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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

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Matemática Básica APUNTES DOCENTES Departamento de Ciencias Básicas


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Tabla de contenido UNIDAD 1 ........................................................................................................................................................ 6

1.CONJUNTOS NUMÈRICOS ..................................................................................................................... 6

1.1 LOS NÚMEROS REALES ........................................................................................................ 6

1.1.1. LA RECTA NUMÉRICA ................................................................................................... 7

1.1.2 VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS REALES ............................................................... 8

1.2. OPERACIONES CON REALES .............................................................................................. 8

1.2.1. CLAUSURATIVA ............................................................................................................. 8

1.2.2. CONMUTATIVA ................................................................................................................ 8

1.2.3. ASOCIATIVA ..................................................................................................................... 8

1.2.4. DISTRIBUTIVA ................................................................................................................ 8

1.2.5. MODULATIVA .................................................................................................................. 8

1.2.6. INVERTIVA ....................................................................................................................... 8

1.3. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS ....................................................................... 8

1.3.1. ADICIÓN ........................................................................................................................... 8

1.3.2 MULTIPLICACIÓN Y DIVISÓN ...................................................................................... 9

1.4. OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES ............................................................... 9

1.4.1 ADICIÓN ............................................................................................................................ 9

1.5. OPERACIONES CON NÚMEROS IRRACIONALES ......................................................... 10

1.6. POTENCIACION DE REALES ............................................................................................. 11

1.6.1. PROPIEDADES ............................................................................................................... 11

1.7. RADICACION DE REALES .................................................................................................. 12

1.7.1. PROPIEDADES DE LOS RADICALES ..................................................................... 12

UNIDAD 2 ......................................................................................................................................... 15

2. EXPRESIONES ALGEBRAÌCAS ................................................................................................. 15

2.1.1. MONOMIO ...................................................................................................................... 15

2.1.2. BINOMIO ......................................................................................................................... 15

2.1.3. TRINOMIO ...................................................................................................................... 16

2.1.4. POLINOMIO .................................................................................................................... 16

2.2. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAÍCAS .................................................... 16


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2.2.1. SUMA Y RESTA .............................................................................................................. 16

2.2.2. MULTIPLICACIÓN......................................................................................................... 17

2.2.3. DIVISIÓN ........................................................................................................................ 18

2.3 VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS ................................................ 19

UNIDAD 3 ...................................................................................................................................................... 20

3.PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES ......................................................................................... 20

3.1 PRODUCTOS NOTABLES ..................................................................................................... 20

3.1.2. CUADRADO DE UN BINOMIO .................................................................................. 20

3.1.3. PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES........... 20

3.1.4. CUBO DE UN BINOMIO ............................................................................................... 20

3.1.5. MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN .......................... 20

3.2. COCIENTES NOTABLES ...................................................................................................... 21

UNIDAD 4 ...................................................................................................................................................... 21

4.FACTORIZACIÒN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS ............................................................... 22

4.1. FACTORIZACION ................................................................................................................. 22

4.1.1 CASOS DE FACTORIZACIÓN ....................................................................................... 22

4.1.2 FACTOR COMUN ............................................................................................................ 22

4.1.3 FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS: ........................................... 22

4.1.4. FACTORIZACION DE TRINOMIOS ........................................................................... 23

4.1.4. FACTORIZACION DE BINOMIOS .............................................................................. 24

4.1.5. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS...................................................... 25

4.1.6. DIVISIÓN SINTÉTICA O REGLA DE RUFFINI ......................................................... 25

4.2. FRACCIONES ALGEBRAICAS ........................................................................................... 27

4.2.1SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ............................................... 27

4.2.2 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS ........................ 27

4.2.3. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS .............................................. 28

UNIDAD 5 ...................................................................................................................................................... 30

5. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES ............................................................................. 30

5.1 ECUACIONES ......................................................................................................................... 31

5.1.1 ECUACIÓN ...................................................................................................................... 31

5.1.2 TIPOS DE ECUACIONES ............................................................................................... 31

5.1.3. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO .................................................. 31

5.1.4. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO .................................................................... 32


4

5.1.5. ECUACIONES INCOMPLETAS .................................................................................... 33

5.2. SISTEMAS DE ECUACIONES ............................................................................................. 35

5.2.1. TIPOS DE SISTEMAS LINEALES ................................................................................ 36

5.2.2. MÉTODOS DE SOLUCION ........................................................................................... 37

Interpretación geométrica de las soluciones ............................................................................... 38

5.2.3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS: ..................... 38

UNIDAD 6 .......................................................................................................................................................... 41

6. DESIGUALDADES E INECUACIONES. .............................................................................................................. 41

6.1 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES ...................................................................... 42

6.1.1. DESIGUALDADES ABSOLUTAS ................................................................................. 43

6.1.2. DESIGUALDADES CONDICIONALES ....................................................................... 43

6.1.3. INTERVALOS .................................................................................................................. 43

6.2. INECUACIONES .................................................................................................................... 44

6.2.1. CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES .............................................................. 45

6.2.2. INECUACIONES DE UNA VARIABLE ........................................................................ 45

6.2.2. INECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO .................................. 48

6.2.3. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR ................................................................... 52

6.2.4 INECUACIONES RACIONALES ................................................................................. 52

6.2.5. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO ............................................................... 54


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INTRODUCCION

La matemática, es considerada como una ciencia exacta, de ahí la importancia de su estudio de manera clara y con una eficaz argumentación, la parte conceptual es de suma importancia en todo proceso de conocimiento, el acceso a la información en forma ordenada influye en el propósito de lograr los objetivos propuestos. Infortunadamente con el correr del tiempo la matemática se ha convertido en el "coco" o dolor de cabeza de muchos estudiantes, sin importar el grado de escolaridad en que este se encuentre. Nada de esto, está más lejos de la realidad, y se encuentra en el mundo estudiantil y académico, pudiéndose advertir desde la experiencia docente que uno de los factores puede radicar en las estrategias utilizadas para enseñar la matemática, inclusive en los métodos utilizados para entender lo que se estudia. La motivación y la presentación de los diferentes contenidos de forma transparente y con una lógica consecuente muy seguramente nos permitirán un acercamiento de los estudiantes a las matemáticas y un gusto en los procesos de construcción del conocimiento matemático. Un factor que esta notoriamente influyendo en un sector importante de estudiantes de grados superiores es no haber afianzado pre-saberes sólidos que más adelante se necesitaran para el buen desarrollo de diferentes asignaturas en forma transversal, estos deben adquirirse para entender, comprender y analizar la matemática. Uno de los propósitos fundamentales con estos apuntes es el de abordar contenidos temáticos básicos que de alguna manera permitan una comprensión de la matemática básica. Invitamos a los docentes para que estimulen y logren una motivación especial en los estudiantes en el gusto y disfrute de una de las asignaturas básicas en la formación académica, y así lograr asimilar conceptos que permanezcan en el tiempo, definiciones de manera lógica, más no memorística. Finalmente esperamos que estos apuntes sean una guía de las unidades temáticas de la asignatura de matemática básica, donde encontrará un introductorio teórico, ejemplos y ejercicios propuestos, siendo de fácil acceso para el lector y servirá como soporte en la orientación en la asignatura.


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UNIDAD 1

1. CONJUNTOS NUMÈRICOS

1.1 LOS NÚMEROS REALES

Recordemos las clases de números que forman el conjunto de Los Números Reales(R): Los Números Naturales: N= {1, 2,3,…} Los Números Enteros: Z= {…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…}, formados por los Naturales junto con los números negativos y el cero.

Los Números racionales: Q, definidos como el cociente entre dos enteros:

{ Q /

Ejemplos:

,

( todo entero es racional)

Todo número racional se puede expresar como un decimal, dividiendo el numerador entre el denominador. El decimal obtenido que puede ser: decimal de cifras finitas como por ejemplo

, o un decimal de cifras infinitas periódicas por ejemplo

Los Números irracionales Q’, su expresión decimal es infinita pero no periódica, por tanto no es posible es posible representarlos como cociente de enteros.

Ejemplos: .

La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales, recibe el nombre de conjunto de los números reales y se denota con el símbolo R,

R = Q U Q’

El siguiente gráfico, presenta un esquema de la conformación de los números reales.


