Antoine Gloria November 27, 2017
De la physique statistiquea l’elasticite non lineaire
Antoine Gloria, Seminaire LJLL
Des polymeres aux caoutchoucs
Physique des reseauxde chaınes de
polymeres reticules
Mecanique des milieuxcontinus hyperelastiques
−kT ln(ˆ
exp(− 1kT H)
)hasard, heterogeneites
Λ 7→W (Λ) ou ∂ΛW (Λ)
pas de hasard, materiauhomogene
Antoine Gloria November 27, 2017
Points de vue
I Physique mathematique : justification rigoureuse du passagede la physique statistique a l’elasticite non lineaire
I Numerique : developpement et analyse de methodesd’approximation de Λ 7→W (Λ)
I Modelisation : comparaison avec les experiences (mecaniqueset physiques)
I Pratique : utilisation de Λ 7→W (Λ)
Antoine Gloria November 27, 2017
Partie 1: Physique mathematique
Partie 1.1: Energie libre a temperature TPartie 1.2: Energie libre a petite temperature 0 < T 1
Collaborateurs : Roberto Alicandro (Cassino), Marco Cicalese (Munich),Mathew Penrose (Bath), Matthias Ruf (Bruxelles)
Antoine Gloria November 27, 2017
Partie 1: Physique mathematique
Partie 1.1: Energie libre a temperature TPartie 1.2: Energie libre a petite temperature 0 < T 1
Collaborateurs : Roberto Alicandro (Cassino), Marco Cicalese (Munich),Mathew Penrose (Bath), Matthias Ruf (Bruxelles)
Antoine Gloria November 27, 2017
Reseau de chaınes de polymeres
Reseau aleatoire de chaınes ij de sommets uiet uj , nombre Nij de monomeres de longueurtypique `0Energie (libre) d’une chaıne fij(ui , uj ,T )Energie sterique Uvol(u)Deformation au bord du domaine D imposee
Ensemble canonique (nombre de chaınes et temperature fixes)Energie libre de Helmholtz a temperature T :
E = −kT logZ
= −kT log
[ ˆS(u)
exp
(− 1
kT
(Uvol(u) +
∑i∼j
fij(ui , uj ,T )︸ ︷︷ ︸H(u)
))du].
Antoine Gloria November 27, 2017
Origine du HamiltonienModele (simplifie) :I reseau et temperature donnes, espace d’etats discretI chaınes parfaites : etant donnes ui et uj et le nombre de monomeres
Nij , sij ∈ (Rd )Nij est un pont aleatoire, Ωij(ui , uj) est le nombred’etats de sij pour ui et uj donnes
I Interactions steriques (echelle intermediaire), entre chaınes via useulement: Uvol(u)
I domaine borne, “conditions de Dirichlet”: x 7→ Λx , Λ matrice
Fonction de partition :
Z =∑
uexp(−Uvol(u)
kT )∏i∼j
Ωij(ui , uj)
=∑
uexp
(− 1
kT
(Uvol(u) +
∑i∼j−kT log Ωij(ui , uj)︸ ︷︷ ︸
=: fij(ui , uj ,T )
))
Antoine Gloria November 27, 2017
Energie libre d’une chaıne isoleePour une chaıne avec N monomeres de taille ` : etant donnes ui et uj ,r = |ui − uj |
fij(ui , uj ,T ) = kTN(
rN`θ
( rN`
)+ log
θ( r
N`)
sinh θ( r
N`)) ,
ou θ est l’inverse de la fonction de Langevin L : α 7→ cothα− 1α (Kuhn
et Grun) :
Antoine Gloria November 27, 2017
Remise a l’echelle
Domaine Dε = Dε ,
∼ ε−d |D| chaınesDeformation uεuε ∈ SD,ε ∼ (Rd )ε
−d |D| + BC
Energie libre de Helmholtz : quantite extensive
ED,ε(T ) = −kT εd
|D| logZD,ε
= −kT εd
|D| log
[ˆSD,ε
exp
(− 1
kT HD,ε(uε))
duε].
