Matemática 1
Módulo 1
Capítulo 1-Aritmética Básica Múltiplo de um número Sendo a, b e c são números inteiros e a . b = k, diz-se que k é múltiplo de a e b. Exemplo: Múltiplos de 3 M(3) = {0, 3, 6, 9, ....} Observações: • O zero é múltiplo de todos os números. • Todo número é múltiplo de si mesmo. • Os números da forma 2k, k ∈ , são números múltiplos de 2 e esses são chamados números pares. • Os números da forma 2k + 1, k ∈ N, são números ímpares. Divisor de um número Sendo a, b e c são números inteiros e a . b = k, diz-se que a e b são divisores de k. Exemplo: Divisores de 12 – D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Observações: • O menor divisor de um número é 1. • O maior divisor de um número é ele próprio. Números Primos
Um número inteiro n (n>1) possuindo somente dois divisores positivos n e 1é chamado de primo. Exemplos: (2,3,5,7,11,13,19,...) Observação: • Um número quando não é primo,é chamado de composto. Quantidade de divisores de um número Para determinar a quantidade de divisores de um número procede-se da seguinte forma: I) Decompõe-se em fatores primos o número dado; II) Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada um desses expoentes adiciona-se uma unidade. III) Multiplica-se os resultados assim obtidos. Exemplo: Determinar o número de divisores de 90 15 = 3.5 (1 + 1).(1+1) = 2.2 = 4 Logo 15 possui 4 divisores Critérios de divisibilidade Divisibilidade Por 2 Um número é divisível por 2 se for par. Exemplos: 28, 402, 5128.
Divisibilidade Por 3 Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplos: 18, 243, 3126. Divisibilidade Por 4 Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou quando o número terminar em 00. Exemplos: 5716, 8700, 198200. Divisibilidade Por 5 Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 ou 5. Exemplos: 235, 4670, 87210. Divisibilidade Por 6 Um número é divisível por 6 se for simultaneamente divisível por 2 e 3. Exemplos: 24, 288, 8460. Divisibilidade Por 8 Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 ou forem três zeros Exemplos: 15320, 67000. Divisibilidade Por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9. Exemplos: 8316, 35289. Divisibilidade Por 10 Um número é divisível por 10 se o último algarismo for zero. Exemplos: 5480, 1200, 345160. Mínimo Múltiplo Comum
Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal que p seja o menor número divisível pelos números em questão. Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8. Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....} M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...} Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24 Processo 2: 6 –8 3 – 4 3 – 2 3 – 1 1 – 1 2.2.2.3 = 24 Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é = 24 Observação: • Se os números da fatoração forem primos o MMC do número dado será o produtos destes números primos. Máximo Divisor Comum Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou mais números o maior dos seus divisores comuns. Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42 Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42} Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é 6. Processo 2: 36 = 22.32 e 42 = 2.3.7 Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3 Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é o produto
de 2.3 =6.
Observações: Em uma questão, como diferenciar MMC e
MDC?
• Quando a questão remeter a algo que irá acontecer novamente, faça o MMC.
2 2 2 3
• Quando a questão quiser dividir em
partes iguais de maior tamanho possível,
faça o MDC.
Exercícios de Base
1) Sejam x e y o M.D.C e o M.M.C de 12 e 20, respectivamente. O valor de x. y é: a) 240 b) 120 c) 100 d) 340 2) número de divisores naturais de 72 é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13
3) Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16 segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão se encontrar de novo no ponto de partida, levando em consideração ambas as velocidades constantes? 4) Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m e 324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos. Queremos dividi-los em faixas que tenham medidas iguais de frente e cujo tamanho seja o maior possível. Então cada faixa medirá na frente: a) 12 m b) 18 m c) 24 md) 30 m e) 36 m
5) Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro alarmes, depois de quanto tempo voltarão a soar juntos? a) 240 horas b) 120 horas c) 32 horas d) 360 horas e) 320 horas
Exercícios de prontidão
1. (Uece 2015) O número de divisores positivos do produto das raízes da equação
22x 114x 56 0 é a) 12. b) 10. c) 8. d) 6. 2. (Uece 2008) A quantidade de números,
inteiros positivos, que são
simultaneamente divisores de 48 e 64 é
a) uma potência de 4. b) um número primo. c) igual a seis. d) igual a oito.
3. (Uece 2008) Foram utilizados 279
algarismos para numerar todas as páginas
de uma apostila, desde a página de
número 1. O número de páginas da
apostila é
a) 120 b) 129 c) 130 d) 139
4. (UECE – 2000.1) Dois relógios tocam uma música periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o outro a cada 62 segundos. Se ambos tocaram (simultaneamente) às 10 horas, que horas estarão marcando os relógios quando voltarem a tocar juntos (simultaneamente) pela primeira vez após as 10 horas? a) 10 h e 31 min c) 13 h e 30 min b) 11 h e 02 min d) 17 h 5. (UECE – 2000.2) Fiz compras em 5 lojas, gastando em cada uma delas a metade do que eu tinha no bolso. Na saída paguei R$ 2,00 de estacionamento e ainda me restaram R$ 20,00. Ao entrar na primeira loja eu tinha: a) R$ 704,00 c) R$ 1.408,00 b) R$ 640,00 d) R$ 1.280,00
6. (UECE – 2009.1) A soma dos números
inteiros n, 3 < n < 12, para os quais a fração
pode ser representada por um número
decimal exato, é
a) 27. b) 29. c) 33. d) 41
7. (UECE – 2010.2) A média aritmética
entre os divisores primos e positivos do
número 2310 é
a) 5,6. b) 6,0. c) 6,3. d) 6,7.
