Asignatura: MATEMÁTICA BÁSICA.
Docente: Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Semestre: Segundo
Matemática Básica
2 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
G U I A D E E S T U D I O S
I. DATOS INFORMATIVOS
CARRERA: Técnico Superior en Secretariado Ejecutivo
Tecnología en Secretariado Ejecutivo
NIVEL: Tecnológico
TIPO DE CARRERA: Tradicional
NOMBRE DE LA SIGNATURA: Matemática Básica
CÓD. ASIGNATURA: BM-S2-MATE
PRE – REQUISITO: CO – REQUISITO:
TOTAL DE HORAS: Componente docencia: 36
Componentes prácticas de aprendizaje: 0
Componente aprendizaje autónomo: 25
SEMESTRE: Segundo PARALELO: A
PERIODO ACADÉMICO: Mayo – Noviembre 2020
MODALIDAD: Presencial
DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Copyright©2020 Instituto Superior Tecnológico Ismael Pérez Pazmiño. All rights reserved.
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 3
Í N D I C E
G U I A D E E S T U D I O S ........................................................................... 2
PRESENTACION. ...................................................................................................... 7
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA ............................................................................. 8
I. DATOS INFORMATIVOS .................................................................................... 8
II. FUNDAMENTACIÓN .......................................................................................... 8
III. OBJETIVO GENERAL. ...................................................................................... 9
IV. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................. 9
V. CONTENIDOS ................................................................................................. 10
Sistema General de Habilidades ........................................................................... 10
Sistema General de Valores ................................................................................. 10
VI. PLAN TEMÁTICO ............................................................................................ 11
VII. SISTEMA DE CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS ....................... 11
VIII. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Y DE ORGANIZACIÓN DE LA
ASIGNATURA. ..................................................................................................... 14
IX. RECURSOS DIDÁCTICOS ............................................................................. 17
X. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA ......................................... 17
XI. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Y COMPLEMENTARIA ............................................ 18
ORIENTACIONES PARA EL USO DE ESTA GUIA. ... ¡Error! Marcador no definido.
DESARROLLO DE ACTIVIDADES .......................................................................... 22
Unidad Didáctica I. ...................................................................................... ALGEBRA
22
INTRODUCCION. ................................................................................................. 22
Objetivo de la unidad didáctica I ........................................................................... 22
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica I. ................................................ 22
Desarrollo de contenidos: ........................................ ¡Error! Marcador no definido.
Fracciones ............................................................................................................ 23
Signos de una fracción ......................................................................................... 23
Simplificación de Fracciones ................................................................................. 23
Simplificación de Fracciones cuyos términos sean monomios .............................. 23
Simplificación De Fracciones Cuyos Términos Sean Polinomios .......................... 24
Reducir Una Expresión Mixta A Fraccionaria ........................................................ 24
Reducir Fracciones Al Mínimo Común Denominador ............................................ 24
Operaciones con Fracciones ........................................................................ 25
Suma Y Resta Combinadas De Fracciones .......................................................... 25
Multiplicación De Fracciones ................................................................................ 26
División De Fracciones ......................................................................................... 26
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica I. .......................................... 27
Potencia ................................................................................................................ 27
Base ..................................................................................................................... 27
Matemática Básica
4 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Exponente .............................................................................................................27
Exponente Fraccionario ........................................................................................28
Factorización .........................................................................................................28
Unidad Didáctica II.Ecuaciones ................................................................................32
Introducción. .........................................................................................................32
Objetivo de la unidad didáctica II ...........................................................................32
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica II. ................................................32
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica II. ..........................................32
Igualdad ................................................................................................................32
Ecuación ...............................................................................................................32
Identidad. ..............................................................................................................33
Miembros de una Ecuación ...................................................................................33
Transposición de términos ....................................................................................33
Resolución de Ecuaciones ....................................................................................33
Ecuaciones De Primer Grado Con Signos De Agrupación ....................................34
Ecuaciones Fraccionarias De Primer Grado .................................................34
RESOLUCION DE PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO .........35
ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS .36
Ecuaciones Simultaneas .......................................................................................36
Ecuaciones Equivalentes ......................................................................................36
Ecuaciones Independientes ..........................................................................37
Ecuaciones Incompatibles .....................................................................................37
Sistemas de Ecuaciones .......................................................................................37
Sistema de dos Ecuaciones con dos Incógnitas ....................................................37
Método de Igualación ............................................................................................37
Método de Sustitución ...........................................................................................38
Método de Determinantes .....................................................................................39
Método Grafico......................................................................................................40
Punto de Intersección............................................................................................40
DESARROLLO DE ACTIVIDADES.............................. ¡Error! Marcador no definido.
Unidad Didáctica III. ................................ DESIGUALDADES Y SUS APLICACIONES
42
Objetivo de la unidad didáctica III ..........................................................................43
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica III. ...............................................43
Propiedades de las desigualdades ........................................................................44
Desigualdad lineal con una variable ......................................................................44
Aplicación de la Desigualdad lineal .......................................................................45
Valor Absoluto ..............................................................................................46
Desigualdades de Valor Absoluto .........................................................................47
Solución De Las Desigualdades Cuadráticas: ..............................................47
Actividad de Auto Evaluación de la Unidad III .......................................................48
EVALUACION DEL PRIMER PARCIAL ................................................................49
DESARROLLO DE ACTIVIDADES. ............................. ¡Error! Marcador no definido.
Matemática Básica
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Unidad Didáctica IV. ...................................................................................... La Recta.
50
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica IV. .............................................. 50
Distancia entre dos puntos.................................................................................... 51
Representación gráfica de la línea recta ............................................................... 52
Pendiente de la Recta ........................................................................................... 52
Pendiente de la recta que pasa por dos puntos cualquiera ................................... 52
La Pendiente De La Recta Cuando Se Tiene Una Ecuación. ............................... 53
Ecuación de la línea Recta ................................................................................... 55
Formas de la Ecuación de la Recta. ..................................................................... 55
Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos cualquiera ................................... 55
Ecuación de la recta de la forma punto-pendiente ................................................ 56
Ecuación de la recta de la forma con intersecciones ............................................ 57
Ecuación de la recta de la forma pendiente intersección ...................................... 57
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad IV. ................................... 60
Actividad Final Unidad IV. ..................................................................................... 60
DESARROLLO DE ACTIVIDADES ............................. ¡Error! Marcador no definido.
Unidad Didáctica V.................................................................................. Progresiones
60
INTRODUCCION .................................................................................................. 61
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica V. ............................................... 62
Progresión Aritmética ............................................................................................... 62
Termino Enésimo .................................................................................................. 62
Suma de términos ................................................................................................. 62
Taller. ................................................................................................................... 63
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica V.......................................... 63
Progresiones Geométricas ....................................................................................... 63
................................................................................................................................. 63
Termino Enésimo .................................................................................................. 63
Suma de términos ................................................................................................. 64
ORIENTACIONES TAREA ................................................................................... 65
Taller .................................................................................................................... 65
Actividad final de la unidad V ................................................................................ 66
Unidad Didáctica VI.................................................................. Matemática Financiera
67
INTRODUCCION. ................................................................................................. 67
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica VI.......................................... 68
Interés Simple .......................................................................................................... 68
Tasa de Interés ..................................................................................................... 68
Interés Simple Calculo .......................................................................................... 68
ORIENTACIONES PARA LA TAREA ................................................................... 71
Foro ...................................................................................................................... 71
Cálculo del Capital ................................................................................................ 71
Cálculo De la tasa de interés ................................................................................ 71
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Cálculo Del Monto a interés Simple.......................................................................72
Taller .....................................................................................................................72
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica VI. ........................................72
Interés Compuesto ...................................................................................................72
Cálculo del Tiempo ...............................................................................................73
Cálculo de la tasa de interés .................................................................................73
ORIENTACIONES PARA LA TAREA ....................................................................74
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad V. ...............................................74
Actividad Final de la Unidad VI ..............................................................................74
EVALUACION DEL SEGUNDO PARCIAL ...............................................................75
Bibliografía. ..............................................................................................................76
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PRESENTACION.
Señores estudiantes, de parte del INSTIPP reciban nuestro saludo y deseándoles
de antemano se sientan a gusto en nuestra institución. El preparar este material, es
para poder contribuir en alguna manera a la mejora del proceso enseñanza
aprendizaje, consta de elementos básicos que lo orientaran en este proceso, como
son principios básicos de Algebra, un recorrido por las ecuaciones de primer grado
y las desigualdades e inecuaciones de la teoría matemática, problemas y
aplicaciones en el área, la línea recta y las progresiones, para finalizar con dos
temas interesantes de la Matemática Financiera.
La guía plantea lecturas, trabajos prácticos y el respaldo conceptual de los autores
que se citen.
Tratamos de hacer más fácil el proceso de enseñanza – aprendizaje, pero es
necesario interactuar. Para esto estamos Considerando seis unidades didácticas:
Sistema General de conocimientos
Unidad I: Algebra.
Unidad II: Ecuaciones.
Unidad III: Desigualdades y sus aplicaciones.
Unidad IV: Líneas Rectas.
Unidad V: Progresiones.
Unidad VI: Matemática Financiera.
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SILABO DE LA ASIGNATURA
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
ISMAEL PÉREZ PAZMIÑO
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA
I. DATOS INFORMATIVOS
CARRERA: Técnico Superior en Secretariado Ejecutivo
Tecnología en Secretariado Ejecutivo
NIVEL: Técnico
Tecnológico
TIPO DE CARRERA: Tradicional
NOMBRE DE LA SIGNATURA: Matemática Básica
CÓD. ASIGNATURA: BM-S2-MATE
PRE – REQUISITO: CO – REQUISITO:
TOTAL DE HORAS: Componente docencia: 36
Componentes prácticas de aprendizaje: 0
Componente aprendizaje autónomo: 25
# CRÉDITOS: TOTAL HORAS: 61
SEMESTRE: Segundo PARALELO: A
PERIODO ACADÉMICO: mayo-noviembre 2020
MODALIDAD: Presencial
DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Rafael Salcedo Muñoz
II. FUNDAMENTACIÓN
La matemática es una asignatura Teórica- Práctica, que busca que el estudiante use
el razonamiento lógico y crítico en soluciones de problemas empresariales en la vida
cotidiana, el desarrollo de estas habilidades en la Carrera de Secretariado Ejecutivo,
son de gran importancia, pues constituye una herramienta fundamental para el análisis
y toma de decisiones de las actividades que realizará el futuro profesional.
La propuesta de ejes, objetivos, políticas y metas contenidas en este plan parten de
una evaluación previa de los planes anteriores, tanto en gestión como en resultados.
Desde este punto se reconocen las transformaciones estructurales que han ocurrido
durante la última década. La asignatura Matemática Básica se alinea al Plan Nacional
de Desarrollo 2017-2021 ya que se ha tomado en cuenta las oportunidades y
capacidades generadas para el desarrollo social y el fortalecimiento del talento
humano nacional, mejorando los servicios públicos de educación superando las
capacidades competitivas de los estudiantes con respecto a la asignatura antes
mencionada.
Temas como operaciones algebraicas, casos de productos notables y factorización,
ecuaciones de primer grado con sus diferentes métodos e incógnitas, desigualdades
las características de una línea recta (monotonía), tipos de progresiones y matemática
financiera son el temario que nos ayuda a comprender la realidad de eventos
cotidianos resueltos matemáticamente.
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 9
El estudiante obtiene una visión general y práctica de la Teoría Matemática. Asimismo,
aprende a sistematizar los conocimientos adquiridos para usarlos como instrumentos
de razonamiento lógico crítico, en las asignaturas relacionadas y en el ejercicio de la
profesión de Secretariado Ejecutivo. También adquiere criterios de precisión, equidad,
trabajo en equipo, dentro del campo del Secretariado.
Por lo que, la asignatura Matemática Básica toma como objeto de estudio las
propiedades y principios matemáticos básicos para su respectiva aplicación en el
campo laboral.
III. OBJETIVO GENERAL.
Resolver problemas matemáticos propuestos sobre las bases matemáticas
fundamentales, mediante la utilización de conceptos, leyes y principios generales de
la asignatura, permitiendo la consolidación de la información financiera de una
empresa demostrando un alto grado de responsabilidad en el manejo de las cuentas
dentro de la misma.
IV. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Identificar lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas de la vida
cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos
donde se aplican conocimientos y conceptos algebraicos, demostrando
honestidad en los trabajos autónomos.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, aplicando leyes
o principios fundamentales para un dominio adecuado en la resolución de
sistemas con ecuaciones, demostrando criticidad y creatividad en el desarrollo
de ejercicios.
Determinar las inecuaciones, sus propiedades, principios, clasificación y las
formas de resolverlas, mediante la base teórica y la resolución de ejercicios
prácticos, para el planteamiento propio de situaciones descriptivas con
desigualdades, incentivando de esta manera la responsabilidad frente a las
diferentes situaciones que se presenten en la vida cotidiana.
Determinar las características de una línea recta, a través del estudio de
geometría básica, para la resolución de ecuaciones de la recta y su correcta
grafica en el plano cartesiano, demostrando de esta manera constancia y
exactitud en la resolución de ecuaciones sobre el tema revisado.
Resolver progresiones aritméticas y geométricas, aplicando los principios y la
formulación para la resolución de progresiones aplicadas a la vida cotidiana,
desarrollando habilidades de razonamiento lógico, demostrando puntualidad en
la entrega de trabajos y actividades encomendadas a su cargo.
Desarrollar ejercicios prácticos referentes a matemática financiera, mediante el
estudio de operaciones financieras simples y compuestas, para el análisis de
Matemática Básica
10 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
viabilidad o factibilidad económica y financiera, demostrando ética investigativa
en proyectos, trabajos, tareas que son medios para su profesionalización.
V. CONTENIDOS
Sistema General de conocimientos
Unidad I: Algebra.
Unidad II: Ecuaciones.
Unidad III: Desigualdades Y Sus Aplicaciones
Unidad IV: Líneas Rectas.
Unidad V: Progresiones
Unidad VI: Matemática Financiera
Sistema General de Habilidades
Unidad I: Identificar lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas
de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático.
Unidad II: Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas,
aplicando leyes o principios fundamentales.
Unidad III: Determinar las inecuaciones, sus propiedades, principios,
clasificación y las formas de resolverlas.
Unidad IV: Determinar las características de una línea recta, a través del
estudio de geometría básica, para la resolución de ecuaciones de la recta y su
correcta grafica en el plano cartesiano.
Unidad V: Resolver progresiones aritméticas y geométricas, aplicando los
principios y la formulación para la resolución de progresiones aplicadas a la
vida cotidiana.
Unidad VI: Desarrollar ejercicios prácticos referentes a matemática financiera,
mediante el estudio de operaciones financieras simples y compuestas.
Sistema General de Valores
Unidad I: Honestidad en los trabajos autónomos.
Unidad II: Criticidad y creatividad en el desarrollo de ejercicios.
Unidad III: Responsabilidad frente a las diferentes situaciones que se
presenten en la vida cotidiana.
Unidad IV: Constancia y exactitud en la resolución de ecuaciones sobre el tema
revisado.
Unidad V: Puntualidad en la entrega de trabajos y actividades encomendadas
a su cargo.
Unidad VI: Ética investigativa en proyectos, trabajos, tareas que son medios
para su profesionalización.
