Mestrado Integrado em Engenharia Informatica e Computacao 2014 - 20153a Folha de Exercıcios
ANALISE MATEMATICA 13.10.2014 a 17.10.2014
1 Primitivacao imediata ou por decomposicao
1. Calcule os integrais
(a)∫ √
exdx
(b)∫
cotxln (sinx)
dx
(c)∫
5√4−9x2dx
(d)∫
31+x
· 6√− ln (1 + x)dx
2. Calcule uma primitiva das seguintes funcoes
(a) 5√x·cos2 (
√x)
(b) 3√6+9x2dx
(c) (9x2 − 4)−1/2
(d) 5xx2−4
3. Considere a funcao x1+x4
(a) Determine as suas primitivas
(b) Determine a primitiva que se anula quando x = 0
(c) Qual a primitiva que tende para 1 quando x � ∞ ?
4. Determine a primitiva das seguintes funcoes
(a) cos2 x
(b) cos 3x · cos 5x
(c) 4x3−x√9−x4
2 Primitivacao por partes
1. Calcule os seguintes integrais
(a)∫ex · cos (x)dx
(b)∫arcsin xdx
(c)∫x arcsin 1
xdx
Rui Ribeiro 2014-15 1
(d)∫
1(x2+1)2
dx Sugestao: some e subtraia x2 ao numerador
2. Deduza a formula de recorrencia da primitiva da funcao cosn x,∨n ∈ N
3 Solucao de alguns problemas
Exercıcio 1
1. .a) 2
√ex + C b) ln (ln (sinx)) +K
c) 53· arcsin (3x
2) + C d) −18
7· (− ln (x+ 1))7/6
2. .a) 10 · tan (
√x) +K b) arcsh( 3x√
6) + C
c) 13· arch(3x
2) + C d) 5
2· ln (x2 − 4) + C
3. .a) 1/2 · arctanx2 + C b) 1/2 · arctanx2 b) 1/2 · arctanx2 + 4−π
4
4. .a) 1/2 · (x+ 1
2sin(2x)) + C b) sin (8x)
16+ sin (2x)
4+ C
c) −2√9− x4 − 1/2 · arcsin x2
3+ C
Exercıcio 2
1. .a) 1/2 · ex(sinx+ cosx) b) x · arcsinx+
√1 + x2 + C
c) x2
2arcsin 1
x+
√x2−12
+ C d) 1/2 · arctanx+ x2(x2+1)
+ C
2.∫cosn xdx = 1
nsinx cosn−1 (x) + n−1
n
∫cosn−2 (x)dx
Rui Ribeiro 2014-15 2