”The key to growth is the introduction of higher dimensions of con-sciousness into our awareness.”

Lao Tzu

2Calcul vectorial

Cristalografie

O structura cristalina este o aranjare (dispunere) generala unica a atom-ilor sau moleculelor unei substant,e solide sau lichide cristaline. O structuracristalina este compusa din blocuri sau grupuri model de atomi (sau molecule),dispusi (dispuse) intr-un mod particular si o ret,ea tridimensional extinsa in-cluzand respectivele blocuri tipice, retea ce prezinta general, ordonare s, i sime-trie. Blocurile model (cristalele) sunt astfel structurate in nodurile ret,elei incatse formeaza un sistem ordonat matricial tridimensional.

In cristalografie, descrierea unei latice cristaline se face prin alegerea uneibaze {u,v,w}, din R3, care corespunde unor muchii adiacente ale unei ”celuleunitate” a cristalului. O latice completa se obtine prin lipirea a mai multorastfel de celule unitate. Sunt 14 posibile celule unitate si trei dintre ele suntprezentate mai sus. Un atom este localizat dupa coordonatele sale relativ labaza laticei. Spre exemplu, atomul aflat in centrul fetei de sus a celulei (c) arecoordonatele

(12 ,

12 , 1

)iar cel din centrul fetei de jos este localizat la

(12 ,

12 , 0

).

1

Vectori in R𝑛

∙ vom defini pe multimea R𝑛 a vectorilor 𝑛-dimensionali 𝑣 = (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛)doua operatii:

Adunarea vectoriala: ⊕

(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) ⊕ (𝑦1, 𝑦2, . . . , 𝑦𝑛) = (𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2, . . . , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛)

�

grafic, in 2D si 3D suma se obtine prin regula paralelogramuluiScalarea vectoriala: ⊙

𝛼⊙ (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑥2, . . . , 𝛼𝑥𝑛), 𝛼 ∈ R

∙ impreuna cu aceste doua operatii spunem ca (R𝑛,⊕,⊙) este spatiu vec-torial peste corpul R (multimea scalarilor)

∙ adunarea si scalarea vectoriala sunt notate in general cu ”+” si ”·” chiardaca exista un pericol de confuzie

∙ un sistem de vectori 𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑝} din R𝑛 se numeste liniar indepen-dent daca:

𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + . . . + 𝛼𝑝𝑣𝑝 = 𝜃 =⇒ 𝛼1 = 𝛼2 = . . . = 𝛼𝑝 = 0.

�practic, 𝑆 este un sistem liniar independent daca niciun vec-

tor din 𝑆 nu se poate exprima ca o combinatie liniara de vectori din 𝑆.�

in relatia de mai sus 𝜃 = (0, 0, . . . , 0) este vectorul nul

Mod practic de studiu al liniar independentei:Pentru stabilirea liniar independentei unui sistem de 𝑝 vectori:

𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑝}

se formeaza matricea matricea 𝐴 pentru care acesti vectori reprezinta coloanelesau liniile sale. Daca:

rang(𝐴) = numar de vectori ai sistemului S = 𝑝

atunci 𝑆 este liniar independent.

∙ un sistem de vectori 𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑝} din R𝑛 se numeste sistem degeneratori al spatiului vectorial R𝑛 daca pentru orice vector 𝑣 ∈ R𝑛 existascalarii 𝛼1, 𝛼2, . . . , 𝛼𝑝 ∈ R astfel ca:

𝑣 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + . . . + 𝛼𝑝𝑣𝑝.

�

adica orice vector din R𝑛 se poate exprima ca o combinatieliniara a vectorilor sistemului 𝑆.

2

Mod practic de studiu al sistemelor de generatori:Pentru a stabili daca un sistem de 𝑝 vectori:

𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑝}

este sistem de generatori ai lui R𝑛 se formeaza matricea 𝐴 pentru care acestivectori reprezinta coloanele sau liniile sale. Daca:

rang(𝐴) = dimensiunea spatiului vectorial R𝑛 = 𝑛

atunci 𝑆 este sistem de generatori.

