Pietrani

Capitolul 1 Despre numere ................................................................................. 1Capitolul 2 Cum se scriau numerele odinioar i cum se scriu acum ........ 8

Capitolul 3 Ceva din istoria calculului numeric ............................................ 16

Capitolul 4 Curiozitile unor numere ntregi i ale unor fracii ........... 234.1 Numere cu caliti morale ........................................................ 23

4.2 Unele numere i curiozitile lor ............................................ 24

4.3 Ptrate i cuburi curioase ........................................................ 32

4.4 Numere trecute prin ciur ......................................................... 55

4.5 Curiozitile unor fracii .......................................................... 38

Capitolul 5 iruri de numere ........................................................................... 41

Capitolul 6 Probleme asupra numerelor ........................................................ 49Capitolul 7 Numere uriae ............................................................................... 52Capitolul 8 Diverse probleme recreative ..................................................... 58Capitolul 9 Jocuri aritmetice ...................................................................... 65Capitolul 10 Cum calculm rapid .................................................................... 76Capitolul 11 Cteva probleme celebre de aritmetic ............................... 83Capitolul 12 Numere aezate n figuri ......................................................... 8712.1 Probleme cu figuri magice ..................................................... 92

Capitolul 1 Despre numere1. Ceva despre unele numere cunoscutePmntul are o vrst de peste 2.000.000.000 de ani, iar viaa pe planeta

noastr exist de mai bine de 300.000.000 de ani. Pe planeta Mercur anul are 88 de zile pmnteti. Lumina nainteaz cu o vitez de aproximativ 300.000 de km/sec, n timp ce viteza sunetului este de aproape 1.050 km/or. Corpurile, n micarea lor, se freac de aerul nconjurtor i ca urmare li se ridic temperatura cu 25 la o vitez de 1.050 km/or. La o vitez de 2.100 km/or aceast temperatur ajunge la 157.

Iat numai cteva fenomene naturale astzi cunoscute, care au fost descoperite i cercetate de savani. i multe, nesfrit de multe alte fenomene naturale se mai petrec n jurul nostru dup anumite legi fizice, chimice, biologice, sociologice etc. ntre diversele fenomene naturale exist o serie de legturi, unele bine cunoscute, altele n curs de cercetare i multe nc nedescoperite.

Ce reprezint ns cele cteva numere citate o dat cu fenomenele artate? i, mai departe, ce reprezint marea imensitate de alte numere pe care gndul nostru nici nu le poate mcar cuprinde?

tiina numerelor ne nva c ele constituie mijlocul prin care noi reuim s exprimm, n anumite uniti de msur, relaiile cantitative ntre mulimea de fenomene care se petrec n natur sau ntre imensitatea de obiecte care ne nconjoar.

2. Cnd i de ce a nceput omenirea s numereS-ar putea crede c omul a tiut s numere de cnd exist. Pare s nu fie

chiar aa. Un lucru ns este adevrat: tiina numerelor este foarte veche i ea st la baza matematicii. Fr matematic nici nu vedem cum s-ar fi putut dezvolta toate celelalte ramuri ale tiinei i tehnicii. Fr matematic nu ar fi putut progresa nici fizic i nici chimia, nici astronomia i nici geografia.

Cele mai vechi documente tiinifice cunoscute ne dovedesc c ntr-o epoc destul de ndeprtat a existat la unele popoare - cum au fost sumerienii, egiptenii i chinezii antici - un nivel relativ ridicat de cunotine matematice.

Astfel, de la sumerieni (locuitorii Babilonului antic) ne-a rmas un text de matematic scris acum 4.000 de ani pe 44 de tblie de argil uscat. Pentru epoca n care a fost scris, acest text constituie o adevrat enciclopedie matematic.

ntr-un muzeu din Moscova exist un papirus numit chiar Papirusul din Moscova care a fost scris de egiptenii antici cu 19 secole .e.n. Un altul, cunoscut sub numele de Papirusul lui Rhind sau al lui Ahmes, a fost scris n urm cu 37 de secole. Dar cuprinsul acestui papirus nu aparine nici lui Rhind i nici lui Ahmes, deoarece englezul Rhind nu a fost dect proprietarul papirusului, iar egipteanul Ahmes nu a avut dect rolul unui scrib care a transcris lucrarea intitulat Modul de calcul pentru a ptrunde lucrurile, a cunoate tot ce este obscur i a nvinge orice dificultate. Aceast lucrare a fost alctuit de un autor necunoscut cu vreo 3

secole nainte de naterea lui Ahmes. Egiptenii vechi aveau i ei deci cunotine foarte naintate de matematic nc acum 4.000 de ani.

n vechile cronici chinezeti i hinduse se ntlnesc probleme care dovedesc

c aceste popoare stpneau cunotine profunde de matematic. Nivelul ridicat al cunotinelor matematice la greci apare de abia cu 500 de ani .e.n. La acea epoc ei au preluat o tiin avansat a numerelor de la babilonieni, egipteni, chinezi, hindui, fenicieni i alte popoare mai vechi. Despre modul cum numrau oamenii nainte de descoperirea scrierii nu avem date precise. Se tie numai c egiptenii efectuau recensminte nc acum 6.000 de ani. Dar de cnd a nceput omul s numere i pn la inventarea modului celui mai rudimentar de nsemnare n scris a rezultatului unei numrri, au trecut mii i mii de ani.

Un lucru este sigur. Oamenii s-au folosit de numere din timpurile cele mai ndeprtate, i anume cam de pe la sfritul perioadei comunei primitive. Oamenii care au trit la nceputul acestei perioade aproape c nu aveau de ce s numere. Felul lor de via nu le punea probleme a cror rezolvare s cear folosirea unor numere, i cu att mai puin cunoaterea noiunii de numr.

Dup ce omul a trecut la viaa de pstor i agricultor, el a simit nevoia s

nceap s numere. Dar el nu a nceput s numere din dorina de a ti cte stele sunt pe cer sau cte flori vede n jurul su. Numai necesitatea inerii unor socoteli ale animalelor, ale pieilor, ale rezervelor alimentare sau ale altor obiecte care intrau n posesia obteasc sau privat, 1-a condus pe omul din epoca primitiv la gsirea unui mijloc de exprimare a cantitilor i mrimilor cu ajutorul numerelor.

Omul nc nu inventase scrisul, i nici mcar nsemnarea pe rboj, cnd a simit nevoia de a cunoate lipsa unei vite din mica turm pe care o conducea. Acest om nu ar fi putut s spun cte oi sau ci reni are n grmada pe care o posed i nici cte fiare a ntlnit n calea lui, adic s efectueze o numrare. Nevoia de a controla dac n turm a rmas numrul de oi sau de reni pe care i-a avut n ajun l-a mpins la nceput pe om s deosebeasc numai o cantitate mai mic de una mai mare. Era un fel de numrare concret legat de anumite obiecte fr a putea exprima cantitatea prin numere.

Apoi muncile agricole trebuiau efectuate n anumite perioade ale anului i ntr- un anumit numr de zile. Omul nvase s cunoasc perioadele dup succesiunea anotimpurilor, dar ca s tie dac timpul prielnic muncilor agricole a trecut sau nu, el trebuia s numere zilele.

Aadar, nu matematicienii au fost descoperitorii numerelor, ci simpli pstori i agricultori, adic aceia care au simit cei dinti nevoia s numere.

3. Cum a ajuns omul la ideea de numrDac nu dispunem de documente aa de vechi care s corespund epocii la

care omenirea a nceput s numere, cum putem totui s aflm ceva despre modul n care omul a ajuns la ideea de numr? Sunt motive s presupunem c pn a ajunge la stadiul actual de civilizaie, oamenii au trecut prin faze similare cu acelea n care se gsesc unele popoare primitive din Africa i Oceania. Din studiul felului n care

numr aceste popoare, oamenii de tiin au tras concluzii care ne dau o idee asupra modului cum omenirea a putut s ajung la unele metode de numrare.

Omul primitiv nu cunoate noiunea abstract de numr, dar el poate s

stabileasc o coresponden ntre obiectele de numrat i degetele sale. Corespondene se pot stabili i ntre alte obiecte i obiectele de numrat. S presupunem, de exemplu, c avem o grmad de mere i un sac de nuci. Dac de fiecare dat n care lum un mr din grmad scoatem i o nuc din sac, putem spune c am stabilit o coresponden ntre numrul acestor nuci i merele luate din grmad. Adic am luat din grmad attea mere, cte nuci am scos din sac.

Corespondena ntre obiectele de numrat i degete s-a putut stabili pentru

c numrul degetelor unei mini este acelai la toi oamenii. Numai din aceast cauz degetele minii au devenit o unitate de msur pentru numrat. Numrarea la unii oameni primitivi nu se oprete la degete. Dac numrul obiectelor este mai mare dect zece ei merg mai departe la alte pri ale corpului: la pumn, cot, subsoar, umr, sn etc. ncep cu: organele prii stngi a corpului i apoi trec la partea dreapt. La urm ei i amintesc la ce parte a corpului au ajuns cu numrarea.

Ordinea numrrii i pierde deci importana, rmne numai ideea de

cantitate. Dar aceast idee rmne mult timp legat de obiectele numrate. Oamenii primitivi nu pot vorbi dect de obiecte numrate. Ei nu concep a exprima cinci fr a spune cinci copaci sau cinci oameni, cinci cai i aa mai departe. Numai cu timpul dup ce au observat c toate obiectele enumerate n acelai fel au o proprietate nou, comun tuturor grupurilor de cinci sau ase, oamenii primitivi au ajuns la noiunea abstract de numr. Ei au putut constata atunci c noiunea de

cinci, de exemplu, poate cuprinde n ea i cinci copaci i cinci oameni i cinci

cai, adic attea alte noiuni concrete. n felul acesta oamenii au trecut la o generalizare a denumirilor numerelor. Au nceput s numere: doi, trei, patru, cinci etc, fr s mai lege i obiectele de numere. Este interesant constatarea c denumirile primelor cinci numere au o origine comun la multe popoare, ceea ce nseamn c aceste denumiri s-au nscut probabil atunci cnd strmoii oamenilor care alctuiesc diferitele popoare fceau parte dintr-un singur trib.

4. Cel dinti numr nu a fost numrul 1Se pare c primul numr folosit de omul primitiv nu a fost numrul 1, ci

numrul 2. Numrul 1 singur este ceva abstract. El nu poate exista dect atunci cnd

ai dou sau mai multe elemente identice pe care s le numeri.

Pn n Evul Mediu era rspndit ideea c unu nici nu reprezint mcar un numr. Chiar i vechii nvai greci, care erau buni matematicieni, erau convini de acest lucru. Excluderea lui unu din familia numerelor venea de la faptul c oamenii, legau noiunea, de numr de aceea de mrime, cantitate, multitudine.

Numrul 2 a aprut, atunci cnd organizarea muncii n societatea primitiv a cerut divizarea ei ntre dou persoane care triau n comun, adic divizarea muncii ntre brbat i femeie. Denumirea de azi a numrului 2 de numr cu so sau a multiplilor lui 2 de numere perechi, este cu siguran o reminiscen din acele vremuri n care 2 reprezenta brbatul i femeia sau o pereche.

Rar se ntmpla ca n societatea primitiv s se foloseasc pentru o grup de 3 uniti un termen special. Ceea ce trecea peste 2 era denumit mult sau foarte mult. Deci 3 sau 4 putea fi mult, sau foarte mult, dup interesul pe care l reprezentau aceste numere n raport cu necesitile omului primitiv.

Nevoile economice, n dezvoltare, ale omului din societatea primitiv l-au determinat s fac unele progrese n ntrebuinarea numerelor. Atunci a reuit s descopere posibilitatea de a combina numrul 1 cu numrul 2. Astfel, pentru 3 s-a ntrebuinat unu cu doi, pentru 4 doi cu doi, iar pentru alte grupe de uniti, alte combinaii similare. Deci numrul 2 a devenit un fel de baz de numrare. De altfel, se tie precis c chinezii au ntrebuinat pn acum 5.000 de ani sistemul de numrare cu baza 2 cunoscut n matematic sub numele de numrare binar. Denumirea de azi de numere perechi sau numere pare a multiplilor lui 2 nu poate fi dect o amintire a epocii cnd 2 constituia o baz de numrare la o anumit treapt de dezvoltare a civilizaiei. i astzi chinezii mai folosesc termenii de numere feminine i masculine pentru a arta numere cu so i fr so.