7

1.1.1. LA RECTA NUMÉRICA

Se puede establecer una relación entre los números reales y la recta numérica. A cada número real le corresponde un único punto de la recta, y cada punto de la recta representa un único número real. A esta recta la llamamos Recta Real. Escogemos un punto de referencia O arbitrario, al que llamamos origen, el cual corresponde al número real cero. Dada una unidad de medición, cada número positivo x se representa por un punto en la recta a una distancia x unidades a la derecha del origen, el opuesto de x, es decir – x se representa por un punto a x unidades a la izquierda del origen.

Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su representación decimal,

Ejemplo representemos los números

El conjunto de los números reales está ordenado, decir que a<b, significa que b-a >0 (es positivo), geométricamente significa que a está a la izquierda de b.

Por ejemplo:

REALES

(R)


8

1.1.2 VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS REALES

El valor absoluto de un número real a, denotado como , es la distancia sobre la recta real desde a hasta 0, por tanto siempre . Ejemplos:

1.2. OPERACIONES CON REALES

En los Números Reales se pueden definir dos operaciones binarias + y ×, las cuales l satisfacen las siguientes propiedades:

1.2.1. CLAUSURATIVA: Si a y b están en R entonces a+b y a ×b son números determinados en forma única que están también en R. 1.2.2. CONMUTATIVA: (Suma y Multiplicación) Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a×b = b×a.

1.2.3. ASOCIATIVA: (Suma y Multiplicación) Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a× (b×c) = (a×b) ×c

1.2.4. DISTRIBUTIVA: Si a, b y c están en R entonces a× (b+c) = a×b + a×c

1.2.5. MODULATIVA: R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a×1 = a para a que pertenece a los reales.

1.2.6. INVERTIVA: Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a ≠ 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a× (1/a) = 1

1.3. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS 1.3.1. ADICIÓN - Si se tienen dos números de signos iguales, entonces se suman sus valores absolutos y se deja el mismo signo. - Si se tienen dos números de signos diferentes, entonces se restan sus valores absolutos y se deja el signo del número de mayor valor absoluto.


9

Ejemplo: -15+30-25+5+2 aplicando las propiedades conmutativa y asociativa, tenemos (30+5+2) + (-15-25) = 37 + (- 40)= -3

1.3.2 MULTIPLICACIÓN Y DIVISÓN

Multiplico o dividió el valor absoluto de los números el signo del resultado lo asigno de acuerdo a la ley de los signos para el producto:

Ejemplos: (-5)(-3)(2)(-4)= -120 (-16) ÷(- 4)= 4 (8÷ - 2)(3)= (- 4)(3)=-12

1.4. OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES 1.4.1 ADICIÓN

Para sumar fracciones:

Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador.

Ejemplos:

3 7 5 11 3 7 5 11 10 16

2 2 2 2 2 2

63

2

- Si tienen distintos denominadores, se procede de la siguiente manera:

- Se encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores, este será el común denominador. - Se divide el común denominador entre el primer denominador y el resultado se multiplica por el numerador - Se repite la operación para cada uno de las fracciones - Se suman los resultados obtenidos y la fracción obtenida se simplifica (si es posible).

5 3 7 1 5 2 3 4 7 5 6 28 27

8 4 2 8 8 8


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OPERACIÓN EJEMPLO DESCRIPCIÓN

1.

Se multiplican los numeradores entre si y los denominadores entre sí, se aplica la ley de los signos para el producto.

2. a c a d

b d b c

a

a dbc b c

d

Se invierte el divisor y se multiplican las fracciones. Se multiplican extremos y se multiplican medios. En ambos casos se aplica la ley de los signos y se simplifica el resultado.

3. Si

Si dos fracciones son equivalentes se multiplica en forma cruzada.

1.5. OPERACIONES CON NÚMEROS IRRACIONALES

- La suma de radicales semejantes (igual índice, igual subradical) es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es igual a la suma de los coeficientes de los radicales dados.

( )n n nb a c a b c a

Ejemplos: 3 5 6 5 (3 6) 5 9 5

Si los radicales no son semejantes, la suma se deja indicada. 3752

- El producto de radicales, con el mismo índice, es igual a otro radical cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicandos de los factores, así tenemos:

n n nb a d c b d a c

Ejemplo:

Si los radicales son de distinto índice, primero hay que reducirlos a índice común

Ejemplo: 3 263 62 5 2 5 200


11

- El cociente de dos radicales con el mismo índice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente y

radicando son iguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y radicandos de los

radicales dividendo y divisor, quedando: nn

n

c

a

d

b

cd

ab

Ejemplo: 8 3

8 3 7 57 5

1.6. POTENCIACION DE REALES

Definición: Sea a un número real, entonces el producto de a por sí mismo n veces se escribe: a.a.a.a……..a = an donde a es la base y n es el exponente. Ejemplos:

1.6.1. PROPIEDADES

1. 0)(a10 a

2. aa 1

3. mnmn aaa

4. mnmn aa

5. nnnn cbaabc )(

6. n

nnn

n

nn

a

b

a

b

b

a

b

a

b

a

7. mn

m

n

aa

a

8. n

n

aa

1

9. 00 naentoncesparesnyaiS

10. 00 naentoncesimparesnyaiS


12

Ejemplos: Aplicar las propiedades de la potenciación y resolver

1.7. RADICACION DE REALES

Definición: Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe n a , a un número b que elevado

a n dé a.

nn a b si b a

Dónde:

→ se llama radical a → subradical n → índice de la raíz b → raíz

Ejemplos:

273)( porque 3,27

82 porque 2,8

19614 porque 14,196

33

33

2

1.7.1. PROPIEDADES DE LOS RADICALES

i. Existencia de Radicales

- Si a es positivo, entonces n a existe, cualquiera que sea n.

Ejemplo: 4 55, 7, 0,85 existen

- Si a es negativo, sólo existen sus raíces de índice impar.

Ejemplo:

3

6

8 existe

0,85 no existe

ii. 1/

mnn mn na a a a

Ejemplos:

1 2 14 25 5 4 22 2 a a a


13

iii. n n na b a b Ejemplos:

2 2

5 5 5 5

3 3

32 32 2

x y x y

x x x

iv. n

n

n

b

a

b

a Ejemplos:

288

33

3 5

3

3 5

3

5

33

xxx

xx

v.

p n pn a a Ejemplo: 25)5()5( 44

vi.

mnnm a a Ejemplos: 8

63

55

33

vii. n

mnm mb a b a

Ejemplo: 3 3 3 3

31 1 13 3 3 3 32 2 2 2(2 5) (2 5 ) 2 (5 ) 2 5 2 (5 ) 2 5 8 125

Viii. Racionalización: Permite eliminar radicales del denominador de una fracción. Consiste en multiplicar el numerador y el denominador por una potencia de la raíz del denominador tal que quede igual el índice y el exponente de la raíz y de eta manera por propiedad eliminar el radical. Ejemplo:

2 2

3 3

3 33 3

1 1 1 5 5

525 55 5

En caso que en el denominador hay un binomio, multiplicamos numerador y denominador por su expresión conjugada y aplicamos la propiedad (a+b)(a-b) = (a)2-(b)2

Ejemplo:

2

2

1 1 5 3 5 3 5 3 5 3

25 3 225 3 5 3 5 3 5 3


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ORDEN PARA REALIZAR L AS OPERACIONES CON REALES

Veamos el orden jerárquico de las operaciones Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritméticas: 1. Resolver todo lo que esté dentro de símbolos de agrupación. 2. Evaluar las expresiones exponenciales. 3. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. 4. Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. Ejemplos: 1) 4 + 5 · 7 = 4 + 35 = 39 2) 57 – 5(8 - 6)3 = 57 − 5 ∙ 23 = 57 − 5 ∙ 8 = 57 − 40 = 17

3)


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UNIDAD 2

2. EXPRESIONES ALGEBRAÌCAS

En álgebra se emplean letras para representar números reales. Mediante letras y símbolos matemáticos las proposiciones verbales se reducen a proposiciones algebraicas muy cortas. Este proceso es la base para una de las competencias básicas que todo estudiante debe desarrollar como es la modelación matemática.

