ALGUMAS APLICAC� ~OES DO CONCEITO DEMODO AC�USTICO
Miguel Moreira
EST
9 de Maio de 2012
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 1 / 31
Sum�ario
Motiva�c~ao.
Estabelecimento da equa�c~ao de onda da ac�ustica.
O conceito de modo e de projec�c~ao modal.
Alguns exemplos.
Algumas aplica�c~oes do conceito de modo ac�ustico.
Mecanismos de excita�c~ao.Excita�c~ao de ressonancias e instabilidades;
Um caso de estudo: excita�c~ao de modos ac�usticos em permutadores.
Conclus~oes.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 2 / 31
Motiva�c~ao
Aplica�c~oes do conceito de Modo ac�ustico
Os fundamentos da teoria assentam em conceitos da mecanica de uidos e da termodinamica;
e tem tamb�em liga�c~oes com a teoria de equa�c~oes com derivadasparciais e respectivas abordagens num�ericas de resolu�c~ao.
As aplica�c~oes do conceito de modo ac�ustico permitem compreender econtrolar numerosos fen�omenos com importancia industrial tais comoa excita�c~ao de ressonancias ac�usticas e a ocorrencia de instabilidades uido-ac�usticas.
No seu conjunto estes t�opicos apresentam aspectos te�oricos eexperimentais cujo conhecimento �e uma mais valia indiscut��vel paraum engenheiro.
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Motiva�c~ao
Aplica�c~oes do conceito de Modo ac�ustico
Os fundamentos da teoria assentam em conceitos da mecanica de uidos e da termodinamica;
e tem tamb�em liga�c~oes com a teoria de equa�c~oes com derivadasparciais e respectivas abordagens num�ericas de resolu�c~ao.
As aplica�c~oes do conceito de modo ac�ustico permitem compreender econtrolar numerosos fen�omenos com importancia industrial tais comoa excita�c~ao de ressonancias ac�usticas e a ocorrencia de instabilidades uido-ac�usticas.
No seu conjunto estes t�opicos apresentam aspectos te�oricos eexperimentais cujo conhecimento �e uma mais valia indiscut��vel paraum engenheiro.
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Motiva�c~ao
Aplica�c~oes do conceito de Modo ac�ustico
Os fundamentos da teoria assentam em conceitos da mecanica de uidos e da termodinamica;
e tem tamb�em liga�c~oes com a teoria de equa�c~oes com derivadasparciais e respectivas abordagens num�ericas de resolu�c~ao.
As aplica�c~oes do conceito de modo ac�ustico permitem compreender econtrolar numerosos fen�omenos com importancia industrial tais comoa excita�c~ao de ressonancias ac�usticas e a ocorrencia de instabilidades uido-ac�usticas.
No seu conjunto estes t�opicos apresentam aspectos te�oricos eexperimentais cujo conhecimento �e uma mais valia indiscut��vel paraum engenheiro.
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Motiva�c~ao
Aplica�c~oes do conceito de Modo ac�ustico
Os fundamentos da teoria assentam em conceitos da mecanica de uidos e da termodinamica;
e tem tamb�em liga�c~oes com a teoria de equa�c~oes com derivadasparciais e respectivas abordagens num�ericas de resolu�c~ao.
As aplica�c~oes do conceito de modo ac�ustico permitem compreender econtrolar numerosos fen�omenos com importancia industrial tais comoa excita�c~ao de ressonancias ac�usticas e a ocorrencia de instabilidades uido-ac�usticas.
No seu conjunto estes t�opicos apresentam aspectos te�oricos eexperimentais cujo conhecimento �e uma mais valia indiscut��vel paraum engenheiro.
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Estabelecimento da equa�c~ao de onda da ac�ustica
Na modela�c~ao de fen�omenos ac�usticos em meios el�asticos s~aoassumidas as seguintes hip�oteses simplicadoras:
1 Inexistencia de transferencias de energia sob a forma de calor (ofen�omeno ac�ustico �e um processo termodinamico adiab�atico, em meiono qual os efeitos da viscosidade s~ao desprez�aveis);
2 inexistencia de for�cas externas;3 inexistencia de fontes ou po�cos de massa;
Adicionalmente as amplitudes das perturba�c~oes ac�usticas sup~oem-sesu�cientemente pequenas para justi�car as aproxima�c~oes linearesadoptadas na modela�c~ao do fen�omeno ac�ustico.
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Estabelecimento da equa�c~ao de onda da ac�ustica
Na modela�c~ao de fen�omenos ac�usticos em meios el�asticos s~aoassumidas as seguintes hip�oteses simplicadoras:
1 Inexistencia de transferencias de energia sob a forma de calor (ofen�omeno ac�ustico �e um processo termodinamico adiab�atico, em meiono qual os efeitos da viscosidade s~ao desprez�aveis);
2 inexistencia de for�cas externas;3 inexistencia de fontes ou po�cos de massa;
Adicionalmente as amplitudes das perturba�c~oes ac�usticas sup~oem-sesu�cientemente pequenas para justi�car as aproxima�c~oes linearesadoptadas na modela�c~ao do fen�omeno ac�ustico.
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Estabelecimento da equa�c~ao de onda da ac�ustica
Na modela�c~ao de fen�omenos ac�usticos em meios el�asticos s~aoassumidas as seguintes hip�oteses simplicadoras:
1 Inexistencia de transferencias de energia sob a forma de calor (ofen�omeno ac�ustico �e um processo termodinamico adiab�atico, em meiono qual os efeitos da viscosidade s~ao desprez�aveis);
2 inexistencia de for�cas externas;
3 inexistencia de fontes ou po�cos de massa;
Adicionalmente as amplitudes das perturba�c~oes ac�usticas sup~oem-sesu�cientemente pequenas para justi�car as aproxima�c~oes linearesadoptadas na modela�c~ao do fen�omeno ac�ustico.
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Estabelecimento da equa�c~ao de onda da ac�ustica
Na modela�c~ao de fen�omenos ac�usticos em meios el�asticos s~aoassumidas as seguintes hip�oteses simplicadoras:
1 Inexistencia de transferencias de energia sob a forma de calor (ofen�omeno ac�ustico �e um processo termodinamico adiab�atico, em meiono qual os efeitos da viscosidade s~ao desprez�aveis);
2 inexistencia de for�cas externas;3 inexistencia de fontes ou po�cos de massa;
Adicionalmente as amplitudes das perturba�c~oes ac�usticas sup~oem-sesu�cientemente pequenas para justi�car as aproxima�c~oes linearesadoptadas na modela�c~ao do fen�omeno ac�ustico.