5. Cum mai numr unele popoare primitiveAproape toate popoarele care se afl pe o treapt de dezvoltare primitiv i

care sunt deci foarte puin evoluate din punct de vedere social i cultural, numr fie fcnd diverse combinaii ntre numerele 1 i 2, fie servindu-se de degetele minilor i ale picioarelor. Iat o serie de exemple:

O populaie primitiv din Brazilia numr: un deget, o pereche de degete; tot ce trece peste doi este mult pentru aceti oameni.

Indigenii din strmtoarea Torres au pentru numerele unu i doi denumirile de

urapun i okosa. Ei numr: 1 = urapun, 2 = okosa, 3 = okosa urapun, 4 = okosa okosa,5 = okosa okosa urapun, 6 = okosa okosa okosa. Deci o numrare pe baz de doi ntoat regula. Pentru aceti oameni numere mai mari de 6 nu exist. Tot ce trece de 6

este o grmad.

La fel unele triburi primitive din Australia reuesc s numere cu aceeai baz

pn la 10. Pentru numere mai mari ca 10 ei ntrebuineaz un singur cuvnt: mult.

Alte triburi primitive din Australia, care pot concepe i numere mai mari ca

10, numr fcnd combinaii mai complicate. Au termene speciale pentru numerele unu, doi i trei, apoi ncep combinaiile:

4 = doi i doi,

5 = jumtate din degetele minilor,

6 = jumtate din degetele minilor i unu,

15 = cele dou mini i jumtate din degetele picioarelor etc.

Populaia Bakairi se servete tot de numerele unu i doi pentru a numra pn

la 6. Ei nsoesc fiecare numrare cu ridicarea degetelor de la mna stng. Pentru numerele cuprinse ntre 6 i 10 ridic pe rnd degetele de la mna dreapt, strignd

mera, ceea ce nseamn acela. Ca s indice numere cuprinse ntre 10 i 20 ei ating

pe rnd degetele picioarelor, iar pentru a arta un numr mai mare ca 20 i trag prul din cap.

Populaia Bugilai din Noua Guinee are cte un cuvnt distinct pentru o serie de numere. Aceste cuvinte provin din denumirile prilor corpului pe care le ating atunci cnd exprim numerele respective. Astfel:

1 = tarangesa (degetul mic de la mna stng),2 = metakina (inelarul),3 = ghinghimila (mijlociul),4 = topea (arttorul),5 = manda (degetul gros),6 = gaben (pumnul),7 = trankgimbe (cotul),8 =podei (umrul),9 = ugama (snul stng),10 = dala (snul drept),i aa mai departe pn se ajunge la degetul cel mic al minii drepte, adic lanumrul 31.

Aceasta ne dovedete c denumirile obiectelor concrete care au servit la nceput pentru stabilirea unor corespondene ntre ele i obiectele de numrat, devin cu timpul nume ale numerelor. De altfel, este tiut c la multe popoare cuvntul mn sau pumn nseamn cinci. Iar la noi se mai spune i astzi un pumn de sare, pentru a arta o cantitate redus de sare sau o mn de oameni, pentru a indica un numr mic de oameni.

Populaiile primitive din insulele Oceanului Indian i unele populaii din Malaezia nu au numere cardinale peste trei. Chiar dac au termeni speciali pentru grupuri de uniti mai mari ca trei, de la patru n sus ei numr astfel: al patrulea, al cincilea, al aselea etc. Aceti oameni au deci numere ordinale n loc de cardinale i prin urmare, de la patru n sus ei nu numr, ci enumr.

6. Sisteme vechi i noi de numrarePopoarele au inventat n cursul evoluiei lor diverse sisteme de numrare dup

cum au folosit ca baz o grup sau alta de numere, potrivit specificului lor i momentului istoric n care s-au dezvoltat.

Babilonienii numrau n grupe de 60. Ei foloseau deci numrarea sexagesimal.Calculele cu asemenea numere se fceau aa cum noi lucrm astzi cu numerele care

reprezint grade, minute i secunde de arc de cerc. Ideea acestui fel de numrare

le-a venit de la mprirea anului n 360 de zile.

Dar locuitorii Babilonului antic foloseau i o numeraie n care grupa de baz

era zece, adic numeraia zecimal.Egiptenii, la care matematica s-a dezvoltat independent de babilonieni,

foloseau i ei numeraia zecimal.

Chinezii, dup cum am vzut, au numrat mult vreme socotind cu grupe de 2. Utilizau numrarea numit binar.

i vechii greci foloseau numeraia zecimal. Ei ntrebuinau pentru uniti termenul monade; zecile erau numite decade, pentru sute aveau termenul hecadecade, miile se numeau chiliade, i apoi urma termenul miriade, pentru zeci de

mii. Mai departe ei nu mergeau pentru c nu aveau nevoie. A trebuit s vin celebrul

Arhimede ca s le demonstreze c se poate merge i mai departe cu numrarea.

Unele popoare din Africa Central i Africa de Nord socotesc i astzi cu grupe de cte 12, adic numr cu duzina. Aceasta este numrtoarea duodecimal. Numrtoarea duodecimal a fost ntrebuinat mult vreme de popoarele germane i se mai folosete i astzi n unele ramuri comerciale n care mrfurile se livreaz cu duzina. Se numr: una, dou,..., unsprezece duzini, iar dousprezece duzini fac un gross (mare, n limba german).

Pn la instaurarea regimului sovietic, popoarele din nord-estul Siberiei, care nu cunoteau nici mcar un alfabet ca s-i traduc gndurile n scris, nu tiau s numere dect pn la 20. De altfel ce nevoie aveau aceti oameni de numere mai mari? Nimeni nu vna mai mult de 20 de foci sau 20 de morse, nimeni nu poseda mai mult de 20 de piei i nici un pstor din tundr nu avea mai mult de 20 de reni. Pe ici, pe colo, rsrea ns cte un bogta care reuea s strng mai multe piei sau s-i mreasc numrul renilor din cireada. Dar i atunci cnd renii dintr-o cireada atingeau un numr mai mare, se numra tot n grupe de cte 20.

n cartea sa Alitet pleac n muni scriitorul sovietic T.Semiukin, care a trit muli ani n mijlocul vntorilor i pstorilor Ciucci, vorbind despre averea unui bogta, spune n coloritul local al graiului:

Cirezile de reni ale lui Eceavto sunt uriae. Bogia lui nu se poate socoti. Pe unde trec cirezile lui, trei veri calde nu mai apuc s creasc iarba. Renii sunt mprii n zece cirezi: n fiecare cireada sunt douzeci nmulit cu douzeci i nc o dat, i nc o dat douzeci nmulit cu douzeci.

Deci o cireada a lui Eceavto avea 3 x 20 x 20 = 1200 de capete. Iar atunci

cnd bogtaul Eceavto face nego cu cellalt bogta, Alitet, el i spune:

Pentru douzeci de toporae i dau reni de zece ori cte douzeci.Pn la numrul 20, ciuccii numrau ns cu baza 5. Astfel numrul 16 se exprima n limba acestui popor trei ori cinci i unu. Aproape toi contemporanii notri numr cu grupe de 10. Modul acesta de a numra a fost probabil primul ntrebuinat

pe scara evoluiei, atunci cnd omul a avut nevoie s precizeze numere mai mari ca

10. Oamenii au ajuns la numrarea pe grupe de 10 datorit faptului c ntotdeauna ei s-au servit de degete ca mijloc natural de numrare. Numrarea pe degete s-a nscut ca o necesitate i a fost apoi adoptat i perfecionat de oameni pe msur ce se iveau noi nevoi n evoluia societii. n felul acesta 10 a devenit baza numeraiei zecimale.

Originea ntrebuinrii numeraiei zecimale trebuie cutat probabil la fenicieni, care au fost cei mai mari comerciani cunoscui n Antichitate. Fenicienii, mpini de nevoile comerului lor, au trebuit s gseasc metodele cele mai practice i mai simple de exprimare a numerelor.

O alt baz de numrare, de pild 12, ar fi poate mai comod dect baza 10. Se tie c numrul 12 se mparte exact prin 2, 3, 4 i 6, adic prin mai multe numere dect 10. Dar avantajele care s-ar obine printr-o schimbare a bazei actuale de numrare nu sunt suficiente pentru a renuna la sistemul zecimal.

Vom vedea mai departe c se pot alctui sisteme de numrare lund ca baz orice numr. Depinde ct de comod considerm o baz sau alta, dup scopul urmrit atunci cnd o folosim. Oricare sistem de numrare poate s dea posibilitatea numrrii la nesfrit. Cu toate acestea, mii i mii de ani oamenii au crezut c irul natural al numerelor este limitat. Era stabilit credina ferm c numrarea se oprete la un anumit numr limit. Acest numr nu era acelai n toate timpurile i peste tot. Am vzut doar c i astzi exist oameni primitivi care se opresc cu numrarea la 6, la 10 sau la 31. Tot astfel, n decursul istoriei, oamenii s-au oprit cu numrarea la 3, apoi la 5, la 7, 10, 12, 13, 100, 1.000 etc. Bineneles c o dat eu ivirea de noi nevoi s-au descoperit noi numere, precum i mijloacele corespunztoare de exprimare a lor.

Vechii egipteni, care mult vreme nu i-au putut nchipui un numr mai mare ca

100.000, au ajuns n perioada nfloririi comerului lor s cunoasc i s foloseasc

numere pn la 10.000.000.

nvaii greci, care conduceau cele mai nalte coli matematice din lumea antic, nu au trecut mult vreme dincolo de miriad, adic de 10.000. Nici nu aveau mcar un termen, o expresie, pentru numere mai mari. Marele nvat Arhimede, calculnd numrul firicelelor de nisip care ar putea umple un glob ct Universul cunoscut pe vremea lui, a fost primul care a artat c omul poate numi numere orict de mari.

7. Despre Arhimede i problema firelor de nisipArhimede (287-212 .e.n.) a fost cel mai mare fizician i geometru al

Antichitii. A trit la Siracuza, cetate care a rezistat mult timp atacului romanilor

datorit genialelor invenii tehnice ale acestui mare savant. Arhimede a inventat scripetele mobil, roile dinate i multe alte mecanisme. El este descoperitorul celebrului principiu hidrostatic pe care se bazeaz plutirea corpurilor. A scris multe cri de mecanic i matematic, dar multe din ele s-au pierdut.

n cartea sa Psamites, Arhimede i-a pus problema s gseasc un numr foarte mare care s fie accesibil inteligenei umane. Acest numr trebuia s fie mai mare dect numrul firicelelor de nisip ce ar umple tot Universul. El nelegea prin Univers sfera sistemului solar cunoscut pe vremea lui, sau mai bine zis un glob cu centrul n Soare i cu o raz egal cu distana de la Soare pn la planeta Saturn. Dat fiind mijloacele de scriere i de exprimare a numerelor din vremea sa, problema nu prea chiar aa de simpl.

Arhimede i-a pus aceast problem nu cu scopul de a gsi pur i simplu un astfel de numr foarte mare. El voia, prin rezolvarea ei, s dovedeasc c exist numere nemsurat de mari, chiar dac n timpul su nu se gseau expresiile necesare pentru denumirea unor numere uriae.

Marele nvat gsi c numrul grunilor de nisip care ar umple sfera imaginat de el ar fi 1063. Bineneles c el nu s-a folosit nici de zero i nici de exponent, pentru c acestea nu se cunoteau pe vremea lui. Dar cum s denumeasc un asemenea numr, cnd cel mai mare numr exprimat de contemporanii lui era miriada, adic 10.000 sau 104? Aici interveni geniul lui Arhimede.

Arhimede numi numere de prim ordin pe acelea care sunt mai mici ca miriada de miriade, adic numerele pn la 108. Apoi, din numerele urmtoare pn la 1016 form grupa numerelor secunde. Pe urm trecu la numere tere pn la 1024 i aa mai departe. Fiecare grup a numit-o octad. Opt octade le-a ntrunit ntr-o perioad i form astfel perioada prim, perioada secund etc.

n felul acesta, servindu-se numai de cuvinte obinuite n limba greac, marele nvat reui s dea numere pn la unitatea urmat de 800 de milioane de zero. Un astfel de numr se poate scrie n minimum 60 de ani, cu o vitez de o cifr pe secund, i lucrnd 10 ore pe zi. Cu aceast problem Arhimede arta nvailor din timpul su un mijloc prin care se pot familiariza cu numere neobinuit de mari pn atunci i le indic o cale de a gsi altele i mai mari.