8) (UECE 2010.2 adaptada)Um número
natural é primo quando exatamente tem
apenas dois divisores 1 e o próprio
número. Se a, b, c ,d são os números
primos menores que 10,então a soma de :
é um número racional
localizado entre:
a) 1,0 e 1,1 b) 1,1 e 1,2 c)1,2 e 1,3 d) 1,3 e
1,4
9) Um número natural é primo quando
possui exatamente dois divisores positivos.
Dois números naturais ímpares são
consecutivos quando a diferença entre o
maior e o menor é igual a dois. Se x, y e z
são os três números primos positivos
ímpares consecutivos então a soma
+
+
é igual a
a) 105 73 . b) 105 71 . c) 35 23 . d) 105
10) A expressão numérica 33 163545 é
igual a:
a) 3 1458 b)
3 729
c) 3 702 d)
3 382
A traçoeira armadilha do sucesso é um
alçapão em que costumamos cair quando ,
embriagados por eventuais êxitos,
passamos a nos achar melhores que os
outros, quando não invencíveis, e nos
afastamos da essência do sucesso: a
preparação.” – Bernardinho
Capítulo 2 - Conjuntos Numéricos
Conjunto dos números Naturais (ℕ)
Esse conjunto contém números positivos
incluindo o zero, ele é representado da
seguinte forma:
ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ... }
Observação:
As reticências (...) indica que ele é infinito a
direita.
-Conjunto dos números Inteiros (℞)
Nesse conjunto temos uma novidade, o
acréscimo dos números negativos. Sendo
representado da seguinte forma:
℞= { ..., -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,..}
Observação:
As reticências (...) indicam que o conjunto é
infinito tanto a esquerda quanto a direita.
Conjunto dos números racionais (ℚ)
É o conjunto que tanto contém os números
naturais quanto os inteiros, sendo que a
“novidade” agora são os números com
frações não infinitos,por exemplo: (½, ¾
,...). E os números com vírgula (números
decimais) também não infinitos, por
exemplo: (1,5 ; 1,9 ;2,5 ; e etc.)
ℚ = { ... , -4 ,-3 ,-2 , -1 , -½ , 0 , ½ , 1 , 2 , 5/2
,3 ,4 ,...}
Conjunto dos números irracionais (IR)
É o conjunto que contém os números
naturais, inteiros, racionais e agora os
números infinitos, por exemplo,
3,14159265... , note que esse número não
tem fim, por isso ele é classificado como
irracional.
ℝ = { ..., -4 , - -2,-1 ,0 ,1 ,2 ,3, , ...}
- Conjunto dos números Reais (R)
É o conjunto que engloba todos os outros
conjuntos, ou seja, todos os números
citados anteriormente pertencem aos
reais.
Podemos ter a seguinte representação
gráfica:
IR
Geratrizes de uma dízima periódica Toda fração que dá origem a uma dízima
periódica chama-se
Geratriz. Para determinarmos a Geratriz de
uma dízima periódica, procede-se assim:
I) Dízima Periódica Simples: é um número
fracionário cujo numerador é o algarismo
que representa a parte periódica e o
denominador é um número formado por
Q Z
N
tantos noves quantos forem os algarismos
do período.
Exemplos:
1) 0,777... =
2) 0,333... =
II) Dízima Periódica Composta: é um
número fracionário cujo numerador é a
diferença entre a parte não periódica
seguida de um período e a parte não
periódica, e cujo o denominador é um
número formado de tantos noves quantos
são os algarismos do período,seguido de
tantos zeros quantos são os algarismos da
parte não periódica.
Exemplos:
1) 0,3777... =
=
=
2) 0,32515151... =
=
=
Propriedades dos Reais
• Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a • Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) • Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a • Simétrico: a + (– a) = 0
• Inverso: a .
= 1 a ≠ 0
Exercícios de Base
1) Dado que r é um número racional e Y um
número irracional, é verdade que:
a) x·Y é racional
b) Y2 é racional
c) x·Y pode ser racional
d) x·Y é irracional
e) x + Y é racional
2) Segundo o matemático Leopold
Kronecker (1823-1891), “Deus fez os
números inteiros, o resto é trabalho do
homem.” Os conjuntos numéricos são,
como afirma o matemático, uma das
grandes invenções humanas. Assim, em
relação aos elementos desses conjuntos, é
correto afirmar que:
a) o produto de dois números irracionais é
sempre um número irracional.
b) a soma de dois números irracionais é
sempre um número irracional.
c) entre os números reais 3 e 4 existe
apenas um número irracional.
d) entre dois números racionais distintos
existe pelo menos um número racional.
e) a diferença entre dois números inteiros
negativos é sempre um número inteiro
negativo.
3) Em relação aos principais conjuntos
numéricos, é CORRETO afirmar que:
a) Todo número racional é natural, mas
nem todo número natural é racional.
b) Todo número inteiro é natural, mas nem
todo número natural é inteiro.
c) Todo número real é natural, mas nem
todo número natural é real.
d) Todo número racional é inteiro, mas
nem todo número inteiro é racional.
e) Todo número irracional é real.
