8/19/2019 Análisis de Circuito Por Laplace
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Uso de la transformada de Laplace en elanálisis de circuitos en el dominio del tiempo
Asignatura: Circuitos Eléctricos II
NRC: 1921
Autores:
A10- Xavier Freire Zamora
A11-Christian Naranjo A.
Sangolquí, 27 de Febrero del 2015
Departamento de Eléctrica y Electrónica
Profesor: Ing. Paul Mejia
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Uso de la transformada de Laplace en el análisis de circuitos en el
dominio del tiempo
“La transformada de Laplace es una transformación de una función f(t) del dominio temporal
al dominio de la frecuencia compleja, lo que da como resultado F(s). “ (según Sadiku p.617).
Bajo una perspectiva técnica Laplace es una herramienta matemática que dentro del
análisis de circuitos nos brinda la posibilidad de pasar del dominio temporal al de la
frecuencia (que sabemos involucra el manejo de números complejo), analizar el circuito y
regresar al dominio del tiempo evitándonos tediosos y complicados cálculos.
Con Laplace buscaremos simplificar y facilitar la resolución de un problema, que dentro
de dominio temporal involucre el manejo de ecuaciones diferenciales y sin embargo en el
dominio de la frecuencia solo necesitamos el manejo de ecuaciones algebraicas.
Ahora bien, evidentemente necesitamos un buen manejo de la transformada de Laplace
por lo que nos guiaremos de una tabla en la que consten todas las propiedades que
necesitaremos para hallar la transformada de Laplace y su respectiva inversa. Esta tabla se
encuentra al final del documento como anexo, siendo el anexo 1.
“Pasos en la aplicación de la transformada de Laplace :
1. Transformar del dominio temporal al dominio de la frecuencia.
2. Resolver el circuito usando el análisis nodal, el análisis de mallas, la transformación
de fuentes, la superposición o cualquier otra técnica del análisis de circuitos.
3. Calcular la Transformada inversa de la solución y, obtener la solución en el dominio
temporal. ” (sadiku P.716).
Vamos a ver qué ocurre con los componentes o elementos de los circuitos cuando son
llevamos al dominio de la frecuencia mediante Laplace, específicamente que relación se
presenta en sus magnitudes de corriente y voltaje y que ocurriría si nuestros elementos
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que almacenan energía (capacitor o Inductor) tienen alguna condición inicial diferente de
cero.
1. En las resistencia la relación es muy simple y no presenta mayor complejidad, ello
evidenciamos en la ilustración 1 y en las ecuaciones 1 y 2.
Ilustración 1: Paso del dominio temporal al de la frecuencia en la resistencia (Tomada de Sadiku 3er
edición, P.718)
2. En el capacitor no debemos olvidar que este elemento tienen memoria por lo que
puede tener condiciones iniciales, su relación entre sus magnitudes se puede ver en
la ilustración 1 .
Ilustración 2: Paso del dominio temporal al de la frecuencia en un Capacitor (Tomada de Sadiku
3era edición, P.717)
Dominio Temporal
= (1)Dominio de la frecuencia
= 2
Dominio Temporal
= 3 Dominio de la Frecuencia
=1 0− 4
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3. En el inductor ocurre la misma situación que en el capacitor, y la relación entre
voltaje y corriente en el dominio de la frecuencia se observe en la ilustración 3 y,
las ecuaciones 5 y 6.
Ilustración 3: Paso del dominio temporal al de la frecuencia en un Inductor (Tomada de Sadiku 3era
edición, P.717)
Si las Condiciones iniciales son nulas para el inductor y el capacitor las ecuaciones 2,4 y
6 se reducen a
=
=1
=1
Ilustración 4: Paso del dominio temporal al de la frecuencia a) Resistencia, b) Inductor y c)
Capacitor (Tomada de Sadiku 3era edición, P.718)
Dominio Temporal
= Dominio Temporal
=1 0−
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Ejemplos
1. Encuentre en el circuito de la ilustración 5, suponiendo las condiciones
iniciales nulas
Ilustración 5: Figura para el ejemplo 1 (Tomada de Sadiku 3era edición, P.719)
En la ilustración 6 se muestra el circuito en el campo de la frecuencia, y sobre el
realizamos un análisis de mallas.
Para la malla 1.
1=(13) 3 Para la malla 2.
