Apprendere la matematica: dal problema al modello e dal modello all’astrazione
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Perché la matematica è difficile? Basi scientifiche per una didattica inclusiva Relatore: Anna Baccaglini-Frank
Bologna, 20 Aprile 2015 HOTEL SAVOIA REGENCY
Bologna, 20 Aprile 2015
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Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
Fonti principali di origine (e di incremento) delle difficoltà in matematica
• Fattori epistemologici • Fattori affettivi • Fattori cognitivi • Fattori didattici e sociali
Bologna, 20 Aprile 2015
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Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
Fonti principali di origine (e di incremento) delle difficoltà in matematica
• Fattori epistemologici • Fattori affettivi • Fattori cognitivi • Fattori didattici e sociali
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Fattori Affettivi A. Baccaglini-Frank
Dati raccolti attraverso lo strumento narrativo
Io e la matematica: il mio rapporto con la matematica
(dalle elementari ad oggi)
Ad oggi Pietro Di Martino e Rosetta Zan hanno raccolto e analizzato più di 2000 temi
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Fattori Affettivi A. Baccaglini-Frank
Gli indifferenti emozionalmente nei confronti della matematica sono quasi esclusivamente persone che non hanno avuto problemi con la matematica!
Chi ha difficoltà vive molto spesso una situazione di profondo disagio
Prevalenza di emozioni negative
Dai temi emerge:
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Fattori affettivi A. Baccaglini-Frank
Successo in matematica = non fare errori Successo in matematica = essere veloci (prendere tempo per pensare è visto come una debolezza)
Alcuni fattori che contribuiscono a far “vivere male” la matematica
Imporre la velocità crea ansia. Questo è molto dannoso per l’apprendimento di tutti gli studenti.
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Fattori affettivi – alcune radici cognitive A. Baccaglini-Frank
• La memoria di lavoro gioca un ruolo chiave (più se ne ha più è alto il potenziale di successo)
• Sotto stress l’ansia blocca la memoria di lavoro (sensazione di annebbiamento o vuoto di memoria) • L’ansia in matematica blocca soprattutto gli
studenti con buona capacità di ML che sono quelli con più alto potenziale.
(Beilock)
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Fattori affettivi A. Baccaglini-Frank
Come ti ha fatto sentire il test di oggi? (4° elementare)
• “Preoccupato che non sarei riuscito a finire” • “nervosa: so bene i fatti ma mi fa paura che
potrei prendere un brutto voto” • “nervosa perché non mi piacciono molto i tests” • “nervoso perché ho paura che non finirò o che
farò errori” • “sotto pressione”
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Fattori affettivi A. Baccaglini-Frank
Come ti ha fatto sentire il test di oggi? (2° elementare)
• “non bene” • “agitata” • “nervosa” • “che faccio schifo in matematica” • “triste”
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Fattori affettivi A. Baccaglini-Frank
Attenzione: Pensare in modo profondo richiede tempo!
“Ero sempre molto incerto sulla mia capacità intellettuale; pensavo di essere non-intelligente. E certo era vero che ero, e sono ancora, lento a pensare. Mi ci vuole tempo per afferrare le cose perché le devo capire a fondo. ...Alla fine della scuola superiore ho deciso che la velocità non ha una relazione precisa con l’intelligenza. Quello che importa è capire a fondo le cose e le loro relazioni con altre. Qui sta l’intelligenza. Il fatto di essere veloci o lenti non ha importanza. Ovviamente aiuta essere veloci e avere buona memoria. Ma non è necessario né sufficiente per il successo intellettuale.”
Lauren Schwartz ‘A Mathematician Grappling with his Century’
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Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
This research examined how motivation (perceived control, intrinsic motivation, and extrinsic motivation), cognitive learning strategies (deep and surface strategies), and intelligence jointly predict long-term growth in students’ mathematics achievement over 5 years. [...] Results showed that the • initial level of achievement was strongly related to
intelligence, with motivation and cognitive strategies explaining additional variance.
