8/18/2019 Aplicaciones en Cálculo Diferencial
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CÁTEDRA:
LENGUAJE DEPROGRAMACIÓN
CATEDRÁTICO:
Ing. Ms. LÓPEZ GUTIERRÉZ Helmer
ESTUDIANTES:
DE LA EGA DE LA ROSA D!"n"LEÓN CÓNDOR R#$"n" N#%el&
SEMESTRE: II SECCION: 'D(
)ACULTAD DE
INGENIER*A+U*MICAPROGRAMAS DE CÁLCULO DI)ERENCIAL
HUANCAYO-2012-
8/18/2019 Aplicaciones en Cálculo Diferencial
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CÁLCULO DIFERENCIAL
LIMITES
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de unasucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión ofunción se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisisreal y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptosfundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entreotros.
L,m!-e e /n" 0/n1!2n
Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite. ímite de una función.
En análisis real para funciones de una variable, se puede !acer una definiciónde límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores quetoma la función dentro de un intervalo se van apro"imando a un punto fi#adoc, independientemente de que $ste pertenezca al dominio de la función. Estose puede generalizar a%n más a funciones de varias variables o funciones endistintos espacios m$tricos.
&nformalmente, se dice que el límite de la función f(") es cuando " tiende ac, y se escribe'
i se puede encontrar para cada ocasión un " suficientemente cerca de c talque el valor de f(") sea tan pró"imo a como se desee.
ara un mayor rigor matemático se utiliza la definición $psilon*delta de límite,que es más estricta y convierte al límite en una gran !erramienta del análisisreal. u definición es la siguiente'
+El límite de f(") cuando " tiende a c es igual a si y sólo si para todo n%meroreal mayor que cero e"iste un n%mero real - mayor que cero tal que si ladistancia entre " y c es menor que -, entonces la distancia entre la imagen de "y es menor que unidades+.
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Esta definición, se puede escribir utilizando t$rminos lógico*matemáticos y demanera compacta'
COMANDOS +UE UTILIZAMOS PARA L*MITES:
• imit (f,",") se calcula límite.• imit (f,",",/ rig!t/) se calcula el limite lateral por la derec!a.• imit (f,",",/left/) se calcula el limite lateral por la izquierda.• retty ' &mprime la e"presión simbólica.• olyval ' Eval%a al polinomio.• yms' 0cceso directo para construir ob#etos simbólicos.• 1rin on ' ara colocar una re#illa en los puntos marcados sobre los e#es.
EJERCICIOS EN EL PROGRAMAMATLA3 4 LIMITES
PROGRAMA N56
clc2 3413050 030 6003 E &5&7E 43 0 8E3E960 E&:;
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disp(=******************************************= )
0&80
!allando el limite
******************************************
******************************************
y >
*(("A? B " B ?@)A(FC?) * (?@ * ")A(FC?))C("A? B ?D")
********************************************************
909
*FCF
***********************************************
909
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l>limit(n,",?)disp(=fue !allado el limite=)disp(=DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD=)disp(=E 3EEI7030 0 130J&90 8E 4&I45&4=)f>KG,*?,@,HL ">*M'.F'M
y>polyval(f,") plot(",y,=rD=) title(=130J&90 8E 4&I45&4 8084=) grid on "label(=845&I&4=)ylabel(=30I14=) disp(=J&IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIII=)
0&80
DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD
DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD
!allando el limte
n >
GD"AG * ?D"A? B @D" * H
resultado del limite de y'
l >
FN
fue !allado el limite
DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD
E 3EEI7030 0 130J&90 8E 4&I45&4
J&IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIII
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-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200GRAFICA DEL POLINOMIO DADO
DOMINIO
R A N G O
PROGRAMA N58
clc 2borra lo escrito y desplegado en la ventana de comandosclear all 2inicializa el espacio de traba#o en =sborra las variablesclose all 2cierra todas las ventanas abiertas (... de figuras)2 previassyms " t O 2declaracion de un ob#eto sumbolico2********************* E#emplo F ***********************disp(=PPPPPPPPPP3413050 030 4Q7EIE3 &5&7EPPPPPPPPPPPPPP =)disp(= =)disp(=************DDD4Q7EI9&4I 8E &5&7EDDD**********=)disp(=***R 130J&90 8E &57E 8E >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=)disp(=ySF(") > =)
pretty(ySF)disp(=limite lateral izquierdo de ySF("), "*T M> =)limSFF > limit(ySF,",M,=left=) 2limite lateral izquierdo
pretty(limSFF)
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disp(=limite lateral derec!o de ySF("), "*T M> =)limSF? > limit(ySF,",M,=rig!t= ) 2limute lateral derec!o
pretty(limSF?)disp(=limite de ySF("), "*TM > =)limSF>limit(ySF,",M) 2limite de una funcion
pretty(limSF)