Multimea generata de un sistem de vectori se noteaza cu:

𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑝} = {𝑘1𝑣1 + 𝑘2𝑣2 + . . . + 𝑘𝑝𝑣𝑝 : 𝑘1, 𝑘2, . . . , 𝑘𝑝 ∈ R}

si se numeste subspatiul vectorial generat de sistemul de vectori 𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑝.In R3 putem vizualiza usor cum arata cateva astfel de subspatii. De

exemplu 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣} = {𝑘𝑣 : 𝑘 ∈ R} este o dreapta prin originea reperuluiOxyz cu directia data de vectorul 𝑣. In schimb pentru doi vectori necol-iniari 𝑣1, 𝑣2 multimea 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣1, 𝑣2} = {𝑘1𝑣1 + 𝑘2𝑣2 : 𝑘1, 𝑘2 ∈ R} este unplan care contine originea si doi vectori de directie 𝑣1 si 𝑣2.

Remarca:

Baza a spatiului vectorial R𝑛= sistem lin. independent+sistem de generatori

Mai sus am prezentat R𝑛 ca fiind un prototip al unei structuri algebricenumite spatiu vectorial. Folosind acest prototip putem extinde toate afir-matiile de mai sus la alte multimi de obiecte pe care le vom numi tot”vectori”, atata vreme cat avem definita o adunare a obiectelor si o scalare.

Pe multimea R2[𝑋] = {𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐 : 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R} a polinoamelor de

Remarca:

3

grad cel mult 2 putem defini o adunare a polinoamelor si o scalare (inmul-tire cu un numar real). Astfel R2[𝑋] devine spatiu vectorial peste corpulR. O baza canonica a spatiului R2[𝑋] este formata din ”vectorii”:

𝑒1 = 𝑋2, 𝑒2 = 𝑋, 𝑒3 = 1.

Analog multimea 𝑀2(R) a matricelor de ordin doi devine spatiu vectorialcu operatiile de adunare a matricelor si de inmultirea cu un numar real.O baza canonica a spatiului 𝑀2(R) este formata din ”vectorii”:

𝐸1 =

⎛⎝1 0

0 0

⎞⎠ , 𝐸2 =

⎛⎝0 1

0 0

⎞⎠ , 𝐸3 =

⎛⎝0 0

1 0

⎞⎠ , 𝐸4 =

⎛⎝0 0

0 1

⎞⎠O baza canonica a spatiului R3 este formata din vectorii:

𝑒1 = (1, 0, 0), 𝑒2 = (0, 1, 0), 𝑒3 = (0, 0, 1)

dimensiune a spatiului vectorial=numar de vectori dintr-o baza a sa

∙ se observa ca dim R3 = 3, dim R2[𝑋] = 3 si dim 𝑀2(R) = 4

∙ este suficient sa discutam de acum doar de prototipul R𝑛 al structuriialgebrice spatiu vectorial deoarece are loc urmatorul rezultat fundamental:

Orice spatiu vectorial real (peste corpul R) care are dimensiunea 𝑛 se poateidentifica cu R𝑛.

De exemplu R2[𝑋] se identifica cu R3 in felul urmator:

𝑝 = 𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)

adica identificam un polinom cu vectorul coeficientilor sai.Oarecum asemanator identificam 𝑀2(R) cu R4 prin:

𝐴 =

⎛⎝𝑎 𝑏

𝑐 𝑑

⎞⎠ 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)

Remarca:

∙ daca relativ la o baza 𝐵 = {𝑒1, 𝑒2, . . . , 𝑒𝑛} a lui R𝑛 avem scrierea:

𝑣 = 𝛼1𝑒1 + 𝛼2𝑒2 + . . . + 𝛼𝑛𝑒𝑛

4

numim 𝛼1, 𝛼2, . . . , 𝛼𝑛 coordonate ale vectorului 𝑣 relativ la baza 𝐵 si notam:

[𝑣]𝐵 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝛼1

𝛼2

...