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Estabelecimento da equa�c~ao de onda da ac�ustica
Na modela�c~ao de fen�omenos ac�usticos em meios el�asticos s~aoassumidas as seguintes hip�oteses simplicadoras:
1 Inexistencia de transferencias de energia sob a forma de calor (ofen�omeno ac�ustico �e um processo termodinamico adiab�atico, em meiono qual os efeitos da viscosidade s~ao desprez�aveis);
2 inexistencia de for�cas externas;3 inexistencia de fontes ou po�cos de massa;
Adicionalmente as amplitudes das perturba�c~oes ac�usticas sup~oem-sesu�cientemente pequenas para justi�car as aproxima�c~oes linearesadoptadas na modela�c~ao do fen�omeno ac�ustico.
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Estabelecimento da equa�c~ao de onda da ac�usticaNo estabelecimento da Equa�c~ao de Onda da Ac�ustica (ou equa�c~ao deonda linearizada) utilizamos formas linearizadas das seguintesequa�c~oes:
a equa�c~ao de estado do uido em causa:
p = p0 +�
∂p∂ρ
�0
(ρ� ρ0) +12
�∂2p∂ρ2
�0
(ρ� ρ0)2 + � � �
p � p0| {z }ep= ρ0
�∂p
∂ρ
�0| {z }
B
ρ� ρ0ρ0| {z }s
(A)
a equa�c~ao da continuidade:∂ρ∂t +O. (ρu) = 0∂s∂t +O.u = 0 (B)
e a equa�c~ao de Euler: ρ�
∂u∂t + (u.5) u
�= �5p
ρ0∂u∂t = �5ep (C)
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Estabelecimento da equa�c~ao de onda da ac�ustica
Dedu�c~ao da equa�c~ao de onda da ac�ustica:
1
∂s∂t +O.u = 0 �!∂
∂t
∂2s∂t2+O. ∂u∂t = 0
ρ0∂u∂t = �5ep �!r. ρ05 . ∂u∂t = �5
2ep9=;) ρ0
∂2s∂t2= 52ep
ep = Bs9>>=>>;)
52ep � 1Bρ0
∂2ep∂t2= 0
2 Equa�c~ao de onda da ac�ustica (Tendo em conta que c =q
Bρ0):
52ep � 1c2
∂2ep∂t2= 0
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Estabelecimento da equa�c~ao de onda da ac�ustica
Dedu�c~ao da equa�c~ao de onda da ac�ustica:
1
∂s∂t +O.u = 0 �!∂
∂t
∂2s∂t2+O. ∂u∂t = 0
ρ0∂u∂t = �5ep �!r. ρ05 . ∂u∂t = �5
2ep9=;) ρ0
∂2s∂t2= 52ep
ep = Bs9>>=>>;)
52ep � 1Bρ0
∂2ep∂t2= 0
2 Equa�c~ao de onda da ac�ustica (Tendo em conta que c =q
Bρ0):
52ep � 1c2
∂2ep∂t2= 0
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Formas da equa�c~ao de onda da ac�ustica
1 em termos da press~ao ac�ustica ep :
52ep � 1c2
∂2ep∂t2= 0
2 em termos da velocidade ac�ustica eu:
52eu� 1c2
∂2eu∂t2= 0
Notemos que as equa�c~oes anteriores est~ao relacionadas entre si pelaequa�c~ao de Euler linearizada: ρ0
∂eu∂t = �5ep
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 7 / 31
Formas da equa�c~ao de onda da ac�ustica
1 em termos da press~ao ac�ustica ep :
52ep � 1c2
∂2ep∂t2= 0
2 em termos da velocidade ac�ustica eu:
52eu� 1c2
∂2eu∂t2= 0
Notemos que as equa�c~oes anteriores est~ao relacionadas entre si pelaequa�c~ao de Euler linearizada: ρ0
∂eu∂t = �5ep
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Formas da equa�c~ao de onda da ac�ustica
1 em termos da press~ao ac�ustica ep :
52ep � 1c2
∂2ep∂t2= 0
2 em termos da velocidade ac�ustica eu:
52eu� 1c2
∂2eu∂t2= 0
Notemos que as equa�c~oes anteriores est~ao relacionadas entre si pelaequa�c~ao de Euler linearizada: ρ0
∂eu∂t = �5ep
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 7 / 31
A equa�c~ao de onda n~ao homog�enea
O estabelecimento da equa�c~ao de onda, dita na forma homog�enea,assentou, como j�a foi referido, em diversos pressupostos,nomeadamente:
1 Inexistencia de transferencias de energia sob a forma de calor;2 inestencia de for�cas externas;3 inexistencia de fontes ou po�cos de massa;
Equa�c~ao de onda n~ao-homog�enea
52p � 1c2
∂2p∂t2= � ∂2m
∂t2+5.f.
com f a representar as for�cas vol�umicas externas e ∂m∂t as fontes de
massa.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 8 / 31
A equa�c~ao de onda n~ao homog�enea
O estabelecimento da equa�c~ao de onda, dita na forma homog�enea,assentou, como j�a foi referido, em diversos pressupostos,nomeadamente:
1 Inexistencia de transferencias de energia sob a forma de calor;
2 inestencia de for�cas externas;3 inexistencia de fontes ou po�cos de massa;
Equa�c~ao de onda n~ao-homog�enea
52p � 1c2
∂2p∂t2= � ∂2m
∂t2+5.f.
com f a representar as for�cas vol�umicas externas e ∂m∂t as fontes de
massa.
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A equa�c~ao de onda n~ao homog�enea
O estabelecimento da equa�c~ao de onda, dita na forma homog�enea,assentou, como j�a foi referido, em diversos pressupostos,nomeadamente:
1 Inexistencia de transferencias de energia sob a forma de calor;2 inestencia de for�cas externas;
3 inexistencia de fontes ou po�cos de massa;
Equa�c~ao de onda n~ao-homog�enea
52p � 1c2
∂2p∂t2= � ∂2m
∂t2+5.f.
com f a representar as for�cas vol�umicas externas e ∂m∂t as fontes de
massa.