2.1. Expresiones Algebraicas: Es una combinación de números y letras relacionados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación

22 2 32 4 ; 7 ; 2 ;x xy a b b x y c b

Dos o más expresiones algebraicas unidas con un signo + ó – reciben el nombre de términos. Dos o más expresiones algebraicas unidas por una multiplicación reciben el nombre de factores. Ejemplo:

ab3 −

)3)(( ababa

Primer término segundo término Tres factores dos factores Todo término presenta las siguientes partes: Coeficiente: El que precede a la parte literal. Parte Literal: Está representada por una o varias letras. Exponente: Indica cuantas veces se toma como factor la parte literal.

Exponente

53x

Parte literal Coeficiente

De acuerdo al número de términos las expresiones algebraicas pueden ser:

2.1.1. MONOMIO: tiene un término. Ejemplo 2 45x y z ;

2.1.2. BINOMIO: tiene dos términos. Ejemplo 7 5xy y ; p q


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2.1.3. TRINOMIO: tiene tres términos. Ejemplo 2 3 5x x

2.1.4. POLINOMIO: tiene más de tres términos. Ejemplo 3 23 2 12x x x

2.1.4.1 GRADO DE UN TÉRMINO: Es la suma de los exponentes del factor literal Ejemplo:

En el término 3x3 tiene grado 3 (por el exponente de x) En el término 4x2y3 tiene grado 5 (2 + 3, la suma de los exponentes)

2.1.4.2 GRADO DE UNA EXPRESIÓN: Es el grado mayor de sus distintos términos. Ejemplo:

En la expresión 3x3 + 5y5 tiene grado 5 (por el grado del segundo termino) En el término 4x2y3 – 4b3y2z7 tiene grado 12 (por el grado del segundo término)

2.1.4.3 TÉRMINOS SEMEJANTES: Dos términos son semejantes si tiene el mismo factor literal.

Ejemplos: 32x y 35x son semejantes,

½ x2 y3 ; 6x2 y3 ; 3 x2 y3 ; x2 y3 son términos semejantes

2.1.4.4. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES: Para reducir términos semejantes se suman los coeficientes de los términos semejantes y a continuación se escribe la parte literal común.

Ejemplo:

2 2 2 2

2 2

3 2 4 6 21

3 1 2 6 1 4 21

x xy xy x xy xy

x xy xy

Reduciendo: 2 22 4 5 21x xy xy

Se llama término independiente a aquel que no contiene variable. En el ejemplo anterior −21 es el término independiente Polinomio ordenado: Un polinomio está ordenado con respecto a las potencias crecientes de una de sus letras cuando ésta figura en cada término con un exponente mayor o igual que en el anterior.

Ejemplo: el polinomio , está ordenado con respecto a la variable

2.2. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAÍCAS 2.2.1. SUMA Y RESTA

Agrupamos los términos semejantes y operamos con ellos:

xxx 3

8

7

3

1

4

3 22

xxx 3

3

1

8

7

4

3 22

3

13

8

7

4

3 2 xx3

13

8

13 2 xx

Sea 23 7

65 4

A x x y 6

5

2

1

5

1 23 xxxB determinar: A – B


17

6

5

2

1

5

1

4

76

5

3 232 xxxxxBA

Eliminamos el paréntesis, teniendo en cuenta que cambian los signos que están dentro del

paréntesis que está precedido por el signo negativo.

2 3 23 7 1 1 56

5 4 5 2 6A B x x x x x

Agrupamos los términos semejantes y realizamos las operaciones correspondientes:

2 2 33 1 1 7 56

5 5 2 4 6A B x x x x x

3 24 11 31

5 2 12A B x x x

2.2.2. MULTIPLICACIÓN

- Para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes de los términos, con las variables comunes aplicamos el producto de potencias de igual base, las no comunes se dejan igual. - Para multiplica monomios por polinomios o polinomios entre sí, aplicamos la propiedad distributiva:

Ejemplos:

monomios por monomios monomios por polinomios polinomios por polinomios

( -4a5b4)•( 12ab2)=

–48 a6b6

7 a4b • ( 2 a3 – a b + 5 b3 )=

14 a7b – 7 a5b2 + 35 a4b4

baba 7332

6a2 –14ab –9ab + 21b2 =

6a2 –23ab +21b2

( 6 m5n-3p-4) • ( 5 mn-1p2)=

30 m6n–4p–2

aaa mmm 5132

2

5

4

5

5

2

3743

2

1 aa mm

422 2 xxx

x3+2x2 +4x–2x2 –4x –8= x3 –8

3 2 14 3 5 4

4 3 2a b ab a b

( a x + b y – c z ) • (− x y )=

– ax2y – bxy2 + cxyz

2382 2322 mmnmnm


18

2.2.3. DIVISIÓN

- Para dividir dos términos algebraicos, dividimos o simplificamos los coeficientes, con las

variables comunes aplicamos el cociente de potencias de igual base y las no comunes se dejan

igual.

Ejemplo:

- Para dividir polinomios seguimos los siguientes pasos.

2 3 5 23 10 4 6 1 2x x x x x x

Se ordenan los dos polinomios tomando en cuenta los exponentes de la variable (x) en orden decreciente y completando con coeficiente cero (0) la potencia faltante.

12631004 22345 xxxxxxx

Se divide el primer término del polinomio dividendo entre el primer término del divisor

12631004 22345 xxxxxxx

Para efectuar esto se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y con la variable se aplica la regla de potencia de un cociente de igual base.

325

2

5

2

5

441

44xx

x

x

x

x

12631004 22345 xxxxxxx

34x

Este es el primer término del cociente

Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, a estos productos se les cambia el signo y se ordenan debajo del dividendo según el exponente de la variable.

12631004 22345 xxxxxxx

345 484 xxx 34x

Estos productos se resta del dividendo 12631004 22345 xxxxxxx

345 484 xxx 34x

63148 234 xxxx


19

Se repite todo el procedimiento considerando que ahora el primer término del nuevo dividendo es 8x4

224

2

4

2

4

881

88xx

x

x

x

x

12631004 22345 xxxxxxx

345 484 xxx 23 84 xx

63148 234 xxxx

234 8168 xxx

652 23 xxx

Continuamos ahora dividiendo los demás términos

12631004 22345 xxxxxxx 345 484 xxx 1284 23 xxx

63148 234 xxxx

234 8168 xxx

652 23 xxx xxx 242 23

632 xx

122 xx

75 x

El cociente de la división es : 1284 23 xxx

Y el residuo: 75 x (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se puede

continuar dividiendo por lo que la división es inexacta)

La respuesta se expresa como

2.3 VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Hallar el valor numérico de una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. Veamos un ejemplo:

Hallar el valor numérico de la expresión: 2 2 35 8 9x y xy y considerando x = 2; y = –1

322322 19128125985 yxyyx

= )1(9128)1(45

= 2791620


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UNIDAD 3

3. PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

3.1 PRODUCTOS NOTABLES

Ciertos tipos de productos se presentan con frecuencia en el cálculo algebraico por tal motivo es conveniente memorizar ciertas reglas para simplificar y agilizar la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables.

3.1.2. CUADRADO DE UN BINOMIO

“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”

2 2 2( ) 2a b a ab b

Ejemplo: 2 22 2 22 2( )(2 ) 2 4 4p b p p b b p pb b

3.1.3. PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

“El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo”

2 2( )( )a b a b a b

Ejemplos

5 4 5 4 5 2 4 2 10 8(2 6 )( 2 6 ) (2 ) (6 ) 4 36p q p q p q p q 3.1.4. CUBO DE UN BINOMIO

“El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más (o menos) el triple del producto del cuadrado del primer término por el segundo más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo más(o menos) el cubo del segundo término”

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

Ejemplos: 3 2

2 3 2 3 2 2 3 2 3 3 35 3 (5 ) 3(5 ) (3 ) 3(5 ) 3 (3 )a b a a b a b a a b a a

= 6 3 7 2 8 9125 225 135 27a b a b a b a

3.1.5. MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN


21

“Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos”

bcacbacaba 2

Ejemplos: 2 23 2 3 2 3(2) 5 6x x x x x x

3.2. COCIENTES NOTABLES

Son aquellos cocientes exactos que sin efectuar la operación de división, pueden ser escritos por simple inspección.

