Perhi1llngan Transformasi fourier Cepa/I-DimensiDengan Radiks Gabungan Empa/ dan Dua Ser/aCon/oil Penggunaannya (RS Lasijo)
/SSN /4//- 348/
PERHITUNGAN TRANSFORMASI FOURIER CEP AT I-DIMENSIDENGAN RADIKS GABUNGAN EMPAT DAN DUA
SERTA CONTOR PENGGUNAANNYA
R.S. LasijoPuslitbang Teknik Nuklir, BATAN, Ban dung
ABSTRAKPERHITUNGAN TRANSFORMASI FOURIER CEPAT I-DIMENSI
DENGAN RADIKS EMPAT DAN DUA SERTA CONTORPENGGUNAANNY A. Metode perhitungan Transformasi Fourier CepatI-dimensi telah disusun berdasarkan teori Cooley clan Tukey denganradiks (bilangan dasar) kombinasi 4 clan 2, dengan pilihan hanyaradiks 4 yang dipergunakan hila banyaknya data merupakan kelipatandari 4, tetapi bilamana harus dipergunakan kombinasi 4 clan 2, makahanya satu radiks 2 yang dipergunakan. Contoh penentuan fungsikonvolusi clan korelasi kemudian diberikan atas dasar perhitungantransformasi Fourier cepat tersebut.
Kata kune! : transformasi Courier cepat, radiks 4 clan 2, fungsikonvolusi, fungsi korelasi.
ABSTRACTCALCULATIONS OF I-DIMENSIONAL FAST FOURIER
TRANSFORM WITH COMBINATION OF RADIXES FOUR AND TWOAND ITS APPLICATION EXAMPLES. Method of calculation for 1-dimensional Fast Fourier Transform is described based on Cooley andTukey theory with radixes (base numbers) the combination of 4 and 2,with preference of using radix 4 if the number of data can be stated asthe multiplication of 4, but in case the combination of 4 and 2 has tobe used, only a single radix 2 is included. Examples of thedeterminations of convolution and correlation functions are then givenbased on the calculation of the Fast Fourier Transform.
Key words: fast fourier transform, radices 4 and 2, convolutionfunction, correlation function.
Jurnal Sain.~ dan Teknologi Nuklir IndonesiaIndonesian Journal Qf Nuclear Science and Technolog}''"01 I. No 2. Aguslus 2000.. 99 -/19
/SSN /4//- 348/
PENDAHULUANUntuk menyederhanakan suatu persoalan desain atau analisis,
banyak orang condong untuk melakukan transformasi dengan
harapan bahwa persoalan dapat dilihat atau diselesaikan secara Iebih
mudah clan sederhana. Salah satu transformasi ini adalah
transformasi Fourier.
Transformasi Fourier sudah sejak lama dikenal sebagai salah
satu alat analitis yang serba guna, artinya transformasi ini dapat
dipakai untuk menyelesaikan persoalan dalam banyak bidang, antara
lain bidang elektronika, zat mampat, mekanika struktur, mekanika
gelombang, clan mekanika kuantum.
Sebelum komputer digit berkembang, transformasi Fourier yang
kontinu merupakan transformasi yang banyak dipakai. Untuk sistem
yang sederhana clan dengan jumlah data yang sedikit, penggunaan
transformasi Fourier kontinu dapat dilakukan dengan sangat baik,
tetapi bilamana sistem menjadi makin kompleks daD jumlah data
makin banyak, maka penyelesaian transformasi Fourier akan sangat
melelahkan atau bahkan tidak dapat dilakukan.
Setelah komputer digit berkembang, yang diikuti dengan
perkembangan metodologi analisis numerik, maka orang mulai melihat
adanya titik terang atas penggunaan transformasi Fourier yang diskrit,
yang memungkinkan orang untuk menyelesaikan persoalan sistem
yang kompleks maupun dengan data yang banyak. Maka metodologi
analisis Fourier yang diskrit yang efisien mulai dikembangkan yang
dipelopori antara lain oleh Cooley daD Tukey, yang kemudian dikenal
dengan nama Transfomasi Fourier Cepat (Fast Fourier Transform).