Matemática Básica
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VI. PLAN TEMÁTICO
DESARROLLO DEL PROCESO CON TIEMPO
EN HORAS
TEMAS DE LA ASIGNATURA C CP S CE T L E THP TI THA
Algebra. 1 4 - - 2 - 1 8 4 12
Ecuaciones. 1 3 - - 2 - - 6 4 10
Desigualdades y sus
aplicaciones
1 1 - - 1 - 1 4 4 8
Líneas rectas. 1 4 1 1 7 4 11
Progresiones 1 3 1 1 6 4 10
Matemática financiera 1 3 1 - 5 5 10
EXAMEN FINAL
Total de horas 6 18 - - 8 - 4 36 25 61
Leyenda:
C – Conferencias. S – Seminarios. CP – Clases prácticas. CE – Clase encuentro. T – Taller. L – Laboratorio. E - Evaluación. THP – Total de horas presenciales. TI – Trabajo independiente. THA – Total de horas de la asignatura.
VII. SISTEMA DE CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS
Unidad I: ALGEBRA.
Objetivo: Identificar lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas de la
vida cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos
donde se aplican conocimientos y conceptos algebraicos, demostrando honestidad en
los trabajos autónomos.
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de
Valores
Operaciones básicas (suma
resta multiplicación, división,
potenciación y radicación) de
expresiones algebraicas.
Propiedades de la suma,
resta, multiplicación y
división entre expresiones
algebraicas.
Identificar la simbología de
las operaciones básicas.
Diferenciar las propiedades
entre las expresiones
algebraicas.
Honestidad en los
trabajos autónomos.
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Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de
Valores
Productos Notables y
Factorización
Resolver casos de
productos notables y
factorización aplicando
conocimientos básicos del
algebra.
Unidad II: ECUACIONES.
Objetivo: Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, aplicando
leyes o principios fundamentales para un dominio adecuado en la resolución de
sistemas con ecuaciones, demostrando criticidad y creatividad en el desarrollo de
ejercicios.
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Ecuaciones: definición,
concepto de: identidad,
miembro, término, clases y
grado de una ecuación.
Resolución de ecuaciones de
primer grado lineales,
fraccionarias y con signo de
agrupación.
Sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas.
Desarrollar lógica
matemática para la
resolución de problemas.
Resolver ecuaciones de
primer grado, aplicando
leyes y principios
fundamentales.
Resolver ejercicios
propuestos en sistemas de
dos ecuaciones con dos
incógnitas.
Criticidad y
creatividad en el
desarrollo de
ejercicios.
Unidad III: DESIGUALDADES Y SUS APLICACIONES
Objetivo: Determinar las inecuaciones, sus propiedades, principios, clasificación y las
formas de resolverlas, mediante la base teórica y la resolución de ejercicios prácticos,
para el planteamiento propio de situaciones descriptivas con desigualdades,
incentivando de esta manera la responsabilidad frente a las diferentes situaciones que
se presenten en la vida cotidiana.
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Desigualdad
Reglas y propiedades
Comparar números
reales, usando los signos
de desigualdad.
Identificar las
propiedades que
Responsabilidad
frente a las diferentes
situaciones que se
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Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Operaciones entre
desigualdades
Grafica.
relacionan el orden con la
suma y el producto.
Resolver operaciones
entre desigualdades.
Expresar las soluciones
gráficamente.
presenten en la vida
cotidiana.
Unidad IV: LÍNEAS RECTAS.
Objetivo: Determinar las características de una línea recta, a través del estudio de
geometría básica, para la resolución de ecuaciones de la recta y su correcta grafica
en el plano cartesiano, demostrando de esta manera constancia y exactitud en la
resolución de ecuaciones sobre el tema revisado.
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Expresión matemática y
grafica de una función lineal
Pendiente de la recta.
Monotonía (Creciente,
Decreciente)
Formas de ecuación de la
recta.
Identificar los diferentes
conceptos de pendiente y
recta.
Identificar la pendiente
creciente y decreciente.
Resolver ecuaciones de la
recta que pasa por dos
puntos, intersección y gráfica.
Constancia y
exactitud en la
resolución de
ecuaciones sobre el
tema revisado.
Unidad V: PROGRESIONES
Objetivo: Resolver progresiones aritméticas y geométricas, aplicando los principios y
la formulación para la resolución de progresiones aplicadas a la vida cotidiana,
desarrollando habilidades de razonamiento lógico, demostrando puntualidad en la
entrega de trabajos y actividades encomendadas a su cargo.
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Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Progresiones
Tipos de progresiones.
Progresiones aritméticas
Progresiones geométricas
Definir conceptos generales
de las progresiones.
Diferenciar entre una
progresión aritmética y una
geométrica.
Resolver problemas de
progresiones aritméticas.
Resolver Problemas de
progresiones geométricas.
Puntualidad en la
entrega de trabajos y
actividades
encomendadas a su
cargo.
Unidad VI: MATEMÁTICA FINANCIERA
Objetivo: Desarrollar ejercicios prácticos referentes a matemática financiera, mediante
el estudio de operaciones financieras simples y compuestas, para el análisis de
viabilidad o factibilidad económica y financiera, demostrando ética investigativa en
proyectos, trabajos, tareas que son medios para su profesionalización.
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Conceptos generales.
Interés simple.
Interés compuesto.
Definir conceptos generales
con respecto a la matemática
financiera.
Calcular el interés simple de
un monto aplicando la
formulación de dicho interés.
Calcular el interés
compuesto de un monto
aplicando la formulación de
dicho interés.
Ética investigativa al
desarrollar proyectos,
trabajos, tareas que
son medios para su
profesionalización.
VIII. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Y DE ORGANIZACIÓN DE LA
ASIGNATURA.
Las clases se desarrollarán, tomando en cuenta el siguiente proceso:
Controles de lectura: Se indica la temática a trabajarse al estudiante, el mismo
que tiene que revisar el sustento teórico para compartir en la sala de clase.
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Resúmenes de clase: El estudiante en cada clase tomará apuntes de las partes
esenciales, las mismas que serán validadas la clase siguiente mediante
preguntas simples por participación voluntaria.
Actividades extra clase: Consisten en resolución de sistemas de ejercicios o
problemas propuestos por cada temática.
Talleres o actividades intra clase: Se entregará un material de apoyo teórico el
mismo que se lo debe de resolver con el direccionamiento del docente,
respetando los niveles de asimilación: Familiarización, Reproducción,
Producción y Creación.
Participación activa en la pizarra: Esta se desarrollará de acuerdo a la temática,
por participación voluntaria o elección al azar, para la validación de procesos y
algoritmos de resolución.
Trabajos de investigación: Consiste en procesos de carácter investigativo en el
cual el estudiante pone de manifiesto su creatividad al proponer organizadores
gráficos, con ejemplos y caracterizaciones del sustento teórico de la temática
consultada.
Trabajos colaborativos: Se formarán grupos de trabajo para la solución de
problemas propuestos usando a mediación tecnológica para la consecución de
los informes.
Portafolio: Será revisado por evaluaciones tomadas a los estudiantes
(parciales, finales y supletorias) y servirá como material de apoyo teórico, en el
mismo se acumulará todos los trabajos desarrollados dentro y fuera de clase.
Correos electrónicos: Se pedirá según lo amerite la temática, él envió de
trabajos vía plataforma Amauta en las fechas establecidas para la verificación
de resultados de los proyectos integradores.
Los métodos utilizados son:
Método Científico: Cumple procesos sistémicos y sistemáticos desde la observación
en el tratamiento del fenómeno, validación de las hipótesis y verificación desde la
praxis en relación a las variables estudiadas.
Método Reproductivo: Con la referencia base se propone la reproducción situaciones
problémicas con algoritmos de resolución sencillos, se da las ayudas respectivas por
niveles de asimilación.
Método Explicativo y Método Ilustrativo: El alumno se apropia de conocimientos
elaborados y los reproduce mediante modos de actuación. El docente explica y dirige
la clase mientras el estudiante atiende y asimila los conocimientos. El estudiante
ilustra a través de ejemplos la temática inferida.
Método de Exposición Problemática: Es un método intermedio, pues supone la
asimilación de la información elaborada y de elementos de la actividad creadora. Se
establecen grupos de trabajo, facilita cierta información y permite al estudiante que
contribuya con su creatividad, ejemplifica los algoritmos de resolución de problema y
se colabora con el estandarte para la creación de su propio ejercicio.
Matemática Básica
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Método Productivo: El que permite luego de reproducir situaciones con algoritmos
sencillos producir sus algoritmos de resolución frente a problemáticas en las que no
se den por completo las directrices para su desarrollo y que ponen de manifiesto
algoritmos a la par de los explicados con sus aportes personales y muy particulares.
Método Heurístico o de Búsqueda parcial de Método Investigativo.- Permite al
estudiante alcanzar conocimientos nuevos, como resultado de la actividad creadora.
El docente estimula a la investigación, y con dicha información realiza talleres de
producción textual y estimula al mismo a crear sus propios ejercicios.
Las Técnicas de Enseñanza se detallan a continuación:
Del interrogatorio: En el uso de preguntas y respuestas para obtener información y
puntos de vista de aplicación de lo aprendido, mediante esta técnica se pretende
despertar y conservar el interés, se exploran experiencias, capacidad, criterio de los
estudiantes y comunicación de ellos.
Del redescubrimiento: Realizar un aprendizaje satisfactorio y efectivo en el cual el
estudiante observa, piensa y realiza.
De la discusión dirigida: Realizar un análisis, una confrontación, una clasificación de
hechos, situaciones, experiencias, problemas, con presencia de docente. Se centra
en la discusión, en el cual se obtienen conclusiones positivas o valederas.
Operatoria: Consiste en realizar actividades de operaciones que permitan el
razonamiento y la comprensión facilitando el aprendizaje
De la resolución de problemas: Permite solucionar problemas matemáticos mediante
un orden lógico, secuencial, práctico y de razonamiento.
Lluvia de ideas: El grupo actúa en un plano de confianza, libertad e informalidad y sea
capaz de pensar en alta voz, sobre un problema, tema determinado y en un tiempo
señalado.
Diálogos simultáneos: Lograr la participación de un gran grupo, dividido en parejas,
respecto a un tema de estudio, trabajo, tarea o actividad.
Conversatorio Heurístico: Busca la participación de los estudiantes desde sus
perspectivas, lo que conocen o pueden conocer a través de un proceso de
investigación en el sitio. Provoca reflexiones socio cognitivas en función del contexto
de la problemática abordada.
Del informe o trabajo escrito: En elaborar pasos para trabajos escritos con estilo
propio.
Habrá tres documentos pedagógicos básicos que permiten evidenciar los resultados
de las actividades del trabajo autónomo y de grupos, desarrollados a partir del sílabo
de la asignatura.
Carpeta con trabajos extractase e intraclase, grupales (hasta 3 a 5 alumnos).
Desarrollo de ejercicios aplicados a la teoría.
Carpeta de trabajos autónomos. En especial consultas sobre temas especiales
y que hayan sido sustentados demostrando su dominio.
Registro de avance académico. Revisión de trabajos extractase, trabajos
autónomos, lecciones orales en el aula, pruebas escritas y exámenes escritos.
Evidencia el cumplimiento y la calidad del trabajo.
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IX. RECURSOS DIDÁCTICOS
Básicos: marcadores, borrador, pizarra de tiza líquida.
Audiovisuales: Computador, proyector, celulares inteligentes, tabletas, laptops y
laboratorio de computación.
Técnicos: Materiales de apoyo complementarios, Sistemas de ejercicios de
aplicación práctica, Documentos de apoyo, Separatas, texto básico, guías de
observación, tesis que reposan en biblioteca.
X. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA
El sistema de evaluación será sistemático y participativo, con el objetivo de adquirir
las habilidades y destrezas cognitivas e investigativas que garanticen la calidad e
integridad de la formación profesional.
Para la respectiva evaluación se valorará la gestión de aprendizaje propuestos por el
docente, la gestión de la práctica y experimentación de los estudiantes, y la gestión
de aprendizaje que los estudiantes propondrán mediante la investigación.
Se tomó como referencia el Reglamento del Sistema Interno de Evaluación Estudiantil
para proceder a evaluar la asignatura, de esta manera se toma como criterio de
evaluación la valoración de conocimientos adquiridos y destrezas evidenciadas dentro
del aula de clases.
Cada alumno deberá demostrar lo aprendido en cada una de las unidades
académicas, y de esta manera esté apto para desenvolvimiento profesional.
Por ello desde el primer día de clases, se presentará las unidades didácticas y los
criterios de evaluación del proyecto final. Se determinará el objeto de estudio, que en
este caso son las teorías de la matemática básica y todos los puntos que ésta conlleva
para su aprobación. La asignatura dentro del proyecto establece los cálculos
realizados para la optimización de la gestión administrativa dentro de las instituciones
públicas.
Se explica a los estudiantes que el semestre se compone de dos parciales con una
duración de diez semanas de clases cada una, en cada parcial se evaluará sobre
cinco puntos las actividades diarias de las clases, trabajos autónomos, trabajos de
investigación, actuaciones en clases y talleres; sobre dos puntos un examen de parcial
que se tomará en la semana diez y semana veinte. De esta manera cada parcial tendrá
una nota total de siete puntos como máximo. El examen final compone un proyecto
integrador de asignaturas en donde se expondrá un proyecto que tiene una valoración
de tres puntos. Por consiguiente, el alumno podrá obtener una nota total de diez
puntos.
Una vez que el estudiante exponga su proyecto integrador y defienda las preguntas
propuestas por el tribunal, será notificado en ese momento la nota obtenida y se
procederá a la respectiva firma de constancia.
Dentro de las equivalencias de notas se clasifican de la siguiente manera:
- 10,00 a 9,50: excelente
- 9,49 a 8,50: muy bueno
- 8,49 a 8,00: bueno
- 7,99 a 7,00: aprobado
- 6,99 a menos: reprobado
Matemática Básica
18 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Los estudiantes deberán alcanzar un puntaje mínimo de 7,00 puntos para aprobar la
asignatura, siendo de carácter obligatorio la presentación del proyecto integrador.
Si el estudiante no alcance los 7,00 puntos necesarios para aprobar la asignatura,
deberá presentarse a un examen supletorio en la cual será evaluado sobre diez puntos
y equivaldrá el 60% de su nota final, el 40% restante corresponde a la nota obtenida
en acta final ordinaria de calificaciones.
Aquellos estudiantes que no podrán presentarse al examen de recuperación son
quienes estén cursando la asignatura por tercera ocasión, y aquellos que no hayan
alcanzado la nota mínima de 2,50/4 en la nota final, o aquellos que hubiesen
reprobado por faltas del 25% o más en la asignatura impartida.
Los parámetros específicos de evaluación del presente proyecto o actividad de
vinculación de la asignatura son los siguientes:
- Expresión de ideas y relaciones matemáticas 0,50
- Terminología y notación apropiada. 0,50
- Elaboración y aplicación correcta de operaciones 0,50
Los parámetros generales
- Dominio del tema 0,50
- Redacción, coherencia y desarrollo del Proyecto integrador 1,00
TOTAL 3,00
La calificación obtenida en la asignatura sobre el proyecto o actividad de vinculación
que en este semestre se denominara Manual de redacción de documentos que
optimice la gestión administrativa en las instituciones públicas de la provincia del Oro,
año 2020; será la suma de los parámetros antes mencionados y se sumara
directamente al promedio antes obtenido sobre 7 puntos, obteniendo de esa manera
una calificación total sobre 10 puntos.