PRIMER CASO: se cumple para n impar Ejemplo: (x5 + y5) ÷ (x + y) = x4 -x3y + x2y2 -xy3 +y4

SEGUNDO CASO: se cumple para n par o impar Ejemplo: (x6 - y6) ÷ (x - y) = x5 +x4y + x3y2 +x2y3 +xy4+y5

TERCER CASO: se cumple para n par Ejemplo: (x4 - y4) ÷ (x + y) = x3 -x2y + xy2 -y3

UNIDAD 4


22

4. FACTORIZACIÒN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

4.1. FACTORIZACION

Aplicamos la propiedad distributiva para expandir las expresiones algebraicas. Factorizar es el proceso contrario que permite escribir la expresión como producto de expresiones más simples.

4.1.1 CASOS DE FACTORIZACIÓN

4.1.2 FACTOR COMUN

4.1.2.1 FACTOR COMÚN MONOMIO:

- Determinamos un factor común de los términos ( m.c.d ) . de los coeficientes y variables comunes con su menor exponente) - Dividimos cada término entre el factor común y con los resultados formamos el segundo factor.

Ejemplos: 12x + 18y − 24z = 6(2x + 3y − 4z) 5a2 − 15ab − 10ac = 5a(a − 3b − 2c) 6x2y − 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x − 5y + 2xy)

4.1.2.2. FACTOR COMÚN POLINOMIO: Es el polinomio común que aparece en cada término de la expresión.

Ejemplos: 5x2(x − y) + 3x(x − y) + 7(x − y) , tienen en común el binomio (x-y)

Por tanto 5x2(x − y) + 3x(x − y) + 7(x − y) = (x − y) (5x2 + 3x +7)

4.1.3 FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS: En este caso de factorización

hacemos uso de los dos métodos anteriores. Ejemplo: 5x4y + 3x3y −9xy −15xy2:

Primero debemos agruparlo y factorizar los términos que agrupamos: seria así:

5x4y − 15xy2 = 5xy (x3 − 3y)

3x3y − 9x = 3y (x3 −3y)

Y por último si unimos los dos factores comunes monomios quedaría así:

5xy (x3 −3y) +3y (x3 −3y): Después se aplica el factor común polinomio.


23

Entonces el resultado será el siguiente: (x3 −3y) (5xy +3y)

4.1.4. FACTORIZACION DE TRINOMIOS

4.1.4.1 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Para que un trinomio sea cuadrado perfecto: el primer y tercer término deben tener raíz cuadrada y

el segundo término debe ser el doble producto de las bases de los dichos términos. Para

Factorizar tomamos las raíces cuadradas del primer y tercer término separadas por el signo del

segundo término, elevamos al cuadrado.

Ejemplo:

Factorizar 29 30 25x x

Halla la raíz principal del primer término29x = 3x

Halla la raíz principal del tercer término 25 =5

Factorización:

4.1.4.2 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN O SUSTRACCIÓN:

En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: 4224 910 nnmm

Resolviéndolo queda:

22224224 44910 nmnmnnmm 224224 496 nmnnmm

2222 23 mnnm

Aplicamos diferencia de cuadrados:

2 2 2 23 2 3 2m n mn m n mn

4.1.4.3 TRINOMIO DE LA FORMA:2n nx bx c

El trinomio de la forma 2n nx bx c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante


24

el siguiente proceso:

Ejemplo 1:

Descomponer 2 6 5x x

Hallar dos factores que den el primer término x · x Hallar los divisores del tercer término, pueden ser 1 y 5 ó -1 y - 5 seleccionamos aquellos cuya suma es 6.

5 1x x 2 6 5 5 1x x x x

Ejemplo 2.

Factorizar 4 2 24 12x x y y

Hallar dos factores del primer término, o sea x4: x2 · x2 Hallar los divisores de 12y2, estos pueden ser: 6y · −2y ó −6y · 2y 4y · −3y ó −4y · 3y 12y · −y ó −12y · y Pero la suma debe ser +4, luego servirán 6y y −2y, es decir:

4 2 2 2 24 12 6 2x x y y x y x y

2.4 Trinomio de la forma 2n nax bx c

Ejemplo:

Factorizar 22 11 5x x

El primer término se descompone en dos factores 2x · x Se buscan los divisores del tercer término 5 · 1 ó -5 · -1

Por lo tanto, 22 11 5 5 2 1x x x x

4.1.4. FACTORIZACION DE BINOMIOS

4.1.4.1 DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS:


25

Ejemplo:

Factorizar 2 29 16x y

Raíz cuadrada del primer término 29 3x x

Y raíz cuadrada del segundo término 216 4y y

Luego la factorización de 2 29 16 3 4 3 4x y x x

4.1.4.2 CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO:

Ejemplo: Factorizar Todos los signos de los términos son positivos

3 3a a : Raíz cubica del primer término del cuatrinomio.

3 1 1 : Raíz cubica del cuarto término del cuatrinomio.

22 313 aa Triplo del cuadrado de la raíz cubica del primer término por la raíz cubica del cuarto:

Igual al segundo término del cuatrinomio.

aa 313 Triplo de la raíz cubica del primer término del cuatrinomio por el cuadrado de la raíz

cubica del cuarto término: igual al tercer término del cuatrinomio. Por lo tanto:

133 23 aaa Desarrollo de un cubo perfecto de binomios.

323 1133 aaaa

4.1.5. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

4.1.5.1. DIFERENCIA DE CUBOS: 3 3 2 2a b a b a ab b

Ejemplo: 3 28 2 4 2x x x x

4.1.5.2 SUMA DE CUBOS: 3 3 2 2a b a b a ab b

Ejemplo: 3 227 1 3 1 9 3 1a a a a

4.1.6. DIVISIÓN SINTÉTICA O REGLA DE RUFFINI En algunos casos es conveniente factorizar los polinomios mediante divisiones sintéticas (regla de Ruffini). Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores son de la forma (x ± a)

3 23 3 1a a a


26

Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x por “a” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “a” de los posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del polinomio”. Ejemplo: x4+6x3+x2-24x+16 El posible valor de “a” deber ser divisor del término independiente es este caso 16, es decir 1,2,3,4,8,16. Cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión. Para dividir en forma sintética, tomamos los coeficientes del polinomio y dividimos por los divisores de 16. Probamos con 2: Si x4+6x3+x2-24x+16, Sus coeficientes en orden son:

1 6 1 -24 16 2

2 16 34 20

1 8 17 10 36 NO

1 6 1 -24 16 -4

-4 -8 28 -16

1 2 -7 4 0 SI

Coeficientes resultantes

( x3+2x2-7x+4) (x+4)

Volvemos a dividir:

1 2 -7 4 1

1 3 -4

1 3 -4 0 SI

(x2+3x-4) (x-1) (x+4) por tanto la factorización total es

(x+4) (x-1) (x-1) (x+4)

1. Bajas el primer cociente y multiplicas por el divisor. Ubicas bajo el 2do.cociente para sumar o restar según sea el caso

2. Multiplicas por el divisor y ubicas bajo el 3er.coeficiente y asi sucesivamente hasta terminar todos los coeficientes

3. Compruebas que la operación con el ultimo coeficiente te de cero caso contrario busca otro divisor y

vuelve a intentar

4. Si obtienes cero entonces ese divisor es el valor de la variable y para que sea cero el factor será con el signo contrario En nuestro caso nos salió para -4 entonces el factor es (x+4)

5. El polinomio se factoriza entonces disminuyendo un grado al polinomio inicial tomando los

coeficientes resultantes.


27

4.2. FRACCIONES ALGEBRAICAS Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, es decir de la

forma ( )

( )

p x

q x con q(x) ≠0.

Ejemplos:

2

5 8 3( ) ( 3) ( )

3 2 3 2

2 3 3 4( ) ( ) ( 4, 2)

7 2 8

xa x b x

x x

x y xc d x x

x x

4.2.1SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente reducida a su mínima expresión, Una fracción después de simplificada se dice que es irreducible. - Para simplificar una fracción cuyos términos sean monomios se dividen el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta lograr que la fracción sea irreducible. - Para simplificar una fracción cuyos términos sean polinomios se descomponen en factores(se Factoriza) los polinomios y se suprimen los factores comunes en el numerador y el denominador hasta lograr que la fracción sea irreducible.

