I . E . S . A N D R S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G A C U R S O : 2 0 0 7 - 2 0 0 8 N I V E L A C A D M I C O : 4 E . S . O .
C O N C E P T O S D E E L E C T R N I C A D I G I T A L T E C N O L O G A 4 E . S . O .
D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G A I . E . S A N D R S D E V A N D E L V I R A J . G a r r i g s 1
N D I C E 1 . I N T R O D U C C I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 . D E F I N I C I O N D E D I G I T A L Y A N A L G I C O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 . N A T U R A L E Z A B I N A R I A D E L A L G I C A D I G I T A L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 . O P E R A C I O N E S F U N D A M E N T A L E S D E L A L G E B R A D E B O O L E . . . . . . . . 4 4 . 1 . O p e r a c i n S U M A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 . 2 . O p e r a c i n P R O D U C T O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4 . 3 . O p e r a c i n I N V E R S I N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5 . P O S T U L A D O S Y P R O P I E D A D E S D E L L G E B R A D E B O O L E Y T E O R E M A S D E M O R G A N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5 . 1 . P o s t u l a d o s d e l l g e b r a d e B o o l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6 . P U E R T A S L G I C A S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7 . E J E M P L O S D E R E P R E S E N T A C I N D E E C U A C I O N E S E N L E N G U A J E D E C O N T A C T O S Y P O R P U E R T A S L G I C A S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 8 . S I M P L I F I C A C I N D E E C U A C I O N E S L G I C A S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 8 . 1 . S i m p l i f i c a c i n m e d i a n t e l o s p o s t u l a d o s y p r o p i e d a d e s d e l l g e b r a d e B o o l e y t e o r e m a s d e M o r g a n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8 . 2 . S i m p l i f i c a c i n m e d i a n t e l o s d i a g r a m a s o m a p a s d e K a r n a u g h . . . . . . . 1 6 9 . O P E R A C I O N E S N A N D Y N O R Y C O N V E R S I N D E E C U A C I O N E S . . . 2 1 9 . 1 . T e o r e m a s d e M o r g a n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 9 . 2 . R e s o l u c i n d e e c u a c i o n e s m e d i a n t e o p e r a d o r e s N O R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1
9 . 2 . 1 . R e a l i z a c i n d e u n a i n v e r s i n o n e g a c i n c o n o p e r a d o r e s N O R . . . . . . 2 2 9 . 2 . 2 . R e a l i z a c i n d e u n a s u m a n e g a d a c o n o p e r a d o r e s N O R . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 9 . 2 . 3 . R e a l i z a c i n d e u n a s u m a c o n o p e r a d o r e s N O R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 9 . 2 . 4 . R e a l i z a c i n d e u n p r o d u c t o c o n o p e r a d o r e s N O R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2
9 . 3 . R e s o l u c i n d e e c u a c i o n e s m e d i a n t e o p e r a d o r e s N A N D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 9 . 3 . 1 . R e a l i z a c i n d e u n a i n v e r s i n o n e g a c i n c o n u n a p u e r t a N A N D . . . 2 3 9 . 3 . 2 . R e a l i z a c i n d e u n p r o d u c t o n e g a d o c o n o p e r a d o r e s N A N D . . . . . . . . . . 2 3 9 . 3 . 3 . O b t e n c i n d e u n p r o d u c t o d e d o s v a r i a b l e s s i n n e g a r . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 9 . 3 . 4 . R e a l i z a c i n d e u n a s u m a c o n p u e r t a s N A N D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3
9 . 4 . E j e m p l o s d e r e s o l u c i n d e e c u a c i o n e s c o n o p e r a d o r e s N O R y N A N D 2 3 1 0 . R E S O L U C I N L G I C A D E A U T O M A T I S M O S C O M B I N A C I O N A L E S .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1 0 . 1 . R E S O L U C I N D E U N A U T O M A T I S M O D E L G I C A C O M B I N A C I O N A L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 1 1 C I R C U I T O S I N T E G R A D O S D I G I T A L E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 A P N D I C E A : S I S T E M A S D E N U M E R A C I N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 I N T R O D U C C I N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 S I S T E M A D E C I M A L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 S I S T E M A B I N A R I O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 S I S T E M A H E X A D E C I M A L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 C O N V E R S I O N E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5
C o n v e r s i n e n t r e b i n a r i o y d e c i m a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 C o n v e r s i n e n t r e b i n a r i o y h e x a d e c i m a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 C o n v e r s i n d e h e x a d e c i m a l a b i n a r i o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 C o n v e r s i n d e h e x a d e c i m a l a d e c i m a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 C o n v e r s i n d e d e c i m a l a h e x a d e c i m a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7
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1. INTRODUCCION A mediados del siglo XIX, el filsofo y matemtico George Boole, desarroll una teora
matemtica completamente distinta a la que hasta entonces se conoca, y cuya expansin ha sido
tan importante, que en la actualidad se utiliza para la resolucin y anlisis de la mayora de las
operaciones industriales complejas. Tanto los procesos de fabricacin como los equipos se han
ido complicando a causa del progreso general y la constante evolucin, hasta el punto de necesitar automatizar el control de la mayor parte de sus fases.
El lgebra de Boole establece una serie de postulados y operaciones tendentes a resolver los automatismos o procesos a ejecutar, obteniendo un conjunto de ecuaciones que debern de ser traducidas y llevadas a cabo por elementos mecnicos, hidrulicos, neumticos, elctricos o
electrnicos.
La teora de Boole considera todos los elementos como biestables, es decir, que solo
tienen "dos estados vlidos posibles, y por otra parte, opuestos entre s".
As, por ejemplo, el tratamiento que el lgebra de Boole permite a una lmpara considerarla en sus dos nicos estados posibles: encendida o apagada; un interruptor slo podr
estar conectado o desconectado; un transistor conduciendo o bloqueado, un rel activado o
desactivado; y as sucesivamente. No se admiten estados intermedios. El que slo existan dos
estados vlidos para cada elemento, en esta estructura matemtica, ha llevado a llamarla "lgebra
binaria" y tambin "lgebra lgica", pues los razonamientos que en ella se emplean son de carcter
intuitivo y lgico.
El lgebra de Boole es un sistema matemtico usado en el diseo de circuitos lgicos, que
permite representar mediante smbolos el objeto de un circuito lgico, de forma que su estado
pueda ser equivalente a un circuito real.
El fin de un sistema matemtico es, en principio, representar un grupo de objetos o
fenmenos con smbolos que definan las leyes que gobiernan sus funciones e interrelaciones, con
un conjunto de estados y ecuaciones que se escriban de forma simblica. De este modo, los
smbolos del Algebra de Boole se usan para representar entradas y salidas de los elementos
lgicos y los estados y ecuaciones que se usan para definir puertas, inversores y circuitos lgicos
ms complejos.
Una vez obtenida una ecuacin bsica, se puede simplificar para hallar el circuito cuyas
interconexiones sean lo ms simples y eficientes.
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El lgebra de Boole difiere de la clsica en que sta ltima cuenta con relaciones
cuantitativas, mientras aquella cuenta con relaciones lgicas. En lgebra, clsica usamos
cantidades simblicas tales como X,Y,A,B, etc. para representar nmeros. En la resolucin d
problemas algebraicos interesa conocer el valor de la variable, o si X es mayor o menor que Y, u
otra informacin relativa a la cantidad. En el lgebra de Boole slo se busca conocer busca
conocer uno de los estados posibles que puede tener cualquier trmino lgico, por ejemplo,
cuando usamos el lgebra de Boole en sistemas digitales, nos interesa conocer si un termino vale
0 o 1. Tambin se les llama verdadero o falso ( Alto High- o Bajo Low- ) a los dos estados
posibles en esta lgebra de tipo filosfico
2. DEFINICION DE DIGITAL Y ANALGICO Las expresiones "digital" y analgico son opuestas ya que mientras que la
primera significa algo de naturaleza incremental, en cambio la segunda expresa algo que vara de
forma continua.
