Download - Amplificatori operazionali - Dipartimento di Ingegneria · 2010. 12. 7. · Amplificatori operazionali • L’amplificatoreoperazionale(opamp)èunbloccocircuitale elementare usato

1G.V. Persiano – Elettronica

Amplificatori operazionali

• L’amplificatore operazionale (op amp) è un blocco circuitale elementare usato in un ampia gamma di applicazioni

• Op amp era inizialmente usato per integrare e sommare il segnale in sistemi analogici (perciò il nome operazionale)

• Op Amp ha caratteristiche molto vicine a quelle ideali, ed applicazioni con prestazioni prossime a quelle teoriche

• Gli op amp operano prevalentemente ad anello o ciclo chiuso (closed loop), cioè con parte del segnale di uscita che ritorna all’ingresso attraverso una rete di retroazione

• Reti di retroazione resistiva offrono circuiti amplificatori con caratteristiche significativamente indipendenti dai parametri dell’op amp


Amplificatore operazionale ideale

Simbolo circuitale elementare

1 = ingresso invertente

Schema con alimentatori Schema semplificato

2 = ingresso non invertente

3 = uscita

4 = alimentazione positiva

5 = alimentazione negativa

( )123 vvAv −=

con A= guadagno ad anello o ciclo aperto (open loop)


Caratteristiche dell’op amp ideale

• Impedenza di ingresso infinita (Zi=∞)

• Impedenza di uscita nulla (Zo=0)

• Guadagno a ciclo aperto infinito (A=∞)

• Guadagno di modo comune (cioè, se v1=v2) nullo (Acm=0)

• Banda passante infinita

Circuito equivalente


Segnale differenziale e segnale di modo comune

12 vvvId −= vId = segnale d’ingresso differenziale

( )2121 vvvIcm += vIcm= segnale d’ingresso di modo comune

21dI

Icm

vvv −=

22dI

Icm

vvv +=


Analisi dei circuiti con op amp

• Uso di op amp con reti di retroazione negativa (positiva), cioè con il segnale di uscita che si oppone (si somma) al segnale di ingresso cui è ricollegato

• Nel caso di retroazione negativa, se A=∞ e vo è un valore finito vId≈0 v1≈v2 (corto circuito virtuale)

• Se Zi=∞, allora i1≈i2≈0 (correnti di ingresso nulle)

• Applicazione delle leggi standard di analisi dei circuiti per risolvere il circuito e calcolare le quantità di interesse


Configurazione invertente ad anello chiuso

Amplificatore op amp invertente

I

O

vvG ≡

G= guadagno ad anello o ciclo chiuso


Calcolo del guadagno ad anello chiuso

Ordine dei passi di analisi

= corto circuito virtuale (v1=v2)

= massa virtuale (v1=0)

= corrente in R1

= corrente ingresso op amp nulla

= stessa corrente in R1 e R2 (i1 =i2)

= legame analitico tra vo e vi

1

2

RR

vvG

I

O −=≡


Effetto del guadagno ad anello aperto (A ≠∞)

Resistenze di ingresso e di uscita

( )11

1 RAvv

RAvvi OIOI +

=−−

=

21

21 RR

AvvAvRi

Avv OIOO

O ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−=−−=

( ) )1 (se 11 1

2

1

2

12

12 ARR

RR

ARRRR

vvG

I

O <<+−≅++−

−=≡

(bassa) 111

RRv

vivR

I

IIi ==≡ 00)0(per 21 =⇒=⇒==≡ oo

o

oo Rvvv

ivR


Configurazione per aumentare Ri

= massa virtuale (v1=0)

= corrente in R1



= valutazione di vx tramite i2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=≡

3

4

2

4

1

2 1 RR

RR

RR

vvG

I

O

= valutazione di vo da vx e i4

= valutazione di i3 tramite vx

= valutazione di i4 tramite i2 e i3Ω== MRRin 11 100 2.10 ,1 se 342 =⇒Ω=Ω== GkRMRR



