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IntroduccionTeoria de Errores

Aritmetica del computador

Aritmetica del Computador

Hermes Pantoja Carhuavilca

Facultad de Ingenierıa IndustrialUniversidad Nacional Mayor de San Marcos

Metodos Computacionales

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IntroduccionTeoria de Errores

Aritmetica del computador

Contenido

1 Introduccion

2 Teoria de Errores

3 Aritmetica del computador

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Aritmetica del computador

Introduccion al estudio de metodos computacionales

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IntroduccionTeoria de Errores

Aritmetica del computador

Aproximacion y Errores

Los calculos numericos inevitablemente conducen a errores

Estos son de dos clases principales:

1. Errores de Redondeo

Errores asociados con la representacion inexacta de numerosreales por la computadora.Errores asociados con la maquina.

2. Errores de Truncamiento

Errores asociados con el uso de un procedimiento numericoaproximado para reemplazar una expresion matematica exacta.Error asociados con el algoritmos matematico.

Ambos conducen al error total.

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Aritmetica del computador

Fuentes de errores

Los errores en el calculo matematico tienen varia fuentes:

El modelado que da origen al problema matematico.

Incertidumbre de los datos del problema.

La codificacion del modelo.

Errores de redondeo.

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Aritmetica del computador

Error absoluto, relativo y precision

Consideremos ”A” el valor exacto de la medida de cierta magnitud(en general desconocida) y sea ”a” un valor conocido que sellamara aproximacion de ”A”. Evidentemente la buena cualidad dela aproximacion es de acuerdo a cuan proximo esta ”a” de ”A”.

Error Absoluto

Llamamos error absoluto del numero aproximado ”a” al valor:

ξa = |A− a|

y todo numero ξ∗a ≥ ξa, se denominara cota del error absoluto.

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Aritmetica del computador

Error absoluto, relativo y precision

Error Relativo

Llamamos error relativo del numero aproximado ”a” al valor:

δa =|A− a||A|

, A 6= 0

y todo numero δ∗a ≥ δa, se denominara cota del error relativo.

Precision

Dado un ε > 0 (pequeno) decimos que el valor ”a” aproxima a”A” con una precision ε si:

ξa = |A− a| ≤ ε

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Aritmetica del computador

Definiciones

Sean ”A” y ”a” dos numeros reales. Se dice que ”a” es unaaproximacion de ”A” con ”n” cifras decimales exactas (o que ”A”y ”a” coinciden en ”n” cifras decimales), si ”n” es el mayor enterono negativo tal que

ξa ≤ 0,5× 10−n

Sean ”A” y ”a” dos numeros reales, con A6= 0. Se dice que ”a” esuna aproximacion de ”A” con ”n” cifras decimales significativasexactas (o que ”A” y ”a” coinciden en ”n” cifras decimalessignificativas), si ”n” es el mayor entero no negativo tal que

δa ≤ 5× 10−n

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Aritmetica del computador

Exactitud vs Precision

Exactitud : Se refiere a que tan cercano esta el valor calculado omedido del valor verdadero.Precision: Se refiere a que tan cercanos se encuentran, uno deotros, diversos valores calculados o medidos.a)Inexacto e impreciso b)Exacto e impreciso c)Inexacto y precisod) Exacto y Preciso

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Aritmetica del computador

Propagacion de errores

Al resolver un problema utilizando metodos numericos, el error quese genera sera consecuencia de un cumulo de errores ocurridos enpasos sucesivos, se debe estudiar la mecanica de ”propagacion” delos mismos a lo largo del calculo.

Reglas de Propagacion

a) Suma: Propaga los errores absolutos|ξx+y | ≈ |ξx |+ |ξy |

b) Producto y cociente(Si δx y δy son pequenos): propaga loserrores relativos|δx .y | ≈ |δx |+ |δy ||δx/y | ≈ |δx |+ |δy |

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IntroduccionTeoria de Errores

Aritmetica del computador

Propagacion de errores

c) Funciones de una variable: y = f (x)

ξy ≈ |y ′|ξx

d) Funciones de varias variables: y = f (x1, x2, . . . , xn)

ξy ≈n∑

i=1

| ∂f

∂xi|ξxi

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Aritmetica del computador

Aritmetica del Computador

Las operaciones de suma, resta, multiplicacion y division en elsistema de punto flotante (F), se denota por ⊕,,⊗,�respectivamente. Estas operaciones estan definidas por:x ⊕ y = fl(fl(x) + fl(y))x y = fl(fl(x)− fl(y))x ⊗ y = fl(fl(x)× fl(y))x � y = fl(fl(x)÷ fl(y)), fl(y) 6= 0, y 6= 0Estas operaciones no son cerradas sobre F, pues en algunos casosse genera underflow u overflow;

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Aritmetica del computador

Representacion de numeros del computador

Los computadores trabajan con aritmetica real usando un sistemadenominado de ”punto flotante”. Suponen un numero real quetiene la expansion binaria:Numero Normalizado

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Aritmetica del computador

Notacion Normalizada

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Aritmetica del computador

Ejemplo

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Aritmetica del computador

Estandar IEEE-754

Precision Simple: 32 bits

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IntroduccionTeoria de Errores

Aritmetica del computador

Ejemplos:

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Aritmetica del computador

Estandar IEEE-754

Precision Doble: 64 bits

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IntroduccionTeoria de Errores

Aritmetica del computador

Cambio de Base

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IntroduccionTeoria de Errores

Aritmetica del computador

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IntroduccionTeoria de Errores

Aritmetica del computador

Ejemplo:

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IntroduccionTeoria de Errores

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