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A equa�c~ao de onda n~ao homog�enea
O estabelecimento da equa�c~ao de onda, dita na forma homog�enea,assentou, como j�a foi referido, em diversos pressupostos,nomeadamente:
1 Inexistencia de transferencias de energia sob a forma de calor;2 inestencia de for�cas externas;3 inexistencia de fontes ou po�cos de massa;
Equa�c~ao de onda n~ao-homog�enea
52p � 1c2
∂2p∂t2= � ∂2m
∂t2+5.f.
com f a representar as for�cas vol�umicas externas e ∂m∂t as fontes de
massa.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 8 / 31
A equa�c~ao de onda n~ao homog�enea
O estabelecimento da equa�c~ao de onda, dita na forma homog�enea,assentou, como j�a foi referido, em diversos pressupostos,nomeadamente:
1 Inexistencia de transferencias de energia sob a forma de calor;2 inestencia de for�cas externas;3 inexistencia de fontes ou po�cos de massa;
Equa�c~ao de onda n~ao-homog�enea
52p � 1c2
∂2p∂t2= � ∂2m
∂t2+5.f.
com f a representar as for�cas vol�umicas externas e ∂m∂t as fontes de
massa.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 8 / 31
O conceito de modoConhecidas as chamadas condi�c~oes de fronteira e as condi�c~oes iniciais, a
equa�c~ao de onda da ac�ustica (homog�enea ou n~ao) �e resolvida normalmente
em engenharia utilizando as t�ecnicas num�ericas baseadas quer em
diferen�cas �nitas quer em elementos �nitos.
Uma bordagem alternativa, conhecidas com rigor as condi�c~oes de fronteira
do recinto em estudo, consiste em resolver a equa�c~ao de onda por
decomposi�c~ao modal:
Admitir uma solu�c~ao do tipo: p (r, t) = P (r) e iωt ou genericamentep (r, t) = P (r)Ψ (t) ;Substituindo esta hipot�etica solu�c~ao na equa�c~ao de onda, aplicar om�etodo de Fourier (ou separa�c~ao de vari�aveis) para resolver nosdom��nios temporais e espaciais (tendo em conta as condi�c~oes defronteira) as equa�c~oes diferenciais lineares resultantes.As solu�c~oes espaciais caracterizam as chamadas formas modais e assolu�c~oes temporais as chamadas amplitudes modais da solu�c~ao doproblema.
Esta metodologia pode tamb�em ser utilizada para a obten�c~ao de solu�c~oes da
equa�c~ao de onda n~ao-homog�enea.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 9 / 31
O conceito de modoConhecidas as chamadas condi�c~oes de fronteira e as condi�c~oes iniciais, a
equa�c~ao de onda da ac�ustica (homog�enea ou n~ao) �e resolvida normalmente
em engenharia utilizando as t�ecnicas num�ericas baseadas quer em
diferen�cas �nitas quer em elementos �nitos.
Uma bordagem alternativa, conhecidas com rigor as condi�c~oes de fronteira
do recinto em estudo, consiste em resolver a equa�c~ao de onda por
decomposi�c~ao modal:
Admitir uma solu�c~ao do tipo: p (r, t) = P (r) e iωt ou genericamentep (r, t) = P (r)Ψ (t) ;Substituindo esta hipot�etica solu�c~ao na equa�c~ao de onda, aplicar om�etodo de Fourier (ou separa�c~ao de vari�aveis) para resolver nosdom��nios temporais e espaciais (tendo em conta as condi�c~oes defronteira) as equa�c~oes diferenciais lineares resultantes.As solu�c~oes espaciais caracterizam as chamadas formas modais e assolu�c~oes temporais as chamadas amplitudes modais da solu�c~ao doproblema.
Esta metodologia pode tamb�em ser utilizada para a obten�c~ao de solu�c~oes da
equa�c~ao de onda n~ao-homog�enea.
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O conceito de modoConhecidas as chamadas condi�c~oes de fronteira e as condi�c~oes iniciais, a
equa�c~ao de onda da ac�ustica (homog�enea ou n~ao) �e resolvida normalmente
em engenharia utilizando as t�ecnicas num�ericas baseadas quer em
diferen�cas �nitas quer em elementos �nitos.
Uma bordagem alternativa, conhecidas com rigor as condi�c~oes de fronteira
do recinto em estudo, consiste em resolver a equa�c~ao de onda por
decomposi�c~ao modal:
Admitir uma solu�c~ao do tipo: p (r, t) = P (r) e iωt ou genericamentep (r, t) = P (r)Ψ (t) ;
Substituindo esta hipot�etica solu�c~ao na equa�c~ao de onda, aplicar om�etodo de Fourier (ou separa�c~ao de vari�aveis) para resolver nosdom��nios temporais e espaciais (tendo em conta as condi�c~oes defronteira) as equa�c~oes diferenciais lineares resultantes.As solu�c~oes espaciais caracterizam as chamadas formas modais e assolu�c~oes temporais as chamadas amplitudes modais da solu�c~ao doproblema.
Esta metodologia pode tamb�em ser utilizada para a obten�c~ao de solu�c~oes da
equa�c~ao de onda n~ao-homog�enea.
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O conceito de modoConhecidas as chamadas condi�c~oes de fronteira e as condi�c~oes iniciais, a
equa�c~ao de onda da ac�ustica (homog�enea ou n~ao) �e resolvida normalmente
em engenharia utilizando as t�ecnicas num�ericas baseadas quer em
diferen�cas �nitas quer em elementos �nitos.
Uma bordagem alternativa, conhecidas com rigor as condi�c~oes de fronteira
do recinto em estudo, consiste em resolver a equa�c~ao de onda por
decomposi�c~ao modal:
Admitir uma solu�c~ao do tipo: p (r, t) = P (r) e iωt ou genericamentep (r, t) = P (r)Ψ (t) ;Substituindo esta hipot�etica solu�c~ao na equa�c~ao de onda, aplicar om�etodo de Fourier (ou separa�c~ao de vari�aveis) para resolver nosdom��nios temporais e espaciais (tendo em conta as condi�c~oes defronteira) as equa�c~oes diferenciais lineares resultantes.
As solu�c~oes espaciais caracterizam as chamadas formas modais e assolu�c~oes temporais as chamadas amplitudes modais da solu�c~ao doproblema.
Esta metodologia pode tamb�em ser utilizada para a obten�c~ao de solu�c~oes da
equa�c~ao de onda n~ao-homog�enea.
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O conceito de modoConhecidas as chamadas condi�c~oes de fronteira e as condi�c~oes iniciais, a
equa�c~ao de onda da ac�ustica (homog�enea ou n~ao) �e resolvida normalmente
em engenharia utilizando as t�ecnicas num�ericas baseadas quer em
diferen�cas �nitas quer em elementos �nitos.