8. De cte cuvinte avem nevoie pentru a numra?n afar de cele cteva popoare primitive artate, oamenii contemporani cu

noi tiu s numere pn la nesfrit. Dac ar trebui s folosim cte o denumire aparte pentru fiecare numr nu s-ar putea gsi attea cuvinte cte ne-ar trebui ca s putem numra. Numrul cuvintelor compuse din sunetele alfabetelor uzuale s-ar epuiza mult nainte de a ajunge la un numr mai mare dect oricare numr am vrea s ni-l nchipuim noi.

Fr s fac aceste socoteli (de altfel nici nu le cunoteau), oamenii din cele mai vechi timpuri au gsit mijloace practice pentru exprimarea numerelor. Ei au rezolvat problema numrrii socotind nu cu uniti separate, ci cu grupe de uniti.

Pentru fiecare grup de uniti au gsit un cuvnt separat: unu, doi, trei, patru, ..., zece, i aa mai departe pn la un anumit numr. Apoi, adunnd grupele, una cu alta, cum ar fi un-spre-zece, doi-spre-zece etc, sau multiplicndu-le (de exemplu: treizeci, patruzeci etc), au obinut numere noi. n acest mod, cu ajutorul unei cantiti reduse de cuvinte au izbutit s fac diferite numrri, necesare i convenabile n activitatea lor zilnic.

Se poate uor calcula de cte cuvinte, din orice limb, are nevoie omul pentru denumirea tuturor numerelor care trebuie exprimate la numrarea pn la un anumit numr.

S lum de exemplu limba romn. La numrarea pn la zece ne trebuie 10 cuvinte. De la unsprezece pn la douzeci, dac excludem conjuncia spre (vorbim numai de numere), mai intervin nc 2 cuvinte noi: paisprezece i aisprezece, care i ele s-au nscut din compunerea i deformarea unor cuvinte dintre primele zece. De la douzeci i unu pn la o sut ne mai trebuie nc 2 cuvinte noi: aizeci i sut. La numrarea pn la o mie apare un singur cuvnt nou: mie. Deci pentru a numra pn la o mie avem nevoie, n limba romn, de 15 cuvinte diferite pe care le compunem aa cum ne cere sistemul nostru de numrare. Pn la un milion vom avea nevoie de 16 cuvinte diferite, iar pn la un miliard de 17 cuvinte diferite i aa mai departe, pentru fiecare clas nou, un cuvnt nou.

Prin urmare, pentru a-i nlesni activitatea sa zilnic, omul a reuit s adopte un astfel de sistem de numrare nct s poat denumi rezultatul numrrii obiectelor care intervin n aceast activitate, cu un vocabular foarte redus.

Capitolul 2 Cum se scriau numerele odinioar i cum se scriu acum9. Zorile scrierii numerelorReprezentarea numerelor cu ajutorul unor semne sau cifre, cum sunt cele

folosite de noi, sau apropiat de cele pe care le cunoatem i le ntrebuinm astzi,

sunt realizri ale oamenilor din timpurile mai recente. Altele au fost cifrele cunoscute n urm cu 1.000 de ani, diferite de acestea au fost cifrele folosite acum

2.000 de ani i foarte deosebite de cifrele noastre au fost semnele ntrebuinate de

popoarele la care s-a dezvoltat o civilizaie n urma cu 60 de secole.

Se pare, c omul primitiv a nceput s zgrie n piatr sau s cresteze n lemn primele numere atunci cnd trebuia s marcheze evenimente cereti pe care nevoia l ndemna s le fixeze. Erau evenimente legate de productivitatea i fertilitatea pmntului i a vitelor. El reprezenta atunci fiecare numr printr-un semn rudimentar, format din una, dou, trei sau cel mult patru liniue. De altfel, n acea epoc omul nici nu tia s numere mai mult. Liniuele imitau degetele cu care era obinuit s indice puinele numere pe care le folosea.

n cele mai vechi documente care s-au putut gsi, se vede c egiptenii foloseau pentru scrierea numerelor, n urm cu 6.000 de ani, desene similare cu acelea cu care reprezentau orice gnd al lor. Este scrisul cunoscut sub numele de pictografie. Ulterior, nevoia de a deosebi numerele de celelalte cuvinte i-a ndemnat s gseasc caractere speciale pentru scrierea cifrelor. Astfel apar la egipteni, nc din sec. al XXXV-lea .e.n., numere scrise cu hieroglife (scriere sfnt). Cu timpul, aceste hieroglife au evoluat ajungndu-se la o simplificare a semnelor.

Cum scriau vechii egipteni numerele:(a) hieroglife vechi de 55 secole; (b) hieroglife simplificate; (c) scriereahieratic (rapid)Scrierea cu hieroglife era greoaie. Un numr se obinea prin alturarea succesiv a semnelor. Hieroglifele ne spun ns ceva bun. Din timpuri foarte ndeprtate egiptenii foloseau numeraia zecimal.

O dat cu dezvoltarea economic i propirea tiinei i culturii, s-a simit

nevoia unei reprezentri mai simple a numerelor i a unei scrieri mai rapide. S-a trecut astfel la scrierea hieratic (rapid) a cifrelor. Unele semne trebuiau repetate mai puin acum, dar prin aceasta egiptenii nu au reuit nc s creeze un sistem de scriere a numerelor orict de mari. Probabil c nici nu i-au pus mcar problema continurii la nesfrit a operaiei de numrare.

Sumerienii i-au pus ns aceast problem i au rezolvat-o parial nc acum

aizeci de secole. Ei au introdus n scrierea numerelor un principiu, pe ct de simplu, pe att de genial. Potrivit acestui principiu, orice cifr poate avea o valoare sau alta, dup poziia pe care o ocup n scrierea unui numr format din dou sau mai multe cifre. Este de fapt principiul pe care noi l folosim n mod curent la scrierea numerelor.

Astfel, ntr-un numr oarecare scris de noi, de exemplu 85, observm c cifra

5 reprezint uniti, deoarece ocup, n numrul dat, prima poziie de la dreapta, iar

cifra 8 indic zecile pentru, c ocup al doilea loc. Deci cifra 8, datorit poziiei pe care o ocup, are o valoare de zece ori mai mare dect aceea pe care o are cnd e singur. Dac schimbm cifrele ntre ele, obinem numrul 58, care are cu totul alt valoare. Acest fel de a scrie numerele se numete sistem de poziii i ne d posibilitatea s scriem practic numere orict de mari sau orict de mici am voi noi. Sumerienii, care foloseau numeraia zecimal, aplicau i sistemul poziional, la exprimarea grafic a numerelor. Semnele scrisului lor aveau forma de cuie, de unde i numele de scriere cuneiform.

Scrierea cuneiform a numerelorSistemul de poziii, astfel cum l aplicm noi, a fost perfecionat de popoarele

indiene cu patru mii de ani mai trziu.

10. Cifre din litereFenicienii i vechii ebrei foloseau pentru scrierea lor curent un alfabet

format din 27 de caractere. Ei au gsit c este mai practic s utilizeze literele drept cifre. Primele nou litere au devenit atunci uniti, urmtoarele 9 au fost destinate zecilor, iar ultimele 9 litere au servit pentru reprezentarea sutelor. Dou puncte aezate peste o liter nmuleau cu 100 numrul reprezentat de aceasta.

Litera care reprezenta, de exemplu, numrul 20 putea s devin 2.000 dac avea dou puncte deasupra ei.

Grecii antici foloseau la nceput o scriere complicat a numerelor cu liniue i

litere. Contactul comercial cu fenicienii i ebreii i-a fcut s adopte, n sec. al Vl-lea .e.n., sistemul mai simplificat al acestor popoare. Pentru c ei nu aveau dect 24 de litere n alfabetul lor, grecii au recurs la trei caractere speciale. Literele-sunete se deosebeau de literele-cifre printr-un accent, iar un semn, aezat la stnga jos fcea orice liter-cifr de o mie de ori mai mare. Astfel:

''''= 9.123i la vechile popoare slave gsim un sistem asemntor pentru scrierea numerelor. Un semn numit titlo aezat deasupra unei litere o fcea s devin numr. Iat i cteva exemple:

Cu cele 27 de litere ale alfabetului se puteau scrie astfel numere pn la 999.Miile erau reprezentate de aceleai litere, la care se aduga, la stnga jos, un semn

special. Pentru numere mai mari se ntrebuina un sistem original: se ncadra litera respectiv cu un anumit desen. Acest sistem de scriere a numerelor a fost folosit i la noi, atunci cnd s-au adoptat literele slave pentru scrierea n limba romn.

Mai mult de zece secole cifrele romane au ocupat un loc important n scriereanumerelor. Cifrele romane i au originea n numrtoarea pe degete. ntregul sistem

roman are doar apte cifre distincte: I, V, X, L, C, D i M. Acestea par a fi litere. Dar numai dou din ele, C i M, sunt litere. O parte din ele i au originea n numrarea pe degete.

Cifrele I, II, III reprezint tot attea degete. V nu este dect o mn cu degetele ntinse, iar X dou mini ncruciate. Litera C este iniiala cuvntului latin centum (o sut). Pentru c la nceput aceast liter se scria cu unghiuri drepte (L), jumtatea ei L s-a folosit pentru notarea numrului 50.

Litera M corespunde cuvntului latin miile (o mie). La nceput acest numr sescria cu un semn special: un cerc tiat de un diametru vertical . Pentru 500 s-a adoptat atunci jumtatea din dreapta a acestui semn, adic D. Cu cifrele romane se

pot scrie numere i mai mari; folosind liniue aezate n jurul cifrelor cunoscuse.

Aceast convenie a intervenit destul de trziu.

La forma definitiv a cifrelor romane s-a ajuns de abia n anul 140 .e.n.

11. Cifrele capt definitiv o valoare dup form i una dup locnchipuii-v o operaie aritmetic cu hieroglife, cu litere greceti sau cu

cifre romane. Pentru a nmuli ntre ele dou numere de cte patru-cinci cifre

trebuiau nvinse greuti enorme. Un copil de astzi, din clasa a patra elementar, efectueaz o asemenea operaie ntr-un timp cel puin de zece ori mai scurt, dect un calculator versat din antichitate. i aceasta numai pentru c un copil din vremurile noastre folosete un sistem de scriere a cifrelor foarte avansat. El ntrebuineaz nou semne diferite pentru cele nou cifre de la 1 la 9, l introduce pe zero unde i lipsesc unitile de un ordin oarecare i se bazeaz pe principiul poziional.

Pentru a putea face fa nevoilor de calcul, la unele populaii, cum erau triburile semite din Siria i Palestina, s-a dezvoltat foarte mult calculul pe degete. Mai trziu, vechile popoare au inventat un instrument de calcul pe ct de simplu pe att de ingenios, numit abacus, despre care vom vorbi mai departe. El era similar cu sciotul rusesc. Ce ne intereseaz ns acum, este s vedem cum s-a ajuns la sistemul actual de scriere a cifrelor, att de avantajos.

Pn acum vreo 600 de ani, chinezii se foloseau pentru calcule de nite bastonae scurte, din bambus sau filde, pe care le dispuneau vertical sau orizontal. Originea acestui fel de reprezentare a numerelor trebuie cutat tot n numrarea pe degete. Bastonaele nu erau dect o transpunere a degetelor n piese uor manipulabile la calcul. Pentru simplificare cifra 4 se construia i din dou bastonae ncruciate.

Cu bastonae de bambus sau de filde vechii chineziformau cifre i apoi numereAcest mod de figurare a cifrelor a fost utilizat apoi i n scris. nfiarea

cifrelor a suferit ns atunci cnd, pentru scrierea lor rapid, s-a adoptat metoda dea se ridica ct mai puin instrumentul de scris de pe pergament, pnz sau hrtie. Astfel s-au nscut cifrele de mn chinezeti. Aadar la chinezi apar pentru prima oar semne distincte pentru fiecare cifr de la 1 pn la 9. Mai exist ns cte un semn special pentru 10, 100, 1.000 etc.

Cifre chineze scrise de mnDac privim cu atenie aceste semne observm c unele din ele se aseamn mult cu cifrele noastre care sunt universale. Hinduii au fost aceia care au reuit s fac adevratul salt calitativ n ceea ce privete numeraia scris, n sec. III e.n., ei au adoptat numai zece semne distincte pentru scrierea numerelor. n acelai timp au perfecionat sistemul de poziii inventat de sumerieni. Al zecelea semn folosit de popoarele Indiei era un punct, care aezat deasupra unei cifre, o fcea de zece ori mai mare.

