Arhitektura računalaArhitektura računala1. Brojevni sustavi1. Brojevni sustavi
1
11.0. .0. PregledPregled vjevježžbebe
�Brojevni sustavi
�Dekadski, binarni, heksadekadski sustav
�Pretvorba brojeva iz jednog sustava u drugi
�Artimetika binarnih brojeva
�Koji je sustav najbolji?
2
1.1. Brojevni sustav
Brojevni sustav sastoji se od:
�nepraznog skupa elemenata (znamenki)
�pravila zapisivanja elemenata (znamenki)
Dijele se na:
�pozicijske brojevne sustave
�nepozicijske brojevne sustave
3
1.1. Brojevni sustav
Pozicijski brojevni sustav
� koristi ograničen broj znamenki
� vrijednost znamenke ovisi o njenom položaju(poziciji) u danom broju
� broj znamenki u brojevnom sustavu određuje bazu
sustava B
Nepozicijski brojevni sustav
� koristi neograničen broj znamenki
� znamenke imaju istu vrijednost na različitim
mjestima u zapisu broja
� najpoznatiji - sustav rimskih brojeva (I,V,X,L,C,D,M)
4
1.2. Pozicijski brojevni sustav
Općenito se svaki broj N u nekom pozicijskom brojevnomsustavu može zapisati pomoću baze B, broja znamenakatog broja n i koeficijenata ai:
� Potencije baze zovemo težinskim faktorima ilitežinama pojedinih brojevnih mjesta
� Dekadski, binarni, heksadekadski brojevni sustav
5
1.3. Dekadski brojevni sustav
Koristi skup od 10 znamenki: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
Baza dekadskog brojevnog sustava je broj 10.
472 = 4x100 + 7x10 + 2x1
ili korištenjem potencija baze:
472 = 4x102 + 7x101 + 2x100
6
1.4. Binarni brojevni sustav
Koristi skup od 2 znamenke: (0,1) koje zovemo binarnima
Baza binarnog brojevnog sustava je broj 2, a jedno binarno
mjesto se kraće naziva bit (engl. binary digit)
Krajnje desni bit naziva se bitom najmanje težine ili
najmanje značajnim bitom
Krajnje lijevi bit naziva se bitom najveše težine ili
najznačajnim bitom
7
1.5. Dekadski vs. Binarni sustav
Kažemo da je kapacitet dekadskog broja s n znamenaka 10n
Najveći broj koji se može zapisati sa tih n znamenaka je
10n-1 tj. 999...999 (sa n “devetica”)
Kažemo da je kapacitet binarnog broja s n znamenaka 2n
Najveći broj koji se može zapisati sa tih n znamenaka je
2n-1 tj. 111...111 (sa n “jedinica”)
8
1.5. Dekadski vs. Binarni sustav
Da bismo označili pripadnost broja nekom brojevnomsustavu, u indeks mu stavljamo oznaku brojevnog
sustava
� 11(10) označava broj 11 u sustavu s bazom 10 i njegova je vrijednost “jedanaest”
� 11(2) označava broj 11 u sustavu s bazom 2 i njegova je vrijednost “tri”
Postoje samo 10 vrste ljudi:
oni koji kuže binarne brojeve i oni koji ih ne kuže.
9
1.6. Heksadecimalni brojevni sustav
Koristi skup od 16 znamenki:
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)
Baza heksadecimalnog brojevnog sustava je broj 16.
Heksadecimalni brojevni sustav iznimno je važan uračunarstvu. Naime, budući je 24=16, to se svakomheksadecimalnom (heksa) znamenkom mogu prikazati 4
bita podataka.
10
111115F
111014E
110113D
110012C
101111B
101010A
100199
100088
11177
11066
10155
10044
1133
1022
111
000
B = 2B = 10B = 16
11
1.7. Pretvorba iz sustava u sustav
� pretvorba iz dekadskog sustava ili u dekadski sustav se vrši neposredno
� pretvorba kod ostalih sustava najćešće posredna, odnosno traži međukorak pretvaranja u dekadski (ili binarni) sustav
Tražimo rješenje M jednadžbe: N(x) = M(z)
gdje su N i M brojevi od kojih je N poznat, a x i z bazebrojevnih sustava.
