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UBC – Curso de Engenharia
Cinemática e Estática
INTRODUÇÃO
O que é Física.
“Física é a mais fundamental das ciências naturais, e é também aquela cuja
formulação atingiu o maior grau de refinamento [1]”. Com esta frase o Prof. Moysés
Nussenzveig inicia a seção Relações entre a física e outras ciências, de seu livro
didático para turmas de graduação. Desde a pré-história o homem tenta compreender o
mundo que o cerca e os fenômenos que afetam direta ou indiretamente sua vida. Dentre
as muitas ferramentas que utilizou para tentar entender o mundo, há aquelas que
permitem criar modelos que podem ser confrontados com experiências, com fatos, com
estruturas racionais etc... A estes procedimentos para entender o mundo chamamos de
ciência. De acordo com o filósofo da ciência K. Popper, podem ser chamadas de ciência
as disciplinas intelectuais que admitem a refutabilidade. Em outras palavras; uma
atitude científica é aquela que, ao se propor uma teoria ou hipótese, procuram-se
evidências (experiências, outras estruturas intelectuais, etc...) que confirmem ou
neguem esta teoria ou hipótese. Em geral a esta atitude chama-se método científico.
A Física é a ciência que emprega de forma mais radical o método científico
para compreender os fenômenos mais fundamentais d a natureza. Mais por uma questão
de disciplina intelectual do que propriamente por características da natureza, a Física é
dividida em áreas, tais como:
Mecânica, que estuda os movimentos dos corpos e suas causas;
Eletrodinâmica, que estuda as cargas elétricas e as forças que atuam
sobre elas; Termodinâmica, que estuda os processos gerados por
diferenças de temperatura; óptica, que estuda a luz e suas
propriedades;
Relatividade, q u e estuda as propriedades dos corpos a velocidades
próximas á da luz; Física quântica, que estuda os fenômenos no mundo
microscópico, etc...
Neste texto será introduzida a mecânica q u e , de um modo muito simples,
pode ser dividida em Cinemática, que estuda como os corpos se movem, Dinâmica, que estuda
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as causa dos movimentos dos corpos e Estática, que estuda sistemas onde há equilíbrio de forças.
Mais especificamente, será abordada aqui a Cinemática.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I H.M. Nussenzvbeig, Curso de Física Básica, vol. 1 , Seção 1. l, pag. 2,3a edição, Edgar Blücher, SP (1996).
Como resolver problemas de Física !
1ª ETAPA: LER O PROBLEMA: É preciso saber ler, quer dizer, ser capaz de imaginar a cena
que o enunciado descreve. Nem sempre entendemos tudo o que está escrito, mas podemos estar
atentos aos detalhes para "visualizar" corretamente o que se está dizendo.
2ª ETAPA: FAZER UM ESQUEMA: Fazer um esquema ou desenho simples da situação ajuda
a visualizá-la e a resolvê-la. Procure indicar em seus esquemas informações básicas como o
sentido e os valores envolvidos. Preste atenção que uma frase como "dar ré" indica o sentido do
movimento do objeto em questão.
3ª ETAPA: MONTE AS EQUAÇÕES E FAÇA AS CONTAS: Uma equação só faz sentido se
você sabe o que ela significa. Sabemos que é possível resolver a nossa questão porque há a
conservação da quantidade movimento total de um sistema. Quer dizer, a soma das quantidades
de movimento antes e depois do choque deverá ter o mesmo valor. Com isso, você consegue
montar as contas.
4ª ETAPA: INTERPRETE OS VALORES. (A ETAPA MAIS IMPORTANTE!) Muito bem,
você achou um número! Mas ainda não resolveu o problema. Não queremos saber somente o
número, mas também o que aconteceu. O número deve nos dizer isso. Olhando para ele você
deve ser capaz de chegar a alguma conclusão. DESCONFIE DOS NÚMEROS!!! Existe uma
coisa que se chama erro nas contas, que pode nos levar a resultados errados. Pense bem no que o
número está lhe dizendo e avalie se é uma coisa razoável. Se achar que há um erro, confira suas
contas e o seu raciocínio. Se o número insistir em lhe dizer coisas absurdas, considere a
possibilidade de que aquilo que você esperava não ser realmente o que acontece na prática.
Leituras de Física - MECÂNICA
GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física
Instituto de Física da USP
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Grandezas Físicas
As grandezas físicas são as peças com as quais as leis físicas são montadas, isto é, para que
as leis físicas possam ser expressas é necessário utilizar conceitos denominados grandezas
físicas. Estas grandezas físicas devem possuir padrões e unidades, bem estabelecidos, para que as
leis físicas possuam coerência.
