Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Induktive Statistik
• Einleitung
• Stichproben
• Stichprobenverteilungen
• Bestimmung von Vertrauensbereichen
• Statistische Prüfverfahren
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Einleitung
Beispiel für induktive StatistikNeues Medikament
• Warum sollen die Konsumenten es kaufen? Weil es hübscher verpackt ist?
• Wie beweist man, dass es besser ist als die schon vorhandenen Medikamente?
• Wie ist ein solcher Test manipulierbar?
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Stichproben
Grundgesamtheit: Alle möglichen Ergebnisse des Versuchs
Stichprobe: Die n Ergebnisse eines tatsächlich durchgeführten Versuchs
z.B. Ziehen aus einer UrneGrundgesamtheit: alle KugelnStichprobe die Kugel, die ich ziehe
Unendlich viele Versuche: Stichprobe = Grundgesamtheit
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Begriff ‚Stichprobe‘
Kommt aus der Metall gewinnenden Industrie und dem Warenhandel
Kleiner Teil der Schmelzmasse wurde dem Schmelzofen entnommen um die Qualität der Schmelzmasse zu prüfen
Rückschluss von der Probe auf die gesamte Schmelzmasse (die Grundgesamtheit)
Auch im Warenhandel (Käse, Getreide, etc.)
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel (1)
Bestimmung der Größe der Studenten Vermessungswesen eines bestimmten Jahres
N=20 Personen
Einfachste Möglichkeit: Alle 20 abmessen Erwartungswert und Varianz der Grund-gesamtheit
i xi i xi
1 188 11 170
2 183 12 187
3 183 13 177
4 185 14 178
5 178 15 180
6 198 16 182
7 163 17 189
8 164 18 173
9 174 19 176
10 185 20 177
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel (2)
Aber: Es ist uns zu aufwändig, also wählen wir n=5 Studenten und messen deren Größe Stichprobe
Wir wollen nun von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen
Anzahl der möglichen Stichproben:
504.155
20,
!!
!
nNn
N
n
N
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel (3)
Ausgangspunkt: Die 5 Studenten wurden zufällig ausgewählt Mittelwert ist eine Zufallsgröße
Mittelwert hat also eine Wahrscheinlich-keitsverteilung (Stichprobenverteilung)
Zentraler Grenzwertsatz Stichproben-verteilung ist die Normalverteilung
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Stichprobenverteilung des arithmetischen Mittels
Ab etwa n=30 normalverteilt
• Erwartungswert:
• Standardabweichung:
X
nX
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Stichprobenverteilung der Standardabweichung
Voraussetzung: Normalverteilung der Grundgesamtheit
Es folgt: Normalverteilung für die Stich-probenverteilung der Standardabweichung S für n
• Erwartungswert:
• Standardabweichung:
S
nS 2
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Stichprobenverteilung der Differenz zweier Standardabweichungen
Voraussetzung: Normalverteilung der Grundgesamtheiten, große Stichproben(n > 100)
Es folgt: Normalverteilung für die Stich-probenverteilung der Differenz der Standardabweichungen DS=S1-S2
• Erwartungswert:
• Standardabweichung:
21 SD
nnSD 22
22
21
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Vertrauensbereiche
Mittelwert s und Standardabweichung s sind Punktschätzwerte für und
Keine Information über Zuverlässigkeit oder Genauigkeit (keine Angaben über Abweichung vom wahren Wert)
Abhilfe: Vertrauensbereiche (Vertrauens-, Konfidenzintervall)
