Sinais e Sistemas
Conceitos de Sinais e Sistemas;
Representação de Sinais e Sistemas;
Tipos de Sinais:
Sinais contínuos no tempo;
Sinais discretos no tempo;
Sinais Periódicos e Não periódicos, Determinísticos e Aleatórios
Sinais Digitais;
Energia e Potência de Um Sinal;
Transformação da Variável Independente;
Funções Impulso unitário e Degrau unitário.
1
SINAIS E SISTEMAS – IMPORTÂNCIA
O estudo de sinais e sistemas é assunto
básico para a Engenharia Eletrônica em todos
os níveis e com diversas aplicações;
Serve como base para outras sub-áreas da
Engenharia Elétrica como: PDS, Sistemas de
Comunicações e Sistemas de Automação e
Controle.
2
1. Conceitos de Sinais e Sistemas
O que é um Sinal ?
“ Um sinal é fortemente definido como uma função de
uma ou mais variáveis, a qual se veicula informações
sobre a natureza de um fenômeno físico”.
Haykin, pg 22.
“ Sinais são representados matematicamente como
funções de uma ou mais variáveis independentes”.
Oppenheim, pg 3.
3
1. Conceitos de Sinais e Sistemas
Conclusão: Um Sinal é . . .
“ Uma função matemática que representa algum
fenômeno físico. Esta função possui uma ou
mais variáveis independentes.”
SINAL UNIDIMENSIONAL - Ex: Sinal da Fala. SINAL MULTIDIMENSIONAL - Ex: Imagem.
4
1. Conceitos de Sinais e Sistemas
Exemplos de Sinais:
Sinal de Voz: relaciona tempo x amplitude
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
5
1. Conceitos de Sinais e Sistemas
Exemplos de Sinais:
Imagem Raio-x: posição x intensidade
6
1. Conceitos de Sinais e Sistemas
Exemplos de Sinais:
Imagem Nível de Cinza: posição x
intensidade
7
1. Conceitos de Sinais e Sistemas
Exemplos de Sinais:
Temperatura do Ar: tempo x temperatura
0 5 10 15 20 25 30-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
8
1. Conceitos de Sinais e Sistemas
O que é um Sistema ?
“Um sistema é fortemente definido como uma entidade
que manipula um ou mais Sinais para realizar uma
função, produzindo, assim, novos sinais.”
Haykin, pg. 22
“Um Sistema pode visualizado como um processo em
que Sinais de entrada são transformados pelo Sistema,
resultando em outros Sinais de saída.”
Oppenheim, pg 38.
9
1. Conceitos de Sinais e Sistemas
Conclusão: Um Sistema é . . .
“ Um modelo matemático que transforma um ou mais
Sinais de entrada em um ou mais Sinais de saída.”
“ Um Sistema pode ser representado por Sinais de
entrada xn(t), por Sinais de saída ym(t) e por uma
transformação ou operador H.”
H xn(t) ym(t)
10
1. Conceitos de Sinais e Sistemas
Os Tipos de Sistemas mais comuns são:
Circuitos Elétricos
Sistemas de Comunicação
Sistemas de voz
Sistemas de Controle
etc ...
11
1. Sinais e Sistemas – Dia a Dia!!!
Os sinais, de uma forma ou de outra, constituem um
ingrediente básico de nossa vida diária!!!
Sinais da Fala, Sinais Visuais (Imagens ou Objetos);
INTERNET - transmitem sinais de informações de
interesse geral, publicidade, jogos, etc...
Batimentos Cardíacos, Pressão Sanguínea, Temperatura
- transmitem sinais/informações que auxiliam em
diagnósticos médicos;
Previsão do Tempo - temperatura, umidade, velocidade e
direção dos ventos permitem prevenir situações de risco.