Amplificatore di corrente basato sulla configurazione per aumentare Ri

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=≡

3

21 RR

iiA

I

OI

1con 32 >= kkRR

100 99 Se 32 =⇒= IARR

23 kii = ( ) ( ) ( ) 11 1 12234 IO ikikikiiii +=+=+=+==

Corrente di uscita indipendente dal carico R4 (RO=∞)

Ri =0


Circuito sommatore

n

nn R

viRvi

Rvi === ... , ,

2

22

1

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−= n

n

fffO v

RR

vRR

vRR

v ... 22

11

niiii +++= ... 21

Fo iRv −=


iO

Esempio di circuito sommatore: Conversione digitale analogica

( )33

22

11

00 2222

16 aaaaR

v fO +++−=

5V(0V) 1(0) se =⇒= ii Sa

)(analogica (digitale) 0123 OUscita vaaaIngresso a →

mAkV

kkkkVmAiO 9375.0

1615

801

401

201

101 5)(max =

Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Ω+

Ω+

Ω+

Ω=

Ω=⇒−= kRVv f 32 30 Se 0


Circuito sommatore-sottrattore

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 2

21

1

vRRv

RRv aa

x

vx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−= 4

43

3

vRRv

RRv

RRv cc

xb

cO

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−= 4

43

32

21

1

vRRv

RRv

RRv

RR

RRv ccaa

b

cO 4

43

32

21

1

vRRv

RRv

RR

RRv

RR

RRv cc

b

ca

b

caO −−+=


Convertitore corrente-tensione

ifO iRv −=

Op amp ideale (A=∞)

Guadagno a ciclo aperto finito (A≠∞)

11 ⇒−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒−=+ ifOif

OO iR

AviR

Avv

11

AiR

v ifO +

−=

Ri =0

Tensione di uscita indipendente dal carico (RO=0)


Configurazione non invertente ad anello chiuso

Amplificatore op amp non invertente

1

21RR

vvG

I

O +=≡


Calcolo del guadagno ad anello chiuso



= tensione su v1=vi

= corrente in R1



= legame analitico tra vo e vi


Effetto del guadagno ad anello aperto (A ≠∞)

Resistenze di ingresso e di uscita

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1

212 11RRv

ARRv IO

( ) )1 (se 1111

1

2

1

2

12

12 ARR

RR

ARRRR

vvG

I

O <<++≅+++

=≡

)0 (poiché 22

≅∞≅≡ opop

Ii i

ivR 00)0(per 21 =⇒=⇒==≡ oo

o

oo Rvvv

ivR

21

1 iR

Avvi OI =−

= ( ) 22RiAvvv OIO +−=

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−=

1

22

1

1RRAvvR

RAvvAvvv OI

OIOIOvi-vO /A

i1

i2


Inseguitore di tensione (adattatore di impedenza)

0 , 21 =∞= RR

Schema circuitale Modello equivalente

111

2 =+=≡RR

vvG

I

O


Ri =∞

io

vi

i

Convertitore tensione-corrente (con carico flottante)

Rvi I

O =

Corrente di uscita indipendente dal carico RL (RO=∞)

Ivvv == +−

Rvii I

O ==


Convertitore tensione-corrente (con carico a massa)

4Rvi I

L −=

LIO vRRv

RRv 1

1

2

1

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

stadio invertente stadio non invertente

4343 R

vR

vviiii LLOOL −

−==−=

iL

vOvL

i4

i3

LILLL

IL vRRR

RvRR

RRv

Rv

Rv

RRv

RRRi ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

431

2

31

2

4331

2

31

2 1 1

⇒=⇒ 1 carico dal dipendanon Affinché431

2

RRRRiL

4

3

1

2

RR

RR

= ⇒


Amplificatori differenzali

• L’amplificatore differenziale è un circuito a due ingressi (v1e v2) che risponde a vId e, idealmente, respinge vIcm

