IntroduccionTeoria de Errores
Aritmetica del computador
Aritmetica del Computador
Hermes Pantoja Carhuavilca
Facultad de Ingenierıa IndustrialUniversidad Nacional Mayor de San Marcos
Metodos Computacionales
Hermes Pantoja Carhuavilca Aritmetica del Computador
IntroduccionTeoria de Errores
Aritmetica del computador
Contenido
1 Introduccion
2 Teoria de Errores
3 Aritmetica del computador
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Aritmetica del computador
Introduccion al estudio de metodos computacionales
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Aproximacion y Errores
Los calculos numericos inevitablemente conducen a errores
Estos son de dos clases principales:
1. Errores de Redondeo
Errores asociados con la representacion inexacta de numerosreales por la computadora.Errores asociados con la maquina.
2. Errores de Truncamiento
Errores asociados con el uso de un procedimiento numericoaproximado para reemplazar una expresion matematica exacta.Error asociados con el algoritmos matematico.
Ambos conducen al error total.
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Fuentes de errores
Los errores en el calculo matematico tienen varia fuentes:
El modelado que da origen al problema matematico.
Incertidumbre de los datos del problema.
La codificacion del modelo.
Errores de redondeo.
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Error absoluto, relativo y precision
Consideremos ”A” el valor exacto de la medida de cierta magnitud(en general desconocida) y sea ”a” un valor conocido que sellamara aproximacion de ”A”. Evidentemente la buena cualidad dela aproximacion es de acuerdo a cuan proximo esta ”a” de ”A”.
Error Absoluto
Llamamos error absoluto del numero aproximado ”a” al valor:
ξa = |A− a|
y todo numero ξ∗a ≥ ξa, se denominara cota del error absoluto.
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Error absoluto, relativo y precision
Error Relativo
Llamamos error relativo del numero aproximado ”a” al valor:
δa =|A− a||A|
, A 6= 0
y todo numero δ∗a ≥ δa, se denominara cota del error relativo.
Precision
Dado un ε > 0 (pequeno) decimos que el valor ”a” aproxima a”A” con una precision ε si:
ξa = |A− a| ≤ ε
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Definiciones
Sean ”A” y ”a” dos numeros reales. Se dice que ”a” es unaaproximacion de ”A” con ”n” cifras decimales exactas (o que ”A”y ”a” coinciden en ”n” cifras decimales), si ”n” es el mayor enterono negativo tal que
ξa ≤ 0,5× 10−n
Sean ”A” y ”a” dos numeros reales, con A6= 0. Se dice que ”a” esuna aproximacion de ”A” con ”n” cifras decimales significativasexactas (o que ”A” y ”a” coinciden en ”n” cifras decimalessignificativas), si ”n” es el mayor entero no negativo tal que
δa ≤ 5× 10−n
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Exactitud vs Precision
Exactitud : Se refiere a que tan cercano esta el valor calculado omedido del valor verdadero.Precision: Se refiere a que tan cercanos se encuentran, uno deotros, diversos valores calculados o medidos.a)Inexacto e impreciso b)Exacto e impreciso c)Inexacto y precisod) Exacto y Preciso
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Propagacion de errores
Al resolver un problema utilizando metodos numericos, el error quese genera sera consecuencia de un cumulo de errores ocurridos enpasos sucesivos, se debe estudiar la mecanica de ”propagacion” delos mismos a lo largo del calculo.
Reglas de Propagacion
a) Suma: Propaga los errores absolutos|ξx+y | ≈ |ξx |+ |ξy |
b) Producto y cociente(Si δx y δy son pequenos): propaga loserrores relativos|δx .y | ≈ |δx |+ |δy ||δx/y | ≈ |δx |+ |δy |
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Propagacion de errores
c) Funciones de una variable: y = f (x)
ξy ≈ |y ′|ξx
d) Funciones de varias variables: y = f (x1, x2, . . . , xn)
ξy ≈n∑
i=1
| ∂f
∂xi|ξxi
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Aritmetica del Computador
Las operaciones de suma, resta, multiplicacion y division en elsistema de punto flotante (F), se denota por ⊕,,⊗,�respectivamente. Estas operaciones estan definidas por:x ⊕ y = fl(fl(x) + fl(y))x y = fl(fl(x)− fl(y))x ⊗ y = fl(fl(x)× fl(y))x � y = fl(fl(x)÷ fl(y)), fl(y) 6= 0, y 6= 0Estas operaciones no son cerradas sobre F, pues en algunos casosse genera underflow u overflow;
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Representacion de numeros del computador
Los computadores trabajan con aritmetica real usando un sistemadenominado de ”punto flotante”. Suponen un numero real quetiene la expansion binaria:Numero Normalizado
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Notacion Normalizada
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Ejemplo
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Estandar IEEE-754
Precision Simple: 32 bits
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Ejemplos:
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Estandar IEEE-754
Precision Doble: 64 bits
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Cambio de Base
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Ejemplo:
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