12
1. Sistema de Comunicação
Existem 3 elementos básicos num Sistema de
Comunicação: o transmissor, o canal e o receptor
Transmissor
Sinal de Mensagem Sinal Transmitido
Canal
Sinal Recebido
Receptor
Estimativa do Sinal da Mensagem
Ruídos ou Perturbações Reconstruir o sinal
13
2. Sistema de Controle
Existem 02 aspectos importantes a serem observados num
Sistema de Controle: a resposta e a robustez.
Entrada Saída
Sinal de erro
Sinal de Realimentação F.T de Realimentação
Planta
SISO
14
2. Representação de Sinais e Sistemas
Os Sinais podem ser representados por
funções, visualizados graficamente.
Veremos que dependendo do tipo de Sinal
que temos no tempo teremos uma
representação diferente.
15
2. Representação de Sinais e Sistemas
Os Sistemas podem ser representados por
diagramas em blocos (como vimos anteriormente)
ou por modelos matemáticos.
Da mesma forma que os sinais, os sistemas,
dependendo dos tipos de sinais envolvidos, podem
ser representados de maneira diferente. Estas
representações serão vistas na segunda parte.
16
3. Classificação dos Sinais
Sinais de Tempo Contínuo e Discreto;
Sinais Pares e Ímpares;
Sinais Periódicos e Não Periódicos;
Sinais Determinísticos e Aleatórios;
Sinais de Energia e Potência.
17
3. Sinais Contínuos no Tempo
Um Sinal é Contínuo no Tempo se estiver definido para
todo o tempo, ou seja, t é uma variável contínua.
A amplitude do sinal pode ou não variar com o tempo.
18
3. Sinais Contínuos no Tempo
Um Sinal Contínuo tem a seguinte forma:
19
3. Sinais Contínuos no Tempo
Os Sinais Contínuos no Tempo possuem uma
símbologia particular onde o tempo é representado
por parênteses, ou seja:
x(t)
t
20
4. Sinais Discretos no Tempo
Os Sinais Discretos no Tempo estão definidos apenas em
instantes de tempos fixos (números inteiros).
Um sinal x[n] é um sinal discreto no tempo, se é definido
em instantes isolados de n;
A variável que representa o tempo, neste caso, tem somente
valores discretos, os quais são uniformemente espaçados;
Normalmente, é derivado de um sinal de tempo contínuo
fazendo-se uma amostragem do mesmo a uma taxa
uniforme. 21
4. Sinais Discretos no Tempo
A forma de um sinal discreto é:
22
4. Sinais Discretos no Tempo
Os Sinais Discretos no Tempo também possuem uma
representação particular onde temos um eixo do
tempo sendo discreto representado por colchetes:
x[n]
n 23
4. Sinais Discretos no Tempo
Podemos discretizar o sinal contínuo abaixo. Pegando seu valor em vários tempos específicos iguais. Esses tempos são chamados de Tempo de Amostragem T.
T
24
4. Sinais Discretos no Tempo
O Sinal discretizado resultante será:
T
25
Exercícios
Identifique os seguintes sinais como contínuos e discretos
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2.5 3 3.5 4 4.5 5
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-60
-40
-20
0
20
40
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
10
20
30
40
50
60
70
1
2
3
4
26
CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS
Sinal Par
Diz-se que um sinal de tempo contínuo x(t) ou discreto
x[n] é um sinal Par se ele satisfizer a seguinte condição:
x(-t) = x(t) para todo t.
x[-n] = x[n] para todo n.
Em outras palavras, os sinais pares são simétricos em
relação ao eixo vertical ou origem de tempo;
27
CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS
Exemplos de Sinais Pares
28
CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS
Sinal Ímpar
Diz-se que um sinal de tempo contínuo x(t) ou discreto x[n]
é um sinal Ímpar se ele satisfizer a seguinte condição:
x(-t) = -x(t) para todo t.
x[-n] = -x[n] para todo n.
Em outras palavras, os sinais ímpares são assimétricos em relação à origem de tempo;
29
CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS
Exemplos de Sinais Ímpares
30
CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS
Ex1: Faça os gráficos dos componentes pares e ímpares dos sinais
mostrados a seguir.