𝛼𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

∙ daca 𝐵1 = {𝑒1, 𝑒2, . . . , 𝑒𝑛} si 𝐵2 = {𝑒′1, 𝑒′2, . . . , 𝑒′𝑛} sunt baze in R𝑛 si:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩𝑒′1 = 𝑎11𝑒1 + 𝑎21𝑒2 + . . . + 𝑎𝑛1𝑒𝑛

𝑒′2 = 𝑎12𝑒1 + 𝑎22𝑒2 + . . . + 𝑎𝑛2𝑒𝑛

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

𝑒′𝑛 = 𝑎1𝑛𝑒1 + 𝑎2𝑛𝑒2 + . . . + 𝑎𝑛𝑛𝑒𝑛

adica exprimam vectorii bazei 𝐵2

in functie de cei ai lui 𝐵1

se numeste matricea de trecere de la baza 𝐵1 la baza 𝐵2 matricea:

𝑇𝐵1𝐵2 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛...

... . . ....

𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 . . . 𝑎𝑛𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠∙ daca 𝑇𝐵1𝐵2 este matricea de trecere de la baza 𝐵1 la baza 𝐵2 atunci au

loc relatiile:𝑇𝐵1𝐵2

= 𝑇−1𝐵2𝐵1

𝑇𝐵1𝐵2= 𝑇−1

𝐵𝑐𝐵1· 𝑇𝐵𝑐𝐵2

unde 𝐵𝑐 este baza canonica din R𝑛

∙ coordonatele unui vector relativ la o baza 𝐵 se pot obtine cu ajutorulmatricei de trecere 𝑇𝐵𝑐𝐵 :

[𝑣]𝐵 = 𝑇−1𝐵𝑐𝐵

· [𝑣]𝐵𝑐.

∙ in general au loc formulele:

[𝑣]𝐵2= 𝑇−1

𝐵1𝐵2· [𝑣]𝐵1

sau [𝑣]𝐵1= 𝑇𝐵1𝐵2

· [𝑣]𝐵2.

5

Matrice. Un punct de vedere liniar independent

∙ matricea:

𝐴 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 2 −1

0 0 2

−1 −2 3

2 4 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠poate fi interpretata ca o colectie de vectori linie:

𝐴 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝(1 2 − 1) = ℓ1

(0 0 2) = ℓ2

(−1 − 2 3) = ℓ3

(2 4 0) = ℓ4

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠sau de vectori coloana:

𝐴 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

𝑐1 𝑐2 𝑐3⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1

0

−1

2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝2

0

−2

4

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−1

2

3

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

rang(𝐴) = nr. de linii liniar independente = nr. de coloane liniar independente

�

𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 2 si se poate verifica ca primele doua linii ℓ1 si ℓ2sunt liniar independente iar ℓ3 = −ℓ1 + ℓ2 sau ℓ4 = 2ℓ2 + ℓ3�

oricare trei linii sunt liniar dependente si exista doua linii liniarindependente, de exemplu ℓ1, ℓ2�

acelasi rezultat are loc pentru coloanele 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3.Structura matricelor de rang 1. Daca 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛(IR) are rangul 1

atunci exista 𝑢 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝑎1

𝑎2...

𝑎𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ si 𝑣 = (𝑏1 𝑏2 . . . 𝑏𝑛) astfel ca:

𝐴 = 𝑢 · 𝑣

6

Determinanti in geometrie:

∙ avem posibilitatea de a calcula aria unui triunghi in conditiile in care stimcoordonatele varfurilor sale:

Aria triunghiului format de punctele 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴), 𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) si𝐶(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶) este:

𝒜Δ𝐴𝐵𝐶 =1

2

𝑑𝑒𝑡

⎛⎜⎜⎜⎝𝑥𝐴 𝑦𝐴 1

𝑥𝐵 𝑦𝐵 1

𝑥𝐶 𝑦𝐶 1

⎞⎟⎟⎟⎠

Avem nevoie de modul inaintea determinantului pentru a ne asigura caaria este tot timpul pozitiva.

