Rutas hacia el lgebra Actividades en Excel y Logo
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Proyecto Conacyt: Introduccin temprana al pensamiento algebraico en entornos tecnolgicos de aprendizaje: un estudio terico experimental en el nivel bsico (convocatoria seb/sep/Conacyt; nmero 145906).
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Rutas hacia el lgebra Actividades en Excel y Logo
Cristianne Butto ZarzarJoaqun Delgado Fernndez
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Edicin y correccin de estilo: Adriana Hernndez UrestiFormacin y grficos cd: Mara Eugenia Hernndez Arriola
Diseo de portada, fotografas, ilustraciones y diseo cd: Rodrigo Garca Garca
Primera edicin, octubre de 2012 Derechos reservados por
Esta edicin es propiedad de la Universidad Pedaggica Nacional, Carretera al Ajusco nmero 24, col. Hroes de Padierna, Tlalpan, cp 14200, Mxico, df www.upn.mx
isbn 978-607-413-137-6
Queda prohibida la reproduccin parcial o total de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin expresa de la Universidad Pedaggica Nacional.
Impreso y hecho en Mxico.
QA157 Butto Zarzar, CristianneB8.7 Rutas hacia el lgebra : actividades en Excel y Logo / Cristianne Butto Zarzar, Joaqun Delgado -- Mxico : upn, 2012. 1v. (Horizontes educativos) isbn: 978-607-413-137-6
1. lgebra - Problemas, ejercicios, etctera 2. Computadoras en la educacin 3. Excel (Archivo para computadora) 4. Logo (Lenguaje de programacin para computadora) I. Delgado, Joaqun, coaut.
Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y LogoCristianne Butto Zarzar / [email protected]
Joaqun Delgado / [email protected]
Sylvia Ortega Salazar Rectora
Aurora Elizondo Huerta Secretaria Acadmica
Jos Luis Cadenas Palma Secretario Administrativo
Adrin Casteln Cedillo Director de Planeacin
Mario Villa Mateos Director de Servicios Jurdicos
Fernando Velzquez Merlo Director de Biblioteca y Apoyo Acadmico
Adalberto Rangel Ruiz de la Pea Director de Unidades upn
Juan Manuel Delgado Reynoso Director de Difusin y Extensin Universitaria
Mayela Crisstomo Alcntara Subdirectora de Fomento Editorial
Coordinadores de rea Acadmica:
Dalia Ruiz vila Poltica Educativa, Procesos Institucionales y Gestin
Gisela Victoria Salinas Snchez Diversidad e Interculturalidad
Mara Teresa Martnez Moctezuma Aprendizaje y Enseanza en Ciencias, Humanidades y Artes
Mara Estela Arredondo Ramrez Tecnologas de la Informacin y Modelos Alternativos
Mnica Anglica Calvo Lpez Teora Pedaggica y Formacin Docente
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NDICE
PREFACIO ..................................................................................................9
INTRODUCCIN ...................................................................................13
Contenido .................................................................................................15
A quin va dirigido el libro? ...................................................................16
captulo 1
LAS DOS GRANDES RUTAS: PROPORCIONALIDAD
Y PROCESOS DE GENERALIZACIN .................................................17
Pensamiento algebraico temprano ..........................................................20
Campos conceptuales de Vergnaud .........................................................24
Razonamiento proporcional ....................................................................39
Procesos de generalizacin ......................................................................59
captulo II
CONTENIDOS MATEMTICOS
EN LOS LIBROS DE TEXTO DE PRIMARIA ........................................69
Mapa curricular de la educacin bsica ...................................................70
Objetivos de la educacin primaria .........................................................72
Competencias matemticas ......................................................................72
Estndares curriculares de matemticas ..................................................73
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6Factibilidad del lgebra temprana en la primaria ...................................80
Proporcionalidad ......................................................................................86
captulo III
ENTORNOS DIGITALES DE APRENDIZAJE ......................................89
Micromundo Logo ...................................................................................91
El micromundo y las situaciones didcticas ...........................................98
Procesos de generalizacin en la hoja de clculo ....................................99
captulo Iv
MODELOS TERICOS LOCALES .......................................................103
Sistemas matemticos de signos ............................................................106
Modelo de los procesos cognitivos ........................................................107
Modelo de comunicacin ......................................................................108
Modelos de enseanza ...........................................................................110
Modelo de competencia formal ............................................................111
captulo v
INTERACCIN SOCIAL EN EL AULA ................................................115
Teora sociohistrico-cultural ...............................................................115
Desarrollo y aprendizaje ........................................................................116
Zona de desarrollo prximo ..................................................................116
Estudio de los procesos cognitivos ........................................................122
captulo vI
ACTIVIDADES EN EL CD: LPIZ Y PAPEL,
WINLOGO Y EXCEL .............................................................................129
REFERENCIAS .......................................................................................133
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7Transente, sta es la tumba de Diofanto: es l quien con esta
sorprendente distribucin te dice el nmero de aos que vivi.
Su niez ocup la sexta parte de su vida; despus, durante la
doceava parte su mejilla se cubri con el primer bozo.
Pas an una sptima parte de su vida antes de tomar esposa
y, cinco aos despus, tuvo un precioso nio que, una vez
alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereci
de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle,
llorndole, durante cuatro aos. De todo esto se deduce su edad.
Los autores agradecen enormemente la excelente labor
profesional de edicin y revisin de Adriana Hernndez.
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9PREFACIO
En Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo los autores*
nos presentan el tema fascinante del acceso temprano a dos ideas
poderosas en matemticas: la proporcionalidad y la generalizacin,
como puertas de entrada al lgebra escolar. Su aproximacin al
tema, a travs de distintas perspectivas, nos permite asomarnos de
cerca al mundo de los procesos cognitivos y de construccin social
del conocimiento involucrados en el aprendizaje de dichos tpicos,
as como al contexto especial de los entornos tecnolgicos y su pa-
pel en tales procesos en el caso de alumnos muy jvenes.
A pesar de ser una obra especializada, no est dirigida slo a
investigadores especialistas, pues una de sus principales caracters-
ticas es que tiende puentes entre teora y prctica. Es decir, si bien
se hace una revisin de la literatura de investigacin sobre pensa-
miento algebraico en edades tempranas y se sintetizan resultados
de estudios empricos realizados por los propios autores, tambin
hay una propuesta concreta para la implementacin en el aula de
secuencias didcticas que promueven ese acceso temprano.
* Cristianne Butto Zarzar de la upn Ajusco.Joaqun Delgado Fernndez del Departamento de Matemticas, uam-Iztapalapa.
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
El universo de lectores potenciales incluye a profesores de pri-
ma ria y secundaria; a diseadores y desarrolladores del cu rrcu-
lo, quie nes pueden encontrar en este libro modelos de actividades
cuida dosamente diseados para su uso expedito en un laboratorio
de cmputo o en aulas con equipamiento bsico de una compu-
tadora y un proyector. En otras palabras, la propuesta de ense anza
tiene la flexibilidad suficiente como para ponerla en obra tanto en
la modalidad de trabajo de los alumnos en equipo o por parejas
frente a una computadora, como en la modalidad de discusin gru-
pal frente a lo que se proyecte en el saln de clases desde una compu-
tadora manipulada por el profesor o por un estudiante.
El lgebra simblica es una de las reas de las matemticas en la
que los estudiantes de un rango amplio de edades encuentran las
mayores dificultades. Como los mismos autores afirman, stas se
presentan aun en alumnos de educacin media superior y supe-
rior. Las investigaciones de los aos ochenta y hasta mediados de
los noventas reportaron la presencia de errores que los estudiantes
cometen de manera generalizada y persistente al interpretar y ope-
rar los smbolos algebraicos. Tambin se analizaron los obstculos
que los aprendices tienen que remontar para adquirir los concep-
tos algebraicos y en general el uso del lgebra manipulativa.
Estos resultados motivaron otro tipo de estudios, como por ejem -
plo, aquellos en los que se ponan a prueba distintos acercamien tos
de enseanza al lgebra, como el funcional, resolucin de proble-
mas, modelacin y generalizacin. Otros proyectos involucraban
el uso de la tecnologa para ayudar a los alumnos a transitar hacia el
lgebra de una manera ms prctica y experimental, al utilizar he-
rramientas como el lenguaje de programacin Logo, las hojas elec-
trnicas de clculo y los manipuladores simblicos (o CAS, por sus
siglas en ingls). Pero ha sido en los aos recientes cuando surge
la corriente llamada lgebra temprana o early algebra, dentro de la
cual se estudia la factibilidad de iniciar a los alumnos de primaria en
conceptos bsicos del lgebra, para de esta manera, garantizarles los
antecedentes necesarios en su adquisicin del lenguaje algebraico en
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Prefacio
la escuela secundaria. Hoy en da, la literatura en esta rea es muy
nutrida y abarca un espectro amplio de acercamientos, algunos de
los cuales resultan antagnicos entre s, como es el caso de quienes
proponen una iniciacin a travs de experiencias conceptuales del
lgebra (a partir de la generalizacin o de la modelacin) sin el uso
prematuro de una simbolizacin formal, o como el caso de quie-
nes proponen una iniciacin temprana al lgebra va la utilizacin
de su simbologa para representar situaciones concretas o familiares
para el estudiante.
Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo conjuga y hasta
cierto punto concilia varias de estas propuestas e incorpora la expe-
riencia de estudios previos al surgimiento de la corriente del early
algebra, pues por un lado aprovecha resultados anteriores sobre
una iniciacin al lgebra por medio de procesos de generalizacin
en tareas de percepcin y representacin de patrones y por otro uti-
liza los ambientes de Logo y Excel para la representacin simblica
y figurativa de dichos patrones. Si bien la sintaxis en Logo y en Excel
no coinciden totalmente con la sintaxis algebraica, su similitud con
ella es suficiente para fines de representacin y comprensin de la
generalidad, lo cual ha quedado documentado por investigaciones
realizadas con estudiantes pre-algebraicos.
Otra de las aportaciones originales de esta obra es la propues-
ta alterna de acceso al lgebra por la ruta de la proporcionalidad,
la cual se inspira en las investigaciones que conciben a la aritm-
tica, de hecho a la matemtica de la escuela elemental, como un
piso firme sobre el cual pueden construirse conceptos algebraicos
como el de incgnita y el de variable en una relacin funcional.
Aqu tambin los entornos tecnolgicos de Logo y Excel juegan un
papel central, en razn de que uno de ellos (Logo) permite veri ficar
una regla general que represente una situacin de relacin de pro-
porcionalidad, por medio de retroalimentacin visual de figuras
que se reproducen en la pantalla, al variar uno de los parmetros
de la regla que se ha expresado en el lenguaje del programa. En lo
que respecta a Excel, ste permite desplegar tablas de variacin que
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
se generan a partir de la introduccin de una frmula o regla gene-
ral escrita con la sintaxis del programa.
Las rutas de acceso temprano al lgebra propuestas en el libro,
con apoyo de las tecnologas digitales, pueden considerarse una in-
novacin en la enseanza, sin embargo, no irrumpen de manera
drstica en el currculo actual de matemticas, en virtud de que los
autores se dieron a la tarea de analizar en ste la presencia (explcita
o no) de los tpicos en cuestin (proporcionalidad y patrones y
ge neralizacin). Lo anterior le da viabilidad a la propuesta para su
implementacin en la enseanza elemental.
Finalmente, quiero sealar que el contenido de la obra, sin duda,
resultar relevante para la comunidad de investigadores y estu-
diantes de posgrado en el rea de la educacin matemtica, debido
a la resea tan amplia que hacen los autores de la literatura de early
algebra y a la presentacin de los resultados de sus propios estudios,
los cuales han contribuido al enriquecimiento terico y metodol-
gico de la investigacin sobre este novedoso tema.
Teresa Rojano
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INTRODUCCIN
El lgebra temprana se refiere a la introduccin del pensamiento alge-
braico a edades que van del cuarto al sexto ao de primaria y primero
de secundaria del ciclo escolar. En el currculum mexicano, la ensean-
za y el aprendizaje del lgebra se pospone al ciclo de educacin secun-
daria (sptimo a octavo ao), se argumenta la dificultad inherente a
los contenidos matemticos, inaccesibles a edades tempranas. Desde
la perspectiva piagetiana, el enfoque de lge bra temprana en el nio se
sita en una etapa de su desarrollo cognitivo en la cual no se han desa-
rrollado completamente el pensamiento lgico formal y la abstraccin
sobre lo concreto; en cambio la conservacin de la cantidad, la reversi-
bilidad y las operaciones concretas se hallan bien consolidadas. El tema
parece contradecir las investigaciones originales que afirman que el
pensamiento algebraico corresponde ms bien a la etapa de las ope-
raciones formales, situadas alrededor de los 15-16 aos. Sin embargo,
estudios posteriores a Piaget han permitido dilucidar etapas ms finas
en el desarrollo cognitivo del nio y entender otros factores que permi-
tiran abordar el desarrollo del pensamiento algebraico a edades ms
tempranas, con los enfoques pertinentes y al tomar en cuenta otros
factores que han demostrado influir en el desempeo de las tareas.
El lgebra temprana es tambin un tema de investigacin ac-
tiva con contribuciones de diversas reas tales como la psicolo-
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
ga cognitiva o la matemtica educativa. Los autores de este libro
sostienen la importancia de la interaccin social como detonador
de los procesos de aprendizaje y proponen la incorporacin de ele-
mentos de la teora sociohistrico-cultural de Vigotski como mar-
co terico para estudiar las diversas interacciones que se dan en
el aula: alumno-alumno, alumno-profesor, entorno-alumno, por
citar algunos ejemplos. Sin duda la parte motivacional es un factor
importante para desper tar el inters por el aprendizaje de las ma-
temticas, pero no se aborda en esta obra.
Es importante distinguir los trminos lgebra temprana y pre-l-
gebra. En el primero se hace nfasis en los procesos de pensa miento
que conducen a las ideas algebraicas, incluso cuando no sean total-
mente acabadas, pero que ofrezcan verdaderos medios para acceder
con soltura a las ideas algebraicas ms acabadas. Ello est fundamen-
tado por la psicologa piagetiana que seala los diversos estadios en
el desarrollo del pensamiento matemtico del nio. En el enfoque de
pre-lgebra se hace nfasis en los contenidos matemticos previos
a la introduccin formal de los conceptos algebraicos, tales como
propiedades de exponentes, polinomios, productos notables, etc-
tera. En este libro proponemos dos rutas de acceso al pensamiento
algebraico temprano, basadas en la nocin de razn y proporcin,
y de los procesos de generalizacin. El por qu el concepto de ra-
zn y proporcin permite una ruta de acercamiento al pensamiento
algebraico puede explicarse de la siguiente manera: desde el pun-
to de vista matemtico, la igualdad de dos razones es una propor-
cin: a/b = c/d. En problemas de valor faltante, la ncgnita puede
ser un trmino de la proporcin: x/b = c/d, lo que plantea una ecua-
cin lineal o dos incgnitas: x/b = y/d, que da la idea de co-variacin
o funcin lineal; o una incg nita doble (razn primera y ltima):
x/a = c/x, lo cual resulta en una ecuacin cuadrtica.
Los procesos de generalizacin consisten en descubrir un pa-
trn o regla a partir de una secuencia de objetos, que pueden ser
numricos o geomtricos. Las investigaciones al respecto muestran
que un nio puede comprender una regla, aun cuando no pueda
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Introduccin
expresarla en lo que llamamos un lenguaje algebraico. Sin embargo,
es capaz de constuir una tabla y extrapolar o interpolar correspon-
dencias fuera del dato.
Contenido
La presente obra consta de dos partes. La primera es el material es-
crito en forma de libro en el que presentamos las investigaciones
realizadas en el campo del lgebra temprana, que sustentan nuestra
propuesta de las dos rutas de acceso al pensamiento algebraico. La
segunda parte es un CD que contiene tres secciones: Actividades en
Excel,1 Actividades en WinLogo y Actividades lpiz y papel, el cual se
describe en el captulo VI.
Todas las prcticas incluyen sugerencias para el profesor de cmo
llevar a cabo la actividad, cules son los conceptos alge braicos invo-
lucrados y recomendaciones de tareas adicionales. El uso de Excel
sin Visual Basic, por un lado tiene la ventaja de requerir pocos re-
cursos computacionales como procesador, memoria, modelo, etc-
tera. Est disponible en casi cualquier plataforma y se pueden usar
otras hojas de clculo libres, como Open Office, por ejemplo. La
desventaja es que requiere una familiarizacin con el lenguaje pro-
pio de Excel. Sin embargo, creemos que este reto es ms bien una
ventaja, ya que el disear una frmula en Excel que funcione exige
el dominio pleno de conceptos tales como variable, as como sumo
cuidado en el orden de asociacin de las operaciones aritmticas.
Por ejemplo, el equivalente de la frmula matemtica (n1)2+2n1
se escribira en Excel =(A1-1)^2+2*A1-1. Para el lector interesado
recomendamos las notas bsicas de Excel en el sitio: http://mat.izt.
uam.mx/notas_de_clase/ManualExcel.pdf
1 Reconocemos que los programas WinLogo, Excel, Visual Basic y el paquete Office Microsoft son marcas registradas, pero por razones editoriales en este libro y en el cd que lo acompaa se omitir incluir el smbolo de copyright correspon-diente cada vez que se men cionen dichos productos.
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
En las referencias se listan diversos sitios donde se puede descar-
gar la versin gratuita de WinLogo. La hoja de clculo Excel forma
parte de la suite de Microsoft Office y existen licencias acadmicas
de bajo costo.
A quin vA dirigido el libro?
Este libro est dirigido a profesores de matemticas de educacin
bsica primaria y secundaria, as como a pedagogos y psiclogos
educativos interesados en el aprendizaje del lgebra temprana con
el uso de nuevas tecnologas. Las nuevas tendencias en educacin
apoyadas por investigaciones en psicologa cognitiva apuntan a una
introduccin ms temprana de los conceptos bsicos del lgebra
de una manera progresiva donde el conocimiento previo de con-
ceptos aritmticos, tablas, series numricas, figuras geomtricas se
usa como puentes para acceder a conceptos naturales en el lgebra
tales como incgnita, variable, induccin, funcin, etctera.
El inters que los autores pretenden despertar en el lector es do-
ble: por una parte en la investigacin reciente en el rea de lgebra
temprana, la obra presenta las principales investigaciones en el tema
desarrolladas por diversos autores nacionales y extranjeros, as el lec-
tor encontrar algunas de las ideas principales que se manejan en
este campo del conocimiento y de investigacin activa. Por otra parte
se incluyen prcticas que se han diseado y probado con alumnos
de diversos grados desde tercero de primaria hasta el primer ao de
bachillerato de escuelas tcnicas. Aunque el trmino lgebra tem-
prana est pensado para un pblico de los ltimos grados de pri-
maria: cuarto, quinto y sexto, nuestras propias experiencias nos han
revelado que muchas de las dificultades originales en el aprendizaje
del lgebra persisten a lo largo de los grados siguientes. Las prcticas
tienen diverso grado de dificultad. Las diseadas en ambiente Logo
se han aplicado a nios pequeos de segundo y tercero aos de pri-
maria; las prcticas en Excel en alumnos de secundaria y bachillerato.