El estudiante no conforme con la nota del proyecto integrador podrá solicitar mediante
oficio una recalificación y obtendrá respuesta del mismo en un plazo no mayor a tres
días hábiles.
El docente tendrá un plazo de 48 horas para socializar las calificaciones obtenidas
luego se asentará en las actas finales y se procederá a recoger la firma de los
estudiantes.
Los proyectos presentados serán sometidos a mejoras o corrección si el caso lo
amerita con la finalidad de ser presentadas en la feria de proyectos científicos que el
Instituto Superior Tecnológico Ismael Pérez Pazmiño lanzará cada año.
XI. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Y COMPLEMENTARIA
ARMAS, W., Baquerizo, G., Ramos, M. y Noboa, D. Fundamentos de Matemáticas.
Segunda Edición. ICM Espol. 2006.
ARREOLA, J. y ARREALA, A. Programación lineal: una introducción a la toma de
decisiones cuantitativas. Editor Thomson. 2003. 502 pp
ARYA, J. y LARDNER, R. “Matemáticas aplicadas a la administración y a la
economía”. México. Quinta Edición. Pearson educación. 2009. 8 32pp.
BALDOR AURELIO. Algebra. 2da edición. México. Grupo Editorial Patria. 2007.
576 p.
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 19
BALDOR AURELIO. Geometría y Trigonometría. 2da edición. México. Grupo
Editorial Patria. 2007. 624p.
CHARLES H LEHMANN. Geometría Analítica. 5ta edición, México Editorial Limusa.
2012. 512p.
DAVID C. LAY. Algebra lineal y sus aplicaciones. Segunda edición. México.
Editorial Pearson Prentice Hall. Addison Wesley Longman., 1999. 750p.
ERNEST F. HAEUSSLER, JR. / RICHARD S. PAUL. Matemáticas para
Administración y Economía. Décima Edición. México. Editorial Pearson Prentice
Hall., 2003. 915p.
GONZÁLEZ, M y MANCILL, J. Algebra elemental y moderna. Editorial Kapelusz.
HANDY, T. “Investigación de operaciones”. México, Novena edición. Pearson
Educación. 2012. 824 pp.
HERNANDEZ, M. Introducción a la programación lineal. UNAM. México. 2007. 215
pp.
HILLIER, F. y LIEBERMAN, G. “Introducción a la Investigación de Operaciones”.
México. Quinta Edición. Mc Graw Hill. 2010. 978pp.
LEHMANN CHARLES H. ALGEBRA. México. Primera edición. Editorial Limusa –
Wiley. S. A. 1964. 473p
LEHMANN, Ch. Algebra. Editorial Limusa – Wiley. S. A. primera edición 1964.
LOUIS LEITHOLD. Cálculo para ciencias administrativas, biológicas y sociales. 2da
edición. México. Editorial Alfaomega. 2006. 672p.
MOROCHO, B. Guía de estudio de Matemática Básica. 2018
MURRAY R. SPIEGEL-SEYMOUR LIPSCHUTZ-DENNIS SPELLMAN. Análisis
Vectorial. México. 2da edición. Editorial McGraw-Hill. 2011. 253p.
SOO T. TAN. Matemáticas aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y de la
vida. 5ta edición. México. Editorial Cengage Learning, inc. 2011. 925p.
SWOKOWSKI, E. y COLE, J. “Álgebra y trigonometría con geometría analítica”.
México. 12ª. Edición. Edamsa Impresiones. 2009. 902 pp.
WEBER JEAN E. Matemáticas para Administración y Economía. 4ta edición.
México. Editorial Mexicana, 2003. 836 pág.
WILLIAM ANTHONY GRANVILLE. Cálculo Diferencial e Integral. 11va edición.
México. Editorial Limusa S.A. 2009. 704p.
Ing. Rafael Salcedo Muñoz
DOCENTE
Matemática Básica
20 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
ORIENTACIONES PARA EL USO DE LA GUÍA DE ESTUDIOS
Antes de empezar con nuestro estudio, debes tomar en cuenta lo siguiente:
1. Todos los contenidos que se desarrollen en la asignatura contribuyen a tu desarrollo profesional,
ética investigativa y aplicación en la sociedad.
2. El trabajo final de la asignatura será con la aplicación de la metodología de investigación científica.
3. En todo el proceso educativo debes cultivar el valor de la constancia porque no sirve de nada tener
una excelente planificación y un horario, si no eres persistente.
4. Para aprender esta asignatura no memorices los conceptos, relaciónalos con la realidad y tu
contexto, así aplicarás los temas significativos en tu vida personal y profesional.
5. Debes leer el texto básico y la bibliografía que está en el syllabus sugerida por el docente, para
aprender los temas objeto de estudio.
6. En cada tema debes realizar ejercicios, para ello debes leer el texto indicado para después desarrollar
individual o grupalmente las actividades.
7. A continuación te detallo las imágenes que relacionadas a cada una de las actividades.
ÍCONOS DESCRIPCIÓN
SUGERENCIA
TALLERES
REFLEXIÓN
TAREAS
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 21
APUNTE
FORO
RESUMEN
EVALUACIÓN
8. Ánimo, te damos la bienvenida a este nuevo periodo académico.
Ing. Rafael Salcedo Muñoz.
Docente.
Matemática Básica
22 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
DESARROLLO DE ACTIVIDADES
Unidad Didáctica I. ALGEBRA
INTRODUCCION.
En esta etapa matemática, ocurre una transición de conocimientos ya que ahora
manejaremos cantidades numéricas y cantidades que son representadas por letras
en las diferentes expresiones algebraicas, por lo que el estudiante tendrá que hacer
uso ya de un conocimiento abstracto, realizar con agilidad operaciones aritméticas,
tanto con números naturales y enteros, manejar operaciones con fracciones,
potencias y sus propiedades, productos notables y factorización, y el valor numérico,
harán que se genere la capacidad de realizar operaciones y problemas más complejos
y con sus respectivas aplicaciones a la vida cotidiana y profesional.
Objetivo de la unidad didáctica I
Identificar lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas de la vida
cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos donde
se aplican conocimientos y conceptos algebraicos, demostrando honestidad en los
trabajos autónomos.
Algebra
Fracciones
simplificacion operaciones
exponentes
reglas operaciones
Factorizacion
casosProductos notables
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 23
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica I.
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica I.
Fracciones
Los primeros números que aparecieron fueron los números
naturales, se los simboliza con la letra N (1,2,3,4,5,6,) mayúscula,
se los usaba para contar y para realizar operaciones de suma y
multiplicación.
Para resolver operaciones con fracciones, debemos observar los
siguientes teoremas o propiedades :
Signos de una fracción
Una fracción tiene tres signos:
Del numerador.
De la raya de fracción y
Del denominador.
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟𝑟𝑎𝑦𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛
Foro.
Fracciones Algebraicas.
Simplificación de Fracciones
es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí .
Simplificación de Fracciones cuyos términos sean monomios
se puede convertir las cantidades numéricas en factores y proceder a simplificar o
comprobar si el numerador y denominador tienen: mitad, tercera, quinta etc., por
ejemplo:
68𝑎5𝑏4𝑥7𝑦3
32𝑎3𝑏5𝑥4𝑦6=
22 ∗ 17𝑎5𝑏4𝑥7𝑦3
25𝑎3𝑏5𝑥4𝑦6=
17𝑎5−3𝑥7−4
25−2𝑏5−4𝑦6−3=
17𝑎2𝑥3
23𝑏𝑦3=
17𝑎2𝑥3
8𝑏𝑦3
En este ejercicio hemos:
1.- Descompuesto las cantidades numéricas en factores.
2.- Reducimos términos de la misma base, identificando el exponente mayor para
restar el exponente menor y así evitar que el resultado nos dé exponentes negativos,
que es lo que debemos evitar.
Matemática Básica
24 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
La otra forma es que empecemos a simplificar la parte numérica, sacando la mitad
tanto al 68 y al 32, quedándonos 34 y 16, volvemos a sacar la mitad y tenemos: 17 y
8, como observamos que las cantidades ya no se las puede seguir dividiendo para
factores comunes ahí paramos, de igual manera se procede con las cantidades
literales, pero manejando la teoría de los exponentes.
Orientaciones tarea :
Resolver los ejercicios del 12 al 16 del ejercicio 118 del algebra
de Baldor
Simplificación De Fracciones Cuyos Términos Sean Polinomios
Para estos casos se procede a descomponer en factores cada expresión y luego
proceder a simplificar, así: 𝑥2+4𝑥+4
(2𝑥2+4𝑥)=
(𝑥+2)2
2𝑥(𝑥+2)=
𝑥+2
2𝑥.
Como observamos se realizó lo siguiente:
1.- Se factorizo en este caso numerador y denominador y.
2.- Se simplifica.
Cabe recalcar que todas las expresiones no tienen el mismo trato.
Orientaciones tarea :
Resolver los ejercicios del 30 al 34 del ejercicio 125 del algebra
de Baldor
Reducir Una Expresión Mixta A Fraccionaria
En este caso tenemos una o varias partes enteras y fraccionarias, por lo que
primeramente encontramos un: m.c.m (un denominador común), y luego la reducción
y simplificación. Por ejemplo: 𝑥 − 2 +𝑥2−10𝑥+25
𝑥−5=
(𝑥 − 2)(𝑥 − 5) + 𝑥2 − 10𝑥 + 25
𝑥 − 5=
𝑥2 − 7𝑥 + 10 + 𝑥2 − 10𝑥 + 25
𝑥 − 5
=2𝑥2 − 17𝑥 + 35
𝑥 − 5=
(𝑥 − 5)(2𝑥 − 7)
𝑥 − 5= 2𝑥 − 7
Orientaciones tarea :
Resolver los ejercicios del 11 al 15 del ejercicio 124 del algebra
de Baldor
Reducir Fracciones Al Mínimo Común Denominador
Se trata de convertir en fracciones equivalentes ósea que tengan el mismo
denominador, así:
𝟐𝒙 − 𝟑
𝒙𝟐 − 𝟑𝟔;
𝟒𝒙
𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟔;
𝟓𝒙 − 𝟑
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒
Se procede a encontrar el m.c.m, factorizando los denominadores, así:
𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 = (𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟔)
𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟔 = (𝒙 + 𝟔)𝟐
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 25
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 = (𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟒)
por lo que el m.c.m. de estas tres expresiones seria: (𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟔)𝟐
Ahora dividimos el m.c.m para cada denominador y lo multiplicamos por el respectivo
numerador:
𝟐𝒙 − 𝟑
𝒙𝟐 − 𝟑𝟔=
(𝟐𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟔)
(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟔)𝟐
𝟒𝒙
𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟔=
𝟒𝒙(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟔)
(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟔)𝟐
𝟓𝒙 − 𝟑
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒=
(𝟓𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟔)𝟐
(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟔)𝟐
Orientaciones tarea :
Resolver los ejercicios del 30 al 34 del ejercicio 125 del algebra
de Baldor
Operaciones con Fracciones
Para operar fracciones se debe tener en cuenta lo siguiente:
1) Se simplifican las fracciones dadas si es posible.
2) Se reducen las fracciones dadas al mínimo común
denominador, si son de distinto denominador.
3) Se efectúan las multiplicaciones indicadas.
4) Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta suma por
el denominador común.
5) Se reducen términos semejantes en el numerador .
6) Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.
Suma Y Resta Combinadas De Fracciones
Resolver la siguiente suma y resta de fracciones:
𝟓
𝒙𝟐 − 𝟏𝟔+
𝟓
𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒−
𝟕
𝒙 − 𝟒=
𝟓
(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)+
𝟓
(𝒙 + 𝟐)𝟐−
𝟕
𝒙 − 𝟒
𝟓(𝒙 + 𝟐)𝟐 + 𝟓(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒) − 𝟕(𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟐)𝟐
(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟐)𝟐
=𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟐𝟎 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝟎 − 𝟕𝒙𝟑 − 𝟓𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 − 𝟏𝟏𝟐
(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟐)𝟐
=−𝟕𝒙𝟑 − 𝟒𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟕𝟐
(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟐)𝟐
Resolver la siguiente suma y resta de fracciones:
𝒙 + 𝟐
𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔−
𝟒
𝒙 − 𝟑+
𝒙 + 𝟒
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔=
𝒙 + 𝟐
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)−
𝟒
𝒙 − 𝟑+
𝒙 + 𝟒
(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟐)=
(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟐) − 𝟒(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐) + (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟒)
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟑)
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 − 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟐𝟒 + 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟑)=
Matemática Básica
26 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
−𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 − 𝟏𝟖
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟑)
=−𝟐(𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟗)
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟑)
Taller.
Resolver los ejercicios del 29 al 35 del ejercicio 0.8, página
32 del libro de Matemáticas Para Administración y
Economía de: Ernest F. Haeussler, Jr. • Richard S. Paul
Multiplicación De Fracciones
Se procede de la siguiente manera:
1. Se descompone en factores, tanto el numerador como el denominador.
2. Se simplifica, eliminando factores comunes del numerador y denominador.
3. Se multiplica lo que queda en el numerador y el denominador queda en
factores.
Por ejemplo, multiplicar:
𝒙𝟑 − 𝟏
𝟒𝒙 − 𝟏𝟐∗
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓
𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏∗
𝒙𝟐 − 𝟗
𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓
=(𝒙 − 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏)
𝟒(𝒙 − 𝟑)∗
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟑)
𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏∗
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟑)
(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟏)
Como observamos se elimina un factor del numerador con otro del denominador, lo
que queda en el numerador se multiplica, mientras lo del denominador queda
expresado en factores, así:
𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 − 𝟐𝟕
𝟒(𝒙 + 𝟓)
Orientaciones tarea :
Resolver los ejercicios del 7 al 10 del ejercicio 0.8, página 31 del
libro de Matemáticas Para Administración y Economía de: Ernest
F. Haeussler, Jr. • Richard S. Paul
División De Fracciones
Se procede igual que la multiplicación, con la diferencia de que a la expresión afectada
por la operación de división se la invierte, convirtiendo la división en multiplicación,
así:
𝒙𝟑 − 𝟏
𝟒𝒙 − 𝟏𝟐÷
𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓=
𝒙𝟑 − 𝟏
𝟒𝒙 − 𝟏𝟐∗
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓
𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏
=(𝒙 − 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏)
𝟒(𝒙 − 𝟑)∗
(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟑)
(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏)
= 𝒙𝟐+𝟒𝒙−𝟓
𝟒
Orientaciones tarea :
Resolver los ejercicios del 10 AL 15, del Algebra de Baldor, del
ejercicio 136
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 27
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica I.
Potencia
Es el resultado de elevar una cantidad llamada base a un
exponente
Base
Es la cantidad que se multiplica por si misma las veces que
indique el exponente.
Exponente
indica cuantas veces se multiplica por sí misma la base
EXPONENTE
𝟓𝟐 = 𝟐𝟓 POTENCIA
BASE 𝟓𝟐 = 𝟓 ∗ 𝟓 = 𝟐𝟓
Orientaciones tarea :
Para la resolución correcta del trabajo extra clase, debemos partir
de las propiedades de los exponentes.