Exercícios de prontidão
1) Considere as seguintes equações: I. x2 + 4 = 0 II. x2 – 4 = 0
III. 0,3x = 0,1 Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar que: a) II são números irracionais b) III é um número irracional c) I e II são números reais d) I e III são números não reais e) II e III são números racionais
2) Se um conjunto A possui 1024
subconjuntos, então o cardinal de A é igual
a:
a)5b)6c)7d)10
3) Sejam x e y números tais que os
conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais.
Então, podemos afirmar que:
a) x = 0 e y = 5
b) x + y = 7
c) x = 0 e y = 1
d) x + 2 y = 7
“Pedras no caminho? Guardo todas, um dia
vou construir um castelo…”
Fernando Pessoa
Capítulo 3- Conjuntos
Teoria dos Conjuntos
De uso corrente em Matemática, a noção básica de conjunto não é definida, ou seja, é aceita intuitivamente e, por isso, é chamada noção primitiva. Ela foi utilizada primeiramente por Georg Cantor (1845-1918), matemático nascido em São Petersburgo, mas que passou a maior parte de sua vida na Alemanha. Segundo Cantor, a noção de conjunto designa uma coleção de objetos bem definidos e discerníveis, chamados elementos do conjunto.
Pretendemos aqui introduzir alguns conceitos que também consideramos inicias. Conjunto: designado, em geral, por uma letra maiúscula (A, B, C, ..., X, Y, Z); Elemento: designado, em geral, por uma letra minúscula (a, b, c, ..., x, y, z); Pertinência: a relação entre elemento e conjunto, denotada pelo símbolo , que se lê “pertence a”.
Representação dos Elementos Exemplos: 1. Seja A o conjunto das cores da
bandeira brasileira, então: A = {verde, amarelo, azul, branco} 2. Seja B o conjunto das vogais do nosso
alfabeto, então: B = {a, e, i, o, u} 3. Seja C o conjunto dos algarismos do
sistema decimal de numeração, então: C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Diagrama de Venn
A apresentação de um conjunto por meio
do diagrama de Venn é gráfica e, portanto,
muito prática. Os elementos são
representados por pontos interiores a uma
linha fechada não entrelaçada. Dessa
forma, os pontos exteriores à linha
representam elementos que não
pertencem ao conjunto considerado.
Exemplo: Seja B o conjunto das vogais do
nosso alfabeto.
Relação de pertinência Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A. Quando for, dizemos que:
Caso contrário, dizemos que a não
pertence a A e escrevemos a A. Exemplo: Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8} O algarismo 2 pertence ao conjunto A, então: 2 A. O algarismo 7 não pertence ao conjunto A,
então: 7 A. Símbolos Matemáticos
a pertence a a e escrevemos a a
Subconjuntos Relação de Inclusão
Dizemos que o conjunto A está contido
no conjunto B se todo elemento que
pertencer a A, pertencer também a B.
Indicamos que o conjunto A está contido
em B por meio da seguinte simbologia:
Observ
ações:
I) Podemos encontrar outra notação para a
relação de inclusão:
II) O conjunto A não está contido
em B quando existe pelo menos um
elemento de A que não pertence a B.
Indicamos que o conjunto A não está
contido em B desta maneira:
Exemplos:
Se o conjunto A está contido no
conjunto B, podemos dizer o seguinte:
que A é um subconjunto de B. Como todo
elemento do conjunto A também pertence
ao conjunto A, podemos dizer também
que A é subconjunto de A e, por extensão,
todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
Importante:
A relação de pertinência relaciona um
elemento a um conjunto e a relação de
inclusão refere-se, sempre, a
dois conjuntos.
Exemplo 1:
Considerando P o conjunto dos números
naturais pares e N o conjunto dos números
naturais, temos:
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}
< (é menor que)
> (é maior que)
≤ (é menor ou igual a)
≥ (é maior ou igual a)
{ } ou (conjunto vazio)
(“para todo” ou “para
qualquer que seja)
e
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
Neste caso P N, pois todos os
elementos de P pertencem a N.
Representação por diagrama:
Exemplo 2: Se A é o conjunto dos
retângulos e B é o conjunto dos
quadriláteros, então A B, pois todo
retângulo é um quadrilátero.
Representação por diagrama:
Exemplo 3:
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3}, B = {0,
1, 2, 3, 4, 5} e C = {0, 2, 5}, temos:
a) A B, pois todo elemento de A
pertence a B;
C A, pois 5 C e 5 A;
B C, pois todo elemento de C pertence a
B.
b) Um diagrama de Venn que representa os
conjuntos A, B e C é o seguinte:
Determinação do Conjunto de partes
Vamos observar, com o exemplo a seguir, o
procedimento que se deve adotar para a
determinação do conjunto de partes de um
dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3,
5}. Para obtermos o conjunto de partes
do conjunto A, basta escrevermos todos os
seus subconjuntos:
1) Subconjunto vazio: , pois
o conjunto vazio é subconjunto de
qualquer conjunto.
2º) Subconjuntos com um elemento: {2},
{3}, {5}.
3º) Subconjuntos com dois elementos: {2,
3}, {2, 5} e {3, 5}.
4º) Subconjuntos com três elementos:A =
{2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto
dele mesmo.
