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Transferência de Calor emSuperfícies Estendidas:

Aletas

Universidade Federal de AlfenasInstituto de Química

Professor: Adriano Aguiar Mendes

� Superfície estendida écomumente usado paradescrever um caso especialimportante envolvendo atransferência de calor porcondução no interior de umsólido e a transferência decalor por convecção (e/ouradiação) nas fronteiras dosólido.

� Em uma superfícieestendida, a direção datransferência de calor nasfronteiras é perpendicular àdireção principal datransferência de calor dosólido.

Transferência de Calor

Aletas� Existem várias situações diferentes que envolvem os

efeitos combinados de condução/convecção, aaplicação mais frequente é aquela na qual umasuperfície estendida é usada especificamente paraaumentar a taxa de transferência de calor entre umsólido e um fluído adjacente. Tal superfície estendida échamada de aleta.

� Objetivo do uso de aletas é aumentar a taxa detransferência de calor.

� Aletas são superfícies que estendem a partir dasuperfície de um objeto, de modo a aumentar a taxade transferência de calor para o ambiente (ou vice-versa) através do aumento da convecção.

Aletas

Como aumentar a taxa de transferência de calor?

1 – Aumentando o gradiente de temperatura. 2 – Aumentando o coeficiente de convecção. 3 – Reduzir a resistência.3 – Aumentando a área de contato.

Aletas: Aplicações� Para resfriar motores a combustão (Radiadores).

� Transformadores de potência elétrica.

� Motores elétricos.

� Trocadores de calor com tubos aletados.

Aletas: Aplicações

Aletas: Configurações

Aleta plana comseção transversaluniforme.

Aleta plana comseção transversalnão-uniforme.

Aleta anular Aleta piniforme

Equações de TC com Aletas

Lei de Conservação de Energia

Equação de Fourier: e

VCacumuladaVCgerada

conv

SCsai

cond

SCsai

cond

SCentra EEEEE =+−−00

0=−− conv

SCsai

cond

SCsai

cond

SCentra EEE

0=−− + convdxxx qqq

dx

dTkAq trx −= dx

dx

dqqxq x

dxx +=+

dxdx

dTA

dx

dk

dx

dTkAq trtrdxx

−−=+

Condução de calor:Lei de Conservação de EnergiaConvecção de calor:

� Substituindo as equações, tem-se:

( ) 0... =−−

∞TTdxPhdx

dx

dTAk

dx

dtr

ou

( ) ( )∞−= TTdxPhqconv ...

( ) 0...2

2

=−− ∞TTPhdx

TdAk tr

Equação Geral de Transferência de Calor em superfícies estendidas (aletas)

( ) 0.

.2

2

=−− ∞TTAk

Ph

dx

Td

tr


� Simplificando a equação anterior, tem-se:

� Onde m é o coeficiente da aleta (m-1).

02

2

2

=− θθ

mdx

d

trkA

hPm ≡2

( ) ( ) ∞−≡ TT xxθ

trkA

hPm =


� A expressão anterior é uma equação diferencial linearordinária de segunda ordem, cuja solução geral é:

� Em que: C1 e C2 são constantes para seremdeterminadas através das condições de contornoapropriadas.

� Aplicando CC na equação de segunda ordem:

x=0; T=TS

mxmx eCeCTT −∞ +=− 21

Lei de Conservação de EnergiaCaso A: Barra infinitamente longa.

∞−∞∞ +==− mm eCeCTT 210

� Neste caso, sua temperatura se aproxima datemperatura do fluido quando x T, ou T=TS em x T.Substituindo essa condição na equação anterior, tem:

� Como o segundo termo da equação acima é zero, acondição de contorno é satisfeita apenas se C1=0.Substituindo C1 por 0, na equação acima, tem-se:

� A distribuição de temperatura é:

∞−= TTC s2

∞−∞∞ −=− m

S eTTTT )(


� Como o calor transferido por condução através da baseda aleta deve ser transferido por convecção dasuperfície para o fluido, tem-se:

� Substituindo a equação anterior na equação acima ederivando para x=0, tem-se:

0=

−=x

traletadx

dTkAq

( ) ( )[ ] ( )

−−−=−−−= ∞=

−∞ TT

kA

hPkAeTTmkAq S

tr

trx

m

Straleta 0

0...

