge vers 0 en une seule iteration, rponse pile
Exemple
Soient les deux systmes suivants compos dun seul et mme ple.
(x pour G1 et o pour G2). On constate que la divergence mme si elle nest pas exactement identique se fait avec la mme vitesse approximative. Lautre constatation est que le signe de la rponse suit la courbe dun polynme (mode apriodique).
40
Exemple
Les rponses un chelon pour ces deux
systmes sont donnes sur la figure
(o pour G1 et x pour G2).
On constate que la convergence est
assez similaire mme si elle nest pas exactement identique, le signe de la
rponse alterne (mode oscillatoire).
(o pour G1 et x pour G2), G1 a une
rponse oscillante ni divergente ni
convergente (mode entretenu oscillatoire)
car le ple = 1 apparat dans la fonction de
transfert avec un ordre de multiplicit gal
un. G2 par contre diverge sans osciller
car le ple =1 est positif et dordre de multiplicit gal deux. La divergence
nest pas exponentielle, mais tend vers une asymptote linaire.
41
e- Mode complexe Les racines dun polynme coefficients rels sont soit relles soit complexes. Dans le second cas, pour chaque ple p tels que Im(p)0 il existe un autre ple p* complexe conjugue de p. ces deux ples p et p* interviennent ncessairement avec le mme
ordre de multiplicit. Par dfinition un mode complexe est associ un couple de
ples complexes conjugus lun de lautre. La contribution de ce mode est de la forme suivante :
o Pa(k)et Pb(k) sont des polynmes coefficients complexes du mme degr,
mais il est possible de monter que la contribution conjointe des puissances de
est ncessairement relle. Ds lors la contribution dun mode complexe peut galement scrire sous la forme suivante
o P(k)est un polynme coefficients rels, o est un dphasage dtermin par la situation, o r est le module du ple et o q est largument du ple. Daprs les formule dEuler on a
ltude des suites telles que nous enseigne les caractristiques
suivantes sur la contribution dun mode complexe : 42
Si p= > 1, la rponse transitoire diverge `a la vitesse de (divergence exponentielle),
Si p= = 1, la rponse transitoire diverge a la vitesse du polynme P(K) et si le pole est de multiplicit gale 1 alors P(k)= et le mode ne converge ni ne diverge (mode entretenue).
Si arg(p)= 0 est largument de p, la rponse du systme oscille a cette frquence (oscillation porte par la convergence de ), Le mode est oscillatoire.
Allure des modes selon leur emplacement dans le plan de Laplace 43
Remarque: En pratique, on retiendra quun systme a temps discret peut avoir deux sources doscillations : la prsence de modes complexes et/ou la prsence de modes a partie relle ngative. Bien entendu, ces deux phnomnes doscillations peuvent se superposer.
Exemple
La rponse impulsionnelle de ce systme est obtenue en calculant loriginal de sa fonction de transfert en z :
soit
Si les modes du systme sont rels , le systme est compos de deux modes rels dont le comportement dpend respectivement des valeurs de 1 et 2.
Si les modes sont complexes conjugus , il vient :
44
A la donne de a0 et a1, la rponse transitoire dun systme du second ordre est soit une somme de deux modes rels soir un mode complexe dont la convergence est
donne par le module des ples et loscillation est donne par leur argument
Les rponses impulsionnelle et indicielle pour les valeurs b0=0,5, a1 = -1 et a0=0,5.
Exemple:
G1 admet deux ples complexes conjugues
Ces ples complexes sont de module gal un et ils sont de multiplicit simple
donc la rponse indicielle est oscillante entretenue
Remarque: la convergence globale dun systme se fait avec la constante de
temps du mode le plus lent. Cest dire la vitesse du mode dont le ple le
module le plus grand
45
G2 admet les ples
Le mode associ ce ple a les mmes
caractristiques que pour G1 si ce nest que en plus de loscillation lie a , s'ajoute une alternance due au fait que la
partie relle est ngative.
G3 est tel que le couple de ples
est dordre de multiplicit gale a deux. Le systme est donc oscillant avec les mmes
caractristiques que pour G1 mais la
diffrence quil diverge avec une vitesse polynomiale.
6. Caractrisation des modes par analogie
Les ples des systmes continus peuvent tre dcrits par :
pour les ples complexes, devient dans le cas de ples rels :
Et les polynmes caractristiques des systmes temps continu se factorisent
avec des termes tels que : 46
Les diffrents paramtres caractrisent les rponses des modes des systmes continus:
temps de rponse du mode (le mode converge 95% de sa valeur
finale en 3t secondes).
pulsation propre (caractrise la pulsation de loscillation dans le cas dun mode complexe).
pulsation propre non amortie.
coefficient damortissement (plus z est faible plus le mode oscille avant de converger).
Pour les systmes continus chantillonns, les ples du systmes discret obtenu aprs chantillonnage se dduisent du systme continu original suivant la
formule :
T est la priode dchantillonnage, pc les ples du systme continu et pd les ples du systme discret.
Ainsi partant du ple dun systme continu ayant certaines caractristiques en termes de temps de rponse, damortissement et de pulsation propre on trouve les ples dun systme discret (fonctionnant a la priode T) qui aurait les mmes caractristiques dynamiques :
47
Inversement un ple rel dun systme discret, pd = zr se caractrise par :
un temps de rponse , ou T est la priode de fonctionnement du systme discret,
des pulsation propres nulles et un amortissement = 1 (le mode est non oscillant).
Un ple complexe se caractrise par :
un temps de rponse
une pulsation propre
une pulsation propre non amortie
un amortissement
48
La reprsentation dtat utilise lalgbre linaire (calcul matriciel) dont les principaux avantages sont :
Un mme formalisme pour les systmes analogiques ou chantillonns.
Un mme formalisme pour les systmes mono- ou multi-variable.
Une analyse interne des systmes.
Lutilisation gnralise de lordinateur.
1. Reprsentation dtat des systemes continus
Equation dtat BeAxdt
dx
DeCxs Equation dobservation
Prenons par exemple un systme dordre n :
e s quation diffrentielle dordre n n quations du 1er ordre
+
s=f(e,x)
49
IV . reprsentation dtat des systmes discrets
A : matrice de dynamique ou matrice dtat
B : matrice de commande
C : matrice dobservation
D : matrice de transfert direct
avec : n
n
n
q
q
p
n
p D sera nulle pour un systme
physique rel
A, B, C et D constitue la
reprsentation dtat
Exemple 1er Ordre
C
R s e
v
variable dtat : v (tension aux bornes du condensateur)
vx quation dobservation :
1D
1C
evves
quation dobservation :
RC
1B
RC
1A
RC
ev
RC
s
dt
dv
R
si
C
i
dt
dQ
C
1
dt
dv
p : entres
q : sorties
50
Pour un systme le vecteur d'tat n'est pas unique : il existe une
infinit de reprsentation pour un mme systme.