Assim, o conjunto das partes
do conjunto A pode ser apresentado da
seguinte forma: P(A) = { , {2},
{3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}.
Número de Elementos do conjunto de
partes
Podemos determinar o número de
elementos do conjunto de partes de
um conjunto A dado, ou seja, o número de
subconjuntos do referido conjunto, sem
que haja necessidade de escrevermos
todos os elementos do conjunto P(A).
Igualdade De Conjuntos
Dois conjuntos são iguais se, e somente se,
eles possuírem os mesmos elementos, em
qualquer ordem e independentemente do
número de vezes que cada elemento se
apresenta.
Veja o exemplo abaixo:
{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}
Por isso, convencionamos não repetir
elementos de um conjunto.
Observação:
Se o conjunto A está contido em B (A B)
e B está contido em A (B A), podemos
afirmar que A = B.
Observação
Se A não é igual a B, então A é diferente de
B e escrevemos A ≠ B.
Operações Com Conjuntos
União de Conjuntos:
Dados dois conjuntos A e B, a união (ou
reunião) é o conjunto formado pelos
elementos de A mais os elementos de B. E
é indicado por A B (lê-se: A união B ou
A reunião B). Representamos a união de
dois conjuntos da seguinte forma:
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e
B = {2, 4, 6, 8, 10}, calcular A B .
Se A tem n elementos, P(A) tem 2n
elementos.
Sol.: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}
Graficamente, temos:
Observe que os elementos comuns não são
repetidos.
Intersecção de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, a intersecção é
o conjunto formado pelos elementos que
pertencem simultaneamente a A e B. E é
indicado por A B (lê-se: A intersecção B
ou, simplesmente, A inter B).
Representamos a intersecção de dois
conjuntos da seguinte forma:
Exemplo:
Sendo A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 9},
determinar A B .
Solução.:
A B = {3, 5, 8}, apenas os elementos
comuns
a A e B.
Graficam
ente:
Exemplo
Calcule M N onde M = {2, 3, 5} e N = {4,
6}.
Solução.: M N , não há elementos
comuns. Nesse caso, dizemos que os
conjuntos são disjuntos.
Diferença de Conjuntos:
Dados os conjuntos A e B, podemos
determinar um conjunto cujos elementos
pertencem ao conjunto A e não pertencem
ao conjunto B. Esse conjunto é chamado
diferença entre A e B e indicado por A – B,
que se lê “A menos B”. Assim, define-se:
A – B = {x | x A e x B}
Graficamente, temos:
Exemplo :
Calcular
A – B,
sabendo
que A =
{3, 4, 6,
8, 9} e B
= {2, 4, 5, 6, 7, 10}.
Solução .: A – B = {3, 8, 9}, elementos que
estão em A mas não estão em B.
Exemplo
Sendo A = {1, 3, 5} e B = {0, 1, 3, 5, 6},
calcule A – B.
Solução .: A – B = , não existe
elemento de A que não pertença a B.
Exercícios de base
1. (Uerj 2015) Em uma escola circulam dois jornais: Correio do Grêmio e O Estudante. Em relação à leitura desses jornais, por parte dos 840 alunos da escola, sabe-se que: - 10% não leem esses jornais; - 520 leem o jornal O Estudante; - 440 leem o jornal Correio do Grêmio. Calcule o número total de alunos do colégio que leem os dois jornais. 2. (G1 - ifsp 2014) Uma empresa decidiu realizar uma pesquisa de mercado para o lançamento de um novo produto. Aos consumidores foi perguntado o que é levado em consideração na hora de comprar um produto: preço (P) e/ou qualidade (Q). Cada consumidor entrevistado poderia escolher mais de um item da pesquisa como mostra a tabela a seguir:
Característica do
Produto
Número de
Votos
P 60
Q 45
P e Q 35
Admitindo que todos os que foram entrevistados escolheram pelo menos um dos itens da pesquisa, o número de consumidores entrevistados foi de a) 60. b) 65. c) 70. d) 75. e) 80. 3. (Cefet MG 2013) Em uma enquete realizada com pessoas de idade superior a 30 anos, pesquisou-se as que estavam casadas ou não, se tinham ou não filhos. Constatou-se que 45 pessoas não eram casadas, 49 não tinham filhos, e 99 estavam casadas e com filhos. Sabendo-se que 180 pessoas responderam a essa enquete, o número das que se declararam não casadas e sem filhos foi de a) 13. b) 23. c) 27. d) 32. e) 36. 4. (Fatec 2013) Em uma pesquisa de mercado sobre o uso de notebooks e tablets foram obtidos, entre os indivíduos pesquisados, os seguintes resultados: - 55 usam notebook; - 45 usam tablet, e - 27 usam apenas notebook. Sabendo que todos os pesquisados utilizam pelo menos um desses dois equipamentos, então, dentre os pesquisados, o número dos que usam apenas tablet é a) 8 b) 17 c) 27 d) 36 e) 45 5. (G1 - ifsp 2012) Em um restaurante de uma empresa fez-se uma pesquisa para saber qual a sobremesa preferida dos funcionários: pudim ou gelatina. Cada funcionário poderia indicar que gosta das duas sobremesas, de apenas uma, ou de nenhuma das duas. Do total de pesquisados, 21 declararam que
gostam de pudim, 29 gostam de gelatina, 10 gostam dessas duas sobremesas e 12 não gostam de nenhuma dessas duas sobremesas. Pode-se então afirmar que o número de pesquisados foi a) 52. b) 62. c) 72. d) 82. e) 92.
