Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor
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AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS COM
GERAÇÃO INTERNA DE CALOR e COEFICIENTE
GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna
de calor em cilindros maciços. Como exemplo de
aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule
devido à passagem de corrente elétrica em fios
elétricos, como indicado na figura ao lado.
Partindo da equação geral da condução de calor:
t
T
k
qT
'''G
12 (Regime permanente)
Neste caso, é conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é:
2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
Tr
rrT
Hipóteses adicionais
- simetria radial: 02
2
(não há influência da posição angular numa seção
transversal, pois há simetria radial)
- o tubo é muito longo: 02
2
z (não há efeitos de borda na direção axial)
Logo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou
seja, )(rTT
Assim, introduzindo essas simplificações na equação geral da condução, vem:
01
'''
k
q
dr
dTr
dr
d
r
G
Ou, integrando por partes:
1
'''
Crdrk
q
dr
dTrd G
, ou, ainda:
1
2'''
2C
k
rq
dr
dTr G
Integrando novamente por separação de variáveis:
2
1
'''
2Cdr
r
Cr
k
qdT G
21
2'''
ln4
)( CrCk
rqrT G
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*condições de contorno para obtenção das constantes C1 e C2:
(1) STrrT )( 0 a temperatura da superfície TS é conhecida
(2) 00
rdr
dT simetria radial na linha central
Isso implica dizer que o fluxo de calor é nulo na linha central e, como decorrência,
também pode-se afirmar que a máxima temperatura máxT ocorre nessa linha.
Da segunda condição de contorno, vem que:
02
lim 1
'''
0
r
C
k
rqG
r
Do que resulta em 01 C , para que a expressão permaneça sempre nula.
Da primeira condição de contorno.
2
2'''
4C
k
rqT G
S ou, k
rqTC G
S4
2
0
'''
2
Finalmente, a equação da condução de calor fica:
É uma distribuição parabólica de temperatura (2º. grau) !
Sendo, SG
máx Tk
rqT
4
20
'''
SG Trrk
qT 22
0
'''
4
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EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Considere um tubo cilíndrico longo revestido de isolamento térmico perfeito do lado
externo. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a iT .
Considere, ainda, que ocorre geração de calor '''
Gq uniforme.
a) calcule a distribuição de temperaturas;
b) determine o fluxo de calor total removido (internamente);
c) determine a temperatura da superfície externa.
Solução:
Hipóteses: as mesmas que as anteriores.
Eq. 01
'''
k
q
dr
dTr
dr
d
r
G
Condições de contorno:
(1) ii TrrT )( (temperatura interna constante)
(2) 0erdr
dT (fluxo de calor nulo na superfície)
A solução geral, como já visto, é:
21
2'''
ln4
)( CrCk
rqrT G
Sendo, 1C e 2C saem das condições de contorno do problema específico:
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i
ie
ieG Tr
r
r
rr
k
rqrT
ln2
4)(
2
222'''
k
rqC eG
2
2'''
1 ;
)ln(2
4
22'''
2 i
e
ieGi r
r
r
k
rqTC
Assim,
O fluxo de calor é:
dr
dTkAq
)()2( rTdr
drLkq
Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem:
22'''
ieG rrqL
q (W/m)
A temperatura máxima é:
emáx TT
i
i
e
e
eieG
emáx Tr
r
r
rr
k
rqTT
ln2
4 2
222'''
OUTRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Num fio de aço inoxidável de 3,2mm de diâmetro e 30cm de comprimento é aplicada
uma tensão de 10V. O fio está mantido em um meio que está a Co95 e o coeficiente de
transferência de calor vale CmkW o2/10 .
Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de cm70 e sua
condutibilidade térmica vale CmWo/5,22
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CT o
c 267
Solução:
Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume.