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CAPTULO 1
LAS DOS GRANDES RUTAS: PROPORCIONALIDAD
Y PROCESOS DE GENERALIZACIN
En este captulo se hace referencia a dos rutas conceptuales para
acceder al pensamiento algebraico: el razonamiento proporcional y
los procesos de generalizacin, ambas pretenden tender un puente
hacia el pensamiento algebraico.
La eleccin de la primera ruta (razonamiento proporcional) se
fundamenta, en primera instancia, en la familiaridad de los nios
con ese contenido matemtico en la escuela primaria especfica-
mente quinto grado, aun cuando estn en transicin del pensamien-
to aditivo al multiplicativo, y examina el hecho de que ese contenido
matemtico se conecta conceptual e histricamente (Radford, 1996)
a la idea de variacin proporcional, variable en una relacin fun-
cional y como nmero general. Esto a su vez lo vinculamos con la
segunda ruta de acceso (los procesos de generalizacin) que pro-
mueve la percepcin de patrones como la expresin y escritura del
patrn mediante actividades que involucran el razonamiento acerca
de patrones en grficas, patrones numricos y figuras. Se busca que
los nios sean capaces de detectar similitudes, diferencias, repeticin
y otros aspectos, as como de realizar operaciones aritmticas para
generalizar, a partir de casos particulares hacia lo general y viceversa.
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
A diferencia de los tratamientos tradicionales para ensear lge-
bra, partimos de la variacin funcional hacia los procesos de gene-
ralizacin en su condicin de tema perteneciente al campo de las
estructuras multiplicativas, desde donde proyectamos dicho conte-
nido matemtico a la variacin proporcional, variable como rela-
cin funcional y nmero general, va los procesos de generalizacin.
El contenido del captulo caracteriza el pensamiento matem-
tico como un perodo de transicin entre las estructuras aditivas
y multiplicativas propias de esas edades y de la instruccin escolar
en la escuela primaria, que privilegia contenidos matemticos per-
tenecientes al campo de las estructuras aditivas. Vergnaud (1983,
1998), propone la nocin de campo conceptual con el inters de en-
tender la adquisicin y el desarrollo de conocimientos especficos
y de destrezas relacionadas con situaciones y problemas. El campo
conceptual de la estructura multiplicativa ha sido estudiado desde
la dcada de 1980 y se han realizado importantes aportaciones, tan-
to en su delimitacin terica como en las estrategias, dificultades y
errores que cometen los estudiantes en tareas ligadas de este campo
conceptual. Para tratar los problemas de estructura multiplicativa,
Vergnaud distingue los siguientes contenidos: comparacin ml-
tiple de magnitudes, proporcionalidad simple, proporcionalidad
simple compuesta, proporcionalidad doble o mltiple.
Problemas de estructura aditiva: para Vergnaud (1991) los pro-
blemas de estructura aditiva son todos aquellos para cuya resolucin
intervienen sumas o restas y no pue den estudiarse en forma separa-
da, pues pertenecen a una misma familia de problemas o a un mis-
mo campo conceptual. Involucran la construccin de conocimientos
matemticos que van ms all de los algoritmos de la suma y la resta,
como son el dominio de diversas estrategias de clculo y el reconoci-
miento de los problemas que se resuelven con esas operaciones.
Problemas de estructura multiplicativa: Vergnaud (1991) de-
fine los problemas de tipo multiplicativo como aquellos que inclu-
yen una multiplicacin o una divisin, y clasifica tres categoras:
proporcin simple, producto de medidas, y proporcin mltiple.
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
Por su parte, el pensamiento algebraico involucra la compren-
sin de las relaciones funcionales, la generalizacin de patrones
y de las relaciones numricas, el trabajo con la estructura, el simbo-
lismo y la modelizacin como medio de expresin y formalizacin
de generalizaciones.
De acuerdo con Vergnaud (1991) una estructura multiplicativa
se basa en la estructura aditiva, aunque determinados elementos
intrnsecos de la estructura multiplicativa no estn presentes en
la primera. De las investigaciones publicadas sobre razona miento
proporcional que se han identificado inicialmente como apoyo
para este captulo sobresalen las siguientes: Inhelder y Piaget, 1958;
Hart et al., 1982; Spinillo y Bryant, 1991; English y Halford, 1995,
y Noelting, 1980.
Diversos estudios se han centrado en el desarrollo del razona-
miento multiplicativo; especficamente, en la transicin del pen-
samiento aditivo al multiplicativo en estudiantes de educacin
primaria. El anlisis de algunos problemas de estructuras multipli-
cativas tienen aspectos comunes a la estructura aditiva; por ejemplo,
la multiplicacin como la adicin de partes repetidas, pero tambin
tienen caractersticas que no se reducen a aspectos aditivos.
La comprensin del razonamiento proporcional, por ejemplo,
requiere del estudiante un cambio cualitativo en los esquemas cog-
nitivos para que pueda transitar del pensamiento aditivo al pensa-
miento multiplicativo. La mayora de los alumnos de educacin
primaria presenta dificultades para realizar ese cambio cualitativo.
Una de esas dificultades consiste precisamente en poder diferenciar
situaciones de estructura multiplicativa de situaciones de estructura
aditiva. Esto se manifiesta en el uso de mtodos aditivos errneos.
Por otro lado, en los planes y programas de estudio de la Secre-
tara de Educacin Pblica (sep, 2011), el estudio de la proporcio-
nalidad se desarrolla, principalmente, en los dos ltimos grados de
educacin primaria (quinto y sexto grados) y en los dos primeros
grados de la educacin secundaria. En educacin primaria se estu-
dia el pensamiento proporcional relacionado con los problemas
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
de estructura multiplicativa: multiplicacin, divisin, nmero ra-
cional, escala, porcentaje y probabilidad, entre otras (Block, 2006;
Block, et al., 2010).
En educacin secundaria las relaciones de proporcionalidad se
estudian vinculadas al pensamiento algebraico, como, funciones
lineales. El estudio del pensamiento proporcional en educacin b-
sica forma un eje articulador de contenidos matemticos diversos,
que continan y se generalizan en niveles de estudios posteriores.
PensAmiento AlgebrAiCo temPrAno
La transicin de la aritmtica al lgebra es un paso importante para
acceder a ideas ms complejas dentro de las matemticas escolares.
Una de las dificultades que la mayora de los estudiantes enfrenta al
iniciarse en el estudio del lgebra obedece a que sta ha sido vista
como una transicin lineal, como una extensin de los clculos nu-
mricos a la operacin con incgnitas y variables. Se pretende que el
pensamiento del alumno evolucione del manejo de cantidades defi-
nidas, como nmeros y operaciones, a la abstraccin de propiedades
generales tales como a + b = b + a, o que distinga la tenue diferen-
cia entre coeficiente y variable, siendo ambas desconocidas: ax + b.
Que maneje con soltura el anlisis de una expresin algebraica:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 y su sntesis: a2 + ab = (a + b/2)2 b2/4.
Las dificultades en el aprendizaje del lgebra se deben en parte
a que este contenido matemtico se ensea, por lo general, a par-
tir de fuentes de significados limitadas, usualmente se toma como
base el dominio numrico y se dejan de lado ideas importantes que
se interconectan con otros dominios matemticos, como por ejem-
plo, el geomtrico.
Por otro lado, numerosos estudios en didctica del lgebra han
investigado y catalogado las dificultades y los errores que cometen
los estudiantes al iniciarse en el estudio del lgebra elemental; auto-
res como Booth (1984), Kieran (1980 y 1988), Mason et al. (1985);
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
Filloy y Rojano (1989); Filloy, Rojano y Puig (2008) sealan que
estos alumnos tienden a usar mtodos aritmticos en lugar de m-
todos algebraicos para resolver problemas de enunciado y tienen
dificultades para comprender y manejar conceptos propios del l-
gebra como el de incgnita, nmero general y variable, as como
para comprender que las operaciones en lgebra pueden no llevar
a un resultado numrico y que eventualmente pueden quedar como
operaciones suspendidas. Estos estudios, adems, evidenciaron que
un bagaje predominantemente aritmtico puede resultar un obs-
tculo para el aprendizaje del lgebra ver por ejemplo, el estudio
de Filloy y Rojano (1989) y Kieran, (1988). En ese sentido, algunos
estudiosos afirman que para el desarrollo del pensamiento alge-
braico es imprescindible que los alumnos puedan pensar y perci-
bir la simbologa y las operaciones aritmticas de manera distinta
a la que se cultiva tradicionalmente en la escuela primaria, para que
sobre ese nuevo modo de pensamiento aritmtico construyan las
nociones bsicas del lgebra.
Cabe mencionar que el acercamiento ms tradicional empieza
por ensear la sintaxis algebraica, se enfatizan sus aspectos mani-
pulativos y al final se resuelven problemas. La principal crtica a este
acercamiento es que se introduce al estudiante a un simbolismo
desprovisto de significado y de sentido, se ignora que viene de tra-
bajar con aritmtica, donde los smbolos se relacionan con diversas
fuentes de significado y los contextos de los problemas determinan
en buena medida la manera de resolverlos.