Se entender mejor con un ejemplo:
Consideremos una lmpara de un saln, la cual est constituida por 10 bombillas, que se
encienden y apagan desde un mismo panel. Si en este panel cada interruptor gobierna 2
lamparas; podremos ir consiguiendo una iluminacin gradual del saln hasta que tengamos la
mxima luz que nos pueden dar todas las lmparas.
Pero otra forma en la que se pueden controlar las lmparas, puede ser por medio de un
simple potencimetro que realice el encendido gradual a medida que se va girando desde la
posicin de apagado hasta la de encendido.
En el primero de los casos, el aumento de luz se efecta mediante pasos discretos,
mientras que en el segundo es de una manera continua. Es decir, que el primero de los sistemas
lo podemos encuadrar bajo el trmino digital y el segundo bajo el de analgico.
Tanto en electricidad como en electrnica los paramentos usuales de medida son el voltaje
y la corriente, las cuales varan de forma continua en el caso de la electrnica analgica, mientras
que en la digital se efecta por pasos o etapas de valor bien definido. Dos ejemplos que pueden
ser tanto analgicos como digitales son los relojes y los polmetros. Las agujas de un reloj
mecnico comn, se mueven continuamente mientras que en un reloj digital los nmeros cambian
de repente, al final de cada segundo o de cada minuto. Del mismo modo un polmetro analgico
dispone de una aguja de medida que puede desplazarse gradualmente desde un extremo al otro
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de la escala, mientras que en un polmetro digital, el valor de la magnitud de medida, se muestra
mediante dgitos discretos, cada uno de los cuales cambian de repente.
En la figura se representan dos tipos de ondas, a la izquierda de tipo digital y a la derecha
analgica
:
3.NATURALEZA BINARIA DE LA LGICA DIGITAL As como en los circuitos analgicos pueden existir al mismo tiempo muchos voltajes
diferentes, en los digitales solo hay dos. Esto significa que usando estos dos estados lgicos puede codificarse cualquier nmero, letra del alfabeto, smbolo u otra informacin. Estos dos voltajes reciben el nombre de "estado lgico 0 y "estado lgico 1 o tambin "falso o bajo Low- (0) o verdadero o alto High- (1)" y nombres parecidos. Por tal motivo y debido al uso de solo dos estados, se dice que la lgica digital es binaria por naturaleza.
El significado de la naturaleza binaria de la lgica digital es correcto, puesto que los
circuitos lgicos pueden obtener todas sus funciones de decisin y memoria usando nada ms que
dos estados lgicos.
4. OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA DE BOOLE. Existen cuatro operaciones fundamentales de la teora de conjuntos del lgebra de Boole,
a las cuales se le asocian distintas disposiciones elctricas:
Operacin suma o reunin. Operacin Interseccin o producto. Operacin Inversin o negacin. Operacin O exclusiva o XOR
O n d a d i g i t a l O n d a a n a l g i c a
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4.1. Operacin SUMA. La forma de representar la operacin suma mediante contactos elctricos es la disposicin
en paralelo de los contactos del circuito. La siguiente figura representa un circuito elctrico que
puede dejar pasar la corriente, de forma que:
L
BA
A.- Si uno de los contactos est cerrado, y deja pasar la corriente, decimos que est a estado
lgico 1, lmpara en funcionamiento.
B.- Si ambos contactos estn abiertos, no dejan pasar la corriente, decimos que la lmpara est a estado lgico 0, lo que significa que la lmpara estar apagada.
Pero el estado lgico, no slo se aplica al estado de la lmpara sino tambin al de los
contactos A y B, de forma que diremos que estn a estado lgico 1 si estn cerrados (dejan
pasar la corriente), y a estado lgico 0 si estn abiertos ( no dejan pasar la corriente).
Las condiciones que se cumplen en el circuito de la figura anterior son las siguientes:
1.- Si A est cerrado (A=1) y B est abierto (B=0), pasa la corriente y por tanto la lmpara est encendida (L=1).
2.- Si A est abierto (A=0) y B est cerrado (B=1), pasa la corriente, lo que implica L=1. 3.- Si A est cerrado (A=1) y B est cerrado (B=1), pasa la corriente (L=1). 4.- Si A est abierto (A=0) y B est abierto (B=0), no pasa la corriente y la lmpara estar
apagada (L=0).
Todas estas condiciones las podemos expresar mediante una tabla que nos indica el
estado de la salida en funcin del estado de las entradas, que para el caso que nos ocupa sera:
A B L
1 0 1
0 1 1
1 1 1
0 0 0
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L
B
A
A este tipo de tablas, que indican el estado de las salidas (Lmpara), en funcin del de las
entradas (Contactos A y B) se le denomina Tabla de verdad o de la verdad. En base a todo lo anterior, decimos que una operacin suma (operacin OR en ingls) de
dos variables de entrada es aquella, en la cual, la salida tomar estado lgico 1 (lmpara en
funcionamiento (L=1)), si alguna de las entradas tiene estado lgico 1 (contactos A y/o B cerrados).
La forma matemtica de expresar esta operacin sera:
L = A + B Para el caso de ms de dos variables de entrada, el nmero de combinaciones distintas
puede ser ms difcil de adivinar, resultando que como norma general el nmero de combinaciones
binarias para n variables de entradas estar dado por la expresin 2n.
As por ejemplo, la operacin suma para el caso de tres variables de entrada (A,B y C)
ser: L=A+B+C
C B A A+B+C
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Dado que en el ejemplo anterior tenemos tres variables de entrada el nmero de
combinaciones binarias distintas de las entradas son:
23=8
4.2. Operacin PRODUCTO. La forma de representar la operacin producto mediante
contactos elctricos es la disposicin en serie de los contactos del
circuito. La siguiente figura representa un circuito elctrico que puede
dejar pasar la corriente, de forma que:
A.- Si uno de los contactos est abierto, y no deja pasar la corriente,
decimos que est a estado lgico 0, lmpara apagada.
B.- Si ambos contactos estn cerrados y dejan pasar la corriente,
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decimos que la lmpara est a estado lgico 1, lo que significa que la lmpara estar encendida.
Pero al igual que en la operacin suma, el estado lgico no slo se aplica al estado de la
lmpara sino tambin al de los contactos A y B, de forma que diremos que estn a estado lgico
1 si estn cerrados (dejan pasar la corriente), y a estado lgico 0 si estn abiertos ( no dejan
pasar la corriente).
Las condiciones que se cumplen en el circuito de la figura anterior son las siguientes:
1.- Si A est abierto (A=0) y B est abierto (B=0), no pasa la corriente y la lmpara estar apagada (L=0).
2.- Si A est cerrado (A=1) y B est abierto (B=0), no pasa la corriente y por tanto la lmpara est apagada (L=0).
3.- Si A est abierto (A=0) y B est cerrado (B=1), no pasa la corriente, lo que implica lmpara apagada (L=0).
4.- Si A est cerrado (A=1) y B est cerrado (B=1), pasa la corriente y la lmpara estar encendida (L=1).
