Balançosintegrais
Balançointegraldemassa
• TeoremadeTransporte:
• ψ:grandezaporunidadedevolume
• Vs:volumequalquer
• Ss:super:ciequelimitaVs
• vs:velocidadedeSs
€
ddt
ψdVVs∫ =
∂ψ∂tVs∫ dV + ψ vsSs∫ •ndS
• Aidéiadobalançointegraléaplicaroproncípiodeconservaçãoemumvolumeconveniente,emgeralchamadodeVolumedecontrole(VC),Vs=VC.Paraconservaçãodemassa,ψ=ρ:
€
ddt
ρdVVC∫ =
∂ρ∂tVC∫ dV
difícil de avaliar
+ ρ vsSC∫ •ndS ≠ 0( ) (1)
Integrando a eq. continuidade :∂ρ∂t
+ divρ v
VC∫ dV = 0
⇒∂ρ∂tVC∫ dV = − divρ v( )
VC∫ dV = − ρ vvel. abs.do fluido na SC
SC∫ •ndS
Substituindo em (1) :ddt
ρdVVC∫ = − ρ v− vs( )
vel. relativado fluido na SC
SC∫ •ndS
ouddt
ρdVVC∫
taxa de variação de massa no VC
+ ρ v− vs( )SC∫ •ndSfluxo líquido de massaatravés da SC (sai-entra)
= 0
• Paraescoamentoturbulento,trabalhamoscomamédiadasvariáveisnotempo.Assim:
€
ψ = ρ
∂ρ∂t
+ divρ v = 0 :
ddt
ρdVVC∫ = − ρ v − ρ vSC( )SC∫ •ndS
Exemplo• Reservatóriodeumacidade• Deseja‐sedeterminarofluxovolumétriconaentradatalqueovolumemínimonoreservatóriosejasuficientepara3dias,eotamanhonecessáriodoreservatório.
BalançoIntegraldeMomentum
• ψ=ρv
• Combinandoa1aLeideCauchyeaconZnuidadetem‐se:
€
ddt
ρ vdVVC∫ =
∂ ρ v( )∂tVC∫ dV + ρ vvsSC∫ •ndS
€
∂∂t
ρ v( ) + div ρ v⊗ v( ) = divT+ ρ f
⇒∂∂t
ρ v( ) + div ρ v⊗ v( ) − divT− ρ f
VC∫ dV = 0
• Mas
€
div ρ v⊗ v( )[ ]VC∫ dV = ρ v v•n( )dS
SC∫divT[ ]
VC∫ dV = T•n( )dSSC∫
⇒∂∂t
ρ v( )
VC∫ dV = − ρ v v•n( )dSSC∫ + T•n( )dS
SC∫ + ρ f dSVC∫
Então a 1a equação da pag. anterior fica :ddt
ρ vdVVC∫
Taxa variação QM no VC
+ ρ v v− vsc( ) •ndSSC∫
QM que sai menos QM que entra no VC
= T•n( )dSSC∫
Forças de contato agindosobre o VC: Fs
+ ρ f dS
VC∫Forças externas agindo sobre o VC
3possibilidadesparaFs:• Fsdesprezível• Éaincógnitaaserdeterminada• ÉdesconhecidoedeveserdeterminadoaparZrdedadosexperimentais:correlaçãoempírica(introduzerros/aproximaçõesnasolução)
• Paraescoamentosturbulentos:
• ExemplodeFs:escoamentolaminaremtornodeumaesfera– Fstemqueserindiferenteaoreferencial– OteoremadosπdeBuckinghaméuZlizado
€
ddt
ρ vdVVC∫ + ρv⊗ v − ρv⊗ vsc( ) •ndS
SC∫ = T•n( )dSSC∫ + ρ f dSVC∫
€
F = h v∞− v0 ,R,ρ,µ( )
CD =F
12ρ v∞− v0
2πR2( )
= f (Re)
Exemplo:BalançoIntegraldeMomentum
Calcularaforçasobreabancadadafigura
BalançoIntegraldeEnergiaMecânica
• Oprimeirotermodadireitaédi:cildeavaliar.Paraeliminá‐lo,procede‐sedaseguintemaneira:€
ψ =12ρ v• v =
12ρv 2
ddt
12ρv 2dV
VC∫ =∂∂t12ρv 2
VC∫ dV +12ρv 2 vsSC∫ •ndS
€
v• ρd vdt
− divT− ρ f
= 0 (1)
v• ρ d vdt
=12ddt
12v 2
=
ddt
12ρv 2
−
12v 2 dρ
dt
=ddt
12ρv 2
+
12ρv 2div v
=∂∂t
12ρv 2
+ v•grad
12ρv 2
+
12ρv 2div v
⇒ v• ρ d vdt
=∂∂t
12ρv 2
+ div
12ρv 2 v
Em (1), e integrando no VC :∂∂t
12ρv 2
= − div 1
2ρv 2 v
VC∫VC∫ dV + vdivT+ ρ v• f( )dVVC∫
= −12ρv 2
SC∫ v•ndS + vdivT+ ρ v• f( )dVVC∫ (2)
• Alémdisso:
€
v• divTdV = v•TndSSC∫VC∫ + Pdiv vdV − tr τgrad v( )dV
VC∫VC∫
Sefpuderserescritocomogradφ(porexemplonocasodeforçagravitacional:
€
ρ v• f dVVC∫ = −
ddt
ρϕdVVC∫ − ρϕ v− vs( ) •ndS
SC∫
• Combinandoasequaçõesacimaearrumandoostermos:
€
Pdiv vdV + v•τ ndS − tr τgrad v( )dV =VC∫SC∫VC∫
ddt
ρ12v 2 +ϕ
VC∫ dV + ρ12v 2 +ϕ +
Pρ
SC∫ v− vs( ) •ndS + P vs•nSC∫ dS
• Introduzindoumapressãodereferênciap0:
€
P − p0( )div vdVen. mecânica dissipada por efeito de compressibilidade (=0, se ρ =cte)
+ v•τ ndS
trabalho das forçasviscosas
− tr τgrad v( )dVVC∫
≡ε ...en. mecânica dissipada porefeito viscoso
SC∫VC∫ = P − p0( )vs•nSC∫trabalho da pressão sobre a SC
dS
ddt
ρ12v 2 +ϕ
VC∫ dV
taxa de variação da en. mecânica dentro do VC
+ ρ12v 2 +ϕ
fluxo en. mecânica
+P − p0
ρtrabalho fluxo
SC∫ v− vs( ) •ndS
Obs.:• Sen//vemtodosospontosdaSCcomfluxodemassanãonulo,otrabalhodasforçasviscosasénulo• εéobZdodecorrelaçõesempíricas(usandoindiferençaaoref.eoTeoπ)• Paraescoamentoturbulentoaeq.éidênZca(usandovaloresmédios),comotermodetrabalhodasforçasviscosascorrigido,adicionandoumatensãoturbulentaτT
Exemplo:BalançoIntegraldeEnergia
• Determinaraenergiamecânicadissipadapeloefeitoviscoso,sabendoqueadiferençadepressãomedidaentreospontos1e2valedP
Top Related