Para atender aos requisitos físicos as grandezas físicas básicas devem ser bem definidas,
isto é, suas definições devem ser precisas e claras. As grandezas físicas estão divididas em
grandezas fundamentais e grandezas derivadas.
As grandezas fundamentais não podem ser definidas em função de outras grandezas, e
são: comprimento, ângulo, tempo, massa, diferença de temperatura e carga elétrica.
As grandezas derivadas são definidas em função de grandezas fundamentais e ou outras
grandezas derivadas, e são exemplos: força, velocidade, aceleração, densidade, suscetibilidade
magnética, velocidade angular, torque, etc.
As grandezas físicas devem possuir unidades, e estas por sua vez são estabelecidas em
função dos processos operacionais utilizados para fazer a medição de cada grandeza, em
laboratório ou simplesmente no dia a dia. Desta forma em cada região da Terra foram
desenvolvidas formas diferentes de fazer a medição de cada grandeza, originando unidades
diferentes em cada região, o que estabeleceu diferentes sistemas de unidades. Embora, ainda
hoje, continuem diversos sistemas de unidades em uso, houve uma tentativa criar se um sistema
que todos utilizassem, que foi denominado Sistema Internacional de Unidades (S.I.), adotado
por um grande número de países, entre os quais o Brasil, sendo adotado como Sistema Legal de
Unidades do Brasil a partir da 11a Conferência Geral de Pesos e Medidas, realizada em outubro
de 1960. As unidades das grandezas fundamentais são respectivamente: comprimento em metro
m , ângulo em radianos rad (embora seja usual utilizar graus ), tempo (intervalo) em
segundos s , massa em quilogramas kg , diferença de temperatura em Kelvin K e carga
elétrica em Coulomb C .
Obs.: A escala de diferenças de temperatura em Kelvin inicia com K0 (zero absoluto) a
uma temperatura de C, 16273 da escala graus Celsius, cujo zero de escala C0 é a
temperatura normal da fusão do gelo. Note-se ainda que o intervalo de CK 11 . Desta
forma é normal usar C na prática, ao invés de K .
ANÁLISE DIMENSIONAL
A - INTRODUÇÃO
I - Para que serve a Análise Dimensional?
- para verificação da validade de fórmulas - para a previsão de
fórmulas
- para o estudo de sistemas de unidades
- para o desenvolvimento da teoria dos modelos
II - Estruturação
A Análise Dimensional, sendo um assunto relativamente simples, está estruturada sobre 2
conceitos primitivos e 3 postulados.
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a. Conceitos primitivos
Grandeza (símbolo: G)
São exemplos de grandezas: comprimento, massa, tempo, aceleração, velocidade, força,
intensidade sonora, quantidade de calor, temperatura, nível sonoro, carga elétrica, etc.
Dimensão de uma grandeza (símbolo: dim G ou [G])
Embora seja um conceito primitivo, podemos apresentar um conceito prático de dimensão:
Dimensão é a propriedade que permite diferenciar as grandezas entre si. Por exemplo, as
grandezas largura e comprimento são idênticas, então, têm dimensões iguais. Noutro exemplo,
sabemos que área e comprimento são grandezas diferentes. Logo, suas dimensões são diferentes.
b. Postulados
Postulado I - Dado o conjunto de todas as grandezas conhecidas, é sempre possível se escolher
um subconjunto finito de tal modo que todas as grandezas podem ser escritas como produtos de
potências dessas grandezas do subconjunto. Estas grandezas são independentes entre si.
As grandezas do subconjunto são chamados de grandezas fundamentais. As demais são
chamadas de grandezas derivadas. Para a Mecânica as grandezas fundamentais são:
Comprimento,massa e tempo ou comprimento, força e tempo. Quando se estuda eletricidade, as
grandezas fundamentais geralmente usadas são comprimento, massa, tempo e corrente elétrica.
Podemos ter outros subconjuntos de grandezas fundamentais. A condição para a
existência deles é que as grandezas sejam independentes entre si, isto é, na definição de uma
delas não pode estar presente outra grandeza fundamental. Por exemplo: as grandezas
comprimento e área não podem estar no mesmo subconjunto das fundamentais, pois a área, a
menos de uma constante de proporcionalidade, é dada por comprimento ao quadrado.
Postulado II- A mesma relação de produto de potências que existe entre as grandezas existe
também entre suas dimensões.
EX: velocidade = (comprimento) / (tempo)
dim(velocidade) = (dim comprimento).(dim tempo)-1
área = (comprimento).(comprimento)
dim(área) = dim(comprimento)2
Quando estamos estudando Mecânica e utilizando as fundamentais comprimento, massa e
tempo, todas as demais grandezas são derivadas.