2. Cas Discret
Equation dtat BeAxdt
dx
DeCxs Equation dobservation Continu :
Equation dtat kk1k
BeAxx
kkkDeCxs Equation dobservation
Discret :
e(t)
A
+
+
x x
D
s(t) +
+
C B
ek
A
+
+
1kx
D
sk C B 1Z k
xRetard d'un chantillon =
1Z1kx kx
+ +
51
3. Solution gnrale des quations d'tats
Equation dtat BeAxdt
dx
Solution = Solution gnrale sans entre (e=0) + Solution particulire
avec entre (e)
a - Solution gnrale sans entre (e=0)
Axdt
dx
0
ttA txetx 0 o t0 est l'instant initial
La matrice s'appelle la matrice de transition d'tat Atet
Proprits de :
0xx
0xx
A
tt
tnt
tttt.tt
1
00
n
00
020212
Cas Continu
52
53
Calculs de :
1n
nn2
At
!n
At
!n
At
!2
AtAtIet
Par le calcul de la srie :
n
2
1
e0
e
0e
et
0
0
A At
n
2
1
Si A est diagonale :
Par la transforme de Laplace :
nj,i1avecaTLApIeTLalors
nj,i1avecaeSi
j,i
1At
j,i
At
La mthode consiste donc calculer la matrice puis prendre la transforme de Laplace inverse de chacun des termes de la matrice
1ApI
11Ate ApITLt
54
Par le thorme de Cayley-Hamilton : Le thorme exprime que toute matrice carre A est solution de l'quation
caractristique :
01
2n
2n
1n
1n
n
AapapapapApIdetpQ
OIaAaAaAaA01
2n
2n
1n
1n
n
Donc :
An s'exprime donc en combinaison linaire de I,A, A2, , An-1. Il en dcoule que le dveloppement :
1n
nn2
At
!n
At
!n
At
!2
AtAtIe
est limit au degr n-1 :
1ni1ni10
t ttte i
Les coefficients i vrifient pour chaque valeur propre i l'quation :
1n1n10
At AtAtIte
b - Solution particulire pour e0
BeAxdt
dx
On utilise la technique classique de variation de la
constante, donc on cherche une solution particulire de la
forme : ttqtx
p
BeAxdt
dx
ttqtxp
BeqAqq
A
t
t
t
t
1
p
t
t
1
p
t
t
1
1
00
0
0
d.e.B.td.e.B.ttx
d.e.B.ttqttx
d.e.B.tq
Beq
Beq
Donc la solution est :
t
t00
0
d.e.B.ttxtttx
t
0
d.e.B.t0xttx
Gnralement on peut toujours se ramener t0=0 :
teBt0xttx Si de plus on a e(t) causale :
56
c Rponse Force et Rponse Impulsionnelle
teDBtCtsDeteBt0xtCts
00x force rponse
DeCxts
0
Rponse impulsionnelle : tte
0
DBtCtRI
Cas Discret
a Rgime libre
k
m
mk
k
3
2k3k
k
2
1k2k
k1k
xAx
xAAxx
xAAxx
Axx
0
0
0
kk
0
k
kk
k
Akk
xAx
b Solution Globale
ik
1m
0i
1im
k
m
mk
2k1kk
2
k
3
2k2k3k
1kkk
2
1k1k2k
kk1k
000
0000000
000000
000
eBAxAx
BeABeBeAxABeAxx
BeABexABeAxx
BeAxx
57
j
1k
kj
1jk
k
kk
k
00
eBAxAx
ik jet mkk pose On
00
0
Si e est causale kTeBA0xAkTx 1kk
c Rponse Force et Rponse Impulsionnelle
k0,k
1k
k
k
1k
k
eDBCAs
DeeBCAs
0,k
1k DBCARI
Calcul de Ak :
2DeCxs
1BeAxx
kkk
kk1k
Prenons la TZ de (1) :
ZBEAZIZxAZIZX
ZBEZxAZIZX
ZBEZxZXAZI
ZBEZAXZxZZX
ZxZZXxTZ
0k : initial Instant
1
0
1
0
1
0
0
01k
58
j
1k
kj
1jk
k
kk
keBAxAx
00
0
ZBEAZITZxZAZITZx 110
11
k
En utilisant les deux expressions connues de xk on obtient :
ZAZITZA 11k
4. Expression de la transmittance en fonction de la reprsentation d'tat
DeCxs
BeAxx
a. Systme continu e est de taille p
s est de taille q
n ordre du systme
En prenant la TL :
pBEApIpX
pBEpXApI
pDEpCXpS
pBEpAXppX
1
DBApICpE
pSpF
pDEpBEApICpS
1
1
ZBEAZITZxZAZITZx 110
11
k
59
Dans le cas gnral F(p) sera une matrice : pFq p
pE
pE
pE
pF
pS
pS
pS
p
j
1
j,i
q
i
1
jkpour 0
,
kEj
iji
pE
pSpFavec
Remarque: Les lments de la matrice ont tous le mme dnominateur gale :
Donc les valeurs propres de la matrice dynamique A sont solutions de
l'quation et sont aussi les ples de la transmittance
ApIdet
0ApIdet
b. Systme discret
Si on applique la transformation en z aux quations dtat et si on suppose nulles les conditions initiales, on obtient :
La fonction de transfert du systme est donc :
Linverse dune matrice carre tant gale sa matrice adjointe divise par son dterminant, nous pouvons en dduire que les ples de la fonction de transfert
sont les valeurs de z qui sont solutions de lquation :
Ce sont donc les valeurs propres de la matrice [A]. 60
61
6. Commandabilit et Observabilit dun SLI
Dfinition : Commandabilit ou Gouvernabilit
Un systme dquations est commandable linstant t0 si : BeAxx
Quelque soit les tats x(t0) et x(t) pour t>t0, il existe une loi de commande
e(t0 t) capable de transfrer le systme de x(t0) x(t).
On dit donc que le systme est commandable linstant t0
Le systme est compltement commandable ou commandable sil lest quelque soit t0 (Cas des systmes invariants)
Dfinition : observabilit
Un systme A, B, C, D est observable linstant t0 :
Sil existe un instant t> t0 tel que x(t0) puisse tre dtermin partir de la connaissance de s(t0 t) quelque soit e(t).
Le systme est compltement observable ou observable sil lest quelque soit t0 (Cas des systmes invariants)
62
a. Critre de Commandabilit
Le systme A, B, C, D est commandable si en reprsentation diagonale B na pas de ligne nulle.
p
1
np1n
ij
p111
n
1
n
1
n
1
e
e
bb
b
bb
x
x
p0
0p
x
x
p
1jjijiii
ebxpx
Si la ligne i de la matrice b est nulle implique que xi ne dpend daucunes entres ej
iiixpx
Critre gnral de Commandabilit
On construit la matrice de commandabilit :
Le systme est commandable si C est de rang n ou encore sil existe un dterminant nn 0
BA,,BA,AB,B 1n2 C
La commandabilit des systmes temps discret studie exactement de la mme manire que pour les systmes temps continu.
