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ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS

CONTINUOS

INTRODUCCIÓN

� El estudio de la respuesta temporal de un sistema es de vital importancia para elposterior análisis de su comportamiento y el posible diseño de un sistema decontrol.

� El conocimiento de la respuesta temporal de un sistema, se fundamenta en elconocimiento previo que se tiene del mismo, o lo que es lo mismo en el modelomatemático del sistema.

� Se define la respuesta temporal de un sistema como el comportamiento en el tiempo que tiene el mismo ante alguna variación en sus entradas.

CARACTERÍSTICAS DE LA RESPUESTA TEMPORAL

� La respuesta temporal de un sistema lineal invariante en el tiempo puede descomponerse endos partes:

� Respuesta Transitoria: es originada por la propia característica dinámica del sistema ydetermina el comportamiento del sistema durante la transición de algún estado inicialhasta el estado final. Se presenta cuando hay un cambio en la entrada y desaparecedespués de un breve intervalo.

� Respuesta en Estado Estable, Estacionaria o Permanente: es la respuesta quepermanece después de que desaparecen todos los transitorios. Dependefundamentalmente de la señal de excitación al sistema y, si el sistema es estable, es larespuesta que perdura cuando el tiempo crece infinitamente.

� Si denominamos y�� a la expresiónde la respuesta temporal, entonces:

� � � ��

��

� � � ��

CARACTERÍSTICAS DE LA RESPUESTA TEMPORAL

� De este modo se ha logrado determinar de una forma simple la estabilidad absoluta de unsistema; se dice que un sistema es estable si ante una entrada impulso su respuestatransitoria decae a cero (con respecto a la señal de entrada) cuando el tiempo tiende ainfinito.

� Si la salida de un sistema en estado estable no coincide exactamente con la entrada, se diceque el sistema tiene un error en estado estable. Este error indica la precisión del sistema.

� Se define el error en estado estable como la diferencia entre la señal de referencia y laseñal realimentada en estado estacionario en sistemas estables. Este error coincide con elvalor estacionario de la señal originada por el detector de error.

� Al analizar un sistema de control, debemos examinar el comportamiento de la respuestatransitoria y el comportamiento en estado estable.

SEÑALES DE ENTRADA DE PRUEBAS TÍPICAS

� El estado transitorio del sistema es la respuesta de principal interés para lossistemas de control, puesto que interesa minimizar la desviación de la señal desalida respecto a la señal de entrada en estado transitorio.

� Es necesario determinar inicialmente si el sistema es estable, utilizando para ellolas técnicas que se indicarán en los siguientes apartados. Si el sistema es estable,entonces la respuesta a una señal específica de entrada proporcionará variasmedidas del comportamiento.

� Como suele desconocerse la señal real de entrada del sistema, normalmente seescoge una señal estándar como entrada de prueba. Este enfoque esverdaderamente útil pues existe una correlación razonable entre la respuesta deun sistema a una entrada estándar de prueba y la capacidad del sistema parafuncionar en condiciones de operación normal.

� Por esta razón se caracteriza la respuesta transitoria respecto a entradas típicaso estándares, conociendo que, como el sistema es lineal, la respuesta del sistemaa señales más complejas es perfectamente predecible a partir del conocimientode la respuesta a estas entradas de prueba más simples.


� Generalmente, las entradas típicas son: función impulso, función escalón, funciónen rampa y función parabólica en el tiempo; aunque la más importante de todasellas es, sin duda, la función escalón.

� Función impulso: es una entrada cuya duración en el tiempo esinstantánea.

� Función escalón: es aquella entrada cuya magnitud es aplicada en formaconstante a lo largo del tiempo.

� Función rampa: es una entrada cuya amplitud varía linealmente a lolargo de todo el tiempo.

� Función parábola: es aquella cuya amplitud varía cuadráticamente a lolargo del tiempo.

RESPUESTA NATURAL DE UN SISTEMA

� Considérese un sistema LTI que tiene una entrada �� y una salida ��. Elsistema puede caracterizarse por sus respuesta impulso, ��, que se definecomo la salida correspondiente cuando la entrada es una función impulsounitario ��.

� Conocer la respuesta a un impulso es siempre interesante porque dicharespuesta nos da idea de cual es el comportamiento intrínseco de dicho sistema.No en vano, a dicha respuesta se la denomina “respuesta natural o propia”del sistema.

RESPUESTA NATURAL DE UN SISTEMA

� En esencia, como la Transformada de Laplace del impulso unitario es la unidad, lasalida(en el dominio de Laplace ��) tiene como expresión matemática la de laFunción de Transferencia ��, esto es, � � � ��, donde se observa que nohay ninguna inferencia ajena al sistema (debida a forzamientos externos).

