Cours MEC1420: Chapitre 2 – Chargement uniaxial
MEC1420Chap.1
Notions de base
Chap.21er mode de chargement:traction – compression
Chap.3,4,52e mode de chargement:
flexion
Chap.63e mode de chargement:
torsion
Chap.7,8,9Théorie de l’élasticité Chap. 10
Capacité de résistance
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QuQu’’estest--ce que le chargement ce que le chargement uniaxialuniaxial ??
traction
compression
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OOùù trouvetrouve--tt--on de lon de la tractiona traction/compression/compression ??
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,
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
x xy xz
ij yx y yzI xyz
zx zy z
σ τ τσ τ σ τ
τ τ σ
Chargement uniaxial: les contraintes
Iz
x
y
σx
σx
σx
σx
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
,
0 00 0 00 0 0
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
ij I xyzσ
σx
P
P
x
y
z
I
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Chapitre 2: Chargement Chapitre 2: Chargement uniaxialuniaxial
P
P
A, D
Ao, DoLo
x
Déformation axiale:
εx =
z
Déformation transversale:
εy =
εz =
Lo + δx
δx = allongement
Déformations normales
y
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Compression ou traction:
traction compression
P
P
P
Py z
x
εx (δx) 0
εy, εz 0><εx (δx) 0
εy, εz 0
><
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Chargement uniaxial: les déformations
Iz
x
P
P
x
y
z
I
σx
σx
,
2 2
2 2
2 2
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
xy xzx
yx yzij yI xyz
zyzxz
γ γε
γ γε ε
γγ ε
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
,
0 00 00 0
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
ij I xyzε
εx
−νεx−νεx
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Exemple 2.1:
Contraintes barreau 1, 2, 3?
Déplacement en A?
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Dilatation thermique: contraintes et déformations
z
x
y[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
,
0 0 00 0 00 0 0
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
ij I xyzσ
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
,
0 00 00 0
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
ij I xyzε
α∆Tα∆T
α∆T
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Relations allongement – déplacement:
Hypothèses:• poids des barres négligées;• charges aux nœuds uniquement;• membrures à 2 forces;• petites déformations δAB << L
(donc ∆θ ~ 0)
Par définition: AB’ = AB + δAB
vBuB
B’
∆θ
A
θ
x
B
L
y membrure AB
δ AB
Position finale
L.cosθ
L.sinθ
G
On cherche: δAB= f(uB,vB)?
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Relations allongement – déplacement: exemple
σBD? σCD? uD? vD?
DCL AU JOINT D:
tous les joints sont de type pivot
Exemple 2.6
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B(rotule)
C(rotule)
D
D1
D’’D’
49,6°
δBD
δ CD
uD
vD
αβD2
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Méthode de résolution de problèmes
1. Faire DCL(s) (incluant les réactions)
2. Écrire équations d’équilibre(incluant efforts internes à la coupure)
Si isostatique(i.e. nb inconnues = nb équations)
Si hyperstatique(i.e. nb inconnues > nb équations)
3. Établir conditions de compatibilitégéométrique (relations entre les δi)
4.Appliquer relations forces-allongementsdes compatibilités (Pi=ki*δi, ou δi=Pi/ki)
5. Résoudre système d’équationsForces externes
Forces internes–contraintesAllongements-déplacements
3 Résoudre système d’équationsForces externes
Forces internes-contraintes
5. Compatibilité géométrique(relations entre les δi)
4. Relation force-allongement(Pi=ki*δi, ou δi=Pi/ki)
Allongements-déplacements
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Exemple 2.5:Barreau 1 : A1 = 1000 mm2
E1 = 100 GPaα1 = 20 x 10-6 °C-1
Barreau 2 : A2 = 500 mm2E2 = 70 GPaα2 = 13 x 10-6 °C-1
σ1? σ2? ∆B?
F1 F2
DCL: ∆T = 30ºC
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Exemple 2.5:
État initial
État final (supposé)
L1 L2
L1 + δ1 L2 + δ2
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