Por exemplo, a grandeza derivada velocidade é dada pelo produto das potências
(comprimento).(tempo). A grandeza derivada área é dada pelo produto da potência comprimento:
(comprimento).(comprimento).
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As grandezas fundamentais tem dimensões como qualquer outra grandeza, suas
dimensões são representadas por símbolos específicos. dimensão do comprimento = dim(comprimento) = [comprimento] = L dimensão da massa = dim(massa) = [massa] = M
dimensão do tempo = dim(tempo) = [tempo] = T
Quando aparecer a força como fundamental, sua dimensão será F. Toda vez que escolhermos as
dimensões L, M, T como fundamentais, diremos que estamos trabalhando com sistemas tipo
LMT. No outro caso, teremos sistemas tipo LFT.
Postulado III - Este postulado dá as propriedades operatórias das dimensões.
dim G + dim G = dim G => dim (G + G) = dim G
Ex. dim(força de atrito) + dim(força centrípeta) = dim(força)
------------------------------------------------------------
Se p é um número real:
p.dimG = dimG e dim p.G = dim G
Ex. 2 dim(força) = dim(2.força) = dim(força)
------------------------------------------------------------
dim G .dim G = dim G2 = dim
2 G ou (dim G)
2
Ex.. dim(área) = dim(comprimento).dim(comprimento)
= dim(comprimento.comprímento)]
= dim(comprimento)2
= (dim comprimento)2
-----------------------------------------------------------
dim G1 . dim G2 = dim(G1.G2)
din (G1/G2) = dim G1/dim G2
dim(massa).dim(aceleração) = dim(massa.aceleração)
dim G n = (dim G)
n
EX: dim(comprimento)3 = (dim comprimento)
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B - DETERMINAÇÃO DE EQUAÇÕES DIMENSIONAIS NO SISTEMA LMT
III - Determinação da dimensão de alguma _grandezas
Utilizando-se os três postulados vamos determinar as dimensões de algumas grandezas
derivadas em função das dimensões das grandezas fundamentais.
Comecemos pela grandeza área (A):
por definição:
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Área = (comprimento)2 ou simbolicamente A = l
2
O postulado I está satisfeito pois esta grandeza ë definida por um produto da grandeza
fundamental comprimento. Pelo postulado II temos:
dim A = dim l2
Logo: dim A = dim l2 = (dim l)
2 =(L)
2 = L
2
Alguns autores exigem que na dimensão de uma grandeza apareça sempre as dimensões LMT
das grandezas fundamentais. Desse modo
dim A = L2 = LM°T°
Para outros autores, a dimensão é dada pelo conjunto formado pelos expoentes de L, M e T
(sempre nessa ordem), então:
dim A = (2, 0, 0)
Vamos trabalhar mais um pouco. Determinemos a dimensão do volume:
Volume = (comprimento)3. Logo: V = l
3 e dim V = dim l
3.
Daí: dim V = (diml)3
= L ou L3M
0T
0 ou (3, 0, 0)
Façamos mais alguns:
Velocidade
Velocidade = tempo
distância ou
t
Sv
;
t
Sv dimdim , dimv =
T
L, ou
L1M
0T
1 ou (1, 0, -1)
Aceleração
aceleração = velocidade = dim a = dim v ,
tempo dim t
dim a = LT-2
ou LM0T
-2 ou (1, 0,-2)
Força
força = (massa).(aceleração), F = m . a
dim F = dim m . dim a
dim F = (M)(LT-2
) = LM0T
-2 ou(1, 1, -2)
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Trabalho
trabalho = (força)(deslocamento) ou W = F . d
dim W = dim F.dimd = (LMT-2
).(L) = L2MT
-2 ou (2,1,-2)
Energia Cinética E = 2
. 2vm
dim E = M(LT-1
)2= ML
2T
-2 ou L
2 M T
-2 ou (2, 1, -2)
Repare que trabalho e energia cinética deram dimensões iguais. Isso, no entanto, é um resultado
esperado, pois Trabalho e Energia são o mesmo tipo de grandeza.
Continuemos o treino.
Momento de uma força (ou torque)
Momento = (força)(braço do momento)
braço do momento é uma distância
M = F . d
dim M = dim F . dim d
dim M = (LMT2)(L)
dim M = L2 M T
-2 ou (2,1,-2)
Repare que momento também deu a mesma dimensão de trabalho e energia. No entanto,
momento e trabalho (ou energia) não são grandezas iguais. A diferença que existe entre essas
grandezas é que momento é vetorial e trabalho escalar.