Resolver el ejercicio: 1-3, página 22 del libro de Matemáticas
Aplicadas a la Administración y Economía. Quinta edición de: Arya
– Lardner – Ibarra
A continuación, se detallan las propiedades que se deben seguir
para la resolución de operaciones con exponentes.
Matemática Básica
28 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Exponente Fraccionario
El exponente fraccionario se forma al expresar una cantidad afectada por una raíz en
forma de potencia
Taller.
Resolver el ejercicio 05 del texto guía, pagina 16 y 17 los
siguientes problemas:
del 1 al 8 los pares. Del 5 al 28 los impares.
Del 29 al 40 los 5 últimos. Del 41 al 52. los 5 primeros
Del 53 al 58 todos del 59 al 68. 4 a su elección.
Del 69 al 90 7 a su elección
Foro.
Aplicación de los exponentes, en la vida profesional
Actividad De Aprendizaje III De La Unidad Didáctica I.
Factorización
Cuando se realiza la multiplicación de dos números, éstos se llaman factores de un
producto. El proceso de plasmar una expresión dada como el resultado del producto
de sus factores, se denomina factorización
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 29
A continuación, se detallan las propiedades que se deben seguir
para la factorización de términos algebraicos.
Factor común Diferencia de cubos
ax + ay + az = a(x + y + z) a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma
x2 - 2ax + x2 = (x – a)2 x2 + bx + c = (x + a)(x - b)
Diferencia de cuadrados Trinomio de la forma
a2 – b2 = (a + b) (a – b) 6x2 + 7x + 2 = (2x + 1)(3x + 2)
Suma de cubos Factor común por agrupación
a3 + b3 = (a +b) (a2 – ab + b2) ax + bx + ay + by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)
a) Factorizar
Formando grupos con términos que tengan factores comunes:
Aplicando Factor Común a cada grupo:
Formando dos factores (comunes y no comunes):
Solución.
4a2b2 - 9x2y4
Raíz cuadrada 4a2b2 = 2ab
Raíz cuadrada 9x2y4 = 3xy2
Entonces
4a2b2 - 9x2y4 = (2ab + 3xy2)(2ab - 3xy2)
Taller:
Resolver los siguientes ejercicios:
Del Algebra de Baldor.
Ejercicio N° 127, paginas 212, 213, los ejercicios: 12 y 25.
Matemática Básica
30 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Ejercicio N° 128, paginas 215, los ejercicios: 9.
Ejercicio N° 130, paginas 218, los ejercicios: 8 y 26.
Ejercicio N° 136, paginas 225, los ejercicios: 9 y 14.
Del libro de Matemáticas aplicadas a la administración y
economía de: Arya, Ladner, Ibarra, del ejercicio: 1-6,
página 46 los siguientes: 13 y 37
Los términos algebraicos se encuentran formados por números y
letras, debiendo realizar al inicio de su resolución una agrupación
de términos para simplificar la factorización.
Para desarrollar la factorización de términos algebraicos, se debe
considerar todos los casos de factorización existentes, poner
mucha atención a los signos de cada término.
Las fracciones se componen por un numerador, ubicado en la
parte superior, un denominador, ubicado en la parte inferior y la
raya de fracción, que divide a ambos.
Para resolver operaciones de fracciones se debe partir de los
teoremas o propiedades anteriormente indicadas, pues
consideran todas las posibles situaciones a presentarse.
El proceso de operar fracciones, es muy frecuente en la vida
cotidiana y profesional de toda área.
Toda base elevada al exponente cero es igual a uno.
Por ejemplo: 𝟕𝟎 = 𝟏.
A excepción de cero elevado a la cero no es igual a uno:
𝟎𝟎 ≠ 𝟏
Toda base elevada al exponente 1 es igual a la misma cantidad,
así: 𝟕𝟏 = 7
Para la resolución de ejercicios de exponentes fraccionari0os,
también se debe acudir, a las propiedades de las fracciones y de
ser necesario, a las propiedades de los exponentes, estudiados
en el apartado anterior.
Actividad de Auto Evaluación de la Unidad I
Se elabora reactivos para evaluar el rendimiento en la unidad I de
los estudiantes.
Actividad final de la Unidad I
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 31
Resolver cinco ejercicios de cada caso del texto guía:
Fracciones: página 17 y 18
Exponentes: página 23 y 24
Exponentes fraccionarios: página 28 y 29
Factorización; los pares de la página 46
Matemática Básica
32 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Unidad Didáctica II. Ecuaciones
Introducción.
En esta guía manejaremos algunas partes importantes de las ecuaciones, recordando
que hace muchos años que surge el desarrollo de esta disciplina de las ciencias
exactas, y se define a la ecuación como una igualdad en la que hay una o varias
cantidades conocidas y otras desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica
o es verdadera para determinados valores de las incógnitas, las cuales generalmente
se representan por las últimas letras del alfabeto x, y, z.
Por esto en este contenido del presente trabajo sobre las ecuaciones vamos a ver el
término ecuación sus diferentes definiciones, clasificación, su importancia y su
aplicación en la vida diaria.
Objetivo de la unidad didáctica II
Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, aplicando leyes o
principios fundamentales para un dominio adecuado en la resolución de sistemas con
ecuaciones, demostrando criticidad y creatividad en el desarrollo de ejercicios.
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica II.
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica II.
Igualdad
Se produce cuando en una expresión algebraica, ambos miembros tienen el mismo
valor y están ligados por el signo igual. Por ej.: 13x + 15 = 17
2p + 3q = 70
Ecuación
Es toda igualdad donde hay cantidades llamadas incógnitas, que se las representa
por las últimas letras del alfabeto y por cantidades constantes o conocidas.
Por ejemplo: 5x – 16 = 34
Entonces: x = 10
Si reemplazamos este valor de (x) en la ecuación original tenemos lo siguiente:
Ecuaciones
Ecuaciones de Primer Grado con
una Incognita
Definiciones Basicas
Tipos de Ecuaciones
ejercicios
sistema de dos Ecuaciones con dos Incognitas
Metodos Ejercicios
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 33
5(10) – 16 = 34 ósea: 34 = 34
Por lo tanto, es una ecuación porque tiene una incógnita (x), y es una igualdad por
que se comprueba que: 34 = 34.
Identidad.
Es una igualdad y es verdadera para todo valor de las
variables, por ejemplo:
(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)𝟐 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙𝒚 + 𝟗𝒚𝟐
cómo es una identidad se la escribe así:
(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)𝟐 ≡ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙𝒚 +
𝟗𝒚𝟐
Que se lee: (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)𝟐
idéntico a: 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙𝒚 + 𝟗𝒚𝟐.
Miembros de una Ecuación
Una ecuación t iene dos miembros, uno a la izquierda del signo igual,
donde van las incógnitas y el ot ro miembro a la derecha del s igno igual,
donde van las constantes o valores conocidos.
Por ejemplo: 5x – 7 = 3 - 2x.
En donde: 5x - 7, es el primer miembro,
y: 3 - 2x es el segundo miembro.
Transposición de términos
Un término o un factor puede ir de un miembro a otro cambiando de
operación, teniendo en cuenta de que si se trata de una ecuación todas
las incógnitas quedaran en e l pr imer miembro.
Resolución de Ecuaciones
Recuerda.
En forma general se considera que las incógnitas son
las ult imas letras del alfabeto.
En una ecuación el objetivo es encontrar el valor de la
incógnita o variable.
Le puedes cambiar el signo a toda la ecuación y esta no se altera
Proceso Para La Resolución De Ecuaciones Enteras De Primer Grado Con Una Incógnita:
Real izar operaciones algebraicas si hubiera.
Real izamos la transposición de términos.
Reducimos los términos semejantes.
Se encuentra el valor de la incógnita.
la transposición de términos: 11x - 3x - 2x - 7x = - 1 – 4 - 2
Reducimos términos semejantes: - x = - 7
Cambiamos de signo a los dos miembros y
Encontramos el valor de la incógnita x = 7.
Foro:
Que aplicaciones tienen las ecuaciones en las diferentes áreas de
nuestro entorno laboral
Matemática Básica
34 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Orientaciones tarea :
Resolver las siguientes ecuaciones:
1.- 6x - 8x + 3 = 8 - 5x + 1
2.- 11x – 1 = 3x + 7
3.- 1 – x + 16x + 35 = 16x + 35
4.- 19x - 3x + 34 = 11 - 13
5.- 2 - x - 25 - 11x + 4 = 1 + 2x - 65
6.- 15x - 36x + 54x – 18 + 7x = 6 + 19x - 3
7.- 25-10x+15+9x-25= - 17 + 47x - 16
8.- 112x-58+54x-16x-34+36x-111=42x+87-x
Ecuaciones De Primer Grado Con Signos De Agrupación
Debemos eliminar los signos de agrupación iniciando desde el centro hacia afuera.
Importante respetar la ley de los signos
Resolver la ecuación:
𝟑𝒙 − {−𝟐 + [𝟓𝒙 − 𝟒 − (𝒙 − 𝟏 + 𝒙 − 𝟏 − 𝟕) + 𝟒𝒙 − 𝟗] − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟑} = 𝟐 − 𝟒𝒙
Iniciamos destruyendo el paréntesis:
𝟑𝒙— 𝟐 + [𝟓𝒙 − 𝟒 − 𝒙 + 𝟏 − 𝒙 + 𝟏 + 𝟕 + 𝟒𝒙 − 𝟗] − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟑 = 2 - 4x
Ahora el corchete: 𝟑𝒙— 𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟒 − 𝒙 + 𝟏 − 𝒙 + 𝟏 + 𝟕 + 𝟒𝒙 − 𝟗 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟑=2-4x
Y por último la llave: 3x + 2 - 5x + 4 + x – 1 + x – 1 – 7 - 4x + 9 + 11x – 3 = 2 - 4x
Ahora ubicamos las incógnitas en el primer miembro reduciendo términos semejantes:
7x + 4x = - 3 + 2 11x = - 1 𝒙 = −𝟏
𝟏𝟏
Realizamos la transposición de términos: 16x + 3x + x - 5x - 9x = 2 + 6 + 7 + 15.
Reducimos términos semejantes: 6x = 30.
Despejamos la incógnita: x = 5
Ecuaciones Fraccionarias De Primer Grado
Para resolver estas ecuaciones seguimos el siguiente
procedimiento
1. La transformamos en entera, para ello debemos sacar el:
mcm, que es el que nos permite eliminar todos los
denominadores de la ecuación.
2. Luego procedemos en los mismos términos que las ecuaciones anteriores. Por
ejemplo:
𝟐𝒙 − 𝟑
𝟓+
𝟕 − 𝟓𝒙
𝟏𝟓−
𝟏𝟐𝒙 + 𝟓
𝟐𝟓= 𝟔 −
𝒙 + 𝟐
𝟐𝟎
En este caso para sacar el m.cm. entre: 5, 15, 25 y 20. Descomponemos en factores
así: 5 15 25 20 2
5 15 25 10 2
5 15 25 5 3 Por lo tanto el m.c.m
5 5 25 5 5 es el producto de:
1 1 5 1 5 2*2*3*5*5 = 300.
1 m.c.m = 300.
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 35
Ahora procedemos a dividir el m.c.m para cada denominador de la ecuación, y el
resultado lo multiplicamos por su respectivo numerador, respetando signos,
quedándonos lo siguiente:
𝟔𝟎(𝟐𝒙 − 𝟑) + 𝟐𝟎(𝟕 − 𝟓𝒙) − 𝟏𝟐(𝟏𝟐𝒙 + 𝟓) = 𝟑𝟎𝟎 ∗ 𝟔 − 𝟏𝟓(𝒙 + 𝟐)
Efectuamos los productos indicados y tenemos:
𝟏𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟖𝟎 + 𝟏𝟒𝟎 − 𝟏𝟎𝟎𝒙 − 𝟏𝟒𝟒𝒙 − 𝟔𝟎 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 − 𝟏𝟓𝒙 − 𝟑𝟎
Realizando la transposición de términos queda:
𝟏𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟎𝟎𝒙 − 𝟏𝟒𝟒𝒙 + 𝟏𝟓𝒙 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 − 𝟑𝟎 + 𝟏𝟖𝟎 − 𝟏𝟒𝟎 + 𝟔𝟎
Reduciendo términos semejantes: −𝟏𝟎𝟗𝒙 = 𝟏𝟖𝟕𝟎
Despejando la variable y cambiando de signo: 𝒙 = −𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟏𝟎𝟗.
Que es el valor que satisface a la ecuación.
Otro ejemplo: 𝟑
𝒙−𝟒=
𝟐
𝒙−𝟑+
𝟖
𝒙𝟐−𝟕𝒙+𝟏𝟐
En esta ecuación identificamos un trinomio en el denominador, se observa que si es
factorable quedando la ecuación de la siguiente manera:
𝟑
𝒙 − 𝟒=
𝟐
𝒙 − 𝟑+
𝟖
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟑)
Sacamos el m.c.m, en este caso estará formado por todos los factores comunes y no
comunes, quedando así: 𝒎. 𝒄. 𝒎 = (𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟑).
Ahora dividimos el m.c.m para cada denominador y lo multiplicamos por su respectivo
numerador, quedando así:
𝟑(𝒙 − 𝟑) = 𝟐(𝒙 − 𝟒) + 𝟖
Efectuando los productos tenemos:
𝟑𝒙 − 𝟗 = 𝟐𝒙 − 𝟖 + 𝟖
Transponiendo términos queda: 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 = −𝟖 + 𝟖 + 𝟗
Reduciendo nos da: 𝒙 = 𝟗
ORIENTACIONES TAREA:
Resolver 3 ecuaciones de cada uno de los siguientes ejercicios
del Algebra de Baldor. Ejercicios N°: 79; 82 y 142
No te olvides hacerlo paso a paso
RESOLUCION DE PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Para resolver un problema mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita debemos Considerar lo siguiente:
Leer y comprender el enunciado
Designar la incógnita
Plantear la ecuación
Resolver la ecuación
Discusión e interpretación de los resultados
Matemática Básica
36 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Marta tiene 15 años, que es la tercera parte de la edad de su madre. ¿Qué edad
tiene la madre de Marta?
Llamamos x a la edad de la madre.
La tercera parte de la edad de la madre es la misma que la de Marta, es decir, 15.
Escrito matemáticamente:
x/3 = 15
Por tanto, la edad de la madre es: x = 45.
ORIENTACIONES TAREA:
Resolver el ejercicio N° 82 del Algebra de Baldor.
No te olvides hacerlo paso a paso
Taller:
Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:
1. 2x – 14 + 17x – 40 = 5x + 11.
2. 𝟑 − {−𝟒𝒙 + [𝟓 − (𝒙 + 𝟕) + 𝟐𝒙] − 𝟏𝟒} = 𝟐𝒙 − 𝟓.
3. 𝟕(𝒙 − 𝟑)𝟐 − 𝟓(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒) = 𝟐𝒙(𝒙 + 𝟕).
4. 𝒙−𝟑
𝒙−𝟒−
𝒙−𝟐
𝒙−𝟑=
𝒙+𝟐
𝒙+𝟏−
𝒙+𝟑
𝒙+𝟐
5. La diferencia entre dos números es 17 y el doble del
menor de estos es 26. ¿Qué números son? Y si 26 es
el doble del mayor, ¿Qué números son?