Antoine Gloria November 27, 2017
Passage a la limite (limite thermodynamique)Deux objets d’interet :I Energie libre ED,ε(T )
I Mesure de Gibbs (caracterise les etats occupes): PourV ⊂ SD,ε ⊂ Lp(D),
µε,T (V ) =1Zε,T
ˆV
exp(− 1kT HD,ε(u))du
(µε,T (SD,ε) = 1
)(mesure de probabilite sur SD,ε)
Deux questions :I Convergence de ED,ε(T ) vers un reel, lien avec un modele
d’elasticite ?I Convergence de µε,T vers une mesure sur Lp(D) (au sens des
grandes deviations), lien avec un modele d’elasticite ?
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Limite de l’energie libre: Condition aux limites lineaire
Condition au bord: u(x) = Λx (Λ matrice).
Il existe Whom,T : Md (R)→ [0,+∞] telle que pour tout Λ,
limε↓0
ED,ε(T ,Λ) = Whom,T (Λ)
(presque surement si reseau stationnaire ergodique, conditions decroissance algebrique sur f et Uvol — theoreme ergodique sous-additif).
Proprietes :I indifference materielleI isotropie si reseau statistiquement isotropeI quasiconvexe
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Limite de l’energie libre: Condition aux limites generale
Condition au bord: u(x) = φ(x) (φ ∈W 1,p(D), 1 < p <∞ condition decroissance).
Pour tout φ ∈W 1,p(D),
limε↓0
ED,ε(T , φ) = inf
DWhom,T (∇u(x))dx : u ∈ φ+ W 1,p
0 (D).
L’energie libre de Helmholtz du reseau converge vers l’infimum d’unefonctionnelle d’energie (avec les memes conditions aux limites).
Modele hyperelastique en grandes deformations.
Arguments de preuve : sous-additivite approchee et blow-up.
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Mesure de Gibbs : Principe de grandes deviationsSoit φ ∈W 1,p(D) CL donnee. Fonction de taux sur Lp(D) (seulementfinie sur φ+ W 1,p
0 (D))
I(u) :=
D
Whom,T (∇u)− infφ+W 1,p
0 (D)
D
Whom,T (∇·).
Soit Πε une projection de Lp(D) sur SD,ε. Par argument de tensionexponentielle : Pour tout ouvert O ⊂ Lp(D),
lim infε↓0
εd
|D| log(µε,T (Πε(O))) ≥ − infu∈OI(u)
et pour tout ferme F ⊂ Lp(D),
lim supε↓0
εd
|D| log(µε,T (Πε(F ))) ≤ − infu∈FI(u).
Donc la suite des mesures de Gibbs est compacte faible-* et toute valeurd’adherence a son support dans l’ensemble des minimiseurs de I.
Antoine Gloria November 27, 2017
Limite thermodynamique : conclusion
La mesure de Gibbs (qui decrit la distribution des etats peuples) seconcentre quand ε ↓ 0 vers les minimiseurs d’une fonctionnelle de typeelasticite non lineaire. L’energie libre de Helmholtz converge vers leminimum de cette meme fonctionnelle :I convergence de la distribution microscopique des etats vers des
minimiseurs macroscopiques : µε,D∗ δu,
u = arg infffl
D Whom,T (∇u) : u ∈ φ+ W 1,p(D) (si unique)I convergence de l’energie libre vers le minimum de l’energie (libre) :
ED,ε(T , φ)→ infffl
D Whom,T (∇u) : u ∈ φ+ W 1,p(D).
Reminiscent de la Γ-convergence :I convergence des minimiseursI convergence des minima
Antoine Gloria November 27, 2017
Partie 1: Physique mathematique
Partie 1.1: Energie libre a temperature TPartie 1.2: Energie libre a petite temperature 0 < T 1
Collaborateurs : Roberto Alicandro (Cassino), Marco Cicalese (Munich),Mathew Penrose (Bath), Matthias Ruf (Bruxelles)
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Que sait-on de Whom,T ?Rappel : Pour toute matrice Λ,
Whom,T (Λ) = limε↓0
ED,ε(T ,Λ)
= limε↓0−kT εd
|D| log
[ˆSD,ε(Λ)
exp(− 1
kT Hε,T (u))
du].