Lipsa unui ordin oarecare era indicat printr-un gol ntre cifre. Mai trziu, prin sec. al VIII-lea e.n. hinduii au introdus cifra zero, n forma pe care noi o cunoatem astzi, cu scopul de a multiplica de zece, o sut sau o mie de ori un numr, sau de a ine locul cifrei de un ordin oarecare, cnd aceasta lipsete. Lrgirea irului de numere naturale prin introducerea lui zero constituie cea mai important reform pe care au introdus-o popoarele Indiei n numeraia scris. Fr zero nici nu vedem cum am fi putut s ajungem la aa o dezvoltare i o simplificare a calculului aritmetic.

Numeraia scris hindus a fost preluat de arabi prin sec. al VIII-lea i introdus apoi n Europa sub denumirea de sistem-arab. Pentru aceasta arabii s-au folosit la nceput de cartea savantului uzbec Muhamed al Horezmi, intitulat

Aritmetica cu cifre hinduse, scris prin secolul al IX-lea. Dup ce aceast carte a fost tradus n limba latin - limba tiinific din Evul Mediu - savanii europeni au luat cunotin de numeraia zecimal poziional. Traducerea ncepe cu cuvintele:

Al-Horezmi despre socoteala hindus. De aceea, la nceput aritmetica expus cu sistemul hindus s-a numit al-horism i apoi algorism. De la algorism s-a ajuns la termenul algoritm, care n prezent are cu totul alt neles n matematic (algoritm - succesiunea de calcule necesare pentru rezolvarea unui anumit gen de probleme. Astfel, toate operaiile necesare pentru rezolvarea unei ecuaii de gradul I cu o singur necunoscut constituie un algoritm. Succesiunea de calcule necesare pentru extragerea rdcinii ptrate dintr-un numr este tot un algoritm).

Deocamdat ns, noul sistem a rmas cunoscut numai de cercul strmt al savanilor. Comercianii europeni din sec. al Xll-lea i al XIII-lea care au nvat aritmetica n universitile arabe, au putut i ei constata superioritatea noului sistem fa de cel roman.

Renumitul matematician Fibonacci nu a fost dect fiul unui comerciant italian, care fiind trimis de tatl lui n interes de afaceri n Orient, a umblat i pe la universitile arabe. La ntoarcerea sa n patrie a scris n anul 1202 celebra carte de aritmetic i algebr Liber abacei care a ajutat la popularizarea n Europa a sistemului indo-arab.

Cifre hinduse, arabe i europeneCifrele romane, singurele rspndite pn atunci n Europa, nu ddeau nici o

posibilitate de calcul. Ele erau bune doar pentru nsemnarea numerelor sau a rezultatului unui calcul fcut prin abace sau diverse alte metode greoaie. Totui la introducerea sistemului indo-arab s-a ntmpinat mult rezisten. Biserica catolic considera folosirea cifrelor arabe drept o erezie, iar autoritile feudale ddeau edicte speciale pentru interzicerea folosirii noului sistem.

Sistemul de numrare indo-arab s-a introdus definitiv n Europa de abia n sec. al XVI-lea, o dat cu slbirea puterii feudale i ntrirea burgheziei. Burghezia din vremea aceea era interesat n propirea tiinei. Cifrele folosite de noi astzi difer, n parte, ca form, de cele hinduse sau arabe. Ele au suferit diverse modificri att datorit influenei unor cifre existente n unele regiuni ct i fanteziei scribilor i caligrafilor care copiau textele. Definitivarea i unificarea formei cifrelor s-a fcut, ca i n cazul literelor, o dat cu rspndirea tiparului.

Acesta este adevrul tiinific. Dar mai circul i legende asupra formrii cifrelor arabe. Una care a prins este urmtoarea:

Cifrele pe care noi le numim arabe ar fi fost inventate de regele Solomon al ebreilor, care ar fi avut o piatr preioas tiat ca n figur. Din liniile acestei pietre s-ar fi format cifrele pe care noi le folosim astzi.

Piatra preioas a regelui Solomon i cifrele arabe derivate din ea...dup legendAceast ipotez, pe ct este de interesant ca fantezie de desen, pe att

este de naiv i lipsit de baz tiinific.

12. Ceva despre nimicLa nceput a fost chiar nimic, deoarece hinduii indicau printr-un gol lipsa unuiordin oarecare dintr-un numr. Apoi au trecut la un punct, dup aceea la un ptrat

mic, pentru ca la urm s adopte un cercule care se poate scrie foarte simplu. Pentru c hinduii ntrebuinau cuvntul sunia, care nseamn gol, atunci cnd

aveau de indicat o astfel de lips n cuprinsul unui numr, arabii au tradus acest cuvnt n termenul corespunztor din limba lor. n arab gol se traduce prin ifr.

De aceea, cnd s-a introdus sistemul indo-arab care, fa de modul cunoscut de scriere a numerelor, se caracteriza prin prezena lui zero, s-a luat obiceiul de a se numi numerele scrise dup acest sistem, numere cu ifre. Cuvntul ifr sau cifr a devenit apoi comun n limba multor popoare, nct astzi orice semn folosit pentru scrierea unui numr este numit cifr. Cnd spunem cteodat nul n loc de zero, nu facem dect s pronunm cuvntul italienesc nulla, care nseamn tot

nimic.

i aceast nul, acest nimic, are rolul cel mai important n actuala numeraie

scris pe care noi o considerm cea mai perfect. Dei este nimic, aceast cifr apare ca un ins care spune: Eu nu sunt nimic, ns atunci cnd sunt introdus ntre cifre, pot s in locul oricrei din ele i n acelai timp s le fac pe toate care se afl n stnga mea de zece ori mai mari. Cnd sunt aezat o dat la dreapta unui numr l fac i pe acesta de zece ori mai mare, iar cnd sunt aezat de mai multe ori l mresc de o sut, o mie, zece mii de ori....

Numrul zero nu aparine irului natural de numere, deoarece cu el nu se

numr. ns n irul natural de numere fiecare numr este format din precedentul, la care se adaug o unitate sau din urmtorul, din care se scade o unitate. Astfel avem: 17 = 18 - 1, 16 = 17 - 1, ...,3 = 4 - 1, 2 = 3 - 1, 1 = 2 - 1.

Dac continum, putem spune c 0 = 1 - 1. Deci, n irul natural vom putea scrie pe zero imediat naintea unitii. Se spune atunci c am extins irul natural de numere. Numrul zero mai are i alte particulariti. El este un numr par, deoarece se poate obine prin scderea lui 2 dintr-un numr care este tot par. i totui este singurul numr par care nu se poate divide prin 2...

Zero ca numr nu se adun, nu se scade. Cnd se nmulete un numr oarecare cu zero, acest numr devine tot zero. Totui zero este un operator, deoarece adugat la dreapta unui numr l nmulete pe acesta cu 10.

Mrimea 0 nu are proprietatea fracionrii, adic nu se poate mpri aa cum se mparte orice mrime reprezentat printr-un alt numr. Zero mprit printr-un numr oarecare, afar de zero, d tot zero.

Mai este ceva interesant la acest numr 0. ncercai s nmulii un numr oarecare, de exemplu 7, de zero ori cu el nsui. Vei spune c este o absurditate. Totui 7 ca i 8 sau 5 sau n fine, orice numr ridicat la puterea 0 este egal cu 1. Cu toate c, la prima vedere, se pare c un numr la puterea 0 nu are nici un sens i cu att mai mult s fie egal cu 1, adic cu un numr natural, totui s-a admis acest lucru pentru c altfel nu se pot menine toate regulile stabilite n aritmetic cu privire la calculele cu exponeni.13. Cum scriem un numr n sistemul nostru i n alte sisteme de numrareAadar, noi numrm unu, doi, trei... opt, nou, zece. Cnd am ajuns la zece,

facem un pachet din aceste numere i ncepem iar s numrm de la unu. Dar ca s nu uitm c avem n urma noastr pachetul de zece, spunem: unsprezece, doisprezece i aa mai departe. Cnd am mai numrat zece facem un nou pachet i spunem douzeci.Trecem apoi la treizeci, patruzeci etc. Cnd am fcut zece pachete de cte zece, spunem c am ajuns la o sut. Dac facem acum pachete mai mari, de cte zece zeci, adic de cte o sut i strngem la un loc zece dintr-acestea, spunem c am ajuns la o mie. n felul acesta noi am nvat i tim s numram la nesfrit, tot fcnd pachete de mii, de zeci de mii, de sute de mii i apoi facem un pachet din zece sute de mii, adic un milion etc.

Pentru c n felul nostru de a numra noi ne tot bazm pe pachete sau grupe

de cte zece pe care apoi le nmulim cu zece, iar rezultatul cptat din nou cu zece i aa mai departe, sistemul nostru de numrare s-a numit sistemul zecimal, iar numrul zece l-am numit baza numeraiei zecimale.

Pentru scrierea numerelor pn la zece, noi folosim nou caractere distincte, adic cifrele de la 1 la 9. Cnd ajungem la zece, adugm un zero la unu, pentru c noi am fcut o convenie c zero la dreapta unui numr l face de zece ori mai mare. Deci noi scriem 10. La fel scriem 20, 30, 40,..., 100, 1.000 etc. Cnd scriem numrul406, noi introducem un zero ntre 4 i 6 pentru c ne lipsesc zecile. Aceasta o facem tot pe baza unei convenii. Dar nu ntotdeauna s-au folosit oamenii de zero, de acest

nimic, pentru a-i simplifica scrisul numerelor. Am vzut doar c destul de trziu

s-a ajuns la aceast invenie genial.

Am artat c mai exist i alte sisteme de numrare n afar de acela cu baza zece. Cunoscnd sistemul aa de perfecionat al numeraiei scrise cu baza zece, s cutm s-l generalizm i la celelalte sisteme de numrare. Nu este neaprat nevoie s ne alegem sistemul cu baza de 60, 12, 5 sau 2, care au fost sau mai sunt nc n uz la diverse popoare. Baza noastr poate fi orice numr. Conducndu-ne dup modul cum ne-am construit sistemul zecimal, putem spune c: pentru a scrie numerele n baza zece ne trebuie 9 cifre semnificative, adic mai puin cu unu dect baza; dac notm orice baz cu B, vom spune c pentru a scrie un numr n baza B, trebuie s adoptm (B - 1) caractere distincte pentru a reprezenta primele (B - 1) numere.

Am vzut c, n numeraia zecimal, de cte ori ne lipsete un ordin oarecare noi l nlocuim cu un zero. i la numerele pe care le vom scrie n baza B l vom folosi pe zero n acelai scop. Cunoscnd toate acestea, s spunem ceva despre numrarea binar, despre care tim c au mai ntrebuinat-o chinezii cu multe mii de ani n urm, dup unii chiar acum 5000 de ani, i care a devenit din nou foarte actual o dat cu inventarea i punerea n funciune a calculatoarelor.

14. Numrarea binarEste numrarea cu baza 2. Pentru c suntem obinuii cu numrarea zecimal,

numrarea binar prezint pentru noi o serie de curioziti. Cele (B - 1) caractere care se folosesc pentru primele (B - 1) numere se reduc la 2 - 1 = 1 caracter. Deci numrarea binar conine ca cifr distinct pe 1. Pentru a arta lipsa unui ordin, atunci cnd se scrie un numr n numrarea binar se ntrebuineaz tot simbolul 0 ca i n numrarea zecimal.

Deci, n sistemul binar alte cifre dect 0 i 1 nu se vor ntrebuina, iar un numr scris n acest sistem apare n forma 1, 10, 11, 101, 110,111,1000 i aa mai departe.

15. Cum se scrie un numr n sistemul binar?n orice sistem de numrare, fiecare cifr a unui numr reprezint baza la o

anumit putere, nmulit cu acea cifr. Puterile bazei pornesc de la 0 i cresc de la

dreapta spre stnga numrului. De exemplu, la numrul 3.047 n baza zecimal:

7 reprezint pe 7 = 7 x 1 = 7 x 10

4 reprezint pe 40 = 4 x 10 = 4 x 1010 reprezint pe 0 sute = 0 x 100 = 0 x 1023 reprezint pe 3 000 = 3 x 1000 = 3 x 103.

Deci se poate spune c un numr este format dintr-o sum de produse, fiecare produs fiind i el format dintr-o cifr a numrului nmulit cu baza la o anumit putere. Pentru a scrie un numr n sistemul binar vom proceda n felul urmtor:

- vom descompune numrul ntr-o sum de termeni, fiecare din aceti termeni fiind format de 1, singura cifr semnificativ a sistemului binar, multiplicat cu 2 la o putere, 2 fiind baza;

- vom ordona termenii sumei dup puterile descresctoare ale lui 2, de la stnga la dreapta;

- pentru fiecare termen astfel obinut vom scrie cifra 1, iar pentru puterile lui 2 care lipsesc din ir vom scrie cifra 0.