A partir desse resultado, podemos apresentar um resultado importante:
Se:
G1 = G2 => dim G1 = dim G2, Isto é sempre verdade: Grandezas iguais têm dimensões
iguais.
Se:
dim G1 = dim G2, Dimensões nem sempre iguais são de grandezas iguais.
Voltemos ao treino:
Rendimento:
Rendimento = Trabalho útil - ou motor
útil
W
W
Trabalho motor
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Dim = L2MT
-2 = 1 ou L
0M
0T
0 ou (0,0,0)
L2MT
-2
Grandezas como essa, que têm dimensões 1 ou (0,0,0) são chamadas adimensionais. São
adimensionais também:
Ângulo plano, seno de um ângulo, cosseno de um ângulo, coeficiente de atrito, nível sonoro,
etc.
C – HOMOGENEIDADE
IV - Equação Homogênea
Definição: "Uma equação é homogênea se todos os seus termos têm a mesma dimensão.Caso
contrário, ela é heterogênea".
Postulado: "Toda equação física válida é homogênea".
Observação:
Sendo válida, é homogênea. Nem sempre, porém, sendo homogênea é válida. Existe apenas
uma alta probabilidade.
Aplicação: Verificação de homogeneidade de equações:
Exemplo: Verificar se a equação v2 = 2gh é homogênea
dim v2 = (dim v)
2 = (LT
-1)
2 = L
2T
-2
dim 2gh = dim 2.dim g.dim h = 1.LT-2
. L = L2T
-2
Como as dimensões deram iguais, a equação é homogênea.
Para você treinar:
Verificar a homogeneidade das equações:
a)E = mv2/2 b) F.d = m.a.vt
2 c) P
2 = Pot.d
1/2
onde:
E = energia m = massa v = velocidade a = aceleração
t = tempo P = Pressão Pot = potência
D - PREVISÃO DE FÓRMULAS
V - Outra aplicação da análise dimensional:
Vamos mostrar esta aplicação através de exemplos.
Exemplo l:
Sabemos que a variação da pressão (P) dentro de um líquido é dada em função da densidade
(dv)do líquido, da aceleração da gravidade (g) e da profundidade (h). Prever a fórmula que
relaciona p com d, g e h.
Pelo Postulado do item 3: p = k . dx . g
y . h
z (k = número real) Logo: d im p = dim k . d
x . g
y .
hz
9
dim p = dim k.dim dx.dim g
y.dim h
z
dim p = dim k.(dim d)X.(dim g)
y.(dim h)
z
Vamos calcular as dimensões:
pressão = L-1
M T
-2
densidade = L-3
M T
0
volume = L3M
0T
0
g é aceleração = L M
0T
-2
h é a profundidade (comprimento). dim h = L
Substituindo:
L-1
M T
-2 = (L
-3 M)
X (L T
-2)
Y(L)
Z
L-1
M T
-2 = L
3x+y+Z M
x T
2y
Comparando os expoentes:
L: -1 = -3x+y+z
M: 1 = x
T : -2 = -zy
Resolvendo o sistema:
x = 1 , y = 1 e z = 1 p = k . d
1. g
1. h
1
ou
p = k . dgh
Exercícios
1. A freqüência de oscilação de um pêndulo é função do comprimento do pêndulo e da
aceleração da gravidade. Prever a fórmula que relaciona frequência com o comprimento e
aceleração.
2. A velocidade angular de um corpo é função da força centrípeta, da massa e do raio da
trajetória. Prever a fórmula que relaciona a velocidade angular com aquelas grandezas.
3. A aceleração da gravidade num ponto é função de pressão, da altura e da densidade. Prever a
fórmula que relaciona essas grandezas.
4. Qual a dimensão do co-seno de um ângulo?
5. Qual a dimensão da aceleração da gravidade?
6. A dimensão do rendimento total
útil
Pot
Pot , é zero ou um? Por quê?
7. Sabemos que um sistema de unidades só pode ser formado se escolhermos como fundamentais
grandezas independentes entre si. Se as grandezas são dependentes, não podemos escrever uma
fórmula relacionando-as simultaneamente. Baseado nisso, verifique se ë possível montar um
sistema PDF (pressão, densidade, força).
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8. Em uma dada experiência, chegou-se à conclusão de que potência da máquina utilizada era
função da massa do corpo arrastado, da sua aceleração e da velocidade em cada instante. Prever a
fórmula da potencia.
9. 0 coeficiente da viscosidade de líquidos é dado pela fórmula:
v
dgr V2
9
2
onde r é o raio de um tubo, g a aceleração da gravidade, dV a densidades e v é uma velocidade.
Determine a dimensão.