• In contrast, intelligence had no relation with the growth of achievement over years,
• whereas motivation and learning strategies were predictors of growth.
These findings highlight the importance of motivation and learning strategies in facilitating adolescents’ development of mathematical competencies.
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Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
Fonti principali di origine (e di incremento) delle difficoltà in matematica
• Fattori epistemologici • Fattori affettivi • Fattori cognitivi • Fattori didattici e sociali
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Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
Nel nostro cervello vi è un organo preposto alla percezione e alla rappresentazione delle quantità numeriche; le sue caratteristiche lo collegano senza
dubbio alle facoltà proto-aritmetiche presenti nell'animale e nei bambini molto piccoli:
può codificare con precisione solo gli insiemi il cui numero cardinale non superi il 3 e,
più i numeri sono grandi e vicini tra loro, maggiore è la facilità con cui li confonde. Dehaene, 2010
Come funziona il nostro cervello rispetto ai numeri?
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Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
visivo arabico
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Verbale udi0vo
«se2e»
Analogico S-ma
B
A
C C΄
D D΄
MODELLO DEL TRIPLO CODICE (Dehaene, 1992)
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Fattori cognitivi
Left hemisphere Right hemisphere
Mapping brain dysfunction in Dyscalculia «Core Deficit» hypothesis:
Deficit in the Approximate Magnitude system
(Butterworth, 1999; Gersten & Chard, 1999; Wilson & Dehaene, 2007)
«Access» hypothesis : Deficit Exact Number Representation and the link between Arabic –Magnitude Representation (Rouselle & Noël, 2007, 2011)
A. Baccaglini-Frank
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Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
Defining DD is challenging... A constraint on the depth of our knowledge in this area stems from the paucity of research on DD, particularly relative to research on other learning
disorders... A related obstacle is the lack of universal classification criteria for DD, leading to inconsistent composition of DD samples across studies... Until recently, assessment-based cut-
off scores used to define DD samples were also highly variable.
Mazzocco (2005), Mazzocco & Pekka Räsänen (2013)
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Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
Ipotesi (tipica) di fondo della psicologia cognitiva e delle neuroscienze
Le abilità matematiche sono innate o stabili, spesso anche con sviluppo tipico “predefinito”. Dunque le difficoltà dipendono da una disabilità, probabilmente causata da certi deficit neurologici o sviluppo atipico (potenzialmente causato dai deficit).
(e.g., Butterworth, 2005; Shalev et al., 2001; Augustyniak, Murphy, & Phillips, 2005; Fuchs et al., 2007)
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Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
L’esposizione culturale gioca un ruolo fondamentale
Attenzione che per quanto ci possano essere delle predisposizioni con cui si nasca, non è pensabile che da solo un bambino possa scoprire da solo tutta la matematica nell’arco della sua vita.
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Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
(Karagiannakis, Baccaglini-Frank & Papadatos, 2014)
Si possono ri-organizzare le principali ipotesi avanzate in psicologia e
neuroscienze per studiare i “profili di apprendimento matematico” degli
studenti.
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Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
(Karagiannakis, Baccaglini-Frank & Papadatos, 2014; Karagiannakis, Baccaglini-Frank, & Roussos, under review)
Modello delle componenti cognitive dei ‘profili di apprendimento matematico’
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Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6. Number Lines 0-‐100
7. Ordinality
2. Number magnitude comparison
1.Subi-zing-‐Enumera-on
3.Dots magnitude comparison
4. Addi-on fact retrieval
5.Mul-plica-on facts retrieval
10. Calcula-ons principles
9. Maths terms
8. Number Lines 0-‐1000
13. Word problems
12. Equa-ons
11. Mental calcula-ons
Performance (Stanine scale)
Student 1
Student 2
Memory
Reasoning
Core number
Visual-‐spa0al
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Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
Stile “lombrico” e stile “grillo” Stile lombrico: attaccato alle formule, procedurale, sequenziale, bisogno di documentare tutto Stile grillo: olistico, intuitivo, oppongono resistenza alla richiesta di documentare il loro pensiero.
