Ângulos, a sua medida e rosáceas.
O conjunto de actividades que a seguir se propõe visam construir e consolidar:
• a noção de ângulo e de sua amplitude;
• propiciar um ambiente favorável ao aparecimento natural da medida de um
ângulo;
• desenvolver simetrias por rotação e o estudo de rosáceas.
Pretende-se que a noção de ângulo recto surja como o ângulo que resulta da divisão do
plano em quatro partes geometricamente iguais. Os estudantes através de sucessivas
manipulações de quadriláteros e triângulos vão construindo a noção de ângulo agudo e
ângulo obtuso.
Fig. 1
Parte da actividade atrás citada já foi, com sucesso implementada em duas turmas do
quarto ano. A avaliação é francamente positiva pelos professores que a implementaram e
pelos alunos.
Identificaram com facilidade os ângulos fazendo a comparação das suas amplitudes.
Recortaram e uniram os mesmos e apareceu então uma noção nova: «o ângulo giro», que eles
fixaram de forma rápida e segura.
Seguidamente apresentei-lhes o segundo quadrilátero. Após um diálogo bem partilhado,
professora/alunos, rapidamente se aperceberam que este quadrilátero era diferente do anterior.
Seguiu-se o procedimento de comparação dos ângulos e suas amplitudes. Após a comparação
dos ângulos deste quadrilátero com os da figura anterior, chegaram à conclusão que tinham
amplitudes diferentes.
Quando uniram os ângulos do segundo quadrilátero e verificaram que tinha resultado
outro ângulo giro, ficaram surpreendidos.
Registo de uma das professoras que realizou a tarefa.
As actividades de identificação dos ângulos rectos, agudos e obtusos partem de dois
teoremas clássicos sobre a amplitude de polígonos de três e quatro lados. O potencial da
tarefa reside na constatação e descoberta dos estudantes de uma regularidade que
interpretam e utilizam para contextualizar a noção de ângulo e como base para chegarem
ao sistema de medida destes.
Recorrendo a instrumentos de desenho que os estudantes conhecem, como sejam os
esquadros isósceles e escalenos, e a noção de múltiplos pretende-se induzir o valor de 360
como medida do ângulo giro e a partir daqui passar ao estudo do transferidor.
Da manipulação de 8 esquadros isósceles, 6 e 12 esquadros escalenos podem obter-se
os seguintes padrões:
fig. 2
Resulta daqui que os estudantes podem observar que estes instrumentos dividem o
ângulo giro em 6, 8 e 12 partes geometricamente iguais. Já tinham observado com as
actividades anteriores que o ângulo recto era a divisão do ângulo giro em 4.
O professor poderá então questionar os estudantes:
Qual será um valor adequado par a medida do ângulo giro?
Os alunos poderão sugerir vários valores contudo deverão ser alertados para que a
divisão do valor sugerido por 4, 6, 8 e 12 deve ser exacta.
A resposta deverá assumir os contornos de uma pequena actividade de investigação. Os
estudantes poderão ser:
• auxiliados ou não por uma calculadora;
• criarem tabelas com os múltiplos de 4, 6, 8 e 12;
• usar outra estratégia que considerem oportuna.
Depois de discutir vários valores possíveis deverá encontrar-se o menor valor possível.
Observe-se que existem vários valores da medida de ângulo a divisão do dia em 360
partes deve-se a Hiparco de Niceia, influenciado pelo sistema sexagésimal conhecido pelos
babilónicos. (Boyer, 1996, p. 110)
Existem outros sistemas de medida como seja o grado que divide o ângulo giro em 400
partes. Note-se que nos nossos dias a influência do sistema sexagésimal babilónico ainda
subsiste na divisão do ano em meses e dias e na medida do tempo.
Finalmente pretende-se trabalhar as rosáceas como padrões obtidos por rotação dum
módulo. Admite-se que houve junto dos estudantes de um trabalho prévio com livro de
espelhos onde se iniciou a abordagem das rosáceas como composição de simetrias.
As imagens que ajudam a introduzir a medida de ângulo (fig. 2) devem ser interpretadas
como rosáceas geradas por rotações de ângulo 60º, 30º e 45º respectivamente. O esquadro
constitui o módulo do padrão. A posição que o módulo tem em relação ao centro de rotação
condiciona o padrão da rosácea obtida.
fig. 3
Assim as imagens da fig. 3 são rosáceas geradas pelo mesmo módulo e ângulo. O
padrão obtido é diferente devido a posição do módulo relativamente ao ponto centro de
rotação.
A simetria do módulo pode em alguns casos criar um padrão que possa ser obtido por
um sub-módulo e outro ângulo de rotação. Como se pode ver na última imagem da figura 4 o
padrão pode ser obtido por rotação de ângulo de 60º sobre um ponto de simetria do módulo.
módulo
α=120º
O
O
O
O
A abordagem das rosáceas no 1º ciclo deve ser entendida como o primeiro contacto
que o estudante tem com as rotações. Existem muitos motivos, do quotidiano, plenos destas
estruturas, o estudante deve em casos concretos, em padrões do quotidiano, identificar o
módulo, o centro de rotação e o ângulo que permite gerar o padrão. Para além de interpretar
a realidade o estudante pode também recriar padrões por rotação através de recorte, de
dobragens e de trabalhos de expressão plástica.
Para além da manipulação dos esquadros, atrás sugerida, apresenta-se algumas
actividades para serem realizadas sobre papel de grelha triangular e quadrangular para além
de sugerir-se a manipulação de espelhos.
Referencias: Boyer, Carl B. (1996). História da Matemática (2ª ed.). S. Paulo: Editora
Edgard Blücher, ltda.
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