)()(2
1xe txtx )()(
2
1xo txtx
31
CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS
Ex2: Faça os gráficos dos componentes pares e ímpares dos
sinais mostrados a seguir.
][][2
1xe nxnx ][][
2
1xo nxnx
32
5. Sinais Periódicos Contínuos
Matematicamente, um sinal x(t) contínuo é
periódico se satisfaz a seguinte condição para todo
t, com T sendo constante positiva:
Sinais periódicos são Sinais que se repetem com o
passar do tempo.
Ttxtx
33
5. Sinais Periódicos Contínuos
O Menor Intervalo de repetição de um sinal periódico é o
Período T (medido em Segundos). É número de vezes que o sinal
se repete em 1 segundo é chamado freqüência f.
A relação entre f e T é:
A Freqüência é medida em Hz (fórmula acima) ou em radianos
por segundo (fórmula abaixo).
Tf
1
T
2Frequência angular:
34
5. Sinais Periódicos Contínuos
Exemplos de Sinais Periódicos Contínuos, perceba o intervalo de
repetição:
35
5. Sinais Periódicos Discretos
De forma análoga, um sinal x[n] discreto é
periódico se satisfaz a seguinte condição para todo
n com N sendo inteiro positivo constante:
Nnxnx
36
5. Sinais Periódicos Discretos
Também definimos a freqüência e o período como:
O Menor valor do número inteiro N é o Período.
A freqüência, para os sinais periódicos discretos é
medida em radianos e definida como:
N
2
37
5. Sinais Periódicos Discretos
Exemplo de Sinais Periódicos Discretos
38
6. Sinais Não Periódicos Contínuos e Discretos
Os sinais que não satisfazem as condições de periodicidade
são sinais não periódicos. Exemplos:
39
7. Sinais Determinísticos
23
2cos3
njejnx
ttx
Sinais Determinísticos e Aleatórios
Um sinal determinístico é um sinal sobre o qual não existe nenhuma incerteza com respeito a seu valor em qualquer tempo.
Podem ser modelados por uma função de tempo t conhecida.
Ex:
40
8. Sinais Aleatórios
Um sinal aleatório é um sinal que assume valores aleatórios em
qualquer tempo dado e devem ser analisados por modelos
probabilísticos (estatisticamente).
No nosso curso não estudaremos estes sinais!!!
Um exemplo clássico de sinal aleatório é o ruído.
41
9. Sinais Digitais
Os sinais digitais são sinais que assumem um número finito de
valores. E estão definidos para um número, também finito de
valores de tempo.
Em outras palavras, um sinal digital possui amplitude discreta e
valores de tempo discreto. Ver Exemplo:
42
9. Sinais Digitais, Quantizados e Discretos
Iremos identificar as diferenças fundamentais entre estes três tipos
de sinais.
Primeiramente, veremos um
Sinal analógico, este possui:
• Tempo Contínuo
• Amplitude Contínua
43
9. Sinais Digitais, Quantizados e Discretos
Sinal Digital
Este seria o Sinal Digital
onde temos:
• Tempo Discreto
• Amplitude Discreta
44
9. Sinais Digitais, Quantizados e Discretos
Sinal Discreto
O Sinal Discreto
onde temos:
• Tempo Discreto
• Amplitude Contínua
45
9. Sinais Digitais, Quantizados e Discretos
Sinal Quantizado
O Sinal Quantizado
onde temos:
• Tempo Contínuo
• Amplitude Discreta
46
10. Energia e Potência de Sinais
Energia e Potência média associam uma função
constante para cada sinal, o seu cálculo é realizado
por integrais impróprias.
A Energia para Sinais Contínuos e Discretos é:
2/
2/
2lim
T
TT
dttxE
Sinal Contínuo
2
nxE
Sinal Discreto
47
10. Energia e Potência de Sinais
Quando temos sinais periódicos a Integral anterior possui
resultado infinito, portanto a Energia é infinita.