Todas estas condiciones las podemos expresar mediante la siguiente tabla de la verdad:
A B L
0 0 0
1 0 0
0 1 0
1 1 1
En base a todo lo anterior, decimos que una operacin producto (operacin AND en ingls) de dos variables de entrada es aquella, en la cual, la salida tomar estado lgico 1
(lmpara en funcionamiento (L=1)), si todas las entradas tiene estado lgico 1 (contactos A y B
cerrados).
La forma matemtica de expresar esta operacin sera: L = A * B As por ejemplo, la operacin producto para el caso de tres variables de entrada (A,B y C)
ser: L=A*B*C
C B A A*B*C
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
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4.3.Operacin INVERSIN. Un conjunto inverso, negado o complementario de otro conjunto est formado por los
elementos del conjunto universal no contenidos en aquel, lo que se representa en la siguiente
figura:
La forma de representar la operacin inversin mediante contactos elctricos no es tan
intuitiva como en las operaciones suma y producto, pero
podramos asociarla a la siguiente figura en la que la
lmpara L1 es complementaria de la L2, puesto que si una
est encendida la otra estar apagada y viceversa, en
funcin del estado de A.
El contacto cerrado A (que leeremos A negada), es el complementario de A.
La tabla de la verdad correspondiente a los
estados que puede poseer un conjunto y los que corresponden a su inverso se muestran en la
siguiente tabla de la verdad:
Todas estas condiciones las podemos expresar mediante la siguiente tabla de la verdad:
A A
0 1
1 0
En base a todo lo anterior, decimos que una operacin inversin (operacin NO) de una variable, es aquella que la salida tomar estado lgico 1 si la entrada es 0, y tomar estado
lgico 0 si la entrada est a 1 lgico.
Operacin O exclusiva o XOR Esta operacin derivada de la reunin, da una salida 1 cuando el nmero de entradas a 1 es impar.
A A
C o n j u n t o i n v e r s o d e A
L2
A
L1
A
C O N C E P T O S D E E L E C T R N I C A D I G I T A L T E C N O L O G A 4 E . S . O .
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La tabla de verdad para dos variables es la que se indica seguidamente:
YXYXYX ** += X Y YX
0 0 0
1 0 1
0 1 1
1 1 0
5 . P O S T U L A D O S Y P R O P I E D A D E S D E L L G E B R A D E B O O L E Y T E O R E M A S D E M O R G A N .
5 . 1 . P o s t u l a d o s d e l l g e b r a d e B o o l e . Basados en la funcin AND
1) 0*0=0 2) 0*1=0 3) 1*0=0 4) 1*1=1 Basados en la funcin OR
5) 0+0=0 6) 0+1=1 7) 1+0=1 8) 1+1=1 Basados en la funcin NO
01)10
10)9
==
5.2. Propiedades del lgebra de Boole Propiedades de la funcin AND
1) X*0=0 2) 0*X=0 3) X*1=X 4) 1*X=X Propiedades de la funcin OR
5) X+0=X 6) 0+X=X 7) X+1=1
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D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G A I . E . S A N D R S D E V A N D E L V I R A J . G a r r i g s 1 0
BAx
Bx
yAx
Bxy
AxBAxBAx
BABA
BAx
Bx
oAx
Bxo
AxBAxBAx
BABA
=
=
8) 1+X=1 Combinando una variable con ella misma o con su complemento
negacin doble o acincomplement Doble)13
1)12
)110*)10
*)9
XX
XX
XXXXX
XXX
==+=+=
=
Ley conmutativa
14) X*Y=Y*X 15) X+Y=Y+X Ley distributiva
16) X*(Y+Z)=X*Y + X*Z 17) X+ Y*Z= (X+Y)*(X+Z) Ley asociativa
18) X*(Y*Z)=(X*Y)*Z 19) X+(Y+Z)=(X+Y)+Z Absorcin
20) X + X*Y=X 21) X* (X+Y)=X Una identidad
YXYXX
YXYXX
*)(*)23
*)22
=++=+
5.3. Leyes de Morgan
ZCBAZCBA
ZCBAZCBA
++++==++++
.......*.......***)2
*......***......)1
Demostracin de las leyes de Morgan:
= Interseccin = Unin
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Ejemplo de aplicacin de los postulados y propiedades del lgebra de Boole y leyes de Morgan.
E n t r a d a s S a l i d a s
X Y Z X Y Z X + Y ZYX *)( + YX + YX * YX * )(* YXZ + ZYX 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1
0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0
1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
6. PUERTAS LGICAS Las operaciones y funciones vistas anteriormente en la prctica digital se representan por
las llamadas puertas lgicas, que no es otra cosa, que un dibujo normalizado que representa una
funcin.
Las puertas lgicas normalizadas son las siguientes:
Segn la norma MIL-STD-806B
NOR ExclusivaO Exclusiva
SYXX
Y SSX X S
NOROR
SYX X
Y S
NANDANDXY S SY
X
Excitador Inversor
Aunque los smbolos anteriores son los principales, no obstante, y atendiendo a las normas
BS 3939, IEC 117 y ANSI Y.32.14, tambin podemos encontrarnos los siguientes:
NOR ExclusivaO Exclusiva
NORORNANDAND
SXY
=1=1YX SSX 1 1X S
SXY
>1YX S >1SX
Y& &
YX S
Excitador Inversor
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La tabla de la verdad para la salida S en cada una de las puertas lgicas indicadas anteriormente es la que se muestra en la siguiente tabla:
X Y A N D N A N D O R N O R I n v e r s o r E x c i t a d o r O E x c l u s i v a N O R E x c l u s i v a
0 0 0 1 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 1 0 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 0 1 0 1
En la prctica, se considera que tenemos un 1 lgico cuando existe un nivel de tensin
determinado, por ejemplo 5 V. De forma similar, decimos que tenemos un nivel 0 lgico cuando el
nivel de tensin est a otro nivel de tensin preestablecido, por ejemplo 0 V. Ahora bien, esto no es
tan fcil, y existen distintos tipos de tecnologas que asignan unos u otros valores a los estados
lgicos, entre los ms conocidos estn las denominadas TTL y CMOS. Profundizando un poco
ms, y utilizando como ejemplo la tecnologa TTL, se adopta que:
Se considera un valor lgico 0 en la entrada a la puerta (VIL -I=Input, L= Low-) cuando la tensin est comprendida entre 0 y 0,8 V.
Se considera un valor lgico 1 en la entrada a la puerta (VIH -I=Input, H=High -) cuando la tensin est comprendida entre 2 y 5,5 V
Se considera un valor lgico 0 en la salida de la puerta (VOH -O=Output, L= Low-) cuando la tensin est comprendida entre 0 y 0,4 V.
Se considera un valor lgico 1 en la salida de la puerta (VOH -I=Output, H=High -) cuando la tensin est comprendida entre 2,4 y 5,5 V
Como se puede apreciar existen unas franjas de tensin donde la tecnologa TTL puede considerar
un 1 o un 0 lgicos, a estas franjas de tensin se les denomina zona de indefinicin para las
entradas y zona de prohibicin para las salidas.
