prof . Cialcu Ionel
ASIMPTOTE
Termenul de asimptot provine din limba greac i se traduce n sens larg prin expresia asemntor cu. Cuvntul denumete o dreapt i se refer la faptul c n anumite situaii descrise mai jos( pe anumite vecinti), graficul unei funcii are forma unei drepte.
Fie RaRIRIf ,,: punct de acumulare pentru I.
Definiie. Dreapta x=a este asimptot vertical la stanga a lui f dac lim ( )x a
x a
f x
Observaie. Dreapta x=a este o dreapt paralel cu Oy, deci vertical.
Exemplu. Fie funcia
1,1
1,1
1
)(,:
x
xxxfRRf
Observm c 1
1
1
0xx
lim
ceea ce ne arat c x=1 este asimptot vertical la stnga
pentru f.
Analog se defineste conceptul de asimptota verticala la dreapta.
.
Exemplu. Fie funcia 3
1)(,),3(:
xxfRf . Avem
3
3
1( )
0xx
lim f x
, ceea ce arat c
dreapta x=3 este asimptot vertical la dreapta pentru f.
Observaii: a) Pentru existenta asimptotei verticale nu este necesar ca funcia s fie definit n a. b) Dac f este definit i continu n a , atunci limitele laterale n a sunt finite i egale
cu f(a), deci graficul nu are asimptot vertical n punctele de continuitate ale funciei .
c) Dintre funciile elementare studiate,admit asimptote verticale:
funciile ale cror legi de coresponden sunt exprimate prin fracii, n punctele n care se anuleaz numitorul;
funciile ale cror legi de corespondent sunt exprimate prin logaritmi, )(ln)( xgxf , n punctele pentru care g(x) are limita +0 sau ;
funcia tangent n 2 1 ,2
x k k Z
;
funcia cotangent n ,x k k Z .
Definiie. Dreapta x=a este asimptot vertical la dreapta a lui f dac lim ( )x a
x a
f x
.
Definiie. Dreapta x=a este asimptot vertical a lui f dac este asimptot vertical la stnga sau la dreapta .
Definiie. Fie funcia RIf : , astfel nct )( sau este punct de acumulare al lui
I. Spunem c dreapta y=c este asimptot orizontal a lui f spre )( sau dac
lim ( )x
f x c
, respectiv lim ( ) ,x
f x c c R
.
prof . Cialcu Ionel
Observaie : Dreapta y=c este paralel cu axa Ox, deci este o dreapt orizontal.
Nu are sens s cutm asimptote orizontale spre )( sau dac domeniul I al funciei nu
are puncte de acumulare )( sau .
Exemplu.
Funcia )2(|2|
12)(,}2{:
2
xx
xxfRRf are asimptot orizontal y=2 spre i
y= -2 spre deoarece ( ) 2xlim f x
i ( ) 2xlim f x
.
Fie RRIf : unde I conine un interval de forma (a, ), Ra .
Analog se definete conceptul de asimptot oblic la ramura spre , admind c I conine un interval de forma ( ,b), Rb .
Demonstraie.
Presupunem c nmxy este asimptot oblic spre i determinm m i n.
Avem ( ( ) ) ( ) 0x xlim f x mx lim f x mx n n n n
.
De asemenea. ( ) ( )
0x x x
f x f x mx nlim m lim lim
x x x
Cum mmx
xf
x
xf
)()( se deduce c
( ) ( )
x x
f x f xlim lim m m m
x x
.
Observaii. 1) Pentru determinarea asimptotei oblice spre se procedeaz astfel (analog spre ) :
2) O funcie nu poate admite att asimptot orizontal ct i oblic spre ( ). 3) Dac m=0 atunci funcia are asimptot orizontal spre ( ).
Definiie. Dreapta nmxy este asimptot oblic la ramura spre a funciei f dac
distana dintre dreapt i grafic, msurat pe vertical, tinde ctre 0 cnd x tinde ctre , adic dac
lim[ ( ) ] 0x
f x mx n
Teorem. Dreapta nmxy este asimptot oblic la ramura spre a lui f dac i
numai dac exist constantele nmRnm ,(, sunt finite) unde ( )
,x
f xm lim
x
[ ( ) ], 0x
n lim f x mx m
- se calculeaz x
xfm
x
)(lim
;
- dac m este finit, atunci se calculeaz ])([lim mxxfnx
;
- dac i n este finit atunci dreapta nmxy reprezint asimptota oblic a lui f
spre
prof . Cialcu Ionel
Exemplu de grafic de funcie care admite o asimptot vertical i una oblic;
Exemplu de grafic de funcie care admite o asimptot orizontal.