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica II.
ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS
Introducción: Revisaremos los cinco métodos conocidos para resolver sistemas de
dos ecuaciones con dos incógnitas, y son: De Igualación, De Sustitución, De
Reducción, De Determinantes, y Grafico.
Ecuaciones Simultaneas
Toman este nombre cuando las ecuaciones del sistema se satisfacen para los valores
de las incógnitas.
Por ej.: 3x + 5y = 11
2x + 3y = 7
Las dos ecuaciones se satisfacen para: x = 2 e y = 1, por lo tanto, son ecuaciones
simultaneas.
Ecuaciones Equivalentes
Son ecuaciones que si a una de ellas le sumamos o le restamos una cantidad o la
multiplicamos o dividimos para una determinada cantidad, se obtiene la otra ecuación.
Estas ecuaciones tienen infinitas soluciones comunes.
Por ejemplo:
3x + 5y = 11
15x + 25y = 55
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 37
Nos damos cuenta que la segunda ecuación se la obtuvo
multiplicando la primera por 5
Ecuaciones Independientes
Estas ecuaciones no se obtienen la una de la otra, y cuando
t ienen una solución común son simultáneas. Por ej .:
x + 5y = 6
5x + 2y = 7
Estas ecuaciones son independientes ya que ninguna de las dos se ha generado de
la otra, y además son simultaneas por que el valor de “x = 1” e “y = 1”, son los únicos
que satisfacen el sistema.
Ecuaciones Incompatibles
Estas ecuaciones son independientes y no t ienen una solución común y
son incompatibles porque no hay valor que compruebe o verif ique a las
dos ecuaciones.
Por ejemplo: 3x + 5y = 8
9x + 15y = 2
No t ienen soluciones comunes, por lo tanto, son incompatibles.
Sistemas de Ecuaciones
Es el conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más
incógnitas.
En nuestro caso trataremos sistemas de dos ecuaciones
con dos incógnitas.
Sistema de dos Ecuaciones con dos Incógnitas
Los métodos para resolver este t ipo de sistemas son los siguientes:
Método de igualación
Método de reducción.
Método de sustitución.
Método de determinantes.
Método gráfico.
Método de Igualación
Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una
incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes,
con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las
siguientes:
Matemática Básica
38 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación.
Lineal de una incógnita que resulta.
Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las
ecuaciones despejadas de primer paso.
Por ejemplo:
Resolver El Siguiente Sistema De Dos Ecuaciones Con Dos Incógnitas Por El Método
De Igualación.
1 despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda
ecuación.
2 igualamos ambas expresiones:
3 resolvemos los productos indicados:
4 sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las
que tenemos despejada la x:
5 solución:
ORIENTACIONES TAREA:
Resolver el ejercicio N° 180 del Algebra de Baldor.
No te olvides hacerlo paso a paso
Foro.
Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones
Método de Sustitución
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 39
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación,
obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía
la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Resolver el siguiente sistema por el método de sustitución
1. despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones.
Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo
2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
3. Resolvemos la ecuación obtenida:
4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
5. Solución: x=2 e y=3
ORIENTACIONES TAREA:
Resolver el ejercicio N° 180 del Algebra de Baldor.
No te olvides hacerlo paso a paso
Método de Determinantes
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único
número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el
determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por (las barras
no significan valor absoluto).
Resuelve el sistema utilizando los determinantes.
SOLUCIÓN CALCULAMOS primero el determinante del sistema.
Ahora calculamos el valor de x sustituyendo los valores de la primera columna del
determinante del sistema por los valores de los términos independientes y divididos
entre el determinante del sistema
Matemática Básica
40 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Para calcular el valor de y sustituimos los valores de la segunda columna del
determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividimos
entre el determinante del sistema.
COMPROBACIÓN
Sustituimos los valores: x = - 8 y y = 5 en las
ecuaciones
Primera ecuación: 5x + 6y = 5(-8) + 6(5) = -10
Segunda ecuación 2x + 3y = 2(-8) + 3(5) = -1
ORIENTACIONES TAREA:
Resolver el ejercicio N° 180 del Algebra de Baldor. Página
327,del 14 al 18
Método Grafico
Este método tiene como objetivo encontrar la solución a un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas, y esta solución se da en la intersección de las dos rectas, este
punto de intersección lo proyectamos al eje de las abscisas y encontramos el valor de
x, y hacemos también la proyección al eje de las ordenadas y así encontramos el valor
de y, este par de valores constituye el conjunto solución del sistema de ecuaciones.
Punto de Intersección
El punto de intersección de dos rectas y viene dado por la solución del sistema
de dos ecuaciones con dos incógnitas de la forma:
𝑨𝟏𝒙 + 𝑩𝟏𝒚 + 𝑪𝟏 = 𝟎 RECTA 1
𝑨𝟐𝒙 + 𝑩𝟐𝒚 + 𝑪𝟐 = 𝟎 RECTA 2
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 41
En donde las rectas de la forma: deben transformarse a expresiones
que cumplan con: . Esto es:
Resolver el siguiente sistema por el método gráfico: {𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟕𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝒚
observamos en la gráfica que el punto de intersección es: x = 2 y y=3, que
es la solución al sistema propuesto.
ORIENTACIONES TAREA:
Resolver el ejercicio N° 180 del Algebra de Baldor. Página 327,
del 4al 9
Las escalas deben estar bien definidas
Taller:
1.- Resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas por los cinco métodos
Ecuación 1
x y
0 7
3,5 0
Ecuación 2
x y
0 -1
1,5 0
PUNTO DE INTERSECCION
PUNTO DE INTERSECCION
Matemática Básica
42 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
{𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟔𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟔
2.- Resolver las siguientes ecuaciones:
.
3.- La edad de Alberto es 14 y la de su primo es 22. ¿Cuántos
años deben pasar para que las mitades de sus edades sumen 30?
4.- Resolver el siguiente sistema por los diferentes métodos.
Una ecuación te ayuda a resolver problemas de la vida diaria y de
tu profesión.
Lo importante es trabajar detalladamente.
Identifica cada término y ubícalo en su respectivo miembro,
respetando la ley de los signos.
La transposición de términos de un miembro a otro hace que pase
un término que este sumando o restando a efectuar la operación
contraria en el otro miembro.
Y un factor o divisor pasara al otro miembro a multiplicar o dividir
según sea el caso.
Cada método de resolución de un sistema de ecuaciones te lleva
a los mismos resultados.
Siempre trabajar ordenadamente.
Y buscar la aplicación adecuada en nuestro diario vivir
Actividad de Auto Evaluación de la Unidad I
Se elabora reactivos para evaluar el rendimiento en la unidad I de
los estudiantes.
Resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas por todos los métodos.
{𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟒𝟏
−𝟐𝒙 + 𝟕𝒚 = −𝟑𝟓
Actividad Final de la Unidad II
Resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas por todos los métodos.
{𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝟏𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟑
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 43
Unidad Didáctica III. DESIGUALDADES Y SUS APLICACIONES
INTRODUCCION.
Se Dice que las inecuaciones son desigualdades algebraicas porque no aparece el
signo igual " = " entre sus miembros, sino que sus expresiones matemáticas suelen
estar separadas por los signos > (mayor que), < (menor que), mayor o igual que y
menor o igual que. Para tu tranquilidad, tienes que saber que se resuelven de manera
casi idéntica a las ecuaciones que has visto hasta ahora. Sólo tienes que tener en
cuenta que:
"Si multiplicamos o dividimos los 2 miembros de una inecuación por un número
negativo, la desigualdad cambia de sentido"
Objetivo de la unidad didáctica III
Determinar las inecuaciones, sus propiedades, principios, clasificación y las formas de
resolverlas, mediante la base teórica y la resolución de ejercicios prácticos, para el
planteamiento propio de situaciones descriptivas con desigualdades, incentivando de
esta manera la responsabilidad frente a las diferentes situaciones que se presenten
en la vida cotidiana.
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica III.
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica III.
una desigualdad nos permite establecer que un número es menor
que otro.
Recordemos que si: a > 0, el número es positivo.
a < 0, el número es negativo.
Desigualdades
Aplicaciones
Valor Absoluto
EJERCICIOS
Matemática Básica
44 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Si a y b son dos números reales distintos,
Escribimos: a > b si la diferencia: a - b es positiva y
a < b si: a - b es negativa.
Por ejemplo:
9 > 6 porque : 9 – 6 es positivo y 6 < 9 dado que : 6 – 9 es negativo.
Propiedades de las desigualdades
1.- si: a > b, entonces: a + c > b + c y a - c > b - c.
por ejemplo: 8 > 5, entonces: 8 + 3 > 5 + 3 y 8 – 3 > 5 - 3
Por lo que se cumple que, si a una desigualdad le sumamos o le restamos una
cantidad igual en ambos lados, la desigualdad se mantiene y tendrá el mismo sentido.
Otro ejemplo:
12 < 15, al sumarle la misma cantidad en ambos miembros
tenemos: 12 + 7 < 15 + 7 y 12 – 7 < 15 - 7
2. Si: a > b y b > c entonces: a > c.
por ejemplo:
8 > 6 y 6 > 4 entonces: 8 > 4
5. Si: a > b y c > 0 entonces: ac >bc y 𝒂
𝒄>
𝒃
𝒄
6.
8 > 5 y 3 > 0 entonces: 8.3 > 5.3 y 𝟖
𝟑>
𝟓
𝟑
4. Si:a > b y c < 0 entonces: ac < bc y 𝒂
𝒄<
𝒃
𝒄.
Por ejemplo:
6 > 5 y -2 < 0 entonces: 6(-2) < 5(-2) y 𝟔
−𝟐<
𝟓
−𝟐
Desigualdad lineal con una variable
el procedimiento es igual como si se tratara de una ecuación lineal, despejamos
primeramente la variable y de ahí se aplican las propiedades de las desigualdades.
Vamos a practicar.
Resolver las siguientes desigualdades.
7x - 4 > 2x + 7 como: x > 𝟏𝟏
𝟓, tiene la forma: x > a, el conjunto
solución seria:
7x – 2x > 7 + 4 (𝟏𝟏
𝟓,∞) y la grafica quedaría:
5x > 11
𝟓𝒙
𝟓>
𝟏𝟏
𝟓
x > 𝟏𝟏
𝟓
𝟏𝟏
𝟓 ∞
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 45
12x + 11 < 6x – 7 el conjunto solución sería: ( - ∞, - 3)
12x – 6x < -7 – 11
6x < -18
X < -3
ORIENTACIONES TAREA:
Del algebra de Conamat de Pearson, resolver del ejercicio 133,
los impares del 1 al 13
Aplicación de la Desigualdad lineal
El costo total de producción de (x) unidades de un determinado producto está dado
por: C(x) = 2800 + 22x, si cada unidad se vende a $ 35, cuantas unidades se deberían
producir y vender para obtener una utilidad de al menos $ 2500.
Entonces: P(x) = R(x) – C(x) Utilidad total.
R(x) = 35x Ingreso Total
C(x) = 2800 + 22x costo total de producción
Por lo que: P(x) = 35x – (2800 + 22x) = 35x – 2800 – 22x = 13x – 2800.
Y si se desea obtener una utilidad de al menos $ 2500, tendríamos que:
P(x) ≥ 2500, o: 13x – 2800 ≥ 2500 13x ≥ 2500 + 2800 13x ≥ 5300 x ≥ 𝟓𝟑𝟎𝟎
𝟏𝟑
Observamos que para obtener al menos $2500 de utilidad se deberán producir y
vender al menos 407,69 unidades
ORIENTACIONES TAREA:
Del libro de matemáticas aplicadas a la administración y
economía de Arya, resolver el ejercicio 3-2,página 104, del 27 al
32
Existen desigualdades cuadráticas.
Ahora estudiaremos un poco de ellas.
Son desigualdades en las que la variable esta al cuadrado y
generalmente tienen la siguiente forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎 o 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎
O también: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 𝟎 o 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟎
Pero: a, b y c son constantes determinadas y: a ≠ 0
Para resolver este tipo de desigualdades procedemos idéntico a la resolución de
ecuaciones de segundo grado, iniciamos igualando la desigualdad y encontrando las
raíces de la ecuación. Estas raíces dividen a la recta en intervalos, en cada intervalo
escogemos un punto y se prueba si la desigualdad es cierta o falsa en dicho punto, si
Matemática Básica
46 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
es cierta en ese punto será cierta para todos los puntos del intervalo y si llegare a ser
falsa será para todos los puntos del intervalo.
Ejemplo.
1.- Resolver la siguiente desigualdad: 𝒙𝟐 + 𝒙 < 𝟐.
Ahora escribimos la desigualdad con todos los términos en el primer miembro.
𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 < 𝟎
Luego la igualamos a cero, transformándola en una ecuación de segundo grado, así:
𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 = 𝟎
Factorizando tendríamos: (x + 2)(x - 1) = 0
Cada factor lo igualamos a cero y luego despejamos la variable, así:
X + 2 = 0 de donde se tiene que: x = - 2
X – 1 = 0 de donde se tiene que: x = 1.
La grafica quedaría:
-2 0 1
Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo: (-2,1)
2.- Resolver la siguiente desigualdad: 𝟓𝒙 ≤ 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟒)
Resolvemos el producto notable indicado 𝟓𝒙 ≤ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐
Transponemos todos los términos al primer miembro: 𝟓𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟐 ≤ 𝟎
Ordenamos la desigualdad: −𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟏𝟐 ≤ 𝟎
Es preferible que el primer término sea positivo 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟐 ≥ 𝟎
Factorizamos: (x - 3)(3x + 4) = 0
Igualamos los factores a cero y despejamos las variables:
Primer factor: x – 3 = 0 x = 3 segundo factor: 3x + 4 = 0 𝒙 = −𝟒
𝟑
−𝟒
𝟑 0 3
Conjunto solución de la desigualdad es: (−𝟒
𝟑, 𝟑)
Foro:
Que aplicaciones tienen las desigualdades en la vida profesional
Valor Absoluto
Ecuaciones de Valor, en la recta numérica, la distancia desde x
hasta un valor se le llama valor absoluto de equis, se lo
representa: |𝒙| por ejemplo: |𝟒| es 4 y el de: |−𝟒| es 4
también, ya que tanto el 4 y el -4, están a 4 unidades del cero
4 unidades 4 unidades
-4 0 4
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 47
Por ejemplo: |𝒙 − 𝟒| =3, lo que nos dice que: 𝒙 − 𝟒, esta a 3 unidades del cero.
Por lo tanto: 𝒙 − 𝟒 = 𝟑 ; 𝒙 = 𝟕 𝒐 𝒙 = 𝟏
Desigualdades de Valor Absoluto
Cumple la misma regla anterior, pero con los signos mayor que o menor que, la
presenta tabla nos ayuda en las soluciones:
|𝒙 − 𝟑| < 𝟓 por lo que: −𝟓 < 𝒙 − 𝟑 < 𝟓
−𝟓 + 𝟑 < 𝒙 < 𝟓 + 𝟑
−𝟐 < 𝒙 < 𝟖
Por lo tanto, la solución es el intervalo: (-2,8), lo que significa que todos los números
entre -2 y 8, satisfacen la desigualdad original.