T e c n o l o g a
Z o n a i n d e f i n i d a d e e n t r a d a
Z o n a p r o h i b i da s a l i d a
V c c V I H V I L V O H V O L
T T L 0 . 8 a 2 v 0 . 4 a 2 . 4 v 5 v 2 a
5 . 5 v 0 a
0 . 8 v 2 . 4 a 5 . 5 v
0 a 0 . 4 v
C M O S 1 . 5 a 3 . 5 v 0 . 0 1 a 4 . 9 9 v 3 a 1 5 v
3 . 5 a 5 v
0 a 1 . 5 v
4 . 9 9 a 5 v
0 a 0 . 0 1 v
Siendo:
Vcc = Tensin de alimentacin de las puertas. En CMOS se ha supuesto dicha tensin en 5v.
VIH = Nivel alto de tensin (H) de entrada (L) VIL = Nivel bajo de tensin (L) de entrada (L) VOH = Nivel alto de tensin (H) de salida (O) VOL = Nivel bajo de tensin (L) de salida (O)
C O N C E P T O S D E E L E C T R N I C A D I G I T A L T E C N O L O G A 4 E . S . O .
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Otro concepto que conviene tener bastante presente en las puertas lgicas, es el llamado
fan-out, que nos indica el mximo nmero de puertas que se pueden alimentar simultneamente desde la salida de una de ellas. En la tecnologa TTL su fan-out es de 10, en tanto que CMOS
tiene un fan-out de 50.
7 . E J E M P L O S D E R E P R E S E N T A C I N D E E C U A C I O N E S E N L E N G U A J E D E C O N T A C T O S Y P O R P U E R T A S L G I C A S .
Debemos recordar en este apartado que el producto de variables equivale a contactos en serie, en tanto que, la suma de variables equivale a contactos en paralelo.
Aclarados estos conceptos representaremos unas ecuaciones a ttulo de ejemplo:
Ejemplo 1
BABAS ** += Esquema de puertas lgicas
Esquema de contactos
S
B B
AA
E j e m p l o 2
)(*2
)**(*1
CBAM
CBCBAM
+=+=
A*B + A*B=S
A*B
A*B
AA
B
BB
A
B A
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Esquema de puertas lgicas
AA
B+C A*(B + C)= M2
B
C C
A
A*(B*C + B*C)=M1
AC
CC
ABB B
B
B*C
B*C
B*C + B*C
C
Esquema de contactos
M2
B C
AA
BB
CC
M1
8.SIMPLIFICACIN DE ECUACIONES LGICAS La simplificacin de ecuaciones es el proceso por el cual, partiendo de una ecuacin inicial, se obtiene otra con menos trminos pero que cumple la misma funcin que la primera, en
definitiva, que el resultado obtenido en ambas ser el mismo para todos los estados posibles de la
ecuacin.
La justificacin de intentar obtener una ecuacin con el mnimo nmero de variables es
evidente, pues a menor nmero de puertas lgicas o de contactos, ms simplificado ser el
circuito, se tendrn menos posibilidades de error, menor tiempo de ejecucin ser necesario, y lo
que no es menos importante, ms econmico ser el montaje.
C O N C E P T O S D E E L E C T R N I C A D I G I T A L T E C N O L O G A 4 E . S . O .
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8.1. Simplificacin mediante los postulados y propiedades del lgebra de Boole y teoremas de Morgan. Este mtodo consiste en aplicar los postulados, propiedades y teoremas del lgebra de
Boole y Morgan, para obtener de esta forma la ecuacin lo ms simplificada posible.
Ejemplo1 Considrese la ecuacin siguiente de la cual deseamos obtener otra con el mnimo nmero de trminos posibles.
DCBADCBADCBADCBAS ************ +++= Mediante la aplicacin de la ley distributiva podemos sacar factor comn de los dos primeros sumandos de la ecuacin lgica
DCBADCBADDCBAS ******)(** +++= pero sabemos que 1=+ AA , y X*1=X, de ah:
DCBADCBACBAS ******** ++= Basndonos en las mismas propiedades y postulados, podemos sacar factor comn de los
dos ltimos sumandos y simplificar.
CBACBADDCBACBAS ****)(***** +=++= De nuevo sacamos factor comn y simplificamos obteniendo el resultado final:
BASCCBAS
*)(**
=+=
Ejemplo Considrese la ecuacin siguiente de la cual deseamos obtener otra con el mnimo nmero de trminos posibles.
CBACABCBAP ++= Dado que AAA =+ , podemos sumar un sumando idntico a uno de los que contiene la ecuacin sin que esta vare, es decir:
CBACBACABCBACBACABCBAP +++=++= Ahora sacamos factor comn de los sumandos primero y tercero, por un lado, y segundo y
cuarto por otro, volvemos a simplificar de nuevo y obtenemos el resultado final
)(*
)()(
CBAP
CABAP
BBCACCBAP
+=+=
+++=
C O N C E P T O S D E E L E C T R N I C A D I G I T A L T E C N O L O G A 4 E . S . O .
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8.2. Simplificacin mediante los diagramas o mapas de Karnaugh. El fundamento de la simplificacin por Karnaugh se basa en la identidad:
BACCBACBACBA *)(****** =+=+ Se trata de encontrar parejas de trminos iguales, a excepcin de una variable, que en uno
est negada y en el otro no. Obsrvese que en todos los diagramas de Karnaugh, al pasar de una
cuadrcula a la adyacente siguiendo una fila o una columna (no en diagonal) siempre cambia de
estado una de las variables. Cambia incluso entre la primera cuadrcula y la ltima de cada fila o
de cada columna.
Imaginemos que tenemos que formar un mapa de Karnaugh de 2 variables X y Y. Nuestro
mapa deber tener, por tanto, 4 cuadros (2n donde n es el nmero de variables de entrada), y en
cada uno de ellos se debe contemplar uno de los cuatro estados posibles de estas variables segn
la tabla de verdad.
X Y
0 0
0 1
1 0
1 1
Si tomamos los valores de X para las filas y los de Y para las columnas, una de las
posibilidades sera la que se refleja en la siguiente cuadrcula, donde tambin se han indicado los
valores que toman las variables en cada uno de los cuadros:
X=1Y=1
X=1Y=0
X=0Y=1
X=0Y=0
1
010X
Y
A efectos prcticos, otra forma de representar los mapas de Karnaugh, consiste en poner
una lnea continua encima de la fila o columna en la que la variables vale 1, en aquellos cuadros
que no se encuentran bajo la sombra de la lnea decimos que la variable toma valor 0. De esta
forma el cuadro anterior quedara:
C O N C E P T O S D E E L E C T R N I C A D I G I T A L T E C N O L O G A 4 E . S . O .
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Y
X
X=0Y=0
X=0Y=1
X=1Y=0
X=1Y=1
A estas alturas, el lector seguramente est pensando que para dos variables es fcil
construir el mapa de Karnaugh, pero Y para tres, cuatro, cinco,. variables?, como se podemos
saber que se han contemplado todos los estados posibles de las variables de entrada. Daremos, a
continuacin, una regla prctica que suele ser de mucha utilidad en estos casos, imaginemos un
papel cuadrado doblado muchas veces, de forma que cada doblez dejamos su superficie en la
mitad. Una vez doblado n veces, imaginemos que dibujamos un mapa de Karnaugh de dos
variables con un rotulador que ha sido capaz de calcar la cuadrcula en todas las caras del papel
doblado. A partir de aqu, si deseamos obtener un mapa de Karnaugh de tres variables abatiremos
el papel de izquierda a derechas quitando uno de los dobleces; de esta forma veramos lo que se
muestra en la figura:
Obsrvese que la lnea de la variable Y tambin se dibuja, pues se supone que tambin se
haba calcado. Finalmente, sabemos que para ocho estados (ocho
cuadros) se necesitan tres variables, pues bien, bastar dibujar una
lnea continua a los cuadros nuevos que han aparecido en el mapa
( y que supondremos que tambin se calcar al resto de caras del
papel). Finalmente resulta el mapa de Karnaugh para tres variables:
Z
X
Y
El siguiente paso, ser obtener el mapa para cuatro variables. Siguiendo con nuestro
hipottico papel doblado, dado que antes lo hemos desdoblado hacia la derecha, ahora lo haremos
hacia abajo, y aadiremos una nueva variable para los cuadros nuevos creados, resultando
finalmente el mapa de Karnaugh de 4 variables como se indica en la siguiente figura:
X
Y
C O N C E P T O S D E E L E C T R N I C A D I G I T A L T E C N O L O G A 4 E . S . O .