Aplicaii.
1) Se consider funcia f: D R, f(x) = 2 1
1
x
x
. S se determine asimptotele funciei .
Rezolvare:Determinm domeniul de definiie : 1 0, 1 \ 1x x D R
Determinm asimptota orizontal a funciei:
22 2
1(1 )
1lim ( ) lim lim
11(1 )
x x x
xx xf xx
xx
.
Funcia nu admite asimptot orizontal. Cutm eventuala asimptot oblic. Pentru aceasta calculm:
m = 2( ) ( 1)
lim lim 1( 1)x x
f x x
x x x
,
2 2 21 1 1lim ( ) lim lim 1
1 1 1x x x
x x x x xn x
x x x
,
Asimptota oblic este d1: y=x+1 spre + i la fel este i spre -. Cutm asimptotele verticale. Pentru aceasta calculm limitele laterale n x = 1.
2
11
1 2lim
1 0xx
x
x
,
2
11
1 2lim
1 0xx
x
x
. Dreapta d2: x = 1 este asimptot vertical la
stnga i la dreapta. Graficul funciei arat aproximativ ca n desenul urmtor:
prof . Cialcu Ionel
2) S se determine asimptotele funciei: f: D R, f(x) = 2
2
1
1
x
x
Rezolvare: Aflm domeniul de definiie: 2 21 0, 1 \ 1x x D R
Cutm asimptotele orizontale:
22 2
22
2
1(1 )
1lim ( ) lim lim 1
11(1 )
x x x
xx xf xx
xx
, dreapta d1: y=1 este
asimptot orizontal. Cutm asimptotele verticale n punctele x0=-1 i x0=1;
2
211
1 2lim
1 0xx
x
x
,
2
211
1 2lim
1 0xx
x
x
, dreapta d2: x=-1 este asimptot vertical.
2
211
1 2lim
1 0xx
x
x
2
11
1 2lim
1 0xx
x
x
dreapta d3: x=-1 este asimptot vertical.
Graficul funciei arat aproximativ ca n desenul urmtor:
3) Se consider funcia f: D R, f(x) = 2
21)3(
x
xx . S se determine asimptotele acesteia.
Rezolvare: Avem: D = R\{0}. Cutm asimptote orizontale spre + i - .
xlim f(x) = + nu exist asimptot orizontal spre + .
xlim f(x) = - nu exist asimptot orizontal spre - .
Deci cutm eventuala asimptot oblic. Pentru aceasta calculm:
m =
11)3(
lim)(
lim3
2
x
xx
x
xf
xx
x=1
y=x+1
x=-1
y=1
x=1
y
x
O
prof . Cialcu Ionel
n=3 2 3 2 3 2
2 2 2
5 3 5 3 5 3lim( ( ) ) lim lim lim 1.x x x x
x x x x x x x x xf x mx x
x x x
d1: y = x + 1 asimptot oblic spre + . Analog , y = x + 1 asimptot oblic spre - . Cutm asimptotele verticale. Pentru aceasta calculm limitele laterale n x = 0.
0 00 0
3 3lim ( ) , lim ( )
0 0x xx x
f x f x
d2: x = 0 asimptot vertical.
4) Se consider funcia f: D R, f(x) = 1
ln2
x
x
.S se determine asimptotele acesteia.
Rezolvare: Determinm D; 1
0 ,1 2,2
xx
x
.
Cutm asimptote orizontale spre + i - .
1lim ln ln1 0
2x
x
x
deci dreapta d1: y=0 este asimptot orizontal la + i - .
Deci nu are asimptot oblic. Cutm asimptotele verticale. Pentru aceasta calculm limitele laterale n x = 1 i x = 2.
1
1
1 0limln ln ln 0
2 1xx
x
x
,
22
1 1limln ln ln
2 0xx
x
x
.
Dreapta d2: x = 1 este asimptot vertical la stnga iar dreapta . d3: x = 2 este asimptot vertical la dreapta.
1 2
y
0 x
x=1
x=2
y=0
prof.Cialcu Ionel
ASIMPTOTEFie punct de acumulare pentru I.Observaie. Dreapta x=a este o dreapt paralel cu Oy, deci vertical.Exemplu. Fie funciay= -2 spre deoarece i .2) O funcie nu poate admite att asimptot orizontal ct i oblic spre ().3) Dac m=0 atunci funcia are asimptot orizontal spre ().
Top Related