Ejemplos Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

(a) 3 3 2 3 2

5 2 3 2

24 8 3 8

21 7 3 7

a b a ab a

ab b ab b

(b) 16x

12x7x2

2

Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:

)4x)(4x(16x

)3x)(4x(12x7x

2

2

Luego:

2

2

7 12 ( 4)( 3) 3

16 ( 4)( 4) 4

x x x x x

x x x x

4.2.2 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

La operación de reducir las fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste en


28

convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que éste sea el menor posible. Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente

Ejemplo:

Reducir al mínimo común denominador

2 2 2

3 2 3, , ,

5 6 6 9 3 2 2

x x x

x x x x x x x

Al factorizar los denominadores obtenemos:

2( 2)( 3), ( 3) , ( 2)( 1), ( 2)x x x x x x ; m.c.m. =

2( 2)( 3) ( 1)x x x

4.2.3. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

En las operaciones con fracciones algebraicas se aplican las mismas reglas que se utilizan en aritmética para el cálculo de fracciones numéricas.

4.2.3.1. Suma y Resta

- Se simplifican las fracciones, si es posible.

- Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador

-Se divide el denominador común (m.c.m) entre cada uno de los denominadores y cada cociente lo multiplicamos por su respectivo numerador.

-Se suman o restan los numeradores que resulten y se divide este resultado por el denominador común.

- Se reducen términos semejantes en el numerador, si los hubiere.

- Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.

Ejemplo:

5 9 7 2 8 5 (5 9 ) (7 2 ) (8 5 ) 4 6

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b

Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:

2)b3a2(

)b3a2(2

Entonces: 5 9 7 2 8 5

22 3 2 3 2 3

a b a b a b

a b a b a b

4.2.3.2. MULTIPLICACIÓN


29

- Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible. - Se halla el producto de las expresiones que queden en los numeradores y el producto resultante se divide por el producto de las expresiones que queden en los denominadores.

Ejemplo:

2 3

2 3 2 2

5 6 7 21

9 2 8 7 7

m m m m m

m m m m m

Factorizamos y simplifiquemos

2

2 2

( 3)( 2) ( 1) 7( 3)

( 3)( 3) ( 2 8) 7( 1)

( 3)( 2) ( 1)( 1) 7( 3) 1

( 3)( 3) ( 4)( 2) 7( 1)( 1) 4

m m m m m

m m m m m m

m m m m m m

m m m m m m m m

Entonces:

2 3

2 3 2 2

5 6 7 21 1

9 2 8 7 7 4

m m m m m

m m m m m m

4.2.3.3 DIVISIÓN

- Se multiplica el dividendo por el divisor invertido - Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.

Ejemplo:

2

2

2 4 6 12 2 4 15 45

5 15 15 45 5 15 6 12

x y xy y x y x y

x y x y x y xy y

Factorizamos y simplifiquemos

2( 2 ) 15( 3 ) 1

5( 3 ) 6 ( 2 )

x y x y

x y y x y y

Entonces:

22 4 6 12 1

5 15 15 45

x y xy y

x y x y y

4.2.3.4. OPERACIONES COMBINADAS

Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugar


30

aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienen prioridad. Ejemplo:

2 2

2 2 2 2

3 3 6 6

2 2 2

x y x y x y

x xy y x y x xy y

Calculemos el cociente del paréntesis y luego multipliquemos.

22

22

2 yxyx

yx

)yx(6

)yx(2

)yx(

)yx(3

Factoricemos y simplifiquemos

Entonces:

2 2

2 2 2 2 2 2

3 3 6 6

2 2 2

x y x y x y x y

x xy y x y x xy y x xy y

UNIDAD 5

5. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

2 2 2 2 2

3( ) 2( ) ( )( )

( ) 6( )

x y x y x y x y x y

x y x y x xy y x xy y


31

5.1 ECUACIONES

5.1.1 ECUACIÓN: Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas

incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Las incógnitas se representan con las últimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v. La ecuación no es una identidad.

5.1.1.1 MIEMBROS: Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad, y segundo miembro, a la expresión que está a la derecha.

5.1.1.2 TÉRMINOS: Son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + ó -, o la cantidad que está sola en un miembro.

5.1.1.3 RAÍCES O SOLUCIONES: Son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustituidos en el lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en una identidad. Las ecuaciones de primer grado tienen una sola raíz. Resolver una ecuación es

encontrar su conjunto solución.

5.1.1.4. VERIFICACIÓN: Es la prueba de que el valor obtenido para la incógnita es correcto. La verificación se realiza sustituyendo la incógnita de la ecuación por el valor obtenido, y si este es correcto, la expresión se convertirá en una identidad.

5.1.2 TIPOS DE ECUACIONES

Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones, mientras que en las ecuaciones con varias incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones.

Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones con una incógnita: polinómicas, racionales, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas, entre otras.

Las ecuaciones polinómicas son de la forma ( ) 0P x , donde ( )P x es un polinomio en x, que al

trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

A continuación estudiaremos las ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado.

5.1.3. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

Cualquier ecuación que se puede escribir en la forma: 0,ax b donde a y b son constantes

reales, con a≠0, y x es una variable, se denomina de primer grado con una variable. La gráfica de una ecuación de primer grado es una Línea Recta Pasos para resolver ecuaciones de primer grado

1. Quitar paréntesis, si los hay. 2. Quitar denominadores, si los hay. (Hallar m.c.m)


32

3. Pasar los términos que contienen la incógnita a un miembro y los números al otro miembro. 4. Simplificar cada miembro. 5. Despejar la incógnita. Se obtiene, así, la solución. 6. Comprobación: Sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial para comprobar que

coinciden los resultados.

Ejemplo:

Resolver 3 ( 2)

1 74 6

x x

Se reduce a común denominador, calculando el mínimo común múltiplo de los

denominadores

Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

9 12 14 28x x

Se trasponen términos (los términos en x a un miembro y los términos independientes al otro)

9 14 28 12x x

Se reducen términos semejantes:

5 40x

Se despeja la incógnita:

La solución es: 8x

Comprobación: 3(8) (8 2) 42

1 7 6 1 7 74 6 6

5.1.4. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo con una variable x es cualquier ecuación que pueda escribirse en la forma:

2 0,ax bx c donde a y b son constantes reales y a≠0

Ecuaciones completas: Cuando b≠0 y c≠0, se resuelve por factorización o aplicando la fórmula cuadrática:

La expresión 2 4b ac , se llama discriminante de la ecuación. El número de soluciones depende

del signo de éste.

2 4

2

b b acx

a


33

Si 2 4 0b ac la raíz es un número real y se obtienen, por tanto, dos raíces reales distintas, x1

x2

Si 2 4 0b ac la raíz es cero, luego, obtenemos dos raíces iguales, es decir, diremos que la raíz

es doble, x1=x2

Si 2 4 0b ac la raíz es un número imaginario o complejo (no real), por lo tanto, se obtienen dos

raíces imaginarias

5.1.5. ECUACIONES INCOMPLETAS: Si b = 0 ó c = 0. Se pueden resolver de forma sencilla sin utilizar la fórmula anterior. Si b = 0, se despeja la variable y tomando raíces cuadradas si es posible

2 0c

ax c xa

Si c = 0, se saca factor común la incógnita

2

0

0 00

x

ax bx x ax b bax b x

a

La gráfica de la ecuación cuadrática es una curva llamada parábola Reglas para resolver ecuaciones de 2º grado 1. Si la ecuación de segundo grado es completa, aplicar la fórmula o por factorización si es posible. 2. Si la ecuación de segundo grado es incompleta, resolverla sin la fórmula, sacando factor común o

despejando. 3. Si tiene una forma complicada, arréglala: quita denominadores, suprime paréntesis, agrupa

términos y pásalos todos al primer miembro,...Sólo cuando esté simplificada, aplica uno de los métodos anteriores.