Inutilisable en “pratique”. Quid de 0 < T 1 ?
Si Hε,T ne depend pas de T , formellement (interversion de limites)
limT↓0
Whom,T (Λ) = limε↓0
limT↓0−kT εd
|D| log
[ ˆSD,ε(Λ)
exp(− 1
kT Hε,T (u))
du]
= limε↓0
εd
|D| inf
Hε(u) : u ∈ Sε(Λ).
Si Hε,T depend de T , il faut pousser l’analyse...
Antoine Gloria November 27, 2017
Limite 0 < T 1: H independant de THypotheses standard sur H (continu / coercif dans Lp).Resultat de Γ-convergence (remise a l’echelle ε) a temperature nulle :I CL lineaire x 7→ Λx : Il existe une densite d’energie Whom telle que
limε↓0|D|−1 inf
εd Hε(u) : u ∈ Sε(Λ)
= Whom(Λ)
I Iε : u 7→ εd Hε(u) Γ(Lp)-converge vers Ihom : Lp(D)→ [0,∞],u 7→
´D Whom(∇u).
Convergence des modeles limites T ↓ 0 ?I Convergence ponctuelle de Whom,T vers Whom : pour tout Λ,
|Whom(Λ)−Whom,T (Λ)| . T | log T |(1 + |Λ|p).
I Γ(Lp)-convergence deIhom,T : Lp(D)→ [0,∞], u 7→
´D Whom,T (∇u) vers Ihom.
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Limite 0 < T 1: H independant de THypotheses standard sur H (continu / coercif dans Lp).Resultat de Γ-convergence (remise a l’echelle ε) a temperature nulle :I CL lineaire x 7→ Λx : Il existe une densite d’energie Whom telle que
limε↓0|D|−1 inf
εd Hε(u) : u ∈ Sε(Λ)
= Whom(Λ)
I Iε : u 7→ εd Hε(u) Γ(Lp)-converge vers Ihom : Lp(D)→ [0,∞],u 7→
´D Whom(∇u).
Convergence des modeles limites T ↓ 0 ?I Convergence ponctuelle de Whom,T vers Whom : pour tout Λ,
|Whom(Λ)−Whom,T (Λ)| . T | log T |(1 + |Λ|p).
I Γ(Lp)-convergence deIhom,T : Lp(D)→ [0,∞], u 7→
´D Whom,T (∇u) vers Ihom.
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Limite 0 < T 1: H dependant de TTrois approches possibles : une liee aux valeurs physiques, deux liees aunombre de monomeres par chaıne :
(i) Aux conditions “normales de temperature...”, l’energie libre d’unechaıne est d’ordre 1 et on obtient une borne sur Whom,T ,T−Whom,T ,0 comme si le Hamiltonien ne dependait pas de T .
(ii) Si tous les monomeres avaient la meme contribution a l’energielibre, l’erreur en negligeant l’energie des “noeuds” devrait etred’ordre 1
N kT ;
(iii) Quand N devient grand, l’energie libre d’une chaıne devientquadratique, auquel cas on a de maniere exacte
Whom,T ,T (Λ) = Whom,T ,0(Λ) + Whom,T ,T (0).
L’approche (i) n’est pas deraisonnable mais est-ce le cas ? L’approche(ii) n’est pas (encore ?) rigoureuse. L’approche (iii) est rigoureuse maislimitee.