De exemplu, s scriem n sistemul binar pe 61 din sistemul zecimal. Vom avea:

61 = 1 + 22 + 23 + 24 + 25 sau 61 = 25 + 24 + 23 + 22 + 0 x 21 + 2

n locul fiecrui termen vom scrie cifra 1, afar de penultimul (0 x 21), care va

fi nlocuit cu 0. Deci, vom avea (61)10 = (111101)2, adic 61 din sistemul zecimal se scrie 111101 n sistemul binar. Sistemul binar cere foarte multe cifre pentru reprezentarea unui numr. Miile, care se scriu n sistemul zecimal cu 4 cifre, cer n sistemul binar 11 cifre. Primele 40 de numere scrise n sistemul binar sunt:

16. Mainile electronice de calcul numr cu baza 2Cu toii am auzit despre alfabetul Morse. tim c acest alfabet are numai

dou semne: linie i punct. Cu ajutorul lor se poate scrie orice cuvnt i orice numr. Tocmai pentru c are numai dou semne, acest alfabet este cel mai nimerit pentru a fi folosit n telegrafie. Un punct este un impuls electric scurt, iar o linie unul mai lung. Deci n total dou semnale electrice foarte uor de obinut printr-o apsare mai scurt sau mai lung pe buton. Aplicarea sistemului binar la transmiterea

electric a numerelor este i mai simpl. Orice numr fiind format numai din uniti i zerouri, el poate fi reprezentat prin prezena semnalului electric pentru unu i absena semnalului electric pentru zero.

Acest sistem se aplic la nregistrarea numerelor n maina electronic de calculat. Operatorul introduce n main numerele, scrise n sistemul zecimal. Printr- un dispozitiv automat maina le traduce n sistemul binar i totodat le imprim pe o band care nainteaz cu o micare uniform. Imprimarea se face sub forma unor mici orificii n band. Unde cade unitatea se produce o gaur, iar acolo unde vine un zero, rmne un spaiu. Astfel, numrul 37, care n sistemul binar se scrie sub forma

100101, apare pe band: orificiu, gol, gol, orificiu, gol, orificiu. Fotoelementele

mainii de calculat citesc numerele de pe aceast band foarte uor. Cnd n faa unei celule fotoelectrice trece un orificiu al bandei se produce un impuls electric, iar atunci cnd apare un gol impulsul se ntrerupe pentru un timp egal.

Maina memoreaz aceste impulsuri electrice cu dispozitivele ei alctuite

din mii i mii de piese radio-tehnice: lmpi electronice, fotoelemente, rezistene, semiconductori etc. De aici ncolo ncepe calculul propriu-zis cu ajutorul dispozitivului aritmetic format i el dintr-un mare numr de elemente electronice. Totul funcioneaz cu o vitez uimitoare. Astfel maina electronic american

Ordinator efectueaz ntre 42.000 i 50.000 de operaii ntr-o secund.

Iat deci cum un sistem de numrare, pe care populaiile primitive l-au inventat i folosit, i care ulterior a fost teoretizat de mintea omului cult, este astzi din nou folosit n scopuri practice cu ajutorul celei mai moderne maini.

Capitolul 3 Ceva din istoria calculului numeric17. Mna, primul instrument pentru calculPrimele semne zgriate de omul primitiv, undeva pe un col de stnc, pe un os

sau pe un rboj nu i-au folosit dect pentru a fixa, fie datele unor evenimente mai importante, fie numrul vitelor i al obiectelor utile din averea personal sau colectiv. Aceste semne nu au putut fi ntrebuinate niciodat pentru calcule i de altfel inventatorii lor nici nu s-au gndit vreodat la aa ceva. Chiar i dup aceea, atunci cnd oamenii au inventat simboluri mai practice pentru fixarea numerelor, ei nu au avut de unde s tie c acestea vor trebui s serveasc vreodat ca mijloace de calcul simplu i rapid. Era deci natural, ca mult mai trziu, cnd s-a ivit nevoia efecturii unor calcule simple, rudimentare, omul s descopere c degetele minii sale, care i serveau continuu pentru numrat, sunt bune i pentru socotit. Mna a devenit deci un fel de instrument de calculat.

Mna ca prim instrument de calcul a dinuit dup aceea mii de ani, pentru c nici numerele formate din litere, cum erau cele greceti i nici chiar numerele scrise din cifre romane nu ofereau posibilitatea unui calcul rapid i simplu. Numai cu ajutorul numerelor scrise dup sistemul inventat de populaiile din India s-a putut gsi o tehnic de calcul care s duc la rezultate corecte, prin mijloacele cele mai simple i cu o vitez corespunztoare nevoilor.

Bineneles c naintea descoperirii primelor calcule numerice cu ajutorul semnelor inventate de ei, indienii se serveau i ei de mn ca instrument de calcul. Populaia din Bengal mai calculeaz i astzi pe degete.

18. Calculul pe degete al bengalezilorLa fel ca strmoii lor, bengalezii se folosesc de faptul c fiecare deget,

afar de cel gros, are trei ncheieturi i un vrf, deci patru puncte distincte. Acest

lucru le permite s numere pn la 16 numai cu patru degete ale unei singure mini, pornind de la prima ncheietur a degetului mic i trecnd succesiv la celelalte degete.

Prin exerciii repetate ei ajung s ndoaie degetul gros n aa fel nct s ating cu vrful su orice ncheietur a degetelor minii respective, iar fiecare atingere de acest fel nseamn pentru ei un numr. Astfel, ei tiu precis c a treia ncheietur de la baz a degetului mijlociu reprezint numrul 11 sau c baza inelarului este 5 i aa mai departe. n felul acesta, servindu-se de ambele mini, aceti oameni pot face uor adunri i scderi de numere pn la 31 i nmuliri pn la 8 x 4 inclusiv.

19. nmulirea pe degete la triburile semite din Siria i PalestinaOamenii din aceste triburi cunoteau tabla nmulirii, ns numai pn la 5 x 5

i tiau s-o ntrebuineze mecanic aa cum tim noi s ne folosim de tabla nmuliriipn la 10 x 10, nmulirea unui numr mai mic dect 5 cu un numr cuprins ntre 5 i

10, se fcea descompunnd pe ultimul ntr-o sum de dou numere dintre care unul

era neaprat 5, iar al doilea un numr pn la 5. Dup ce se opera nmulirea ambilor termeni ai acestei sume cu primul numr dat, se adunau rezultatele. Dac ns ambii factori ai nmulirii erau cuprini ntre 5 i 10, se serveau de degetele minilor ca de o main de calculat, astfel: fiecare deget ntins, al unei mini era socotit drept o unitate; deci mna deschis, cu degetele ntinse, reprezenta numrul 5; ndoind un deget, dou, trei sau patru, ncepnd cu cel mic se obineau numerele 6, 7, 8 sau 9; pumnul nchis era socotit 10.

Fiecare factor al nmulirii era reprezentat de cte o mn cu degetele dispuse conform regulilor de mai sus, dup mrimea numrului. La citirea rezultatului nmulirii, degetele ndoite deveneau zeci, iar cele ntinse rmneau uniti. n acest fel, nmulirea se reducea la urmtoarele trei operaii simple care erau executate n ordinea nirrii lor:

- adunarea degetelor ndoite, socotite ca zeci;

- nmulirea degetelor ntinse, socotite ca uniti;

- adunarea rezultatelor de mai sus.

Un exemplu ne va lmuri imediat. S presupunem c aceti oameni au avut de fcut nmulirea: 6 x 8 = 48. Numrul 6 se reprezint printr-un deget ndoit i patru degete ntinse de la o mn, iar numrul 8 prin trei degete ndoite i dou degete ntinse de la cealalt mn. Vom avea deci: 1 + 3 degete ndoite 40

4 x 2 degete ntinse 8Total 48

Cum se explic acest sistem de nmulire? S numim cu a i b numruldegetelor ndoite de la fiecare mn.

Atunci cei doi factori ai nmulirii devin: 6 = (5 + a) i 8 = (5 + b), iar numruldegetelor ntinse de la fiecare mn poate fi reprezentat respectiv, prin: (5 - a) i(5 - b). Adunnd degetele ndoite ca zeci am obinut 10(a + b) i nmulind degetelentinse ca uniti avem (5 - a)(5 - b). Acum dac scriem identitatea: (5 + a)(5 + b) =10(a + b) + (5 - a)(5 - b) n care membrul al doilea reprezint exact operaiile pe carele-am executat mai sus pentru efectuarea nmulirii i dac efectum calculele,

vedem c ea se verific.

20. O invenie genial: abacul roman, suan-panul chinezesc i sciotul rusescCei mai strlucii matematicieni ai Antichitii nu au reuit s inventeze reguli

simple de calcul cu ajutorul numerelor scrise din litere. Nici calculul pe degete nu

putea fi mpins dect pn la o anumit limit.

Chiar i vechiul procedeu numit n textele romane digitis comptare carepermitea 18 combinaii cu degetele minilor i care ddea posibilitatea exprimriinumerelor de mrimea miilor, nu a mai corespuns atunci cnd bogiile au nceput s

creasc i cnd trebuiau mnuite numere mult mai mari. Operaiile cu cifrele romane erau i ele extrem de greoaie. O simpl nmulire cu asemenea cifre cerea calcule lungi i transformri.

Iat, de exemplu, cum se efectua cu cifre romane nmulirea a dou numere mici cum ar fi CCLXXXVII cu XXXII, adic 287 x 32:

CCX MM CCX MM CCX MM

LXXX XXX MMCCCC VII XXX CCX CC II CCCC

LXXX II CLX

VII II XIV MXCLXXXIV

Am vzut c liniua de deasupra unei cifre o nmulete pe aceasta cu 1.000.

Deci X = 10.000, iar rezultatul nmulirii noastre se citete 9.184. Dac urmrim cele dou coloane de cifre romane putem vedea i care sunt operaiile pariale folosite pentru a ajunge la acest rezultat, ncepnd de la stnga spre dreapta, att cifrele denmulitului ct i cele ale nmulitorului le-am mprit n grupe care se pot uor nmuli ntre ele mintal. Aceast operaie cere o mare atenie pentru ca nu cumva o cifr dintr-o grup s se strecoare n alta. Rezultatele nmulirilor pariale se aaz unul sub altul astfel ca s cad, pe ct este posibil, mii sub mii, sute sub sute etc.

Apoi adunm rezultatele pariale ncepnd de la dreapta spre stnga. Totalul acestei adunri reprezint rezultatul nmulirii noastre. Iat aceast nmuliretradus n sistemul de cifre indo-arabe i cu semnele operaiilor pe care le folosim noi:

200 x 10 = 2.000

200 x 10 = 2.000

200 x 10 = 2.000

80 x 30 = 2.400

7 x 30 = 210

200 x 2 = 400

80 x 2 = 160

7 x 2 = 149.184

Cu numerele scrise n sistemul indo-arab i cu tehnica noastr de calcul, o

asemenea nmulire o poate face un copil de clasa a II-a elementar. n faa unor asemenea greuti era deci natural ca popoarele, mpinse de aceleai necesiti, s caute alte ci i s inventeze sisteme noi de calcul folosind instrumente foarte asemntoare. Astfel s-a dezvoltat la romani abacul, la chinezi i coreeni suan panul i la rui sciotul.

Chinezii i egiptenii cunoteau acest instrument cu multe milenii nainte de era

noastr. Romanii l-au motenit sub o form rudimentar de la etrusci, dar l

cunoteau i vechii greci. Cnd spaniolii au descoperit America, indigenii din Mexic i

Peru tiau de mult s calculeze cu un instrument similar.

Abacul este o plac n care sunt spate o serie de nulee paralele. n

fiecare nule se introduc cte 10 pietricele care se pot mica la dreapta i la stnga. Deoarece n limba latin cuvntul pietricic se numete calculus, romanii au luat obiceiul de a numi calculare operaia de a socoti cu pietricelele abacului. De

acolo vin i cuvintele noastre calcul i calculator. n loc de pietricele se ntrebuinau uneori oscioare, iar sciotul i trage numele de la cuvntul rusesc sciot care nseamn, oscior. Pietricelele sau oscioarele sunt de obicei rotunjite ca nite bile. Bilele din primul rnd al instrumentului reprezint uniti, cele din rndul al doilea se folosesc ca zeci, cele din rndul urmtor ca sute, i aa mai departe. Aceast invenie genial de a da bilelor valori dup locul ocupat de ele, permite, cu abacul sau cu sciotul, efectuarea de calcule cu numere foarte mari, dar nu orict de mari.