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Z
X
Y
T
El siguiente mapa para 5 variables desdoblaramos nuestro papel de nuevo hacia la
derecha, resultando finalmente:
UY
T
Z
X
Y
De esta forma, obtendramos los mapas de Karnaugh para n variables, tomando como
regla general que cuando el nmero de variables que tenemos en el mapa es impar desdoblamos
hacia la derecha para obtener una nueva, y si el nmero de variables es par desdoblaramos hacia
abajo.
La simplificacin con Karnaugh trata de agrupar cuadrculas adyacentes en las que se
cumpla la ecuacin, para ir eliminando variables. Las agrupaciones de cuadriculas con valor 1 se
denominan "lazos" y alrededor de ellas se dibuja una lnea que los contiene. Cada lazo formar un
trmino en la versin simplificada de la ecuacin. Existen unas reglas para confeccionar los lazos o
agrupaciones de 1, exponindose a continuacin las ms importantes:
1.- Cada lazo debe de contener el mayor nmero de unos posible, debiendo constar de 2,4,8,16 (potencias de 2) o en ltimo caso un simple 1. y entonces no habr simplificacin de dicho
trmino.
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F I G U R A 1
L A Z O A
L A Z O B F I G U R A 2
2.- Los lazos pueden quedar superpuestos y no importa que haya cuadriculas de valor uno que correspondan a la vez a dos lazos diferentes.
3.- No s pueden formar lazos entre parejas de unos situados en diagonal. 4.- Debe tratarse de conseguir, el menor nmero de lazos, y que como se indico anteriormente,
cada lazo contenga el mayor nmero de unos.
5.- La columna ms a la derecha se considera adyacente a con la de ms a la izquierda, y la primera fila del diagrama se considera adyacente a la ltima.
6.- De entre las distintas posibilidades que existen de formar lazos, se debe elegir aquella que tenga el menor nmero de lazos.
7.- Cada lazo del diagrama representa un trmino de la ecuacin simplificada final, y dicha ecuacin rene todos los trminos o lazos mediante la operacin OR o suma lgica.
8.- Si en un lazo hay una variable que est en estado uno en alguna cuadrcula y en estado cero en otra, se elimina.
9.- Si una variable est con el mismo estado en todas las cuadrculas de un lazo, debe ser incluida en la expresin simplificada
Algunos ejemplos aclararn el sistema de simplificacin de Karnaugh:
Ejemplo 1
Simplificar por Karnaugh la ecuacin:
CBACBACBAR ****** ++= a) Las cuadriculas que cumplen la ecuacin en un diagrama de Karnaugh para tres variables, se
indican en la figura 1.
b) Con la disposicin elegida podemos hacer
dos lazos de dos unos cada uno de ellos,
no importando que un uno pertenezca a la
vez a los dos lazos del mapa.
C O N C E P T O S D E E L E C T R N I C A D I G I T A L T E C N O L O G A 4 E . S . O .
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c) Para obtener la ecuacin simplificada se suman las expresiones de los lazos, eliminando de
ellos las variables que en una de las cuadrculas aparecen negada y en la otra no. As, el lazo
A tiene dos cuadrculas que lo componen y en ambas el valor de las variables B y C valen
cero; sin embargo, la variable A, en una cuadrcula vale uno y en la otra cero, por lo que esta
variable ser eliminada, quedando expresado el lazo A como CB * .
En el lazo B sus dos cuadrculas tienen A=0 y C=0, sin embargo, en una de ellas
B=0 y en la otra B=1, as que se elimina B y dicho lazo queda expresado como CA* .
La ecuacin simplificada es igual a la suma lgica de las expresiones de los lazos,
o sea:
CACBCBACBACBAR ******** +=++= la cual es todava simplificable sacando factor comn C .
Ejemplo 2.
Simplificar por Karnaugh la ecuacin:
DCADCBADCACBAR ********* +++= a) El mapa de Karnaugh de 4 variables resuelto para la ecuacin anterior se indica en la figura 3.
b) En la figura 3 se han hecho los lazos, contemplando el hacer el menor nmero de lazos con el
mayor nmero de unos.
c) Obtencin de los trminos simplificados de cada uno de los nudos
F I G U R A 3
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* * L A Z O A * *
A [ 1 , 0 , 1 , 0 ] B [ 1 , 1 , 0 , 0 ] C [ 1 , 1 , 1 , 1 ] D [ 1 , 1 , 1 , 1 ]
C D
L a z o A = C * D
* * L A Z O B * *
A [ 0 , 0 , 0 , 0 ] B [ 1 , 1 , 1 , 1 ] C [ 0 , 1 , 0 , 1 ] D [ 0 , 0 , 1 , 1 ]
A B
L a z o B = A * B
La ecuacin simplificada es la suma lgica de los lazos, o sea:
BADCDCADCBADCACBAR *********** +=+++=
9. OPERACIONES NAND Y NOR Y CONVERSIN DE ECUACIONES. Las operaciones que resuelven los automatismos y problemas digitales, contienen sumas,
productos, negaciones etc Si para cada una de las operaciones especficas se emplea una
puerta diferente que la ejecute, sern precisos bastantes modelos de circuitos integrados para
resolver el circuito que corresponde a la ecuacin planteada. Mediante ala correcta aplicacin de
los teoremas de Morgan, se puede resolver cualquier ecuacin usando exclusivamente un nico
tipo de puerta lgica: el NOR o el NAND. Esto puede suponer ventajas en el diseo y una menor
posibilidad de error.
9.1.Teoremas de Morgan En el aparatado 5.1, se indicaron y demostraron los teoremas de Morgan, segn los
cuales:
CBACBA
CBACBA
++==++
**
**
Se deja al alumno que compruebe la veracidad de estos teoremas mediante tablas de
verdad.
9.2.Resolucin de ecuaciones mediante operadores NOR Seguidamente se desarrolla el modo de realizar operaciones lgicas utilizando nicamente
operadores NOR.
E l i m i n a d a E l i m i n a d a
E l i m i n a d a E l i m i n a d a
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9.2.1.Realizacin de una inversin o negacin con operadores NOR
Si el operador NOR dispone de una sola entrada, la salida que se obtiene es la negacin de
dicha entrada. La siguiente figura representa un operador NOR realizando una inversin y la tabla
de verdad que le corresponde.
A A 0 1
1 0
9.2.2. Realizacin de una suma negada con operadores NOR
El operador NOR realiza directamente la suma negada, tal y como se indica en la siguiente
figura
A A+BB
9.2.3.Realizacin de una suma con operadores NOR.
La resolucin de la suma de dos variable sin negar con el operador NOR se resuelve mediante
dos operadores, el primero suma las variables y el segunda niega la negacin de la suma de
variables que se obtiene de la primera puerta. Observe la figura.