4. Comprueba las soluciones. Y si la ecuación proviene de un problema con enunciado, haz la comprobación sobre el enunciado, pues es posible que alguna de las soluciones carezca de sentido real

Ejemplo:

Resolver:

22 1 1 1

2 3 6

x x x

Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el m.c.m = 6

2 23 2 1 2 1 1 6 3 2 2 1x x x x x x

26 2 0x x

Primer método:


34

Aplicando la formula cuadrática

21 ( 1) 4(6)( 2)

2(6)x

8 2

12 3

6 1

12 2

1 1 48 1 7

12 12x

Las soluciones son: 1 2

2 1

3 2x y x

Segundo método:

Factorizando

2 2 1

6 2 0 6 4 6 3 03 2

x x x x x x

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES

Plantear una ecuación a partir de un problema es traducir al lenguaje algebraico las condiciones que ligan lo que se sabe con lo que se desea conocer. Conviene proceder de forma organizada, por lo que es útil dar estos pasos: 1. Identificar los datos conocidos, lo que deseamos conocer y dar nombre a la incógnita. 2. Relacionar mediante una igualdad (ecuación) lo conocido con lo desconocido. 3. Resolver la ecuación 4. Comprobar e interpretar la solución ajustándola al enunciado. En problemas verbales, aparecen un número de declaraciones que incluyen frases tales como alguna cantidad mayor que o menor que cierto valor multiplicado, digamos, dos veces o por la mitad de otra cantidad. A continuación damos unos ejemplos de cómo cambiar tales expresiones a términos algebraicos.

Expresión verbal Expresión algebraica

Dos números cualesquiera… yx,

El doble de un número… x2

La suma del doble de un número con uno… 12 x

Un número más su consecutivo… )1( xx

El triple de la suma de un número con 7… )7(3 x

Un número disminuido en 9… 9x

El cuadrado de la diferencia de un número con 5…

2)5( x

Un número par… x2

Un número impar… 12 x

La suma de tres números impares consecutivos…

)52()32()12( xxx


35

La mitad de un número menos 3… 32

x

La semisuma de dos números… 2

yx

Un número más su tercera parte más su quinta parte… 53

xxx

Cuádruple de la diferencia de un número y 2, aumentado en 6…

6)2(4 x

El triple de un número menos su doble… xx 23

Cinco veces la diferencia de un número con 7 es igual a cuatro veces la suma del mismo número con 3…

)3(4)7(5 xx

Ejemplo: La base de un rectángulo mide el doble que su altura, si su perímetro es 30 cm. ¿cuánto

miden la base y la altura? Solución I.ENTIENDO EL PROBLEMA -¿Cuáles son los datos conocidos (constantes)? perímetro del rectángulo= 30 cm; base= 2 veces

su altura -¿cuáles es la pregunta? Cuanto miden la altura= x y cuánto su base= 2 x II. HAGAMOS UN ESQUEMA

2x

x x 2x 2x III. TRAZAMOS Y EJECUTAMOS UN PLAN Planteamos una ecuación, relacionando los datos con la incógnita. Como el per

2 2 30x x x x 30

6 30 56

x x x Luego la altura mide 5 cm. y la base 10 cm.

IV.COMPROBAMOS

10 + 10 + 5 + 5 = 30

5.2. SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones consiste en varias ecuaciones dadas conjuntamente con el fin de determinar la solución o soluciones comunes a todas ellas. Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en


36

geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio). Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades algebraicas en las que aparece una o varias incógnitas elevadas a la potencia uno. Cada una de estas ecuaciones lineales, o de primer grado, tiene la forma ax + by + cz +… = k, donde a, b, c,..., son los coeficientes de la ecuación; x, y, z,..., las incógnitas o variables, y k el término independiente (también un valor constante). Un sistema se caracteriza por su dimensión. La dimensión de un sistema se determina según el número de ecuaciones y de variables involucradas en el sistema.

Un sistema de dos ecuaciones en dos variables se dice que es de dimensión 2x2. Un sistema de dos ecuaciones en tres variables se dice que es de dimensión 2x3. Un sistema de tres ecuaciones en tres variables se dice que es de dimensión 3x3. Los sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el de las incógnitas se denominan cuadrados. Un caso particularmente interesante de sistemas cuadrados es el de dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2)

Ejemplo 1

Dimensión 2x2; hay dos ecuaciones y dos variables Ejemplo 2

Dimensión 2x3; hay dos ecuaciones y tres variables Ejemplo 3

Dimensión 3x3; hay tres ecuaciones y tres variables

5.2.1. TIPOS DE SISTEMAS LINEALES

Atendiendo al número de soluciones de un sistema, estos pueden clasificarse en: 1. Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatible determinado.

Ejemplo: 2 3 15

1

x y

x y

2. Cuando presenta infinitas soluciones posibles, es compatible indeterminado.

Ejemplo: 2 3 15

4 6 30

x y

x y

8y2x

4yx2

2zy2x

1zyx

1cb2a

10cba

0cba2


37

3. Si no tiene solución, es decir, al intentar resolverlo llegamos a una contradicción, se denomina

imposible o incompatible.

Ejemplo: 2 3 15

2 3 1

x y

x y

Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes. En la noción de equivalencia se basan las principales técnicas algebraicas de resolución de estos sistemas, que persiguen convertirlos en otros cuya resolución sea más sencilla y que se estudiarán a continuación.

5.2.2. MÉTODOS DE SOLUCION

El estudio de sistemas de ecuaciones lineales es un problema clásico de las matemáticas. Cuando se trata de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, se aplican diversos métodos de resolución sencillos de tipo gráfico y algebraico; si el número de ecuaciones es superior, es preferible recurrir al empleo de matrices y determinantes.

5.2.2.1 MÉTODO GRÁFICO

Llamamos solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a todo par de valores

,x y que satisfacen las dos ecuaciones. Las ecuaciones lineales se representan mediante rectas.

Para obtener las soluciones de las incógnitas se despeja una de ellas y se le dan valores a la otra. Si representamos las dos ecuaciones que forman un sistema como dos rectas, se puede observar que el punto donde se cortan dichas rectas (si se cortan) es la solución al sistema (el sistema seria compatible determinado).

Ejemplo:

72

5

yx

yx

Despejando y de las dos ecuaciones: 72

5

xy

xy

Tabla de la 1ª Ecuación


38

Tabla de la 2ª Ecuación Representación gráfica de ambas ecuaciones. Aquí podemos observar cómo la solución del sistema es x=4 e y=1 Interpretación geométrica de las soluciones

a. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: Cada una de las ecuaciones del sistema determina una recta. Si el sistema es compatible determinado, todas las rectas pertenecientes al sistema se cortan

en un único punto.

Si el sistema es compatible indeterminado, las rectas definidas en el sistema coinciden.

Si el sistema es incompatible, las rectas no se cortan en un único punto. O bien son paralelas

o bien, si en el sistema hay más de dos ecuaciones, las rectas se cortan dos a dos en distintos

puntos.

5.2.3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS:

Cada una de las ecuaciones del sistema determina un plano. Si el sistema es compatible determinado, todos los planos pertenecientes al sistema se

cortan en un único punto.

Si el sistema es compatible indeterminado, los planos definidos en el sistema se cortan en

una recta (infinitos puntos).


39

Si el sistema es incompatible, los planos no se cortan en un único punto. O bien son paralelos

o bien se cortan en rectas distintas formando un prisma o bien, si en el sistema hay más de tres

ecuaciones, los planos se cortan tres a tres en distintos puntos.

2. Método algebraico

¿Cómo podemos resolver de forma sencilla un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas?

5.2.3.1 MÉTODO DE IGUALACIÓN

Una primera técnica algebraica común para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es el método de igualación. Pasos

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. Se igualan las expresiones obtenidas. Se resuelve la ecuación lineal que resulta. Se sustituye la solución obtenida en cualquiera de las expresiones en las que aparecía

despejada la otra incógnita. Ejemplo:

2 3

3 5

x y

x y

Despejando la misma variable de las dos ecuaciones

3

5

23

xy

xy

Igualándolas 3

523

xx

Resolviendo y despejando la variable x 9 - 6x = -5 + x -7x = -14 x = 2 Reemplazando el valor de x en cualquiera de las otras dos ecuaciones, se tiene

y = 3 - 2(2) = -1. La solución es: x = 2, y = -1

5.2.3.2 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

La técnica algebraica denominada método de sustitución, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, consta de los siguientes pasos: Pasos


40

Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones. Se sustituye el valor obtenido en la otra ecuación. Se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita que resulta. Se sustituye la solución obtenida en la expresión en la que estaba despejada la otra

incógnita.