Mit Stichprobendaten berechnetes IntervallÜberdeckt den wahren Wert mit vorgegebener
Wahrscheinlichkeit S
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Vertrauensbereich für Mittelwertbei bekanntem (1)
Normalverteilte Grundgesamtheit
Stichprobe liefert x1, … xn
Standardabweichung aus Erfahrung
Vertrauensbereich mit P(mu<m<mo) = S
Mit u untere und o obere Vertrauens-grenze
Normierte Normalverteilung: P(-us<<+us) = S
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Vertrauensbereich für Mittelwertbei bekanntem (2)
us: -Quantil: Stichprobenfunktion
Also:
Einfache Umformungen:
Grenzen:
21
nX
Mittelwert der Stichprobe
SunX
uP ss
Sn
uXn
uXP ss
nuX
nuX sosu
,
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel Streckenmessung
x=130,100m =4,0cm n=4 S=0,95
Tabelle im Skriptum: us=1,96
P(130,061m<<130,139m)=0,95
oder:
95,0,9,3100,130 Scmmn
ux s
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Vertrauensbereich für Mittelwertbei unbekanntem (1)
Normalverteilte Grundgesamtheit
Stichprobe liefert x1, … xn
Standardabweichung nur Schätzwert
Vertrauensbereich für die normierte Normalverteilung: P(-tS<t<+tS) = Smit der Stichprobenfunktion
ns
Xt
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Vertrauensbereich für Mittelwertbei unbekanntem (2)
Also:
Einfache Umformungen:
Grenzen:
Vertrauensbereich:
Stns
XtP
SS
Sn
stX
n
stXP SS
n
stX
n
stX SoSu ,
n
stX S
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel Streckenmessung
x=130,100m s=4,0cm n=4 S=0,95
Tabelle im Skriptum: tS=3,18 (k=4-1=3)
P(130,036m<<130,164m)=0,95
oder:
95,0,4,6100,130 Scmmn
stx S
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Vertrauensbereich für die Standardabweichung (1)
Normalverteilte Grundgesamtheit
Stichprobe liefert x1, … xn
Standardabweichung
Vertrauensbereich mit P(u<<o) = S‘‘
Mit u untere und o obere Vertrauens-grenze
n
ii xx
ns
1
2
1
1
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Vertrauensbereich für die Standardabweichung (2)
Ausgangspunkt:
Dichtefunktion der Standardabweichung ist die 2-Verteilung, kann geschrieben werden als
S2: Zufallsgröße „Varianz der Stichprobe“k: Anzahl der Freiheitsgrade
''2
Sqk
qP uu
2
2
2
222
212
SkT
n
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Vertrauensbereich für die Standardabweichung (3)
Wenn nicht wahre Fehler sondern Verbesserungen v:
k=n, wenn der wahre Wert bekannt, sonst k=n-1
Es folgt
und
Also:
2
2
2
222
212
Skvvv T
n
vv
''SqS
qP ou
''SSqSqP ou
SqSq oouu ,
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel Streckenmessung
s=4,0cm n=4 S=0,95
Tabelle im Skriptum:
qu=0,57, qo=3,73 (k=4-1=3)
quS=0,574,0cm=2,3cm
qoS=3,734,0cm=14,9cm
oder: P(2,3cm<<14,9cm)=0,95
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Vertrauensbereich für beliebige Ausgleichungsaufgaben (1)
Formeln für Mittelwert bei unbekannter Standardabweichung auch auf Ausgleichungsaufgaben anwendbar
Mittel gleich ausgeglichenen Unbekannten oder Messwerten
Standardabweichung des Mittels gleich Standardabweichung der Unbekannten oder Messwerten
Freiheitsgrade k gleich Anzahl der überschüssigen Messungen
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Vertrauensbereich für beliebige Ausgleichungsaufgaben (2)
Beliebiges Ergebnis (Unbekannte oder Messwert) G mit Standardabweichung mG
mittS aus der Tabelle für 2-seitige Sicherheitqu, qo als abgeleitete Sicherheitsgrenzen
GoGuGS mqmqbzwmtG ;.