A A+BB
A+B = A+B
9.2.4. Realizacin de un producto con operadores NOR.
Recuerde que el teorema de Morgan indica: BABA *=+ , de esta igualdad sse desprende que la suma negada es igual al producto de las negadas de cada una de las variables.
A A+B=A*BB
Otra forma de aplicar el teorema de Morgan se indica en la siguiente figura:
A A+B=A*B=A*BB
Se puede observar que para obtener el producto de dos variables hay que introducirlas
negada en la puerta lgica.
A A
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A A
9.3.Resolucin de ecuaciones mediante operadores NAND. De modo similar al empleado con operadores NOR, procedemos seguidamente a estudiar la
forma de ralizar operaciones lgicas mediante operadores NAND.
9.3.1. Realizacin de una inversin o negacin con una puerta NAND
Cuando todas las entradas de la puerta estn conectadas entre s, nicamente se usa un
operador para negar la entrada.
9.3.2. Realizacin de un producto negado con operadores NAND
La puerta NAND realiza directamente el producto negado, tal y como se muestra an el siguiente figura:
A A*BB
9.3.3. Obtencin de un producto de dos variables sin negar.
La primera puerta realiza el producto y lo deja negado, siendo la segunda la que al volver a negar su entrada lo deja sin negar.
A A*BB
A*B=A*B
9.3.4. Realizacin de una suma con puertas NAND.
Para realizar una suma con operadores NADN se aplica el teorema de Morgan, segn el
cual, el producto de varias variables negadas es igual a la negacin de la suma de dichas
variables:
BABA +=* Una operacin NAND de sus entradas negadas es equivalente a la suma de dichas
entradas.
A A*B=A+B=A+BB
En definitiva, se trata de introducir las entradas negadas en la puerta lgica.
9.4.Ejemplos de resolucin de ecuaciones con operadores NOR y NAND EJEMPLO 1
Obtngase el esquema de puertas lgicas que responde a la ecuacin propuesta,
utilizando nicamente operadores NOR
( )CDABAS ++= * Resolvemos la ecuacin por sumandos, comenzando por el de la izquierda.
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a) Obtencin del producto A*B
A A*BB
b) Obtencin del sumando ( )CDA +* Comenzamos por el interior del parntesis, el cual, dejamos negado :
D D+CC
A+D+C = A*(D+C)=A*(D+C)A
c ) Sumando los trminos anteriores y volviendo a negar la salida obtenemos la salida
deseada.
A
A*B
B
DD+C
CA*(D+C)
A
A
B
D
A
A*B + A* (D+C) A*B + A* (D+C)
EJEMPLO 2 Obtngase el esquema de puertas lgicas que responde a la ecuacin propuesta,
utilizando nicamente operadores NAND
( )CDABAS ++= * a) Obtencin de BA*
A A*BB
b ) Obtencin de )(* CDA +
D D*C=D+CC
A A*(D+C)
C O N C E P T O S D E E L E C T R N I C A D I G I T A L T E C N O L O G A 4 E . S . O .
D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G A I . E . S A N D R S D E V A N D E L V I R A J . G a r r i g s 2 5
d ) Si volvemos a introducir en una puerta NAND las salidas anteriores obtendremos el
resultado deseado.
A A*BB
D D*C=D+CC
A A*(D+C)
(A*B)*[A*(D+C)] = A*B + A*(D+C)
D
Se propone al lector resolver el circuito de puertas lgicas NOR y NAND que se
corresponde con la ecuacin: )(** BADCBAS ++= 10. RESOLUCIN LGICA DE AUTOMATISMOS COMBINACIONALES. Cuando se desea resolver problemas por medio del lgebra de Boole, es muy
recomendable seguir un procedimiento metodolgico basado en 4 fases, que se desarrolla
seguidamente. Existe, no obstante, una fase inicial, no contemplada en la mecnica general de
resolucin, pero que resulta fundamental. Esta fase inicial consiste en una buena comprensin del
enunciado del problema, de forma que ser necesario dedicar todo el tiempo preciso para entender
claramente los objetivos del mismo y deducir que actuar como variables de entrada y cual, o
cuales, sern las variables de salida. A menudo, se emplea un sistema consistente en simular el
problema como una caja negra, cuyas entradas son variables, siendo los resultados las salidas de
dicha caja.
Resultados
SALIDAS
CAJA NEGRAVariables
ENTRADAS
Una vez comprendido el problema y asignadas las variables de entrada y de salida, el
procedimiento operativo es el siguiente:
1 FASE.- Formacin de la tabla de la verdad. En ella se contemplarn todos los estados binarios posibles de las variables de entradas y los que corresponden a las salidas para cada combinacin
establecida, de acuerdo a las condiciones del problema.
2 FASE.- Obtencin de ecuaciones lgicas. Tomando como punto de partida la tabla de la verdad se determinan los diferentes estados de las variables para obtener los resultados buscados. Por
ejemplo, si en el automatismo de un motor M, gobernado por tres variables A, B y C se deduce,
segn la tabla de la verdad, que estar activo en las dos combinaciones siguientes:
a. A= 1, B=0 y C=1
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b. A=0, B=1 y C=1
Estas combinaciones se pueden expresar como:
a. CBA **
b. CBA ** De este modo la ecuacin que controla el motor viene dada por:
CBACBAM **** += 3 FASE.- Simplificacin de las ecuaciones lgicas. La eliminacin de variables dentro de una ecuacin, que es en lo que consiste la simplificacin, supone un ahorro econmico derivado de la
reduccin de componentes, tiempo y mano de obra del montaje. A ttulo de ejemplo, si nos fijamos
en la ecuacin anterior, y sacamos el factor comn, la ecuacin es la misma, pero pasa de seis
elementos a cinco.
( )BABACM *** += 4 FASE.- Representacin elctrica y por puertas lgicas de las ecuaciones simplificadas. Esta fase es de vital importancia pues ser donde se obtienen los planos elctrico y electrnico del
circuito.
10.1.RESOLUCIN DE UN AUTOMATISMO DE LGICA COMBINACIONAL. Una mquina de refrescos tiene y tres pulsadores a, n, y l (a para el agua, n para la naranja l para el limn), y tres depsitos con agua, naranja y limn.
Cada uno de los depsitos est controlado por una electrovlvula: Ea para el depsito del agua, En para el depsito de la naranja y El para el depsito del limn.
Se desea disear el automatismo de control de la mquina de forma que se cumplan las
siguientes condiciones:
a. La mquina puede dar agua, agua con limn y agua con naranja, pero nunca naranja o limn
solos o mezclados.
b. La electrovlvula de cada uno de los depsitos se activar por medio de su correspondiente
pulsador y siempre que se cumplan las condiciones establecidas en el problema.
c. La desconexin de las electrovlvulas se producir cuando el vaso de refresco se haya
llenado, al actuar, debido a su peso, sobre un pulsador cuando el vaso este lleno.
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SOLUCIN DEL PROBLEMA
lna
Botonera
LIMNNARANJAAGUA
Pulsador NCVaso
ElEa En
Fase inicial: Designacin de las variables de entradas salidas. En este ejemplo la cosa es bastante evidente, siendo las variables de entrada los
pulsadores a, n y l, y las variables de salidas las electrovlvulas de cada uno de los depsitos. Si bien el pulsador NC es una variable de entrada, a efectos de resolver el circuito no lo
consideraremos, pues bastar conectarlo en serie con la alimentacin elctrica para cortar la
corriente al circuito cuando el peso del vaso lleno acte sobre l, y de esta forma dejar el
automatismo en estado de reposo.