Uma bordagem alternativa, conhecidas com rigor as condi�c~oes de fronteira
do recinto em estudo, consiste em resolver a equa�c~ao de onda por
decomposi�c~ao modal:
Admitir uma solu�c~ao do tipo: p (r, t) = P (r) e iωt ou genericamentep (r, t) = P (r)Ψ (t) ;Substituindo esta hipot�etica solu�c~ao na equa�c~ao de onda, aplicar om�etodo de Fourier (ou separa�c~ao de vari�aveis) para resolver nosdom��nios temporais e espaciais (tendo em conta as condi�c~oes defronteira) as equa�c~oes diferenciais lineares resultantes.As solu�c~oes espaciais caracterizam as chamadas formas modais e assolu�c~oes temporais as chamadas amplitudes modais da solu�c~ao doproblema.
Esta metodologia pode tamb�em ser utilizada para a obten�c~ao de solu�c~oes da
equa�c~ao de onda n~ao-homog�enea.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 9 / 31
O conceito de modoConhecidas as chamadas condi�c~oes de fronteira e as condi�c~oes iniciais, a
equa�c~ao de onda da ac�ustica (homog�enea ou n~ao) �e resolvida normalmente
em engenharia utilizando as t�ecnicas num�ericas baseadas quer em
diferen�cas �nitas quer em elementos �nitos.
Uma bordagem alternativa, conhecidas com rigor as condi�c~oes de fronteira
do recinto em estudo, consiste em resolver a equa�c~ao de onda por
decomposi�c~ao modal:
Admitir uma solu�c~ao do tipo: p (r, t) = P (r) e iωt ou genericamentep (r, t) = P (r)Ψ (t) ;Substituindo esta hipot�etica solu�c~ao na equa�c~ao de onda, aplicar om�etodo de Fourier (ou separa�c~ao de vari�aveis) para resolver nosdom��nios temporais e espaciais (tendo em conta as condi�c~oes defronteira) as equa�c~oes diferenciais lineares resultantes.As solu�c~oes espaciais caracterizam as chamadas formas modais e assolu�c~oes temporais as chamadas amplitudes modais da solu�c~ao doproblema.
Esta metodologia pode tamb�em ser utilizada para a obten�c~ao de solu�c~oes da
equa�c~ao de onda n~ao-homog�enea.Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 9 / 31
O conceito de modo
Consideremos a equa�c~ao de onda da ac�ustica 52p � 1c2
∂2p∂t2= 0 e,
para exempli�car, um tubo de sec�c~ao constante e com as duasextremidades abertas (o fen�omeno ac�ustico pode ser consideradounidimensional):
LX
p = 0 p = 0
LX
p = 0 p = 0
Tubo aberto-aberto: p (0, t) = p (LX , t) = 0.
Substitua-se a hipot�etica solu�c~ao do tipo p (x , t) = P (x) e iωt naequa�c~ao anterior. Obtemos
P 00 (x) e iωt +�ω
c
�2P (x) e iωt = 0) P 00 (x) + k2P (x) = 0
em que k = ω/c se relaciona com o comprimento de onda λ = 2πk .
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 10 / 31
O conceito de modo
Consideremos a equa�c~ao de onda da ac�ustica 52p � 1c2
∂2p∂t2= 0 e,
para exempli�car, um tubo de sec�c~ao constante e com as duasextremidades abertas (o fen�omeno ac�ustico pode ser consideradounidimensional):
LX
p = 0 p = 0
LX
p = 0 p = 0
Tubo aberto-aberto: p (0, t) = p (LX , t) = 0.
Substitua-se a hipot�etica solu�c~ao do tipo p (x , t) = P (x) e iωt naequa�c~ao anterior. Obtemos
P 00 (x) e iωt +�ω
c
�2P (x) e iωt = 0) P 00 (x) + k2P (x) = 0
em que k = ω/c se relaciona com o comprimento de onda λ = 2πk .
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 10 / 31
O conceito de modo
Como �e sabido a solu�c~ao geral da equa�c~ao diferencialP 00 (x) + k2P (x) = 0, de dom��nio puramente espacial (Equa�c~ao deHelmholtz), �e da forma
P (x) = A sin kx + B cos kx .
Assim a solu�c~ao da equa�c~ao de onda ter�a a forma:P (x , t) = P (x) e iωt = (A sin kx + B cos kx) e iωt .
As condi�c~oes de fronteira (press~ao nula nas extremidades do tubo)permitem deduzir:
p (0, t) = 0) (A sin k0+ B cos k0) e iωt = 0) B = 0,p (LX , t) = 0) A sin (kLX ) e
iωt = 0) k = nπLXcom n 2 Z.
Isto �e, as solu�c~oes da equa�c~ao de onda ser~ao do tipo
p (x , t) = A sin
�nπ
LXx
�e iωt com ω =
cnπ
LXe n 2 Z
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 11 / 31
O conceito de modo
Como �e sabido a solu�c~ao geral da equa�c~ao diferencialP 00 (x) + k2P (x) = 0, de dom��nio puramente espacial (Equa�c~ao deHelmholtz), �e da forma
P (x) = A sin kx + B cos kx .
Assim a solu�c~ao da equa�c~ao de onda ter�a a forma:P (x , t) = P (x) e iωt = (A sin kx + B cos kx) e iωt .
As condi�c~oes de fronteira (press~ao nula nas extremidades do tubo)permitem deduzir:
p (0, t) = 0) (A sin k0+ B cos k0) e iωt = 0) B = 0,p (LX , t) = 0) A sin (kLX ) e
iωt = 0) k = nπLXcom n 2 Z.
Isto �e, as solu�c~oes da equa�c~ao de onda ser~ao do tipo
p (x , t) = A sin
�nπ
LXx
�e iωt com ω =
cnπ
LXe n 2 Z
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 11 / 31
O conceito de modo
Como �e sabido a solu�c~ao geral da equa�c~ao diferencialP 00 (x) + k2P (x) = 0, de dom��nio puramente espacial (Equa�c~ao deHelmholtz), �e da forma
P (x) = A sin kx + B cos kx .
Assim a solu�c~ao da equa�c~ao de onda ter�a a forma:P (x , t) = P (x) e iωt = (A sin kx + B cos kx) e iωt .
As condi�c~oes de fronteira (press~ao nula nas extremidades do tubo)permitem deduzir:
p (0, t) = 0) (A sin k0+ B cos k0) e iωt = 0) B = 0,p (LX , t) = 0) A sin (kLX ) e
iωt = 0) k = nπLXcom n 2 Z.