10.Verificar se a equação abaixo ë homogênea:
(energia potencial)2. (velocidade) = (força) (Pressão)
2
11. Verificar se é possível relacionar numa fórmula pressão com densidade e aceleração.
12. Se o tempo de queda de um corpo for função da altura em que se encontra e da aceleração da
gravidade, qual seria sua fórmula.
13. Verifique a homogeneidade das equações: 2/13 WVBL onde L = comprimento, B = área
da base, W = trabalho e V = volume
14. Um avião é movido à hélice. Sua potência é função do raio da hélice, de sua velocidade
angular e da densidade absoluta do ar. Determinar a expressão que relaciona estas grandezas.
15. A frequência fundamental de vibração de um fio é função de sua densidade linear, do
comprimento do fio e da força tensora. Prever a fórmula da frequência.
16. Se em vez de usar a densidade linear, usamos densidade volumétrica, como fica a fórmula
anterior?
17. A lei da gravitação universal prevê que a força de atração entre os corpos é dada pela
fórmula: 2
'.
r
mmGF Determinar a dimensão LMT da constante G.
18. Verificar se é possível escrever uma fórmula relacionando a velocidade v de um corpo com
sua massa m e sua energia cinética Ec.
19. Existe um teorema que afirma que o impulso aplicado a um corpo é igual à variação
correspondente de seu momento linear. Nestas condições, o que podemos afirmar a respeito das
dimensões do impulso e do momento linear? Mostre depois, que sua afirmação é correta de
terminando essas dimensões.
20. Co-seno arco (ou ângulo) são grandezas adimensionais. Determine então, a dimensão de w
na equação que se segue:
x = A.cos (w.t )
onde: x é a distância, A e a amplitude do movimento, t e tempo
21. Qual a dimensão de B para que valha lha a relação: daEBv ..2 , onde v = velocidade, E =
energia, a= aceleração e d= densidade volumétrica.
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22. A lei de Hooke estabelece a relação entre a força F aplicada a uma mola e sua conseqüente
elongação X. kXF Qual a dimensão de K? Qual seria unidade no MKS?
23. Um móvel, para se mover numa superfície horizontal precisa sofrer ação de uma força F que
depende do coeficiente de atrito f, de sua massa m e da aceleração da gravidade. Determinar a
fórmula que relaciona essas grandezas.
24. 5e o momento de inércia de um disco é dada por I = m R2, onde m ë sua massa e R seu raio.
Qual a dimensão de I?
25. Um dependente de Física descobriu que a energia potencial de um corpo é função de seu
peso, de sua altura e de sua aceleração. Descubra a fórmula que relaciona energia com peso,
altura e aceleração; saiba porque esse aluno era dependente.
26. Verifique se a fórmula que segue é homogênea e depois, usando seus conhecimentos de
Física, verifique se ela é verdadeira: Momento = (massa) (velocidade)2
27. 0 empuxo exercido por um liquido sobre um corpo nele imerso é função da densidade d do
líquido, da aceleração da gravidade g e de uma terceira grandeza. Descubra a dimensão dessa
grandeza e tente identificá-la. Dados: a) a terceira grandeza n'4o depende da massa, b) os
expoentes da densidade e da aceleração da gravidade de são iguais
28. A fórmula que relaciona o trabalho W com a massa m, a aceleração da gravidade e uma
certa grandeza G é:
W = m.g.G
Determine a dimensão da grandeza G.
29. Verifique agora, se é possível relacionar como fundamentais de um sistema de unidades:
energia - E
densidade - D
período – T
----------------------------------------------------------------------------------------------------
OBS: Não esqueça de treinar as deduções das fórmulas dimensionais obtidas na
sala de aula.