1 Fase. Tabla de verdad del circuito
Variables de entrada Variables de salida
a n l Ea En El
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 0
1 1 1 0 0 0
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2 Fase. Obtencin de ecuaciones. Obtendremos una ecuacin por cada una de las variables de salida, en nuestro caso Ea, En y El. Ecuacin de la electrovlvula del agua:
Si observamos la tabla de verdad, la electrovlvula del agua se activa en tres estados
distintos, en los que las variables de entrada toman los siguientes valores:
a=1, n=0 y l=0, que se expresa como: lna ** a=1, n=0 y l=1, que se expresa como: lna ** a=1, n=1 y l=0, que se expresa como: lna **
La ecuacin de salida se obtiene como suma de cada uno de los trminos obtenidos para cada estado en que la variable de salida est activa, resultando finalmente:
lnalnalnaEa ****** ++= Ecuacin de la electrovlvula de la naranja:
Como se aprecia en la tabla de la verdad, la electrovlvula de la naranja slo se activa en
un estado que se corresponde con los siguientes valores de las variables de entrada:
a=1, n=1 y l=0
Por lo tanto, la ecuacin de la electrovlvula de la naranja vendr dada por:
lnaEn **= Ecuacin de la electrovlvula del limn:
De forma similar al caso anterior, tal y como se aprecia en la tabla de la verdad, la
electrovlvula del limn slo se activa en un estado que se corresponde con los siguientes valores
de las variables de entrada:
a=1, n=0 y l=1
Por lo tanto, la ecuacin de la electrovlvula del limn vendr dada por:
lnaEn **= 3 Fase. Simplificacin de ecuaciones. En este caso las ecuaciones de las electrovlvulas de la naranja y limn no pueden
simplificarse, puesto que slo tienen un sumando. Con respecto a la ecuacin de la
electrovlvula del agua, considerando la propiedad del lgebra de Boole que indica que A+A=A
obtenemos:
lnalnalnaEa ****** ++= lnalnalnalnaEa ******** +++=
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Sacando factor comn del primer y segundo sumando y del tercero y cuarto
respectivamente, y simplificando tenemos:
)(*
**
)(**)(**
lnaEa
lanaEa
nnlallnaEa
+=+=
+++=
Si nos hubiramos decantado por la simplificacin a travs de los mapas de Karnaugh el
proceso sera el siguiente:
1. Dibujamos un mapa con las tres variables de entrada:
2. Dibujamos un uno en cada uno de los cuadros que se corresponden con los tres sumandos
de la ecuacin de partida de la electrovlvula del agua:
lnalnalnaEa ****** ++= ln
a l l l
3. Hacemos lazos y simplificamos:
Lazo A: la *
Lazo B: na *
nalaEa ** +=
4. Simplificamos la ecuacin sacando factor comn de a:
)(* lnaEa +=
Sea cual sea el mtodo utilizado, llegamos a la conclusin que las ecuaciones
simplificadas de nuestro problema son:
ln
a
Lazo BLazo A
llla
n l
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lnaEl
lnaEn
lnaEa
**
**
)(*
==
+=
4 Fase. Representacin del circuito elctrico y de puertas lgicas: Ser este el momento, que en este caso particular, elegiremos para colocar el pulsador del
vaso.
Circuito elctrico:
Pulsador del vaso
l
a
n
ElEn
n
a
l
Ea
a
ln
Circuito de puertas lgicas:
n n
la Ela*l
a*n*l
a*n*la*n Enan
+ Vcc
Pulsador del vaso
Ea
a*(n + l )a
n+l
nnn al
l l
ll
N O T A : C o n l o s c o n o c i m i e n t o s e s t u d i a d o s h a s t a a q u , e l e s q u e m a d e p u e r t a s l g i c a s
a n t e r i o r s e r a v l i d o , p e r o e n l a p r c t i c a h a y q u e c o m p l e t a r l o c o n a l g u n o s c o m p o n e n t e s
m s ( C i r c u i t o d e p o t e n c i a , r e s i s t e n c i a s d e l o s p u l s a d o r e s d e l a s v a r i a b l e s d e e n t r a d a ,
c o n d e n s a d o r e s d e d e s a c o p l o p a r e l r u i d o e l e c t r n i c o e t c . . ) y a a d i r p a t i l l a j e y
d e s i g n a c i n d e l o s c i r c u i t o s i n t e g r a d o s , a u n q u e e s t o l o v e r e m o s p o s t e r i o r m e n t e .
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11 CIRCUITOS INTEGRADOS DIGITALES. Los circuitos integrados estn formados por un bloque monoltico o sustrato sobre el cual se construyen las diferentes partes, a base de tcnicas de difusin de impurezas P N, con
procedimientos muy parecidos a los empleados en los semiconductores discretos.
Los circuitos integrados digitales son todos aquellos que trabajan sobre la base de dos
estados o niveles, los cuales son: bajo y alto. Con estos estados o niveles es posible realizar con
ellos toda clase de funciones de tipo digital o binario, ya sea en forma de circuitos combinacionales
o secuenciales.
De todas las familias lgicas posibles, en este texto nos centraremos en la denominada
TTL (Lgica Transistor Transistor) por tener buen comportamiento con los fenmenos de
electricidad esttica, un precio econmico en las puertas bsicas y una velocidad de conmutacin
lo suficientemente alta para los requerimientos necesarios en este nivel acadmico.
Las caractersticas de cada uno de los circuitos integrados vienen recogidas en los
llamados DataBook, y es muy fcil encontrar sus especificaciones a travs de Internet. A titulo de
ejemplo, la siguiente figura representa una copia de un DataBook para el circuito integrado TTL,
tipo OR de dos entradas.
Es fcil descifrar los distintos parmetros especificados en la tabla, considerando que:
I significa INPUT (entrada) O significa OUTPUT (salida) L significa LOW (bajo, haciendo referencia al nivel lgico cero). H significa HIGH (alto, haciendo referencia al nivel lgico uno). Vcc significa tensin de alimentacin del circuito integrado en corriente continua. Icc significa corriente de alimentacin del circuito integrado en corriente continua.
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Seguidamente se muestran los esquemas de algunos de los circuitos integrados TTL
de la serie 74xx ms comunes:
SN7400 SN7402
SN7404 SN7408
SN7410 SN7427
SN7432 SN7486
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APNDICE A: SISTEMAS DE NUMERACIN INTRODUCCIN L o s n m e r o s s e p u e d e n r e p r e s e n t a r e n d i s t i n t o s s i s t e m a s d e
n u m e r a c i n q u e s e d i f e r e n c i a n e n t r e s i p o r s u b a s e . A s e l s i s t e m a d e
n u m e r a c i n d e c i m a l e s d e b a s e 1 0 , e l b i n a r i o d e b a s e 2 , e l o c t a l d e
b a s e 8 y e l h e x a d e c i m a l d e b a s e 1 6 . E l d i s e o d e t o d o s i s t e m a d i g i t a l
r e s p o n d e a o p e r a c i o n e s c o n n m e r o s d i s c r e t o s y p o r e l l o n e c e s i t a
u t i l i z a r l o s s i s t e m a s d e n u m e r a c i n y s u s c d i g o s . E n l o s s i s t e m a s
d i g i t a l e s s e e m p l e a e l s i s t e m a b i n a r i o d e b i d o a s u s e n c i l l e z .