Ce ascunde liniar dependenta ?∙ daca determinantul de mai sus este nul stim ca liniile sunt liniar depen-

dente, asadar va exista o linie care sa fie o combinatie liniara de celelalte, sapresupunem de exemplu ℓ3 = 𝛼ℓ1 + 𝛽ℓ2, adica:

(𝑥𝐶 𝑦𝐶 1) = 𝛼 · (𝑥𝐴 𝑦𝐴 1) + 𝛽 · (𝑥𝐵 𝑦𝐵 1)

∙ observam ca relatia de mai sus implica 1 = 𝛼 + 𝛽 si prin urmare:{𝑥𝐶 = 𝛼 · 𝑥𝐴 + (1 − 𝛼) · 𝑥𝐵

𝑦𝐶 = 𝛼 · 𝑦𝐴 + (1 − 𝛼) · 𝑦𝐵

care conduce la:𝑥𝐶 − 𝑥𝐴

𝑥𝐵 − 𝑥𝐴=

𝑦𝐶 − 𝑦𝐴𝑦𝐵 − 𝑦𝐴

= 1 − 𝛼

adica punctul 𝐶 se afla pe dreapta 𝐴𝐵.∙ asadar determinatul este nul daca si numai daca punctele sunt coliniare:

𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴), 𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵), 𝐶(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶) coliniare ⇔

𝑥𝐴 𝑦𝐴 1

𝑥𝐵 𝑦𝐵 1

𝑥𝐶 𝑦𝐶 1

= 0

Volumul tetraedrului format de punctele 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴),𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵), 𝐶(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶 , 𝑧𝐶) si 𝐷(𝑥𝐷, 𝑦𝐷, 𝑧𝐷) este dat de formula:

𝒱𝐴𝐵𝐶𝐷 =1

6

𝑑𝑒𝑡

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝑥𝐴 𝑦𝐴 𝑧𝐴 1

𝑥𝐵 𝑦𝐵 𝑧𝐵 1

𝑥𝐶 𝑦𝐶 𝑧𝐶 1

𝑥𝐷 𝑦𝐷 𝑧𝐷 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

∙ printr-un rationament asemanator liniar dependenta liniilor conduce laconditia de coplanaritate a punctelor:

7

𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴), 𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵), 𝐶(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶 , 𝑧𝐶)

si 𝐷(𝑥𝐷, 𝑦𝐷, 𝑧𝐷) sunt coplanare

⇔

𝑥𝐴 𝑦𝐴 𝑧𝐴 1

𝑥𝐵 𝑦𝐵 𝑧𝐵 1

𝑥𝐶 𝑦𝐶 𝑧𝐶 1

𝑥𝐷 𝑦𝐷 𝑧𝐷 1

= 0

Liniar independenta functiilor: Functiile 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), . . . , 𝑓𝑛(𝑥) suntliniar independente daca si numai daca wronskian-ul lor 𝑊 (𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑛)este nenul:

𝑊 (𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑛) =

𝑓1(𝑥) 𝑓2(𝑥) . . . 𝑓𝑛(𝑥)

𝑓 ′1(𝑥) 𝑓 ′

2(𝑥) . . . 𝑓 ′𝑛(𝑥)

𝑓 ′′1 (𝑥) 𝑓 ′′

2 (𝑥) . . . 𝑓 ′′𝑛 (𝑥)

. . . . . . . . . . . .

𝑓(𝑛−1)1 (𝑥) 𝑓

(𝑛−1)2 (𝑥) . . . 𝑓

(𝑛−1)𝑛 (𝑥)

= 0

∙ stim deja ca polinoamele 𝑓1 = 1, 𝑓2 = 𝑋 si 𝑓3 = 𝑋2 sunt liniar inde-pendente, putem verifica acelasi rezultat si pentru functiile polinomiale atasate𝑓1(𝑥) = 1, 𝑓2(𝑥) = 𝑥 si 𝑓3(𝑥) = 𝑥2:

𝑊 (𝑓1, 𝑓2, 𝑓3) =

1 𝑥 𝑥2

0 1 2𝑥

0 0 2

= 2 = 0

Probleme rezolvate

Problema 1. Putem forma o baza a lui R3 care sa contina vectorii:

𝑣1 = (1, 2, 3) si 𝑣2 = (1, 1, 0) ?