100
Perhitungan Transformasi Fourier Cepal J-DimensiDengan Radiks Gahungan Empal don Dua SerloConloh Penggunaannya (R.S. Lasijo)
ISSN 1411 -3481
Ternyata dalam waktu selanjutnya metode Fourier Cepat ini juga
dapat dipergunakan untuk menentukan fungsi-fungsi yang lain
dengan sangat sederhana dan cepat, di antaranya adalah fungsi
konvolusi dan fungsi korelasi yang sangat banyak dipakai dalam
penentuan be saran-be saran terukur, baik dalam bidang Bains maupun
rekayasa
TEORITransfonnasi Fourier dari suatu fungsi h(t) dapat dituliskan
berbentuk+cc
H(f) = fh(t) e-j2n-ftdt ( 1 ).cc
dengan j = .r:I. Pada umumnya H (f) merupakan fungsi berharga
kompleksH (f) = R (f) + j I (f) ( 2 )
di mana R (f) clan I (f) berturut-turut bagian nyata clan bagian khayal
daTi H (f).
Transformasi inversi dari persamaan (1) adalah
( t )
H ( f). 4 )dipakai untuk menggambarkan
f menggambarkan besaran
1
persarnaan
1n1
Kedua be saran H ( f) clan h ( .: "
Fourier clan dituliskan [ 1 Ih(t)
Dalam banyak hal fungsi h I
besaran dalam domain waktu t dan H ( ~'
dalam domain frekuensi f.
Bentuk diskrit dari transformasi Fourier yang ekivalen dengan
-~ "-- " ( I.) adalah
Jurnal Sains dan Teknologi Nuklir IndonesiaIndonesian Journal of Nuclear Science and Technolo&}'Vol I. No 2. Agu.\"IUS 2000.. 99 -119
/SSN /4// .348/
N-!X ( n ) = L Xo (k) e-j2Jrnk/N ( 5 )
k=O
dengan n = 0, 1, 2, ..., N -1, di mana N banyaknya data, k besaran
yang ekivalen dengan waktu, n be saran yang ekivalen dengan
frekuensi, sedangkan X(n) adalah transformasi Fourier daTi Xo(k) yang
harga-harganya banyaknya N. Transformasi inversinya yang ekivalen
dengan persamaan ( 3 ) adalah
1 No)X ( k ) = -L X(n) ej2lrok/N ( 6 )
N 0=0
Banyaknya data N diuraikan sesuai dengan radiks yang dipakai,
misalkan untuk radiks biner atau 2, yaitu yang menggunakan
bilangan 0 dan 1 saja, harus dipilih bilangan r yang bulat di mana N
harus dipilih N = 4;5 dengan0, 1,2,32Y , clan untuk radiks 4
" bilangan bulat yang lain.
Dalam transformasi Fourier persoalannya adalah bagaimana
menghitung X(n) dari Xo(k) yang diketahui dengan cara yang sangat
efektif clan efisien. Untuk menyederhanakan notasi, diperkenalkan
besaran baru
W = e-j21r/N ( 7 )
maka persamaan ( 5 ) dapat ditulisN-t
X ( n ) = L Xc ( k) Wnk ( 8 )k=O
dengan n = 0, 1,2, ..., N-l.Sebagai langkah pertama marilah dipergunakan radiks 2, yaitu
bilangan biner yang paling dikenal oleh mesin yang hanya mempunyai
dua harga 0 clan 1. Sebagai contoh ambillah N = 4 = 2Y, maka dalam
102
Perhilungan Tran.iformasi Fourier Cepall-DimensiDengan Radiks Gabungan Empal dun Dua SerlaConloh Penggunaannya (R,S Lasijo)
ISSN 1411 -3481
hal ini r = 2. Sekarang k clan n dapat kita nyatakan dalam bilangan
n = 0, 1,2, 3 (dalam desimal), menjadi n = ( nl no) = 00, 01, 10, 11
( 9
Bentuk hubungan kompak yang dapat kita pakai untuk k clan n ini
adalah
k = 2 k1 + ko clan n = 2 nl + no
di mana kl, ko , nl , no dapat mempunyai harga 0 dan 1.
Dengan notasi seperti persamaan ( 10 ) maka persamaan ( 8ditulis
) dapat
sehingga persamaan (11) menjadi
IXI (no ko ) = L Xo (k( ko) w2no k, ( 14 )
k) =0
Dari persamaan ( 14) didapatkan harga-harga Xl, sehingga persamaan
( 11 ) dapat ditulis berbentuk
IX2 (DO D( ) = I XI (DO kO
ko =0
w(2nl +no)ko 15 )
103
biner ini, yaitu
k = 0, 1, 2, 3 (dalam desimal), menjadi k = ( k1 ko) = 00, 01, 10, 11.