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Vertrauensbereich für beliebige Ausgleichungsaufgaben (3)
Vertrauensbereich im Allgemeinen aussagekräftiger als Standardabweichung
Standardabweichung selbst nur Schätzwert für wahren Wert
Standardabweichung nicht mit Wahrscheinlichkeit verbunden
Bei geringer Redundanz oft nur unzureichende Beschreibung
Vertrauensbereich immer mit Wahrscheinlich-keitsaussage verbunden deutlicher und zutreffender
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Statistische Prüfverfahren (1)
Statistischer Test stellt fest, ob die Daten einer Stichprobe mit einer Hypothese übereinstimmen
Zu testende Behauptung: Nullhypothese
z.B. Gleiche Mittelwerte – H0: 1=2
Stichprobenfunktion wird gewählt – liefert Sicherheitsgrenzen
Berechnung einer PrüfgrößeVergleich Prüfgröße – Sicherheitsgrenze
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Statistische Prüfverfahren (2)
Prüfgröße innerhalb der Sicherheitsgrenzen (Annahmebereich): Hypothese wird angenommen
Prüfgröße außerhalb der Sicherheitsgrenzen (Ablehnungsbereich): Hypothese wird abgelehnt
Sicherheitswahrscheinlichkeit (Signifikanzniveau) üblicherweise 95% (selten 99% - hochsignifikant)
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Vorsicht!
• Annahme einer Hypothese bedeutet, dass die Stichprobe nicht gegen die Hypothese spricht
• Annahme bedeutet NICHT, dass die Hypothese zu 95% richtig ist
• Ablehnung bedeutet, dass die Prüfgröße in einem Bereich liegt, in dem sie bei richtiger Hypothese nur zu 5% liegen würde
• Ablehnung bedeutet NICHT, dass die Hypothese zu 95% falsch ist
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Fehler bei Tests
• Fehler erster Art: Ablehnung einer richtigen Hypothese (Wahrscheinlichkeit dafür 5% bzw. 1%)
• Fehler zweiter Art: Annahme einer falschen Hypothese (Angabe einer Wahrscheinlichkeit nicht möglich)
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Praktische Durchführung
1. Formulierung der Fragestellung2. Aufstellen der Hypothese3. Wählen der Stichprobenfunktion und
Berechnen der Prüfgröße4. Entnahme der Sicherheitsgrenzen aus
der entsprechenden Tabelle5. Entscheidung über Annahme oder
Ablehnung und Beantwortung der Fragestellung
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Test von bei bekanntem
Hat die Grundgesamtheit einen bestimmten (vorgegebenen) Mittelwert?
Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert 0, also
Stichprobenfunktion
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze aus Tabelle
Vergleich
00 : H
nX
0
n
xu
0
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel Refraktionskoeffizient
x=0,15 s=0,03 n=10
Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert 0=0,13 also
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze aus Tabelle uS=1,96
2,11>1,96 Hypothese abgelehnt, es muss 0,15 verwendet werden
13,0: 00 H11,210
03,0
13,015,00
nx
u
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Test von bei unbekanntem
Hat die Grundgesamtheit einen bestimmten (vorgegebenen) Mittelwert?
Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert 0, also
Stichprobenfunktion
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze aus Tabelle
Vergleich
00 : H
nS
Xt 0
ns
xt 0ˆ
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel Polarplanimeter
x=9,97mm2 s=0,015 n=4 k=3 0=10mm2
Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert 0=10 also
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze aus Tabelle bei k=3 tS=3,18
4,00>3,18 Hypothese abgelehnt, es muss 9,97 verwendet werden
200 00,10: mmH
00,44015,0
00,1097,9ˆ 0
ns
xt
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Test von 1 und 2 bei bekanntem 1 und 2
Haben die beiden Grundgesamtheiten denselben Mittelwert?
Hypothese: Grundgesamtheit haben denselben Mittelwert, also
Stichprobenfunktionmit
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze und Vergleich
210 : H
d
XX
21'''
21
211
212
2
22
1
21
nn
nn
nnd
21221
212
'''nn
nn
xxu
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel Senkungserscheinungen
x‘ = 32,120m s1=8mm n1=6
x‘‘= 32,113m s2=5mm n2=4
Hypothese: Grundgesamtheiten haben gleichen Mittelwert, also
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze aus Tabelle uS=1,96
1,71<1,96 Hypothese angenommen, keine signifikanten Senkungen
210 : H71,146
5684
321133212022
u
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Test von 1 und 2 bei unbekanntem 1 und 2 (1)
Haben die beiden Grundgesamtheiten denselben Mittelwert?