OBS: Isso ocorre, também, com sinais aleatórios.
Para esses casos, definimos a Potência média, que é obtida,
para Sinais Contínuos e Discretos por:
dttxT
P
T
T
2/
2/
21
Sinal Contínuo
T é o período
1
0
21N
n
nxN
P
Sinal Discreto N é o período
48
10. Energia e Potência de Sinais
ATENÇÃO: Quando temos sinais não periódicos devemos
calcular a potência através da fórmula:
dttxT
P
T
TT
2/
2/
21lim
Sinal Contínuo
N
NnN
nxN
P2
12
1lim
Sinal Discreto
49
10. Energia e Potência de Sinais
Sinais de Energia e Potência Um sinal é chamado de Sinal de Energia se e somente se, a energia
total do sinal satisfizer a condição:
Um sinal é chamado de Sinal de Potência se e somente se, a
potência média do sinal satisfizer a condição:
Sinal de Energia Potência Média Zero. ◦ Ex: Sinais Determinísticos e Não-Periódicos.
Sinal de Potência Energia Infinita. ◦ Ex: Sinais Periódicos e Aleatórios.
E0
P0
50
10. Energia e Potência de Sinais
• Ex1) Determine se os seguinte sinal é de energia, de
potência ou nenhum dos dois.
•
0a ),()( tuetx at
adtedttx at
2
1)(E
- 0
22
Sinal de Energia
51
11. Transformações da Variável
Os Sinais podem ser manipulados com
algumas operações em suas variáveis.
Em um Sinal possuímos: Variáveis
Independentes e Variáveis Dependentes.
52
11. Transformações da Variável Independente
Para o Sinal x(t) = sin(2t) temos que:
x(t) : variável dependente
t : variável independente
-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x(t)
t
53
11. Transformações na Variável
Para realizarmos operações na variável dependente
temos que operar com x(t) e;
Para realizarmos operações na variável
independente temos que operar com t. De forma
análoga, se o sinal for discreto devemos operar n.
A seguir verificaremos as operações mais usuais.
54
11. Transformações da Variável Dependente
Operações na variável dependente: x(t) e x[n]
Multiplicação por escalar: consiste em aumentar ou
diminuir o tamanho do sinal. Esta operação é
definida como:
txa nxa
Para x(t) contínuo Para x[n] discreto
55
11. Transformações da Variável Dependente
Operações na variável dependente: x(t) e x[n]
Adição e Multiplicação: consiste na soma ou multiplicação
de, usualmente, dois sinais. Estas operações são definidas
como:
txtx 21
Para x(t) contínuo Para x[n] discreto
txtx 21
nxnx 21
nxnx 21
56
11. Transformações da Variável Dependente
Operações na variável dependente: x(t)
Diferenciação e Integração: consiste em derivar ou integrar
o sinal em questão. Essa operação é definida como:
Derivada
txdt
d
Integral
dttx
57
11. Transformações da Variável Dependente
Exercício 1 (Schaum)
58
11. Transformações da Variável Dependente
Exercício – Solução (1.4 – Schaum)
59
11. Transformações da Variável Dependente
Exercício 2 (Prova 2008)
Considerando os sinais de tempo contínuo x1(t) e x2(t), mostrados nas
figuras abaixo, realize a seguinte operação de transformação de variáveis:
60
a) x1(t)+x2(t)
11. Transformações da Variável Independente
Operações na variável independente: t e n
Multiplicação por escalar: consiste na expansão (0 < a < 1)
ou compressão (a >1) do eixo do tempo, para sinais
contínuos. Para sinais discretos usamos valores inteiros.
atx knx
Para x(t) contínuo
0 < a < 1 expansão
a >1 contração
Para x[n] discreto
k é inteiro
61
11. Transformações da Variável Independente
1. Mudança de Escala de Tempo
Seja x(t) um sinal de tempo contínuo. O sinal y(t) é obtido pela
mudança de escala da variável independente, tempo t, por um
fator a.