−𝟐 < 𝒙 < 𝟖
ORIENTACIONES TAREA:
Del algebra de Conamat de Pearson, resolver del ejercicio 133,
los impares del 1 al 10
Solución De Las Desigualdades Cuadráticas:
1. Escribir la desigualdad en la forma estándar.
2. Reemplazar el signo de desigualdad por un signo y resolver la
ecuación cuadrática resultante.
Las raíces dividen la recta numérica en intervalos.
3. En cada intervalo elegir un punto y probar la desigualdad dada
en ese punto.
Si es verdadera (falsa) en ese punto, entonces es verdadera
(falsa) en todos los puntos de ese intervalo.
4. Para una desigualdad estricta, en el conjunto solución no se
incluyen los puntos extremos de los intervalos. Para una
desigualdad no estricta sí se incluyen esos puntos extremos.
Taller
Matemática Básica
48 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Resolver:
1. 𝟐𝒙 + 𝟑 > 𝒙 − 𝟒
2. 𝟕 + 𝟒𝒙 < 𝟏𝟎 + 𝟑𝒙.
3. 𝟑(𝟐𝒙 − 𝟑) < 𝟓(𝒙 − 𝟏)
4. La compañía Davis fabrica un producto que tiene un
precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de
$15.Si los costos fijos son de $600,000, determine el
número mínimo de unidades que deben venderse para
que la compañía tenga utilidades.
5. Un fabricante de cartuchos para juegos de vídeo, vende
cada cartucho en $19.95. El costo de fabricación de
cada cartucho es de $12.92. Los costos fijos mensuales
son de $8000.Durante el primer mes de ventas de un
nuevo juego, ¿cuántos cartuchos debe vender el
fabricante para llegar al punto de equilibrio (esto es,
para que el ingreso total se igual al costo total)?
Actividad de Auto Evaluación de la Unidad III
Se elabora reactivos para evaluar el rendimiento en la unidad III
de los estudiantes.
1. Resolver la siguiente desigualdad:12x - 14 > 8x + 10
2. El costo total de producción de (x) unidades de un determinado
producto está dado por: C(x) = 3754 + 18,50x, si cada unidad
se vende a $ 22,45, cuantas unidades se deberían producir y
vender para obtener una utilidad de al menos $ 2125.
3. Resolver las siguientes desigualdades cuadráticas:
𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 < 𝟏𝟓.
𝟗𝒙 ≤ 𝟐(𝒙𝟐 − 𝟏𝟔)
4. Resolver la siguiente desigualdad de valor absoluto:
|𝒙 − 𝟏𝟐| < 𝟕
5. Un fabricante de routers, vende cada uno en $35. El costo de
fabricación de cada routers es de $12.92. Los costos fijos
mensuales son de $3500.¿cuántos routers debe vender el
fabricante para llegar al punto de equilibrio (esto es, para que
el ingreso total sea igual al costo total)?
Actividad Final Unidad III.
Resolver la siguiente desigualdad:17x - 24 > 18x - 10
6. El costo total de producción de (x) unidades de un determinado
producto está dado por: C(x) = 1542 + 7,30x, si cada unidad
se vende a $ 2,45, cuantas unidades se deberían producir y
vender para obtener una utilidad de al menos $ 754.
7. Resolver las siguientes desigualdades cuadráticas:
𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 < 𝟐𝟓.
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 49
𝟐𝒙 ≤ 𝟓(𝒙𝟐 − 𝟑𝟔)
8. Resolver la siguiente desigualdad de valor absoluto:
|𝟐𝒙 − 𝟕| < 𝟏𝟕
9. Un fabricante de un determinado producto, vende cada uno en
$3,50. El costo de fabricación de cada producto es de $1,20.
Los costos fijos mensuales son de $350. ¿cuántos productos
debe vender el fabricante para llegar al punto de equilibrio
(esto es, para que el ingreso total sea igual al costo total)?
EVALUACION DEL PRIMER PARCIAL
Matemática Básica
50 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Unidad Didáctica IV. La Recta.
Introducción:
Bien, una recta es aquello que entendemos como el ente ideal que se extiende en
una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está
compuesta de infinitos segmentos. De forma más sencilla, podemos describir la recta
como: la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, no posee
principio ni fin.
Teniendo en cuenta que los puntos están alineados, podemos encontrar la recta
mediante dos puntos, considerando esta idea de lo que es una recta, plantearemos
cuatro formas de encontrar la ecuación de la recta y su pendiente.
Objetivo: Determinar las características de una línea recta, a través del estudio de
geometría básica, para la resolución de ecuaciones de la recta y su correcta grafica
en el plano cartesiano, demostrando de esta manera constancia y exactitud en la
resolución de ecuaciones sobre el tema revisado.
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica IV.
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica IV.
El sistema de ejes coordenados está formado por dos rectas
numéricas, una horizontal y otra vertical llamadas ejes. El eje
horizontal (eje x) se denomina eje de las abscisas y el eje
vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas.
La Recta
Pendiente de la recta.
Que pasa por dos puntos
Cuando se tiene una Ecuacion
Ejercicios
Ecuaciones de la Recta
Formas de la Ecuacion de la Recta
Paralelismo Perpendicularidad
Ejercicios.
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 51
Sobre el sistema de ejes coordenados se pueden
ubicar todos los pares ordenados de la forma (a, b),
como lo muestra la figura.
Tarea:
Graficar en un sistema de coordenadas rectangulares los
siguientes puntos:
(-2,-4) (3,4) (-2,5) (4,-6) (9,-1) (3,-4) (5,-7) (2,5)
Distancia entre dos puntos
Supongamos que:
P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 )
Son dos puntos del plano tal como se observa en la figura.
La distancia entre P1 y P2 se puede determinar, por ejemplo, mediante el teorema de
Pitágoras, de la siguiente manera:
) y - (y ) x - (x PP 212
212
2
21
Así la distancia de P1 a P2 es: 𝑷𝟏𝑷𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)𝟐
Foro.
La pendiente de la recta, aplicaciones
Ejemplo: Calcular La distancia entre los puntos A(-4, 7) y B(3, -5) es:
x x
y
y
x2 –
x
y
P
P
Matemática Básica
52 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
) 7 - (-5 ) (-4) - (3 AB 22
144 49
193 AB = 13,89
Orientaciones Tarea:
Encontrar la distancia entre los puntos dados a continuación. Y
graficarlos
(-2,-3) y (-7,-8) (5,8) y (3,4) (-2,5) y (-3,8) (5,-1) y (4,-6)
(9,-1) y (6,-3) (3,-4) y (5,-7) (2,5) y (7,-5)
Representación gráfica de la línea recta
En toda igualdad de la forma: ax + by = c , donde a,b,c R, representa una ecuación
lineal con dos incógnitas, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y).
Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.
Ejemplo: Graficar la ecuación: x + y = 4
A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas
Le corresponde gráficamente una recta.
Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las
coordenadas de un punto que es solución de la ecuación
dada, es decir satisface esta ecuación .
Los puntos que cada par ordenado representa pertenecen a La recta correspondiente.
Pendiente de la Recta
Pendiente de la recta que pasa por dos puntos cualquiera
Se denomina pendiente “m” de una recta al ángulo
x y (x, y)
2 2 (2, 2)
1 3 (1, 3)
0 4 (0, 4)
-1 5 (-1, 5)
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 53
de inclinación “” que tiene respecto Del eje de las
abscisas (eje x)-
𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
Recuerda que la pendiente nos indica si la
recta es creciente o decreciente.
La pendiente positiva indica que la recta es creciente.
La pendiente negativa nos indica que la recta es decreciente.
Si la pendiente es cero, la recta es horizontal.
Si la pendiente es infinita, es una recta vertical paralela a “y”
Ejemplo: calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos: (2,5) y (3,2); e
indicar si la recta es creciente o decreciente y por qué?
𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏=
𝟐 − 𝟓
𝟑 − 𝟐=
−𝟑
𝟏= −𝟑
Es una recta decreciente ya que la
Pendiente es negativa.
Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos, dados a
continuación, graficar e indicar si la recta es creciente o decreciente
y por qué.
(-2,5) y (-3,8) (5,-1) y (4,-6) (9,-1) y (6,-3) (3,-4) y (5,-7)
La Pendiente De La Recta Cuando Se Tiene Una Ecuación.
Cuando se tiene una ecuación y se desea encontrar la pendiente debemos aplicar la
siguiente formula: 𝒎 = −𝑨
𝑩
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54 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Donde:
A es el coeficiente de equis (x).
B es el coeficiente de ye (y).
Calcular la pendiente de la recta si tenemos la siguiente ecuación: 2x + 3y = 5.
Aquí: A = 2; B=3, entonces: 𝒎 = −𝑨
𝑩= −
𝟐
𝟑= −𝟎, 𝟔𝟕.
Como observamos la pendiente salió negativa por lo tanto la recta es decreciente.
Para este caso se presenta un pequeño problema al graficar sin embargo se puede
aplicar la graficacion por condiciones o por el método tradicional darles cualquier valor
a las variables.
Entonces en la ecuación: 2x + 3 y = 5, planteamos las condiciones:
Cuando: x = 0; nos queda: 2(0) + 3y = 5; despejamos y, en este caso: 𝒚 =𝟓
𝟑= 𝟏, 𝟔𝟕
Cuando: y = 0; tendríamos: 2x + 3(0) = 5; despejamos x, y se tiene: 𝒙 =𝟓
𝟐= 𝟐, 𝟓𝟎
Y si lo hacemos por el método tradicional, debemos despegar (y).
𝒚 =𝟓 − 𝟐𝒙
𝟑
Elaboramos la tabla tradicional, damos valores a (x) para encontrar los de (y), así:
𝒚 =𝟓−𝟐𝒙
𝟑=
𝟓−𝟐(−𝟐)
𝟑=
𝟓+𝟒
𝟑=
𝟗
𝟑= 𝟑
𝒚 =𝟓 − 𝟐𝒙
𝟑=
𝟓 − 𝟐(−𝟏)
𝟑=
𝟓 + 𝟐
𝟑=
𝟕
𝟑= 𝟐, 𝟑𝟑
𝒚 =𝟓−𝟐𝒙
𝟑=
𝟓−𝟐(𝟏)
𝟑=
𝟓−𝟐
𝟑=
𝟑
𝟑= 𝟏
𝒚 =𝟓−𝟐𝒙
𝟑=
𝟓−𝟐(𝟐)
𝟑=
𝟓−𝟒
𝟑=
𝟏
𝟑= 𝟎, 𝟑𝟑
Encontrar la pendiente de la recta de las siguientes
ecuaciones, indicar si son crecientes o decrecientes y
porque, además realice el respectivo gráfico.
3x – 2y = 4, 5x – 3y = 2, x + y = 0,
x y
-2 3,00
-1 2.33
1 1,00
2 0,33
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 55
-2x + y = 7, 9x – 3y = 15, -2x – 3y = 4
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica IV.
Ecuación de la línea Recta
Toda igualdad de la forma: ax + by = c , donde a,b,c R, también se puede escribir
en la forma: y = mx + b , es decir como una función, donde m es la pendiente o
coeficiente de dirección y b es la intersección de la recta con el eje y , llamada también
coeficiente de posición.
Formas de la Ecuación de la Recta.
Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos cualquiera
Los puntos tienen cualquier valor, pueden ser positivos o negativos, la fórmula que
permite encontrar esta ecuación es:
𝒚 − 𝒚𝟏 =𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏(𝒙 − 𝒙𝟏)
Dónde:
𝒙𝟏 y 𝒙𝟐 son las abscisas de los puntos dados.
𝒚𝟏 y 𝒚𝟐 son las ordenadas de los puntos dados.
x e y son las incógnitas o variables de la ecuación a encontrar.
Con los mismos puntos dados al inicio encontrar la ecuación de la recta.
Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos a (-2,-3) y
b (-5,-6), ¿indicar si la recta es creciente o decreciente y por qué?
𝒚 − 𝒚𝟏 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
(𝒙 − 𝒙𝟏)
𝒚 − (−𝟑) =−𝟔 − (−𝟑)
−𝟓 − (−𝟐)[𝒙 − (−𝟐)]
𝒚 + 𝟑 =−𝟔 + 𝟑
−𝟓 + 𝟐(𝒙 + 𝟐)
𝒚 + 𝟑 =−𝟑
−𝟑(𝒙 + 𝟐)
𝒚 + 𝟑 = 𝒙 + 𝟐
x – y = 1
Que es la ecuación de la recta
y es creciente por que la pendiente
es positiva.
Matemática Básica
56 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Tarea:
¿Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
dados a continuación e indicar si es creciente o decreciente y
por qué?
(-2,-3) y (-7,-8) (5,8) y (3,4) (-2,5) y (-3,8) (5,-1) y (4,-6)
(9,-1) y (6,-3) (3,-4) y (5,-7) (2,5) y (7,-5)
Ecuación de la recta de la forma punto-pendiente
Tiene una relación con el primer caso, la diferencia está en que se nos da el punto y
la pendiente. La fórmula que permite encontrar esta ecuación es:
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)
Dónde:
𝒙𝟏 La abscisa del punto dado.
𝒚𝟏 La ordenada del punto dado.
x e y son las incógnitas o variables de la ecuación a encontrar.
m es la pendiente dada
Ejemplo: encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,5), y cuya
pendiente m=4.
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)
𝒚 − 𝟓 = 𝟒(𝒙 − 𝟐)
𝒚 − 𝟓 = 𝟒𝒙 − 𝟖
𝟒𝒙 − 𝒚 = 𝟑
Para realizar el grafico encontramos un punto más por lo menos para poder graficar
Taller:
¿Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
dados a continuación e indicar si es creciente o decreciente
y por qué?
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 57
(2,-8); m=4 (5,5) m=2 (-5,8) m=1
(-7,-6) m=8 (6,-3) m=-2 (2,-7) m=-3 (4,-5) m=-7
Ecuación de la recta de la forma con intersecciones
Esta recta se caracteriza por que tiene un punto interceptando el eje de las “x” y otro
punto interceptando el eje de las “y”.
Sus puntos tienen la forma: (a,0) y (0,b).
Dónde:
a.- es el valor diferente de cero que corresponde a “x” de los puntos dados.
b.- es el valor diferente de cero que corresponde a “y” de los puntos dados.
La fórmula para encontrar dicha ecuación es: 𝒙
𝒂+
𝒚
𝒃= 𝟏
Ejemplo: ¿encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4,0) y (0,2) e
indicar si es creciente o decreciente y por qué?
𝒙
𝒂+
𝒚
𝒃= 𝟏
𝒙
𝟒+
𝒚
𝟐= 𝟏
Como podemos observar un punto esta sobre
cada eje
Calculamos la pendiente para determinar si es
creciente o decreciente:
𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏=
𝟐−𝟎
𝟎−𝟒=
𝟐
−𝟒= −
𝟏
𝟐
Por lo tanto, determinamos que la recta es
decreciente por que la pendiente es negativa.
Tarea:
¿Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados
a continuación e indicar si es creciente o decreciente y por qué?
(-2,0) y (0,-8) (2,0) y (0,5) (-2,0) y (0,8)
(5,0) y (0,-6) (9,0) y (0,-3) (3,-0) y (0,-7)
(2,0) y (0,-5)
Ecuación de la recta de la forma pendiente intersección
Se caracteriza por que el punto dado esta sobre el eje de las “y” y
tiene una determinada dirección dada por la pendiente, sin
embargo, es necesario encontrar el otro punto para poder graficar.