Ejemplo

Sea el mismo sistema anterior de ecuaciones 2 3

3 5

x y

x y

.

Si se despeja y de la primera ecuación 3 2y x , y se sustituye en la segunda ecuación, se

tiene que:

3 3 2 5 9 6 5

7 14

2

x x x x

x

x

Reemplazando este valor en la ecuación despejada, y = 3 - 2(2) = -1

1y

La solución es: x = 2, y = -1

5.2.3.3. MÉTODO DE ELIMINACIÓN O REDUCCIÓN

La tercera técnica algebraica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el método de eliminación, consta de los siguientes pasos:

Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.

Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita.

Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera

de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.

Por ejemplo, para el mismo sistema de ecuaciones: 2 3

3 5

x y

x y

Conviene multiplicar la segunda ecuación por 2 y la segunda se deja igual y restar ambas ecuaciones:

2 3

2 6 10

x y

x y

7 7

1

y

y

Reemplazando el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones, tenemos

2 1 3 2 4 2x x x


41

La solución es: x = 2, y = -1 Nota 1: los tres métodos, sustitución, reducción e igualación, pueden ser usados para resolver cualquier sistema de ecuaciones. Sin embargo, dependiendo de las ecuaciones, nos interesará elegir un método u otro, según cuál nos resulte más sencillo de utilizar. Nota 2: cuando nos encontremos con que algunos de los coeficientes de las ecuaciones sean fraccionarios, es conveniente reducir las fracciones a común denominador y eliminar denominadores antes de empezar a aplicar cualquiera de los tres métodos. Nota 3: Para resolver sistemas de ecuaciones, lo primero que hay que hacer es transformar las

dos ecuaciones hasta llegar a escribir ambas de la forma ax + by = c

UNIDAD 6

6. DESIGUALDADES E INECUACIONES.

En unidades anteriores nos hemos ocupado de las igualdades; tema relacionado con la solución de ecuaciones de primer grado y de segundo grado.


42

La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para ello utilizamos los símbolos:

>: Mayor que. : Mayor o igual que. <: Menor que. : Menor o igual que. Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y b, utilizando los símbolos de desigualdad: “>”, “mayor que”; “<” menor que”; “ ”, “mayor o igual que”; “ ”, “menor o igual que”.

6.1 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Si a, b y c son tres números reales, se cumple que:

1. Si a > b y b > c, entonces a > c (Transitiva)

Si a < b y b < c, entonces a < c

2. Si a > b, entonces (a c) > (b c)

Si a < b, entonces (a c) < (b c).

3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc

Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.

4. Si a > b y c > 0, entonces c

b

c

a

Si a > b y c < 0, entonces c

b

c

a

5. Si a > b y c > d, entonces a+c > b+d (Aditiva)

6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd

7. Si a > b y a > 0 y b>0, entonces an > bn

8. Si a > b, entonces 1 1

a b

9.

a 0 b 0

0, si

a 0 b 0

a b

a 0 b 0

0, si

a 0 b 0

a b

10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.

Ejemplo 3 6 6 3 Las desigualdades se dividen en dos clases: absolutas y condicionales.


43

6.1.1. DESIGUALDADES ABSOLUTAS: o incondicionales, son semejantes a las identidades.

Son satisfechas por todos los números Reales

Ejemplo: 2ab

aba b

Su validez se establece por medio de una demostración analítica (utilizando propiedades de las

desigualdades).

6.1.2. DESIGUALDADES CONDICIONALES: son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas

por algunos números Reales. Son desigualdades que poseen términos desconocidos

Ejemplo: 2 6 0x

6.1.3. INTERVALOS

Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que se representan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las operaciones entre conjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las diferentes clases de intervalos que existen y luego algunos ejemplos.

6.1.3.1 CLASES DE INTERVALOS


44

Ejemplo Sean los intervalos A = [–5, 5], B = (– , 8] y C = (2, ); hallar en las diferentes notaciones:

1. A C 2. B C 3. A C B

Solución:

1. A C = [–5, ] Notación intervalo A C = / 5x x Notación de conjunto

2. B C = 2, 8 Notación intervalo B C = / 2 8x x Notación de conjunto

3. A C B = 2, 5 , 8 = , 8 Notación intervalo

A C B = / 8x x Notación de conjunto

6.2. INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades condiciónales, como se mencionó anteriormente.

Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la desigualdad.

La desigualdad 2x - 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y

sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría

en una igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo contrario.


45

La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades anteriormente enunciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución a una inecuación se da mediante un intervalo). Solución de inecuaciones Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes expuestas para hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una inecuación recibe el nombre de conjunto solución y puede expresarse de tres formas diferentes: en notación de intervalo, en notación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de “clases de intervalos”)

6.2.1. CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES

Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas. Ejemplo:

INECUACIÓN TIPO

2x-3 > x-5 1º grado; 1 incógnita

x-3 ≥ y 1º grado; 2 incógnita

x2-5x ≤ 4 2º grado; 1 incógnita

xy-3 > 0 2º grado; 2 incógnita

6.2.2. INECUACIONES DE UNA VARIABLE

6.2.2.1 INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formas básicas: ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0 En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:

1. Quitar los paréntesis, si los hay. 2. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación por

el m.c.m. de los denominadores. 3. Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro. 4. Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica. 5. Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el

sentido de la desigualdad. 6. Despejar la x (la incógnita). 7. Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o gráfica.

Ejemplo 1: Resolver 2

7

4

)7(5

3

2 xxx


46

12

)7(6

12

)355(3)2(4 xxx

4 8 15 105 42 6 5 55x x x x

5 55 11x x S= x (-, 11)

Ejemplo 2: Resolver 2x 3 x 5

Pasando x al primer miembro y 3 al segundo se tiene:

2x x 3 5

Reduciendo términos: x 8

S 8, x R / x 8

Ejemplo 3: Dada la siguiente inecuación5

7 62 3

x x . Halle el conjunto solución y

grafíquelo.

Suprimiendo denominadores (m.c.m. = 6) se tiene: 42 3x 10x 36

Trasponiendo términos: 3x 10x 36 36

13x 78

Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original:

13x 78

78Dividiendo por 13: < o sea, < 6

13x x

S ,6 x R / x<6

Ejemplo 4: Resolver 2

x 3 x 1 x 1 3x

Efectuando las operaciones indicadas:

2 22 3 2 1 3x x x x x

Suprimiendo x 2 en ambos miembros y transponiendo:

6

)

8 (


47

2 2 3 1 3x x x

x 4 S ,4 x R / x<4

Ejemplo 5: Dada la siguiente inecuación 2

2x 2 2x 1 1x

3 2 4

. Halle el conjunto solución y

grafíquelo. Se encuentra el m.c.m. (2, 3, 4) = 12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para

obtener:

2 24 2 6 2 1 3 12x x x

2 24 8 12 6 3 12x x x

Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene:

4 6 3 8x

Despejando la variable x de la inecuación, se obtiene:

5

4x

5 5, /4 4

S x R x

6.2.2.2. SOLUCIÓN DE INECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO

Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces x >a x < b, es decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución:

bxxaxxS //

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de 7246 x Separando en dos desigualdades:

4 2 6 4 2 7x x

4 6 2 4 7 2

8 9

4 4

x x

x x

2x 9

4x Sol:

92,

4x

5/4

4

)


48

6.2.2. INECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO

Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientes formas básicas:

2 2 2 20, 0, 0, 0ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c

Procedimiento Primer Paso: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la

ecuación de segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática.

Segundo Paso: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación.

Tercer Paso: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso

seleccionado.

Cuarto Paso: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.

