CURSO SOBRE A NBR 6118:2003 – CONCRETO ARMADO AULA 9 – DIMENSIONAMENTO DE LAJES - EXEMPLOS RESOLVIDOS
1
1
Exemplo resolvido 1 – Verificação da necessidade de armadura de cisalhamento
Neste exemplo será feita a verificação da necessidade de armadura de cisalhamento em uma laje usual de edifício. A laje de vãos 3m por 4m está representada na Figura 1. Os apoios serão consideradas como apoios simples e perfeitamente engastados, sem deslocabilidade vertical. A laje vai estar submetida a uma combinação última normal (ELU) de 8,4 kN/m2.
Dados do problema:
Figura 1 - Laje de 3m x 4m.
A laje tem uma espessura de 8 cm, e um fck de 20 MPa. A altura útil estimada para essa laje é de 6 cm.
Esforço cortante de cálculo máximo Vd
As reações de apoio dessa laje foram calculadas usando as prescrições do ítem 14.7.6.1 b). As inclinações das charneiras plásticas para o cálculo das reações estão na Figura 2. A máxima reação de apoio corresponde à reação do lado engastado maior com um valor de 9,97 kN/m.
Figura 2 - Esforço Cortante de Cálculo Máximo.
Portanto:
m
mmkN
LAq
Vd 4
9,12
144,8 22
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⋅=
⋅=
Vd = 9,97 kN ( na seção do apoio, ao longo de 1m)
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2
2
Resistência de projeto ao cisalhamento VRd1
Esse valor deve ser comparado com a resistência de projeto ao cisalhamento VRd1 que é dada por:
VRd1 = [τRd k (1,2+40 ρ1) + 0,15 σcp ].bwd
No caso do exemplo:
τRd = 0,25.fctd = 0,25. fctk,inf/γc =0,25. 0,7.0,3. fck 2/3 / 1,4 = 0,276 MPa = 276 kN/m2.
k = 1 (admitindo que só metade da armadura inferior chega a apoio)
ρ1 = 0,0015 (admitindo armadura mínima no negativo)
σcp = 0 (não existe força normal atuando na laje)
d = 0,06 m
bw = 1 m
Logo:
( )[ ] 06,010015,0402,112761 ⋅⋅⋅+⋅=RdV
VRd1 = 20,87 kN (ao longo de 1 metro)
Ou seja:
Vd << VRd1 A laje possui segurança adequada em relação ao ELU de força cortante.
Deve-se notar que, mesmo adotando valores para k e para ρ1 mínimos, o valor de VRd1 foi muito superior ao necessário.
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3
3
Exemplo resolvido 2 – Avaliação da abertura de fissuras
Será avaliada a abertura de fissura de uma laje unidirecional de concreto de um edifício residencial.
Dados do problema:
Vão de 5 m;
Concreto C-20 (fck = 20 MPa);
Aço CA-50;
Altura h = 12 cm.
As cargas permanentes que atuam na laje são de 4,0 kN/m e as acidentais de 3,2 kN/m.
O cobrimento adotado foi de 2 cm, e para a armadura principal foi prevista a utilização de barras de bitola 10 mm.
A análise estrutural dessa laje forneceu, para a seção crítica: Mgk = 12,5 kN.m; Mqk = 10,0 kN.m.
Momento de cálculo para o ELU:
Md = Mk.γf = (Mgk+Mqk).γf = (12,5+10).1,4 = 31,5 kN.m
Altura útil estimada:
d = h- c - φ/2 = 12 – 2 – 1/2 = 9,5 cm
Posição da linha neutra:
O dimensionamento, no ELU, forneceu a seguinte posição da linha neutra:
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅−−⋅⋅=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅−−⋅⋅=
4,10,2
5,9100425,0
3150115,925,1
425,01125,1
22cdw
d
fdb
Mdx
x = 4,13 cm.