Solutie: Spatiul vectorial R3 are dimensiunea 3 si vom avea nevoie de treivectori pentru a forma o baza a sa. Daca dorim ca acesti doi vectori sa facaparte din aceasta baza (pe care trebuie sa o construim) atunci 𝑣1 si 𝑣2 trebuie safie liniar independenti. Verificam liniar independenta acestora folosind criteriulpractic de studiu al liniar independentei .

8

Vectorii dati se colecteaza in matricea:

𝐴 =

⎛⎜⎜⎜⎝1 1

2 1

3 0

⎞⎟⎟⎟⎠Deoarece rang 𝐴 = 2 = numar de vectori =⇒ 𝑣1, 𝑣2 sunt liniar independenti.

Lema: Orice sistem de vectori liniar independenti poate fi completat la obaza a spatiului vectorial.

Vom afla vectorul lipsa notandu-l 𝑣3 = (𝑎, 𝑏, 𝑐). Daca dorim ca 𝑣1, 𝑣2 si 𝑣3sa formeze o baza aceasti vectori trebuie sa formeze impreuna un sistem liniarindependent si in acelasi timp un sistem de generatori. Oricare dintre acestedoua conditii se traduc, datorit criteriilor enuntate anterior in fisa seminarului,prin:

𝑑𝑒𝑡

⎛⎜⎜⎜⎝1 1 𝑎

2 1 𝑏

3 0 𝑐

⎞⎟⎟⎟⎠ = 0

caci doar astfel rangul matricei este 3=numar de vectori=dimensiunea spatiului.Gasim destul de usor ca pentru 𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = 0 se obtine un determinant

nenul. Asadar putem completa cu 𝑣3 = (1, 0, 0) cei doi vectori pentru a formabaza 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3}.

Problema 2. Vectorul 𝑣 ∈ R3 are relativ la baza:

𝐵 = {𝑤1 = (1, 1, 0), 𝑤2 = (1, 0, 0), 𝑤3 = (1, 1, 1)}

coordonatele (−1, 2, 1).Care sunt coordonatele sale relativ la baza canonica din R3 ?Care sunt coordonatele sale relativ la baza:

𝐵1 = {𝑢1 = (1, 0,−1), 𝑢2 = (1,√

2, 1), 𝑢3 = (1,−√

2, 1)} ?

Solutie: Din enunt deducem ca:

[𝑣]𝐵 =

⎛⎜⎜⎜⎝−1

2

1

⎞⎟⎟⎟⎠prin urmare, avem reprezentarea:

𝑣 = −1(1, 1, 0) + 2(1, 0, 0) + 1(1, 1, 1) = (0, 0, 1)

Asadar vectorul 𝑣 este de fapt vectorul (0, 0, 1) din R3. Intrucat, in mod natural,vectorii din R3 sunt reprezentati relativ la baza canonica, avem:

[𝑣]𝐵𝑐=

⎛⎜⎜⎜⎝0

0

1

⎞⎟⎟⎟⎠9

Metoda 1:Putem afla coordonatele lui 𝑣 relativ la baza 𝐵1 si direct, folosind definitia

coordonatelor relativ la o baza vectoriala. Vom presupune ca aceste coordonatesunt 𝛼, 𝛽 si 𝛾 si prin definitie 𝑣 se poate scrie relativ la vectorii din 𝐵1 ca:

𝑣 = 𝛼𝑢1 + 𝛽𝑢2 + 𝛾𝑢3

Daca inlocuim vectorii prin coordonatele lor relativ la baza canonica obtinem:

(0, 0, 1) = 𝛼(1, 0,−1) + 𝛽(1,√

2, 1) + 𝛾(1,−√

2, 1)

Facand operatiile de adunare vectoriala si scalare vectoriala se obtine:

(0, 0, 1) = (𝛼 + 𝛽 + 𝛾,√

2𝛽 −√

2𝛾,−𝛼 + 𝛽 + 𝛾)

Astfel identificand componentele celor doi vectori se obtine urmatorul sistemliniar: ⎧⎪⎨⎪⎩

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 0√2𝛽 −

√2𝛾 = 0

−𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 1

Dupa rezolvarea sistemului liniar se obtin coordonatele 𝛼, 𝛽, 𝛾 ale lui 𝑣 relativla 𝐵1, adica [𝑣]𝐵1 .