21. Cele patru operaii erau aseGreu, uor, cu degetele minilor, cu bastonae, cu pietricele, cu abacul sau

sciotul, cei vechi reueau s efectueze calcule aritmetice. Ei cunoteau cele patru operaii care ns la unele popoare erau ase... Astfel la egipteni, dublarea unui numr era considerat ca o operaie aritmetic aparte. La fel, mprirea prin doi era socotit ca a asea operaie. Prerea aceasta s-a meninut pn n sec. al XVI- lea cnd a fost combtut definitiv de ctre matematicianul italian Luca Pacciuoli (numit i Luca de Borgo - matematician italian nscut la Borgo San Sepolero n anul

1445; fiind clugr franciscan, a voiajat n rile orientului; a fost profesor de

matematic n mai multe orae din Italia; a scris mai multe tratate de aritmetic i geometrie i o lucrare intitulat Despre proporia divin, n care trateaz problema tieturii de aur).

22. Despre Pitagora i tabla care nu este a lui PitagoraPitagora a fost unul din marii matematicieni ai Antichitii. El a trit ntre anii

580 - 500 .e.n. i o bun parte din viaa sa i-a petrecut-o cltorind prin Egipt,

Asia Mic, Babilonia, India i poate chiar prin China. Din cltoriile sale, Pitagora a adus un nsemnat numr de cunotine matematice. Pe seama lui Pitagora se pun ns prea multe creaii tiinifice. Ar fi imposibil de crezut ca, ntr-o via de om, un savant orict de genial s poat crea att. Probabil c toate cunotinele matematice pe care Pitagora le-a cules din rile n care a poposit cu prilejul cltoriilor sale, i- au fost atribuite acestui nvat, cu sau fr voina lui. Omenirea nu-l cunoate pe Pitagora din scrierile sale, pentru c de la el nu a rmas nimic scris.

Scrierile sale probabil c s-au pierdut sau au fost distruse. Exist i posibilitatea ca el nici s nu fi scris nimic. Toat tiina lui Pitagora, cunoscut astzi, a fost reconstituit dup scrierile filozofilor greci Platon i Aristotel.

Cu toii l tim dup nume pe Pitagora, pentru c noi am nvat s memorm nmulirea numerelor de la 1 pn la 10 dup tabla lui Pitagora. Din cercetrile mai recente s-a dovedit c unele popoare ale Asiei cunoteau aceast tabl a nmulirii de acum 4.000 de ani. De unde rezult c tabla lui Pitagora nu este a lui Pitagora...

Noi ns vom continua s-o numim mai departe tabla lui Pitagora numai pentrumeritul pe care l-a avut acest nvat de a fi adus-o n Europa. Tabla lui Pitagora s-a

nscut, ca o necesitate a timpului, pentru c ddea posibilitatea s se efectueze n

mod mecanic nmulirea a dou numere mici. Pn n sec. al XV-lea nimeni nu cuta s

memoreze aceste nmuliri.

Nu era folosit tehnica noastr de calcul care d posibilitatea s nmuleti dou numere orict de mari, cunoscnd, din memorie, numai produsele unor numere mici, de la 1 pn la 9. Oamenii cutau atunci n tabla lui Pitagora produsul a dou numere aa cum noi cutm ntr-un dicionar traducerea unui cuvnt romnesc ntr-o limb strin. Dar aceast tabl permitea numai nmulirea unor numere mici. La nmulirea numerelor mai mari, cei vechi ntmpinau dificulti uriae din cauza sistemelor pe care le foloseau la scrierea acestor numere, sisteme care nu permiteau o aranjare lesnicioas a calculelor.

n diferite cazuri dificultile erau nvinse datorit folosirii n mod mecanic a unor cunotine destul de avansate de matematic.

23. nmulirea egipteanEgiptenii antici reduceau orice nmulire la un ir de dublri i la o sum. naceast operaie ei se bazau pe o teorem, cunoscut n vremea aceea, potrivit

creia orice numr ntreg este suma unor puteri ale lui 2. Iat, de pild, cum efectuau egiptenii nmulirea 134 x 37 = 4.958. Descompunnd pe cel mai mic dintre factorii acestei nmuliri n suma unor puteri ale lui 2, se obine: 37 = 2 + 22 + 25 sau

37 = 1 + 22 + 25. Deci se poate scrie: 134 x 37 = 134 x (1 + 22 + 25). Calculul se aeaz

n felul urmtor:134 x 1=134

134 x 22 = 134 x 2 x 2= 268 x 2=536

134 x 25 = 134 x 22 x 23= 536 x 2 x 2 x 2 = 1.072 x 2 x 2 = 2.144 x 2=4.288

Total 4.958Noi am aranjat foarte frumos i relativ uor acest calcul, pentru c dispunem

de semne i mijloace de notare foarte practice. Gndii-v ns la egiptenii antici care scriau cu hieroglife sau chiar cu scrierea hieratic i nu tiau s foloseasc exponeni sau vreun alt simbol simplu care indic operaiile aritmetice.

24. nmulirea ruseascranii rui obinuiau s nmuleasc dou numere folosind dublarea unuia din

ele i mprirea prin doi a celuilalt. Operaia se aaz pe dou coloane. Prima

coloan are drept cap pe cel mai mare dintre factori. Numerele din prima coloan se dubleaz continuu, pe cnd cele din coloana a doua se mpart succesiv prin 2. nmulirea se termin atunci cnd n coloana a doua se obine drept ct numrul 1. Ultimul numr din coloana ntia este rezultatul nmulirii. S ncercm un exemplu:

86 x 64 = 5.504:

Cum se explic procedeul ntrebuinat de ranii rui? Foarte simplu. Prima coloan reprezint produsele succesive prin 2 ale unuia din factorii nmulirii. A doua coloan este format din tot attea caturi succesive prin 2 ale celuilalt factor al produsului. Deci, n loc de 86 x 64, am efectuat de fapt urmtoarele operaii:

86 2 2 2 2 2 2 64 . Prin urmare noi nu am dect s nmulim i s mprim2 2 2 2 2 2produsul 86 x 64 prin aceeai cantitate. Prin aceasta, valoarea produsului nu s-aschimbat.

Ce se ntmpla ns cnd nmulitorul este un astfel de numr, nct dup o mprire prin 2 obinem un numr impar? n acest caz operaia se aeaz la fel, iar mprirea prin 2 se continu mai departe lundu-se n considerare, numrul par imediat anterior. Numrul din coloana ntia care corespunde cu un numr impar din coloana a doua se nseamn cu o cruce. Toate numerele cu cruci se adun apoi la ultimul numr din coloana ntia. Suma obinut este rezultatul cutat al nmulirii. Pentru a ti de ce se procedeaz astfel, s urmrim perechile de numere din cele dou coloane ale nmulirii 185 x 148.

Am efectuat urmtoarele operaii:

185 x 148 = 185 x 2 x 148 = 370 x 74.2

Mai

departe:

185 x 148 = 370 x 74 = 185 x 2 x 2 x 148 = 740 x 37.2 x 2

Cnd am trecut ns

de la 740 x 37 la 140 x 18, adic la

740 x 2 x 36 ,2

am neglijat odat pe 740, pentru

c n loc de

37 am luat2

36 .2La fel, n una din operaiile urmtoare l-am neglijat odat pe 2.960. Urmeaz deci c aceste dou numere trebuie neaprat adugate la ultimul rezultat din coloana ntia spre a putea obine rezultatul adevrat al produsului 185 x 148.

25. nmulirea musulmanPentru a efectua o nmulire, unele popoare musulmane ntrebuinau un

dispozitiv special de calcul care necesita i o liniatur special a hrtiei. S vedem cum se aranjeaz un astfel de calcul i pentru aceasta s lum ca exemplu nmulirea

3285 x 647. Deoarece avem de nmulit un numr de 4 cifre cu unul de 3 cifre, construim un dreptunghi care s cuprind 4 x 3 = 12 casete egale.

3 2 8 57462 1 2 5 3 9 5O nmulire musulmanFiecare caset o mprim n cte dou triunghiuri printr-o diagonal. Pe

latura orizontal superioar a dreptunghiului scriem numrul mai mare care devine denmulit. Pe latura vertical din stnga aezm cellalt numr scris de jos n sus. Cifrele le dispunem astfel ca fiecare din ele s cad n dreptul unei casete. Multiplicm apoi fiecare cifr a nmulitorului pe rnd cu toate cifrele denmulitului. Rezultatele obinute le nscriem n casetele care se gsesc la intersecia coloanei verticale cu linia orizontal a celor dou cifre care se nmulesc de fiecare dat. Cifra unitilor o nscriem n triunghiul superior al casetei, iar cifra zecilor n cel inferior.

Acum nu avem dect s adunm cifrele care se afl ntre dou diagonale consecutive, de la dreapta spre stnga, iar rezultatele s le nscriem sub latura orizontal inferioar. Astfel vom avea pe rnd: 5, apoi 3 + 6 = 9, pe urm 2 + 5 + 4 =

13 (scriem 3 i adunm 1 la suma cifrelor cuprinse ntre cele dou diagonale urmtoare) i aa mai departe. Rezultatul nmulirii este 2.125.395.

Justificarea metodei este foarte simpl. De fapt, aplicnd procedeul artat, noi nu am fcut dect s facem urmtoarea operaie:

(3.000 + 200 + 80+ 5)(7 + 40 + 600) = 3.285 x 647

Desfcnd aceste paranteze, nmulirile pariale le putem aranja uor astfel

cum se vede mai jos:3.000 X 7 = 21.000

200 X 7 = 1.400

80 X 7 = 560

5 X 7 = 35

3.000 X 600 = 1.800.000

200 X 600 = 120.000

80 X 600 = 48.000

5 X 600 = 3.0002.125.395

Operaiile de mai sus nu sunt dect o repetare a nmulirilor pariale pe care le-am fcut cu cifrele din dreptunghiul anterior. Mai bine zis este o rotire cu 90 a ntregului dreptunghi inclusiv operaiile cuprinse n el. nmulirea musulman are avantajul c se poate ncepe calculul indiferent din care parte dorim, de la dreapta

sau de la stnga, de jos sau de sus. Introducerea acestei metode a fost considerat

ca o mare nlesnire n tehnica nmulirii.

26. Despre Neper i bastonaele luiJohn Neper a fost un matematician englez, originar din Scoia, care a trit

ntre anii 1550 - 1617. El este cunoscut mai ales ca inventator al logaritmilor. Cu ajutorul logaritmilor ne putem permite s nlocuim o operaie aritmetic prin alta inferioar: o ridicare la putere devine o nmulire; o mprire se nlocuiete printr-o scdere; n locul unei nmuliri se efectueaz o adunare i aa mai departe. Preocupat de a da metode lesnicioase de calcul, Neper a recurs la ajutorul unor bastonae. Aceasta nu nseamn c el s-a ntors la metoda folosit de chinezi n urm cu mii de ani.

Pentru Neper fiecare bastona nu reprezenta un deget, adic o unitate. Bastonaele lui Neper poart nscrise pe ele numere care pot deveni uniti, zeci, sute etc. Aceste bastonae sunt nite prisme cu baza ptrat. Feele lor sunt mprite n cte 10 ptrate egale. Fiecare fa poart ca titlu nscris pe primul ptrat un numr din irul de la 1 la 9. Exist deci bastonae cu titluri ca: 0, 1, 9, 8; 0,

2, 9, 7; 0, 3, 9, 6; 0, 4, 9, 5; 1, 2, 8, 7; etc. n ptratele urmtoare sunt trasate diagonale de la dreapta sus spre stnga jos. n fiecare din aceste ptrate se afl nscrii multiplii titlului respectiv n ordinea cresctoare. Zecile acestor multiplii sunt trecute n triunghiurile superioare, iar unitile lor n cele inferioare.