• Nel caso reale, l’amplificatore differenziale presenta una tensione in uscita data da (caso ideale Acm ≈ 0 ):

vO=AdvId+Acmvcm

• Il grado di bontà di un amplificatore differenziale si misura con il rapporto di reiezione del modo comune (CMRR), rispetto ai segnali di tipo differenziale:

CMRR = 20 log (|Ad | /| Acm |)

• L’op amp ideale si comporta da amplificatore differenziale e presenta un guadagno a ciclo aperto A pari ad Ad


Amplificatori differenzale con op amp

Amplificatore differenziale a singolo stadio

Composizione di ingressi invertente e non invertente

) ( 1

2 invertenteguadagnoRRG −=−

) ( 1 43

4

1

2 invertentenonguadagnoRR

RRRG ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+

IcmIcm vG_ vGRR =+ che modo di e scegliere Occorre 43

1

1

1

1 1

1

2

4

312

2

43

4

1

2

43

4

1

2 ⇒+

=+

⇒+

=+

⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

RR

RRRR

RRR

RRR

RRR

RR

2

1

4

3

RR

RR

=

Risultato troppo veloce? Analizziamo di nuovo con più calma


Principio di sovrapposizione degli effetti

1) Analizziamo l’azione del solo l’ingresso vI1

11

21 IO v

RRv −=

2) Valutiamo l’effetto del solo l’ingresso vI2

21

2

43

42 1 IO v

RR

RRRv ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

3) Sommiamo le componenti e definiamo R3 e R4

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++−=+= 2

2

21

43

41

1

22

1

2

43

41

1

221 1 IIIIOOO v

RRR

RRRv

RRv

RR

RRRv

RRvvv

1 1 1 Se2

21

43

4

2

21

4

43

2

1

4

3

2

1

4

3 =+

+⇒

+=

+⇒+=+⇒=

RRR

RRR

RRR

RRR

RR

RR

RR

RR

( ) 121

2IddIIO vAvv

RRv =−= (amplificatore differenziale)


Analisi del segnale di modo comune

⇒=== ) e solito, (di Poiché 24132

1

4

3 RRRRRR

RR

243

3

143

4

11

11 ivRR

RR

vRR

RvR

i IcmIcmIcm =+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

IcmIcmIcmO vRR

RR

RRRv

RRR

RRv

RRRRivv ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

+−

+=−= −

4

3

1

2

43

4

43

3

1

2

43

422 1

Resistenza di ingresso differenziale

( ) 011143

4

4

3

1

2

43

4 =−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=≡

RRR

RR

RR

RRR

vvAIcm

Ocm

0=cmA (CMRR = ∞)

(bassa) 20 11

1111

1

Ri

iRiRi

vR Idid =

++=≡


Amplificatore differenziale per strumentazione

Schema di principio del circuito

• Necessità di aumentare la resistenza di ingresso differenziale Rid

• Possibilità di usare un circuito a 2 stadi (stadio buffer Rid + amplificatore differenziale)

1° stadio (grande Rid e G)

2° stadio (amplificatore differenziale)

1 1

2 2 1 R

RGG AA +==

∞≅=21 ii RR

( ) 1 121

2

3

4IddIIO vAvv

RR

RRv =−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=


• Lo schema di principio del circuito presente 3 importanti svantaggi:– Nel I stadio il segnale vIcm amplificato come vId saturazione degli op amp, CMRR non elevato

– Gli op amp A1 e A2 dovrebbero essere perfettamente uguali se no, segnale spurio in ingresso ad A3

– Per variare AId è necessario cambiare due resistenze (R1) e tararle perfettamente

Schema operativo del circuito (rimozione nodo X a massa)