63
b. Critre dObservabilit
Le systme A, B, C, D est observable si en reprsentation diagonale C na pas de colonne nulle.
n
1
qn1q
ij
n111
q
1
x
x
cc
c
cc
s
s
Si la colonne j de la matrice C est nulle implique quaucunes des sorties (s1 sq) ne dpendra de xj
Critre gnral dObservabilit
On construit la matrice dobservabilit :
1n
2
CA
CA
CA
C
Le systme est observable si est de rang n ou encore sil existe un dterminant nn 0
64
c. Deux cas de perte dObservabilit
1 Par chantillonnage (concerne les systmes possdant au moins une paire de ples
complexes conjugus) Prenons lexemple dun deuxime ordre chantillonn par un bloqueur dordre zro.
2
0
2
2
0
p
B0 ek
T s(t) sk 1re Ralisation Compagne
0D0C
1
0B
0
10A
2
0
2
0
Systme continu
le systme A, B, C, D est observable, car est de rang 2 donc Observable
2
0
2
0
0
0
Systme chantillonn
20
0
2
0
2
2
01
ZTcosZ21
Z1Tcos1ZF
ppTZZ1ZF
65
1re Ralisation Compagne
11Tcos1CTcos21
10A
0e
0
e
Tcos211
11Tcos1
0
0
Tcos12Tcos1Tcos12det
0
2
00
Calculons le dterminant de pour discuter de lobservabilit du systme :
e0
e
0
0
0
k22
kT
k
kT
1Tcos
0det si Observable
La distance verticale
entre les deux ples
complexes conjugus
ne doit pas tre un
multiple de e
bpap1
E S
2 Par compensation de ples et zros
p
abpbap
p
bpap
1ppF
2
66
baab
1
CA
C
b
ou
a
0det
baabbadet
Perte dobservabilit si un zro est gale un
ple
1re Ralisation Compagne
0D1C1
0B
baab
10A
Influence de la priode dchantillonnage sur lobservabilit et la commandabilit Le choix de la priode dchantillonnage est susceptible dinfluencer lobservalibilit et la commandabilit dun systme. On montre quun systme temps discret perd son observabilit et sa commandabilit si il existe deux valeurs propres distinctes 1 et 2 de la matrice [A] qui possdent la mme partie relle et dont la diffrence des parties
imaginaires est un multiple de la pulsation dchantillonnage we Remarque : il y a donc peu de chance quun systme temps continu perde sa commandabilit et son observabilit si on prend soin de ne pas chantillonner une
frquence multiple dune de ses frquences propres.
7. Reprsentation dtat partir de la fonction de transfert En temps discret comme en temps continu, la reprsentation dtat dun systme nest pas unique. Nous prsentons ici plusieurs types de reprsentation dtat que lon peut obtenir partir dune fonction de transfert G(z). Les principes de construction tant rigoureusement les mmes que pour la
reprsentation dtat en temps continu,
a. Reprsentation modale
Ce type de reprsentation, encore
appele reprsentation parallle,
convient particulirement bien la
reprsentation dun systme possdant plusieurs ples rels
distincts. Soit G(z) sa fonction de
transfert :
Il vient:
67
La matrice de commande [A] est diagonale et ses valeurs propres sont les ples de
la fonction de transfert.
b. Reprsentation srie
Cest le produit de n fonctions de transfert et peut tre matrialise par la mise en cascade de n blocs lmentaires.
68
c. Reprsentation compagne commandable
la fonction de transfert nest pas factorise.
par analogie totale avec les rsultats obtenus pour ltude de la forme compagne commandable en temps continu. Il suffit en effet de remarquer la similitude complte
de cette fonction de transfert en z avec la fonction G( p) qui y a t tudie, en faisant
la transformation
69
70
71
Reprsentation dtat sous forme compagne commandable
72
73
d. Reprsentation compagne observable
74
75
76
8 Reprsentation dtat et discrtisation d'une quation d'tat continue
Les rentres tant commandes priodiquement par u(i)=u(iT) travers r bloqueurs d'ordre
zro et les sorties tant chantillonnes avec la mme priode T.
Quelles sont les quations d'tat et de sortie discrtes correspondantes ?
La forme de l'quation d'tat discrte sera :
sortie deEquation )()()(
tatd'Equation )()(
tDutCxty
tButAxdt
dx
)()()1( iuBixAix dd
t
to
tAtotA dBuetoxetx )()()( )()(Son volution est dcrite par:
D'aprs la dfinition du bloqueur d'ordre zro, pour t iT i T , 1 on a u(iT)=cte t iT0 donc : avec
x t e x iT e Bu iT dA t iT A tiT
t
D'o l'tat du systme continu l'instant (i+1)T :
Soit un systme linaire ayant r entres et m sorties :
77
x i T e x iT e d Bu iTAT A i TiT
i T
111
d'o : A edAT
B e d BdA T
T
0
Do, puisque tat continu et tat discret sont identiques aux instants d'chantillonnage,
l'quation de sortie discrte est videmment : )()()( iDuiCxiy
Remarque: si A est inversible alors:
Donne: BIAABIeAB dAT
d )()(11
DBAzICzH dd 1)()(La transmittance en z est donc:
On pose t=-iT; dt=d; =t+iT; soit,
;
)1(
0
)(])1[(
Ti
iT
T
tTATiA dtede
u(k) Bd
x(k)
D
C + +
y(k) x(k+1)
Ad
Z-1
a. Reprsentation discrte:
B e d BdA T
T
0
78
b. Equation dvolution pour un systme discret invariant dans le temps
La solution du systme homogne: )()1( ixAix d
est donne par: )0()( xAix kd
Pour le systme )()()1( iuBixAix dd On peut crire la somme des termes:
)0()0()1( ;
.........................................................
)2()2()1( ;
)1()1()( ;
1uBxAxA
kuBkxAkxA
kuBkxAkxI
dd
k
d
ddd
dd
Do on dduit lquation dvolution du systme discret:
1
0
1)()0()(
k
i
d
ik
d
k
d iuBAxAkx
79
1. Stabilit BIBO des systmes
BIBO vient de la dfinition en anglais :bounded input, bounded output. La caractrisation des systmes stables se fait en prouvant que la sortie du systme
est toujours non divergente tant que le signal dentre est contenu dans un certain domaine. La traduction de langlais dit `a entre borne, sortie borne. Mathmatiquement la dfinition est :
Dfinition : Un systme dfinit part ses entres/sorties tel que:
est BIBO stable si pour toute entre borne
la sortie est toujours borne
Cette dfinition trs gnrale, sapplique a tout type de modle. Dans le cas des systmes linaires, elle se particularise et revient a tudier les modes du systme.
80
V. Analyse des systmes discret
La solution gnrale dune quation diffrentielle coefficients constants est une
exponentielle de la forme ept . Il en va de mme pour une quation aux diffrences
coefficients constants ; dans ce cas lexponentielle numrique sera de la forme pk; o p
est une constante, complexe ou non.
Si on envoie une impulsion de Dirac un systme, sa sortie sera Y(z) = G(z).1
2. Stabilit des systmes numriques
la dynamique de la rponse dun systme dpend directement des racines de son quation
caractristique. Comme la rponse du systme est dcrite par des exponentielles pk, il suffit
que le module de la racine p soit infrieur lunit pour que cette rponse tende vers
zro au fur et mesure que n augmente. Les racines de lquation caractristique ne sont
autres que les ples de la fonction de transfert reprsentant le systme et aussi les valeurs
propres de la matrice dtat Ad.