Metoda 2:Pentru a afla coordonatele lui 𝑣 relativ la baza 𝐵1 putem sa utilizam fie

coordonatele sale relativ la baza 𝐵 fie relativ la baza 𝐵𝑐. Relatiile de schimbarea coordonatelor la o schimbare a bazei sunt:

[𝑣]𝐵1 = 𝑇𝐵1𝐵 [𝑣]𝐵 = 𝑇𝐵1𝐵𝑐𝑇𝐵𝑐𝐵 [𝑣]𝐵 = 𝑇−1𝐵𝑐𝐵1

𝑇𝐵𝑐𝐵 [𝑣]𝐵

deci

[𝑣]𝐵1=

⎛⎜⎜⎜⎝1 1 1

0√

2 −√

2

−1 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠−1 ⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 1

1 0 1

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎝−1

2

1

⎞⎟⎟⎟⎠Putem folosi coordonatele relativ la baza canonica si atunci:

[𝑣]𝐵1 = 𝑇𝐵1𝐵𝑐 [𝑣]𝐵𝑐 = 𝑇−1𝐵𝑐𝐵1

[𝑣]𝐵𝑐=

⎛⎜⎜⎜⎝1 1 1

0√

2 −√

2

−1 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠−1 ⎛⎜⎜⎜⎝

0

0

1

⎞⎟⎟⎟⎠

Motivul pentru care matricea de trecere de la o baza la alta se obtinetrecand coordonatele vectorilor pe coloane tine de cele doua moduri incare putem scrie relatia de mai sus. Daca dorim sa exprimam [𝑣]𝐵1 subforma unei matrice linie [𝑣]𝐵1 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) atunci in matricea de trecere dela o baza la alta nu trebuie sa asezam coordonatele pe coloane si obtinem

Remarca:

10

relatii de tipul urmator:

[𝑣]𝐵1= [𝑣]𝐵𝑐

𝑇𝐵1𝐵𝑐= [𝑣]𝐵𝑐

𝑇−1𝐵𝑐𝐵1

=(

0 0 1)⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 −1

1√

2 1

1 −√

2 1

⎞⎟⎟⎟⎠−1

In ambele cazuri obtinem:

[𝑣]𝐵1=

⎛⎜⎜⎜⎝− 1

2

14

14

⎞⎟⎟⎟⎠Putem verifica faptul ca:

𝑣 = (0, 0, 1) = −1

2𝑢1 +

1

4𝑢2 +

1

4𝑢3

Putem sa discutam despre perpendicularitatea vectorilor (ortogonalitate)daca introducem un produs scalar intre vectorii unui spatiu vectorial. Deexemplu pentru doi vectori 𝑣 = 𝑎1𝑒1 +𝑏1𝑒2 +𝑐1𝑒3 si �� = 𝑎2𝑒1 +𝑏2𝑒2 +𝑐2𝑒3putem defini:

𝑣 · �� = 𝑎1𝑎2 + 𝑏1𝑏2 + 𝑐1𝑐2

In felul acesta spunem ca doi vectori 𝑣, �� sunt ortogonali ⇐⇒ 𝑣 · �� = 0Prin calcul se poate observa ca vectorii bazei 𝐵1 sunt ortogonali doi catedoi. La fel si vectorii bazei canonice.

Remarca:

Problema 3. Teoria curbelor Bezier, folosita in animatia 3D, se bazeazape ideea ca urmatoarele polinoame, numite polinoame Bernstein:

𝑝𝑘 = 𝐶𝑘𝑛𝑥

𝑘(1 − 𝑥)𝑛−𝑘, 𝑘 = 0, 𝑛

formeaza o baza pentru multimea R𝑛[𝑋] a polinoamelor de grad cel mult𝑛. Verificati daca:

𝑝0 = (1 −𝑋)2, 𝑝1 = 2𝑋(1 −𝑋) 𝑝2 = 𝑋2,

formeaza o baza in R2[𝑋].