(Marolda & Davidson, 2000; Chinn, 2012)
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Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
Fonti principali di origine (e di incremento) delle difficoltà in matematica
• Fattori epistemologici • Fattori affettivi • Fattori cognitivi • Fattori didattici e sociali
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Fattori didattici e sociali A. Baccaglini-Frank
In generale, tali fattori vengono studiati sempre di più con quadri teorici di riferimento socio-culturali. Si tende ad un superamento dei modelli “multi-deficit”, inquadrando il fallimento dello studente in una dimensione collettiva che include l’insegnante e il “milieu” sociale.
(per es., Frade, Acioly-Régnier & Jun, 2013; Ben-Yehuda, Lavy, Linchevski & Sfard, 2005; Solomon, 2007; Heyd-Metzuyanim, 2012)
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Fattori didattici e sociali A. Baccaglini-Frank
Uno studio di Einat Heyd-Metzuyanim
Lo studio offre una prospettiva innovativa sulle difficoltà di apprendimento in
matematica, descrivendo la costruzione di un’identità di fallimento in matematica dovuta a meccanismi nell’interazione
intercorsa tra una studentessa e l’insegnante durante un processo di
insegnamento-apprendimento durato diversi mesi.
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Fattori didattici e sociali A. Baccaglini-Frank
Un (necessario) cambiamento di paradigma
Non c’è “disfunzione” da “recuperare/compensare” perché uno studente con MLD possa essere incluso nel curriculum progettato per studenti “normali” e “rimanere al passo”. L’obiettivo della didattica dovrebbe essere quello di massimizzare il potenziale di ciascuno studente di sviluppare un linguaggio matematico (in senso lato).
(Santi & Baccaglini-Frank, 2015)
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Fattori didattici e sociali A. Baccaglini-Frank
due approcci al problema delle difficoltà di
apprendimento in matema-ca
strategie compensa-ve (rapide da
insegnare) per sopravvivere
alla matema-ca scolas-ca
intervento in profondità che può portare anche ad una revisione del programma didaTco
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Esempi di proposte didattiche - PerContare A. Baccaglini-Frank
Esempi di proposte didattiche
Nel progetto PerContare (tra il 2011 e il 2014), grazie ad un lavoro congiunto tra didattici della matematica e psicologi cognitivi, abbiamo sviluppato varie attività per un buon avvio all’aritmetica, a partire dalla transizione dalla scuola dell’infanzia alla scuola primaria.
(altre informazioni a percontare.asphi.it)
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A. Baccaglini-Frank
Entità stimata del fenomeno “falsi positivi”
Esempi di proposte didattiche - PerContare
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A. Baccaglini-Frank Esempi di proposte didattiche - PerContare
Fondamenta teoriche delle pratiche didattiche elaborate
Alcuni elementi chiave ripresi dalla letteratura in didattica della matematica, psicologia cognitiva e neuroscienze sono: • lo sviluppo di “number sense”; • i canali privilegiati per l’accesso e la produzione
dell’informazione; • l’uso di artefatti nella didattica laboratoriale; • la Teoria della Mediazione Semiotica.
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A. Baccaglini-Frank Esempi di proposte didattiche - PerContare
Gli elementi chiave per lo sviluppo di “number sense”
• potenziamento di alcune abilità componenti del “number sense” legate anche all’uso delle dita: gnosia digitale, subitizing (Butterworth, 1999; Gracia-Baffaluy & Noël 2008; Baccaglini-Frank & Maracci, in press);
• consapevolezza della relazione parte-tutto, o “complementarità” (Resnick et al., 1991; Schmittau, 2011);
• consapevolezza di “struttura” in ambito numerico (Mulligan & Mitchelmore, 2013).
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A. Baccaglini-Frank Esempi di proposte didattiche - PerContare
informazione
Visivo-‐verbale A-‐B-‐C
Visivo non verbale
Udi-vo
Cineste-co-‐ taTle
Si impara leggendo
Si impara sulla base di una memoria visiva.