Como o aço empregado é CA-50, temos que x2-3=0,259.d = 2,46 cm e x3-4=0,628.d = 5,97 cm e estes são, respectivamente, os limites dos domínios 2 e 3, como mostrado na Figura 3. Assim, a peça está no Domínio 3.
Figura 3 – Limites entre os domínios 2 e 3.
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4
4
Área de armadura correspondente:
( ) ( )223,9
13,44,05,915,150
31504,0
cmxdf
MA
yd
ds =
⋅−⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−⋅=
Detalhamento:
Adotando φ10 mm (0,8 cm2) dispostos a cada s=8,5 cm tem-se a armadura efetiva As= 9,41 cm2/m. A Figura 4 mostra o detalhe dessa laje.
Figura 4 - Seção transversal da faixa de 1 m da laje
A seguir são apresentados os passos necessários para a determinação da abertura de fissuras:
1. Momento em serviço para combinação freqüente de ações:
Obtido com fator da combinação ψ1= 0,4 , resulta:
Md,ser = Mgk+ψ1.Mqk → Mk,ser = 12,5 + 0,4 (10,0) = 16,5 kN.m
2. Relação dos módulos do aço e do concreto
204760
210000
⋅==
cs
se E
Eα
865,9=eα
3. Linha neutra em serviço (Estádio II)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⋅⋅⋅
++−⋅
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++−=
41,9865,95,91002
11.100
41,9865,9.
..211.
.
se
w
w
seII A
dbb
Ax
αα
cmxII 37,3=
8,5
0,5
8,5 8,5 8,5
9,5
8,5
2
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5
5
4. Tensão na armadura
2, /933,2041,9.
337,3
5,9
1650
.3
mkNA
xd
M
sII
serds =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=σ
MPas 33,209=σ
5. Área para a fissuração
))1(82.(100).8.( +=+= φcBA crcr
21000cmAcr =
6. Taxa de armadura para a fissuração
100041,9
==cr
sr A
Aρ
00941,0=rρ
7. Resistência à tração do concreto para abertura de fissura
Usa-se o valor médio fctm=0,3.fck2/3 [MPa] :
MPaf mct 21,220.3,0 3/2, ==
8. Estimativa da abertura de fissura
Usando φ (em mm) e 1η =2,25 da Tabela 8.2 da NBR 6118:2003:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= 45
00941,04
.000.21033,209
.25,25,12
1045
4..
.5,12 11
rs
s
E ρσ
ηφω = 0,17 mm
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅
⋅=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅=
21,233,2093
000.21033,209
25,25,1210.3
.5,12 ,12
mct
s
s
s
fEσσ
ηφω = 0,10 mm
Verifica-se que o valor de abertura de fissura dessa laje será de 0,10 mm e assim respeita os limites para qualquer classe de agressividade mostrada na Tabela 13.3 da norma.
Quando o valor da abertura de fissura for excessivo pode-se alterar a armadura, usando bitolas menores, ou aumentar as dimensões da peça para reduzir a tensão em serviço e assim diminuir a abertura de fissura esperada.
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6
6
Exemplo resolvido 3 – Avaliação da deformação excessiva em laje unidirecional
Este exemplo vai mostrar a verificação da flecha em uma laje de concreto bi-apoiada (unidirecional), com um vão de cálculo de 4 metros, altura de 10 cm, que usa concreto C-20 e aço CA-50. Para essa verificação vai-se utilizar uma faixa de laje com largura de 1m.
O cobrimento é de 2 cm, adotado de acordo com a classe de agressividade ambiental do local da obra.
Cargas
- permanentes: mkNhg c /5,2251,0 =⋅=⋅= γ
- acidental de 3,0 kN/m2 (NBR 6120 - escola)
Obs: Nesse caso não foi previsto nenhum carregamento devido ao revestimento.