Hypothese: Grundgesamtheit haben denselben Mittelwert, also
Stichprobenfunktionmitmit dem gewogenen Mittel der Varianzen als Varianz Grundgesamtheit
210 : H
dS
XXt 21'''
21
21
21
222
211
21
21
2
2
1
2
)1()1(
)1()1(
nn
nn
nn
SnSn
nn
nnS
n
S
n
SSd
)1()1(
)1()1(
21
222
2112
nn
SnSnS
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Test von 1 und 2 bei unbekanntem 1 und 2 (2)
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze mit k=n1+n2-2 Freiheitsgraden
Vergleich
21
21
21
221
212
1111
'''ˆ
nnnn
nnSnSn
xxt
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel Bauwerksbewegungen
x‘ =50,630m n1=26 u1=18 s02=0,26mgon Qxx=3,00
x‘‘=50,636m n2=34 u1=21 s02=0,22mgon Qxx=2,53
Hypothese: Grundgesamtheiten haben gleichen Mittelwert, also
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze aus Tabelle tS=2,08
1,08<2,08 Hypothese angenommen, keine signifikanten Bewegungen
210 : H
08,1
53,200,3138
)22,0(13)26,0(8
6,50630,5063ˆ22
22
t
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Test einer Standardabweichung (1)
Hat die Grundgesamtheit eine bestimmte (vorgegebene) Standardabweichung?
Hypothese: Grundgesamtheit hat Standardabweichung 0, also
Stichprobenfunktion
Prüfgröße
00 : H
20
22
kS
20
22ˆ
ks
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Test einer Standardabweichung (2)
Sicherheitsgrenze aus Tabelle, dabei Entscheidung, ob– Test gegen Alternativhypothese >0
(einseitige Fragestellung): S2 oder
– Test gegen Alternativhypothese 0
(zweiseitige Fragestellung): qu und qo
abgeleitete Prüfgröße:
Vergleich
s
kp 0
2ˆˆ
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel Nivellement (einseitig)
s=3,8mm k=8 0=2,5mm
Hypothese: Grundgesamtheit hat 0=2,5mm, also
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze aus Tabelle S2=15,5
18,5>15,5 Hypothese abgelehnt, erreichte Genauigkeit ist geringer
5,2:0 H
5,185,2
8,38ˆ
20
22
ks
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel Stationsausgleich (zweiseitig)
s=0,1mgon k=44 0=0,14mgon
Hypothese: Grundgesamtheit hat 0=0,14mgon, also
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze aus Tabelle qu=0,85, qo=1,22
1,4>1,22 Hypothese abgelehnt, erreichte Genauigkeit ist zu hoch
14,0:0 H
4,110,0
14,0ˆ 0
sp
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Test zweier Standardabweichungen
Haben die beiden Grundgesamtheiten dieselbe Standardabweichung?
Hypothese: Grundgesamtheit haben gleiche Standardabw., also
Stichprobenfunktion
Prüfgröße (s12>s2
2)
Sicherheitsgrenze mit k1/k2 aus Tabelle
Vergleich (Alternativ: 1>2)
210 : H
22
21
S
SF
22
21ˆ
s
sF
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel Messgenauigkeit
s1=0,39mgon s2=0,27mgon k1=20 k2=15
Hypothese: Messungen gleich genau, also
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze aus Tabelle FS=2,33
2,09<2,33 Hypothese angenommen, beide Geräte gleich genau
210 : H
09,227,0
39,0ˆ2
2
22
21
s
sF
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Test mehrerer Standard-abweichungen (Cochran-Test)
Haben alle Grundgesamtheiten dieselbe Standardabweichung?
