MecânicaMecânicaMecânicaMecânica dos Fluidos dos Fluidos dos Fluidos dos Fluidos (SEM5749) – Prof. Oscar M.H. Rodriguez
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos
Equações Constitutivas para Fluidos Newtonianos - Eqs. de Navier- Stokes (cont.):
Para fluido Newtoniano, a tensão viscosa é proporcional à taxa de deformação angular); para coordenadas retangulares:
Obs.: para placas planas, paralelas, infinitas, a superior movendo-se com velocidade constante:
dydu
yx µτ =
Obs.: Num sistema hidrostático, ou seja, o fluido estando em descanso:
pzzyyxx −=== σσσsendo p a pressão termodinâmica
As eqs. acima constituem uma afirmação geral da Lei de Newton da Viscosidade, aplicadas para situações de escoamento complexas com o fluido escoando em todas as direções
Da Eq. 13:
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Exemplo: Placas planas, paralelas, infinitas, a superior movendo-se com velocidade constante.
A tensão cisalhante aplicada ao elemento de fluido é dada por:
y
x
y
x
Ayx dAdF
AFLim
y
==→ δ
δτδ 0
Taxa de deformaçãodtd
tLimt
αδδα
δ==
→0
Problema: como expressar a taxa de deformação em termos facilmente mensuráveis?
δαδδδδδ yltul == ou (para ângulos pequenos)
Igualando as expressões acima e aplicando o limite em ambos os lados, tem-se:
dydu
dtd =α
Assim, o elemento de fluido da fig. Acima, quando sujeito à tensão cisalhante, , experimenta uma taxa de deformação dada por du/dy.
yxτ
yxτ
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Fluidos nos quais a tensão cisalhante é diretamente proporcional à taxa de deformação são chamados fluidos Newtonianos. Assim:
dydu
yx ∝τ
• A viscosidade dinâmica pode ser imaginada como sendo a “aderência” interna de um fluido; é uma das propriedades que influência a potência necessária para mover um aerofólio através da atmosfera, é responsável pelas perdas de energia associadas ao transporte de fluidos em dutos, canais e tubulações, e tem um papel primário na geração de turbulência.
A cte. de proporcionalidade é a viscosidade dinâmica, µ.
Lei de Newton da viscosidade:
dydu
yx µτ = (escoamento unidimensional)
Obs.: note que,
0================
−−−−============
∂∂∂∂∂∂∂∂========
zxxzzyyyz
zzyyxx
yxxy
pyu
τττττττ
µττ
Quadro negro
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Substituindo as expressões para as tensões na equação diferencial da quantidade de movimento, temos:
Estas são as equações gerais diferenciais da quantidade de movimento para fluido Newtoniano ou Equações de Navier-Stokes com densidade e viscosidade variáveis
Estas equações, juntamente com a equação da continuidade, a equação de estado, a equação da energia e conhecendo-se a lei empírica da viscosidade e as condições de contorno e condições iniciais, determinam completamente a pressão, densidade, temperatura, viscosidade e componentes da velocidade em um escoamento de um fluido (7 eqs. para 7 incógnitas: u, v, w, p, ρ, T, µ).
Da Eq. 19:
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As equações de Navier-Stokes (N-S) gerais podem ser simplificadas quando ρρρρ = cte. ( ) e µµµµ = cte. (variação da viscosidade desprezível). Nestas condições as equações de N-S ficam sendo:
Escoamento incompressível e viscosidade dinâmica constante
Em notação vetorial, as equações de Navier-Stokessimplificadas assumem a seguinte forma:
� � ���
��
���
�
q.d.m. de difusão de termo-
superfície de força -volume
de unidadepor viscosaforça -
2
superfície de força -volume
de unidadepor pressão de força -
campo de força -volume
de unidadepor nalgravitacio força -
q.d.m. de e transportdeou sconvectivo termos-
aceleração vezes volumede
unidadepor massa -
VpgDtVD ∇+∇−= µρρ
Para escoamentos invíscidos (µ = 0), chega-se à famosa equação de Euler, derivada em 1755:
pgDtVD ∇−= �
�
ρρ
0====⋅⋅⋅⋅∇∇∇∇ V�
(Obs.: juntamente com a continuidade são 4 eqs. para 4 incógnitas: u, v, w e p):
(quadro negro)
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Análise Dimensional e Semelhança• As equações diferenciais parciais da continuidade e da quantidade de movimento serão discutidas do ponto de vista da análise dimensional.
• O desenvolvimento a seguir é limitado a sistemas de densidade (ρρρρ) constante e viscosidade (µµµµ) constante.
Tomemos, por exemplo, o caso de escoamento em tubos. O comprimento característico pode ser o diâmetro D, e V pode ser a velocidade média do escoamento. A seguir temos algumas variáveis adimensionais convenientes e operadores adimensionais:
(1)
Da *
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Relembrando que as equações da continuidade e quantidade de movimento para fluidos Newtonianos de densidade e viscosidade constantes são, respectivamente:
(Obs.: termos em negrito são vetores)
Nos podemos reescrever essas duas equações em termos das variáveis adimensionais apresentadas no slide anterior fazendo v = v* V, (p - po) = p* ρ V2, etc.
(2)
(3)
(4)
(5)
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Multiplicando a Eq. (4) por D / V e a Eq. (5) por D / ρ V2 , temos:
(6)
(7)
Estas são, respectivamente, as equações da conservação da massa e da quantidade de movimento adimensionais.
Note que os “fatores de escala”, ou seja, as variáveis descrevendo a dimensão e velocidade global do sistema e suas propriedades físicas, estão concentrados em apenas dois grupos adimensionais:
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Semelhança Dinâmica
1. Se em dois sistemas diferentes os “fatores de escala”são iguais, por exemplo os números de Froude e Reynolds, então ambos sistemas são descritos por equações diferenciais adimensionais idênticas.
2. Se, em adição, as condições iniciais e condições de contorno são as mesmas (o que é possível apenas se os dois sistemas diferentes são geometricamente semelhantes), então os dois sistemas são idênticos matematicamente; ou seja, v*(x*, y*, z*, t*) e p*(x*, y*, z*, t*) são os mesmos em ambos sistemas diferentes.
3. Tais sistemas são, então, “dinamicamente semelhantes”
Resumindo: “sistemas diferentes são dinamicamente semelhantes quando são geometricamente semelhantes, possuem as mesmas condições de contorno e iniciais e possuem os mesmos números adimensionais com valores idênticos.”
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Parâmetros Adimensionais comuns
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O significado físico de cada parâmetro pode ser determinado observando que cada número adimensional pode ser escrito como a relação entre duas forças. Observe que as forças são:
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Assim, observamos que:
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A tabela a seguir resume esta seção:
Parâmetros adimensionais comuns na mecânica dos Fluidos
pgm1 (16:30)
Quadro negro
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