( )∞−= TThPkAq Straleta

Lei de Conservação de EnergiaCaso B: Barra de comprimento finito, com perda de calorpela extremidade desprezível.

ml

S

e

TTC

211+−

= ∞

� Neste caso, a 2° CC irá requerer que o gradiente detemperatura em x=L seja igual a zero, ou seja,dT/dx=0 em x=L. Com estas condições:

� Substituindo as CC na equação anterior, tem-se:

ml

S

e

TTC

221 −

∞

+−

=

( )

++

+−=− −

−

∞∞ ml

mx

ml

mx

SSe

e

e

eTTTT

22 11.

Lei de Conservação de Energia� Considerando que o cosh é definido como� Neste caso, a equação anterior pode ser escrita em uma

forma adimensional simplificada :

� A transferência de calor pode ser obtida através daequação abaixo, substituindo o gradiente detemperatura na base:

( )( )ml

xlm

TT

TT

S cosh

cosh −=

−−

∞

∞

( ) 2cosh xx eex −+=

( ) ( )

+−

−=

+

++

−= −

−

∞−∞=

mlml

mlml

SmlmlS

x ee

eemTT

eemTT

dx

dT.

1

1

1

1.

22

0

( ) ( )mltghmTTdx

dTS

x

.0

∞=

−=

Lei de Conservação de Energia� O calor transferido, na unidade de tempo, é então:

( ) ( )mltghTThPkAq Straleta ∞−=

Caso C: Barra de comprimento finito, com perda de calorpela extremidade.

� Neste caso, a álgebra envolvida é algo maiscomplicado, entretanto o princípio é o mesmo e o fluxode calor transferido é:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+

+−= ∞

mlsenhmkhml

mlmkhmlsenh

TThPkAq Straletacosh

cosh

Tipos de Aletas

� Aletas com secção transversal retangular.Considerando que a aleta tem espessura b e largura e(espessura pequena em relação à largura), ocoeficiente da aleta m pode ser calculado assim :

trkA

hPm =

twA

wtwP

tr .

.2.2.2

=

≅+=

kwt

whm

2=

kt

hm

2=

Tipos de Aletas

� Aletas com secção transversal não-retangular. Ocálculo do coeficiente m pode ser feito de modo similarao caso anterior, considerando uma área transversalmédia.

Tipos de Aletas

� Aletas curvas. Depende da direção do escoamento dofluido externo, pois as aletas não devem prejudicar ocoeficiente de película, ou seja, não podem provocarestagnação do fluido.

trkA

hPm =

( )erA

rrP

tr ...2

..4..2.2

πππ

=

≅≅

erk

hrm

...2.

...4

ππ

=ke

hm

2=

Tipos de Aletas

� Aletas piniformes. O coeficiente da aleta m pode sercalculado assim:

trkA

hPm =

2.

..2

rA

rP

tr π

π

=

=

2..

..2.

rk

rhm

ππ

=kr

hm

2=

Eficiência das Aletas

� Considerando uma superfície-base sobre a qual estãofixadas aletas de seção transversal uniforme. As aletastem espessura e, altura l e largura b. A superfície baseestá na temperatura TS maior que a temperaturaambiente T∞.


� O fluxo de calor total transferido através da superfíciecom as aletas é igual ao fluxo transferido pela áreaexposta das aletas (AA) mais o fluxo transferido pelaárea exposta da superfície base (AB):

� A diferença de temperatura para a área das aletas (T? -T∞) é desconhecida. A temperatura TS é da base daaleta, pois à medida que a aleta perde calor, a suatemperatura diminui, ou seja, AA não trabalha com omesmo potencial térmico em relação ao fluido.

aletaBT qqq +=( )∞−= TThAq SBB

( )∞−= TThAq Aaleta ?


� Por este motivo qA, calculado com o potencial (TS–T∞),deve ser corrigido, multiplicando este valor pelaeficiência da aleta (η). A eficiência da aleta pode serdefinida assim:

� Portanto:

SA TatemperaturnaestivesseAsetrocadoseriaquecalor

aletapelatrocadorealmentecalor=η

( )∞−=

TThA

q

SA

aletaη


� O fluxo de calor em uma aleta cuja troca de calor pelaextremidade é desprezível é obtido através da equaçãoabaixo, obtida anteriormente:

� Igualando as duas equações para o fluxo de calor, tem-se:

� Isolando a eficiência da aleta, obtém-se:

( ) ( )mltghTThPkAq Straleta ∞−=

( ) ( ) ( )mltghTThPkATTAh StrSA ∞∞ −=− η..