La fórmula que permite encontrar esta ecuación es: y = mx + b y el punto dado
tiene la forma: (0,b)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5
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58 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Dónde:
x e y son las incógnitas o variables de la ecuación a encontrar.
b es el valor diferente de cero que corresponde a “y” de los puntos
dados.
m es la pendiente dada
Ejemplo: encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto: (0,4) y cuya
pendiente m=5.
y = mx + b
y = 5x + 4 esta es la ecuación.
Para graficar encontramos el otro punto,
Por ej. cuando x=1 y=9
Tarea:
¿Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados
a continuación e indicar si es creciente o decreciente y por qué?
(0,-8); m=4 (0,5) m=2 (0,8) m=1 (0,-6) m=8
(0,-3) m=-2 (0,-7) m=-3 (0,-5) m=-7
Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente o si
ambas son verticales u horizontales.
O sea se cumple que: 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐.
Por ejemplo, si tenemos la recta: 2x – 3y = 1, esta recta tiene como pendiente: 𝒎 =𝟐
𝟑,
si queremos encontrar una recta paralela a ella debera tener la misma pendiente.
Entonces yo quiero encontrar la recta paralela a: 2x – 3y = 1, con otra recta que pasa
por el punto (4,-1), para que sea paralela la pendiente es la misma de la ecuación
ósea: 𝒎 =𝟐
𝟑; aplicamos la formula punto pendiente y encontramos dicha ecuacion:
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)
𝒚 − (−𝟏) =𝟐
𝟑(𝒙 − 𝟒)
𝒚 + 𝟏 =𝟐
𝟑(𝒙 − 𝟒)
𝟑𝒚 + 𝟑 = 𝟐𝒙 − 𝟖)
Quedándonos: 2x - 3y = 11. Como observamos analíticamente esta recta es
paralela a la recta: 2x – 3y = 1.
0
2
4
6
8
10
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 59
Gráficamente tenemos lo siguiente:
Rectas Perpendiculares. Para que dos rectas sean perpendiculares se debe cumplir
la siguiente condición: 𝑚1 = −1
𝑚2. o 𝑚2 = −
1
𝑚1.
Si lo aplicamos al ejemplo anterior, se tiene la ecuación: 2x – 3y = 1 y 𝑚 =2
3, si
necesitamos encontrar la recta perpendicular que pasa por el punto: (4,-1), primero
calculamos: . 𝑚2 = −1
𝑚1= −
12
3
= −3
2.
Al multiplicar: 𝒎𝟏. 𝒎𝟐 = −𝟏 condicion de perpendicularidad.
Entonces: 𝟐
𝟑(−
𝟑
𝟐) = −𝟏, vemos que se cumple.
Entonces la ecuación perpendicular a: 2x – 3 y = 1 será:
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)
𝒚 − (−𝟏) = −𝟑
𝟐(𝒙 − 𝟒)
𝟐𝒚 + 𝟐 = −𝟑𝒙 + 𝟏𝟐
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟎
Gráficamente.
Encontrar las rectas paralelas y perpendiculares de la siguiente información:
Matemática Básica
60 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
tarea
1) 3x – 4y = - 4; (-2,6) 4) 4x – y = 5; (3,-1).
2) x – 3y = 1; (1,-2) 5) 7x + 2y = 9 (-4,3).
3) - 2x + 3y = -4 (1, 8) 6) 9x + 5y = 10 (2,0)
Apoyándose en GeoGebra realizar cada gráfico.
Entonces la pendiente de la recta nos indica si tenemos una
recta creciente o decreciente.
Hay que aplicar la forma correcta para encontrar la ecuación de
la recta
La condición de paralelismo es que: 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐
La condición de perpendicularidad es: 𝒎𝟏𝒎𝟐 = −𝟏
Si no se cumple que: 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 y que: 𝒎𝟏𝒎𝟐 = −𝟏, entonces
esas rectas no son ni paralelas ni perpendiculares.
Además, siempre que se intercepten una recta horizontal y una
vertical, cumplen la condición de ser perpendiculares.
Foro:
La Recta, aplicaciones.
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad IV.
Encontrar la ecuación y la pendiente de la recta que tiene la
siguiente información, realice el respectivo grafico e indique si es
creciente o decreciente y porque, según sea el caso.
1. que pasa por los puntos: (2,-7) y (5,2).
2. que pasa por el punto: (-3,5) y cuya pendiente es: m = - 4.
3. por los puntos: (2,0) y (0,-8).
4. que pasa por el punto: (0,-4) y m = - 5.
Actividad Final Unidad IV.
Encontrar la ecuación y la pendiente de la recta que tiene la
siguiente información, realice el respectivo grafico e indique si es
creciente o decreciente y porque, según sea el caso.
1) que pasa por los puntos: (8,-9) y (-4,-7).
2) que pasa por el punto: (-8,6) y cuya pendiente es: m = 7.
3) por los puntos: (5,0) y (0,8).
4) que pasa por el punto: (0,-9) y m = 5.
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 61
Unidad Didáctica V. Progresiones
INTRODUCCION.- Las progresiones son una sucesión o serie de números que tienen
algo de común, estas pueden ser: aritméticas y geométricas, tienen un propósito
fundamental en la matemática común y en la aplicada de manera específica en las
matemáticas financieras.
Esta serie de número se puede formar al sumar o restar una cantidad o al multiplicar
por una cantidad constante.
En el mundo microscópico existen multitud de seres que influyen en nuestra vida.
Unos de esos seres son las bacterias.
En concreto, podemos referirnos a la bacteria Eschericia Coli, más conocida en los
medios de comunicación como E. Coli. Esta provocó la muerte de algunas personas
en Alemania, y en un primer momento se indicó que habían aparecido en los pepinos
españoles exportados a dicho país.
Aunque después se demostró que no era cierto; las primeras declaraciones de los
responsables alemanes provocaron un gran revuelo, que ocasionó grandes pérdidas
a la exportación de frutas y verduras de nuestro país y hasta pudo provocar un
conflicto diplomático.
Las bacterias tienen la característica de que se reproducen por bipartición. Es decir,
una bacteria se divide en dos pasado un determinado tiempo. Es el comportamiento
que desarrollan las progresiones.
Objetivo de la unidad didáctica V
Resolver progresiones aritméticas y geométricas, aplicando los principios y la
formulación para la resolución de progresiones aplicadas a la vida cotidiana,
desarrollando habilidades de razonamiento lógico, demostrando puntualidad en la
entrega de trabajos y actividades encomendadas a su cargo.
Progresiones
Aritmeticas
Partes Ejercicios
Geometricas
Partes Ejercicios
Matemática Básica
62 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica V.
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica V.
Progresión Aritmética
una serie de números están en progresión aritmética cuando cada
uno de ellos (excepto el primero) es igual al anterior más una
cantidad constante llamada diferencia (d) de la progresión.
EJEMPLO: 1, 4, 7, 10 ..... Es una progresión cuya diferencia es 3.
30, 25, 20, 15... Es una progresión cuya diferencia es –5
Tarea.
Realiza 4 progresiones aritméticas, cuyas diferencias sean:2,4.5
y 1 y el primer término sea:-3, -8, 7 y 11 respectivamente
Termino Enésimo
El término n-ésimo, también llamado TÉRMINO GENERAL, de
una progresión aritmética se obtiene sumando al primer término
la diferencia multiplicada por (n -1):
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅.
Suma de términos
Suma de “n” términos de una progresión aritmética La suma de
los términos de una progresión aritmética es igual a la semisuma
de los términos extremos multiplicada por el número de términos
que se suman.
𝑺 =𝒂𝟏 + 𝒂𝒏
𝟐∗ 𝒏 𝒐 𝑺 =
𝟐𝒂𝟏 + (𝒏 + 𝟏)𝒅
𝟐∗ 𝒏
Donde:
𝒂𝟏 es el primer termino d es la diferencia
𝒂𝒏 es el ultimo termino 𝒏 es el numero de
terminos
S es la sumatoria de términos.
Ejercicio.
Hallar el termino 48 de la progresión aritmética de diferencia 3 y primer término 11.
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅
𝒂𝟒𝟖 = 𝟏𝟏 + (𝟒𝟖 − 𝟏)𝟑 = 𝟏𝟏 + (𝟒𝟕)𝟑 = 𝟏𝟏 + 𝟏𝟒𝟏 = 𝟏𝟓𝟐
Ejercicio.
Los ángulos de un triángulo están en progresión aritmética, hallar el valor de cada
Angulo si el mayor mide 100°.
Un triángulo tiene 3 ángulos , entonces el mayor es: 𝒂𝟑 = 𝟏𝟎𝟎°
Si formamos la progresión quedaría: 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑..
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 63
𝒂𝟏 = 𝟏𝒆𝒓 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 = 𝒂; 𝒂𝟐 = 𝟐𝒅𝒐 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 = 𝒂 + 𝒅; 𝒂𝟑 = 𝟑𝒆𝒓 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 = 𝒂 + 𝟐𝒅,
Entonces: 𝒂 + 𝒂 + 𝒅 + 𝒂 + 𝟐𝒅 = 𝟏𝟖𝟎°
Que es la suma de los tres ángulos de un triángulo.
Reduciendo la expresión nos queda: 𝟑𝒂 + 𝟑𝒅 = 𝟏𝟖𝟎°
Dividiendo para 3: 𝒂 + 𝒅 = 𝟔𝟎°
Despejo a: 𝒂 = 𝟔𝟎° − 𝒅
Pero: 𝒂 + 𝟐𝒅 = 𝟏𝟎𝟎°
Reemplazando (a) 𝟔𝟎° − 𝒅 + 𝟐𝒅 = 𝟏𝟎𝟎°
Reduciendo y transponiendo: 𝒅 = 𝟏𝟎𝟎° − 𝟔𝟎° = 𝟒𝟎°
Por lo que el primer Angulo seria: 𝒂 = 𝟔𝟎° − 𝟒𝟎° = 𝟐𝟎°
El segundo seria: 𝒂 + 𝒅 = 𝟐𝟎° + 𝟒𝟎° = 𝟔𝟎°
La progresión aritmética: ÷ 𝟐𝟎𝟎, 𝟐𝟎𝟏, 𝟐𝟎𝟐 + ⋯ … … … … … . +𝟐𝟗𝟗. Tiene 100 terminos
y una diferencia de 1, calcular la suma de los 100 terminos.
𝑺 =𝒂𝟏 + 𝒂𝒏
𝟐∗ 𝒏 =
𝟐𝟎𝟎 + 𝟐𝟗𝟗
𝟐∗ 𝟏𝟎𝟎 =
𝟒𝟗𝟗
𝟐∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟒𝟗𝟓𝟎
Taller.
1. Una progresión aritmética de 50 términos empieza por 9 y
termina por 200. Calcular su diferencia y la suma de sus
términos.
2. Calcula la suma de los mil primeros números pares y de
los mil primeros números impares. ¿Cuál es mayor?
3. Calcula el valor de 1+2+3+4+ ... + n
4. Si la suma de los n primeros términos es 2550, halla n.
5. En una progresión aritmética la suma de los 10 primeros
términos es 140 y la suma de los diez primeros términos
impares es 125. ¿Cuánto vale a6?
Foro.
Progresiones Aritméticas, aplicaciones en la vida real
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica V.
Progresiones Geométricas
Se dice que una serie de números están en progresión geométrica
cuando cada uno de ellos (excepto el primero) es igual al anterior
multiplicado por una cantidad constante llamada razón de la
progresión.
Ejemplo: 1, 3, 9, 27, 81..... Es una progresión cuya razón es 3.
8, 4, 2 , 1 , ½ , ¼ ,....Es una progresión cuya razón ½
Termino Enésimo
Matemática Básica
64 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Si a1 , a2 , a3 ,... an-1 , an son los sucesivos términos de una progresión geométrica
cuya razón es “r”.
El término n-ésimo, también llamado TERMINO GENERAL, de una progresión
geométrica se obtiene multiplicando el primer término por la razón elevada a (n -1)
así:
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏𝒓𝒏−𝟏
Suma de términos
Suma de “n” términos de una progresión geométrica Sea la progresión geométrica de
n términos: a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an . Si Sn representa la suma de los n términos,
se tiene:
𝑺𝒏 =𝒂𝒏𝒓𝒏 − 𝒂𝟏
𝒓 − 𝟏 .
Fórmula que permite hallar la suma de los términos de una progresión geométrica
limitada, conociendo el primer término, el último y la razón.
Otra fórmula que podemos utilizar es:
𝑺 =𝒂𝟏
𝟏−𝒓
Suma de infinitos términos de una progresión geométrica de razón
r (siendo r un número tal que -1 < r < 1 )
La suma de los términos de una progresión geométrica ilimitada
decreciente es igual al primer término dividido por (1 -r).
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 65
ORIENTACIONES TAREA:
Determina el término general de cada una de las siguientes
progresiones geométricas:
(a) -1, ½, -¼ , 1/8, ....
(b) 2, 3, 3 2, ...
(c) -32, 16, -8, 4, ..
encontrar la suma de suma de los 8 términos de una progresión
cuyo primer término es 5 y la razón es 4
Concluimos que:
las progresiones aritméticas se originan al sumar o restar una
cantidad constante llamada diferencia.
Las progresiones geométricas en cambio se orinan al multiplicar
por una cantidad constante llamada razón.
Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de
sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos
particularmente interesantes por el principio de regularidad que
permite sistematizar la definición de sus propiedades: las
progresiones aritméticas y geométricas.
Taller.
Se elabora reactivos para evaluar el rendimiento en la
unidad II de los estudiantes.
1.- Crear una progresión aritmética de 12 términos,
cuya diferencia es 2 y su primer término es 3.
2.- Crear una progresión geométrica de 7 términos,
cuya razón es 3 y el primer término es 1.
3.- Encontrar la suma de términos del primer ejercicio.
Matemática Básica
66 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
4.- Encontrar el último término de una progresión
aritmética cuyo primer término es 2, la razón 4 y el número
de términos es 9.
Foro.
Progresiones Geométricas, aplicaciones en el diario vivir.
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad V.
1. Realiza un breve resumen de las aplicaciones de las
progresiones en la vida cotidiana.
2. Escribe una progresión aritmética de 9 términos donde el
primero sea 8 y la diferencia -2.
3. Encontrar la suma de los 65 términos de una progresión
aritmética donde el primer término es -5, y el ultimo 300.
4. Crear una progresión geométrica de 7 términos, cuya razón es
3, el primer término 2.
5. Encontrar la suma de los 12 términos de una progresión
geométrica cuyo primer término es -3, la razón: -2 .
Actividad final de la unidad V
1) Haga un resumen de la diferencia entre progresión aritmética
y geométrica.
2) Escribe una progresión aritmética de 12 términos donde el
primero sea -8 y la diferencia -2.
3) Encontrar la suma de los 45 términos de una progresión
aritmética donde el primer término es 4, y el ultimo 250.
4) Crear una progresión geométrica de 8 términos, cuya razón es
-4, el primer término 3.
5) Encontrar la suma de los 22 términos de una progresión
geométrica cuyo primer término es 2, la razón: 3.
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 67
Unidad Didáctica VI. Matemática Financiera
INTRODUCCION.