...)(o d' ...)(
2211
2
2
1
1
kk zAzAkyzz
A
zz
A
z
zY
La rponse limpulsion y(k) ne samortit et tend vers zro que si |zi| < 1
81
On considre le demi-plan gauche de Laplace (p < 0). Comme |z| < 1 et arg(z) , les valeurs de z se situent l'intrieur du cercle unit. Cette transformation est illustre
par la figure suivante
p=sjw; z=e(sjw)T; on a donc z =esT et arg(z)=w.T
Conclusion Un systme numrique est stable si toutes les racines de son quation
caractristique sont lintrieur du cercle unit, alors quun systme analogique
nest stable que si ses ples sont partie relle ngative.
La recherche analytique des ples de la fonction de transfert tant difficilement ralisable,
on utilise comme en continu des critres de stabilit.
82
Afin de pouvoir utiliser, en chantillonn, certains critres et mthodes appliqus en continu,
on peut faire la transformation conforme:
Cette transformation fait correspondre lintrieur du cercle unit dans le plan des z
au demi-plan gauche dans le plan des w.
1
1
z
zw
stable instable
Plan de Laplace
stable
instable
Plan de z
stable instable
Plan de w
F(p) F(z) F(w)
w
wz
1
1Soit,
Le critre de Routh ne peut tre directement utilis pour les transmittances chantillonnes en z
F(z), mais la condition de stabilit dans le plan des w montre que lon peut appliquer F(w). 83
Critres algbriques: Critre de Schur-Cohn
iii01
1
1 jdcb avec ;...)(
bzbzbzbzBn
n
n
n
k
n
b
b
b
b
0
0
0
0 0 .... 0
b 0 .... 0
b b b .... 0
...................................
b b b
0 0 .... 0
b b 0 .... 0
b b b .... 0
.................
1
2 1 0
k-1 k-2 k-3
n-1 n
n-2 n-1 n
...
..................
b b b b
..... b
0 ...... b
0 0 ....... b
...................................
0 0 .
b .... b
n-k+1 n-k-2 n-k+3 n
n-k+1
n-k+2
n-k+3
1 k-1
...
.....
b b
b
b
b
n n
n
n
1
0
0 b .... b
0 0 .... b
........................................
0 0 b
0 k-2
k-3
0...
Soit,
le dnominateur de la fonction de transfert dun systme chantillonn en boucle ferm.
k n 1 2, ,.....,
b c jdk k k
k> 0 pour k pairk< 0 pour k impair
Critre de Schur-Cohn :
les racines de B(z)=0 sont infrieures 1 en module si :
On considre les n dterminants suivants:
84
Critre de Jury Il s'agit d'une forme simplifie du critre de Schur-Cohn, valable pour les
polynmes coefficients rels.
Expressions pour les systmes d'ordre deux et trois
d n
B z b z b z b
b b
b b b b
2
0
1 0
2 0 0
2
2
1 0
2 2
1 2 1 2
( ) ,
)
)
b
b ou b
b et b
2
0 0
0 0
d n
B z b z b z b z b
b
b b b b b
b b b b b b
3
0
1
2
3
0
3
3
2
2
1
1
0
3
3
2
0 1 1 3
1 2 3 1 2 3
( ) ,
)
)
)
b
b
b
B(1) > 0 et B(-1) < 0 soit :
b et b 0
3
0
0
2
0 0
Pour un polynme dordre n =2 (on se ramnera un cas o b2 >0 ), il faut les conditions suivantes pour que le module de toutes les racines soit strictement infrieur 1 :
Pour un polynme dordre n =3 (on se ramnera un cas o b3 >0 ), il faut les conditions suivantes pour que le module de toutes les racines soit strictement infrieur 1 :
85
Un systme temps continu, pour communiquer avec un ordinateur doit tre prpar pour le faire.
Sa sortie sera munie dun CAN qui chantillonne au pas T puis numrise le signal sous forme
de mots binaires accepts par lordinateur. Son entre sera muni dun CNA qui transforme
le signal numrique reu depuis lordinateur en un signal analogique.
Le mot binaire qumet lordinateur sur son port de sortie est maintenu pendant la dure T
jusqu larrive de son successeur. Cette opration qui conduit une reconstruction en marches
Descaliers est modlise par un Bloqueur dordre zro BOZ.
Le processus analogique, muni de ses convertisseurs (BOZ en entre et chantillonneur en sortie)
devient un systme chantillonn. Sa fonction de transfert est G(z), le problme consiste
trouver G(z) partir de G(p).
G(p)
3. Systmes asservis chantillonns
86
a. Fonction de transfert en p dun BOZ Le bloqueur d'ordre zro est caractris par le fait que sa sortie entre les instants
nT et (n+1)T est constante et gale s(nT)
t tnT T 2T nT
s*(t) s*(t)Bo(p)
La transmittance B (p) du bloqueur d'ordre zro est gale la transforme de Laplace de
sa rponse impulsionnelle qui a pour expression : B t u t u t T0( ) ( ) ( )
La transforme de Laplace de l'expression donne : B pe
p
Tp
0
1( )
b. Systme chantillonn muni dun bloqueur dordre zro
Soit G(p) la FT dun systme temps continu, la FT de ce mme systme mais chantillonn est:
p
pGZzzG
p
pGe
p
pGZzG
pGpBZzG
pT
)().1()(
)(.
)()(
)().()(
1
0
e-pT reprsente le retard qui se traduit dans
le plan z par z-1.
87
Thorme
Soit un procd continu modlis par une fonction de transfert Gc(p). Ce procd,
chantillonn suivant le schma de la figure , admet une fonction de transfert en z
telle que
Proprits du modle chantillonn:
Un systme linaire continu reste linaire aprs chantillonnage. Lordre du systme est conserv. Les ples du systme chantillonn se dduisent des ples du systme continu
comme suit:
o pci sont les ples du systme continu, pdi les ples du systme chantillonn et T
la priode dchantillonnage.
La priode dchantillonnage T conditionne fortement le modle du systme chantillonn.
Lchantillonnage du produit de deux fonctions de transfert nest pas gal au produit de leurs modles chantillonns respectifs. Cette dernire remarque
est trs importante. Le calcul dun systme chantillonn na de sens que sil correspond `a un transfert entre un bloqueur dordre zro et un chantillonneur 88
Remarque:
Pour dterminer G(z), on tablit la transforme inverse de , soit h(t).
Puis on discrtise le temps (t=kT) et h(t) devient h(kT).
On prend alors la transforme en z du signal h(kT), soit H(z).
On dduit G(z) en multipliant H(z) par (1-z-1) ou par
p
pG )(
z
z 1
)()()()()(
)()1( 11
zGzHkThthp
pGpG
zZkTtL
Exemple: Un systme continu du premier ordre de fonction de transfert , muni dun BOZ
et dont la sortie est chantillonne au pas T, a pour fonction de transfert en z: Tp
kpG
1)(
avec ,11
)(
1)(
1)( ;1)()1(
)1().1()(
0
0
0
1
1
T
T
T
T
Tkt
ezzz
zk
ez
ekzG
ez
z
z
zkzH
ekkThekthpp
kL
Tpp
kZzzG
En multipliant par: (1-z-1)
qui admet comme TZ:
89
Si l'on dispose de Matlab c'est bien sr encore plus simple. On utilise la fonction c2d
avec l'argument 'zoh' pour "zero holder hold" (bloqueur d'ordre zro).