disp(= *********************************************************** =)figure(=Iame=,=E#emplo F=)ezplot(ySF)grid on title(=ySF > *"A? B ?D" B ? =)2*******************************************************************disp(=DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDJ&I 8E3413050DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD=)
SALIDA DEL PROGRAMA:
5555555555PROGRAMA PARA O3TENER LIMITES55555555555555
444444444444999O3TENCION DE LIMITES9994444444444
444 GRA)ICAS DE LIMTE DE UNA )UNCION444
INTEGRANTES DEL E+UIPO:
LEON CONDOR R#$"n" N#%el&DE LA EGA DE LA ROSA D!"n"
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
444444444444 PROGRAMA PARA O3TENER LIMITE:44444444444
LATERAL DERECHO
LATERAL IZ+UIERDO
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
& ;
7
4 $ ? 7 $ ? 7
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-6 -4 -2 0 2 4 6
-50
-40
-30
-20
-10
0
x
y1 = -x2 + 2*x + 2
l!m!-e l"-er"l !@/!er# e &B $4 ;
4
l!m!-e l"-er"l ere1%# e &B $4 ;
4
l!m!-e e &B $4 ;
4
44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444
9999999999999999999999999)IN DELPROGRAMA9999999999999999999999999999
PROGRAMA N5
clc 2borra lo escrito y desplegado en la ventana de comandos
clear all 2inicializa el espacio de traba#o en =sborra las variablesclose all 2cierra todas las ventanas abiertas (... de figuras)2 previasdisp(=PPPPPPPPPP3413050 030 4Q7EIE3 &5&7EPPPPPPPPPPPPPP =)disp(= =)disp(=************DDD4Q7EI9&4I 8E &5&7EDDD**********=)disp(=***R 130J&90 8E &57E 8E
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disp(= E4I 94I843 3o"ana Io!ely =)disp(= 8E 0 VE10 8E 0 340 8iana=)disp(=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=)disp(= ************ 3413050 030 4Q7EIE3 &5&7E'*********** =)disp(= 07E30 8E3E964 =)disp(= 07E30 &:;>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=)syms " t O 2declaracion de un ob#eto sumbolicoySM>FC("*F)disp(= =)disp(=ySM(") > =)
pretty(ySM)disp(=limite lateral izquierdo de yS?("), " *T F > =)
limSMF > limit(ySM,",F,=left=) 2limite lateral izquierdo pretty(limSMF)disp(=limite ateral derec!o de yS?("), "*T F > =)limSM? > limit(ySM,",F,=rig!t=) 2limite lateral derec!o
pretty(limSM?)disp(=limite de ySG("), " *T F > =)limSM > limit(ySM,",F) 2limite de una funcion
pretty(limSM)disp(=**********************************************************= )figure(=Iame=,=E#emplo ?=)
ezplot(ySM)grid ontitle(=ySM> FC("*F)=)2 ***************************************************************disp(=PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP J&I PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP=)
SALIDA DEL PROGRAMA:
5555555555PROGRAMA PARA O3TENER LIMITES55555555555555
444444444444999O3TENCION DE LIMITES9994444444444
444 GRA)ICAS DE LIMTE DE UNA )UNCION444
INTEGRANTES DEL E+UIPO:
LEON CONDOR R#$"n" N#%el&
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DE LA EGA DE LA ROSA D!"n"
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
444444444444 PROGRAMA PARA O3TENER LIMITE:44444444444
LATERAL DERECHO
LATERAL IZ+UIERDO
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; & ;
6
44444
$ 4 6
l!m!-e l"-er"l !@/!er# e &B $ 4 6 ;
4In0
l!m!-e "-er"l ere1%# e &B $4 6 ;
In0
l!m!-e e &B $ 4 6 ;
N"N
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444
55555555555555555555555555 )IN 555555555555555555555555555555
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-6 -4 -2 0 2 4 6
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
y4= 1/(x-1)
PROGRAMA N5F
clc 2borra lo escrito y desplegado en la ventana de comandosclear all 2inicializa el espacio de traba#o en =sborra las variablesclose all 2cierra todas las ventanas abiertas (... de figuras)2 previasdisp(=PPPPPPPPPP3413050 030 4Q7EIE3 &5&7EPPPPPPPPPPPPPP =)
disp(= =)disp(=************DDD4Q7EI9&4I 8E &5&7EDDD**********=)disp(=***R 130J&90 8E &57E 8E
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disp(=*********************************************************= )figure(=Iame=, =E#emplo @= )ezplot(yS@)grid ontitle(=yS@ > (*D"AM B "A? B F) C (?D"AM * ")=)a"is(K* M *F FL)
disp(= DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD VE0E 0 &501EIDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD=)disp(= DDDDDDDDDDDDDDDDDDD Jin del rograma DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD=)
SALIDA DEL PROGRAMA:
5555555555PROGRAMA PARA O3TENER LIMITES55555555555555
444444444444999O3TENCION DE LIMITES9994444444444
444 GRA)ICAS DE LIMTE DE UNA )UNCION444
INTEGRANTES DEL E+UIPO:
LEON CONDOR R#$"n" N#%el&
DE LA EGA DE LA ROSA D!"n"
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
44444444444444444444444444 eeml# F 44444444444444444444444444
& ;
7
4 $ ? $ ? 6
4 444444444444444
$ 4 7 $
l!m!-e e &B $4 ?!n0 ;
48
99999999999999999999 EASE LA IMAGEN 9999999999999999999999
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-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
y5 = (-6*x
4 + x
2 + 1) / (2*x
4 - x)
9999999999999999999 )!n el Pr#gr"m" 9999999999999999999999
DERIADASDERIADAS DE ORDEN SUPERIOR:
DERIADAS SUCESIAS:
i' y > f(") as notaciones empleadas para las derivadas de orden superior son'
dy
dx= y ' .. 65 er!"" e '&( 1#n rese1-# " '$(.