Se a > 1 : y(t) é uma versão comprimida de x(t);
Se 0 < a < 1 : y(t) é uma versão expandida (estendida) de x(t).
)()( atxty
62
11. Transformações da Variável Independente
Exercício (Multiplicação por escalar) – Sinal Discreto
Seja x[n] um sinal de tempo discreto. O sinal y[n] é obtido pela
mudança de escala da variável independente, tempo n, por um
fator a=2: y[n] = x[2n]
63
Operações na variável independente: t e n
Deslocamento: consiste em deslocar o eixo t para a direita
se temos -a ou para a esquerda se temos +a. Para sinais
discretos usamos valores inteiros positivos e negativos. Esta
operação e definida por:
atx
atx
knx
knx
Para x(t) contínuo
-a desl. Direita
+a desl. Esquerda
Para x[n] discreto
-k desl. Direita
+k desl. Esquerda 64
11. Transformações da Variável Independente
Método Prático: Considere o sinal x(t) queremos x(t+2)
-2 -1 0 1 2 3 t(ant)
x(t)
65
11. Transformações da Variável Independente
Método Prático: Considere o sinal x(t) queremos x(t+2)
-2 -1 0 1 2 3 t(novo)
x(t+2)
t(novo)= t(ant)-2
-2 -1 0 1 2 3 t(ant)
x(t)
66
11. Transformações da Variável Independente
Método Prático: Conclusão
Operação Novo Gráfico, como calcular t x(t+2) t(novo)= t(ant)-2
x(t+3) t(novo)= t(ant)-3
x(t-2) t(novo)= t(ant)+2
x(t-3) t(novo)= t(ant)+3
Portanto
x(operação) t(novo)= t(ant)operação inversa
67
11. Transformações da Variável Independente
Deslocamento no Tempo
to é o deslocamento de tempo.
Se to > 0, x(t) é deslocada intacta para a direita.
Se to < 0, x(t) é deslocada para a esquerda.
)()( 0ttxty
68
11. Transformações da Variável Independente
11. Transformações da Variável Independente
Exercício (Deslocamento) Seja x[n] um sinal de tempo discreto dado pela expressão abaixo.
Encontre o sinal y[n] = x[n +3]
69
2n0,n, 0
21,n, 1
1,2n, 1
][nx
5n,1n,3-n, 0
54,n, 1
21,n, 1
][ny
Operações na variável independente: t e n
Reflexão: simetria ou espelho de t ou n. É definida
por:
tx nx
Para x(t) contínuo Para x[n] discreto
70
11. Transformações da Variável Independente
11. Transformações da Variável Independente
2. Reflexão
Ex.: Considere o pulso triangular x(t) abaixo. Encontre a
versão refletida de x(t) em relação ao eixo da amplitude.
21 T t e T- t para ,0)( tx
21 T- t e T t para ,0)( ty
71
Regras das Operações:
Quando as operações ocorrerem simultaneamente,
devemos fazer as execuções na ordem abaixo:
1º Deslocamento no Tempo;
2º Reflexão;
3º Compressão ou Expansão.
72
11. Transformações da Variável Independente
Ex1: Um sinal de tempo discreto x[n] é mostrado a seguir.
Faça o gráfico do seguinte sinal:
a) x[-n+2].
73
11. Transformações da Variável Independente
Ex2: Um sinal de tempo contínuo x(t) é mostrado a seguir.
Faça o gráfico de cada um dos seguintes sinais:
a) x(t -2); d) x(-t)
b) x(2t). e) x(-2t+2)
c) x(t/2)
74
11. Transformações da Variável Independente
Ex3: Um sinal de tempo discreto x[n] é mostrado a seguir.