∞≅=21 ii RR

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=≡

1

2

3

4 1RR

RR

vvA

Id

Od

⇒==⇒==⇒== IcmOORRIcmII vvviivvv 0 Se 21221 210=cmA


Op amp invertente con impedenze generiche

Schema con impedenze generiche

))

))

1

2

(sZ(sZ

(sV(sV

i

O −=

• Finora abbiamo usato solo resistenze R nel circuito di retroazione

• Possibilità di usare anche capacità C per altre applicazioni (integratori, derivatori)


Integratore

R(sZ =)1

sC(sZ 1)2 =

• Segnale di uscita vo proporzionale all’integrale del segnale di ingresso vI

• Usato in sistemi di strumentazione: ad es, il segnale proveniente da un accelerometro è integrato per dare un segnale proporzionale alla velocità

• Retroazione negativa attraverso la capacità C

di tempoCostante

sCR(sV(sV

i

O 1 ))

−= ⇒ 1 ))

⇒−=CRj(jV

(jV

i

O

ωωω

1 CRV

V

i

O

ω= 90°+=φ

Schema dell’integratore di Miller

CR=τ


Modulo della risposta in frequenza

1 int CR=ω⇒= 1 Quando

i

O

VV

(pulsazione dell’integratore)

Guadagno in continua = ∞

• L’integratore si comporta come un filtro STC passa basso con ω0=0

• Circuito amplifica all’infinito componenti continue saturazione di op amp


Derivatore

sC(sZ 1)1 =

R(sZ =)2

• Segnale di uscita vo proporzionale alla derivata del segnale di ingresso vI

• Rispetto all’integratore, basta invertire di posizione R e C

• Retroazione negativa attraverso la resistenza R

di tempoCostante

sCR(sV(sV

i

O ))

−= ⇒ ))

⇒−= CRj(jV(jV

i

O ωωω

CRVV

i

O ω= 90°−=φ

Schema del derivatore

CR=τ


Modulo della risposta in frequenza

1 CRder =ω⇒= 1 Quando

i

O

VV

(pulsazione del derivatore)

Guadagno in continua = 0

• Il derivatore si comporta come un filtro STC passa basso con ω0=∞

• Circuito sensibile ad uno sbalzo di tensione (spike) amplificatore di rumore


Amplificatore operazionale reale

• Le proprietà di idealità degli op amp è un buona ipotesi di lavoro in molte applicazioni

• In altri casi è opportuno conoscere le caratteristiche degli operazionali reali ed i loro effetti sulle prestazioni circuitali basate su op amp

• Le non idealità dell’op amp possono essere di 3 tipi:– Proprietà non ideali in regione lineare– Caratteristiche non lineari – Componenti offset in continua (Offset DC)


Proprietà non ideali in regione lineare

• Impedenza di ingresso a ciclo aperto finita (1MΩ -1TΩ)

• Impedenza di uscita a ciclo aperto non nulla (1-100 Ω)

• Le impedenze di ingresso e uscita a ciclo chiuso possono differire da quelle a ciclo aperto: l’effetto della retroazione può essere sia ridurle che aumentarle

• Il guadagno a ciclo aperto decresce alle alte frequenze ed in continua (DC) ha un valore elevato ma finito (104-106)

• Nel range di frequenze in cui decresce, il guadagno a ciclo aperto ha un risposta STC passa basso (polo dominante)


Dipendenza del guadagno ad anello aperto A dalla frequenza

Rete interna (tipicamente una C) STC passa basso compensazione in frequenza

⇒

( ) DC)in valore( 1

)( 00 A

sAsA

bω+=

( )bjAjAjs

ωωωω

+=⇒=

1)( con 0

ωb≡ pulsazione di taglio

ωωωωω

jAjA b

b0)( se ≅⇒>>

ωωωj

jA t≅)( ft=ωt/2π≡ larghezza di banda a guadagno unitario oppure prodotto guadagno per banda

⇒= con 0 bt A ωω


Risposta in frequenza della configurazione invertente

( )