Jumal Sains dan Teknologi Nuklir IndonesiaIndonesian Journal of Nuclear Science and TechnologyVol. I,No. 2,Agustus2000: 99-119
ISSN /411- 348/
Maka didapat transformasi Fourier dari Xo (k) ko ) ,yaituX ( nl no) = X2 (no n( ). ( 16 )
Yang perlu diperhatikan di Bini adalah bahwa X ( nJ no) yang dicari,
sarna dengan X2 (no nl ) dari somasi luar persarnaan ( 13 ) yang
kebetulan mempunyai harga bit yang terbalik, di mana bit dariX( n( no) yaitu (n) no ), berbalikan dengan bit dari X2 (no n) ) yang
tidak lain adalah (no n) ) .
Penyelesaian persarnaan ( 8 ) dengan cara yang berurutan
dalarn persarnaan-persarnaan (13 ), ( 14), clan (15) adalah das~
dari formulasi Cooley- Tukey untuk harga N = 4 dengan radiks 2
(biner), yang juga disebut persarnaan-persarnaan rekursif dari Cooley-
Tukey untuk transformasi Fourier cepat [2J.
Bila N = 16 dengan radiks 2, maka r = 4, sehingga diperlukan 4
digit untuk indeksnya, yaitu
X(n3 n2 nJ no)J I I (
= I I I I Xo (k3 k2 k. ko ) W8n.kJ W(2n,+n.)4k2k.=O kl =0 k2=0 kJ=O
X W(4nJ+2nl +n.)2kl W(8nJ+4n2+2n, +n.)k. ( 17a)
I
XI (no k2 k( k 0) = I Xo (k3 k2 k) ko ) w8n.kJ ( 17b)
kJ=O
104
Perhitungan Traniformasi Fourier Cepat l-DimensiDengan Radiks Gabungan Empal don OIla SerloContoh Penggunaannya (R,S Lasijo)
/SSN /4//- 348/
(
19 )
( 17c),
Bila menggunakan radiks 4 didapat 16 = 42 berarti t5 = 2 clan hanya
diperlukan 2 digit untuk indeksnya, serupa dengan N = 4 pada
bilangan pokok 2, bedanya hanya pada harga-harga k clan n, yaitu
k = 4 kl + ko dengan kl = 0, 1,2,3 clan ko = 0, 1,2,3n = 4 nl + no dengan nl = 0, 1,2,3 clan no = 0, 1,2,3. -.
Maka dengan radiks 4 persamaan-persamaan ( 17a), ( 17b ), ,
( 17d), (17e I menjadi3 3
= L L Xo kl ko) W(4n) +nn)(4k. + kg)
kn=O k)=OX(n.no)
3 3
L LK"=O kl=O
20a)Xo (k, ko) W4n"k) W(4n)+n")k,,
3x.(noko) = L xo(k)ko)W4nokl (20b)
k)=O
3X2 (no n) ) = L XI (no ko) W(4nl+no)ko (20c)
ko =0
X (n1 no) = X2 (no nl ) .( 20d )
Membandingkan antara persamaan-persamaan (20a), (20b), (20c),
(20d) dengan persamaan-persamaan (17a), (17b), (17c), (17d), (17e)
terlihat bahwa penggunaan radiks yang lebih besar akan didapatkan
persamaan yang lebih sederhana dan jumlah perhitungan yang lebih
sedikit, berarti lebih efisien.
Formula penggunaan gabungan radiks lebih daTi satu juga telah
diberikan oleh Cooley-Tukey sebagai berikut [2]:
" fm, yaitu N = f)Misalkan N dapat diuraikan dalam m radiks f., f2'
fm, maka k clan n dapat dinyatakan dalam radiks-radiksf2
terse but, yaitu+ k( rm + ko (21a)fro) +fm) + km-2 (f3 f4
f2 f3k = km-1
In~
Jurnal Sains dan Teknologi Nuklir IndonesiaIndonesian Journal of /';'uc/ear Science and Techn%g}'Vol, I, No 2, Aguslus2000: 99-119
ISSN1411 -3481
(21b)fm-2) + + nl G + no
O~i~m-l1 < .