Por otra parte, los tiempos didcticos para el aprendizaje del
lgebra son prolongados y parece oportuno iniciarse en ese pensa-
miento a edades tempranas (7-11 aos), al aprovechar las fuentes
de significados que estn presentes en los contenidos curriculares de
la primaria. En respuesta a cuestionamientos como los anterio-
res, se han llevado a cabo diversos estudios para investigar la transi-
cin del lgebra, como: la perspectiva de la aritmtica generalizada
(Mason, 1985), la evolucin por rupturas (Filloy y Rojano, 1989);
la reificacin (Sfard y Linchesvski, 1994); el sentido de las operacio-
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
nes (Slavit,1999); la interpretacin de los smbolos (Kieran, 1992,
Matz, 1980 y Booth, 1984); el tratamiento de las operaciones y las
funciones (Carraher, Schliemann y Brizuela, 2000); el lgebra como
una herramienta de representacin y resolucin de problemas (Da
Rocha Falco, 1993); la dialctica entre la teora y la prctica: un
proyecto de iniciacin temprana al lgebra (Malara, 2003), lgebra
en la escuela elemental (Carraher, Schliemann y Brizuela y Earnest,
Goodrow, Lara Roth y Peled, 2003), funciones lineales (Carraher
y Earnest, 2003), transiciones entre las diferentes generalizaciones
simblicas por principiantes en lgebra en un ambiente intensivo
computacional (Tabach, Hershkowitz y Arcavi, 2008); con relacin
a la generalizacin y la formalizacin progresiva (Kaput y Blanton,
2000), hacia la representacin en lgebra: puntos de vista (Kaput,
Blanton y Moreno, 2008). Todos esos estudios han mostrado que
en dicha transicin hay obstculos que requieren ser superados
por los alumnos para llegar a las nociones del lgebra simblica.
Algunos resultados sugieren que la posibilidad de remontar tales
obstculos depende directamente de la manera como se concibe el
pensamiento algebraico y especficamente de qu forma se intro-duce la iniciacin temprana a dicho pensamiento.
Existen diversas maneras de mirar al lgebra: como un lengua-
je, una herramienta, aritmtica generalizada o como cultura. Esta
forma de entender el pensamiento algebraico y por extensin su
iniciacin temprana involucra no solamente una mirada a estas
perspectivas sino tambin su factibilidad como una ruta para acce-
der a las primeras ideas algebraicas.
En esta obra se propone la iniciacin temprana al pensamiento
algebraico a partir de dos rutas de acceso: la variacin proporcional
y los procesos de generalizacin.
La variacin proporcional se refiere a cantidades que varan de
acuerdo con la ley simple: si una cantida aumenta cierto nmero
de veces, entonces la otra aumenta en la misma proporcin. Esta
ruta conduce de manera natural a las ecuaciones lineales, cuando
hay una variacin proporcional y una cantidad desconocida; a siste-
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
mas de ecuaciones lineales cuando hay ms de una cantidad desco-
nocida; a la funciones lineales f (x) = ax o f (x) = ax + b. Se hace un
amplio uso de la idea de proporcin en figuras geomtricas, ya que
con stas se generan objetos concretos capaces de ser medidos (por
ejemplo con una regla o una cuadrcula) o comparados. Inclusive,
a edades tempranas, permiten detectar si la idea de proporcin est
plenamente desarrollada en el nio.
Los procesos de generalizacin son inductivos: a partir de una
secuencia de objetos ordenados en secuencia, el alumno intenta dar
una regla de generacin del siguiente objeto. Ejemplos de procesos
de generalizacin han sido usados en muchas investigaciones de
secuencias de patrones, como por ejemplo, los nmeros cuadrados,
nmeros triangulares, etctera.
En los estudios sobre la aritmtica como una entrada al lgebra
hay una diversidad de opiniones sobre cmo implemetarla, Kaput,
Carraher y Blanton (2008) basan su postura en la premisa de que la
aritmtica y la matemtica en la escuela primaria se han abordado de
maneras que muchas veces restan importancia a la generalizacin,
siendo sta una parte inherente al pensamiento algebraico. En el
campo del lgebra temprana muchos piensan que los alumnos en la
escuela primaria pueden estar preparados para pensar sobre estruc-
turas y relaciones, aunque no puedan usar smbolos convencional-
mente aceptados. No se trata de quitar importancia a las habilidades
bsicas (por ejemplo la fluidez en el clculo), lo que se enfatiza es que
se pueden desarrollar otras habilidades ms complejas o avanzadas
mientras se aprenden y ejercitan las ms bsicas.
En una segunda postura del enfoque prealgebraico no se exige
agregar ms contenidos al programa escolar sino tratar con mayor
profundidad los temas que ya se cubren, para que enfaticen la gene-
ralizacin. Los investigadores en lgebra temprana tienden a con ce bir
una visin amplia del razonamiento simblico, para ellos ste incluye,
pero no se restringe, al razonamiento con una notacin alge braica;
por ejemplo, este grupo de in vestigadores incorporan al uso del len-
guaje oral, las tablas y los grficos, adems de la notacin algebraica.
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
En este libro se toma el enfoque de pensamiento algebraico tem-
prano o lgebra temprana; las rutas conceptuales que se proponen
no rompen con el pensamiento numrico o geomtrico en etapas
tempranas, ms bien este abordaje requiere de una exploracin
ms profunda de elementos que ya for mando parte del curricu-
lum en el nivel primario, permiten tender un puente al pensa-
miento algebraico.
CAmPos ConCePtuAles de vergnAud
La teora de los campos conceptuales pretende dar un marco de re-
ferencia en investigaciones relacionadas con actividades cognitivas,
particularmente con aquellas que tienen que ver con aprendizajes
cientficos y tcnicos. En primera instancia fue elaborada con el
fin de explicar los procesos de conceptualizacin de las estructuras
aditivas, multiplicativas, del lgebra y relaciones espacio-nmero.
Iniciada por Vergnaud (1982, 1983).
Esta escuela francesa trabaja sobre dos hiptesis, una de tipo
epistemolgica y otra constructivista; la primera supone que los
problemas son una fuente de conocimiento y el aprendizaje se pro-
duce como consecuencia del reconocimiento y resolucin de stos
dentro de un contexto. La segunda supone que el aprendizaje se
construye a partir de un conflicto cognitivo y en interaccin con
su entorno.
Para Vergnaud (1990) la teora de los campos conceptuales es una
teora cognitivista que pretende proporcionar un marco coheren te
y algunos principios base para el estudio del desarrollo y del apren-
dizaje de competencias complejas, especialmente las que se refieren a
las ciencias y las tcnicas.
Se trata de una teora psico lgica del proceso de conceptualiza-
cin de lo real que permite localizar y estudiar continuidades y rup-
turas entre conocimientos desde el punto de vista de su contenido
conceptual (1990, p. 133). El problema que se plantea Vergnaud
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
(1996) es la relacin entre el conocimiento y los problemas tericos
y prcticos a los cuales responde. Adems, aborda esta relacin tal
como aparece en una situacin real, como por ejemplo en un saln
de clase.
Vergnaud (1996) reconoce la importancia de la teora del suizo
Jean Piaget, al destacar las ideas de adaptacin, equilibrio y desequi-
librio como piedras angulares para la investigacin en didc tica de
las ciencias y de la matemtica. Considera que la gran piedra an-
gular colocada por Piaget fue el concepto de esquema. Reconoce
igualmente que su teora de los campos conceptuales fue desarro-
llada tambin a partir del legado de Vigotski; eso se percibe, por
ejemplo, en la impor tancia atribuida a la interaccin social, al len-
guaje y a la simbolizacin en el progresivo dominio de un campo
conceptual por los alumnos (Moreira, 2002].
Aunque Piaget haya hecho un trabajo muy impor tante para la
educacin, l mismo no imparti en el aula matemticas o ciencias,
de ah que sea importante estudiar los contenidos que se ensean.
Una de las contribuciones de Vergnaud es sin duda su teora de
los campos conceptuales particularizados a las estructuras aditivas
y multiplicativas.
Para Vergnaud un concepto consiste de una terna C = (S, I, R)
donde S es el conjunto de situaciones a las que el alumno se en-
frenta y dan sentido al concepto por sus vivas experiencias; I es el
con junto de invariantes que son los objetos, propiedades y sus rela-
ciones, los cuales se traducen en reglas de aplicacin en ciertos do-
minios; R es el conjunto de representaciones diversas del con cepto:
lenguaje natural, grficas, tablas, diseos, sentencias, etctera, for-
man el bagaje que el alumno usa para enfrentar las situaciones del
concepto. El primer conjunto el de situaciones es el referente
del concepto, el segundo el de invariantes operatorios es el sig-
nificado del concepto; en cuanto al tercero el de representaciones
simblicas es el significante.
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
Esquemas
En la construccin de los invariantes operatorios juega un papel
importante la nocin de esquema: un esquema describe la orga-
nizacin invariante de la conducta de una persona en una clase de
situa ciones. Es dentro de los esquemas que se pueden investigar
los conocimientos en acto del sujeto; es decir, los elementos cog-
nitivos que le permiten al sujeto ser operatorio Vergnaud (1991).
Los esquemas son clasificados en tres tipos:
1. Teoremas en accin o de tipo proposicin: son las propieda-
des o relaciones que usa el alumno cuando resuelve un pro-
blema, aunque no sea capaz de explicitar o justificar.
2. Conceptos en acto: forman parte de los teoremas en accin.
Indispensables en su formulacin.
3. Argumentos, por ejemplo los objetos, los nmeros. Los in-
variantes tienen un dominio de aplicacin. A menudo los
errores se presentan como la aplicacin de esquemas fuera
de su do minio.
La idea de esquema puede parecer muy abstracta, por ello ponga-
mos algunos ejemplos.