Antoine Gloria November 27, 2017
Partie 2 : Approximation numerique de Whom
Partie 2.1 : Analyse de la methode de periodisation (cas lineaire)Partie 2.2 : Methode de periodisation (cas non lineaire)
Collaborateurs :I Mitia Duerinckx (Bruxelles), Stefan Neukamm (Dresden), Jim
Nolen (Duke), Felix Otto (Leipzig)I Laure Giovangigli (LJLL), Patrick Le Tallec (Polytechnique),
Francois Lequeux (ESPCI), Marina Vidrascu (Inria)
Antoine Gloria November 27, 2017
Partie 2 : Approximation numerique de Whom
Partie 2.1 : Analyse de la methode de periodisation (cas lineaire)Partie 2.2 : Methode de periodisation (cas non lineaire)
Collaborateurs :I Mitia Duerinckx (Bruxelles), Stefan Neukamm (Dresden), Jim
Nolen (Duke), Felix Otto (Leipzig)I Laure Giovangigli (LJLL), Patrick Le Tallec (Polytechnique),
Francois Lequeux (ESPCI), Marina Vidrascu (Inria)
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Probleme modele
Version continue et lineaire du modele : homogeneisation stochastique del’elasticite lineaire:
−∇ · L(·ε
)∇u = f + CL.
Tenseur d’elasticite homogeneise (〈·〉 pour esperance) :
LhomΛ := 〈L(Λ +∇φΛ)〉 ,
ou φΛ est solution du probleme de correcteur dans Rd (presque surement)
−∇ · L(Λ +∇φΛ) = 0.
Approcher numeriquement Lhom est delicat : probleme dans tout l’espaceet esperance.
Antoine Gloria November 27, 2017
Methode de periodisationOn considere un grand tore TR , R 1. On periodise la loi de L (subtil,pas toujours possible) et considere N realisations independantes Li
R dutenseur aleatoire LR .Soit φi
Λ la solution du probleme de correcteur sur TR
−∇ · LiR(Λ +∇φi
Λ,R) = 0.
On pose
Lhom,R,N :=1N
N∑i=1
TR
LiR(Λ +∇φi
Λ,R).
Cela revient aI tronquer Rd et mettre des CL artificielles pour l’equation du
correcteurI approcher l’esperance par une moyenne spatiale (ergodicite) et une
methode de Monte-Carlo
Antoine Gloria November 27, 2017
Exemple
Mauvaise versus bonne periodisation
Antoine Gloria November 27, 2017
Analyse de la methode
Si la loi de L est periodisable et satisfait (par ex.) un trou spectral, alorsI Erreur systematique
| 〈Lhom,R,N〉 − Lhom| . R−d logd R.
I Variance de l’erreur
|var [Lhom,R,N ] | . N−1R−d .
I Loi asymptotique de l’erreur : il existe un tenseur Q tel que
dK/W
(R d
2Λ · (Lhom,R − Lhom)Λ
Λ⊗ Λ · QΛ⊗ Λ,N). R− d
2 logd R.
Preuves delicates basees sur une theorie quantitative de l’homogeneisationstochastique (cours de Master fin janvier pour en savoir plus :-))
Antoine Gloria November 27, 2017
Exemple
Erreur systematique (bleue), variance (rouge) et loi asymptotique(R = 200)
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35Density estimate with a sample size equal to 5000 and N=200
Antoine Gloria November 27, 2017
Partie 2 : Approximation numerique de Whom
Partie 2.1 : Analyse de la methode de periodisation (cas lineaire)Partie 2.2 : Methode de periodisation (cas non lineaire)
Collaborateurs :I Mitia Duerinckx (Bruxelles), Stefan Neukamm (Dresden), Jim
Nolen (Duke), Felix Otto (Leipzig)I Laure Giovangigli (LJLL), Patrick Le Tallec (Polytechnique),
Francois Lequeux (ESPCI), Marina Vidrascu (Inria)
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Methode
Extension de la methode presentee dans le cas lineaire :I Generation du reseau periodise, Delaunay periodise pour terme
volumiqueI EF 1D et 3DI elasticite non lineaire 3D en grandes deformations (Newton,
continuation)I Approximations de Whom, DWhom, D2Whom
Implementation : tres specifique
Antoine Gloria November 27, 2017
Exemple : Reseau aleatoire
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Exemple : convergence
Variance et convergence (sans periodisation... en cours)
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−3.4
−3.2
−3
−2.8
−2.6
−2.4
−2.2
−2
−1.8
hh
kk
0 1 2 3 4 5 6
x 104
0.42
0.425
0.43
0.435
0.44
0.445
0.45
0.455
kk
hh
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Partie 3: Modelisation
Partie 3.1: Experiences mecaniquesPartie 3.2: Experiences physiques
Collaborateurs : Laure Giovangigli (LJLL), Patrick Le Tallec(Polytechnique), Francois Lequeux (ESPCI), Marina Vidrascu (Inria)
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Partie 3: Modelisation
Partie 3.1: Experiences mecaniquesPartie 3.2: Experiences physiques
Collaborateurs : Laure Giovangigli (LJLL), Patrick Le Tallec(Polytechnique), Francois Lequeux (ESPCI), Marina Vidrascu (Inria)
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Cisaillement et deformation uniaxiale
Experiences de Treloar
Remarque : reseau naif.