Exercícios de prontidão
1. (Uece 2015) Em um grupo de 300 alunos de línguas estrangeiras, 174 alunos estudam inglês e 186 alunos estudam chinês. Se, neste grupo, ninguém estuda outro idioma além do inglês e do chinês, o número de alunos deste grupo que se dedicam ao estudo de apenas um idioma é a) 236. b) 240. c) 244. d) 246. 2. (Uece 2015) No colégio municipal, em uma turma com 40 alunos, 14 gostam de Matemática, 16 gostam de Física, 12 gostam de Química, 7 gostam de Matemática e Física, 8 gostam de Física e Química, 5 gostam de Matemática e Química e 4 gostam das três matérias. Nessa turma, o número de alunos que não
gostam de nenhuma das três disciplinas é a) 6. b) 9. c) 12. d) 14. 3. (Uece 1997) Sejam Z o conjunto dos
números inteiros,
I = {x ∈ Z; 0 ≤ 2(x + 4)/3 ≤8} e J = {x ∈ Z; (x -
2)2 ≥ 4}.
O número de elementos do conjunto I ⋂ J
é:
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11
4) Se um conjunto A possui 1024
subconjuntos, então o cardinal de A é igual
a:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 9
e)10
Não somos o que a sociedade e o acaso
fizeram de nós, e sim o que escolhemos
ser, desde o mais profundo do nosso ser.”
Peter Koestenbaum
Capítulo 4- Função
Introdução a função:
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e
uma relação R de A em B, essa relação será
chamada de função quando para todo e
qualquer elemento de A estiver associado
a um único elemento em B.
Formalmente:
f é função de A em B ⇔ (∀x ∈ A, ∃| y ∈
B|(x, y) ∈ f)
Em outras palavras:
Dados dois conjuntos não-vazios A e B, são
uma função de A em B é uma regra que diz
como associar cada elemento xA a um
único elemento yB.
Usamos a seguinte notação:
f: AB ou A fB
Lê: f é uma função de A em B.
Domínio, Imagem E Contradomínio
I)Domínio de uma função f (D(f)) é o
conjunto formado pelos primeiros
elementos dos pares ordenados (x, y)
pertencentes a função.
Pela definição de função, todos os
elementos de A têm um único
correspondente em B; logo, o domínio de f
sempre é o conjunto A .
I)Imagem de uma função f(Im(f)) é o
conjunto formado pelos segundos
elementos dos pares ordenados (x, y)
pertencentes a f.
Im (f) → B
II) Contradomínio é o conjunto B.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = { -2, -1, 0, 1} e B = {-
2, -1, 0, 1, 2, 3} e a função f: A B, definida
por f(x) = x + 1, determine:
D(f) = ( -2,-1,0,1)
Im(f) = (-1 , 0,1,2)
Cd(f) = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
Valor de uma Função Denomina-se valor numérico de uma função f(x) o valor que a variável y assume quando a variável x é substituída por um valor que lhe é atribuído. Por exemplo: considere a relação y = x2 , onde cada valor de x corresponde um único valor de y. Assim se x = 3, então y = 9. Podemos descrever essa situação como: f(3) = 9 Exemplo Dada a função f(x) = x + 2. Calcule o valor de f(3) Solução: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3 f(3) = 3 + 2 f(3) = 5 Exemplo 2
Dada a função f(x) = x2 - 5x + 6. Determine o valor de f(-1). Solução: f(x) = x2 - 5x + 6, devemos fazer x = -1 f(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 6 f(-1) = 1 + 5 + 6 f(-1) = 12
Função polinomial de 1°
Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x ∈ R, associa o elemento ax + b. Lei de formação f(x) = ax + b com a ≠ 0. a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear. Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º
grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta
oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y =
3x - 1
Como o gráfico é uma reta, basta obter
dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio
de uma régua:
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1;
portanto, um ponto é (0, -1).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1;
portanto, 3
1x e outro ponto é
0 ;
3
1.
Marcamos os pontos (0, -1) e
0 ;
3
1 no
plano cartesiano e ligamos os dois com
uma reta.
x y
0 -1
0
Função de 1º grau crescente e
decrescente
Regra geral:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente
Tipos de função
Função Afim
Definição: Uma função é chamada de
função Afim se sua sentença for dada por
f(x) = ax + b, sendo a e b constantes reais
com a 0, onde x é a variável
independente e y = f(x) é a variável que
dependente de x.
Função Identidade
f: tal que: f (x) = x
Função constante
f: tal que: f (x) = c, sendo c ∈ :
Função Linear
f: tal que f (x) = ax (a 0)
Função Par
Uma função é dita par se, e somente se,
f(x) = f(–x) x pertencente ao domínio de f.
Observe que uma função par tem o gráfico
simétrico com relação ao eixo y (veja o
exemplo).
Ex.:
Função Ímpar
Uma função é dita ímpar se, e somente se,
f(x) = – f(–x) x pertencente ao domínio de
f.
Observe que uma função ímpar tem o
gráfico simétrico com relação à origem
(veja o exemplo).
