Aletas  

Disciplina:  Transferência  de  Calor  Professor:  Edgard  Bacic  de  Carvalho  

Função  das  Aletas  •  Extensão  da  super@cie  de  troca  térmica  ANÁLISE:  •  Q  =  U  A  ∆T  •  ∆T    =  Tsup  –  T∞      não  dá  para  mexer  em  T∞  

•  U:  dá  para  mexer  (h)≈velocidade  mas  é  caro  •  A:  dá  para  aumentar  com  as  aletas  NOTA:  K  deve  ser  o  maior  possivel  para  maximizar  a  troca  térmica    

Aplicações  

•  Cilindros  de  motores  de  motocicletas  •  Condensadores  de  geladeiras  •  Air  coolers  •  Chip  de  computadores    

Tipos  

Perfil  de  Temperatura  

Desenvolvimento  da  Equação  de  Perfil  de  Temperatura  

Balanço  de  Energia  

Equação  de  Fourier  

Forma  alternaXva    para    a  transferência  de  calor    por  condução  

(1)  

(2)  

(3)  

(2)    em    (3)  (4)  

qx = qx+dx + qconv

qx = −kAcdTdx

qx+dx = qx +dqxdx

dx

qx+dx = −kAcdTdx

− k ddx

AcdTdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx

Transferência  de  calor  por  convecção  

Após    simplificação  

(5)  

(6)  

(7)  

(4)    e  (5)  em    (1)  

Desenvolvimento  da  Equação  de  Perfil  de  Temperatura  

ddx

AcdTdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

hkdASdx

T −T∞( ) = 0

dqconv = h dAS T −T∞( )

d 2Tdx2

+ 1Ac

dAcdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dTdx

− 1Ac

hkdASdx

T −T∞( ) = 0

Perfil  de  Temperatura  -­‐  Simplificações  •   Aletas  retas  de  secção  transversal  constante  

Perfil  de  Temperatura  -­‐  Simplificações  •   Aletas  retas  de  secção  transversal  constante  

Ac cons tan te ⇒ dAcdx

= 0

AS = Px ⇒ dASdx

= P

T (0) = Tb

d 2Tdx2

− hPkAc

dASdx

T −T∞( ) = 0

Perfil  de  Temperatura  

•   Temperatura  em  excesso  

d 2θdx

x( )−m2θ = 0

θ x( ) = T (x)−T∞

m2 = hPkAc

onde:  

Perfil  de  Temperatura  •   Solução  da  Equação  Diferencial  

•   Condições  de  Contorno  

θ (x) = C1emx +C2e

−mx

θ (0) = Tb −T∞

hAc T (L)−T∞[ ] = −kAc dTdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x=L

hθ (L) = −kAc dθdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x=L

Convecção  –  Condução  em  uma  Aleta  

Perfil  de  Temperatura  -­‐  Solução  

θθb

=cosh m L − x( )+ h

mksinh m L − x( )

cosh mL + hmksinh mL

qf = qb = −kAcdTdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x=0

= −kAcdθdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x=0

qf = hPAcθb

sinh mL + hmkcosh mL

cosh mL + hmksinh mL

Perfil  de  Temperatura  –  Solução  AlternaXva  

qf = h T (x)−T∞[ ]Af∫ dAS

qf = hθ (x)Af∫ dAS

Calor  por  condução  =  Calor  por  convecção  

Perfil  de  Temperatura  –Solução  ParXcular    

dθdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x=L

= 0

θθb

=coshm L − x( )coshmL

qf = hPkAcθb tanhmL

Calor  convecXvo  insignificante  na  ponta  da  aleta  

Perfil  de  Temperatura  –Solução  ParXcular    

θ L( ) =θL

θθb

=

θL

θb

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟sinhmx + sinhm L − x( )

sinhmL

qf = hPkAcθb

coshmL − θL

θb

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sinhmL

Temperatura  na  ponta  da  aleta  é  conhecida  

Tabela  Resumo  

EfeXvidade  da  Aleta  –  I  

ε f =qf

hAc,bθb

ε f > 2

para uma aleta inf inita :ε f =kPhAc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

Análise:        K,    h,    razão  P/Ac  

EfeXvidade  da  Aleta  –  II  Rt, f =

θb

q fDefinindo  a  resistência  térmica  da  aleta  como:  