Si impara ascoltando
Si impara facendo
(Stella e Grandi, 2012)
Canali di accesso e di produzione dell’informazione
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A. Baccaglini-Frank Esempi di proposte didattiche - PerContare
informazione
Visivo-‐verbale A-‐B-‐C
Visivo non verbale
Udi-vo
Cineste-co-‐ taTle
Si impara leggendo
Si impara sulla base di una memoria visiva.
Si impara ascoltando
Si impara facendo
(Stella e Grandi, 2012)
Canali di accesso e di produzione dell’informazione
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A. Baccaglini-Frank Esempi di proposte didattiche - PerContare
Guida Classe prima Progetto PerContare
INDICE GRAFICO DEI PERCORSI
BUO
NE
ABI
TUD
INI
PRIM
E A
TTIV
ITA
’
CO
MPL
EMEN
TARI
ETA
’ DEI
NU
MER
I
Introduzione numeri 1-9 I numeri con le mani I numeri con contamani Complementarietà gioco
Introduzione scomposizioni Scomposizioni numeri 1-9 Introduzione 10
NO
TAZI
ON
E D
ECIM
ALE
PO
SIZI
ON
ALE
Introduzione 10
BEE-
BOT
E SP
AZI
O Gioco per la decina Gioco per la decina
Introduzione 10 con linea num. Introduz. 10 con linea num. Rappresentaz. Numeri con mani Giochi mani e contamani
AV
VIO
AL
CALC
OLO
Giochi mani e contamani Gioco intro segno +
Gioco intro segno -
PRO
BLEM
I CO
N
VA
RIA
ZIO
NE
Relazione complementarietà Linea num. finestra scorrevole Rappres. numeri cannucce Avanti-indietro linea num. Confrontare i numeri Confronto numeri Pari e dispari Bee-bot e linea numeri Cannucce e scatole trasp. Calcolo a mente Scopriamo pascalina
Approfondiamo pacalina Gioco con pascalina Gioco pascalina Add. e sott. con pascalina
Intro abaco e b.abaco Lavoro con abaco o b.abaco Lavoro con abaco o
b.abaco
I contenuti delle guide didattiche: classe prima
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A. Baccaglini-Frank Esempi di proposte didattiche - PerContare
I contenuti delle guide didattiche: classe seconda
Guida Classe seconda Progetto PerContare
INDICE GRAFICO DEI PERCORSI
BUO
NE
ABI
TUD
INI C
ON
G
LI S
TRU
MEN
TI(*
)
Gioco con la pascalina *
Introduzione abaco o b.abaco Lavoriamo con abaco o b.abaco Confronto strumenti
NU
MER
I FIN
O A
100
Confronto fra strumenti
Lavoriamo con abaco e b.abaco * Viaggiando fra i numeri *
CALC
OLO
Calcolo a mente * Numeri oltre 20 * Addizione e sottraz. 1
MIS
URA
Introduzione misura bee-bot
Gioco con la pascalina * Addizione e sottraz. 2 Avvio calcolo in colonna
Moltiplicaz- diagrammi Da diagrammi a operaz. 1 Tavolona pitagorica Posizione tavola pitagorica La simmetria Completare buchi
Numeri pari e dispari 1 Multipli: linea e cannucce Numeri pari e dispari 2 Misura quantità continue 1
Misura quantità continue 2 Misura quantità continue 3 Operazioni contestualizzate
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A. Baccaglini-Frank Esempi di proposte didattiche - PerContare
(Baccaglini-Frank & Scorza, in preparazione)
Dati di uno studio longitudinale
anno di entrata nel proge2o
Classi Sperimentali Classi di Controllo
Primo Anno (2011)
4% 7%
Secondo Anno (2012)
(ancora) ND
(ancora) ND
Percentuali di bambini “a rischio” o con diagnosi (in classe terza) di DE pura o in comorbidità
• varietà nelle strategie • elevata accuratezza (da
subito) • nessun bambino non
risponde • tempi più lunghi (di ca 3 m)
di automa-zzazione dei faT
• strategie “standardizzate” • accuratezza minore • vari bambini non rispondono nel calcolo:
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A. Baccaglini-Frank Esempi di proposte didattiche
Idee per una didattica inclusiva nella scuola secondaria • la costruzione e il recupero del significato delle nozioni algebriche e geometriche si possono realizzare tramite un registro di rappresentazione di tipo visuo-spaziale piuttosto che di tipo prevalentemente verbale. • L’approccio visuo-spaziale, che caratterizza l’idea didattica più innovativa, sembra essere efficace sia per attribuire significato ai concetti algebrici (variabile, espressioni, equazioni, ecc.) sia alle procedure manipolative (legate, per esempio, alla soluzione delle equazioni e realizzate tramite l’applicazione di regole e proprietà). • Ciò suggerisce l’importanza, dal punto di vista didattico, delle modalità, degli strumenti e dei contesti con i quali i concetti matematici vengono proposti. Gli strumenti (siano essi carta e penna, abaco, software…) possono mediare l’introduzione di una nuova nozione matematica in modi diversi fornendone, di fatto, diverse rappresentazioni sulla base delle quali elaborare immagini e modelli mentali.