1111

)(11

)(11

)()(

121

2

0

12

1

2

12

1

2

RRj

RR

A

RR

jARR

RR

jARRG

jVjV

t

i

o

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

= −

ωωωω

ωω

123dB 1 RR

t

+=

ωω

( )

11)(

)( 1 se

12

12

1

20

RRjRR

jVjV

RRA

t

i

o

++

−≅⇒+>>

ωωω

ωcon basso passa STC ⇒

ω3dB≡ pulsazione di taglio o a 3dB

Esempio per |G-=10 | e ft=1MHz

kHz.RR

ff tdB 990

1 123 ≅

+=

kHzkHz.fGf dBtINV909990103 =⋅=⋅= −

10 1

2

1

2 =⇒−=− RR

RRG


Risposta in frequenza della configurazione non invertente

( )

1111

1 )(11

1

)(11)()(

121

2

0

12

1

2

12

1

2

RRj

RR

A

RR

jARR

RR

jARRG

jVjV

t

i

o

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

= +

ωωωω

ωω

123dB 1 RR

t

+=

ωω

( )

11

1)()( 1 se

12

12

1

20

RRj

RRjVjV

RRA

t

i

o

++

+≅⇒+>>

ωωω

ωcon basso passa STC ⇒

kHzRR

ff tdB 100

1 123 =

+=

MHzkHzfGf dBt INVNON1100103

=⋅=⋅= +

Esempio per |G+=10 | e ft=1MHz 9 11

2

1

2 =⇒+=+ RR

RRG

=+

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

121

2

1 1

RRf

RR t

3dBfG ⋅+ anda)guadagno-b(prodotto ft costante=


Caratteristiche non lineari: Clipping

• Ci sono molti modi non-lineari in cui un op amp reale può operare: il segnale di uscita vo e la corrente che l’op amp può fornire al carico hanno un limite massimo e minimo

• Se il segnale di ingresso è talmente ampio che il segnale di uscita amplificato eccede uno di questi limiti, vo satura al suo valore massimo (clipping)

• Tale valore dipende da resistenza di carico, tipo di op amp alimentazione, (ad es: -12/12V, se alimentazione -15/15V)


Saturazione della tensione di uscita


Caratteristiche non lineari: Slew rate

• Negli op amp reali la velocità con cui cambia il segnale di uscita è limitata: vo non può aumentare o diminuire ad una velocità che eccede tale limite (slew rate, SR~ V/µs)

• Lo SR è dovuto a componenti capacitive connesse alla struttura interna dell’op amp che vietano cambi repentini della forma d’onda in uscita

• Lo slew rate modifica la forma d’onda di vo (ad esempio: da sinusoidale a triangolare)

maxdtdv SR O≡


Slew Rate nell’inseguitore di tensione

Schema circuitale Segnale di ingresso a gradino

Uscita affetta da slew-rate (lineare) Uscita senza slew-rate (esponenziale)

( ) 1)( basso passa STC 1

1 )0 ,( invertentenon config. 21 eVtvjV

VRR tO

ti

o tω

ωω−−=⇒⇒

+=⇒=∞=


Larghezza di banda a piena potenza (full-power bandwidth)

Effetto dello slew-rate su di una uscita sinusoidale

Larghezza di banda a piena potenza

• Massima frequenza per cui, in uscita, una sinusoide di ampiezza massima non distorce

max ⇒=⇒ SR VoMω

t Vv iI ωsin^

=

t Vdt

dvi

I ωω cos^

=

SR V i <^

ωSR V i >

^ω

Mo f

SRVπ2max =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ωωω M

oi V V max

^)(

≡ Mf


Componenti offset in continua

• Op amp sono dispositivi con accoppiamento DC e alto guadagno, che causano problemi in DC

• A causa delle imperfezioni realizzative, sebbene vId=0 si ha che vO≠0 (Offset in tensione)