Momento de cálculo para o ELU
Md = Mk.γf = (Mgk+Mqk).γf
( )mkNMk .0,11
840,35,2 2
=⋅+
=
mkNMd .4,154,10,11 =⋅=
Dimensionamento no ELU:
Altura útil, admitindo φ=10 mm:
d2 = c + φL/2 = 2 + 1/2 = 2,50 cm e;
d = h – d2 = 10 - 2,50 = 7,50 cm
Linha neutra:
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅−−⋅⋅=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅−−⋅⋅=
4,10,2
5,7100425,0
1540115,725,1
425,01125,1
22cdw
d
fdb
Mdx
x = 2,43 cm.
Assim como no exemplo anterior, temos que o limite entre os domínios 2 e 3 é: x2-3=0,259.d = 1,94 cm e o limite entre os domínios 3 e 4 é: x3-4 = 0,628.d = 4,71 cm. Logo o dimensionamento se dará no Domínio 3.
Armadura calculada:
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7
7
( ) ( )43,24,05,715,150
15404,0
⋅−⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−⋅=
xdfM
Ayd
ds
As = 5,43 cm2
Armadura adotada: φ 10 c.15 (5,33 cm2/m)
Momento em serviço
O momento em serviço é obtido com o fator ψ2 = 0,4 (Combinação Quase-permanente) da tabela 11.2 da norma:
( )mkNM serd .4,7
840,34,05,2 2
, =⋅⋅+
=
Avaliação do estádio a considerar :
1) Linha neutra em serviço (Estádio II):
Armadura adotada:
As = 5,33 cm2/m
Taxa de armadura:
dbA
w
sd .=ρ 0071,0
)5,7.(10033,5
==dρ
Relação dos módulos do aço e do concreto:
cs
se E
E=α 865,9
20.4760
210000==eα
Assim:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⋅++−
⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++−=
0071,0865,92
11.100
33,5865,9.2
11..
dew
seII b
Ax
ραα
cmxII 33,2=
2) Inércia no estádio II:
23
23
)33,25,7(33,5865,93
33,2100).(.
3.
−⋅⋅+⋅
=−+= IIseIIw
II xdAxb
I α
41827cmIII =
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8
8
3) Resistência à tração do concreto:
3/2, .3,0 ckmct ff = = 2,21 MPa
4) Inércia da seção de concreto no estádio I:
1210100
12. 33 ⋅
==hb
I wc
Ic = 8333 cm4
5) Momento de fissuração:
58333.221,0
.5,1. , ==t
cmctr y
IfM α
Mr = 553 kN.cm
Onde α = 1,5 para a seção retangular, e yt = h – x = 10 – 5 = 5 cm
Como Md,ser > Mr a flecha imediata deve ser calculada usando a Inércia equivalente (EI)eq obtida do item 17.3.2.1.1 da norma.
Determinação da rigidez equivalente:
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= II
a
rc
a
rcseq I
MM
IMM
EEI33
1
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 1827.
4,753,5
18333.4,753,5
212933
eqEI
( ) 96656604540.2129]1827).583,0(8333).417,0[(2129 ==+=eqEI kN.cm2
Cálculo da flecha imediata:
1) Carga em serviço:
34,05,22 ⋅+=⋅+= qgpser ψ = 3,7 kN/m = 0,037 kN/cm
2) Flecha equivalente:
cmEI
Lpa
eq
sereq 276,1
9665660400.037,0
.384
5)(.
.44
0 === β
β depende da vinculação sendo3845
para viga bi-apoiada.
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9
9
Valor da flecha final (diferida no tempo):
O valor da flecha final, com a consideração do item 17.3.2.1.2 da norma, para um tempo de desforma de 15 dias fica:
( ) cmaaa eqffinal 14,3276,146,21 0 =⋅=⋅+== α
Conclusão
O limite para a flecha final para a razão visual, segundo a Tabela 13.2: L/250 = 400/250 = 1,6cm
O valor de uma contra-flecha mínima, nesse caso, é de CF = 3,14 – 1,6 = 1,54cm. Como L/350 = 1,43cm é o limite recomendado para a contra-flecha, a flecha final, mesmo com contra-flecha superaria ao limite para percepção visual. A solução é aumentar a altura da laje.