� Podemos afirmar que la Función de Transferencia �� y la respuesta impulsivade un sistema ��, contienen exactamente la misma información.

� La forma en que un sistema responde a un impulso, se verá siemprerepresentada (al menos en el aspecto) en la respuesta a cualquier otro tipo deseñal.

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS

� Una posible clasificación de los sistemas se puede dar en base a los siguientescriterios:

� Con respecto al orden de la ecuación diferencial que define a cada sistema.

� Con respecto al número de polos de su función de transferencia.

� Sistema de Orden Cero: cuando la ecuación diferencial que representa ladinámica del sistema corresponde a una relación proporcional entre las variablesde salida y entrada, por ejemplo, el caso del potenciómetro:

��

En este caso la función de transferencia no cuenta con ningún polo en su función

de transferencia.


� Sistema de Primer Orden: es aquel que queda definido por una ecuacióndiferencial de primer orden:

Los sistemas de primer orden cuentan con un polo real en su función de

transferencia.

� Sistema de Segundo Orden: es aquel que queda definido por medio de una ecuación diferencial de segundo orden:

Los sistemas de segundo orden cuentan con dos polos ( reales simples o

complejos conjugados) en su función de transferencia.


� Sistema de Orden Superior (de tercer orden en adelante): se generancuando varios subsistemas interactúan entre sí; por ejemplo, el caso delsolenoide, considerado como un sistema híbrido, cuyo diagrama de bloques semuestra en la figura, donde el sistema resultante queda definido por medio deuna ecuación diferencial de tercer orden:

� Como sistemas de grado superior se entenderá como todo polinomiocaracterístico de grado mayor a 2, el cual podrá estar compuesto únicamentepor polos y/o polos y ceros; esto último siempre y cuando permita que lafunción de transferencia resultante sea propia, esto es, que prevalezca unamayoría de polos con respecto a ceros.


� Sistema de Orden Superior

CONCEPTO INTUITIVO DE LA ESTABILIDAD

ESTABILIDAD SEGÚN LA UBICACIÓN DE LOS POLOS DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Pueden existir polos reales simples, complejos conjugados y múltiples


� En un sistema inestable, tan pronto seconecta la alimentación, la salida aumentacon el tiempo. Si no ocurre una saturaciónen el sistema y no se incluye una detenciónmecánica, el sistema puede terminar pordañarse o fallar, ya que la respuesta de unsistema real no puede aumentarindefinidamente.

� Que un sistema lineal sea estable oinestable es una propiedad del sistemamismo y no depende de la entrada ni de lafunción de excitación del sistema.

� Los polos de entrada o de una función deexcitación, no afectan a la propiedad deestabilidad del sistema, sino solocontribuyen a los términos de la respuestaen estado estacionario en la solución.


� Al relacionar este comportamiento con respecto al dominio s, se estable que laposición del polo es un indicativo de la velocidad de respuesta del sistema.

� También se establece que la parte imaginaria del polo corresponde o influye a lafrecuencia angular de oscilación del sistema.


� La localización de los polos de una función de transferencia en el plano s afectagrandemente la respuesta transitoria del sistema.

� Los polos que están cercanos al eje imaginario en el semiplano izquierdo delplano s dan crecimiento a la respuesta transitoria que decaerá relativamentedespacio (polos dominantes), mientras que los polos que están lejos del eje(relativo a los polos dominantes) influyen para producir una respuesta dedecaimiento rápido (polos insignificantes).


� Se ha reconocido en la práctica y en la literatura que si la magnitud de la partereal de un polo es de por lo menos 5 a 10 veces que la del polo dominante deun par de polos complejos dominantes, el polo puede enunciarse comoinsignificante en cuanto a la respuesta transitoria se refiere.

� Si los cocientes de las partes reales son superiores a 5 y no hay ceros cerca, lospolos mas cercanos al eje imaginario dominarán el comportamiento de larespuesta transitoria, debido a que corresponden a los términos de la respuestatransitoria que se disminuyen lentamente.


� Debido a que la mayoría de los sistemas de control que se encuentran en lapráctica son de órdenes mayores que 2, sería útil establecer guías en laaproximación de sistemas de mayor orden mediante órdenes menores, siempre ycuando sea concerniente a la respuesta transitoria.

� En el diseño, se pueden usar los polos dominantes para controlar el desempeñodinámico del sistema, mientras que los polos insignificantes se utilizan con el finde asegurar que la función de transferencia del controlador pueda realizarse através de componentes físicos.