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Esempi di proposte didattiche – Risorse BES A. Baccaglini-Frank
Tangente e derivata Alice e Filippo non hanno ben chiaro il legame tra le nozioni di tangente e derivata e discutono tra di loro.
Bologna, 20 Aprile 2015
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Esempi di proposte didattiche – Risorse BES A. Baccaglini-Frank
Senti Filippo, io ho studiato le definizioni di derivata e di tangente, e so anche le regole per calcolare la derivata di molte funzioni…
ma alla fine non so bene che cosa immaginarmi quando parlo di derivata.
Invece quando penso alla tangente di una funzione mi vedo una retta che è tangente al
grafico...ma che cosa c'entra con la derivata? Che confusione…
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Esempi di proposte didattiche – Risorse BES A. Baccaglini-Frank
Beh, non sono la persona migliore per parlarti di teoria, ma la prima cosa che io
visualizzo per aiutarmi a legare la tangente alla derivata è proprio la "m" della retta tangente, cioè il coefficiente angolare, e questo te lo dà, per ogni
punto, la derivata.
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Esempi di proposte didattiche – Risorse BES A. Baccaglini-Frank
È una questione molto interessante! Vale la pena di approfondirla. Vi ho costruito
questo file (funz_tg.ggb) perché possiate rifletterci ancora un po`.
La funzione nel file è
1-x2 f(x)= ----------- x2+x+2
Cercate di capire che cosa rappresenta la traccia del punto
B.
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Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
Grazie per l’attenzione.
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Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
Bibliografia ASPHI (2011). Il progetto PerContare. All’indirizzo percontare.asphi.it Augustyniak, K., Murphy, J., & Phillips, D. K. (2005). Psychological perspectives in assessing mathematics learning needs. Journal of Instructional Psychology, 32, 277–286. Baccaglini-Frank, A. (2013a). Analisi delle Potenzialità di Applicazioni Multi-Touch per la Costruzione del Significato di Numero Naturale. Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, 36 A N.3, 237-262. Baccaglini-Frank, A. (2013b). Cap. 13, L’uso di ambienti digitali per l’apprendimento. In Elisabetta Genovese, Enrico Ghidoni, Giacomo Guaraldi (a cura di), Discalculia nei giovani adulti Indicazioni e strumenti per uno studio efficace. (153 -158) Erickson Editore. Baccaglini-Frank, A. (2013c). Cap. 14, Agevolare la costruzione di significati matematici con l'uso di software. In Elisabetta Genovese, Enrico Ghidoni, Giacomo Guaraldi (a cura di), Discalculia nei giovani adulti Indicazioni e strumenti per uno studio efficace. (159-190). Baccaglini-Frank, A. (2014). Trattamento dello zero nel progetto PerContare. L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, 37 A N.3, 257-282. Baccaglini-Frank, A. e Gamberini, F (2014a). Guida alle attività per la matematica classe prima. Disponibile online presso l’indirizzo percontare.asphi.it Baccaglini-Frank, A. e Gamberini,F (2014b). Guida alle attività per la matematica classe seconda. Disponibile online presso l’indirizzo percontare.asphi.it Baccaglini-Frank, A. & Scorza, M. (2013a). Il Progetto PerContare – pratiche per una “buona didattica” e metodi per la rilevazione di bambini con difficoltà in matematica. Al convegno “Incontri con la matematica XXVII”, Castel S. Pietro Terme, 8-9-10 novembre 2013.