Nos dice Michael Parkin, en su obra Macroeconomía: «El dinero, el fuego y la rueda,
han estado con nosotros durante muchos años. Nadie sabe con certeza desde cuándo
existe -el dinero-, ni de cuál es su origen».
En forma similar nos acompaña la matemática financiera, cuya génesis está en el
proceso de la transformación de la mercancía en dinero. el valor solo existe de forma
objetiva en forma de dinero. Por ello, la riqueza se tiene que seguir produciendo como
mercancía, en cualquier sistema social. Como el sistema financiero está íntimamente
ligado a las matemáticas financieras.
Por el año 1,368 - 1,399 D.C. aparece el papel moneda en China y luego en la Europa
medieval, donde fue muy extendido por los orfebres y sus clientes. Siendo el oro
valioso, los orfebres lo mantenían a buen recaudo en cajas fuertes. Como estas cajas
de seguridad eran amplias los orfebres alquilaban a los artesanos y a otros espacios
para que guardaran su oro; a cambio les giraban un recibo que daba derecho al
depositante para reclamarlo a la vista.
Estos recibos comenzaron a circular como medio de pago para comprar propiedades
u otras mercancías, cuyo respaldo era el oro depositado en la caja fuerte del orfebre.
En este proceso el orfebre se dio cuenta que su caja de caudales estaba llena de oro
en custodia y le nace la brillante idea, de prestar a las personas "recibos de depósitos
de oro", cobrando por sus servicios un interés; el oro seguiría en custodia y solo
entregaba un papel en que anotaba la cantidad prestada; tomando como previsión el
no girar recibos que excedieran su capacidad de respaldo. Se dio cuenta de que
intermediando entre los artesanos que tenían capacidad de ahorro en oro y los que lo
necesitaban, podía ganar mucho dinero. Así es la forma en que nació el actual
mercado de capitales, sobre la base de un sistema financiero muy simple, de carácter
intermediario.
Objetivo de la unidad didáctica VI
Desarrollar ejercicios prácticos referentes a matemática financiera, mediante el
estudio de operaciones financieras simples y compuestas, para el análisis de
viabilidad o factibilidad económica y financiera, demostrando ética investigativa en
proyectos, trabajos, tareas que son medios para su profesionalización.
Matemática Básica
68 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica VI.
Interés Simple
el interés está directamente relacionado con la utilización del
dinero, que está siempre produciendo más dinero, en función del
tipo de interés y del tiempo.
En consecuencia, se puede decir que interés es el valor que se paga por el uso del
dinero.
Por ejemplo: si por invertir $ 100 se obtienen $ 15, se dice que se está ganando el
15% de interés.
Tasa de Interés
Es el cociente entre el interés generado y el capital en la unidad de tiempo
establecido.
La fórmula que nos permite su cálculo es:
𝒊 =𝑰
𝑪
Donde:
𝒊 es la tasa de interés.
I Interés generado.
C Capital.
Interés Simple Calculo
𝑰 = 𝑪. 𝒊. 𝒕.
Matematica Financiera
Interes Simple
formulas Ejercicios
Interes Compuesto
Formulas Ejercicios.
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 69
Como podemos apreciar, el interés más alto se da en el segundo caso, con el tiempo
exacto y el año comercial y equivale a 255, mientras que el más bajo está dado en el
tercer caso, con el tiempo aproximado y el año calendario, y es igual a 246,5753. Para
operaciones bancarias, es el segundo caso en el que más se utiliza.
Debemos recordar que el número de días puede cambiar de acuerdo a lo siguiente:
Año comercial: 360 días. Año calendario: 365 días. Año bisiesto: 366
días
Por lo tanto, el interés ganado puede ser aproximado o exacto.
Tiempo aproximado.
Queremos calcular el tiempo aproximado que hay del 17 de enero al 24 de agosto,
para lo cual procedemos de la siguiente manera:
Enero 17 días.
Febrero 30 días.
Marzo 30 días.
Abril 30 días.
Mayo 30 días.
Junio 30 días.
Julio 30 días.
Agosto 6 días.
Total 203 días.
Tiempo exacto.
Enero 17 dias.
Matemática Básica
70 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Febrero 28 dias.
Marzo 31 dias
Abril 30 dias
Mayo 31 dias.
Junio 30 dias.
Julio 31 dias.
Agosto 7 dias.
Total 205 dias
por lo tanto el interes tambien puede ser exacto u ordinario, se
considera exacto cuando se toma el año de 365 o 366 dias, si la
tasa de interes es anual. Y por lo tanto sera ordinario cuando se
considera el año de 360 dias.
Ejemplo:
El interes exacto y ordinario de un capital de 20000 al 9% de
interes
anual, desde el 10 de abril hasta el 15 de septiembre del presente
año, se calcula así:
mes Tiempo exacto
(dias)
Tiempo aproximado
(dias)
Abril 20 20
Mayo 31 30
Junio 30 30
Julio 31 30
Agosto 31 30
Septiembre 15 15
total 158 155
Interes exacto con tiempo exacto
𝑰 = 𝑪. 𝒊. 𝒕 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟗 ∗𝟏𝟓𝟖
𝟑𝟔𝟔= 𝟕𝟕𝟕, 𝟎𝟓
Interes exacto con tiempo aproximado
𝑰 = 𝑪. 𝒊. 𝒕 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟗 ∗𝟏𝟓𝟓
𝟑𝟔𝟔= 𝟕𝟔𝟐, 𝟑𝟎
Interes ordinario con tiempo exacto
𝑰 = 𝑪. 𝒊. 𝒕 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟗 ∗𝟏𝟓𝟖
𝟑𝟔𝟎= 𝟕𝟗𝟎
Interes ordinario con tiempo aproximado
𝑰 = 𝑪. 𝒊. 𝒕 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟗 ∗𝟏𝟓𝟓
𝟑𝟔𝟎= 𝟕𝟕𝟓.
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 71
Como podemos darnos cuenta el mayor interés se genera en
tiempo exacto ano comercial.
ORIENTACIONES PARA LA TAREA
De la página 63 del libro de Matemáticas Financieras de:
Armando Mora resolver todos los ejercicios.
Entre las tasas de interés más empleadas se hallan la anual,
semestral, quimestral, cuatrimestral, trimestral, bimestral,
mensual o diaria.
a) La tasa de interés anual se utiliza para el tiempo exacto o
aproximado: 365 o 360 días, respectivamente
b) La tasa de interés semestral se utiliza para el tiempo de 180,
181, 182 o 184 días del semestre (primer o segundo semestre
del año)
c) La tasa de interés trimestral se utiliza para el tiempo de 90,
91 o 92 días.
d) La tasa de interés mensual se utiliza para el tiempo de 30 o
31 días del mes.
e) La tasa de interés diaria se utiliza directamente.
la tasa de interés siempre debe estar en relación con el tiempo;
generalmente, si la tasa es anual, el tiempo estará dividido en
360 días; si es semestral, 180 días; si es trimestral, 90 días; si es
mensual, 30 días, y si es diario, un día. Es necesario hacer esta
relación tasa de interés/tiempo para evitar errores de cálculo.
Foro.
Aplicaciones más frecuentes del Interés simple.
Cálculo del Capital
Para el cálculo del capital inicial (C), se toma como base la fórmula del interés
simple:
I = Cit
y se despeja C: 𝑪 =𝑰
𝒊∗𝒕
Cálculo del capital cuando: la tasa es anual y el tiempo en años.
Para calcular el capital cuando el tiempo es en días y la tasa es anual.
𝑪 =𝟑𝟔𝟎𝑰
𝒊 ∗ 𝒕
Calcular qué capital produjo un interés de $ 18.000 a una tasa de interés del 20%
anual en 180 días.
𝑪 =𝟑𝟔𝟎𝑰
𝒊∗𝒕=
𝟑𝟔𝟎∗𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎
𝟎.𝟐𝟎∗𝟏𝟖𝟎= 𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒐𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔.
Cálculo De la tasa de interés
Matemática Básica
72 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Cuando la tasa de interés es anual y el tiempo en años se
despeja de la formula inicial del interés y se tiene:
𝒊 =𝑰
𝑪 ∗ 𝒕
A que tasa de interés se coloca un capital de 10000 dólares para
que produzca 3000 dólares de intereses en 3 años.
𝑖 =𝐼
𝐶 ∗ 𝑡=
3000
10000 ∗ 3∗ 100 = 10%
Cálculo Del Monto a interés Simple
Para esto aplicamos la formula siguiente:
M = C + I
Pero como el interés es igual a: I = C.i.t.
reemplazamos en la fórmula de monto y nos queda:
M = C + C.i.t M = C(1 + i.t)
Calcular el monto de un capital de 10000 dólares al 10% de
interés durante 3 años.
M = 10000(1 + 0,10*3) = 10000*1.30 = 13000 Dólares.
Taller.
De la página 66 del libro de Matemáticas Financieras de:
Armando Mora resolver todos los ejercicios
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica VI.
Interés Compuesto
El interés compuesto se caracteriza porque el interés generado,
en una unidad de tiempo, se suma al capital y este valor
nuevamente gana intereses y se acumula al nuevo capital, y así
sucesivamente, tantas veces como períodos de capitalización se
hayan establecido.
Calculemos el monto, el interés simple y el interés compuesto de un capital de $
4.000.000 a una tasa de interés del 10% durante 6 años.
Cálculo a interés simple:
I = Cit = 4.000.000(0,10)(6) = $ 2.400.000
M = C(1 + it) = 4.000.000[1 + 0,10(6)] = $ 6.400.000
Cálculo a interés compuesto:
(Para el primer año)
M = 4.000.000[1 + 0,10(1)] = $ 4.400.000
(Para el segundo año)
M = 4.400.000[1 + 0,10(1)] = $ 4.840.000
(Para el tercer año)
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 73
M = 4.840.000[1 + 0,10(1)] = $ 5.324.000
(Para el cuarto año)
M = 5.324.000[1 + 0,10(1)] = $ 5.856.400
(Para el quinto año)
M = 5.856.400[1 + 0,10(1)] = $ 6.442.040
(Para el sexto año)
M = 6.442.040[1 + 0,10(1)] = $ 7.086.244
Puede notarse la diferencia, en el mismo tiempo y con la misma tasa de interés, del
monto total que producen.
Monto con interés simple: $ 6.400.000
Monto con interés compuesto: $ 7.086.244
Aplicando la formula general para el monto tendríamos:
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛
Para el caso del ejercicio anterior tendríamos:
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 = 4000000(1 + 0,10)6 = 4000000(1,10)6
= 7.086.244
Como observamos nos da el mismo valor calculado por el
método
Taller.
Calculemos el monto, el interés simple y el interés compuesto de
un capital de $ 4.680.000 a una tasa de interés del 16,50 %
durante 9 años.
Cálculo del Tiempo
Para este cálculo de la formula del monto despejamos (n), pero
como esta en forma de exponente aplicamos logaritmos,
quedándonos lo siguiente:
𝑛 =𝑙𝑜𝑔𝑀 − 𝑙𝑜𝑐𝐶
log (1 + 𝑖)
Si aplicamos al ejercicio anterior quedaría:
𝑛 =𝑙𝑜𝑔𝑀−𝑙𝑜𝑐𝐶
log (1+𝑖)=
𝑙𝑜𝑔7086244−𝑙𝑜𝑔4000000
log (1+0.10)=
6,8504−6,6021
0,0041=
0,2484
0,0414=6
Cálculo de la tasa de interés
Para esto utilizamos la siguiente formula:
Matemática Básica
74 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
𝑖 = √𝑀
𝐶
𝑛
− 1
Para el caso del ejemplo anterior tendríamos:
𝑖 = √𝑀
𝐶
6− 1 = √
7086244
4000000
6− 1 = √1,77166 – 1 = 1,10 – 1 = 1,00*100 = 10%
ORIENTACIONES PARA LA TAREA
De la página 175 del libro de Matemáticas Financieras de:
Armando Mora resolver todos los ejercicios
Como se observa, la diferencia entre el monto a interés simple y
el monto a interés compuesto radica en que este último se va
acrecentando en función del tiempo, debido a la acumulación de
los intereses al capital por período de capitalización.
El interés compuesto crece en función del nuevo capital por
período, mientras que el interés simple es constante durante todos
los períodos. Mientras más períodos se capitalice, mayor será la
diferencia entre el interés simple y el interés compuesto.
La diferencia del tiempo comercial y el tiempo exacto, hacen que
la banca principalmente se beneficie de este juego del tiempo.
Es importante aplicar de la manera adecuada las fórmulas.
Hay que recalcar que, para cálculos de aprendizaje, se trabaja
con dos decimales, pero cuando se trata de dinero real, debemos
utilizar la mayor cantidad de decimales y si es posible todos, ya
que se trata de dinero y cada decimal marca la diferencia.
Foro:
Qué tipo de interés aplica la banca comercial-
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad V.
1. Calcular el interés simple que gana un capital de 15000
dólares al 14% anual, desde el 5 de enero al 24 de octubre del
presente año.
2. Calcular qué capital produjo un interés de $ 18.000 a una tasa
de interés del 20% anual en 180 días.
3. A que tasa de interés se coloca un capital de 10000 dólares
para que produzca 3000 dólares de intereses en 3 años.
4. Calculemos el monto, el interés simple y el interés compuesto
de un capital de $ 4.000.000 a una tasa de interés del 10%
durante 6 años.
5. Calcular el tiempo exacto que hay desde el 5 de febrero al 7
de diciembre del presente año.
Actividad Final de la Unidad VI
Matemática Básica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 75
6. Calcular el interés simple que gana un capital de 45000
dólares al 12,50% anual, desde el 5 de enero al 24 de octubre
del presente año.
7. Calcular qué capital produjo un interés de $ 7.500 a una tasa
de interés del 16% anual en 280 días.
8. A que tasa de interés se coloca un capital de 154650 dólares
para que produzca 3456 dólares de intereses en 5 años.
9. Calculemos el monto, el interés simple y el interés compuesto
de un capital de $ 4.682.000 a una tasa de interés del 14,50%
durante 6 años.
10. Calcular el tiempo exacto que hay desde el 15 de mayo al 7 de
diciembre del presente año.
EVALUACION DEL SEGUNDO PARCIAL.
Matemática Básica
76 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
BIBLIOGRAFÍA.
AGUILAR, M, ARTURO. BRAVO, V, FABIAN,V. GALLEGOS, R, HERMAN,
A. CERON, V, MIGUEL. REYES, F, RICARDO. Algebra. Editorial Pearson
Prentice Hall. Primera Edición, 2009.
ARYA, J y LARDNER, R. Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la
Economía. Editorial Pearson Prentice Hall. Cuarta Edición, 2002.
BALDOR, A. Algebra. Grupo Editorial Patria. Segunda edición, 2007.
BALDOR, A. Aritmética. Grupo Editorial Patria. Segunda edición, 2007.
BALDOR, A. Geometría y Trigonometría. Grupo Editorial Patria. Segunda
edición, 2007.
GONZÁLEZ, M y MANCILL, J. Algebra elemental y moderna. Editorial
Kapelusz.
LEHMANN, Ch. Algebra. Editorial Limusa – Wiley. S. A. primera edición
1964.
MORA ZAMBRANO, A. Matemáticas Financieras. Editorial Alfaomega.
Tercera Edición, 2009.
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