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Unidades Fundamentais do SI
Grandeza Nome Símbolo Definição
comprimento metro m “... o comprimento do percurso coberto pela luz, no vácuo, em 1/299.792.458 de um segundo.” (1983)
massa quilograma kg “... este protótipo (um certo cilindro de liga de platina-irídio), será considerado daqui por diante a unidade de massa.” (1889)
tempo segundo s “... a duração de 9.192.631.770 vibrações da transmissão entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.” (1967)
corrente elétrica ampère A
“... a corrente constante que, mantida em dois condutores
retilíneos, paralelos, de comprimento infinito, de secção
circular desprezível e separados pela distância de 1 metro no
vácuo, provoca entre esses condutores uma força igual a 2.10-7
newtons por metro de comprimento.” (1946)
temperatura termodinâmica
kelvin K “... a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto
triplo da água.” (1967)
quantidade de substância
mol mol
“... a quantidade de substância de um sistema que contém tantas
entidades elementares quanto são os átomos em 0,012 quilogramas
de carbono 12.” (1971)
intensidade luminosa
candela cd
“... a intensidade luminosa, na direção perpendicular, de uma
superfície de 1/600.000 metros quadrados, de um corpo negro na
temperatura de solidificação da platina, sob a pressão de 101,325
newtons por metro quadrado.” (1967)
Os principais sistemas LMT são MKS(SI), CGS e o Ingles FPS. As unidades fundamentais
estão relacionadas na tabela que se segue:
Sistema Unidades Fundamentais
L M T
MKS(SI) metro (m) quilograma (kg) segundo (s)
CGS centímetro (cm) Grama (g) segundo (s)
FPS Foot (pé) (ft) Pound(libra) (pd ou lb) segundo (s)
Os principais sistemas LFT são MKS* (técnico) ou FPS* (técnico)
Sistema Unidades Fundamentais
L F T
MKS* metro (m) Quilograma força
(kgf) segundo (s)
FPS* Foot(pé) (ft) Libra força
(lbf) segundo (s)
OBS: a) O quilograma força é definido como a força que, aplicada a um corpo de massa de 1
kg, produz uma aceleração de 9,81 m/s2.
Então: 1 kgf = 9,81 N
b) A unidade de massa no MKS* é chamada utm ( unidade técnica de massa)
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c) A unidade de massa no FPS* é slug. O slug se define como a massa que se desloca a uma
aceleração de 1 ft/s² quando se exerce uma força de uma Libra força sobre ela.
Tabela de Análise dimensional
Grandeza Símbolo
Dimensões
LMT
Dimensões
LFT
Unidades (SI)
Comprimento (distância) s L L
metrom
Massa m M ramalogquikg
Tempo (intervalo) t T
segundos
Área (superfície) SA 2L 2L
2m
Volume V 3L 3L
3m
Velocidade v 1LT 1LT
s/m
Aceleração a 2LT 2LT
2s/m
Velocidade angular (freqüência) 1T 1T
s/rad
Aceleração angular 2T 2T
2s/rad
Massa específica (densidade) ML 3
24FTL
3mkg
Quantidade de movimento p 1LMT FT smkg
Elongação (mola) d L L m
Raio (círculo, esfera) r L L m
Comprimento de onda L L m
Força F 2LMT F newtonsmkgN 2
Energia total E 22 MTL LF joulesmkgJ 22
Energia cinética K 22 MTL LF 22 smkgJ
Energia potencial (interna) U 22 MTL LF 22 smkgJ
Trabalho W 22 MTL LF 22 smkgJ
Potência P 32 MTL 1LFT
wattsmkgW 32
Pressão p 21 MTL FL 2
pascalmNP 2
pascalsmkgP 2
Aceleração gravitacional (Campo) g 2LT 2LT
2s/mkgN
Calor Q 22 MTL LF 22 smkgJ
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Torque (momento de uma força) 22 MTL LF 22 smkgmN
Freqüência f 1T 1T
s/ciclos
Entropia S 22 MTL - KsmkgKJ 22
Potencial gravitacional V 22 TL - 22 s/mkgJ
Período T T - s
Momento de inércia I ML2
- 2mkg
Diferença de potencial elétrico V 122 QMTL
- voltsCmkgV 22
Força eletromotriz 122 QMTL
- 22 sCmkgV
Carga Elétrica q Q - coulombC
Temperatura (diferença) q - - kelvinK
Ângulo (deslocamento angular) - - radianorad
Unidades derivadas.
Como foi visto anteriormente, em toda a mecânica são necessárias somente três
grandezas físicas fundamentais, a distância, o tempo e a massa. Logo, são necessárias somente
três unidades fundamentais, o metro o segundo e o quilograma. Todas as demais unidades de
grandezas físicas utilizadas na mecânica são derivadas destas três. Por exemplo, a unidade de
velocidade no SI é o metro por segundo (m/s). A força, que tem nome e símbolo próprios no
SI, tem unidade de kg m/s2.
Para se determinar qual a unidade de uma determinada grandeza derivada, é necessário
conhecer a "fórmula" para o cálculo desta grandeza. Para tanto trabalha-se com as dimensões
das grandezas físicas conforme visto na análise dimensional.
Há outros sistemas de unidades ainda adotados oficialmente em alguns países que
podem parecer bastante estranhos para nós. O Sistema Britânico, por exemplo, tem algumas
peculiaridades muito interessantes, como: 12 polegadas equivalem a um pé e 3 pés equivalem a
1 jarda. Ou ainda, 14 onças equivalem a 1 libra e 32 libras a uma pedra....