Matlab
% Dfinit ion d'un systme continu :
sysc=tf (1, [1 1]) ;
% Obtention de la transforme en z du systme chantillonn Te
Te=0.1;
sysd=c2d(s ysc,Te,'zoh' ) ;
% Notat ion en z^-1
sysd.variable='z
Effets de l'chantillonnage
Le convertisseur numrique a deux effets (nfastes) importants : l'effet de retard et
l'effet de quantification.
L'effet de retard : on peut dire en premire approximation que l'chantillonnage se traduit par un retard pur de Te/2. Cela a donc, si ce temps d'chantillonnage est non
ngligeable par rapport aux constantes de temps du systme, un effet dstabilisant.
L'effet de quantification: supposons par exemple que l'on utilise un convertisseur analogique/numrique 8 bits 0-10V. Le plus petit incrment que le convertisseur peut
distinguer est de 10V/28 = 40mV. Si le signal utile varie physiquement entre 5V et
5,4V on n'aura que dix incrments utilisables... Ce phnomne n'entre pas dans la
panoplie des phnomnes modlisables par la transforme en z. En pratique il est
donc souvent ncessaire d'tudier le systme et de synthtiser la commande
numrique en ngligeant ce phnomne puis de vrifier a posteriori qu'il n'a pas un
effet trop nfaste. 90
On remarque que G(z) dpend de la priode dchantillonnage T, il est du premier ordre
comme G(p) et cela en gnral. Le ple de G(p) est p0=-1/ , le ple de G(z) est donc z0=epoT.
c. Intgrateur La fonction de transfert I(z) dun intgrateur chantillonne est:
pTi
1
2
1 1).1()(pT
ZzzIi
1
1. soit, ,
)1(.
122
zT
TI(z)
z
z
T
T
pTZ
iii
Au lieu dchantillonner un appareil analogique, On utilise un calculateur numrique
et on programme lopration qui doit raliser la mme fonction de transfert.
)(Y(z)-zY(z)soit 1
1.
)(
)(zU
T
T
zT
T
zU
zY
ii
La relation rcurrente entre y(k) et u(k) est alors:
)1()1()(ysoit )()()1( kuT
Tkykku
T
Tkyky
iid. Drivateur
z
z
T
T
zU
zYzD
kukuT
Tky
d
d
1
)(
)()(
)1( )()(
Par dfinition,
91
Les fonctions de transfert en p du domaine analogique renseignent au premier coup dil sur
le comportement statique et dynamique du systme. Donnons la fonction de transfert en z
une forme standard qui doit faire apparatre :
Les intgrations numriques m (ples z=1). Le gain k. Les retards purs (ples z=0).
)(
)(
)1()(
zD
zNz
z
kzG r
m
)(.)1(lim1
zGzk mz
g. Forme standard de la fonction de transfert
e. Drivateur filtr
La ralisation analogique est possible, lchantillonnage conduit :
pN
T
pTpG
d
d
1
)(
pN
T
TZzzG
d
d
1
)1()( 1 Soit,
dTNTezzz
zNzG
/
0
0
avec 1
.)(
f. P.I.D. numrique
0
)1(
1
1.1)(
zz
zN
zT
TKzC
i
La ralisation programm dun correcteur de type P.I.D. est donc:
92
4. Systmes chantillonns
Etude en boucle ouverte Soit un systme chantillonn en boucle ouverte
La fonction de transfert Fc(p) du procd continu et de ples i. La condition ncessaire et suffisante de stabilit est donne par :
Le systme chantillonn dont la fonction de transfert scrit et notons ces ples i. La condition ncessaire et suffisante de stabilit asymptotique est donne par :
En raison de la correspondance :
Un systme continu stable en boucle ouverte est galement stable en chantillonn.
Ceci est par ailleurs tout fait trivial. Les signaux borns restent borns quand ils sont
chantillonns et quand ils passent par un bloqueur dordre zro. La stabilit des systmes pris de faon isole nest pas alterne par lchantillonnage. Il en va autrement dans le cas des systmes chantillonns boucls.
93
Considrons la rgulation continue reprsente sur la figure. La fonction de transfert du
systme en boucle ouverte est dordre 2. Le systme est asymptotiquement stable quel que soit K >0.
Etude en boucle ferme
Considrons le mme systme dans le cas dune rgulation chantillonne
La fonction de transfert en boucle ouverte du systme chantillonn est:
94
La fonction de transfert en boucle ferme scrit alors comme suit
En appliquant le critre de Jury le systme est asymptotiquement stable si et
seulement si :
Ces conditions sont fortement conditionnes par la valeur de lchantillonnage. Par exemple pour T =1s et T =10s.
on trouve respectivement :
On constate ainsi quune augmentation de K et/ou de T conduisent a linstabilit de ce systme.
95
5. Prcision en rgime permanent:
G(z) C(z)
+
-
Yc(z) e(z) U(z) Y(z)
Les fonctions de transfert sont:
En boucle ouverte ).()()(
)(zGzC
z
zY
e
En boucle ferme .)()(1
)()(
)(
)(
zGzC
zGzC
zYc
zY
En posant: )(
)(
)1()()(
zD
zN
z
kzGzCFTBO
m
Lerreur e(z) =Yc(z)-Y(z) est donn par:
)(
)(
)1(1
)(
)()(1
)()(
zD
zN
z
k
zYc
zGzC
zYcz
m
e
96
Le thorme de la valeur finale donne: )().1(lim)(1
zzz
ee
condition que les ples de e(z) soient stables.
Comme pour les systmes analogiques, lerreur e() dpend de nombre m dintgrations.
a. Erreur statique:
1.)( )( 00
z
zEzYcEtyc
k
EEm s
1)( 0 0e
0 1 sEm
Lentre est un chelon,
b. Erreur en vitesse:
Lentre est une rampe, 2)1(
.)()( )(
z
TzazYcanTnyatty cc
)( 0 evEm
k
aTEm v )( 1 e
0)( 2 evEm
97
c. Erreur en acclration:
Lentre est un parabole,
3
2222
)1(
)1(.
2
1)(
2
1)(
2
1)(
z
zTbzYcTbnnybtty cc
aEm 0
aEm 1
k
bTEm a
2
2
Les rsultats sont comparables ceux obtenus en rgulation analogique. On observe que lerreur
en vitesse et en acclration dpendent aussi de la priode dchantillonnage.
La bonne prcision est obtenue au moyen dintgrations numriques. Il faut pour cela introduire
un ou plusieurs ples z=1 dans la boucle ouverte, au moyen dun correcteur.