d
dx ( dydx )× d2
y
dx2= y ' ' 75 er!"" e '&( 1#n rese1-# " '$(.
d
dx (d2 y
d x2 )× d
3 y
dx3 = y ' ' ' ... 85 er!"" e '&( 1#n rese1-# " '$(.
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. . .
d
dx
(d
n−1 y
d xn−1
)×
dn y
dxn = yn
.... 5 er!"" e '&( 1#n rese1-# " '$(.
Eeml#' 6alle la siguiente derivada !asta su mínima e"presión.
& ; $K?89$
S#l/1!2n:
dydx ; M(")
G B G(F) . 65 er!""
d2
y
dx2 > F?(")? B . 75 er!""
d3
y
dx3 ; ?M(")F . 85 er!""
d4 y
dx4 ; ?M(F) . 5 er!""
d5 y
dx5 ; . F5 er!""
DERIADA PARCIAL DE RESECTO A '$( RESPECTO A '&(:
"> De0!n!1!2n: ea f una función de dos variables ", y. a derivada parcial
de f 1#n rese1-# " $ es aquella función denotada por∂ y
∂ x ( x , y ) , tal
que su valor en cualquier punto (", y) ϵ 8 esta dado por'
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∂ y
∂ x ( x , y ) ; logh →0
f ( x+h , y )−f ( x , y )h
iempre que e"iste este límite. En este caso' ! > ∆ " > " W ".
> a derivada parcial de 0 1#n rese1-# " & es aquella función, denotada por'
∂ y
∂ x ( x , y ) ; logk →0
f ( x , y+k )−f ( x , y )k
iempre que e"iste este límite. En caso' X > ∆ y > y W y.
Este proceso de !allar una derivada parcial se llama 8&JE3EI9&09&YI.
N#-": 9uando se aplican las reglas de derivación tener en cuenta la siguienterecomendación'
"> En el proceso de !allar'∂ f
∂ x B '&( es constante.
>∂ f
∂ y , '$( es constante.
Eeml#:
8ada 0=$B&> ; $K8 ? 89$
S#l/1!2n:
a)
∂ f
∂ x > G(")? BG(F)
b)∂ f
∂ y >
En l" n#s res/l-" 1er# #r /e n# e$!s-e &.
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COMANDOS +UE UTILIZAMOS PARA L*MITES:
8iff(f,")' 9alcula la diferencia y apro"imación de la derivada. Jprintf(=ZnZn=)' ermite la visualización de un valor num$rico, e indica la
posición de la variable en la siguiente línea. Ezplot' 8ibu#a la e"presión de la función. yms' 0cceso directo para construir ob#etos simbólicos.
EJERCICIOS EN EL PROGRAMAMATLA3 4 DERIADAS
PROGRAMA N56
clc2limpia la ventana de comandosclear all2limpia la memoriadisp(= 0=,=s=)disp(=D3&5E30 8E3&V080=)a>diff(f,")disp(a)disp(=DE1diff(a,")disp(b)disp(=D7E39E30 8E3&V080=)c>diff(b,")disp(c)disp(=D9diff(c,")disp(d)
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disp(=D;diff(d,")disp(e)subplot(F,?,F), ezplot(a)grid onylabel(= E#e R =) "label(= E#e [ =)
subplot(F,?,?), ezplot(d)grid onylabel(= E#e R =) "label(= E#e [ =)disp(=.................................................................=)disp(= D J&I 8E 3413050 D =)
PROGRAMA DE SALIDA:
ALUMNAS:
9LEÓN CÓNDORB R#$"n" N#%el&
9DE LA EGA DE LA ROSAB D!"n"
.........................................................