Antoine Gloria November 27, 2017
Effet Rivlin
Diagramme de Mooney
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Partie 3: Modelisation
Partie 3.1: Experiences mecaniquesPartie 3.2: Experiences physiques
Collaborateurs : Laure Giovangigli (LJLL), Patrick Le Tallec(Polytechnique), Francois Lequeux (ESPCI), Marina Vidrascu (Inria)
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Effet papillonTransformee de Fourier de la distribution des longueurs des chaınes enfonction de leur orientation en extension simple : mesure de lanon-affinite de la deformation (correcteur non nul !)
Experiences (Nicolas Jouault) versus minimisation et approximation deWhom.
Antoine Gloria November 27, 2017
Partie 4 : Approximation pratique de Whom
Collaborateurs : Maya de Buhan (Descartes), Laure Giovangigli (LJLL),Patrick Le Tallec (Polytechnique), Marina Vidrascu (Inria)
Antoine Gloria November 27, 2017
En pratique
Passage d’une loi de constitution numerique a une loi de constitutionanalytique : reconstruction / approximation / assimilation de donnees.Quelques remarques :I optimiste : echantillons de Whom, DWhom, D2Whom dans tous les
regimes qu’on veutI pessimiste : Whom est quasiconvexe — propriete non locale
Degradation du probleme :I quasiconvexe polyconvexe (idees pour faire ca?)I polyconvexe lois d’Ogden
Wog (Λ) =∑
iai∑
jλαi
j +∑
ibi∑
j(λjλj+1)βi
+ K1 det Λ2 − 2K2 log det Λ,
sous la contrainte inf Wog = Wog (Id), λj valeurs singulieres de Λ.Antoine Gloria November 27, 2017
Assimilation de donnees
Wog (Λ) =∑
iai∑
jλαi
j +∑
ibi∑
j(λjλj+1)βi
+ K1 det Λ2 − 2K2 log det Λ,
Generer un echantillonnage de Whom, DWhom et D2Whom a un ensemblede gradients de deformations Λ. Fixer une metrique pour quantifierl’approximation.
Trouver (ai , αi , bi , βi ,K1,K2) qui minimise l’erreur entre Whom (et sesgradients) et Wog (et ses gradients).
Probleme de minimisation non lineaire non convexe : algorithmegenetique pour α, β, systeme lineaire pour a, b,K1,K2, projection pourrespecter la contrainte.
Antoine Gloria November 27, 2017
Reconstruction
10 parametresAntoine Gloria November 27, 2017
Perspectives
I Physique mathematique : justification rigoureuse du passagede la physique statistique a l’elasticite non lineaire
I Numerique : developpement et analyse de methodesd’approximation de Λ 7→W (Λ)
I Modelisation : comparaison avec les experiences (mecaniqueset physiques)
I Pratique : utilisation de Λ 7→W (Λ)
Pour en savoir plus : page web bientot en ligne !
Antoine Gloria November 27, 2017
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