( )mltghAh

hPkA

A

tr

.=η

( )∞−=

TThA

q

SA

aletaη

Eficiência das Aletas� A área de troca de calor da aleta pode ser aproximada

para:

� Substituindo a equação acima na equação anterior,obtém-se:

� O coeficiente da aleta (m) pode ser introduzido naequação acima para dar a expressão final da eficiênciada aleta:

( ) ( ) ( )

lkA

Ph

lmthgmltgh

hPl

kAmltgh

lPh

kAPh

t

tt

..

.

...

. 2/12/1

===η

lPAA .=

( )lm

lmtgh

.

.=η onde:

tAk

Phm

.

.= e ( )

mlml

mlml

ee

eelmtgh −

−

+−

=.

Eficiência das Aletas� De acordo com a equação abaixo, anteriormente

determinada, o fluxo de calor trocado em umasuperfície aletada por ser calculado:

� Rearranjando a equação acima, tem-se:

� A eficiência da aletas é obtida a partir da equaçãoacima e as áreas não-aletada (AB) e das aletas (AA) sãoobtidas através de relações geométricas.

aletaBT qqq +=

( )( )∞−+= TTAAhq sABT η

( ) ( )η... ∞∞ −+−= TTAhTTAhq SASBT

Exercícios� 1) A dissipação de calor em um

transistor de formato cilíndrico podeser melhorada inserindo um cilindrovazado de alumínio (k=200 W/m.K)que serve de base para 12 aletasaxiais. O transistor tem raio externode 2 mm e altura de 6 mm, enquantoque as aletas tem largura de 10 mm eespessura de 0,7 mm. O cilindrovasado com as aletas, cuja espessuraé 1 mm, está perfeitamente ajustadoao transistor e tem resistência térmicadesprezível. Sabendo que ar fluindo a20°C sobre as superfícies das aletasresulta em um coeficiente de películade 25 W/m2.K, calcule o fluxo de calordissipado quando a temperatura dotransistor for 80°C.

Exercícios� 2) Uma placa plana de alumínio

(k=175 Kcal/h.m.°C) de resistênciatérmica desprezível tem aletasretangulares de 1,5 mm de espessurae 12 mm de largura, espaçadas entresi de 12 mm, ocupando toda a largurada placa. O lado com aletas está emcontato com ar a 40°C e coeficientede película 25 Kcal/h.m2.°C. No ladosem aletas escoa óleo a 150°C ecoeficiente de película 225Kcal/h.m2.°C. Calcule por unidade deárea da placa:

� a) Fluxo de calor pela placa aletadadesprezando a resistência da películade óleo;

� b) Idem item anterior levando emconta a resistência a convecção napelícula de óleo.

Considerar a área 1 m2

Lembrar que “L” é alargura da aleta = 12 mm

Exercícios� 3) Determine o aumento do calor dissipado por unidade de tempo

que poderia ser obtido de uma placa plana usando-se porunidade de área 6400 aletas de alumínio (k=178 Kcal/h.m.°C),tipo pino, de 5 mm de diâmetro e 30 mm de altura. Sabe-se quena base da placa a temperatura é 300°C, enquanto que oambiente está a 20°C com coeficiente de película de 120Kcal/h.m2.oC.

Exercícios� 4) Determine a porcentagem de

aumento da transferência de calorassociada com a colocação de aletasretangulares de alumínio (k=200W/m.K) em uma placa plana de 1mde largura. As aletas tem 50 mm dealtura e 0,5 mm de espessura e adensidade de colocação é 250 aletaspor unidade de comprimento da placa(as aletas são igualmente espaçadase ocupam toda a largura da placa). Ocoeficiente de película do ar sobre aplaca sem aletas é 40 W/m2.K,enquanto que o coeficiente depelícula resultante da colocação dealetas é 30 W/m2.K. (OBS: desprezaras áreas laterais das aletas).

Exercícios� 5) Numa indústria deseja-se projetar um dissipador de calor para

elementos transistores em um local onde o coeficiente de películaé 3 Kcal/h.m2.°C. A base do dissipador será uma placa plana, de10 x 10 cm, sobre a qual estarão dispostas 8 aletas, de seçãotransversal retangular, com espaçamento constante, de 2 mm deespessura e 40 mm de altura. Sob a placa deve ser mantida umatemperatura de 80°C, com temperatura ambiente de 30°C.Considerando a condutividade térmica das aletas igual a 35Kcal/h.m.°C, pede-se :

a) a eficiência da aleta;b) calor dissipado pela placa aletada;c) razão percentual entre os fluxos de calor dissipado pelas

aletas e o total.