Perhillmgan Transformasi Fourier Cepa/ I-DimensiDengan Radiks Gabungan Empa/ dan Dua Ser/aCon/oil Penggunaannya (R.S. Lasijo)
ISSN 141 J -3481
n = 4 n. + no clan k = 4 k) + ko ( 25 )
dengan n., no = 0, I, 2, 3 clan k" ko = 0, I, 2, 3,
sehinggan k = 4 no kl + ( 4 n) + no) ko + 16 n( k) = 4 no k) + (4 n) + no) ko.
(26 )Pada persamaan (26) telah dipergunakan identitas bahwa W)6nlk, =1
sehingga 16 n. k, = 0
Persamaan rekursifnya dapat ditulis menjadi
3XI (nO ko) = L Xo (kl ko) W4nokl (27a)
k.-O3
X ( n n ) = ~ X ( n k ) W( 4 n. + no) ko2 0 I ~ I 0 0
ko=O
X (nl nO ) = X2 (no nl ).
Persamaan-persamaan (27a), (27b), (27c) ini adalah
persamaan-persamaan (20a), (20b), (20c), (20d) yang dapat disusun
agak berbeda sebagai berikut
3X (nl no) = L -~
ko=O
3 3
= L [ { L Xo (kl ko) w4noklko=O k.=O
Maka bentuk rekursifnya sekarang menjadi3
L Xo (kl kok.=O
(27b)
.27c)tidak lain
w4nlkn Wnko
} WOn kn 28)
) W4nokl } wno ko 29aXI (no ko =
) W4nl ko (29b)
"',..-)X(nl no)Dari persamaandiperoleh
107
= x2(nOnl). ~':IC
29a ), mengingat N = 16, maka, sebagai contoh
.hlrnal Sain.~dan Teknologi Nuklir IndonesiaIndonesian Jollrnal of Nuclear ,')cience and TechnoloK}J"oll. No 2 ,4gu.~tus2000: 99-119
ISSN 1.411 -3481
W4"lIk, = (W4 )""kl = COS( ~no k\) -j Sin(~no k\ ). (30)
Dari persamaan (29a) terlihat bahwa W4"lIkl hanya memiliki dua
barga, yaitu ::!:j clan ::!: 1, tergantung pada harga dari bilangan bulat
no kl saja, sehingga suku-suku yang berada di dalam kurung kurawal
ditentukan oleh faktor di luar kurung kurawal tersebut, yaitu Wno ko
yang disebut faktor peran (twiddle factor). Hal yang sarna dapat pula
diterapkan pada persarnaan (29b) clan seterusnya.
Dengan menggunakan faktor peran tersebut persarnaan rekursif
secara umum dapat ditulis sebagai berikut :
Xj(non nj_.kmN
Ri-1 km-i ( -)Ii
31
PEMBALIKAN INDEKSDari pembahasan terdahulu didapatkan bahwa indeks daTi X(n)
mempunyai urutan yang berbalikan dengan indeks daTi x(n), yaitu
misalnya untuk N = 16 dengan radiks 4, maka
X(n, no) = x2(nOn,). (32)
Urutan indeks dalam desimal (radiks 10) clan radiks 4 tertera padaTabel 1.
108
Perhill/ngan Tran.~rormasi Fourier Cepall-DimensIDengan Radik.f Gabungan Empal dun Dr/a SerlaConloh Penggunaannya (R.S. Lasijo)
ISSN 1411- 348/
Tabel 1. Indeks X clan x dalam desimal clan radiks 4
Radiks4
Desimal
891011
Radiks4
Desimal12131415
--Radiks
4Desimal
0123
Radiks4
Desimal
4567
30313233
00010203
10111213
20212223
Kesesuaian indeks X dengan x dalam desimal tertera pada Tabel 2
Tabe12. Kesesuaian indeks X dengan x dalam desimal
-X4567
X891011
X12131415
x0123
x261014
xx048
x1591312
Diperlukan pengecekan terhadap indeks-indeks tersebut clan
mengu bahnya bilamana indeks dari X belum bersesuaian dengan
indeks dari x. Bilamana banyaknya data N tetap, clan hanya
dipergunakan satu macam radiks saja, maka penyusunan program
komputer dalam pembalikan indeks tidak begitu rumit. Akan tetapi
bilamana N sebarang (tetapi genap clan dapat dinyatakan dengan
2 r dengan r bilangan bulat), clan bilamana harns dipergunakan lebih
dari satu radiks, maka perlu berhati-hati dalam penyusunan
programnya supaya kesesuaian indeks tetap terjaga. Sebagai contoh
untuk N = 32 dengan gabungan radiks 4 clan 2, maka 32 = 4x4x2
dengan m = 3 dan f] = 4, f2 = 4, f3 = 2. Hubungan indeksnya dalam
desimal dan radiks 4 & 2 tertera pada Tabel 3.