Solutie:

Putem sa consideram functiile polinomiale asociate celor trei polinoame:𝑝0(𝑥) = (1 − 𝑥)2, 𝑝1(𝑥) = 2𝑥(1 − 𝑥), 𝑝2(𝑥) = 𝑥2. Pentru a arata ca celetrei functii obtinute sunt liniar independente aratam ca wronskianul asociat

11

este nenul:

𝑊 (𝑝0, 𝑝1, 𝑝2)(𝑥) =

𝑝0(𝑥) 𝑝1(𝑥) 𝑝2(𝑥)

𝑝′0(𝑥) 𝑝′1(𝑥) 𝑝′2(𝑥)

𝑝′′0(𝑥) 𝑝′′1(𝑥) 𝑝′′2(𝑥)

= 0, ∀𝑥 ∈ R

𝑊 (𝑝0, 𝑝1, 𝑝2)(𝑥) =

(1 − 𝑥)2 2𝑥(1 − 𝑥) 𝑥2

−2(1 − 𝑥) −2𝑥 + 2(1 − 𝑥) 2𝑥

2 −4 2

= 4 = 0, ∀𝑥 ∈ R.

Folosim apoi urmatorul rezultat:

Lema: Intr-un spatiu vectorial n-dimensional orice sistem de n vectori liniarindependenti formeaza o baza a sa.

Problema 4. Un satelit de spionaj este plasat pe o orbita de forma elip-tica situata in planul ecuatorului. Pozitia sa este inregistrata de catreun senzor aflat la Cape Canaveral, notat in figura cu X. In trei momentediferite de timp cercetatorii NASA au inregistrat urmatorii vectori de poz-itie 𝑣𝑡1 = (1,−3, 2), 𝑣𝑡2 = (1, 1, 1) si 𝑣𝑡3 = (−1,−9, 1) ai satelitului, dupacare au tras concluzia ca sistemul de navigatie al acestuia este avariat.De ce ? Justificati !

Solutie: Ideea problemei este sa utilizam interpretarea geometrica a liniarindependentei. Daca 𝑛 vectori 𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛 sunt liniar independenti atunci eigenereaza prin combinatii liniare un spatiu vectorial 𝑛-dimensional. Oricaredoi vectori 𝑣, �� cu originea comuna, liniar independenti, genereaza un plan(𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣, ��}), acesta fiind un spatiu vectorial 2-dimensional.

Notam cu 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 cele trei pozitii ale satelitului observate pe traiectoriasa eliptica.

12

Cei trei vectori de pozitie sunt 𝑣𝑡1 =−−→𝑋𝑃1(1,−3, 2), 𝑣𝑡2 =

−−→𝑋𝑃1(1, 1, 1) si

𝑣𝑡3 =−−→𝑋𝑃3(−1, 9, 1). Se verifica usor ca acestia sunt liniar dependenti:

1 −3 2

1 1 1

−1 9 1

= 0

Deci exista 𝛼 si 𝛽 astfel ca:

𝑣𝑡3 = 𝛼 · 𝑣𝑡1 + 𝛽 · 𝑣𝑡2Insa doi vectori 𝑣𝑡1 si 𝑣𝑡2 cu originea comuna, liniar independenti, genereaza

prin combinatii liniare un plan. Prin urmare 𝑣𝑡3 se afla in acelasi plan cu acestia!Asadar punctele 𝑋,𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 sunt coplanare. Dar un plan, care nu contineelipsa (Cape Canaveral nu se afla pe ecuator), intersecteaza elipsa in cel multdoua puncte. Contradictie ! Punctele 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 nu pot fi toate pe elipsa, decisatelitul nu se deplaseaza dupa cum a fost programat. Asadar sistemul denavigatie este defect.

Probleme propuse

A. Consolidare cunostinte

Problema A.1. Sunt vectorii 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 liniar independenti ? Discutati celedoua cazuri prezentate mai jos.