� 2 moguća slučaja obzirom na vrstu broja N(N>1 ili 1>N>0)
� kod svakog slučaja postoje 2 varijante obzirom na odnosmeđu bazama x i z (x<z ili z<x)
12
1.7.6. Heksadecimalni � binarni
binarni � heksadecimalni
� grupirati znamenke u četvorke, počevši od najmanje
značajnog bita
heksadecimalni � binarni
� svaku znamenku prikazati kao četvorku binarnih brojeva
� po potrebi dodati odgovarajući broj nula s lijeve strane
10110011100110
6EC2
01101110110010
18
1.7.6. Oktalni � binarni
binarni � oktalni
� grupirati znamenke u trojke, počevši od najmanje
značajnog bita
oktalni � binarni
� svaku znamenku prikazati kao trojku binarnih brojeva
� po potrebi dodati odgovarajući broj nula s lijeve strane
10110011100110
64362
11010001111010
19
1.8. Aritmetika binarnih brojeva
� Zbrajanje
� Oduzimanje
� Množenje
� Dijeljenje
� Komplementiranje
• Komplementiranje se izvodi tako da se jedinicezamijene sa nulama i obrnuto.
• Npr. komplement od 101 je 010
20
1.8.1. Zbrajanje binarnih brojeva
Binarno zbrajanje obavlja se analogno kao i dekadsko
zbrajanje, s tim što se prijenos na više brojno mjesto
obavlja nakon postignutog zbroja.
Tablica zbrajanja:
1011
100
10+
21
1.8.2. Oduzimanje binarnih brojeva
Izravno oduzimanje – kao i u dekadskom brojevnom sustavu
Strojno oduzimanje:
1. Broj koji se oduzima (umanjitelj) se komplementira. Naravno, ako umanjitelj ima manje bitova od umanjenika,
treba mu s lijeve strane dodati odgovarajući broj nula. Ovaj komplement zove se jedinični.
2. Jedinični komplement se inkrementira.
Ovaj komplement zove se dvojni.
3. zbroje se dvojni komplement i umanjenik(jedinicu koja se dobije kao preljev [engl. overflow] zbog ispravnosti rezultata treba zanemariti)
22
1.8.2. Oduzimanje binarnih brojeva
Strojno oduzimanje:
100110
- 001110
------------
100110
110001
+ 1
------------
1011000
Izravno oduzimanje:
100110
- 001110
------------
011000
23
1.8.3. Množenje binarnih brojeva
� izračunavanje parcijalnih umnožaka
� sumiranje uz posmak
Tablica množenja:
101
000
10.
24
1.8.3. Množenje binarnih brojeva
Primjer:
110 x 101
-------------------------
110
000
110
-------------------------
11110
25
1.8.4. Dijeljenje binarnih brojeva
Dijeljenje binarnih brojeva provodi se na papiru jednakokao i u dekadskom sustavu
� Najprije se provjeri “ide li” djeljitelj u isto toliki brojnajznačajnijih bitova djeljenika, pa ako “ne ide” spušta
se slijedeći bit
� Operacija se dalje ponavlja, pa
• ako je dijeljenje moguće, pripadna znamenkakoličnika je 1,
• a ako je dijeljenje nemoguće, pripadna
znamenka količnika je 0
26
1.8.4. Dijeljenje binarnih brojeva
111011 : 11 = 10011
- 11
-------
0101
- 11
----------
101
- 11
----------
10
27
1.9. Izbor brojevnog sustava
Koji je brojevni sustav najbolji?
� Sustav koji će zahtijevati najnižu cijenu sklopova,
odnosno onaj koji će minimizirati funkciju koštanja!
Cijena sklopa: C = q x p
� Cijena sklopa proporcionalna je broju različitihvrijednosti (q) koje sklop može pohraniti!
� Cijena sklopa proporcionalna je broju “pozicija” (p)
koje su potrebne za prikazivanje broja iz nekogdefiniranog područja!
28
1.9. Izbor brojevnog sustava
Cijena sklopa: C = q x p
� Broj različitih potencija koji se mogu prikazati s p pozicija je qp
� Najveći broj koji se može prikazati s p pozicija: N<qp
• Primjer: q=2, p=3 =>N<23 tj. N<8
• 1*22 + 1*21 + 1*20 = 7 < 8
� N < qp => lnN < p * lnq => p > lnN / lnq
� C = q*lnN / lnq
� Minimum funkcije C je q = e =2.718 dakle 2 <q <3
29
Zadaci za vježbu 1.
1) Pretvori iz jednog brojevnog sustava u drugi:
• a) 110102(3) = ?(7)
• b) 177(8) = ?(3)
2) Pretvori direktnom pretvorbom:
• a) 1101010101(2) = ?(16)
• b) 7143(8) = ?(2)
3) Sortiraj po ostatku pri dijeljenju sa 3(10):
• a) 1011011(2), 1101110(2), 1100011(2)
• b) 321 (4), 132 (4), 223 (4)
4) Podijeli u binarnom sustavu 17(10) sa 21(6).
30
Top Related