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10
10
Exemplo resolvido 4 – Avaliação da deformação excessiva em laje unidirecional
Este exemplo vai mostrar a verificação da flecha em uma laje de concreto bi-apoiada (unidirecional), com um vão de cálculo de 4 metros, altura de 10 cm, que usa concreto C-25 e aço CA-50. Para essa verificação vai-se utilizar uma faixa de laje com largura de 1m.
O cobrimento é de 2,5 cm, adotado de acordo com a classe de agressividade ambiental do local da obra.
Cargas
- permanentes: mkNhg c /5,22510,0 =⋅=⋅= γ
- acidental de 3,0 kN/m2 (NBR 6120 - escola)
Obs: Nesse caso não foi previsto nenhum carregamento devido ao revestimento.
Momento de cálculo para o ELU
Md = Mk.γf = (Mgk+Mqk).γf
( )mkNMk .0,11
840,35,2 2
=⋅+
=
mkNMd .4,154,10,11 =⋅=
Dimensionamento no ELU:
Altura útil, admitindo φ=10 mm:
d2 = c + φL/2 = 2,5 + 1/2 = 3,0 cm e;
d = h – d2 = 10 - 3,0 = 7,0 cm
Linha neutra:
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅−−⋅⋅=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅−−⋅⋅=
4,15,2
0,7100425,0
1540110,725,1
425,01125,1
22cdw
d
fdb
Mdx
x = 2,05 cm.
Assim como no exemplo anterior, temos que o limite entre os domínios 2 e 3 é: x2-3=0,259.d = 1,81 cm e o limite entre os domínios 3 e 4 é: x3-4 = 0,628.d = 4,40 cm. Logo o dimensionamento se dará no Domínio 3.
Armadura calculada:
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11
11
( ) ( )05,24,00,715,150
15404,0
⋅−⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−⋅=
xdfM
Ayd
ds
As = 5,73 cm2
Armadura adotada: φ 10 c.13 (6,28 cm2/m)
Momento em serviço
O momento em serviço é obtido com o fator ψ2 = 0,4 (Combinação Quase-permanente) da tabela 11.2 da norma:
( )mkNM serd .4,7
840,34,05,2 2
, =⋅⋅+
=
Avaliação do estádio a considerar :
1) Linha neutra em serviço (Estádio II):
Armadura adotada:
As = 6,28 cm2/m
Taxa de armadura:
dbA
w
sd .=ρ 0090,0
)5,7.(10028,6
==dρ
Relação dos módulos do aço e do concreto:
cs
se E
E=α 824,8
23800210000
25.4760
210000===eα
Assim:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⋅++−
⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++−=
0090,0824,82
11.100
28,6824,8.2
11..
dew
seII b
Ax
ραα
cmxII 29,2=
2) Inércia no estádio II:
23
23
)29,2,7(28,6824,83
29,2100).(.
3.
−⋅⋅+⋅
=−+= IIseIIw
II xdAxb
I α
41630cmIII =
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12
12
3) Resistência à tração do concreto:
3/23/2, 253,0.3,0 ⋅== ckmct ff = 2,56 MPa
4) Inércia da seção de concreto no estádio I:
1210100
12. 33 ⋅
==hb
I wc
Ic = 8333 cm4
6) Momento de fissuração:
58333.256,0
.5,1. , ==t
cmctr y
IfM α
Mr = 641 kN.cm
Onde α = 1,5 para a seção retangular, e yt = h – x = 10 – 5 = 5 cm
Como Md,ser > Mr a flecha imediata deve ser calculada usando a Inércia equivalente (EI)eq obtida do item 17.3.2.1.1 da norma.