Bastonaele lui NeperUn alt bastona, identic cu celelalte, este mprit la fel n ptrate, dar fr diagonale. Primul lui ptrat este gol. Pe celelalte ptrate el poart nscris cte un numr din irul 1, ..., 9 n ordinea natural. Acum s executm o nmulire cu aceste bastonae, de exemplu, 5.698 x 387. Aezm la dreapta bastonaului care poart irul de numere 1, ..., 9 patru bastonae care s aib titlurile 5, 6, 9, 8 n ordinea n care ele formeaz denmulitul. n dreptul numrului 7 al bastonaului din stnga vor cdea produsele numerelor 5, 6, 9 i 8 prin 7, care se citesc de-a dreptul pe respectivele bastonae.

n felul acesta, pentru a afla produsul parial 7 x 5.698, nu avem dect s transcriem cifrele din rndul corespunztor lui 7, avnd numai grij s adunm cifrele care se gsesc n acelai paralelogram, deoarece zecile rezultate din multiplicarea unei cifre devin uniti la nmulirea cifrei urmtoare. Bineneles c la extremitatea din dreapta se va avea cte un triunghi, a crui cifr se transcrie direct. n acelai mod se citesc i celelalte produse pariale. Toate produsele pariale se scriu unul sub altul. Suma lor ne d produsul cutat.Capitolul 4 Curiozitile unor numere ntregi i ale unor fracii4.1 Numere cu caliti ... morale27. Ce prere avea Pitagora despre numereLa popoarele la care s-a dezvoltat o matematic din timpurile cele mai vechi,

tiina era deinut mai mult de preoi. Unii din ei cunoteau i tiina numerelor.

Datorit anumitor combinaii pe care le fceau cu unele numere, preoii obineau rezultate care apreau curioase. De aceea ei ddeau nelesuri i interpretri supranaturale acestor numere. Preoii atribuiau numerelor puteri magice pe care le foloseau pentru dominarea spiritual a maselor i chiar a conductorilor politici i militari. n cltoriile sale, Pitagora a nvat matematica i sub acest aspect. Dar, cu toate c reuise s demonstreze tiinific cauzele particularitilor unor numere i unor figuri geometrice, el i-a bazat filozofia lui pe o idee care nou ni se prea foarte curioas.

Ideea principal a filozofiei lui Pitagora se rezum la urmtoarele: totul este numr; actele omului, muzica, tiina, fenomenele care se petrec n jurul nostru sunt dominate de numr. Dup Pitagora i adepii lui, pitagoricenii, fiecare numr i are nsemntatea lui i este investit cu anumite caliti...morale. Astfel, 1 reprezenta raiunea, iar 2 prerea. 3 era considerat ca primul numr masculin, alturi de 2 care avea calitatea de a fi primul numr feminin i deci 5, care rezult din unirea acestor dou numere, era imaginea cstoriei. 4 avea ntr-nsul darul justiiei. 6 coninea secretul sntii. 13 era vzut ca un numr nefast ... .a.m.d. La fel, pitagoricenii interpretau i figurile geometrice.

Aadar, Pitagora i pitagoricenii susineau c numerele guverneaz lumea.Bineneles c ei nu aveau dreptate n toat aceast filozofie a lor. Dup cum am mai artat la nceputul acestei cri, toate fenomenele care se petrec n jurul nostru sunt naturale. Ele au loc dup anumite legi fizice, chimice etc. Numrul nu reprezint dect un mijloc prin care putem exprima, n anumite uniti de msur, bine stabilite, relaiile cantitative ntre fenomene. Spre deosebire de maestrul lor care nelegea s-i in leciile publice n faa unui auditoriu vast, pitagoricenii au format societi misterioase i secrete. Orice descoperire matematic se comunica membrilor acestei societi sub prestare de jurmnt. Divulgarea secretelor era aspru pedepsit.

Astfel se povestete c n sec. IV .e.n., un membru al unei societi depitagoriceni, Hippasus, a fost necat n baia sa pentru c a fcut cunoscut unor prieteni c la lista corpurilor geometrice cunoscute s-a mai adugat i un poliedru regulat cu 12 fee (marele filozof grec Democrit, care a trit ntre anii 460 i 360 .e.n. i care era cel mai vestit cercettor al naturii din antichitate, a adus i el din cltoriile sale multe cunotine matematice adunate de la preoii egipteni; dar el a scuturat aceste cunotine de colbul magiei i le-a redat curate, tiinific, aa cum le-a vzut el; de altfel, este tiut c Democrit a fost primul filozof materialist).

n fine, Pitagora i elevii lui, dup ce mai clasificau numerele n biei i fete, detepte i proaste, mulumite i nemulumite... ei mai considerau c exist numere perfecte i numere amiabile (prietene). Cel puin denumirile ultimelor dou feluri de numere au putut s capete i o explicaie matematic, i de aceea vom vorbi despre ele.

28. Ce sunt numerele perfecte?Pitagora a cunoscut dou numere ntregi: 6 i 28, care prezint urmtoarea

particularitate: fiecare din aceste numere este egal cu suma divizorilor si, din care se exclude nsui numrul. Astfel, 6 are ca divizori pe 1, 2, 3 i 6, iar 28 are ca divizori pe 1, 2, 4, 7, 14 i 28. La aceste dou numere, excluznd respectiv divizorii 6 i 28, vom avea: 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Muli ani dup Pitagora, Nicomac din Alexandria (Nicomac din Alexandria, filozof i matematician grec nscut la Gerasa (Arabia); a trit prin sec. I e.n.; adept al lui Pitagora, a scris o biografie a acestui mare nvat, precum i o seam de lucrri de matematic i de muzic, dintre care mai multe s-au pierdut; ne-au rmas numai un manual de armonie i

Introducerea la studiul aritmeticii, din care rezult c Nicomac poseda cunotine

foarte avansate de aritmetic) i-a pierdut foarte mult timp ca s mai gseasc i el numai dou numere perfecte, 496 i 8.128. Pn la numrul 33.550.336 nu se mai gsete un alt numr perfect.

Dup aceasta vine: 8.489.869.056, 137.438.691.328,

2.305.843.008.139.952.128 i n fine, ultimul numr perfect care s-a calculat:

2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176. Toate numerele perfecte pe care le-am artat sunt pare. Pe cnd teoria numerelor perfecte impare nu este nc complet cunoscut, aceea a numerelor pare se cunoate bine i s-a dat chiar o formul cu care se poate gsi orice numr perfect par. Aceasta nseamn posibilitatea de calculare a unor numere mai mari ca ultimul artat mai sus, care de fapt nu prezint nici o valoare practic.

29. Numere amiabileSe pot gsi perechi de numere, astfel ca suma divizorilor unuia din ele s fieegal cu cel de al doilea i reciproc, suma divizorilor celui de al doilea s ne dea primul numr, cu condiia ca ntre divizori s nu intre numrul nsui.

S lum ca exemplu numerele 220 i 284. Divizorii lui 220 sunt: 1, 2, 4, 5, 10,

11, 20, 22, 44, 55, 110 i 220. Suma lor, din care se exclude 220, este 1 + 2 + 4 + 5 +

10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Divizorii lui 284 sunt: 1, 2, 4, 71, 142 i 284. Suma lor din care se exclude 284, este 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. O perecheamiabil. Aceste dou numere, 220 i 284, constituie deci o pereche de numereamiabile.

O tabel cu primele 5 perechi de numere amiabile, n ordinea lor cresctoare, descompuse n divizorii lor, cu excluderea numrului considerat, se vede mai jos. Se poate foarte uor urmri pe aceast tabel c suma acestor divizori ai unui numr ne d numrul amicului su.

NumereleamiabileDivizoriiSumadivizorilor

220

2841 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110

1 2 4 71 142284

220

2620

29241 2 4 5 10 20 131 262 524 655 1310

1 2 4 17 34 43 68 86 172 731 14622924

2620

5020

55641 2 4 5 10 20 251 502 1004 1255 2510

1 2 4 13 26 52 107 214 428 1391 27845564

5020

6232

63681 2 4 8 19 38 41 76 82 152 164 328 779 1558 3116

1 2 4 8 16 32 199 398 796 1592 31846368

6232

10744

108561 2 4 8 17 34 68 79 136 158 316 632 1343 2686 5372

1 2 4 8 23 46 59 92 118 184 236 472 1357 2714 542810856

10744

Se pare c sunt cunoscute pn n prezent toate perechile de numere amiabile

pn la 100.000. Se cunosc ns i foarte multe perechi de numere amiabile i peste100.000. Numrul perechilor cunoscute pn n prezent ar fi de circa 365.

4.2 Unele numere i curiozitile lor30. Cifra 1Cu cele 10 cifre de la O la 9, luate fiecare o singur dat, se pot forma fraciia cror sum s fie egal cu unu:135 + 48 = 1,

35 + 148 = 1.270 96

70 296

Numrul cel mai mare care se poate scrie, folosind de patru ori cifra 1, nu este 1111 ci 1111. Efectund operaiile, obinem un numr mai mare dect numrul format din 28 urmat de 10 zerouri. Acest numr este aproximativ de 250.000.000 ori mai mare dect 1.111.

31. Cifra 7

A ridica numrul 7 la puterea a patra constituie o operaie foarte simpl: 74=7 x 7 x 7 x 7 = 2401. Numrul 2401 prezint ns o curiozitate legat de numrul 7. Dac facem suma cifrelor lui 2401, luate ca simple uniti, obinem din nou numrul

7. ntr-adevr: 2 + 4 + 0 + 1 = 7.

S urmrim urmtoarele 5 operaii cu numrul 7:

7 x 1 + 1 = 8

7 x 12 + 2 = 86

7 x 123 + 3 = 864

7 x 1.234 + 4 = 8.642

7 x 12.345 + 5 = 86.420

Iat ce observm interesant la acest frumos tablou de numere: adugnd produsului 7 x 1 o unitate, obinem ca rezultat un numr format dintr-o cifr par:

8. Cnd trecem la produsul 7 x 12 i adugm acestuia 2 uniti, numrul rezultat are

dou cifre pare i aa mai departe. Cifrele pare care formeaz aceste numere se

succed n ordinea lor descresctoare ncepnd cu 8 i terminnd cu zero. S nu uitm c i zero este un numr par. Din cele cinci rezultate de mai sus (8, 86, 864,

8642 i 86420) s scoatem cifrele identice. Vom avea doi de 2, trei de 4, patru de 6

i cinci de 8. Dac astfel grupate, adunm aceste cifre ca simple uniti, obinem:

2 + 2 = 4

4 + 4 + 4 = 12

6 + 6 + 6 + 6 = 24

8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40, iar

4 = 4 x 1

12 = 4 x (1 + 2)

24 = 4 x (1 + 2 + 3)

40 = 4 x (1 + 2 + 3 + 4)

32. Cifra 9Lund numerele de la 1 la 10 i nmulind pe fiecare din ele cu numrul 9, se

obin urmtoarele produse:

1 x 9 = 9, 2 x 9 = 18, 3 x 9 = 27, 4 x 9 = 36, 5 x 9 = 45,6 x 9 = 54, 7 x 9 = 63, 8 x 9 = 72, 9 x 9 = 81, 10 x 9 = 90Ce observm privind coloanele de cifre de mai sus? Cifrele zecilor ale acestor produse se succed n ordinea lor natural, iar cifrele unitilor se succed i ele, ns n ordine descresctoare. Aceste rezultate se explic prin faptul c 9 = 10 - 1, i deci nmulirea cu 9 nu este dect o nmulire cu (10 - 1). Astfel:

4 x 9 = 4 x (10 - 1) = 40 - 4 = 36 = 30 + 6

5 x 9 = 5 x (10 - 1) = 50 - 5 = 45 = 40 + 5

Prin urmare, pentru fiecare cretere a denmulitului cu o unitate, produsele cresc i ele cu o zece, dar descresc cu o unitate.

33. Numrul 14ntrebuinnd de 5 ori oricare din cifrele de la 1 la 9 i diverse semne

indicnd operaiuni aritmetice, se poate obine numrul 14 astfel:

11 + 1 + 1 + 1 = 1422 + 22 2 = 14 33 + 3 = 143 34 4 4 + 4 = 1445 + 5 + 5 5 = 1456 + 6 + 6 + 6 = 1467 + 7 +

7 7 7 = 148 + 8 8 = 1489 + 9

9 9 = 149Dac ncercai, mai putei gsi i alte combinaii similare.

34. Numrul 15i numrul 15 se poate obine cu oricare din cifrele cuprinse n irul natural

de la 1 la 9, ns ntrebuinnd fiecare cifr de 6 ori mpreun cu diferite semne

indicnd operaii aritmetice.

11 + 1 + 1 + 1 + 1 = 15(2 + 2)2 2 + 2 = 1523 3 3 + 3 + 3 = 1534 4 4 + 4 = 154 + 455 + 5 5 = 155 5

6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 1567 + 7 7 + 7

= 157 7

8 + 8 8 + 8 = 158 + 89 9 + 9 +

9 9 +

9 = 15.Se mai pot gsi i alte combinaii. ncercai!35. Numerele 29 i 41Dac nmulim 292 cu 412 obinem numrul 1.413.721. Cum:

1.413.721 = 1.189 ,vom putea scrie: 292 x 412 = 1.1892. Desprind acum cifrele numrului 1.189 n grupe de cte 2 cifre i adunnd aceste grupe, obinem: 11 + 89 = 100.