Hypothese: Grundgesamtheiten haben die gleiche Standardabw., also
Stichprobenfunktion
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze aus Tabelle
Vergleich
mH 210 :
222
21
2max
maxmSSS
SG
22
221
2max
maxˆ
msss
sG
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel Messgenauigkeit
8 Messungen mit je 10 übersch. Beob. 0,42, 0,41, 0,36, 0,39, 0,42, 0,52, 0,40, 0,38
Hypothese: Messungen gleich genau, also
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze GmaxS=0,283
0,283>0,196 Hypothese angenommen, keine Änderung der Genauigkeit
8210 : H
196,038,041,042,0
52,0ˆ222
2
max
G
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Cochran-Test
Besonders gut geeignet, wenn eine Standardabweichung wesentlich größer als die anderen
Auch verwendbar, wenn Anzahl der Freiheitsgrade nur nahezu gleich
Größere Unterschiede bei den Freiheits-graden: Bartlett-Test
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Test eines Korrelationskoeffizienten
Ist der Korrelationskoeffizient gleich Null?
Hypothese: Korrelationskoeffizient gleich Null, also
Stichprobenfunktion
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze aus Tabelle
Vergleich
0:0 XYH
21
2
XY
XY
R
nRt
21
2ˆ
xy
xy
r
nrt
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel trig. Höhenmessungen
15 Messungen nach 2 Punkten Verbesserungen
Hypothese: Keine Korrelation, also
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze tS=2,17
2,57>2,17 Hypothese abgelehnt
0:0 XYH 57,2
581,01
13581,0
1
2ˆ
22
xy
xy
r
nrt
581,0
yyxx
yxxy vvvv
vvr
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Test eines extremen Merkmals (Ausreißertest)
Ist ein Wert ein Ausreißer?
Hypothese: Wert gehört zur Grundgesamt-heit, also
Stichprobenfunktion
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze aus Tabelle
Vergleich
),(.),(: minmax0 NxbzwNxH
'.
'minmax
S
XXbzw
S
XX
'.
'ˆ minmax
s
xxbzw
s
xx
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel Winkelmessung
6 Winkelmessungen, ein extremer Wert
Hypothese: Extremer Wert gehört zu selben Grundgesamtheit, also
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze S=2,00
2,04>2,00 Hypothese abgelehnt, Wert ist ein Ausreißer und somit zu streichen
,: max0 NxH
04,2294,0
1,27,2
'ˆ max
s
xx
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Test auf Normalverteilung
Ist die Stichprobe normalverteilt?
Hypothese: Stichprobe gehört zu einer normalverteilten Grundgesamtheit, also
Stichprobenfunktion
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze aus Tabelle
Vergleich
),,()(: 2000 xxFH
r
m m
mm
np
npH
1
22
r
m m
mm
np
nph
1
22̂
Anzahl Klassen
theoret. abs. Häufigkeit
empirische absolute Häufigkeit
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Beispiel Winkelmessung
270 Verbesserungen für ein Netz
Hypothese: Verbesserungen sind normal-verteilt, also
Prüfgröße
Sicherheitsgrenze S2=14,1
10,5<14,1 Hypothese angenommen, Verteilung der Werte widerspricht nicht der Annahme der Normalverteilung
20 )194,0(,006,0,)(: mgonmgonxxFH
49,10ˆ 2
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
Zusammenfassung
• Statistische Tests prüfen Hypothesen mittels Stichproben
• Bei statistischen Tests können 2 Arten von Fehlern passieren:– Ablehnung einer richtigen Hypothese (1. Art)– Annahme einer falschen Hypothese (2. Art)
• Für typische Testsituationen gibt es Standardverfahren
Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil
ENDE
• A1 ist hier zu Ende
• Was fehlt noch? (Stoff von A2)– Umgang mit groben Fehlern– Festlegung des geodätischen Datums– Qualitätsangaben über Unbekannte hinaus– Komplexere Anwendungen
(Deformationsanalyse, Geostatistik etc.)
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