0 = 3 ( 53) Con estas ecuaciones obtenemos la solución de
=1 1 = =
13 =1=3 Ilustración 6: Circuito en el campo de la frecuencia
(Tomada de Sadiku 3era edición, P.719)
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Resolviendo estas dos ecuaciones obtenemos.
Calculado la transformada inversa de Laplace obtenemos la respuesta en el dominio del
tiempo.
3. En El circuito de la ilustración 9, el interruptor se mueve de la posición a la
posición en t=0, encuentre i(t) pata t >0.
Ilustración 9: grafico para el ejemplo 3 (Tomada de Sadiku 3era edición, P.721)
La corriente que fluye por la bobina para < 0 (siendo esa corriente) es la condicióninicial de la bobina, trabajaremos desde ahora con > 0 que es cuando el interruptor del
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circuito está en la posición b, sin olvidar la condición inicial de la bobina, la ilustración 10
muestra los expuesto.
Ilustración 10: Circuito en el dominio de la frecuencia, con la condición inicial de la bobina (Tomada
de Sadiku 3era edición, P.721)
Ahora solo realizamos un análisis de mallas en el circuito.
Despejamos .
Expresamos / + / en sus fracciones parciales
Aplicamos la transformada inversa de Laplace.
Hemos hallado la respuesta del comportamiento de un circuito RL de primer orden con
fuente o excitación forzada, eso podemos evidenciar en los siguiente.
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El cociente representa la constante de tiempo .
La expresión entre paréntesis es la respuesta transitoria, mientras el segundo término
es la respuesta en estado estable.
4. Considere el circuito de la ilustración 11 , Encuentre el valor de la tensión a través del
capacitor suponiendo que el valor de =10 y suponga que en t=0, unacorriente de -1A fluye a través del inductor y hay un voltaje de +5 V a través del
capacitor.
Ilustración 11: Figura la el ejemplo 4 (Tomada de Sadiku 3era edición, P.722)
Pasamos nuestro circuito al dominio de la frecuencia sin olvidar las condiciones
iniciales, la transformación se muestra en la ilustración 12 .
Ilustración 12: Circuito en el dominio de la frecuencia obtenido del circuito de la ilustración 11
(Tomada de Sadiku 3era edición, P.722)
Aplicamos un análisis de nodos en el punto de voltaje desconocido
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Simplificando y remplazando las condiciones iniciales obtenemos.
Aplicando la transformada inversa de Laplace que la solución en el dominio del tiempo.
5. Suponga que no existe energía inicial almacenada en el circuito de la ilustración 13
en t=0 y que =10 . a) Encuentre utilizando el teorema de Thevenin.
b) Determine .
Ilustración 13: Grafico del ejemplo 5 (Tomada de Sadiku 3era edición, P.724)
Las condiciones iniciales son cero por lo que el voltaje en el capacitor y la corriente en el
inductor son cero para t=0.
Aplicamos el teorema de Thevenin sobre el circuito en el dominio del tiempo y lo
transformamos al dominio de la frecuencia, esto se observa en la ilustración 14 . Sobre este
circuito hallamos el voltaje de Thevenin.
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Ilustración 14: Aplicación de Thevenin y transformación de Laplace. (Tomada de Sadiku 3era
edición, P.725)
Sobre el circuito en el dominio de la frecuencia hallamos la resistencia de Thevenin, para
ello nos ayudaremos de la ilustración 15 .
Ilustración 15: Circuito para hallar la resistencia de Thevenin (Tomada de Sadiku 3era edición,
P.725)
Planteamos las siguientes relaciones:
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Resolviendo las 2 ecuaciones obtenemos la corriente .
Con la corriente hallada y el voltaje de Thevenin procedemos a hallar la impedancia de
Thevenin.
Finalmente obtenemos el circuito de Thevenin, el cual se muestra en la ilustración 16.
Ilustración 16: Equivalente de Thevenin del circuito en el dominio de la frecuencia (Tomada de
Sadiku 3era edición, P.725)
Sobre el circuito de la ilustración 16 procedemos a obtener el voltaje .
Aplicando la transformada inversa de Laplace obtenemos la respuesta en el dominio del
tiempo.
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Bibliografía
Sadiku, M. N. (2006). Fundamentos de Circuitos Electricos. Mc Graw Hill.
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