Função Sobrejetiva (Sobrejetora):
Uma função f: é uma função sobrejetiva se
a imagem de é igual ao contradomínio de f.
Função Injetiva (Injetora):
Uma função f: S→T é injetiva ou um-para-
um se nenhum elemento de T for imagem
de dois elementos distintos de S.
Função Bijetiva (Bijetora):
Uma função f: S → T é bijetora se for, ao
mesmo tempo, injetiva e sobrejetiva.
Como Encontrar A Função Inversa
Dada a função f(x), para encontrar a função
g(x) = f-1(x), troca-se f(x) por y, depois y por
x, depois x por y, depois isola-se a variável
y e por fim troca-se y por g(x). Pronto, está
encontrado a função f-1(x).
Observação:
Nem todas as funções admitem inversa
(apenas admitem inversa as funções
bijetoras) e as que admitem inversa, em
muitas delas o cálculo acima é muito difícil,
logo, nem todas as questões de função
inversa devem ser resolvidas por esse
método, lembre-se que o domínio de uma
função é a imagem de sua inversa, que a
imagem de uma função é o domínio de sua
inversa e que o gráfico de f e de f-1 são
simétricos em relação a bissetriz dos
quadrantes ímpares. A saída pode estar aí.
Função Composta
Seja f uma função de um conjunto A em
um conjunto C e seja g uma função de C
em um conjunto B. Chama-se função
composta de g e f à função h de A em B em
que a imagem de cada x é obtida pelo
seguinte procedimento:
1o) aplica-se a x, a função f, obtendo-se f(x)
2o) aplica-se a f(x), a função g, obtendo-se
g(f(x))
Indica-se h(x) = g(f(x))
Pode-se indicar a composta por g o f (lê-se:
g composta com f ou g bola f) portanto (g o
f)(x) = g(f(x)).
Estudo do Sinal
I) a > 0
II) a < 0
Regra Prática:
Exercícios de base
1)Seja f:R R a função definida por
3xse5
3x2se4x
2xse0
)x(f 2
Então o valor de )13(f)2(f)2(f é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
2) Dada a função :f , definida por
4
2x3)x(f
, )7(f 1 vale:
a) 10 b) 11 c) 11
d) 13 e) 14
3) O valor de x que é a solução da equação
x2
3x11
3
2x
satisfaz a desigualdade:
a) x < –6 b) –3 < x < 2 c) 3 < x < 9 d) x > 10
4) Seja f uma função real de variável real, definida por f(x) = ax + b. Se f(-1) = -6 e f(1) = -4, calcule b2 – a2.
5) Seja a função f:R R definida por:f(x) = 5 – 7x. Se g é a função inversa de f, então a abscissa do ponto de interseção dos gráficos de f e g é:
a) 1/4 b) 3/8 c) 1/2 d)
5/8
Exercícios de prontidão
1) O conjunto solução da inequação 1x2
1
<x1
1
, tendo como conjunto universo o
conjunto dos números reais, é:
a)
1xou2
1x/Rx
b)
1x0ou0x2
1/Rx
c)
1xou0x2
1/Rx
d) 1xou1x0/Rx
e)
1x0ou2
1x/Rx
2 )A área do triângulo cujos vértices são os pontos de interseção dos gráficos das funções f,g: R R, dadas por f(x) = 2x + 4 e g(x) = –0,5x + 4, com os eixos coordenados é:
a) 10 ua b) 15 ua
c) 20 ua d) 25 ua
3 )Sabendo que a função: f(x) = mx + n
admite 5 como raiz e f(-2) = -63, o valor
de f(16) é:
4) A função y = ax + b passa pelo ponto
(1,2) e intercepta o eixo y no ponto de
ordenada 3.
Então, a − 2b é igual a:
a) −12 b) −10 c) −9 d) −7 e) n.d.a.
5) Determine a função inversa de f(x) =
x
1x
a)x1
1
b)
x1
1
c)
x1
x1
d)x1
x1
e)x + 1
Se ficar olhando muito tempo para o abismo, o
abismo olhará para você. Cuidado com o que prende
sua atenção! Foque-se nas sua metas !” –
Desconhecido
Capítulo 5 Função 2°
Denomina-se função do 2o grau ou função quadrática, toda função f: R →R definida por: f(x) = ax² + bx + c /com a, b, c R e a ≠0. Raízes ou Zeros As raízes de uma função do 2o grau são os valores de x que tornam f(x) = 0. Esses valores são encontrados pela fórmula de Báskara:
0cbxaxcbxax)x(f 20)x(f2
a2
bx
a2
bx
a2
bx
2
1
onde ac4b2 (delta ou discriminante) Observação:
Se > 0 → a equação possui duas raízes reais e distintas.
Se = 0 → a equação possui duas raízes reais e iguais.
Se < 0 → a equação não possui raízes reais.
1. Gráfico O gráfico de uma função do 2o grau (f(x) = ax² + bx + c) é uma parábola onde as raízes da função são os pontos onde a parábola toca o eixo x e o número real c, representa o ponto onde a parábola toca o eixo y. Podemos ter os seguintes casos: I) a > 0 e > 0
II)a > 0 e = 0
III) a > 0 e < 0
IV) a < 0 e > 0
V) a < 0 e = 0
VI) a < 0 e < 0
Soma das raízes de equação do 2° Considere uma função do 2º grau do tipo
f(x) = ax² + bx + c, onde x1 e x 2 são as raízes.