Ejemplo:
En el nivel de secundaria, los chicos deben resolver la ecuacin
lineal:
ax + b = c, con a, b > 0 y b < c
Tpicamente siguen el esquema de solucin donde se observan con
claridad los invariantes:
se conserva la igualdad al restar b de ambos lados
se conserva la igualdad al dividir de ambos lados
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
Este esquema es menos confiable cuando se considera por ejemplo
la ecuacin:
(1/2)x 3 = 1
Ejemplo:
Los trabajos de investigacin sobre el nmero decimal (Sackur-
Grisvard, C. y Leonard, F., 1985) han permitido ver que las respues-
tas falsas y sin duda muchas de las correctas de los alumnos de
secundaria al tratar de comparar nmeros decimales siguen ciertas
reglas que pueden descomponerse en dos subreglas:
1. Un algoritmo de descomposicin de la parte entera.
2. La distincin entre las cifras delante y despus del punto
decimal.
Cuando la parte entera es igual, la comparacin de la parte decimal
en 80% de los casos se hace de acuerdo con las reglas R1 (mayor-
mente) y R2:
R1: El nmero que tiene la parte decimal ms grande, como en-
tero, es la mayor. Por ejemplo:
12.113 > 12.4 porque 113 > 4
12.8 > 12.4 porque 8>4
R2: El nmero que tenga el mayor nmero de decimales es el
ms pequeo. Por ejemplo:
12.04 < 12.4
12.98 < 12.9
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
Ejemplo:
Las siguientes reglas se obtienen con frecuencia en el nivel bsico
primaria-secundaria:
a + c = a + c
b d b + d
|a + b| = |a| + |b|
a+b = a + b
se pueden considerar que revelan el teorema en accin
f (a + b) = f (a) + f (b)
fuera de su dominio de aplicacin.
Ejemplo:
Las siguientes reglas concernientes a las razones entre nmeros rea-
les se encuentran en varios niveles del currculum de matemticas.
R1: Si se multiplica (divide) un nmero por otro, entonces ste
aumenta (disminuye).
R2: El cuadrado de un nmero es ms grande que el nmero.
R3: La raz cuadrada de un nmero es ms pequea que el n-
mero.
Se ve claro que el teorema en acto subyacente es la generalizacin
de las propiedades R1-R3 vlidas en los enteros positivos a los n-
meros reales.
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
Estructuras aditivas
Se entiende por problema de tipo aditivo aquel cuya solucin ame-
rita tan slo sumar o restar. Estructuras aditivas son las relaciones en
juego que slo estn formadas por adiciones o sustracciones. El pro-
ceso de sumar est ntimamente relacionado con el acto de contar o
ms generalmente de medir, siendo una medida discreta el acto de
contar. En el sentido matemtico una media es una manera de asig-
nar un nmero no negativo a conjuntos de un universo. Esta asigna-
cin la podemos denotar por:
A m(A)
para todo conjunto A dentro del universo. Esta asignacin mnima-
mente satisface las propiedades intuitivas de medida:
1. A B m(A) m(B). 2. A B = m(A B) = m(A) + m(B).
Menos obvio es la existencia de conjuntos de medida cero; por con-
sistencia el conjunto vaco tiene medida cero. La nocin de medida
depende del ambiente de los conjuntos. Por ejemplo, tratndose
de figuras planas, la medida de un rectngulo se calcula como:
m(rectngulo) = base altura
pero la medida de uno de sus lados es cero. Al continuar con este
ejemplo, la medida de figuras que no son rectngulos se extiende:
m(tringulo) = base altura
2
debido a que dos tringulos forman un rectngulo:
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
De esta manera se puede calcular el rea de un polgono regular
como la suma de las reas de los tringulos que lo componen: ob-
teniendo as la frmula:
m(polgono) = permetro apotema
2
La medida discreta se usa para medir conjuntos finitos y es el n-
mero o cantidad de elementos (cardinalidad) del conjunto:
m(A) = #(A)
Es bien sabido que el proceso de contar no se da sino hasta edades
relativamente grandes en el nio, 6-7 aos, cuando la nocin de co-
rrespondencia entre conjuntos y de ah la de nmero o conteo est
bien desarrollada. En el ejemplo citado por Vergnaud, en nios de
5 o 6 aos se les presenta la siguiente situacin de copitas y huevos,
se le pide al nio que diga si hay ms copitas que huevos. Sin difi-
cultad contestan hay las mismas o que es igual. En la situacin
mostrada con los huevos desalineados de las copitas, se plantea la
misma pregunta. Hasta los 5, 6 o 7 aos, dependiendo del individuo
contestan hay ms copitas porque es ms largo o hay ms huevos
porque estn ms apretados. Es slo hasta los 7 aos, segn Piaget,
que los nios contestan es igual con argumentos del tipo no se
quit ni se puso nada o se puede volver a como estaba antes. As la
nocin de medida discreta sintetiza el proceso psicolgico de contar.
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
El proceso de sumar se pude sintetizar en la propiedad dos de la
nocin abstracta de medida:
Figura 1.1 Hay ms copitas que huevos?
Figura 1.2 Hay ms copitas que huevos?
Ejemplo:
Juan tiene cuatro canicas en la bolsa izquierda y tres canicas en la
bolsa derecha, cuntas canicas tiene Juan? En smbolos:
Figura 1.3 Cuntas canicas hay?
En el marco conceptual de las estructuras aditivas, Vergnaud clasi-
fica en seis grandes categoras el tipo de relaciones aditivas. Hay que
recordar que la operacin de suma es una relacin ternaria (comn-
mente llamada operacin binaria) que relaciona la suma c con los
sumandos a, b:
(a, b) c = a + b
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
Las seis categoras son las siguientes:
1. Primera: dos medidas se componen para dar una tercera me-
dida.
2. Segunda: una transformacin opera sobre una medida para
dar otra medida.
3. Tercera: una relacin une dos medidas.
4. Cuarta: dos transformaciones se componen para dar una
trans formacin.
5. Quinta: una transformacin opera sobre un estado relativo
para dar un estado relativo.
6. Sexta: dos estados relativos se componen para dar un tercer
estado relativo.
Cabe aclarar al lector que la nocin de medida de Vergnaud no
coin cide totalmente con la definicin matemtica dada anterior-
mente. Vergnaud llama medida al resultado de medir: m(A) y no
a la funcin de medida m. El trmino transformacin lo usa en el
sentido de una accin que se efecta funcin sobre un objeto.
Para la primera categora podemos tomar el ejemplo de las ca-
nicas; las dos medidas se distinguen porque el primer conjunto de
canicas es de vidrio y el segundo de metal. Podramos enunciar
la situacin as: Juan tiene cuatro canicas de vidrio en la bolsa iz-
quierda y tres canicas de metal en la bolsa derecha, cuntas cani-
cas tiene Juan?
De la segunda categora: una transformacin opera sobre una
medida para dar otra medida; considere el problema:
Ejemplo:
Pablo tena siete canicas antes de empezar a jugar; gan cuatro aho-
ra tiene 11. Se puede representar por el esquema:
+4
7 11
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
En esta notacin los cuadrados representan: nmeros naturales y
los crculos nmeros relativos (enteros). Se podra ser ms preciso
y definir la transformacin (funcin):
f (x) = x + 4 y entonces f (7) = 11,
o bien
f (m(A)) = m(B), siendo m(A) = 7, m(B) = 11,
la medida de las canicas que Juan tena antes y despus.
De la tercera categora: una relacin une dos medidas.
Ejemplo:
Juan tiene ocho canicas, Ernesto tiene tres menos; entonces tiene
cinco, donde la flecha punteada indica la relacin tiene menos que.
-38 5
De la cuarta categora: dos transformaciones se componen para dar
una transformacin. Considere la siguiente situacin:
Ejemplo:
Pablo gan seis canicas ayer y hoy perdi nueve, en total perdi tres.
6 -9-3
-3
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
De la quinta categora: una transformacin opera sobre un estado
relativo para dar un estado relativo.
Ejemplo:
Andrea le debe cinco monedas a Lidia, le devuelve cuatro, slo le
debe una.
-4
-5 -1
De la sexta categora: dos estados relativos se componen para dar
un tercer estado relativo.
Ejemplo:
-2
-6
-4
Pablo le debe seis canicas a Enrique, pero Enrique le debe cuatro.
Entonces Pablo le debe a Enrique slo dos canicas. Aqu los corche-
tes representan la relacin le debe a.
Las categoras aditivas de Vergnaud dan un marco terico para
el planteamiento de problemas algebraicos ms simples.
Ejemplo:
Pablo acaba de jugar a las canicas. Tena 41 antes de jugar y ahora
tiene 29. Por lo tanto perdi. Cuntas canicas perdi?
El problema se pude enmarcar como un problema aditivo de la
segunda categora con una cantidad desconocida x o en notacin
algebraica: 41 + x = 29
x41 29
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
Una ecuacin lineal de primer grado
Problemas algebraicos ms complejos de tipo aditivo pueden anali-
zarse dentro de este marco.
Ejemplo:
Pablo tena cierta cantidad de canicas, el primer da gan seis. El
siguiente da perdi dos; de cualquier manera acab con el doble
de canicas que tena el primer da. Con cuntas canicas comenz a
jugar? Con cuntas canicas comenz a jugar el segundo da?