Determinação da rigidez equivalente:
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= II
a
rc
a
rcseq I
MM
IMM
EEI33
1
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 1630.4,741,6
18333.4,741,6
238033
eqEI
( ) 14260483]1630).349,0(8333).651,0[(2380 =+=eqEI kN.cm2
Cálculo da flecha imediata:
1) Carga em serviço:
34,05,22 ⋅+=⋅+= qgpser ψ = 3,7 kN/m = 0,037 kN/cm
2) Flecha equivalente:
cmEI
Lpa
eq
sereq 865,0
14260483400.037,0
.384
5)(.
.44
0 === β
β depende da vinculação sendo3845
para viga bi-apoiada.
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13
13
Valor da flecha final (diferida no tempo):
O valor da flecha final, com a consideração do item 17.3.2.1.2 da norma, para um tempo de desforma de 15 dias fica:
( ) cmaaa eqffinal 13,2865,046,21 0 =⋅=⋅+== α
Conclusão
O limite para a flecha final para a razão visual, segundo a Tabela 13.2: L/250 = 400/250 = 1,6cm
O valor de uma contra-flecha mínima, nesse caso, é de CF = 2,13 – 1,6 = 0,53cm. Como L/350 = 400/350 = 1,19cm é o limite recomendado para a contra-flecha, adotou-se 1,0cm para a mesma.
O valor final da flehca é então obtido por:
a – CF = 2,13 – 1,0 = 1,13cm que está abaixo do valor máximo acima calculado. Outra solução seria aumentar a altura da laje.
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Exemplo resolvido 5 – Avaliação da deformação excessiva em laje bidirecional
Este exemplo vai mostrar a verificação da flecha em uma laje bidirecional de concreto maciço, de 8 cm de espessura, usando concreto C-20 e aço CA-50, com dimensões Lx = 400 cm e Ly =450 cm. O cobrimento adotado é de 2 cm. A carga de revestimento é de 1 kN/m2 e 2 kN/m2 de carga acidental para uso comercial em escritório.
Cargas:
1) Peso próprio:
gpp = h.γc = 0,08 . 25 = 2,0 kN/m2
2) Cargas de revestimento:
grev = 1,5 kN/m2
3) Cargas acidentais ( edifício comercial de escritórios):
q = 2,0 kN/m2.
4) Carga total:
p = g + q = 3,5 + 2,0 = 5,5 kN/m2.
O momento de cálculo para o ELU
O momento de cálculo para o ELU vai ser calculado à partir de tabelas de teoria das placas em regime elástico (Carvalho e Figueiredo Filho, 2000) – Anexo I:
Para o Caso 1 (quatro apoios simples)
λ =45,4
=x
y
L
L=1,125 → µx = 5,37 e µy = 4,49
mkNLp
M xxkx .73,4
10045,537,5
100
22
=⋅⋅
=⋅⋅
=µ
mkNLp
M xyky .95,3
10045,549,4
100
22
=⋅⋅
=⋅⋅
=µ
Mdx = Mkx.γf = 4,73 . 1,4 = 6,62kN.m = 662kN.cm
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15
15
Dimensionamento da armadura no ELU
O dimensionamento da armadura no ELU relativa ao momento da menor direção:
Mdx = 571 kN.cm
2/43,14,10,2
cmkNf
fc
ckcd ===
γ
Admitindo-se armadura de diâmetro φ=6,3mm:
d = h – (c + φL/2)= 7-(1+0,3) = 5,7 cm
Linha neutra:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅−−⋅⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=
4,10,2
7,5100425,0
662117,525,1
...425,011..25,1
22cdw
d
fdb
Mdx
x= 1,32 cm.
O valor de x, limite entre os domínios 2 e 3 é: x2-3= 0,256.d = 0,256.5,68 = 1,47cm. Logo, encontra-se no domínio 2.
Armadura calculada: ( ) ( )32,14,07,515,150
6624,0
⋅−⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−⋅=
xdfM
Ayd
ds
As = 2,95 cm2/m (dimensionada no domínio 2).