Jurnal Sains dan Teknolagi Nuklir IndonesiaIndonesian Journal of Nuclear Science and TechnologyVol. /. No 2. Agllstus2000: 99-/19
/SSN /4//- 348/
Tabe13. Indeks dalam desimal clan radiks gabungan 4&2
Desimal
01234567
Desimal
89101112131415
Desimal
1617181920212223
Desimal
2425262728
~3031
Radiks4&2
000001010011020021030031
Radiks4&2
100101110111120121130131
Radiks4&2
200201210211220221230231
Radiks4&2
300301310311320321330331
Di Bini kesesuaian indeks daTiX (n2 nl no ) = x2 (no nl n2 ) ( 33 )
tidak mudah dilihat daTi Tabel 3 tersebut di atas hanya dengan
menggunakan rumus yang sarna dengan hanya membalik indeksnya
Baja, misalnya indeks desimal ke-5
X ( 021 ) = x 3 ( 120 ). ( 33a)
Dengan radiks carnpuran 4 & 2 seperti pada Tabel 3 pembalikan dapat
dilakukan, tetapi hams menggunakan rumus yang berbeda untuk
indeks X dan x 3 , yaitu
untuk indeks X:
I
X)
= n2* 41 * 21 + n * 40* 21 + * 20, I no
= 0 * 4 * 2 + 2 * 1 *2 + 1 * 1 = 0 + 4 + 1 = 5, ( 34 )
bersesuaian dengan indcks untuk X3 yaitu
I ( X ) = n * 42 + n * 41 + n * 403 2 I 0= 1 * 16 + 2 * 4 + 0 * 1 = 16 + 8 = 24. ( 35 )
Jadi untuk indeks desimal X yang ke-5 persesuaiannya adalah indeks
desimal x 3 yang ke- 24
110
Perhitungan Transformasi Fourier Cepat I-DimensiDengan Radiks Gabungan Empat dan Dua SertaContoh Penggunaannya (R.S Lasijo)
/SSN /4// -348/
PENGGUNAAN DALAM FUNGSI KONVOLUSI DAN KORELASI
Yang paling banyak dipergunakan sebenarnya bukanlah
transformasi Fourier itu sendiri, tetapi fungsi-fungsi lain seperti fungsi
konvolusi dari x(k) clan h(k) yang berbentuk
N-I
y ( k) = L x ( i ) h (k -i ) (36)i=O
clan fungsi korelasi dari x(k) clan h(k) yang berbentukN-!
z ( k ) = L x ( i ) h ( k + i ). (37)i=O
Fungsi-fungsi terse but dapat dihitung dengan Transformasi Fourier
Cepat dengan lebih mudah clan sederhana. Perhitungan fungsi
konvolusi clan korelasi dilakukan misalnya pada pemrosesan sinyal
(signal processing), filter elektronik (electronic filtering) [3,4,5], analisis
sistem, clan sebagainya, di mana x(k) pada umumnya berupa data
masukan yang didapat secara manual atau secara automatik dari
suatu sistem deteksi yang berupa sinyal-sinyal elektronik, sedangkan
h(k ) berupa respons dari peralatan, clan y(k) atau z(k) berupa
keluaran.