Tabela : Alguns fatores de conversão de unidades
1 polegada 25,4 mm
1 pé 304,8 mm
1 jarda 0,9144 m
1 milha 1,609 km
1 ano-luz 9,461 x 1015
km
1 hora 3.600s
1 ano 3,156 x 107 s
1 tonelada 1.000 kg
1 libra peso 0,4535 kg
1 unidade de massa atômica 1,66 x 10 27
kg
1 onça 32,4 g
15
1 milha 1,609 km
l milha/hora 1,609 km/h
1 pé/segundo 0,3048 m/s
1 caloria 4,184 J
1 eV (elétron-Volt) 1,602 x 10-19
J
1 BTU (British Thermal Unit) 1054 J
1 HP 746 W
Mesmo no Brasil, são utilizadas não oficialmente algumas unidades que não pertencem
ao SI, como verificado. No entanto, sempre é possível converter de uma unidade não-SI para
uma unidade SI desde que se conheça o fator de conversão.
Exemplo 1: Sabendo-se que uma milha equivale a 1.609 m, então, 4,5 milhas equivalem a
7.240,5 m, ou ainda, a 7,2405 km.
Exemplo 2: Usando o fator de conversão do exemplo anterior, 100 km equivalem
aproximadamente a 62,15 milhas.
Notação científica
Para facilitar a expressão de medições que sejam múltiplos muito grandes ou frações
muito pequenas das grandezas fundamentais do SI, é utilizada a notação científica. Nesta
notação, qualquer número é escrito como o produto de um número entre 1 e 10 e uma
potência apropriada de 10.
Exemplo l : 25000 = 2,5 x 104 onde:
• 2,5 é chamado de coeficiente e deve possuir somente um algarismo à esquerda da
vírgula, sendo que este algarismo deve ser diferente de zero.
• 104 é chamada de ordem de grandeza, e deve ser uma potência inteira de dez.
Exemplo 2: a massa do elétron é aproximadamente 0,00000000000000000000000000000091
kg, ou, em notação científica, 9,1x10-31
kg, ou ainda, a velocidade da luz no vácuo é
aproximadamente 300.000.000 m/s, ou, em notação científica, 3x 108 m/s.
Exemplo 3:
A = 30,050 = 3,0050 x 101 (5 significativos)
B = 0,0070 = 7,0 x 10 -3
(2 significativos)
C = 10204,57 = 1,020457x 104 (7 significativos)
D = 0,000050 10 = 5,010x 10-5
(4 significativos)
E = 1,540 (4 significativos)
Além das unidades do SI, como o metro, quilograma e segundo, também se pode usar
“outras” unidades, como o milímetro e nanosegundo onde o prefixo mili e nano significam várias
potências de dez. Alguns prefixos são freqüentemente utilizados para expressarem potências de
16
dez, por exemplo: 10-3
m, é equivalente a 1 milímetro (mm) e, 103 m corresponde a 1 quilômetro
(km). Igualmente, 1 kg é 103 gramas (g) e 1 megavolt (MV) é 10
6 volts (V).
Tabela de Prefixos do SI (notação de Engenharia)
Potência Prefixo Símbolo
1024
iota Y
1021
zeta Z
1018
exa E
1015
peta P
1012
tera T
109 giga G
106 mega M
103 quilo k
102 hecto h
101 deca da
100 = 1 -- --
10-1
deci d
10-2
centi c
10-3
mili m
10-6
micro µ
10-9
nano n
10-12
pico p
10-15
femto f
10-18
ato a
10-21
zepto z
10-24
iocto y
Equivalência das Unidades
1km = 1.000m
1m = 10dm = 10cm = 1.000mm
Transformação de unidades
Quando é necessário transformar uma unidade em outra, deve-se dividir esta pela unidade que
deve desaparecer e multiplicar pelo valor correspondente daquela que irá substituir a primeira, ou
seja , se uma unidade K vale a uma unidades P , isto é, PaK , e b unidades K devem ser
transformados para a unidade P , então procede-se como segue:
PabPabK
PaKbKb
Exemplo: Um veículo está a hkm60 , qual é sua velocidade no Sistema Internacional, S.I.?
sm,sms
m
s
h
km
m
h
km
h
kmv 22
33
10671106
1
3600
1060
3600
106060 .
17
Exercício: Uma caixa com volume de 330 cm , contém uma massa de g120 qual é a densidade
correspondente no Sistema Internacional, S.I.?
333
336
33
32
3
33104
10
4
10
104
1
10
10
14
30
120mkgmkg
m
kg
gr
kg
m
cm
cm
gr
cm
gr
.