98
Synthse des correcteurs numriques
Asservissement numrique dun systme continu
99
VI. Synthse: gain de rtroaction
Objectifs de la synthse: Stabilit: Le systme en boucle ferme est stable
Performance: Suivre les variations de la consigne Comportement en boucle ferme conforme un modle Rejeter les perturbations et le bruit
Robustesse: Conservation de la stabilit et des performances malgr les incertitudes sur le modle (dynamiques non modlises, non linarits, incertitudes paramtriques)
Mthodes simples pour la synthse (monovariable): Transposition de correcteurs continus Utilisation de PID Autorglage Placement de ples (lieu dEvans, retour dtat) Modle interne Mthodes algbriques (RST)
Mthodes avances pour la synthse (multivariable): Commande optimale : minimalisation dun critre quadratique sur lerreur dasservissement et la commande
Commande robuste : prise en compte optimale de bornes sur les incertitudes pour la stabilit et la performance
Commande non linaire : prise en compte de modles non linaires du systme asservir 100
Les chapitres qui suivent sont ddis la
synthse de correcteurs. Lobjectif est dobtenir par le calcul une loi de commande qui connaissant les mesures en temps rel
ralises sur le systme et les consignes
imposes par un utilisateur, agit sur les
entres du systme.
On sintresse au cas le plus simple de synthse : la synthse dun gain statique pour les systmes ayant une entre et
une sortie. Dans ce cas la loi de
commande se rsum a deux
coefficients reprsents sur le schma.
On note uk le signal de commande, yk le
signal de mesure, yck le signal de
consigne et vk =Kcyck . Partant dun procd dcrit par une fonction de
transfert G(z) on a:
Loi de commande par un gain de rtroaction
et un gain de prcommande
101
Soit G(z)=N(z)/D(z)
1. Calcul du gain de rtroaction Le gain de rtroaction K permet essentiellement dassurer la stabilit de la boucle ferme. Cest ce gain uniquement qui agit sur le dnominateur de la boucle ferme et donc sur les ples. Au del de la stabilit, lobjectif est dimposer des dynamiques. La premire spcification impose que les ples du systme boucl soient tous de
module infrieur lunit, la seconde revient imposer des contraintes plus strictes sur ces mmes ples .
a. Critres de Jury et Routh Les critres de Jury et de Routh permettent de donner des conditions pour la stabilit
des systmes la donne des coefficients du polynme caractristique. Ds lors en
appliquant ces critres au polynme D(z)+ KN(z) il est possible dcrire les conditions
sur K pour que la boucle ferme soit stable.
102
b. Lieu dEvans Dfinition Le lieu dEvans dun systme G(z)= N(z)/D(z)se dfinit comme le lieu des racines du polynme D(z)+ KN(z)pour toutes les valeurs de K.
Par dfinition le lieu dEvans reprsente lensemble des configurations possibles pour les ples de la boucle ferme. le lieu dEvans est trac laide de logiciels comme MATLAB, (rlocus).
Notations :
Le dnominateur de G(z)est donn par
les pi sont les n ples du systme.
Le numrateur de G(z)donne par
les Zi sont les m zros du systme et Kg est un gain
Pour chaque ple et zro on note :
les arguments (ou phases) reliant respectivement les ples et les zros au point z.
Mthode de construction pour Kg >0
Le lieu dEvans de G(z)est constitu de n courbes continues dans le plan complexe appeles galement branches du lieu dEvans. Globalement le lieu dEvans est symtrique par rapport a laxe rel.
Les points de dpart du lieu dEvans sont les n ples pi reprsents par une croix.
Le lieu dEvans comporte m branches qui convergent vers les zros Zi quand K devient grand.
Le lieu dEvans comporte n - m branches qui divergent asymptotiquement vers des droites caractrises par un point dintersection rel unique :
103
et qui font des angles avec laxe rel tels que :
Une portion de laxe rel appartient au lieu dEvans si le nombre de ples et zros rels a sa droite est impaire.
Les points de rencontre et d'clatement sont parmi les solutions relles de lquation:
Le lieu dEvans admet une tangente verticale en ces points.
Les points dintersection avec le cercle unit sont obtenus comme solutions (k,)de lquation complexe:
Au dpart dun ple complexe pk, le lieu dEvans a une tangente dangle
A larrive sur un zro complexe zk, le lieu dEvans a une tangente dangle :
104
Mthode de construction pour Kg < 0
Dans ce cas la construction est quasiment identique, les diffrences sont:
Angles des asymptotes aux branches infinies :
Angle au dpart dun ple complexe pk :
Angle darrive sur un zro complexe zk :
Exemple boucl par une rtroaction K.
Le lieu dEvans a les caractristiques suivantes : Il y a autant de branches que le systme G (z) contient de ples. Dans lexemple le systme est dordre 3, les trois branches reprsentent les valeurs prises par les
trois ples du systme boucl quand K croit de 0
linfinie.
le lieu dEvans est symtrique par rapport laxe rel.
105
A partir de ce trace on note qua partir de la valeur K=1,6875 les ples de la boucle ferme sortent du disque unit. On en dduit que a boucle ferme est stable
uniquement si 0 0 (ples de la boucle ouverte) et suivent une asymptote dangle de /2 quand K prend de grandes valeurs.
106
De ces constations, il est possible de faire
un choix de K en vue dassurer une rapidit globale au systme et viter de trop
grandes oscillations. Si lobjectif du choix de K est davoir un amortissement de =0,2 il est possible de choisir directement sur la
courbe la valeur de K associe.
Ceci est fait sur le zoom de la figure. Le
point slectionn est sur la courbe iso-
amortissement =0,2 . Matlab renvoie la valeur du gain K=0,848 correspondant et
indique que la pulsation propre non amortie
associe est de 2,07rad/s (en ayant fait le
choix de T=1s pour la priode des
chantillons).
107
3. Calcul du gain de prcommande
Un gain de rtroaction K tant choisi, le gain de prcommande Kc est utilis pour
rgler le gain statique du systme en rponse la consigne.
Dfinition Le gain statique dun systme est la valeur linfini de la sortie du systme en rponse un chelon unit. Il caractrise galement le rapport entre lentre et la sortie quand le systme est lquilibre.
Thorme Le gain statique dun systme dcrit par sa fonction de transfert F(z)est donn par :
Preuve Soit lchelon unit
Y(z)=F(z)U(z). Daprs le thorme de la valeur finale la sortie du systme converge
la rponse du systme a cet chelon est
Ce qui daprs la dfinition correspond au gain statique.
108
le gain de prcommande permet de rgler le gain statique de la boucle en rponse
la consigne. En effet, la rponse du systme rgul pour un signal de consigne yc
scrit
et son gain statique est donn par la limite quand z tend vers 1 est atteinte ds
lors que le systme est asymptotiquement stable.
On souhaite gnralement rgler ce gain statique lunit. Ainsi, quand lutilisateur envoie une consigne constante, yck = yco, le systme, stable par le choix de K,
converge vers la valeur de consigne,
Pour assurer un gain statique unitaire on prend :
109
La synthse de correcteurs numriques par extension de correcteurs analogiques est
une approche couramment utilise dans le domaine industriel. Cela sexplique par le fait que les techniques dtude des systmes continus sont gnralement bien maitrises et que les spcifications sont plus facilement interprtables sur des modles
continus que sur des modles chantillonns.