Untuk menghitung fungsi konvolusi daTi x(k) dan h(k), pertama-
tama dihitung transformasi Fourier dari masing-masing x (k) dan h (k),
yaitu
(38)
(39)
N-IX(n) = L x(k) e-j2Jrnk/N
k=O
N-IH(n) = L h(k) e-j2Jrnk/N.
k=O
Kalikan hasilnya untuk mendapatkan Y(n)Y(n) = X (n) .H (n) . (40)
Jurnal Sains dan Teknologi Nuklir IndonesiaIndonesian Journal of Nuclear Science and Technology1'0/. /, No.2. Aguslus 2000: 99 -119
/SSN /4/ / -348/
Kemudian lakukan transformasi inversi dari Y(n) untuk mendapatkan
fungsi konvolusi y(k) yang dimaksud, yaitu
y(k) = 1- I Y(n) e+j2:rnk/N. (41)N k=O
Bila y(k) berupa bilangan nyata, maka dapat pula dipergunakantransformasi maju, yaitu
IN-IY ( k ) = -L y'( n) e-j2:rnkfN (42)N k=O
di mana y' (n) adalah pasangan kompleks (complex conjugate) dari
Y(n)(n
Untuk menghitung fungsi korelasi caranya harnpir sarna, yaitu
dihitung fungsi transformasi Fourier dari masing-masing x(k) clan h(k),
kemudian bentuk fungsi Z :
Z ( n ) = X (n) .H * (n) (43)
di mana H* (n) adalah pasangan kompleks dari H (n), clan akhirnya
lakukan transformasi inversi dari Z ( n ) untuk mendapatkan z k)
(n)
e+j21rnk/N
z(k)
IN-!= -L Z (44)N k=O
Bila z ( k ) bilangan nyata dapat dipergunakan transformasi maju
IN-!I I = -L Z*(n) e-j2:rnk/N (45)
N k=O
dengan Z*(n) pasangan kompleks daTi Z(n).
k)
z
PERHITUNGAN DAN HASILNY ASebagai contoh pertama diberikan perhitungan untuk
menentukan transformasi Fourier dari suatu fungsi periodik yang
berbentuk
x(k)=cos(21[nk)
112
Perhitungan Transformasi Fourier Cepall-DimensjDengan Radiks Gabungan Empat don Dua SertaContoh Pengglinaannya (R.S. Lasijo)
/SSN /4//- 348/
dengan k sesuai dengan waktu t dan n sesuai dengan frekuensi f.
Dalam perhitungan diambil N = 32, interval waktu T = 1, dan frekuensi
f = 1/8 seperti tertera pada Gambar la.
~
1.5- -
1
-1
-1.5
21l"nk)Gambar la. x(k) = cas Garnbar 1 b. X(n),
Transformasi Fourier dari x(k) ini adalah X(n) yang tertera pada
Gambar 1 b. Kurva sinambung pada gambar menunjukkan fungsi yang
kontinu, sedangkan titik-titik menunjukkan fungsi yang diskrit yang
diambil untuk perhitungan. Dari hasilnya yang tertera pada Gambar
1 b, tidak ada perbedaan yang berarti antara yang kontinu dengan
yang diskrit. lni disebabkan karena pemilihan interval clan
frekuensinya sangat sesuai.~ ~
0 10 20 30 40
Gambar 2a. x(k), dengan f=I/9.143 Gambar 2b. X(n), transformasi Fourier dan x(k).
113
Jurnal Sains dan Teknologi Nuklir IndonesiaIndonesian JOIlrnal of Nuclear Science and TechnologyVol. I. No.2. Agustus 2000.. 99 -119
ISSN /411 -3481
Pada Garnbar 2a hila frekuensinya diarnbil f = 1/9.143 dengan
interval T yang sarna, basil transformasi Fourier yang didapat pada
Garnbar 2b ternyata agak berbeda dengan fungsi kontinu pada
Garnbar lb. Jadi terlihat di sini bahwa dalarn penggunaan
transformasi Fourier yang diskrit supaya hasilnya sarna dengan
transformasi Fourier yang kontinu kita harus berhati-hati dalarn
pemilihan pararnetemya. Pada umumnya pemilihan interval yang
Makin kecil dapat memberikan kesarnaan yang lebih baik.
Garnbar 3a menunjukkan data x(k) yang diskrit, dengan transformasi
Fourier bagian nyata tertera pada Garnbar 3b, sedangkan Garnbar 3c
menunjukkan transformasi totalnya
X(n) = ~[Re X(n)] 2 + [1m X(n)] 2 (47)
dengan Re menunjukkan bagian nyata dan 1m menunjukkan bagiankhayal daTi X(n).
Gambar 3a. Fungsi diskrit x(k) Gambar 3b. X(n) bagian nyata
14
Perhitungan Transformasi Fourier Cepat J-DimensiDengan Radiks Gabungan Empat dan Dua SertaContoh Penggunaannya (R.S. Lasijo)
/SSN /4//- 348/
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
Kurva sinambung hanyadipakai untuk memperjelaspenglihatan.