Temos:
x1+x2 =
Produto das Raízes de equação do 2°
x1.x2 =
Coordenadas do Vértice da Parábola As coordenadas do vértice são dadas por:
a2
bxV
a4y V
I) Se a > 0, temos: Parábola com a concavidade voltada para cima;
O YV =
é denominado de valor mínimo.
O conjunto imagem é dado por:
}a4
y/Ry{)fIm(
II) Se a < 0, temos: Parábola com a concavidade voltada para baixo;
O YV =
é denominado de valor máximo.
O conjunto imagem é dado por:
}a4
y/Ry{)fIm(
É importante lembrar-se que:
Se pedirem o valor máximo ou mínimo da função, então estão pedindo o yv . Se pedirem o valor que torna a função máxima ou mínima, então estão pedindo o xv . Se pedirem o ponto máximo ou mínimo da função, então estão pedindo o vértice V(xv, yv). Estudo do Sinal
I): a > 0 e > 0 y > 0 → x < x1 ou x > x2 y = 0 → x = x1 ou x = x2 y < 0 → x1 < x < x2
II): a > 0 e = 0 y > 0 → x ≠ x1 y = 0 → x = x1 = x2
y < 0 → Rx
III): a > 0 e < 0
y > 0 → Rx
y = 0 → Rx
y < 0 → Rx
IV): a < 0 e > 0 y > 0 → x1 < x < x2 y = 0 → x = x1 ou x = x2 y < 0 → x < x1 ou x > x2
V): a < 0 e = 0
y > 0 → Rx y = 0 → x = x1 = x2 y < 0 → x ≠ x1
VI): a < 0 e < 0
y > 0 → Rx
y = 0 → Rx
y < 0 → Rx Exercícios de base
1)(UECE) Seja a função real definida por f(x) = x2 – 3x. O conjunto de todos os valores reais
de x para os quais f(x + 1) 0 está contido no intervalo: a) [-1, 2] b) [0, 3] c) [2, 4] d) [-2, -1]
2) (UECE) Se a função quadrática f(x) = 5x² + 9x + m tem dois zeros reais e distintos, então o maior valor inteiro de m é: a) 3 b) 4 c) 5 d)6
3) Sejam m e n raízes da equação x2 + m+ n =
0. Se m 0 e n 0, então m + igual a: a) –1/2 b) 1/2 c) –1 d)1 4) O lucro de um fabricante com venda de certos objetos é L(x) = 400(15 - x)(x - 2), onde x é o preço de venda por unidade. O preço de venda por unidade para se obter o lucro máximo, em R$, é: a) 4,00 b) 6,80 c) 8,50 d) 9,20 e) 12,00 5) (UECE – 2004.2) Se s e p são,
respectivamente, a soma e o produto das
raízes da equação
x x 21 0
1 x x
,
então:
a) s = p b) sp é negativo c) s p d)
s p
Exercícios de prontidão
1) (UECE 2009.2)A parábola que é o
gráfico da função f : R → R, definida
por f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, tem
seu vértice no ponto (1, -16) e sua
interseção com os eixos coordenados
contém um ponto cuja ordenada é y =
-15.
Para esta função, f(-2) é igual a
a) -3. b) -5. c) -7. d) -9.
2) (UECE 2010.1)
Seja f : R→ R a função definida por f(x)
= ax2 + bx + c, onde a, b e c são
números reais não nulos. Se a função f
assume um valor máximo quando x = -
, então podemos afirmar
corretamente que,
A) se o valor máximo de f for um
número negativo, então c é um
número positivo e a equação f(x) = 0
não tem raízes reais.
B) se o valor máximo de f for um
número positivo, então c é um
número positivo e a equação f(x) = 0
tem duas raízes reais.
C) se o valor máximo de f for um
número positivo, então c é um
número negativo e a equação f(x) = 0
tem duas raízes reais.
D) se o valor máximo de f for um
número positivo, então a equação f(x)
= 0 tem duas raízes reais e uma delas
será sempre um número negativo.
3 (Uece 2015) Se a função real de variável
real, definida por 2f(x) ax bx c, é tal
que f(1) 2, f(2) 5 e f(3) 4, então o
valor de f(4) é
a) 2. b) 1. c) 1. d) 2. 4 (Uece 2015) Um objeto é lançado verticalmente, para cima, de forma que a altura alcançada h, medida em metros, e o
tempo decorrido após o lançamento t,
medido em segundos, estão relacionados
pela equação 2h 120t 5t 0.
Considerando h 0 e t 0 no instante do lançamento, então o tempo decorrido desde o lançamento até alcançar a altura máxima, e a altura máxima atingida são respectivamente a) 10 seg e 700 m. b) 12 seg e 720 m.
c) 12 seg e 800 m. d) 10 seg e 820 m.