13

Problema A.2. Aflati componentele vectorilor din figurile de mai jos:

B. Tehnica de calcul

Problema B.1. Sa se studieze daca urmatoarele sisteme de vectori sunt liniarindependente. In caz contrar, sa se determine un subsistem 𝑆′ maximal liniarindependent, precum si dependenta liniara a acestora:

a) 𝑆 = {𝑝1 = (−1, 7, 8), 𝑝2 = (−1, 3, 2), 𝑝3 = (1,−1, 1)} ⊂ R3

b) 𝑆 = {𝑣1 = (1, 1,−1), 𝑣2 = (1.0, 2), 𝑣3 = (0, 1, 3)} ⊂ R3

Problema B.2. Sa se studieze care din sistemele de vectori date sunt sistemede generatori pentru spatiile mentionate:

a) 𝑆 = {𝑣1 = (1, 1,−1), 𝑣2 = (1, 1, 0), 𝑣3 = (1, 0, 0), 𝑣4 = (2, 2,−1)} ⊂ R3

b) 𝑆 =

⎧⎨⎩𝑣1 =

⎛⎝1

1

⎞⎠ , 𝑣2 =

⎛⎝1

2

⎞⎠ , 𝑣3 =

⎛⎝0

1

⎞⎠⎫⎬⎭ ⊂ R2

c) 𝑆 = {𝑣1 = (1, 0, 1), 𝑣2 = (0,−1, 0), 𝑣3 = (2,−1, 2), 𝑣4 = (2,−2, 2)} ⊂ R3.

Problema B.3. Fie sistemele de vectori:

𝐵1 = {𝑓1 = (1, 1, 0), 𝑓2 = (1, 0, 0), 𝑓3 = (1, 1, 2)}

𝐵2 = {𝑔1 = (1, 1, 3), 𝑔2 = (1, 1, 2), 𝑔3 = (3, 2, 4)}.

a) Aratati ca 𝐵1 si 𝐵2 sunt baze ale spatiului vectorial IR3

b) Aflati matricea de trecere 𝑇𝐵1𝐵2

c) Sa se determine coordonatele vectorului 𝑣 relativ la baza 𝐵1 daca acestaeste dat prin 𝑣 = −2𝑔1 + 𝑔2 + 3𝑔3.

14

Problema B.4. Sa se arate ca urmatorii vectori 𝑣1 = (1,−1,−1), 𝑣2 = (1,−1, 0)si 𝑣3 = (1, 0, 0) formeaza o baza pentru IR3 si sa se determine coordonatele vec-torului 𝑢 = (1, 2, 3) in aceasta baza.

C. Probleme cu caracter practic-aplicativ

Problema C.1. Spatiul vectorial 𝐻 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{1, 𝑐𝑜𝑠2𝑡, cos4 𝑡, cos6 𝑡} contine func-tiile:

i) 𝑓(𝑡) = 1 − 8 cos2 𝑡 + 8 cos4 𝑡

ii) 𝑔(𝑡) = −1 + 18 cos2 𝑡− 48 cos4 𝑡 + 32 cos6 𝑡.

Studiati graficele lui 𝑓 si 𝑔 pe 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 si incercati sa gasiti o formula simplapentru aceste doua functii.

Indicatie: puteti folosi site-ul acesta pentru a trasa grafice.

Problema C.2. In figura de mai jos este prezentata laticea cristalina pentrutitaniu, care are forma hexagonala prezentata in stanga. Vectorii reprezentati indreapta u = (2.6,−1.5, 0), v = (0, 3, 0) si w = (0, 0, 4.8) formeaza o baza pentrucelula prezentata in stanga. Unitatea de masura prezentata aici este Angstrom-ul (1 A= 10−8 cm). In aliaje de titaniu pot aparea diversi atomi in celulaunitate, formand retele octaedrale sau tetraedrale, dupa cum apare in imagineadin stanga.

Un atom aflat in reteaua octaedrala are coordonatele ( 12 ,

14 ,

16 ) relativ la baza

{u, v,w} a laticei cristaline. Aflati coordonatele sale relativ la baza canonica dinR3. Aceeasi problema pentru un atom din reteaua tetraedrala care este localizatla ( 1

2 ,12 ,

13 ) relativ la baza laticei.

15