SISTEMA DECIMAL
S u o r i g e n l o e n c o n t r a m o s e n l a I n d i a y f u e i n t r o d u c i d o e n E s p a a
p o r l o s r a b e s . S u b a s e e s 1 0 . E m p l e a 1 0 c a r a c t e r e s o d g i t o s
d i f e r e n t e s p a r a i n d i c a r u n a d e t e r m i n a d a c a n t i d a d : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,
8 , 9 . E l v a l o r d e c a d a s m b o l o d e p e n d e d e s u p o s i c i n d e n t r o d e l a
c a n t i d a d a l a q u e p e r t e n e c e . V e m o s l o c o n u n e j e m p l o :
23720030710*210*310*7237 210 =++=++= SISTEMA BINARIO
E s e l s i s t e m a d i g i t a l p o r e x c e l e n c i a , a u n q u e n o e l n i c o , d e b i d o
a s u s e n c i l l e z . S u b a s e e s 2 . E m p l e a 2 c a r a c t e r e s : 0 y 1 . E s t o s v a l o r e s
r e c i b e n e l n o m b r e d e b i t s ( d g i t o s b i n a r i o s ) . A s , p o d e m o s d e c i r q u e l a
c a n t i d a d 1 0 0 1 1 e s t f o r m a d a p o r 5 b i t s . E n l a t a b l a s i g u i e n t e p o d e m o s
v e r l o s p r i m e r o s d i e c i s i s n m e r o s b i n a r i o s y s u e q u i v a l e n t e d e c i m a l .
D e c i m a l B i n a r i o D e c i m a l B i n a r i o
0 0 0 0 0 8 1 0 0 0
1 0 0 0 1 9 1 0 0 1
2 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0
3 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
4 0 1 0 0 1 2 1 1 0 0
5 0 1 0 1 1 3 1 1 0 1
6 0 1 1 0 1 4 1 1 1 0
7 0 1 1 1 1 5 1 1 1 1
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SISTEMA HEXADECIMAL.
Est compuesto por 16 smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Su base es 16. Es uno de los sistemas ms utilizados en electrnica, ya que adems de simplificar la escritura de los nmeros binarios, todos los nmeros del sistema se pueden expresar con cuatro bits binarios al ser 16 = 24.
En la siguiente tabla se muestran los primeros nmeros decimales y su conversin binaria y hexadecimal:
N Decimal N binario N Hexadecimal
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
2 0 0 1 0 2
3 0 0 1 1 3
4 0 1 0 0 4
5 0 1 0 1 5
6 0 1 1 0 6
7 0 1 1 1 7
8 1 0 0 0 8
9 1 0 0 1 9
10 1 0 1 0 A
11 1 0 1 1 B
12 1 1 0 0 C
13 1 1 0 1 D
14 1 1 1 0 E
15 1 1 1 1 F
CONVERSIONES Conversin entre binario y decimal
Si la conversin es de binario a decimal, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de todos sus dgitos cuyo valor sea 1. Veamos dos ejemplos:
100123456
2
10012345
2
87124016642*12*12*12*02*12*02*11010111
4712480322*12*12*12*12*02*1101111
=++++++=++++++==+++++=+++++=
O
Existe otro mtodo ms rpido de convertir un nmero binario a decimal, el cual, consiste en hacer una retcula con tantas celdas como dgitos tenga el nmero binario que deseamos convertir, despus, a cada una de las celdas le asignamos un valor decimal, igual a las potencia de 2, que se corresponde con la posicin de la celda comenzando por 20, 21, 22 y as
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6 4 + 0 + 1 6 + 0 + 4 + 2 + 1 = 8 7 1 0
1 12 1 3
2 1 72
1 11 15
20
02 312
105 62
2125
sucesivamente. Finalmente, sumamos el valor de las celdas donde hay unos binarios, descartando los valores de las celdas que tienen asignados ceros.
Ejemplo: Supongamos que deseamos saber el valor decimal del nmero binario 1010111
Construimos una tabla de una fila y 7 columnas (igual al nmero de dgitos del nmero binario), y asignamos a cada una su valor decimal (en la parte superior)
26 25 24 23 22 21 20
La tabla anterior se puede expresar de la forma:
64 32 16 8 4 2 1
Colocamos en nmero binario en las celdas
64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 0 1 1 1
En la parte inferior, sumamos el valor asignado a las celdas en las que hay un 1 binario, descartando aquellas que tienen un 0 binario.
64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 0 1 1 1
Si la conversin es de decimal a binario, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad decimal dada y se divide sucesivamente entre 2, hasta que el cociente sea igual o menor que 1. El nmero binario se forma tomando el ltimo cociente obtenido y los restos de cada una de las divisiones, en orden inverso a como se han ido obteniendo.
Ejemplo: Pasar a binario 12510
Tal y como se puede apreciar el resultado es: 12510=11111012
Conversin entre binario y hexadecimal
La conversin entre binario y hexadecimal es muy sencilla, para ello, vasta con agrupar los bits de 4 en e 4 aadiendo los ceros que falten para conseguir un mltiplo de 4, y despus sustituir cada agrupacin por su correspondiente dgito hexadecimal.
Ejemplo: Convertir el nmero binario 1011100102 a hexadecimal:
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Dado que tiene 9 dgitos le aadimos tres ceros ms a la izquierda para que sea mltiplo de 4, quedando de la forma: 0001 0111 0010 . Finalmente asociamos cada una de las agrupaciones a su correspondiente dgito hexadecimal, atendiendo a la tabla anterior.
00012= 116 01112=716 00102=216 1 0111 00102=17616 Conversin de hexadecimal a binario.
Se opera de igual forma que para la conversin de un nmero de binario a hexadecimal, pero asociando el dgito hexadecimal a agrupaciones de 4 bits binarios. Ejemplo: Convertir a binario el nmero hexadecimal: A7C16
A16 = 1010 716 = 0111 C16 = 1100
Es decir : A7C16=1010 0111 1100 Conversin de hexadecimal a decimal.
Para convertir un nmero hexadecimal en decimal se emplea el sistema de sumar el valor que representa cada dgito segn su posicin, multiplicando por las diversas potencias de la base, en este caso es 16. Ejemplo: Convertir a decimal el nmero hexadecimal 55F16
55F16= 5*162 + 5*161+F*160=1280+80+15=137510 Conversin de decimal a hexadecimal
Para convertir un nmero decimal en hexadecimal lo iremos dividiendo sucesivamente por 16, y cuando no se puedan continuar las divisiones se formar el nmero en hexadecimal con el ltimo cociente seguido de los restos sucesivos obtenidos desde el final al primero. Ejemplo: Convertir el nmero decimal 248 en hexadecimal.
24810=F816
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Para pasar de binario a decimal
a) 110012 Solucin: 2510 b) 10110110112 Solucin: 73110
2. Para pasar de decimal a binario
a) 86910 Solucin: 11011001012 b) 842610 Solucin: 100000111010102
3. Para pasar de binario a hexadecimal
a) 1100010002 Solucin: 18816 b) 100010,1102 Solucin: 22,C
4. Para pasar de hexadecimal a binario
a) 86BF16 Solucin: 10000110101111112b) 2D5E16 Solucin: 00101101010111102
5. Para pasar de decimal a binario
a) 10610 Solucin: b) 74210 Solucin:
6. Para pasar de decimal a binario
a) 23610 Solucin: b) 5274610 Solucin:
F
88 8 15
16248