Faça o gráfico de cada um dos seguintes sinais:
a) x[n -2] d) x[-n+2]
b) x[2n] e) x[-2n-2]
c) x[-n]
75
11. Transformações da Variável Independente
SINAIS ELEMENTARES
Há diversos sinais elementares que se destacam no estudo de sinais e sistemas;
Servem como blocos de construção para a construção de sinais mais complexos;
Podem ser usados para modelar muitos sinais físicos que ocorrem na natureza;
Sinais exponenciais e senoidais, a função degrau, a função impulso e a função rampa.
76
12. Função Degrau Unitário
Os tipos de Função Degrau Unitário são:
Função Degrau Unitário de Tempo Discreto;
Função Degrau Unitário de Tempo Contínuo.
77
SINAIS ELEMENTARES
Função Degrau Unitário
• A função degrau unitária u(t) é definida como:
• Observe que ela é descontínua em t = 0 e que o valor em t = 0 é
indefinido.
0 t0
0 t1)(0 tu
78
SINAIS ELEMENTARES
Função Degrau Unitário
• A função degrau unitária deslocada u(t-to) é
definida como
0
0
0t t0
t t1)( ttu
79
Função Degrau Unitário de Tempo Discreto
A função degrau unitário (Discreta) e seu gráfico
são:
0 ,1
0 ,0
n
nnu
80
SINAIS ELEMENTARES
Função Degrau Unitário de Tempo Contínuo
A função degrau unitário (Contínua) e seu gráfico
são:
0 ,1
0 ,0
t
ttu
81
SINAIS ELEMENTARES
13. Função Impulso Unitário
Os tipos de Função Impulso Unitário são:
Função Impulso Unitário de Tempo Discreto;
Função Impulso Unitário de Tempo Contínuo.
82
Função Impulso Unitário de Tempo Discreto
A definição desta função e o seu gráfico são:
0 ,1
0 ,0
n
nn
83
SINAIS ELEMENTARES
Função Impulso Unitário de Tempo Contínuo
A definição desta função e o seu gráfico são:
1
0 0
dtt
tt
84
SINAIS ELEMENTARES
SINAIS ELEMENTARES
Função Impulso Unitário
• A função impulso unitário δ(t) é conhecida como a
função delta de Dirac, tem um papel central na
análise de sistemas.
85
SINAIS ELEMENTARES
Função Rampa Unitária
• A função rampa unitária, é definida como
0 t0
0 t)(1
ttu
86
SINAIS ELEMENTARES
Sinais Exponenciais Complexos
O sinal complexo é um exemplo importante de um
sinal complexo.
• O sinal x(t) é periódico com período
tjetx 0)(
tjsentetx oo
tj cos)( 0
Parte Real Parte Imaginária
o
T
20
87
SINAIS ELEMENTARES
• Sinais Exponenciais Complexos
Sinal senoidal exponencialmente
crescente.
Sinal senoidal exponencialmente
decrescente.
88
SINAIS ELEMENTARES
Sinais Exponenciais Reais
Observe que se um número real. Então x(t) se reduz a
um sinal real exponencial
s
tetx )(
Exponencial crescente. σ>0 Exponencial decrescente. σ<0
89
SINAIS ELEMENTARES
Sinais Senoidais Um sinal senoidal de tempo contínuo pode ser expresso
como
)cos()( 0 tAtx
Amplitude real Freqüência (rad/s)
Ângulo (rad)
90
SINAIS ELEMENTARES
Sinais Senoidais
o
T
20
0
0
1
Tf
Período Fundamental
Freqüência Fundamental (Hz)
00 2 f Freqüência Angular Fundamental (Hz)
91
SINAIS ELEMENTARES
Ex1) Um sinal de tempo contínuo x(t) é mostrado abaixo. Faça
o gráfico de cada um dos seguintes sinais:
a) x(t)u(1-t)
1 t0
1 t1)1( tu
92
SINAIS ELEMENTARES
b) x(t)[u(t) - u(t-1)]
contrário aso 0
1 t0 1)1()(
ctutu
93
FIM – PARTE 01
Sinais e Sistemas - Aulas
94
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