Exercício: Uma roda gira a rpm1200 qual é a velocidade angular correspondente no Sistema
Internacional, S.I.?
srads
rad
s
min
rotação
rad
min
rotaçõesrpm
40
60
21200
60
1
1
212001200 .
Exercício: O submarino ALVIN está mergulhando com velocidade de 36,5 braças por minuto.
a - Sabendo que pésftbraçafath 61 e ftfeet,m 2831 , expresse esta velocidade no
sistema internacional S.I.
solução:
b - Sabendo que pésftmimilha 52801 , expresse esta velocidade em milhas por hora, isto é,
em nós.
solução:
Exercício: Quantos centímetros quadrados tem uma área de 206 km, ?
solução:
Exercícios
1. Qual a dimensão do cosseno de um ângulo? Por que? (R: 1)
2. A dimensão do rendimento total
útil
Pot
Pot , é zero ou um? Por quê? (R: 1)
3. 0 coeficiente da viscosidade de líquidos é dado pela fórmula:
v
dgr V2
9
2
onde r é o raio de um tubo, g a aceleração da gravidade, dV a densidades e v é uma velocidade.
Determine a dimensão. (R: L-1
MT-1
)
sm,ft,
m
braça
ft
s
min
min
braça,
min
braças, 111
1283
1
1
16
60
1
1
1536536
nós,ft,
mi
braça
ft
h
min
min
braça,
min
braças, 492
1283
1
1
16
1
160
1
1536536
2102 10061
100
1
100
1
1000
1
1000606 cm,
m
cm
m
cm
km
m
km
mkmkmkm,
18
4.Verificar se a equação abaixo é homogênea: (R: não homogênea)
(energia potencial)2. (velocidade) = (força) (Pressão)
2
5. Verifique a homogeneidade das equações: 2/13 WVBL onde L = comprimento, B = área da
base, W = trabalho e V = volume (R: não homognenea)
6. A lei da gravitação universal prevê que a força de atração entre os corpos é dada pela fórmula:
2
'.
r
mmGF Determinar a dimensão LMT e LFT da constante G. (R: L
3M
-1T
-2, L
4F
-1T
-4)
7. Qual a dimensão de B para que valha lha a relação: daEBv ..2 , onde v = velocidade, E =
energia, a= aceleração e d= densidade volumétrica. (R: L2MT
-1)
8. A fórmula que relaciona o trabalho W com a massa m, a aceleração da gravidade e uma certa
grandeza G é:
W = m.g.G
Determine a dimensão da grandeza G. (R: L)
9. Determine as dimensões das constantes C1 e C2 nas seguintes expressões, sabendo que as
variáveis x, t, e v representam a distância, o tempo e a velocidade, respectivamente:
(a) tCCx 21 (R: C1=L e C2 = LT-1
) (b) 21
2
1tCx (R: C1 = LT
-2)
(b) (c) xCv 12 2 (R: C1= LT
-2) (d) tC
eCv 2
1
(R: C1=LT-1
e C2 = T)
10. Na análise de determinados movimentos, é bastante razoável supor que a força de atrito com
o ar seja proporcional ao quadrado da velocidade da partícula que se move analiticamente.
Determine a unidade da constante k no Sistema Internacional (SI). 2kvf . (R: kg/m)
11. Determine as dimensões das constantes C existentes nas expressões abaixo para que as
mesmas sejam homogêneas. Considere como v-velocidade, x – deslocamento e a – aceleração.
a) v = C1.x + C2.t
b) x = C3. cos(C4.t + C5)
c) a = C6. exp(C7.t)
12. Usando os prefixos, expresse as unidades:
a) 106 N = ____________________ b) 10
-6 J = ____________________
c) 10-9
m = ___________________ d) 10-2
Pa = ___________________
e) 102 erg = __________________ f) 10
-3 W = ______________________
g) 103 J = _____________________ h) 10
-1 Pa = _____________________
13.Calcule o número de quilômetros que existem em 20 milhas, usando apenas os seguintes
fatores de conversão: 1 milha = 5820pés, 1 pé = 12 polegadas, polegada = 2,54 cm , 1 m= 100
cm e 1 km = 1000m.
19
14. Uma sala mede 20 pés e 2 polegadas de comprimento e 12 pés e 5 polegadas de largura.
Qual é a sua área em (a) pés quadrados e (b) em metros quadrados? Se o teto está a 12 pés e 2,5
polegadas acima do assoalho, qual é o volume desta sala em (c) pés cúbicos e (d) metros
cúbicos?
15. Uma certa tinta para pintar paredes garante uma cobertura de 460 pés2/gal. Expresse esta
quantidade em metros quadrados por litro. (b) Expresse esta quantidade em unidades
fundamentais do SI.