Transposition des mthodes analogiques
On sintresse dabord des mthodes relevant de la discrtisation directe dun correcteur analogique calcule a partir du modle continu du
procd commander. On examine ensuite des
mthodes de synthse dans lesquelles le
correcteur est conu partir dun modle prenant en compte de manire approche lexistence du bloqueur en amont du procd. On examine
ensuite de manire dtalle la discrtisation du
correcteur analogique le plus rpandu, le
rgulateur P.I.D.
110
VII. Transposition des correcteurs analogiques
111
Principe: 1. Synthse dun correcteur continu 2. Le correcteur numrique est obtenu par approximation de la fonction de transfert
du correcteur continu laide dquations aux diffrences de diffrentes manires : Echantillonnage-blocage Approximation dEuler (diffrence vers larrire) Approximation dEuler (diffrence vers lavant) Transformation bilinaire (ou homographique)
112
113
114
La fonction c2d de Matlab permet d'obtenir l'quivalent discret d'une fonction de
transfert continue avec la mthode d'intgration comme argument :
Matlab
sysc=tf ( [1 0], [1 2 5]) ;
Te=0.1;
% Mthode d'euler :
sysd1=c2d(s ysc,Te,'zoh' ) ;
% Mthode des trapzes :
sysd2=c2d(sysc,Te,' foh' ) ;
% Mthode bilinaire :
sysd3=c2d(s ysc,Te,' tustin' ) ;
115
Conclusions: 1. La mthode sappuie sur les rsultats dune synthse de correcteur analogique sur la base du modle du systme qui est galement continu.
2. La synthse ne prend pas en compte le bloqueur et le dphasage introduit par
celui-ci dans la boucle dasservissement. 3. Les performances du correcteur numriques seront au mieux celles du correcteur
analogique.
4. Les performances du correcteur numrique se rapprocheront dautant plus de celles du correcteur analogique que la priode dchantillonnage est petite.
Prise en compte du bloqueur
116
Les mthodes prsentes dans le paragraphe prcdent ne prennent pas en compte
la prsence dans la boucle du bloqueur dordre zro. on note quelle suppose que Rd(z) sera une approximation de Rc(p) et devrait donc satisfaire la boucle ralise
avec un operateur Gd(z) dont le comportement serait trs proche de G(p). Dans cette
logique cela revient a ignorer le comportement du bloqueur, B(p). Ceci peut devenir
trs prjudiciable si lchantillonnage T et lev car dans ce cas le comportement de Z[Bo(p)G(p)] se distingue fortement de celui de G(p).
A- Approximation du bloqueur par un retard pur
Dans ce cas, la fonction de transfert du procd est choisie gale :
Ce qui revient faire lapproximation le bloquer dordre zro comme un retard pur dune demie priode dchantillonnage et de tenir compte de cette approximation lors du calcul initial de R(p).
Les courbes de rponses en frquence de la fonction de transfert
Exemple
sont reprsentes sur la figure suivante. Sur la mme figure sont reprsentes
galement les courbes de rponse frquentielle de G(p). On remarquera que le
gain en amplitude est identique, mais que le retard pur introduit un dphasage
aux hautes frquences (le dphasage diverge pour w croissant)
Rponses (correcteur tenant compte du bloqueur)
Diagramme de Bode de G(p) et
On calcule pour un rseau
correcteur par avance de p
qui conduit une marge de phase de
Par la mthode de Tustin, la discrtisation de
ce correcteur donne :
La rponse du systme chantillonn
utilisant ce correcteur est donne sur la
figure.
117
B- Transformation en w Lide est de faire la synthse partir du modle exact Z[Bo(p)G(p)] . Cependant, la synthse utilise les techniques des systmes continu au travers de lastuce purement mathmatique de la transformation en w.
Principe: 1. La transmittance chantillonne du systme ouvert avec le bloqueur est
calcule (fonction de transfert en z ).
2. Une transformation bilinaire (transformation en w ) est applique cette
transmittance chantillonne pour obtenir une fonction transfert continue du
systme ouvert avec bloqueur.
3. Une synthse de correcteur analogique est ralise sur cette fonction de
transfert continue.
4. Une transformation bilinaire est applique au correcteur analogique
synthtis pour obtenir le correcteur numrique.
118
119
120
17. PID numriques
Le rgulateur P.I.D. est trs rpandu dans le domaine industriel. Il constitue loutil standard de la commande de nombreux procds industriels. Conue initialement
en technologie analogique (hydraulique, pneumatique, lectronique,...),
il a t transpos en numrique pour pouvoir tre implant sur calculateur. Cette
transposition nest rien dautre que lapplication de la mthode de discrtisation
121
122
123
124
125
VIII. Synthse de correcteurs Numriques
On distingue 4 tapes dans la mise en place d'un asservissement numrique.
1. Le choix du pas d'chantillonnage sur lequel seront rgls : le calculateur, le BOZ et
lchantillonneur. Une fois choisie, on peut calculer la fonction de transfert du processus numrise.
2. Le choix du modle numrique (fonction de transfert en z) atteindre en boucle
ferme aprs correction.
3. On en dduit le correcteur ncessaire.
4. On programme le calculateur pour qu'il ralise la correction calcule prcdemment
afin qu'il labore la commande.
Si, par nature, un correcteur numrique est plus lent (car cadenc par la priode
d'chantillonnage) qu'un correcteur analogique, ses avantages sont les suivants :
certaines corrections numriques sont impossible raliser en analogique, par sa capacit mmoriser des signaux, la correction de systmes a retard est
plus aise,
la flexibilit de la programmation permet de raliser des corrections trs simple, facilement rglables voire auto-ajustables (rglage automatique du correcteur).
1. Principe Le calculateur va calculer une commande en fonction de la consigne et de la sortie
numrise du systme. Le principe est de presque tout faire en numrique.
Approches numriques Correcteur avec modle interne Commande RST Reprsentation dtat numrique
2. Correcteur avec modle interne
Rtroaction de lcart entre le systme et un modle
Hypothse de systme stable
Modle Gm(z) Si le correcteur est stable le systme boucl est stable
126
Equivalence avec un correcteur srie si modle parfait : Gm(z) = G(z)
Dcomposition Gm(z) = GI (z)GNI (z) avec
GI (z) partie inversible
GNI (z) partie non inversible (retards + zros non compensables)
a. Synthse du correcteur avec modle interne
127
Si la frquence de coupure de Q(z) est suffisamment petite alors:
Le systme boucl est stable L'erreur de position est nulle Les perturbations constantes sont rejetes
b. Rgles standards pour la synthse du correcteur
128
129
La commande u(k) tient compte
des valeurs prcdentes u(k -1); u(k-2); . de la commande envoye afin de doser progressivement les efforts.
des rsultats obtenus en sortie : y(k); y(k -1); de la trajectoire de consigne : yc(k); yc(k -1); ... La commande peut donc s'crire, dans le cas gnral :
3. Correcteurs RST
Dterminer le correcteur, c'est dterminer les polynmes T(z), R(z) et S(z).