R
URiP
22 ;
A
LR
m 81070
mL 3,0 , 26
232
100425,84
)102,3(
4m
DA
2
6
8
106111,2100425,8
3,01070R
kWP 830,3106111,2
1002
3,0100425,8
1083,31083,36
33
LAV
PqG
3
910587,1m
WqG
hA
PTTTThAP PP )(
3,0)102,3(1010
1083,395
33
3
PT
CT o
P 222
k
rqTT oG
Pc4
2
5,224
)106,1(10587,1222
239
cT
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RESISTÊNCIA TÉRMICA – Várias Situações
- paredes planas
R
TTq 21
kA
LR
- circuito elétrico
- paredes compostas
- Circuito elétrico
Ainda,
onde
432//
1111
RRRR
5//1 RRRREQ
EQR
TTq 21
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- Tubo cilíndrico
R
TTq ei ;
kL
rr
R i
e
2
ln
- Tubo cilíndrico composto
- Circuito elétrico
ieq RR
Para dois tubos:
Lk
r
r
R1
1
2
12
ln
Lk
r
r
R2
2
3
22
ln
Lk
r
r
Ri
i
i
eq2
ln 1
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Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor?
Lei de convecção (Newton)
)( TThAq p e
hA
TTq
p
1
onde, hA
1 é a resistência térmica de convecção
- Circuito elétrico
Para o caso em que houver convecção em ambas as paredes:
- Convecção em tubo cilíndrico
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Tabela-resumo de Resistências Térmicas
Circuito Elétrico
Fluxo de
Transferência
de calor
Resistências Térmicas
Parede plana
R
TTq 21
kA
LR
Parede plana com
convecção
R
TTq 21
321 RRRR
AhkA
L
AhR
21
11
Paredes compostas
EQR
TTq 21
5//1 RRRREQ
432//
1111
RRRR
Tubo cilíndrico
R
TTq ei
kL
rr
R i
e
2
ln
Tubo cilíndrico
composto
EQ
ei
R
TTq
Lk
r
r
Ri
i
i
eq2
ln 1
Convecção em tubo
cilíndrico
EQ
ei
R
TTq
hAkL
rr
Ri
e
eq
1
2
ln
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COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR U
O coeficiente global de transferência de calor é definido por:
totalTUAq
Claramente, U está associado com a resistência térmica,
- parede plana
AhkA
L
AhR
21
11
TUAR
Tq
RUA
1 ou
RAU
1
Logo,
21
11
1
hk
L
h
U
- tubo cilíndrico
Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à
área interna do tubo, iU , ou à área externa, eU . No entanto, os dois valores são
intercambiáveis mediante a seguinte expressão:
totaliitotalee TAUTAU
Logo, iiee AUAU
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U referido à área externa:
e
rr
e
e
hkL
AU
i
e 1
2
ln
1
U referido à área interna:
ee
irr
i
i
hA
A
kL
AU
i
e
2
ln
1
RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO TÉRMICO
As tubulações que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isoladas do meio
ambiente a fim de restringir a perda (ou ganho) de calor do fluido, que implica em
custos e ineficiências. Aparentemente, alguém poderia supor que a instalação pura e
simples de camadas de isolantes térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais
pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta
operação.
Como visto, o fluxo de calor é
hLrkL
TTq
e
rr
i
i
e
2
1
2
ln
ou,
hrk
TTLq
e
rr
i
i
e1ln
)(2
Note que o raio externo que aparece no
denominador dessa expressão tem duas
contribuições: uma no termo de condução e a
outra no termo de convecção. De forma que, se
o raio externo do isolamento aumentar, ele
diminui uma das resistências térmicas (a de convecção), enquanto que a resistência
térmica de condução aumenta. Isto está ilustrado no gráfico acima e dá origem a um
ponto de maximização. Do cálculo, sabe-se que a máxima transferência de calor ocorre
quando a derivada é nula, isto é,
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h
krcrit
2.
1
.
1
2
1ln
)(20
erhe
rk
hrk
TTL
dr
dq
e
rr
i
ei
e
Assim,
2
11
ee hrkr
critr é o chamado raio crítico de isolamento.
Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor que h
k a transferência de calor
será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio
crítico – conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao
desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de
isolamento for maior que a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão
de fato diminuir a perda de calor.
Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por
convecção de h = Cm
Wo2
7 (convecção natural). A tabela a seguir indica os raios críticos
de isolamento para alguns isolantes térmicos.
material Cm
Wok critr (mm)
Teflon 0,350 50,0
Papel 0,180 25,7
Couro 0,159 22,7
Borracha macia 0,130 18,6
Silicato de cálcio 0,055 7,9
Lã de vidro 0,038 5,4
Poliestireno expandido 0,027 3,9
Folhas de papel e alumínio de
vidro laminado 0,000017 0,0024
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