Ejemplo

Dada la siguiente inecuación 2 5 6 0x x . Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Primer paso: Factorizar el polinomio dado 2 5 6 3 2x x x x , quedando una inecuación

de la forma:

3 2 0x x

Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes:

Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:

3 0x y 2 0x

Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:

3 0x y 2 0x

Solución Caso I:

Sea AS el conjunto solución de la inecuación 3 0x y BS al conjunto solución de la

inecuación 2 0x , la solución del Caso I viene dada por: I A BS S S

Solución para AS

3 0

3

x

x

3, / 3AS x R x

Solución para BS


49

2 0

2

x

x

2, / 2BS x R x

La solución para IS es entonces:

I A BS S S 3, 2, 2,

IS 2, x R / x 2

Solución Caso II:

Si llamamos CS al conjunto solución de la inecuación x 3 0 y DS al conjunto solución de la

inecuación x 2 0 , la solución del Caso II viene dada por:II C DS S S

Solución para CS :

x 3 0

x 3

cS , 3 x R / x 3

Solución para DS :

x 2 0

x 2

dS , 2 x R / x 2

La solución para IIS es entonces:

II c dS S S , 3 , 2 , 3

IIS , 3 x R / x 3

Solución General:

La solución general será la unión de IS y IIS , es decir:

G I IIS S S 2, , 3

El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método analítico. Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el . El procedimiento para resolver inecuaciones de segundo grado utilizando este método consiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera a intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinar el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por

-3 )

-2

)

–2

( –3

(


50

último, se seleccionan los intervalos para los cuales se cumple la desigualdad.

Ejemplo 1

Dada la siguiente inecuación 2 5 6 0x x , halle el conjunto solución y grafique.

Se factoriza el polinomio 2 5 6 3 2x x x x , quedando la inecuación de la forma:

3 2 0x x

Las raíces que anulan 3 2x x son 3x y x 2 . (Valores críticos) Se ubican sobre la

recta real (ver cuadro 1). Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos.

Cuadro 1. Raíces ubicadas en la recta real. Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la solución viene dada por:

, 3 2,GS

Ejemplo 2

Dada la siguiente inecuación

2 21 1 8

2 3 3

x x , halle el conjunto solución y grafique.

Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y se reducen términos semejantes, obteniendo:

2 2 15 0x x

Factorizando el polinomio resultante, se tiene 2 2 15 5 3x x x x , resultando una

inecuación de la forma:

5 3 0x x

Las raíces de 5 3x x son 5x y 3x (valores críticos), las cuales se ubican sobre la

recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.


51

Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es negativo por lo tanto la solución viene dada por:

3,5 / 3 5GS x R x

Gráficamente:

Casos especiales

1. Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma:

Solución

(ax + b)2 ≥ 0

(ax + b)2 > 0 valor critico

(ax + b)2 ≤ 0 x = − b/a

(ax + b)2 < 0

Ejemplo:

2 2 1 0x x

2 2 1 0x x Usando la fórmula cuadrática:

22 2 4 2 01

2 2x

2

1 0x

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es 2. Cuando no tiene raíces reales (discriminante menor que cero), le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución (vacío).

-3 )

5

)


52

2

2

2

2

1 0

1 0

1 0

1 0

Solución

x x

x x

x x

x x

6.2.3. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Pasos: 1. Se descomponen en factores de primer o segundo grado. 2. Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas. 3. Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados. 4. En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos. 5. Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación. Ejemplo:

Resolver la inecuación 3x 4x 0

Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo (<0). El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacar factor común x)

2x x 4 0 , o lo que es lo mismo x x 2 x 2 0

Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantes valores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo. El estudio es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que hacen cero el producto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para ver el signo de la operación. Observa la gráfica:

Los valores de la x

que hacen negativo el producto son 2,02, .

6.2.4 INECUACIONES RACIONALES

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas.

-2 2

_ +

0

_ +


53

Expresión general: son del tipoax b

0cx d

, o todas sus equivalentes

ax b0

cx d

, o

ax b0

cx d

,

etc.… y de grados mayores que uno. Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero . Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el método gráfico. Pasos: 1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador. 2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces

del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo 4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el

mismo signo que la fracción polinómica .

Ejemplo:

1. Dada la siguiente inecuación 2

2

3 100

2

x x

x x

halle el conjunto solución y grafique.

Factorizando los polinomios dados:

2 3 10 5 2x x x x , 2 2 2 1x x x x

Resultando una inecuación de la forma:

5 20

2 1

x x

x x

Las raíces que anulan el numerador son 5x y 2x , y las que anulan el denominador son

2x y 1x , las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en

cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.


54

Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el cociente es negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto la solución viene dada por:

GS 5, 2 1,2

Gráficamente:

2. Resolver x 1

1x 1

x 1

1 0x 1

, ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaríamos

cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la inecuación x 1 x 1 y compara los resultados.

Para nuestro caso, operando x 1 x 1 x 1 2

1 0 0x 1 x 1 x 1

, y todo se reduce a

averiguar cuál es el signo del denominador, cuándo éste es negativo, y lo es en ,1 .

6.2.5. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

RECORDEMOS: El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo. Su definición formal es:

para 0

para 0

a aa

a a

, a R

y significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo.

Ejemplo: 555

6.2.5.1. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominio de algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos. A continuación se dan las propiedades que serán usadas en el tema en cuestión.

Sean , .a b R

1. 0a

-5

( )

-2 1

( ) 2


55

2. 2a a

3. a a

4. 2 2a a

5. a b a b

6. , si b 0aa

b b

7. a b a b

Desigualdad triangular

8. 0a b b a b a b

6.2.5.2. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

Sea , ,x y a R . Se tiene entonces:

1. sii a 0 ó x a x a x a a x a

2. sii x a x a x a

3. 2 2 sii x y x y

6.2.5.3. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de la misma. Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a los teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de inecuaciones. Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas:

Sean , , ,x a b c R .

1) cbax y ó

ax b c

c ax b c

ax b c

-a a

] [

[ ]

-a a


56

5,1 / 5 1S x R x

9, 3 / 9 < < 3S x R x

3 8 2

3 2 8

3 10

10

3

x

x

x

x

Ejemplos:

a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 10 15x y grafique.

Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos:

15 5 10 15

15 10 5 10 10 15 10

25 5 5

25 5 5

5 5 5

5 1

x

x

x

x

x

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 2 < 13

x y grafique.

1 < 2< 13

3 < < 13

3 3 < 3< 1 33

9 < < 3

x

x

x

x

2) cbax ó ó

ax b c

ax b c ax b c

ax b c

Ejemplos:

a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 3 8 2x y grafique.

3 8 2

3 2 8

3 6

6

3

2

x

x

x

x

x

[ ]

-5 1

( )

-9 -3

10 , 2,3

-

2

10 3 -2


57

2

45

) (2

45

)) ((

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 3 < 7x y grafique.

Otro ejemplo

Resolvamos la desigualdad 2 1

33

x

x

Utilizando la propiedad (6) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

2 1

33

x

x

2 1 3 3x x

2 22 1 3 9x x

2 2

2 1 3 9 0x x

2 1 3 9 2 1 3 9 0x x x x

10 5 8 0x x

Elaborando un diagrama de signos tenemos

Signo de 10x + ─ ─

Signo de 5 8x ─ ─ +

Sino de 10 5 8x x ─ + ─

Vemos que la solución de la desigualdad es 8

10,5

5 3>7

5 >7+3

5 >10

>10 5

>2

x

x

x

x

x

5 3< 7

5 < 7+3

5 < 4

< 4 5

x

x

x

x

4

, 2,5


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BIBLIOGRAFIA

APUNTES DEL DOCENTE

STEWART James , CALCULO CONCEPTOS Y APLICACIONES, EDITORIAL Thomson

STEWART James , PRECALCULO, EDITORIAL Thomson

LARSON Ron, CALCULO, EDITORIAL MC Graw Hill

ZILL el doble, Dennis G, Algebra y trigonometría, 2da edición, Mc. Graw Hill, 1996

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RUEDA Fernando, CASTRO Danery, SALGADO Diana, ROMERO Juan, Matemáticas, Santillana 2007

RAMIREZ Marisol, SALAZAR Francia, JOYA ANNERIS, CELY Valeria, matemáticas, Santillana, 2006


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