• Per funzionare, servono VCC e -VEE che generano correnti agli ingressi invertente (IB1) e non invertente (IB2) dando vO≠0 anche con vId=0 (Offset in corrente)


Tensione di offset

• Tensione VOS definita come l’ingresso corrispondente ad una VO≠0 con VId=0

• Valore tipico di VOS è dell’ordine dei mV ed è indicato nei datasheet

• Elevato A0 Possibile saturazione di VO Op amp non funziona come amplificatore

• Modello circuitale di op amp reale = modello circuitale di op amp ideale + VOS

• Per contrastare VOS , si dovrebbe porre in ingresso un generatore VId= - VOS

• Compensazione di VOS tramite un circuito con potenziometro connesso a - VEE

Modello circuitale op amp reale Compensazione con potenziometro


Effetto VOS su amplificatore a ciclo chiuso

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1

21 RRVV OSO

Configurazione non invertente

CjRZ ω111 +=

• Se non opero in DC o a basse f , inserisco C in serie a R1 circuito STC passa alto

OSO VV = 1 1

0 CR=ω 0Per 1 ⇒∞=⇒= Zf


Corrente di bias e di offset

• Corrente di polarizzazione (bias) in ingresso IB definita come la media di IB1 e IB2

• Corrente di offset in ingresso IOS definita la differenza in valore assoluto tra IB1 e IB2

• Datasheet danno valori tipici di IB e IOS nell’ordine dei nA (bipolari) o dei pA (MOSFET)

Correnti di bias IB1 e IB2

221 BB

BIII +

= Corrente di polarizzazione (bias)

Corrente di offset in ingresso21 BBOS III −=


Effetto IB e IOS su amplificatore a ciclo chiuso

3221 RIVV B−==

• Inserisco R3 (da stimare) su ingresso non invertente per avere V0 ≈ 0

221 RIRIV BBO ≅=

Effetto IB (con IOS ≈ 0)

Caso con IOS ≈ 0


= corrente in R1 e R2 132121321 , RRIIIRRII BBRBR −==

= tensione V0 =0 (con IB1=IB2) ( )[ ] 0/1 1232 =+−= RRRRIV BO

= determinazione di R3 21 // RR( ) =+ 122 /1 RRR=3R


Caso con IOS ≠ 0

2 1 OSBB III += 22 OSBB III −= ( )1321232 / RRIIRRIV BBBO −+−=

2RIV OSO = ( )2RI B<<

Per minimizzare l’effetto di IB su VO , occorre collegare sul terminale non invertente una resistenza (R3 ) di valore pari alla resistenza in continua vista dal morsetto invertente

Accoppiamento AC (invertente) Accoppiamento AC (non invertente)

23 RR =


Effetto di VOS e IOS su integratore di Miller

• Tensione VOS influenza la carica di C nell’integratore di Miller anche con VId=0

• Carica costante di C con I=VOS /R Saturazione di VO Op amp non amplifica

• Anche le correnti IB e IOS influenzano la carica di C nell’integratore con VId=0

• Per limitare effetto di IB si inserisce R su terminale non invertente

• Carica costante di C con I=IOS Saturazione di VO

Effetto di VOS Effetto di IOS

0)0( =CV


1 int CR=ω⇒= 1 Quando

i

O

VV

(pulsazione dell’integratore)

continua)inguadagnoRR

VV F

I

O ( 0

−==ω

• Per limitare effetto di VOS e IOS Inserisco RF in parallelo a C

costante 1 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += FOS

FOSO RI

RRVV

Basso effetto di VOS e IOS RF bassa

so)(passa basCRjRR

(jV(jV

F

F

i

O 1

/ ))

ωωω

+−=

Per avvicinarsi all’integratore ideale:

1 1

/ CRjCRj

RR

F

F

ωω−→

+− RF alta

pulsazione di taglio 1 3F

dB CR=ω