Isto �e, as solu�c~oes da equa�c~ao de onda ser~ao do tipo
p (x , t) = A sin
�nπ
LXx
�e iωt com ω =
cnπ
LXe n 2 Z
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 11 / 31
O conceito de modo
Como �e sabido a solu�c~ao geral da equa�c~ao diferencialP 00 (x) + k2P (x) = 0, de dom��nio puramente espacial (Equa�c~ao deHelmholtz), �e da forma
P (x) = A sin kx + B cos kx .
Assim a solu�c~ao da equa�c~ao de onda ter�a a forma:P (x , t) = P (x) e iωt = (A sin kx + B cos kx) e iωt .
As condi�c~oes de fronteira (press~ao nula nas extremidades do tubo)permitem deduzir:
p (0, t) = 0) (A sin k0+ B cos k0) e iωt = 0) B = 0,p (LX , t) = 0) A sin (kLX ) e
iωt = 0) k = nπLXcom n 2 Z.
Isto �e, as solu�c~oes da equa�c~ao de onda ser~ao do tipo
p (x , t) = A sin
�nπ
LXx
�e iωt com ω =
cnπ
LXe n 2 Z
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 11 / 31
O conceito de modo
Ou mais genericamente atendendo �a linearidade do problema, a
solu�c~ao geral da equa�c~ao de onda 52p � 1c2
∂2p∂t2= 0 ser�a da forma
p (x , t) =∞
∑n
ϕn (x)� qn (t)
com
ϕn (x) = sin
�nπ
LXx
�em que n � 1 e qn (t) s~ao solu�c~oes da seguinte fam��lia de equa�c~oesdiferenciais ordin�arias:
q (t) +ω2nq (t) = 0, com ωn =
cnπ
LX.
Cada uma das componentes espaciais da solu�c~ao ϕn �e designada porforma modal (da press~ao, neste caso). As componentes temporais qda solu�c~ao referida s~ao habitualmente chamadas amplitudes modais.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 12 / 31
O conceito de modo
Ou mais genericamente atendendo �a linearidade do problema, a
solu�c~ao geral da equa�c~ao de onda 52p � 1c2
∂2p∂t2= 0 ser�a da forma
p (x , t) =∞
∑n
ϕn (x)� qn (t)
com
ϕn (x) = sin
�nπ
LXx
�em que n � 1 e qn (t) s~ao solu�c~oes da seguinte fam��lia de equa�c~oesdiferenciais ordin�arias:
q (t) +ω2nq (t) = 0, com ωn =
cnπ
LX.
Cada uma das componentes espaciais da solu�c~ao ϕn �e designada porforma modal (da press~ao, neste caso). As componentes temporais qda solu�c~ao referida s~ao habitualmente chamadas amplitudes modais.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 12 / 31
Projec�c~ao modal e vari�aveis modais
Substituindo a solu�c~ao geral p (x , t) = ∑∞n ϕn (x)� qn (t) , acabada
de deduzir, na equa�c~ao de onda 52p � 1c2
∂2p∂t2= 0 obtemos
∞
∑n=1
�nπ
LX
�2sinnπ
LXx � qn (t) +
1
c2
∞
∑n=1
sinnπ
LXx � qn (t) = 0.
Multiplicando por sin mπLXx e integrando espacialmente no dom��nio (0
a LX ) [projec�c~ao modal ] deduzimos o seguinte sistema de equa�c~oesdiferenciais ordin�arias:
Mn � qn (t) +Kn � qn (t) = 0, n 2 N
em que (neste exemplo)
Mn =(nπ)2
2LXe Kn =
LX2c2
representam, por analogia, com um sistema mecanico massa-mola, amassa e a rigidez modais de cada modo.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 13 / 31
Projec�c~ao modal e vari�aveis modais
Substituindo a solu�c~ao geral p (x , t) = ∑∞n ϕn (x)� qn (t) , acabada
de deduzir, na equa�c~ao de onda 52p � 1c2
∂2p∂t2= 0 obtemos
∞
∑n=1
�nπ
LX
�2sinnπ
LXx � qn (t) +
1
c2
∞
∑n=1
sinnπ
LXx � qn (t) = 0.
Multiplicando por sin mπLXx e integrando espacialmente no dom��nio (0
a LX ) [projec�c~ao modal ] deduzimos o seguinte sistema de equa�c~oesdiferenciais ordin�arias:
Mn � qn (t) +Kn � qn (t) = 0, n 2 N
em que (neste exemplo)
Mn =(nπ)2
2LXe Kn =
LX2c2
representam, por analogia, com um sistema mecanico massa-mola, amassa e a rigidez modais de cada modo.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 13 / 31
Projec�c~ao modal
A projecc�c~ao modal atr�as exempli�cada consistiu em multiplicar umadada fun�c~ao Fn (x) por sin
mπLXx e integrar espacialmente no dom��nio
de interesse o resultado obtido:Z LX
0Fn (x) sin
�mπ
LXx
�dx
Esta opera�c~ao matem�atica �e designada por produto interno e serviupara determinar as componentes da resposta do sistema, nos vectoresna base modal (projec�c~ao modal) e permite traduzir a equa�c~ao de
onda 52p � 1c2
∂2p∂t2= 0 (equa�c~ao com derivadas parciais) por um
sistema (equivalente) de equa�c~oes modais (sistema homog�eneo deequa�c~oes diferenciais ordin�arias):
Mn � qn (t) +Kn � qn (t) = 0, n 2 N.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 14 / 31
Projec�c~ao modal
A projecc�c~ao modal atr�as exempli�cada consistiu em multiplicar umadada fun�c~ao Fn (x) por sin
mπLXx e integrar espacialmente no dom��nio
de interesse o resultado obtido:Z LX
0Fn (x) sin
�mπ
LXx
�dx
Esta opera�c~ao matem�atica �e designada por produto interno e serviupara determinar as componentes da resposta do sistema, nos vectoresna base modal (projec�c~ao modal) e permite traduzir a equa�c~ao de
onda 52p � 1c2
∂2p∂t2= 0 (equa�c~ao com derivadas parciais) por um
sistema (equivalente) de equa�c~oes modais (sistema homog�eneo deequa�c~oes diferenciais ordin�arias):
Mn � qn (t) +Kn � qn (t) = 0, n 2 N.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 14 / 31
Equa�c~ao de onda n~ao-homog�eneaComo j�a foi referido o conceito de modo e de projec�c~ao modal pode tamb�em
ser utilizado para a obten�c~ao de solu�c~oes da equa�c~ao de onda
n~ao-homog�enea:
52p � 1c2
∂2p∂t2= � ∂2m
∂t2+5.f.