El problema es complejo de plantear; aun para chicos de secun-
daria. Pero se pueden abordar las ideas anteriores. Denotemos por:
x la cantidad de canicas con las que Pablo comenz el primer da
y la cantidad de canicas con las que Pablo comenz el segundo da
Entonces podemos plantear la situacin en cada da como sigue:
Primer da:
+6x y
Segundo da:
-2y 2x
que se traduce en el sistema de ecuaciones
x + 6 = y
y 2 = 2x
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
cuya solucin, obtenida por cualquiera de los mtodos conocidos
nos da x = 4, y = 10. Verifiquemos:
+64 10
-2
10 8
doble
Estructuras multiplicativas
El campo conceptual de las estructuras multiplicativas consiste en
todas las situaciones en que pueden ser analizadas como problemas
de proporciones simples y mltiples para los cuales general mente es
necesaria una multiplicacin, una divisin o una combinacin de
estas operaciones.
Es importante hacer referencia a los problemas de estructu-
ras multiplicativas para interpretar de mejor manera los conteni-
dos matemticos que se presentan en la educacin primaria tales
como el razonamiento proporcional y la idea de variable. Sin duda
la ins truccin escolar privilegia el estudio de las estructuras aditi-
vas y deja para ms tarde el estudio de las estructuras multipli ca-
tivas, lo que ocasiona algunos problemas para que los nios puedan
compren der, por ejemplo, el razonamiento proporcional y, va
este contenido matemtico, el pensamiento algebraico.
De acuerdo con Vergnaud (1983), la estructura multiplicativa se
basa en la estructura aditiva, pero ciertos aspectos intrnsecos de la
primera no estn presentes en la segunda; los clasifica en tres cate-
goras: proporcin simple, producto de medidas y proporcin ml-
tiple; afirma que ese campo conceptual se desarrolla entre los siete
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
y 18 aos de edad; comenta que las dificultades a menudo se sitan
en dos grandes categoras: isomorfismo de medida y producto de
medida.
Vergnaud entiende por isomorfismo de medida una relacin
entre cantidades x (primera medida) e y (segunda medida) relacio-
nadas funcionalmente por una proporcin simple:
x =
xy y
o funcional y = f (x) = mx. As diversos problemas algebraicos se
pueden entender como determinar una de las medidas desconoci-
das dada la relacin:
M1 | M
2
x y = f(x)...
... ...
x y = f(x)
donde M1, M
2 representan las medidas o cantidades.
Ejemplo:
Tengo tres bolsas de canicas. Hay cuatro canicas en cada bolsa
Cun tas canicas tengo?
bolsas | canicas
1 4 3 y
Ejemplo:
El metro de tela para un vestido cuesta $ 40, se necesitan tres metros
de tela para confeccionar el vestido. Cunto debo pagar?
metros | pesos
1 403 y
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
Ejemplo:
Pagu $12 por un paquete de gelatinas que tiene cuatro. Cunto
cuesta cada gelatina?
gelatinas | pesos
1 y 4 12
Ejemplo:
Pedro tiene $12 y quiere comprar varios paquetes de caramelos que
cuestan $3 cada paquete. Cuntos paquetes puede comprar?
paquetes | pesos
1 3 x 12
Ejemplo:
Hablar tres minutos por celular cuesta $2. Si hablo 15 minutos
Cunto me costar?
minutos | costo
3 2 15 y
Producto de medidas
Dos medidas se pueden combinar para dar otra medida, de un tipo
nuevo, posiblemente.
Ejemplo:
El rea de un rectngulo es la medida de la base por la altura. La
nueva medida (el rea) tiene unidades distintas de la base y la altu-
ra: se mide en metros cuadrados.
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
Ejemplo:
El volumen (la nueva medida) de una pirmide es el rea de la base
(la primera medida) por la altura (la segunda medida). La nueva
medida tiene unidades de m3.
Ejemplo:
Para saber cuntos soldados hay en un pelotn se puede contar
cada soldado (razonamiento aditivo), o bien contar cuntas filas
hay de fondo, cuntas de frente y multiplicar ambas (razonamiento
multiplicativo).
Figura 1.4 Soldados.
rAzonAmiento ProPorCionAl
El tema razn y proporcin ha sido uno de los ms investigados
en el campo de la educacin matemtica y existe una literatura
muy extensa. Aqu slo se har referencia a aquellos trabajos que
se relacionan directamente con la posibilidad de desarrollar ideas
algebraicas a partir de este concepto.
La enseanza del razonamiento proporcional en la escuela pri-
maria enfatiza con frecuencia su carcter numrico y deja de lado
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
el carcter geomtrico de la nocin y proporcin. Esto trae como
consecuencia una fragmentacin del tema, que hace que los es-
tudiantes adquieran habilidades principalmente en un contexto
numrico, pero sin alcanzar un conocimiento integral. En la ins-
truccin escolar muchas veces se reduce el concepto de propor-
cionalidad a un conjunto de algoritmos tales como proporciones
simples versus compuestas, se deja que el nio comprenda a travs
de muchos ejemplos la distincin entre una y otra.
La teora de Piaget divide cronolgicamente el desarrollo cogni-
tivo del nio en cuatro estadios principales:
Sensorio-motor (hasta los dos aos).
Preoperatorio (de dos a siete aos).
Operaciones concretas (de siete a 11 aos).
Operaciones formales (de 12 aos en adelante).
En el estadio sensorio-motor el nio depende de sus sentidos para
explorar el mundo, pero rpidamente se da cuenta que puede inter-
venir en ste. Son caractersticos movimientos repetitivos o circu-
lares, como agitar una sonaja. En la etapa preoperatoria, los nios
son capaces de manejar smbolos, por ejemplo dibujar un rectn-
gulo y un trangulo encima para representar una casa, as como
algu nos smbolos alfa numricos. Piaget afirma que el razonamien-
to proporcional se sita en el estadio de las operaciones formales ya
que se trata de operar sobre una operacin y no sobre los objetos;
por lo tanto es necesario un proceso de abstraccin.
Los siguientes expermientos realizado por Piaget son bien cono-
cidos en esta etapa.
Experimento 1
La edad del nio va de cinco a seis aos situndolo en la fase pre-
operatoria. Se le muestran dos hileras de fichas con la misma canti-
dad, perfectamente alineadas. Cuando se le pregunta en cul hilera
hay ms fichas?, es capaz de responder que hay el mismo nmero
de fichas sin contarlas o bien puede contarlas y afirma que hay el
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
mismo nmero. En seguida, delante de l, se separan las fichas de
una de las hileras sin variar el nmero. El nio responde a la misma
pregunta que hay ms fichas en la hilera que tiene las fichas ms
separadas (figura 1.5).
Figura 1.5 Conservacin de la cantidad 1.
Experimento 2
La edad del nio va de cinco a seis aos, como antes. Se le muestran
dos recipientes idnticos con agua. En presencia del nio se vaca el
conte nido de uno de los vasos en uno ms alto y se pregunta en qu
recipiente hay ms agua. Las respuestas del infante varan depen-
diendo de si el nio juzga el contenido por el ancho o la altura del
algua en el recipiente (figura 1.6).
Figura 1.6 Conservacin de la cantidad 2.
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
Experimento 3
La edad del nio es alrededor de nueve aos. Se le presenta la misma
situacin que en el experimento anterior. El nio verifica con sumo
cuidado que las cantidades de agua en los vasos son iguales. Cuando
el contenido de uno de ellos se vaca en un vaso ms delgado es ca-
paz de argumentar que como el contenido del agua en el vaso ms
delgado se puede regresar al vaso original hay la misma cantidad de
agua (figura 1.7). Este comportamiento se conoce tambin como
reversibilidad concreta, pues se puede lograr identificar la igualdad
e objetos concretos, pero no siempre en objetos abstractos.
Figura 1.7 Reversibilidad concreta.
Estos experimentos muestran que en el estadio preoperatorio el
nio an no desarrolla plenamente el concepto de conservacin de
la cantidad. Se desprende de los estudios de Piaget que las relacio-
nes que involucren igualdades o equivalencias son inaccesibles a los
nios a estas edades tempranas. Sin embargo, diversos autores sos-
tienen crticas relativas a la diversidad en los grados de desarrollo
de los infantes o a la manera como son formuladas las preguntas e
inclusive el contexto.
En el estadio de las operaciones concretas el nio es capaz de
comprender conceptos tales como peso o velocidad y puede en-
tender que la cantidad de agua en los dos recipientes del experi-
mento tres es la misma. Tambin son capaces de concebir relaciones
causa-efecto aunque no explicarlas a detalle, sin embargo tienen
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
dificultad de asumir situaciones hipotticas. Los nios en esta etapa
son capaces de usar el razonamiento inductivo, donde pueden ir de
situa ciones particulares a generales, pero se les dificulta el razona-
miento deductivo en el que deben plantearse hiptesis. La reversi-
bilidad es uno de los conceptos ms importantes que se desarrollan
en esta etapa. El nio es capaz de comprender que si a una cantidad
se le agrega y se le quita lo mismo, queda igual. Por ejemplo, puede
entender que 4 + 4 = 8 y 8 4 = 4, pero ligado a objetos concretos
(cuatro manzanas se agregan a un montn de cuatro manzanas y se
retiran las mismas, quedan las mismas cuatro manzanas).
Piaget identifica tres operaciones esenciales involucradas en to-
dos los niveles de desarrollo, ya sea fsico o mental: asimilacin,
acomodacin y adaptacin o re-equilibracin. La acomodacin se
da cuando al contacto con los objetos modifica la accin refleja.
La consolidacin y fortalecimiento de estos reflejos es la asimila-
cin. En suma, la acomodacin es la modificacin de la accin de
asimilacin. La adaptacin es cmo los procesos de asimilacin
y acomodacin llegan a un balance; es decir se re-equilibran para
asegurar que el individuo se adapte a su ambiente.