5. (Uece 2010) A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a desigualdade x2 - 32x + 252 < 0. O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto a) {12, 13, 14}. b) {15, 16, 17}. c) {18, 19, 20}. d) {21, 22, 23}. 6 (Uece 2008) A função quadrática f
assume seu mínimo quando x = 2 e é tal
que seu gráfico contém os pontos (-1, 0) e
(0, - 5). O valor de f(4) é
a) - 4 b) - 5 c) 5 d) 4
7) (UECE 2012.1) Se o gráfico da função f :
R R, definida por f(x) = x2 + bx + c,
intercepta o eixo dos y no ponto (0,4),
então pode-se afirmar corretamente que
a) a equação f(x) = 0 admite duas raízes
reais e positivas.
b) a equação f(x) = 0 não admite raízes
reais.
c) o produto das raízes da equação f(x) =0
é – 4.
d) a equação f(x) = 0 admite raízes reais
quando b 4 ou b – 4.
8) (UECE 2012.2)
Se as equações x2 – 6x + k = 0 e x 2 – 2x + 1
= 0 admitem uma raiz comum, então, o
valor de k é
A) 2. B) 3. C) 4. D) 5.
9) (UECE 2014.1)
Sejam f:R R a função definida por f(x) = x2 + x + 1, P e Q pontos do gráfico de f tais que o segmento de reta PQ é horizontal e tem comprimento igual a 4 m. A medida da distância do segmento PQ ao eixo das abscissas é A) 5,25 m. B) 5,05 m. C) 4,95 m. D) 4,75 m
“Felicidade é quando o que você pensa, o
que você diz e o que você faz estão em
harmonia.” – Desconhecido
Capítulo 6-Equação e Função
Modular
Definição de uma equação modular
Sendo x R, define-se módulo ou valor
absoluto de x, que se indica por |x| ou
abs(x), através da relação:
0
0
xsex
xsexx
Isto significa que:
O módulo de um número real positivo é igual ao próprio número. O módulo de um número real negativo é igual ao simétrico desse número.
Exemplos:
| +2 | = +2 | –7 | = +7 | 0 | = 0
Propriedades
I. |x| 0, x R
II. |x| = 0 x = 0
III. |x||y| = |xy|
IV. |x|2 = |x2| = x2, x R
V. |x + y| |x| + |y| (desigualdade triangular)
VI.
Nkknsex
Nkknsexxn n
,12,
*,2,||
Equações Modulares
O estudo das equações modulares será
mostrado através da resolução dos casos
mais comuns de equações desse tipo.
Exemplo
Resolva as equações:
a) 62 x
1º modo
4;8
46286262
V
xouxx
2º modo
032436446262 2222 xxxxxx
Logo,Resolvendo a equação do 2º grau,
obtemos 84 ''' xex . Assim
temos: 4;8 V
b) 143 xx
1º modo
5
4;
3
2
5
4
3
2
143134
)14(3143143
V
xoux
xxouxx
xxouxxxx
2º modo
032436446262 2222 xxxxxx
Resolvendo a equação do 2º grau, obtemos
5
4
3
2 ''' xex . Assim temos:
4;8 V
Inequações Modulares
Ao invés de decorarmos como se resolvem as inequações modulares, vamos aprender, através de um processo prático, de onde vem a estrutura de análise.
Exemplo:
| x | = 7 x = –7 ou x = 7
Conclusão:
I. |x| a e a > 0 –a x a
II. |x| < a e a > 0 –a < x < a
III. |x| a e a > 0 x –a ou x a
IV. |x| > a e a > 0 x < –a ou x > a
Exercícios de base
1) (Ufc 2008) Dadas as funções f : IR IR e g : IR IR definidas por f (x) = │1 - x2│ e g (x) = │ x │, o número de pontos na interseção do gráfico de f com o gráfico de g é igual a:
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 2. (G1 - cftce 2006) O conjunto de soluções da equação │ x - 1 │ + │ x - 2 │ = 3 é:
a) {0,1} b) {0,3} c) {1,3} d) {3} e) { } 3. (G1 - cftce 2004) A respeito da função f(x) = │x│, é verdadeira a sentença:
a) f(x) = x, se x < 0 b) f(x) = - x, se x > 0 c) f(x) = 1, se x ∈ IR d) o gráfico de f tem imagem negativa e) o gráfico de f não possui imagem
negativa 4. (Ufrgs 2013) A interseção dos gráficos
das funções f e g, definidas por f x x
e g x 1 x , os quais são desenhados no
mesmo sistema de coordenadas cartesianas, determina um polígono. A área desse polígono é a) 0,125.
b) 0,25.
c) 0,5.
d) 1.
e) 2. 5. (Uft 2008) Sejam f e g funções reais de
uma variável real definidas por:
f(x) = │ x - 1 │ e g(x) = 5
A área da região limitada pelos gráficos
dessas funções é:
a) 10 unidades de área. b) 30 unidades de área. c) 50 unidades de área. d) 25 unidades de área.
Exercícios de prontidão
1)(Ufrj 2008) Considere a função f: IR IR
definida por f(x) = │1 - x │. Determine os
valores de x para os quais f(x) = 2.
2) O conjunto solução de 1 < |x – 3| < 5 é o
conjunto dos números x tais que:
a)]-2, 2[ ]4, 8[ b) ]2, 4[ ]4, 8[ c)]-2, 2[ d) [4, 8]
3) A solução da inequação (2x −1)2 ≤ 5 a) {x ∈ ℜ| – 2 ≤ x ≤ 3} b) {x ∈ ℜ| – 1 ≤ x ≤ 6} c) {x ∈ ℜ| x ≤ 3} d) {x ∈ ℜ| x ≤ 7} e) {x ∈ ℜ| – 3 ≤ x ≤ 2}