Para tal, s�o teremos de efectuar a projec�c~ao modal do segundo membro
(excita�c~ao) F (r) = � ∂2m∂t2+5.f na base modal do sistema e achar as
for�cas modais de excita�c~ao. Isto �e, devemos efectuar o produto interno
seguinte:
Fn =ZDF (r) ϕndr
Desta forma traduziremos a equa�c~ao de onda n~ao-homog�enea
52p � 1c2
∂2p∂t2= � ∂2m
∂t2+5.f. por um sistema equivalente de equa�c~oes
diferenciais ordin�arias (sistema n~ao-homog�eneo):
Mn � qn (t) +Kn � qn (t) = Fn, n 2 N.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 15 / 31
Equa�c~ao de onda n~ao-homog�eneaComo j�a foi referido o conceito de modo e de projec�c~ao modal pode tamb�em
ser utilizado para a obten�c~ao de solu�c~oes da equa�c~ao de onda
n~ao-homog�enea:
52p � 1c2
∂2p∂t2= � ∂2m
∂t2+5.f.
Para tal, s�o teremos de efectuar a projec�c~ao modal do segundo membro
(excita�c~ao) F (r) = � ∂2m∂t2+5.f na base modal do sistema e achar as
for�cas modais de excita�c~ao. Isto �e, devemos efectuar o produto interno
seguinte:
Fn =ZDF (r) ϕndr
Desta forma traduziremos a equa�c~ao de onda n~ao-homog�enea
52p � 1c2
∂2p∂t2= � ∂2m
∂t2+5.f. por um sistema equivalente de equa�c~oes
diferenciais ordin�arias (sistema n~ao-homog�eneo):
Mn � qn (t) +Kn � qn (t) = Fn, n 2 N.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 15 / 31
Equa�c~ao de onda n~ao-homog�eneaComo j�a foi referido o conceito de modo e de projec�c~ao modal pode tamb�em
ser utilizado para a obten�c~ao de solu�c~oes da equa�c~ao de onda
n~ao-homog�enea:
52p � 1c2
∂2p∂t2= � ∂2m
∂t2+5.f.
Para tal, s�o teremos de efectuar a projec�c~ao modal do segundo membro
(excita�c~ao) F (r) = � ∂2m∂t2+5.f na base modal do sistema e achar as
for�cas modais de excita�c~ao. Isto �e, devemos efectuar o produto interno
seguinte:
Fn =ZDF (r) ϕndr
Desta forma traduziremos a equa�c~ao de onda n~ao-homog�enea
52p � 1c2
∂2p∂t2= � ∂2m
∂t2+5.f. por um sistema equivalente de equa�c~oes
diferenciais ordin�arias (sistema n~ao-homog�eneo):
Mn � qn (t) +Kn � qn (t) = Fn, n 2 N.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 15 / 31
Exemplo: tubo aberto-aberto
Consideremos um tubo aberto-aberto com 0.17 m de comprimento:
p = 0 p = 0
0.17 m
p = 0 p = 0
0.17 m
Os seus modos ac�usticos em ar (press~ao e temperaturas normais) e
respectivas frequencias ser~ao, como vimos:
ϕn (x) = sin
�nπ
LXx
�! ϕn (x) = sin
� nπ
0.17x�com n 2 N,
ωn =cnπ
LX! ωn =
340nπ
0.17com n 2 N.
O modo de frequencia mais baixa, ϕ1 (x) = sin�
π0.17x
�ocorre a
ω1 =340π
0.17! f1 =
340
2� 0.17 � 1000 Hz.
1000 Hz sound
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 16 / 31
Exemplo: tubo aberto-aberto
Consideremos um tubo aberto-aberto com 0.17 m de comprimento:
p = 0 p = 0
0.17 m
p = 0 p = 0
0.17 m
Os seus modos ac�usticos em ar (press~ao e temperaturas normais) e
respectivas frequencias ser~ao, como vimos:
ϕn (x) = sin
�nπ
LXx
�! ϕn (x) = sin
� nπ
0.17x�com n 2 N,
ωn =cnπ
LX! ωn =
340nπ
0.17com n 2 N.
O modo de frequencia mais baixa, ϕ1 (x) = sin�
π0.17x
�ocorre a
ω1 =340π
0.17! f1 =
340
2� 0.17 � 1000 Hz.
1000 Hz sound
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 16 / 31
Exemplo: tubo aberto-aberto
Consideremos um tubo aberto-aberto com 0.17 m de comprimento:
p = 0 p = 0
0.17 m
p = 0 p = 0
0.17 m
Os seus modos ac�usticos em ar (press~ao e temperaturas normais) e
respectivas frequencias ser~ao, como vimos:
ϕn (x) = sin
�nπ
LXx
�! ϕn (x) = sin
� nπ
0.17x�com n 2 N,
ωn =cnπ
LX! ωn =
340nπ
0.17com n 2 N.
O modo de frequencia mais baixa, ϕ1 (x) = sin�
π0.17x
�ocorre a
ω1 =340π
0.17! f1 =
340
2� 0.17 � 1000 Hz.
1000 Hz soundMiguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 16 / 31
Exemplo: tubo aberto-aberto
p = 0 p = 0
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
x
y
0.17 m
1000 Hz
2000 Hz3000 Hz
p = 0 p = 0
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
x
y
0.17 m
1000 Hz
2000 Hz3000 Hz
Tubo aberto-aberto em ar: os tres primeiros modos.