Armadura adotada: φ 6,3 c.10,0 (3,12 cm2/m)
Momento em serviço
O Momento em serviço é obtido com o fator ψ2 = 0,4 (Combinação Quase-permanente) da tabela 11.2 da norma:
mkNLg
M xxkgx .01,3
10045,337,5
100
22
=⋅⋅
=⋅⋅
=µ
mkNLq
M xxkqx .72,1
10040,237,5
100
22
=⋅⋅
=⋅⋅
=µ
Mdx,ser = Mgkx+ψ2.Mqkx → Mkx,ser = 3,01 + 0,4.1,72 = 3,69 kN.m
Deve-se observar que está sendo utilizado o momento de serviço correspondente à menor direção da laje (direção x).
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Avaliação do Estádio a considerar:
1) Resistência à tração do concreto: 3/2, .3,0 ckmct ff = = 2,21 MPa
2) Inércia da seção bruta: 433
7,426612
810012
cmhb
I wc =
⋅=
⋅= .
3) Momento de fissuração, com α = 1,5 e yt = h/2 para a seção retangular:
t
cctmr y
IfM .α= =
0,47,4266.221,0
.5,1 Mr = 354 kN.cm
Como Mr < Mk,ser ( 354 kN.cm < 369 kN.cm) deve-se usar o Estádio II.
Linha neutra em serviço (Estádio II):
1) Relação dos módulos do aço e do concreto:
cs
se E
E=α 87,9
20.4760
210000==eα
2) Taxa de armadura:
dbA
w
s
.=ρ 0055,0
)7,5.(10012,3
==ρ e As = 3,12 cm2/m
Temos:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++−
⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++−=
0055,0.87,92
11.100
12,387,9.
211.
.ρα
α
ew
seII b
Ax
mxII 59,1=
Deve-se verificar, também, se Mk,ser < My.
cmkNx
dfAM IIyksy .804
359,1
7,55012,33
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅=
Como o momento de serviço é menor que o momento correspondente ao escoamento da armadura pode-se confirmar o Estádio II para a análise.
Inércia no estádio II:
23
23
)59,17,5(12,387,93
59,1100).(.
3.
−⋅⋅+⋅
=−+= IIseIIw
II xdAxb
I α
4650cmIII =
Determinação da rigidez equivalente:
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17
( ) ccIIa
rc
a
rcseq IEI
MM
IMM
EEI ≤⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
33
1
onde:
Ecs = ckf560085,0 ⋅ = 472,44760 ⋅ =21287 MPa = 2129 kN/cm2
9593,0369354
==a
r
MM
9,03
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
a
r
MM
Ic =4267 cm4
III= 650 cm4
Logo:
( ) ( )[ ]{ } cceq IEEI ≤⋅−+⋅= 6509,0142679,02129
(EI)eq = 8137045 kN.cm2
Flecha imediata considerando a rigidez equivalente:
pser = g + 0,4.q = 3,5 + 0,4.2 = 4,3 kN/m = 0,043 kN/cm
cmEI
Lpa
eq
sereq 66,0
8137045400043,0
1200865,5
)(.
.44
0 =⋅
⋅== β
O coeficiente β foi obtido através de tabelas de teoria das placas em regime elástico (Carvalho e Figueiredo Filho, 2000). Está-se supondo, portanto, que os apoios não sofrem deslocamentos verticais significativos.
Flecha final
A flecha final, considerando a inércia equivalente, é:
( ) cmaaa eqfeq 63,166,046,2.1 0 =⋅=+== α
Conclusão
Como L/250 = 1,60 cm é o limite para o deslocamento, a flecha final calculada está praticamente no limite do ELS de deformação excessiva. Neste caso vai ser utilizada uma contra-flecha na execução.
Sugere-se limitar a contra-flecha ao valor L/350 = 400/350 =1,14 cm. Para o caso atual será adotada uma contra-flecha de 1 cm, que é suficiente para respeitar o ELS de deformação excessiva.
Na possibilidade de não se adotar a contra-flecha poderia ser aumentada a espessura.
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I. Anexo – Tabela valores de α para lajes sob carregamento uniforme
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