Teorema Fundamental da Teorema Fundamental da TrigonometriaTrigonometria
1cossen 22
Demonstração ...Demonstração ...
)θ1 cos
sen 1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
θ·
Continuação...Continuação...
)θ1 cos
sen 1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
1
Continuação...Continuação...
)θsen θ
cos θ
1
Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2, temos :
1cossen 22
Relações Trigonométricas no Relações Trigonométricas no Triângulo RetânguloTriângulo Retângulo
)θCateto Adjacente Cateto Oposto
Hipotenusa
Continuação ...Continuação ...
Cotangente de θ
Secante de θ
Cossecante de θTangente de θ
Cosseno de θ
Seno de θ
Relação no Triângulo Retângulo
Ente Trigonométrico
HIPCOsen
HIPCA
cos
COHIP
sen
1seccos
CAHIP
cos
1sec
Na Circunferência Na Circunferência TrigonométricaTrigonométrica
)θ cos
sen
0
sen θ
cos θ
·
tg
tg θ
Continuação ...Continuação ...
)θ0
·cotg cotg θ
secante θ
cossec θ
Arcos NotáveisArcos Notáveis
30°150°
210° 330°
45°135°
225° 315°
60°120°
240° 300°
cos
sen
0
tg90°
180°
270°
0°/360°
arco 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
rad 06
4
3
2
32
2
seno 021
22
23
1 0 - 1 0
cosseno 123
22
21
0 - 1 0 1
tangente
cossen 0
33
1 3 - - - 0 - - - 0
Tabela de Entes Trigonométricos ...
Exercícios ResolvidosExercícios Resolvidos
Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado?
Observem a figura ao lado1) Em relação ao ângulo , podemos dizer que o sen vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
cb
hip.o.csen
2) Em relação ao ângulo , podemos dizer que a tg vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c
ab
.a.c
.o.ctg
3) Em relação ao ângulo , podemos dizer que tg .cotg vale:
a) 1/a
b) 1/c
c) 1/b
d) 0
e) 1 1.o.c.a.c.
.a.c
.o.cgcot.tg
4) Se a = 3b, podemos dizer então, que
sen2 + cos2 vale:
a) b2 / a2
b) 9c2 / b2
c) 0
d) 1
e) (c2 + b2) / 9a2
Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que:
sen2 + cos2 = 1
portanto
5) Em relação ao ângulo , podemos dizer que sec2- 1 vale:
a) tg2
b) cotg2
c) - 1
d) 0
e) 1
22
22
cos1sec
cos1sec
olog,cos
1sec
222
2
2
2
22 tg1sec
cossen
coscos11
cos11sec
2
22
22
cossentg
cossentg
olog,cossentg
22
22
cos1sen1cossen
22 tg1sec
6) Em relação ao ângulo , podemos dizer que cossec2- 1 vale:
a) tg2
b) cotg2
c) - 1
d) 0
e) 1
22
22
sen1seccos
sen1seccos
olog,sen
1seccos
222
2
2
2
22 gcot1seccos
sencos
sensen11
sen11seccos
2
22
22
sencosgcot
sencosgcot
olog,sencosgcot
22
22
sen1cos1cossen
22 gcot1seccos
Lei dos SenosLei dos SenosSeja um triângulo ABC qualquer
temos : Csen
c
Bsen
b
Asen
a
) (^A
^C
^B
A B
C
a
c
b
Lei dos CossenosLei dos CossenosSeja um triângulo ABC qualquer
temos :
Ccosba2bac
ouBcosca2cab
ouAcoscb2cba
222
222
222
) (^A
^C
^B
A B
C
a
c
b
Continuação ...Continuação ...
Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é reto, por exemplo, Â= 90°, temos :
90coscb2cba 222
Sabe-se que cos 90° = 0, logo ...
0cb2cba 222
Temos, portanto ... 222 cba Teorema de Pitágoras
Gráficos das funções Gráficos das funções trigonométricastrigonométricas
sen x
y
x
•
•
•
•
•
•
•
•
• •0° 540° 720°450°
630°
360°
270°
180°
-180° -90° • 90°
1
-1
Continuação ...Continuação ...
cos x
y
x •
•
• •
•
•
• •
•
•
•
0°
540°
720°450° 630°360°270°
180°-180°
-90° 90°
1
-1
Continuação ...Continuação ...
tg x
y
x • • • • • • • • • 0° 360°
-90° 90°180°
270° 450°
540°
630°
Continuação ...Continuação ...
y
x • •
•
•
•
•
•
•
• •
0° 540° 720°450°
630°
360°
270°
180°
-180° -90° • 90°
1
-1
cossec x
Continuação ...Continuação ...
•
•
• •
•
•
• •
•
•
•
0°
540°
720°450° 630°360°270°
180°-180°
-90° 90°
sec xy
x
1
-1
Continuação ...Continuação ...
cotg x
y
x • • • • • • • • • 0° 360°
90°
180°
270° 450°
540°
630°
720°
• Integração por Substituição trigonométrica Caso Radical Substit.
Trigonométrica Transformada Trigonometria no
Triângulo Retângulo
I 222 .uba sen.bau cos.sen1. 2 aa
CACOtg
II 222 .uba tgbau . sec.1. 2 atga
HICA
cos
III 222 . aub sec.bau tgaa .1sec. 2
HICO
sen
Demonstrando o Caso I ...
)sen1.(sensen.sen. 222222
2
222
222222 aaa
baba
babauba
22 cossen1. aa cos.a
Trigonometria
Algumas Aplicações
Parte PráticaO exemplo clássico da Sombra
Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos.
São eles: uma distância
um ânguloObserve a seguir . . .
hd.tgdhtg
.a.c
.o.ctg
temos que:
portanto: tg.dh
Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo que vale 30°, podemos dizer então que:
metros8675,28h95773502691,0.50h
30tg.50htg.dh
Exemplo 1
A inclinação de uma rampa
Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?
Como poderíamos resolver essa situação?
Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação.
Observemos:
6 metros16,4 metros
2 metros
Comprimento total da rampa
solo
6 metros
16,4 metros2 metros
Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .
2 metros
16,4 metroship c.o.
c.a.
Temos em relação ao ângulo
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
2 metros
16,4 metroship c.o.
c.a.
Como:
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
121219512195,04,16
2hip
.o.csen
Obs.: quando dizemos que arcsen = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que = 30°.
Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:
sen = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ângulo , com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de sua calculadora.
Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7°.
Encontramos assim, a inclinação da rampa!
Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco)
Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )7,13
Solução:
Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio.
)II(y.3h
y.60tghhy.60tgyh
.a.c
.o.c60tg
)I()y20(.33
h
)y20(.30tghh)y20(.30tg)y20(
h.a.c.o.c30tg
metros10yy220yy320y.3)y20(
y.3.3)y20(.3y.3)y20(.33
y.3h)II()y20(.33
h)I(
Igualando o h das equações ( I ) e (II)
Como
metros17h10.7,1h
y.3h
30 metros
Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:
De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros
segundos20eutosmin5touutosmin333,5t60
segundos320tsegundos3202,0
64t
Vstst.V
tsV
v = 0,2 m/s
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