1000 Hz sound
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 17 / 31
Exemplo: escoamento bidimensionalConsideremos agora uma regi~ao rectangular no seio da qual se veri�ca um
escoamento estacion�ario bidimensional de ar com as condi�c~oes de fronteira
ilustradas:
x
yLX
LY
p = 0 p = 0
/p/y y=0
= 0
/p/y y=LY
= 0
x
yLX
LY
p = 0 p = 0
/p/y y=0
= 0
/p/y y=LY
= 0
Podemos mostrar que as solu�c~oes da equa�c~ao de onda ser~ao agora da forma:
pm,n (x , y , t) =
�sinnπ
LXx cos
mπ
LYy
�| {z }
Formas modais
� qn,m (t)| {z }Amplitudes modais
com qn,m (t) solu�c~ao da seguinte fam��lia de equa�c~oes diferenciais ordin�arias(com n 2 N0 and m 2 N):
q (t) +ω2n,mq (t) = 0 em que ωn,m =
s�cnπ
LX
�2+
�cmπ
LY
�2.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 18 / 31
Exemplo: escoamento bidimensionalConsideremos agora uma regi~ao rectangular no seio da qual se veri�ca um
escoamento estacion�ario bidimensional de ar com as condi�c~oes de fronteira
ilustradas:
x
yLX
LY
p = 0 p = 0
/p/y y=0
= 0
/p/y y=LY
= 0
x
yLX
LY
p = 0 p = 0
/p/y y=0
= 0
/p/y y=LY
= 0
Podemos mostrar que as solu�c~oes da equa�c~ao de onda ser~ao agora da forma:
pm,n (x , y , t) =
�sinnπ
LXx cos
mπ
LYy
�| {z }
Formas modais
� qn,m (t)| {z }Amplitudes modais
com qn,m (t) solu�c~ao da seguinte fam��lia de equa�c~oes diferenciais ordin�arias(com n 2 N0 and m 2 N):
q (t) +ω2n,mq (t) = 0 em que ωn,m =
s�cnπ
LX
�2+
�cmπ
LY
�2.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 18 / 31
Exemplo: escoamento bidimensional
Os 9 primeiros modos ac�usticos. Dimens~oes: LX = 2 m e LY = 1 m.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 19 / 31
Mecanismos de excita�c~ao
Os principais mecanismos de excita�c~ao de modos ac�usticos s~ao:
A Turbulencia: consiste grosso modo numa liberta�c~ao de v�ortices naregi~ao da camada limite de uma escoamento e que se manifesta por utua�c~oes estoc�asticas e ca�oticas dos parametros que caracterizam o uido (press~ao, etc) e que ocorrem em diferentes frequencias numabanda mais ou menos larga.A liberta�c~ao de V�ortices de Karman: Consiste numa liberta�c~aoperi�odica de v�ortices que ocorrem em resultado dum escoamento emtorno dum obst�aculo esbelto.
De referir que qualquer dos mecanismos referidos �e desencadeadopelo viscosidade dos uidos em escoamento.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 20 / 31
Mecanismos de excita�c~ao
Os principais mecanismos de excita�c~ao de modos ac�usticos s~ao:
A Turbulencia: consiste grosso modo numa liberta�c~ao de v�ortices naregi~ao da camada limite de uma escoamento e que se manifesta por utua�c~oes estoc�asticas e ca�oticas dos parametros que caracterizam o uido (press~ao, etc) e que ocorrem em diferentes frequencias numabanda mais ou menos larga.
A liberta�c~ao de V�ortices de Karman: Consiste numa liberta�c~aoperi�odica de v�ortices que ocorrem em resultado dum escoamento emtorno dum obst�aculo esbelto.
De referir que qualquer dos mecanismos referidos �e desencadeadopelo viscosidade dos uidos em escoamento.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 20 / 31
Mecanismos de excita�c~ao
Os principais mecanismos de excita�c~ao de modos ac�usticos s~ao:
A Turbulencia: consiste grosso modo numa liberta�c~ao de v�ortices naregi~ao da camada limite de uma escoamento e que se manifesta por utua�c~oes estoc�asticas e ca�oticas dos parametros que caracterizam o uido (press~ao, etc) e que ocorrem em diferentes frequencias numabanda mais ou menos larga.A liberta�c~ao de V�ortices de Karman: Consiste numa liberta�c~aoperi�odica de v�ortices que ocorrem em resultado dum escoamento emtorno dum obst�aculo esbelto.
De referir que qualquer dos mecanismos referidos �e desencadeadopelo viscosidade dos uidos em escoamento.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 20 / 31
Mecanismos de excita�c~ao
Os principais mecanismos de excita�c~ao de modos ac�usticos s~ao:
A Turbulencia: consiste grosso modo numa liberta�c~ao de v�ortices naregi~ao da camada limite de uma escoamento e que se manifesta por utua�c~oes estoc�asticas e ca�oticas dos parametros que caracterizam o uido (press~ao, etc) e que ocorrem em diferentes frequencias numabanda mais ou menos larga.A liberta�c~ao de V�ortices de Karman: Consiste numa liberta�c~aoperi�odica de v�ortices que ocorrem em resultado dum escoamento emtorno dum obst�aculo esbelto.
De referir que qualquer dos mecanismos referidos �e desencadeadopelo viscosidade dos uidos em escoamento.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 20 / 31
Turbulencia
Escoamento turbulento em torno de um obst�aculo.
Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Turbulence
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 21 / 31
V�ortices de Karman
Click me!
V�ortices de Karman
N�umero de Strouhal, S :
fS =SU
D
Multimedia Fluid Mechanics 2 DVD ROM Edited by G. M. Homsy, University of California,
Santa Barbara.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 22 / 31
V�ortices de Karman
Click me!
V�ortices de Karman
N�umero de Strouhal, S :
fS =SU
D
Multimedia Fluid Mechanics 2 DVD ROM Edited by G. M. Homsy, University of California,
Santa Barbara.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 22 / 31
Efeitos dos mecanismos de excita�c~ao
A excita�c~ao de modos ac�usticos em cavidades pode conduzir a:
excita�c~ao de uma ou mais ressonancias ac�usticas econcomitantemente promover a excita�c~ao de ressonancias deestruturas associadas (nesta situa�c~ao a excita�c~ao �e sempreindependente da resposta).
gerar acoplamentos uido-el�asticos com comportamentos inst�aveis(nesta situa�c~ao, tipicamente, a excita�c~ao interage com a respostae certos modos do sistema acoplado exibem amortecimentosnegativos).
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 23 / 31
Efeitos dos mecanismos de excita�c~ao
A excita�c~ao de modos ac�usticos em cavidades pode conduzir a:
excita�c~ao de uma ou mais ressonancias ac�usticas econcomitantemente promover a excita�c~ao de ressonancias deestruturas associadas (nesta situa�c~ao a excita�c~ao �e sempreindependente da resposta).
gerar acoplamentos uido-el�asticos com comportamentos inst�aveis(nesta situa�c~ao, tipicamente, a excita�c~ao interage com a respostae certos modos do sistema acoplado exibem amortecimentosnegativos).
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 23 / 31
Exemplo: excita�c~ao de ressonancias
Tubos aberto-aberto.
Diapas~ao.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 24 / 31
Exemplo: Instabilidade
Click me!
Ponte de Tacoma:instabilidade(amortecimento negativo)no primeiro modo detor�c~ao do sistema.
Filme do colapso da ponte de Tacoma em 7 de Novembro de 1940.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 25 / 31
Exemplo: instabilidade
Click me!