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Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
Bibliografia Baccaglini-Frank, A. e Scorza, M. (2013b). Gestire gli studenti con DSA in classe uso delle mani e della linea dei numeri nel progetto PerContare. In C. Cateni, C. Fattori, R. Imperiale, B. Piochi, e P. Vighi, Quaderni GRIMeD n. 1, 183-190. Baccaglini-Frank, A. e Robotti, E. (2013). Gestire Studenti con DSA in Classe - Alcuni Elementi di un Quadro Comune, In: ‘Atti del XVIII Convegno Nazionale GRIMeD, 23 - 24 Marzo 2013’, Bologna: Pitagora ed. Butterworth, B. (2005). Developmental dyscalculia. In: J. D. Campbell (Ed.), Handbook of mathematical cognition. New York and Hove, East Sussex: Psychology Press (p. 455–67). Chinn, S. (2012). The trouble with maths. Second Edition. London: Routledge. Dehaene, S. (2010), Il pallino della matematica. Scoprire il genio dei numeri che è in noi. Raffaello Cortina Editore, Milano. Fuchs, L. S., Compton, D. L., Fuchs, D., Paulsen, K., Bryant, J. D., & Hamlett, C. L. (2005). The prevention, identification, and cognitive determinants of math difficulty. Journal of Educational Psychology, 97, 493–513. Gelman, R., & Gallistel, L.C.R. (1978). The child’s understanding of number. Cambridge, MA: Harvard University Press. Karagiannakis, G., Baccaglini-Frank, A., & Papadatos, Y. (2014). Mathematical learning difficulties subtypes classification. Frontiers in Human Neuroscience, 8:57, doi:10.3389/fnhum.2014.00057. Karagiannakis, G., & Baccaglini-Frank, A. (2014). The DeDiMa Battery: A Tool for Identifying Students’ Mathematical Learning Profiles. Health Psychology Review, 2(4), doi: 10.5114/hpr.2014.46329
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Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
Bibliografia Lucangeli, D. (2005). National survey on learning disabilities. Rome: Italian Institute of Research on Infancy. Marolda, M.R. & Davidson, P.S. (2000). Mathematical learning profiles and differentiated teaching strategies. Perspectives, 26(3), 10-15. Noël, MP. (2005). Finger gnosia: a predictor of numerical abilities in children? Child Neuropsychology, 11: 1–18. Santi, G., & Baccaglini-Frank, A. (2015). Possible forms of generalization we can expect from students experiencing mathematical learning difficulties. PNA, Revista de Investigaciòn en Didàctica de la Matemàtica, Universidad de Granada, España. Shalev, R. S., Manor, O., Kerem, B., Ayali, M., Badichi, N., Friedlander, Y., & Gross-Tsur, V. (2001). Developmental dyscalculia is a familial learning disability. Journal of Learning Disabilities, 34(1), 59–65. Simon, T., Hespos, S. J., & Rochat, P. (1995). Do infants Understand Simple Arithemtic? A Replication of Wynn (1992). Cognitive Development, 10(2), 253–269. Steffe, L., Cobb, P., & Von Glasersfeld, E. (1988). Construction of arithmetical meanings and strategies. New York: Springer-Verlag. Wynn, K. (1992). Addition and subtraction in human infants. Nature, 358, 749-759. Zan, R. (2007). Difficoltà in matematica – Osservare, interpretare, intervenire. Springer. Stella, G. & Grandi, L. (2012). Come leggere la dislessia. Giunti.
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