S considerm acum din nou produsul: 292 x 412 = 1.413.721. i aici, dac

desprim pe 1.413.721 n grupe de cte 2 cifre de la stnga la dreapta i apoi de la dreapta spre stnga i adunm pe urm grupele respective, dm tot peste numrul

100: 14 + 13 + 72 + 1 = 100, 12 + 73 + 14 + 1 = 100. Mai departe, inversnd numerele astfel grupate avem: 41 + 31 + 27 + 1 = 100, 21 + 37 + 41 + 1 = 100, i deci iar 100...

36. Numrul 37S considerm irul de numere format din multiplii lui 3 pn la 27: 3, 6, 9, 12,

15, 18, 21, 24, 27. Dac nmulim fiecare termen al irului de mai sus cu 37, obinem:

37 x 3 = 111, 37 x 12 = 444, 37 x 21 = 777, 37 x 6 = 222, 37 x 15 = 555, 37 x 24 =

888, 37 x 9 = 333, 37 x 18 = 666, 37 x 27 = 999. Se observ deci c fiecare produs este format din 3 cifre egale. Dac adunm cifrele acestor produse, luate ca simple uniti, obinem respectivii nmulitori ai lui 37 sau termenii irului de numere date:

1 + 1 + 1 = 3, 2 + 2 + 2 = 6, 3 + 3 + 3 = 9 i aa mai departe.

De unde rezult aceast particularitate a numrului 37?

Rspunsul este foarte simplu: acest numr nmulit cu 3 ne d 111. Deci, dac l vom nmuli cu un multiplu de 3 vom obine multiplii de 111. De exemplu:

37 x 18 = 37 x 3 x 6 = 111 x 6 = 666.

37. Alte particulariti ale numrului 3737 = 32 + 72 3 x 7, 37 x (3 + 7) = 33 + 73,3 x 7 x 37 = 777

38. Numrul 45Suma cifrelor de la 1 la 9 ne d numrul 45. ntr-adevr 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +

7 + 8 + 9 = 45.

39. Numrul 45Se poate descompune ntr-o sum de 4 termeni: 8, 12, 5 i 20, care prezint o

particularitate curioas. Dac se adun numrul 2 la primul termen, se scade 2 din al

doilea, se nmulete al treilea termen cu 2 i se mparte al patrulea tot cu 2 se obine totdeauna numrul 10.

40. Numrul 75O particularitate similar cu a lui 45 o prezint i numrul 75. Acest numr sepoate descompune ntr-o sum de alte patru numere astfel: 8 + 16 + 3 + 48 = 75. Adunnd numrul 4 la primul termen al sumei, scznd acelai numr din al doilea, nmulind pe al treilea cu 4 i mprind pe al patrulea tot prin 4, obinem regulat numrul 12.

41. Numrul 100ntrebuinnd cele 9 cifre semnificative, fr repetiie, se pot gsi numere

cu care s se scrie numrul 100 n urmtoarele 13 feluri:74 + 25 + 3 + 9

= 100,

94 + 5 + 38 + 1

= 100,

75 + 24 + 3 + 9

= 1006 18

76 2

6 18

94 + 1578 = 100,

91 + 8 + 3 + 27

= 100,

95 + 4 + 38 + 1

= 100,263

6 54

76 2

91 + 5742 = 100,638

96 + 1428 = 100,357

91 + 5823 = 100,647

96 + 1752 = 10043891 + 7524 = 100,

96 + 2148 = 100,

98 + 1 + 3 + 27

= 100.836

537

6 54

Probabil c se mai pot gsi i alte moduri de exprimare a numrului 100 cu toate cele 9 cifre semnificative fr repetiie.

42. Iar 100Descompunnd n sumele de mai sus pe 74 n 70 + 4, pe 91 n 90 + 1 i aa mai

departe, se pot scrie aceste sume cu toate cifrele de la 0 la 9 luate o singur dat. De exemplu:

70 + 4 + 25 + 3 + 9

= 100,

90 + 1 + 8 + 3 + 27

= 1006 18

6 54

90 + 6 + 1.752 = 100,

90 + 8 + 1 + 3 + 27

= 100.438

6 5443. Tot 100Se poate obine numrul 100 utiliznd cele 10 cifre de la 0 la 9, fiecare o

singur dat, astfel:50 + 49 + 1 + 38 = 100, 70 + 24 + 5 + 3 + 9

= 100,

80 + 19 + 3 + 27

= 100,2 76

6 18

6 54

87 + 9 + 3 + 4 + 12

= 100.5 60

44. Din nou 100Considernd numrul 100 ca suma a 4 termeni 12 + 20 + 4 + 64, se observ c:

12 + 4 = 16, 20 - 4 = 16, 4 x 4 = 16, 64 : 4 = 16. n aceast privin numrul 100 prezint aceleai particulariti ca numerele 45 i 75 pe care le-am artat mai sus.

45. nc o dat 100Utiliznd de 5 ori aceeai cifr se poate scrie numrul 100 n urmtoarele

moduri:100 = 111 - 11, 100 = 5 x 5 x 5 5 x 5, 100 = 3 x 33 +

3 , 100 = (5 + 5 + 5 + 5) x 5346. Numrul 165Acest numr se poate descompune, ntr-un anumit mod, ntr-o sum de altepatru numere formate din cte dou cifre astfel: 165 = 82 + 36 + 13 + 34. Dac

inversm ordinea cifrelor la fiecare termen al sumei, obinem tot 165.

Iat: 28 + 63 + 31 + 43 = 165.

47. Numrul 225Numrul 225 se poate scrie sub forma unei sume de termeni astfel alctuii,

nct toi la un loc s conin toate cele 9 cifre semnificative fr repetiie:

225 = 1 + 23 + 45 + 67 + 89.

48. Iari 225Suma cifrelor semnificative 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ne d un multiplu

de 9. Mai sunt i alte numere, la rndul lor multiplii de 9, care se pot descompune ntr-o sum de numere care s conin toate cifrele de la 1 pn la 9: 162 = 9 + 12 +

36 + 48 + 57, 171 = 2 + 18 + 39 + 47 + 65, 810 = 195 + 267 + 348. Chiar 225 se mai

poate descompune ntr-o sum de ali termeni ndeplinind aceeai condiie:

225 = 1 + 35 + 42 + 69 + 78.

Cea mai frumoas ns este descompunerea lui 225, artat n paragraful

precedent, deoarece, nafar de faptul c termenii sunt astfel formai nct cifrele semnificative se succed n ordinea lor natural, fiecare termen se obine adugnd numrul 22 la precedentul. Astfel:

225 = 1 + (1 + 22) + (23 + 22) + (45 + 22) + (67+22).

49. Numrul 15.873S considerm irul de numere format din toi multiplii lui 7 pn la 63. Vom

avea: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63. nmulind fiecare termen al acestui ir cu

numrul 15873, obinem: 15.873 x 7 = 111.111, 15.873 x 14 = 222.222, 15.873 x 21 =

333.333, ..., 15.873 x 56 = 888.888, 15.873 x 63 = 999.999. Se vede deci, c produsele lui 15.873 prin fiecare termen al irului de numere de mai sus sunt numere formate din cte ase cifre totdeauna aceleai.

Cifra reprezentativ a fiecrui produs este chiar numrul de ordine al termenului din irul de multiplii ai lui 7. De exemplu, produsul 333.333, care este format din ase de 3, este rezultatul nmulirii lui 15.873 cu numrul 21, adic cel de al treilea termen al irului de numere considerat la nceput.

Cum se explic acest joc de cifre?

Este de la sine neles c dac 15.873 x 7 = 111.111, atunci i rezultatul nmulirii lui 15.873 printr-un numr de dou ori mai mare cu 7 va fi dublu, adic

15.873 x 14 = 15.873 x 7 x 2 = 111.111 x 2 = 222.222.

50. Numrul 142.857S lum numerele: 1, 5, 4, 6, 2, 3, care sunt de fapt primele 6 cifre

semnificative aezate ntr-o anumit ordine. nmulind numrul 142.857 cu aceste numere n ordinea de mai sus, obinem:

142.857 x 1 = 142857,

142.857 x 5 = 714285,

142.857 x 4 = 57 1428,

142.857 x 6 = 857142,

142.857 x 2 = 285714,

142.857 x 3 = 428571. Ce observm mai deosebit la aceste rezultate?

- fiecare produs este format din cifrele numrului 142.857;

- fiecare produs ncepe cu cifra cu care se termin precedentul;

- cifrele de pe aceeai coloan sunt identice;

- pornind de jos n sus pe fiecare linie oblic a cifrelor produselor, obinem

succesiv din nou aceste produse.

Astfel: 428.571, 285.714... Probabil c se mai gsesc i alte numere care au aceste proprieti.

51. Cum se mai poate scrie un milion?Cu toii tim s scriem un milion din 7 sau 3 cifre. Se scrie 1.000.000 sau 106.

Folosim astfel, fie dou cifre distincte, fie 3 cifre distincte. Dar dac am vrea s

scriem un milion numai cu aceeai cifr, bineneles repetat de mai multe ori, am putea? Desigur, c da! Astfel putem scrie: 2 + 2 + 2 ... adic de 500.000 ori cifra 2, sau 4 + 4 + 4 ... adic de 250.000 ori cifra 4, i aa mai departe. Dar n felul acesta, numrul cifrelor folosite ntrece cu foarte mult numrul de 7, tiute de noi.

Se poate ns scrie un milion, ntrebuinnd aceeai cifr maximum de 7 ori, ns cu diverse semne aritmetice ntre poziiile pe care le ocup cifra i nu numai semnul plus, pe care l-am folosit mai sus. Astfel:

2+22cu 6 de 1 :

(11 1)11+1 ;

cu 7 de 2 :

22 2 3+3

2 cu 6 de 3 :

3 3 + 3

; cu 5 de 4 :

( 4 + 4

4 )4+ 4 3 5

cu 5 de 5 :

(5 + 5)5+ 5 ;

cu 5 de 6 :

66 6 cu 7 de 7 :

77 7

7 + 7;

cu 6 de 8 :

6 (8 +

8 + 8 )cu 5 de 9 :

7 7 9 + 9

9 + .

8 8+8

9 Dac la fiecare caz n parte, din cele de mai sus, efectum operaiile indicate de semnele aritmetice, observm c toate aceste jocuri de cifre se reduc la a scrie

106 = 1.000.000.

52. Un milion din toate cifrele de la 0 la 9ntrebuinnd toate cifrele de la 0 la 9 fiecare o singur dat, se poate scrie

numrul un milion sub forma urmtoare:80 625 [7 + 9 +

(1 + 3) 4 ].Efectuai operaiile aritmetice i vei vedea.

53. Numrul 12.345.679Acest numr este format din opt cifre semnificative, aezate n ordinea lor

natural i din care lipsete ns cifra 8. Mai departe, s considerm irul de numere format din toi multiplii lui 9 de la 9 la 81. Vom avea: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72,

81. Dac nmulim numrul 12.345.679 cu un termen oarecare al acestui ir, obinem un numr format din 9 cifre egale. Exemple:

12.345.679 x 9 = 111.111.111

12.345.679 x 36 = 444.444.444

12.345.679 x 63 = 777.777.777

12.345.679 x 81 = 999.999.999.

Ce observm la rezultatele acestor nmuliri? Cifra din care este format

fiecare produs obinut prin nmulirea numrului 12.345.679 cu un termen al irului de numere format din multiplii lui 9 indic locul acestui termen n irul considerat.

Exemplu: termenul 36 ocup locul 4, deci produsul numrului 12.345.679 cu 36 va fi 444.444.444. Particularitile mai sus artate ale numrului 12.345.679 se explic prin urmtoarele identiti:

12.345.679 x 9 = 111.111.111

12.345.679 x 36 = 12.345.679 x 9 x 4 = 111.111.111 x 4 = 444.444.444

54. Numrul 123.456.789Dup cum vedei, acesta este un numr format din cele 9 cifre semnificative

aezate n ordinea lor natural. nmulind numrul 123.456.789 pe rnd cu fiecare

din cifrele semnificative, afar de acelea care sunt multipli de 3, adic 3, 6 i 9, obinem urmtoarele rezultate:

123.456.789 x 1 = 123.456.789

123.456.789 x 2 = 246.913.578

123.456.789 x 4 = 493.827.156