Instabilidadetermo-ac�ustica: Tubo deRijke.
C.R. Nave, Department of Physics & Astronomy, College of Arts & Sciences, Georgia State
University Multimedia Physics Laboratory Demonstrations & Experiments.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 26 / 31
Excita�c~ao de modos ac�usticos em permutadores
A interac�c~ao entre um escoamento gasoso e os tubos dum permutadorde calor pode conduzir �a excita�c~ao de ressonancias ac�usticas.
Os modos ac�usticos excitados conduzem a utua�c~oes de press~aoconsider�aveis, no interior do equipamento, com a consequenteexcita�c~ao vibrat�oria dos elementos estruturais.
Quando as frequencias dos modos ac�usticos excitados peloescoamento coincidem com frequencias modais dos tubos ou aestrutura, as amplitudes vibrat�orias obtidas podem serextremamente nocivas para a integridade do sistema.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 27 / 31
Excita�c~ao de modos ac�usticos em permutadores
A interac�c~ao entre um escoamento gasoso e os tubos dum permutadorde calor pode conduzir �a excita�c~ao de ressonancias ac�usticas.
Os modos ac�usticos excitados conduzem a utua�c~oes de press~aoconsider�aveis, no interior do equipamento, com a consequenteexcita�c~ao vibrat�oria dos elementos estruturais.
Quando as frequencias dos modos ac�usticos excitados peloescoamento coincidem com frequencias modais dos tubos ou aestrutura, as amplitudes vibrat�orias obtidas podem serextremamente nocivas para a integridade do sistema.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 27 / 31
Excita�c~ao de modos ac�usticos em permutadores
A interac�c~ao entre um escoamento gasoso e os tubos dum permutadorde calor pode conduzir �a excita�c~ao de ressonancias ac�usticas.
Os modos ac�usticos excitados conduzem a utua�c~oes de press~aoconsider�aveis, no interior do equipamento, com a consequenteexcita�c~ao vibrat�oria dos elementos estruturais.
Quando as frequencias dos modos ac�usticos excitados peloescoamento coincidem com frequencias modais dos tubos ou aestrutura, as amplitudes vibrat�orias obtidas podem serextremamente nocivas para a integridade do sistema.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 27 / 31
Excita�c~ao de modos ac�usticos em permutadores
Maquete de permutador.Os primeiros 9 modos ac�usticos
(em press~ao) de uma cavidade.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 28 / 31
Excita�c~ao de modos ac�usticos em permutadores
Click me!Efeito das utua�c~oes de press~ao.
Multimedia Fluid Mechanics 2 DVD
ROM Edited by G. M. Homsy,
University of California, Santa Barbara.
-Deforma�c~ao de um modo ac�ustico por
efeito da inser�c~ao de uma placa de
correc�c~ao.
-Onde colocar a placa? Quais as suasdimens~oes �optimas?
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 29 / 31
Excita�c~ao de modos ac�usticos em permutadores
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
50
100
Auto
spec
tre
[dB]
Vel. int. = 20 m/s
0 Baffles; Leq=103.5 dB
a) > 824 Hz
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
50
100
Auto
spec
tre
[dB]
1 Baffle; Leq=91.6 dB
b) > 785 Hz
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
50
100
Frequency [Hz ]
Auto
spec
tre
[dB]
2 Baffles; Leq=84.2 dB
c)
Efeito da coloca�c~ao de placas de correc�c~ao ac�ustica.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 30 / 31
Conclus~oes
Nesta semin�ario abord�amos o conceito de modo ac�ustico queconstitui um conceito com aplica�c~oes na �area do tema multidisciplinare de interesse industrial: vibra�c~oes excitadas por escoamentos (FIV -Fluid Induced Vibrations).
As aplica�c~oes do conceito de modo ac�ustico permitem compreender econtrolar numerosos fen�omenos com interesse pr�atico tais como aexcita�c~ao de ressonancias ac�usticas e a ocorrencia de instabilidades uido-ac�usticas.
No seu conjunto estes t�opicos apresentam aspectos te�oricos eexperimentais cujo conhecimento �e uma mais valia indiscut��vel.
OBRIGADO PELA VOSSA ATENC� ~AO.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 31 / 31
Conclus~oes
Nesta semin�ario abord�amos o conceito de modo ac�ustico queconstitui um conceito com aplica�c~oes na �area do tema multidisciplinare de interesse industrial: vibra�c~oes excitadas por escoamentos (FIV -Fluid Induced Vibrations).
As aplica�c~oes do conceito de modo ac�ustico permitem compreender econtrolar numerosos fen�omenos com interesse pr�atico tais como aexcita�c~ao de ressonancias ac�usticas e a ocorrencia de instabilidades uido-ac�usticas.
No seu conjunto estes t�opicos apresentam aspectos te�oricos eexperimentais cujo conhecimento �e uma mais valia indiscut��vel.
OBRIGADO PELA VOSSA ATENC� ~AO.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 31 / 31
Conclus~oes
Nesta semin�ario abord�amos o conceito de modo ac�ustico queconstitui um conceito com aplica�c~oes na �area do tema multidisciplinare de interesse industrial: vibra�c~oes excitadas por escoamentos (FIV -Fluid Induced Vibrations).
As aplica�c~oes do conceito de modo ac�ustico permitem compreender econtrolar numerosos fen�omenos com interesse pr�atico tais como aexcita�c~ao de ressonancias ac�usticas e a ocorrencia de instabilidades uido-ac�usticas.
No seu conjunto estes t�opicos apresentam aspectos te�oricos eexperimentais cujo conhecimento �e uma mais valia indiscut��vel.
OBRIGADO PELA VOSSA ATENC� ~AO.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 31 / 31
Conclus~oes
Nesta semin�ario abord�amos o conceito de modo ac�ustico queconstitui um conceito com aplica�c~oes na �area do tema multidisciplinare de interesse industrial: vibra�c~oes excitadas por escoamentos (FIV -Fluid Induced Vibrations).
As aplica�c~oes do conceito de modo ac�ustico permitem compreender econtrolar numerosos fen�omenos com interesse pr�atico tais como aexcita�c~ao de ressonancias ac�usticas e a ocorrencia de instabilidades uido-ac�usticas.
No seu conjunto estes t�opicos apresentam aspectos te�oricos eexperimentais cujo conhecimento �e uma mais valia indiscut��vel.
OBRIGADO PELA VOSSA ATENC� ~AO.
Miguel Moreira (EST) Modo Ac�ustico 9 de Maio de 2012 31 / 31
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