En todas las etapas de desarrollo y en cada nivel las tres ope-
ra ciones estn en constante interaccin. Por ejemplo, las etapas
cognitivas posteriores permanecen interconectadas con el nivel
sen somotor aunque con un mayor grado de complejidad.
La etapa de las operaciones formales se inicia en la preadoles-
cencia y dura el resto de la vida adulta. El nio va ms all: de lo
concreto a lo abstracto, es capaz de pensar lgicamente y obtener
informacin a partir de la informacin disponible. Usa el razona-
miento hipottico-deductivo, lo cual significa que es capaz de hacer
hiptesis o suposiciones y concluir el mejor camino para resol-
ver un problema.
En cuanto a la demanda cognitiva que representa el razona-
miento proporcional, estudios desarrollados en una primera etapa
por Inhelder y Piaget (1958) afirman que el concepto de propor-
cionalidad es caracterstico del estadio de las operaciones formales,
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
propio de la pre y adolescencia. Segn Piaget et al. (1987) el con-
cepto de proporcionalidad no se puede entener [a menos que] se
establezca una relacin entre dos leyes de progresin (aritmtica
y geomtrica).
De acuerdo con Lowell (1971) para Piaget hay dos elementos
que caracterizan el razonamiento formal: el estu diante debe ser
capaz de manipular condiciones lmite de las variables y razones
entre valores ordenados de las variables; eso requiere la cuantifi-
cacin de la proporcin, ms que la descripcin en trminos cuan-
titativos.
Entre las rplicas a los estudios de Piaget, Lunzer y Pumfrey
(1966 citados en Hart, 1989), registran tareas y describen las estrate-
gias utilizadas con las distintas diferentes razones matem ticas (1:1,
2:1 y 3:1), estas razones resultaban ser las ms fciles y preferan
resolver los problemas de manera aditiva. Varios autores contes-
tan tal postura bsicamente entorno a dos puntos: el pri mero, que
el razonamiento proporcional en efecto pertenece al estadio de las
operaciones formales, pero que el tipo de tareas puede hacer la dife-
rencia. En el primer caso, Bryant y Spinillo (1990), Spinillo y Bryant
(1989) y Spinillo (1993) afirman que el razonamiento proporcional
no es una habilidad propia de las operaciones formales y puede ser
desarrollado a edad temprana.
Los estudios con nios de cuatro a seis aos de edad muestran
que ellos comprenden la idea de mitad, que desde temprano tie-
nen una apreciacin perceptual y empiezan a comparar razones
de cantidad antes de cualquiera experiencia con razones num-
ricas. Esto indica que el juicio perceptual (geomtrico) como ha-
bilidad puede ser desarrollado desde temprana edad. El segundo
cuestionamiento se refiere al tipo de tareas propuestas a los ni-
os, al lenguaje utilizado y al contexto de los problemas como
ele mentos que posiblemente interferan en el entendimiento y
desem peo en la tarea.
El propio Piaget, tambin en otra etapa de su trabajo, describe
estadios tempranos ms finos al usar correspondencias cualitativas
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
y seriaciones: el llamado estadio intermedio para adicionar com-
pensaciones de dos razones 2:1, y el estadio avanzado en el razona-
miento proporcional aplicado a valores numricos con datos y sus
razones. Concluye, as, que puede haber un entendimiento tempra-
no de algunos conceptos matemticos, por ejemplo, el concepto de
proporcionalidad.
English y Halford (1995) afirman que una de las caractersti-
cas esenciales del razonamiento proporcional involucra relaciones
de 2o orden (relaciones entre dos relaciones), relaciones entre dos
cantidades directamente perceptibles. Esta perspectiva defiende
que en la fase temprana del razonamiento proporcional de los
nios, ste involucra un razonamiento aditivo, en la forma de
a b = c d. Entretanto, el trabajo de Lesh et al. (1988, citado en
English y Halford 1995) apunta hacia un razonamiento paradig-
mtico en el que los nios usan varias estrategias multiplicativas,
tpicas de una ecuacin a b = c d y pueden ser indicadores de
razonamiento proporcional, especialmente cuando tienen una so-
lucin algortmica.
En otro orden de ideas y ubicados en el terreno de la educa-
cin, es interesante hacer referencia a estudios como el de Karplus
y Peterson (1970), quienes caracterizan las respuestas de los nios
agrupndolas a partir de su nivel de comprensin. Aqu es muy co-
nocido el estudio sobre el seor bajo y el seor alto, en la figura 1.8
se muestra el problema adaptado al lenguaje espaol cotidiano
En el trabajo original de Karplus y Petersen el problema se plan-
tea as:
Experimento 4
El seor Bajo mide seis clips. Si se le mide con botones, mide cuatro
botones (figura 1.8). El seor Alto es parecido al seor Bajo, pero
mide seis botones. Cul es la altura del seor Alto en clips de pa-
pel? En seguida se muestran alguna soluciones tpicas.
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
Figura 1.8 El problema del seor Alto y el seor Bajo.
Tabla 1.1 Tipo de razonamiento seor Alto y seor Bajo
Tipo de razonamiento
Explicacin
Multiplicativo 1 Cada botn es igual a uno y medio clips de papel. Si el seor Alto mide seis botones de alto, multiplicas 6 por 1 y por lo tanto el seor Alto mide nueve clips.
Multiplicativo 2 El seor Alto es 1 veces ms alto que el seor Bajo. Puesto que el seor Bajo mide seis clips de alto, el seor Alto debe ser 6 1 = 9 clips alto.
Multiplicativo usando sumas
Por cada dos botones hay tres clips de papel. El seor Alto es dos botones ms alto que el seor Bajo, as que l debe ser tres clips de papel ms alto: 6 + 3 = 9 clips de papel.
Aditivo 1 El Sr. Bajo mide cuatro botones y seis clips de papel, o sea que los botones son dos menos que los clips de papel. Puesto que el seor Alto y el seor Bajo son similares y el seor Alto mide seis botones, entonces debe medir ocho clips de papel.
Aditivo 2 El seor Alto es dos botones ms alto que el seor Bajo, as que l ser tambin dos clips de papel ms alto que el seor Bajo, lo que da ocho clips de papel de alto.
Estimativa Nueve. Me imagin que sera un poco ms alto.
Azar Puesto que el seor Alto es dos botones ms alto que el seor Bajo, tom los seis clips de papel y los multipliqu por dos para obtener 12 clips.
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
Por mucho, las respuestas ms comunmente se encuentran entre
las estrategias aditivas. La estrategia aditiva, a pesar de ser sistem-
tica y dar resultados plausibles, es incorrecta.
El anlisis de las distintas estrategias procede como sigue: deno-
temos la altura seor alto como A y la del seor bajo como B; por b,
c la altura de un botn y un clip respectivamente.
Estrategia aditiva 1:
B = 4b = 6c y 6 = 4 + 2 y A= 6b
A = 6 + 2 = 8c.
Estrategia aditiva 2:
A = B + 2b A = B + 2c B = 6c A = 8c.
Estrategia multiplicativa 1:
b = 1c y A = 6b
A = 6 1 c = 6 3/2c = 9c.
Estrategia multiplicativa 2:
A = 1 B y B = 6c
A=1 6c = 3/2 6c = 9c.
Estrategia multiplicativa con sumas:
B = 6c y 2b = 3c y A = B + 2b
A= 6c + 3c = 9c
Estrategias en proporcionalidad inversa
Matemticamente, en una proporcin inversa dos cantidades va-
ran de manera que su producto permanece constante. Sin em-
bargo, en situaciones concretas el nio se enfrenta a la variacin de
dos cantidades. Un primer requisito para reconocer una variacin
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inversamente proporcional es que al aumentar una cantidad la otra
disminuya. Esto no es sin embargo suficiente. Es necesario primero
reconocer la invariancia de cierta propiedad, la cual depende del
contexto; por ejemplo, si x es el nmero de trabajadores que rea-
lizan una labor e y es el nmero de horas empleadas para realizar
la misma labor, entonces x vara en proporcin inversamente con
y porque si aumenta el nmero de trabajadores, disminuye el n-
mero de horas empleadas. En este caso x y se interpreta como la
labor completa.
El siguiente ejemplo muestra una situacin que ilustra diversas
estrategias que involucran una variacin inversa proporcional.
Figura 1.9 El tringulo de agua.
Experimento 5
El llamado tringulo de agua es un contenedor de lquido en for-
ma de tringulo rectngulo (ngulo recto), el cual puede incli narse
y los niveles en los lados (catetos) izquierdo y derecho se pueden
determinar mediante una escala en ellos (figura 1.9). El trin gu lo de
agua se rota hasta que la altura en el lado derecho mida seis unidades
y la altura en el lado izquierdo mida cuatro. Supngase que el trin-
gulo se rota un poco ms hasta que la altura en el lado derecho es
de ocho unidades. Cul ser la altura del agua en el lado izquierdo?
Una respuesta multiplicativa correcta rara vez se observa en ni-
os en la transicin de la estrategia aditiva a una muliplicativa.
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
Tabla 1.2 Tipo de razonamiento tringulo de agua
Tipo de razonamiento Explicacin
Aditivo 1 La altura del lado izquierdo sera de dos unidades, porque el nivel del agua en el lado derecho aument en dos, as que el nivel en el lado izquierdo debe disminuir en 2 : 4 2 = 2.
Aditivo 2 Antes haba un total de 10 unidades porque 4 + 6 = 10. El nmero total de unidades queda igual, as que la respuesta es dos porque 2 + 8 = 10.