9Pr#gr"m" "r" %"ll"r: 9
99 DERIADAS SUCESIAS99 9
.........................................................Ingrese l" 0/n1!2n 0=$>;$K?89$
9PRIMERA DERIADA
9$K8 ? 8
9SEGUNDA DERIADA
679$K7
9TERCERA DERIADA
79$
9CUARTA DERIADA
7
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18/24
-5 0 5
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
Eje X
4 x3 + 3
E j e Y
-5 0 5
23
23.2
23.4
23.6
23.8
24
24.2
24.4
24.6
24.8
25
Eje X
24
E j e Y
9+UINTA DERIADA
.................................................................
9 )IN DEL PROGRAMA 9
PROGRAMA N5 7
clcclear all 23413050 030 6003 8E3&V080 039&0E y <130J&90!>FO!ile !>>F 2mientras ! sea igual a F
clcdisp(=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=)disp(= 4Q7EI9&4I 8E 0 8E3&V080 =)disp(= 039&0 3EE974 a [ e R =)disp(=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=)disp(=.......>) 34[0I0 I46ER E4I 94I843 ............=)
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19/24
syms " y z 2la funcion syms define como variables a [ e Rfprintf(=ZnZn=)0>input(=&I13EE 0 Jinput(=presione F para continuar y ? para finalizar' =)if !>>? 2si ! es igual a ? endendendfprintf(=ZnZn=)fprintf(=ZnZn=)
input(=presione enter...=)clcdisp(= J&I 8E 3413050 =)disp(= >) #um#um#um ^*T** =)
SALIDA DEL PROGRAMA:
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20/24
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
O3TENCION DE LA DERIADA
PARCIAL RESPECTO " e
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
.......;> ROANA NOHEL LEÓN CÓNDOR .....
INGRESE LA )UNCION 0=$B&>:$K8?89$
444444444444444444444444444
LA DERIADA RESPECTO A ES:
89$K7 ? 8
444444444444444444444444444
LA DERIADA RESPECTO A ES:
res!#ne 6 "r" 1#n-!n/"r & 7 "r" 0!n"l!@"r: 7
res!#ne en-er...
)IN DEL PROGRAMA
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Eje x
E j e
z
Derivada respecto a x
-5 0 5
-6
-4
-2
0
2
4
6
-5 0 5
-6
-4
-2
0
2
4
6
Eje y
Derivada respecto a y
E j e
z
EJERCICIO N58
function derivadaclcdisp(=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=)
disp(=*****************DDD4Q7EI9&4I 8E 0 8E3&V080DDD***************=)disp(=***R 130J&90 8E 0 Jdiff(0)disp(=la derivada de la funcion será'=)disp(Q)disp(=0 continuacion se mostrarán las graficas' =)
disp(=rimero de la Juncion inicial=)disp(=uego de la funcion derivada=)subplot(F,?,F), ezplot(y*0)subplot(F,?,?), ezplot(y*Q)
SALIDA
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
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22/24
-5 0 5
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
z
z - 2 x - 5 = 0
-5 0 5
-6
-4
-2
0
2
4
6
z
z
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
!ngrese 0/n1!#n:$K7?F9$?
M ;
$K7 ? F9$ ?
N ;
79$ ? F
O ;
l" er!"" rese1-# " $ es:
79$ ? F
l" er!"" rese1-# " & es:
GRA)ICO DE LA )UNCION
GRA)ICO DE LA )UNCION DERIADA
EJERCICIO N5
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23/24
clc,cleardisp(=DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD=)disp(=DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD=)disp(=600I84 0 8E3&V080=)syms " yJ>=MDyA?Dsin(")B"A@ByAGD"AG=
5>diff(J,="=,G)disp(=&5&J&90I84 0 8E3&V0=)>simplify(5)
pretty(5)disp(=130J&94 8E 0 J?$KF?&K89$K8
M ; 9$K7 4 9&K791#s=$> ? 9&K8 SIMPLI)ICANDO LA DERIA
S ; 9$K7 4 9&K791#s=$> ? 9&K8
7 7 8 $ 4 & 1#s=$> ? &
GRA)ICO DE LA )UNCIONGRA)ICO DE LA )UNCION A DERIADA
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24/24
-5 0 5
-6
-4
-2
0
2
4
6
EJE X
E J E
Y
GRAFICA DE LA FUNCION
-5 0 5
-6
-4
-2
0
2
4
6
EJE X
E J E Y
GRAFICA DE LA FUNCION DERIVADA
)INNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN
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