Rt,b =1

hAc,b

De  maneira  similar  para  a  base  da  aleta:  (para  o  caso  de  ausência  de  aleta)  

Rt,b =θb

hAc,bθb

Portanto:  

SubsXtuindo  as  2  resistências  na  equação  da  eficiência:   ε f =Rt,bRt, f

Eficiência  da  Aleta  

η f =qfqmax

=qf

hAfθb

η f =M tanhmLhPLθb

= tanhmLmL

Notas:  1)  qmax  considera  toda  a  aleta  na  temperatura  de  excesso  θb  2)  qf=M  tanh  (mL)  que  é  a  expressão  para  o  caso  adiabáXco  

Eficiência  da  Aleta  –  Método  Aproximado  

Lc = L +t2

Lc = L +D4

Eficiência:  

Para  aletas  retangulares:      Para  aletas  circulares:    

η f =tanhmLcmLc

htk

ou hD2k

< 0,0625Erros  insignificantes  se:  

Eficiência  da  Aleta  –  Método  Gráfico  

P ≈ 2w

mLc =hPkAc

Lc =2hwkwt

Lc =2hktLc

mLc =2hktLcL

c

0,5

Lc

0,5 =2hktLc

Lc

1,5

mLc =2hkAp

Lc

1,5

Para  aletas  retangulares  com  w>>t:  

Ap  é  a  área  do  perfil  da  aleta  

Eficiência  da  Aleta  –  Método  Gráfico  

Eficiência  Aletas  Retas  

Eficiência  Aletas  Circulares  

Aletas  com  Área  Variável  

d 2Tdx2

+ 1Ac

dAcdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dTdx

− 1Ac

hkdASdx

T −T∞( ) = 0

Equação  previamente  desenvolvida:  

x = rAc = 2πrt

As = 2π r2 − r12( )

Fazendo:  

Aletas  Anulares  

d 2Tdr2

+ 1rdTdr

− 2hkt

T −T∞( ) = 0

Equação  para  Aleta  Anular:  

m2 = 2h ktθ = T −T∞

Fazendo:  

d 2θdr2

+ 1rdθdr

−m2θ = 0Portanto:  

Perfil  de  Temperatura  para  Aletas  Anulares  

θ (r) = C1I0 (mr)−C2K0 (mr)Solução:  

Para  condições  adiabáXcas  na  ponta  da  aleta:  

dθdr

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥r2

= 0

θθ b

= I0 (mr)K1(mr2 )+ K0 (mr)I1(mr2 )I0 (mr1)K1(mr2 )+ K0 (mr1)I1(mr2 )

Equação  para  o  Calor  para  Aletas  Anulares  

Calor:  

qf = −kAc,bdTdr

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥r1

= k 2πr1t( ) dθdr

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥r1

qf = 2πr1ktθbmK1(mr1)I1(mr2 )− I1(mr1)K1(mr2 )K0 (mr1)I1(mr2 )+ I0 (mr1)K1(mr2 )

Eficiência  de  Aletas  Anulares  

Eficiência:  

η f =qf

h2π r22 − r1

2( )θb

= 2r1m r2

2 − r12( )K1(mr1)I1(mr2 )− I1(mr1)K1(mr2 )K0 (mr1)I1(mr2 )+ I0 (mr1)K1(mr2 )

Eficiência  de  Aletas  Anulares  

Eficiência  de  Aleta  Anular  

Eficiência  de  um  Conjunto  de  Aletas  

qf = Nη f hAfθb + hAbθb

Eficiência  Global:  

At = NAf + AbÁrea  Total  

η0 =qtqmax

= qthAtθb

Calor  Total:  

qf = h Nη f Af + At − NAf( )⎡⎣ ⎤⎦θb = hAt 1−NAf

At1−η f( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥θb

Calor  Total  pode  ser  expresso  como:  

qf = h Nη f Af + At − NAf( )⎡⎣ ⎤⎦θb = hAt 1−NAf

At1−η f( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥θb

Eficiência  de  um  Conjunto  de  Aletas  

SubsXtuindo  este  expressão  em:   η0 =qt

hAtθb

Temos:   η0 =1−NAf

At1−η f( )

Troca  de  Calor  em  um  Conjunto  de  Aletas