Multiplicativo Al principio el rea del tringulo de agua es 12 porque
4 6 = 12. La cantidad de agua no cambia, por lo 2 que la respuesta es tres porque 3 8 = 12. 2
Este ejemplo muestra que los nios que no estn an en el nivel de
las operaciones formales tpicamente aplican una estrategia aditiva
para resolver problemas de variacin proporcional inversa. Al igual
que en la variacin directa proporcional, esta estrategia inco rrecta
le parece lgica y razonable al nio, pero se sorprenden cuando
llevan a cabo realmente el experimento inclinando el tringulo y
descubren que la respuesta correcta es 3 y no 2 como lo habran
predicho bastante seguros.
Noelting (1980) estudia el razonamiento proporcional en ex-
perimentos en los que no se requiere una respuesta numrica, sino
que los nios deben comparar razones.
Experimento 6
Se dice a los nios que los vasos sombreados representan jugo de na-
ranja concentrado y aquellos que no estn sombreados representaban
agua (figura 1.10). Se les pide que imaginen que se vierte en la jarra
vaca el jugo de naranja concentrado y los vasos de agua indicados. Se
pregunta a los alumnos cul jarra contiene la naranjada con un sabor
ms fuerte o si las dos tienen el mismo sabor. El estudio se realiz con
nios de entre seis y 12 aos. Los resultados indican que los nios
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pueden comparar razones tales como 1 : 2 y 2 : 4 pero adoptan una
estrategia aditivia cuando comparan razones como 2 : 3 y 3 : 4.
Karplus y Peterson (1970) presenta problemas de comparacin
de razones, usa concentraciones de jugo en el que se le pide al nio
que diga qu limonada es ms dulce en la situacin mostrada en la
figura 1.11.
Figura 1.10 El problema de la limonada.
3 cucharadas 12 cucharadas de jugo de azcar de limn
5 cucharadas 20 cucharadas de azcar de jugo de limn
Figura 1.11 Comparacin de concentraciones.
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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin
Basndose en problemas de comparacin mostrados en la figura
1.11, Noelting (1980) consigue identificar entre seis y siete etapas
en la comprensin del concepto de razn en nios y jvenes de seis
a 16 aos, que incluyen los estadios de las operaciones concretas y
formales, en la clasificacin de Piaget.
El tipo de problema y caractersticas de las etapas se muestran en
la tabla siguiente. La edad de acceso se determina cuando 50% de la
clase resuelve al menos un problema. En la columna de tem tpico
los cuadros negros representan vasos de naranja y los cuadros blan-
cos vasos de agua. Podra usarse la notacin compacta (n, a) para un
nmero n de vasos de naranja y a de agua, para la razn n/a.
La caracterstica de la etapa representa el tipo de problema que
puede resolver. Tabla 1.3 Etapas de comprensin
Etapa Edad tem tpico Caracterstica
0 2 vs. Identificacin de elementos.
IA 3 vs. Comparacin de primeros trminos solamente.
IB 6 vs. Mismo primer trmino. Comparacin de segundos trminos.
IC 7 vs. Relacin inversa entre trminos en las parejas ordenadas.
IIA 8 vs. Clase de equivalencia de razn 1:1.
IIB 10 vs. Clase de equivalencia de cualquier razn.
IIIA 12 vs. Razn de dos trminos correspondientes mltiplos uno de otro.
IIIB 15 vs. Cualquier razn.
Noelting (1980b) clasifica las estrategias usadas en la comparacin
de razones (a, b) vs. (c, d), como estrategias dentro, si se comparan
trminos correspondientes a y b dentro de la misma razn (a, b) y
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
estrategias entre, cuando se comparan trminos correspondientes
a y c, y b y d. En el mismo estudio, Noelting reconoce un proceso de
equilibracin creciente o reestructuracin adaptativa, cuando las
estrategias pasan del fallo al xito.
Tournaire y Pulus (1985) presentan un resumen de la investi-
gacin hecha sobre razonamiento proporcional hasta 1985. Revisa
el tipo de tareas usadas en la investigacin: balanzas y poleas; pro-
yeccin de sombras; comidas y peces; Sr. Alto y Sr. Bajo; jugo de
naranja, etctera, las cuales se resumen en las siguientes categoras:
problemas de razn, problemas de mezcla y tareas de probabilidad.
Hace la diferencia entre problemas de mezclas, en los que la unidad
es la misma (onzas por ejemplo o vasos), de problemas de razn
(onzas y dlares).
Dentro de las estrategias correctas para resolver problemas de
proporcionalidad menciona las estrategias multiplicativas y las
estra tegias en marcha (building-up). Un ejemplo de una estrate-
gia en marcha sera la siguiente: en una tienda, el tendero vende
dos dulces por ocho centavos, cunto cuestan seis dulces? En la
estrategia en marcha la respuesta correcta se obtiene de manera
recursiva: ocho centavos por dos dulces, ocho centavos ms son
16 centavos por cuatro dulces y ocho centavos ms son 24 centavos
por seis dulces.
Una estrategia errnea puede ocurrir de usar mal una estrategia
correcta. Un error comn consiste en usar parte de los datos, por
ejemplo comparar slo los numeradores al intentar comparar una
proporcin. Otro tipo de error frecuente es usar la estrategia de
la diferencia constante o estrategia aditiva, en la cual la razn en una
proporcin se calcula con la diferencia de los trminos de la propor-
cin y se supone la misma diferencia entre los trminos de la otra
proporcin. En ocasiones el nio puede usar una es tra tegia en mar-
cha cuando la razn es entera, pero utiliza una estrategia aditiva en
razones que no son enteras.
Los mismos autores mencionan varios aspectos que interfieren
en la comprensin de problemas de proporcionalidad. De los refe-
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rentes a la tarea estn: las estructurales que incluyen la presencia de
razones enteras, en qu trmino de la proporcin aparece la incg-
nita y la magnitud de los trminos y razones. Esta informacin pue-
de usarse con ventaja al desarrollar una secuencia didctica, por
ejemplo al presentar primero problemas de proporcionalidad 1:2,
luego del tipo 1:n, con razones enteras y luego no enteras. Otra clase
de dificultades en la tarea se relacionan con el contexto: los proble-
mas de mezclas son en general ms difciles que los que ivolucran
razones de distintas cantidades. El contexto, discreto o continuo,
familiar o ajeno, puede afectar tambin e desempeo. Finalmente el
uso de materiales puede influir favorablemente en el xito de pro-
blemas de proporcin: balanzas, poleas, etctera, aunque el porcen-
taje pueda ser bajo, de alrededor de 25 por ciento.
Sobre las caractersticas del alumno que pueden influir en el
desempeo, los autore mencionan el gnero, la edad, la inteligencia.
Hart et al. (1989) hacen referencia a un estudio en el saln de
clase sobre el tpico de razn y proporcin. El estudio se realiz con
nios entre 10 y 13 aos de edad en cuatro clases de cuatro escuelas
diferentes, en tres etapas:
1. Formalizacin de las lecciones (pre test).
2. Aplicacin de una secuencia didctica.
3. Formalizacin (pos test).
Las tareas consistieron en hacer parejas de escuadras (tringulos
equilteros, romboides) para diferenciar las partes y mostrar pa-
rejas de lneas; se les pregunt acerca de centros de aumento, seme-
janza, factor de escala y partes aumentadas. Se trataba de investigar
el reconocimiento del aumento por un factor escala (concepcin de
los alumnos) y la construccin de los mtodos utilizados.
Los profesores tambin participaron en el estudio, desarro llaron
inicialmente un esquema de trabajo y pusieron algunos pre-requi-
sitos tales como: medir las tareas de aumento y habilidades a medir.
Adems, introducan nuevas tcnicas para el factor escala, tales como
centro de aumento de lneas, tiempo grande, ms grande y mayor
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Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo
tiempo, as como relacionar el aumento con los distintos significados
que tiene en el mundo. Uno de los objetivos del estudio era investigar
el papel de la enseanza y la preformalizacin en ideas de semejanza.
El anlisis de los resultados revela (pre entrevista) que los nios
usaban trminos como similar o algunos para describir el nmero
de lados o alguna rea. En el poscuestionario los nios desarro llaron
diferentes respuestas en trminos del reconocimiento de la escala y
usaron el centro de aumento o la idea de pares de lneas para resol-
ver los problemas. Utilizaban estrategias aditivas y de rea para la
descripcin de las diferentes estrategias. La variacin en el desempe-
o fue atribuida a aspectos de la instruccin escolar. Los profesores
se concentraron en la produccin de esquemas particulares para el
trabajo e ignoraron los pre-requisitos y habilidades para el trabajo
durante las clases. El concepto de razn es visto como una opera-
cin esencialmente aditiva y no multiplicativa, por lo que se repite
la adicin.
Las dos estrategias ms utilizadas son: la adicin con rea y la
estrategia aditiva con uso del factor escala y la nueva medida alrede-
dor del borde. Tambin predominaba la integracin de factores de
escala en los mdulos de enseanza con ciertos pre-requisitos. Otro
aspecto de la enseanza fueron los ngulos y su invariancia en el
aumento; eso ayud a explicar la variacin en el desempeo de los
nios relacionado con las partes regulares e irregulares. Tambin so-
bresale el contexto de los problemas y el papel que juega la natura-
leza de las relaciones numricas que influyen en el problema, pero
estos aspectos pueden comprenderse mejor si los profesores varan
las relaciones numricas y el contexto de los problemas en el aula.
Streefland (1985, citado en Hart 1989), sugiere que el aprendi-
zaje de razn y proporcin empieza con la comparacin cualitativa
y argumenta que la formalizacin