A. structure classique Le plus souvent, on a T(z) = S(z) et la structure du correcteur devient plus
classique. Le correcteur C(z) est introduit entre le calcul de l'erreur (y(k) - yc(k)) et
la commande u(k). Par rapport la structure prcdente, on a C(z) = S(z)/R(z)
130
Structure classique d'asservissement numrique
Dmarche en boucle ouverte
La dmarche est d'obtenir une fonction de transfert en boucle ouverte (produit de
G(z) et de C(z)) qui ait les proprits requises pour avoir un bon asservissement en
boucle ferme. Ces proprits sont :
C(z)G(z) doit avoir les intgrateurs ncessaires (1 si on veut une erreur en position nulle, 2 pour avoir une erreur de vitesse nulle, . . . )
le gain est rgl pour contrler l'amortissement C(z) doit avoir les zros ncessaires pour rduire les temps de rponse.
Dmarche en boucle ferme
On se fixe la fonction de transfert obtenir en boucle ferme (Hm(z) = Bm/Am).
On en dduit le correcteur mettre pour y parvenir.
Le plus souvent, on choisit, comme fonction de transfert en BF on choisit
l'un des deux modles suivant :
131
1. une fonction de transfert de gain unit qui permet d'annuler l'erreur en quelques (n)
coups :
2. un second ordre d'amortissement rglable et de gain unit.
Contraintes sur le correcteur
Le correcteur doit tre ralisable. En particulier, le degr de son dnominateur doit tre suprieur au degr de son numrateur,
Le systme doit tre stable en boucle ferme, Le correcteur ne doit pas compenser un zro du systme corriger de module suprieur 1 par un ple instable.
En plaant le zro du systme corriger en dehors du cercle unit.
Les trois types de processus corriger
Processus de type P1 ce sont les plus faciles corriger car ils ne prsentent
pas de zro de module > 1 (tous les zros sont stables) et ils vrifient :
deg(dnominateur) 1 deg(numrateur) deg(dnominateur) Processus de type P2 ils n'ont que des zros stables et vrifient
deg(dnominateur) - deg(numrateur) 2 Processus de type P3 ce sont les processus qui ont des zros instables
(de Module > 1)
132
B. Rgulation de processus de type P1
La consigne est en chelon
Soit G(z) la fonction de transfert du systme commander. On adoptera, une
dmarche en boucle ouverte. Comme la consigne est en chelon,
la fonction de transfert en BO doit avoir un intgrateur pour obtenir une erreur statique
nulle. On choisit le correcteur C(z) tel que :
La fonction de transfert en boucle ferme devient :
Le gain est de 1 (pas d'erreur statique), le systme est stable pour 0 < K < 2.
Pour K = 1, la fonction de transfert en BF est H(z) = z-1 cest--dire que la sortie y(k) du systme vrifie y(k) = e(k-1). La sortie du systme est l'entre retarde d'un pas
dchantillonnage.
La consigne est en rampe
Pour avoir une erreur statique nulle, il faut 2 intgrateurs dans la boucle ouverte.
La premire ide serait de choisir le correcteur C(z) tel que :
133
O H(z) serait la fonction de transfert en BF. Un simple calcul des ples montre que
ce systme serait instable. Pour amliorer la stabilit, on choisit d'introduire un zro
au numrateur, ce qui est quivalent introduire une avance partielle.
Le calcul de la fonction de transfert en BF donne cette fois :
Un cas particulier se prsente pour : K = 2 et z0 = 0,5. Pour ces valeurs, on a
C'est aussi un cas de rponse pile puisque par la forme de H(z), on a forcment une
rponse finie en 2 pas d'chantillonnage. Pour s'en convaincre, on peut calculer la
sortie une entre en rampe unit : e(k) = k. La transforme inverse de S(z) = H(z).E(z)
donne :
Ce qui donne pour s(k) :
la sortie rejoint l'entre pour k = 2.
134
C. Rgulation de processus de type P2 Le principe reste identique la rgulation prcdente mais la fonction de
transfert en BF obtenir doit comporter les retards ncessaires la faisabilit
du correcteur.
Exemple
Si on dsire obtenir une fonction de transfert H(z) du second ordre en BF, celle ci doit
comporter un retard d'un pas pour que le correcteur soit ralisable.
cette fonction de transfert est de second ordre, a un retard 1 et est de gain 1
(pas d'erreur statique). D'o le correcteur :
est tel que le degr de son numrateur est gal celui de son dnominateur.
D. Regulation de processus de type P1 ou P2 avec retard
Certains systmes prsentent des retards intrinsques entre l'entre et la sortie.
Leur fonction de transfert peut scrire :
135
o F(z) est une fonction de transfert sans retard et n est le nombre de pas
dchantillonnage qui forme le retard. (on suppose ici que le retard est un nombre entier de pas dchantillonnage). La mthode dans ce cas est de calculer le correcteur ncessaire sur le systme sans retard, puis on en dduit le correcteur
appliquer rellement.
On adopte une dmarche en BF. Soit H(z) la fonction de transfert que l'on souhaite
obtenir aprs correction. H(z) prsente naturellement le mme retard que le systme
en BO : H(z) = H(z). z-n. On calcule le correcteur C0(z) qui permettrait d'obtenir H0(z) en ne considrant que F(z),
On peut montrer que pour obtenir H(z) partir de G(z), il faut le correcteur C(z) :
E. Rgulateurs RST Ces correcteurs permettent de raliser un asservissement d'un processus de type P3.
D'une structure plus complexe que la structure classique, ces rgulateurs sont aussi
plus souples. Le calcul de ces correcteurs peut se faire automatiquement par un
logiciel.
136
Principe: Synthse d'un correcteur d'aprs un cahier des charges Sparation des performances statiques pour :
La rgulation (rponse aux perturbations) La poursuite (rponse aux changements de consigne)
Domaine frquentiel : permettre un placement de ples Sparation du bloc correcteur en trois parties R, S, T
Les objectifs dynamiques et statiques donnent un jeu dquations diophantiennes
schma bloc standard
137
Fonctions de transfert
138
Phase I - comportement dynamique
Objectif : calculer une loi de commande type RST qui confre au systme boucl une
FT dsire :
Par identification:
Compensation des ples / zros dans la fonction de transfert du premier membre
Factorisation de la FT du systme :
obligatoirement les ples de zros extrieurs (ou sur) le cercle unit.
contiennent les termes compenser
139
A0 quelconque, en pratique : monique, stable, filtrage
Choix des ples et zros a compenser
Pourquoi compenser des ples ou zros stables
140
Phase II - rgulation Annulation de l'erreur permanente vis--vis d'une perturbation
Modle interne : la perturbation doit tre modlis dans le correcteur
Perturbations polynomiales
141
Perturbations sinusodales
142
F. Phase III -poursuite
Erreur d'ordre n > 0 : consigne polynomiale
Erreur permanente vis-a-vis de la consigne
143
Consigne sinusodale
Forme gnrale pour la poursuite : quation diophantienne auxiliaire
Lp depend de la nature de la consigne
144
Rsum de la construction du systme
145
Rsolution d'une quation diophantienne
146
Exemple de synthse Onduleur dcouplage : pilote par modulation de largeur d'impulsion (MLI / PWM) a
frquence fixe suivi d'
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