L ~---
Gambat 3c. X(n), ttansf. Fourier clari x(k)
Sebagai contoh perhitungan fungsi konvolusi dari suatu sinyal
atau data masukan x(k) clan respon alat h(k) dengan basil keluaran
yang berbentuk fungsi konvolusi y(k) , masing-masing tertera pada
Gambar-gambar 4a, 4b, clan 4c.
Gambar 4a. Fungsi diskrit x (k) Gambar 4b. Fungsi respons h (k)
Garnbar 4c. Fungsi konvolusi y (k)
Gambar 5b. Fungsi x(k) Garnbar 5b. Fungsi respon h(k)
115
Jurnal Sains dan Teknologi Nuklir IndonesiaIndone.vian Journal of Nuclear Science and Technology/"'011 No 2. ,4gu.'iflls 2000 99 -119
/SSN /4//- 348/
1.21
0.80.80.4
I 0.:
R~T V; C J
50 100 150
Gambar Sc. Fungsi konvolusi y(k) Gambar Sd. Filter RC
Gambar-gambar Sa, Sb, clan Sc, adalah contoh perhitungan fungsi
konvolusi yang analog dengan suatu rangkaian filter elektronik RC
yang digandeng dengan suatu sumber tegangan Vi (Gambar Sd), di
mana x(k) analog dengan masukan Vi , fungsi respon h(k) analog
dengan rangkaian filter RC yang berbentuk
1 -k/RC-e 48)RC
dengan R hambatan resistor, clan C kapasitas kondensator. Fungsi
konvolusi yang didapat mempunyai bentuk seperti potensial Vo atau
banyaknya muatan q yang berkembang di dalam kondensator C.
Sebagai contoh terakhir perhitungan fungsi konvolusi adalah
fungsi masukan x(k) yang non periodik dengan respon h(k) ,
menghasilkan fungsi konvolusi y(k), yang masing-masing ditunjukkan
oleh Gambar-gambar 6a, 6b, clan 6c. Untuk data atau sinyal-sinyal
yang terns menerns clan tidak periodik, bilamana memori komputer
tidak mampu untuk menampung, maka perhitungan dapat dilakukan
dengan cara memberikan suatu harga N tertentu untuk x(k) clan h(k)
pada selang tertentu, kemudian dihitung fungsi konvolusinya untuk
masing-masing periode N, yang selanjutnya semua basil perhitungan
dirangkaikan menjadi satu dengan cara tertentu untuk menghindari
116
Perhitungan 7ransformasi Fourier Cepat l-Dimen,5iDengan Radiks Gabungan Empat dan Duo SerloContoh Penggunaannya (R.S. Lasijo)
ISSN 14/1 -348/
adanya efek pinggir (end effect). Program komputer yang telah disusun
untuk perhitungan telah pula dilengkapi dengan perhitungan untuk
sinyal-sinyal yang terns menerus ini dengan membagi data dalam
siklus-siklus sebesar N data menggunakan metode pilih-simpan
(select-savings method) [2,6] dengan basil yang sama dengan hila
seluruh data dianalisis sekaligus, kecuali pada bagian pinggir (depan)
sebanyak fungsi responnya, yang dalam hat contoh kita adalah
sebanyak 36 titik data.
1.2
0.8
0 6
0 4
0.2
0
0 50 100 150 200 250 300
---Gambar 6a. Fungsi x (k)
Gambar 6b. Fungsi respon h (k)
1 1'7
Jurnal :!.'ains dan Teknologi NuklirlndonesiaIndone.fian Journal of Nuclear Science and TechnologyVol. I. No.2. AgU.fIlIS 2000: 99 -119
ISSN 14/1 -3481
40
30
20
10
00 50 100 150 200 250
Gambar 6c. Fungsi konvolusi y (k)
300
Karena perhitungan untuk fungsi korelasi caranya identik dengan
perhitungan untuk fungsi konvolusi, maka dalam makalah ini
hasilnya tidak disertakan.
KESIMPULANDari pembahasan pada bab-bab sebelumnya, dapat diambil
kesimpulan bahwa pemakaian Transformasi Fourier Cepat dapat
dilakukan baik untuk sinyal-sinyal yang periodik maupun non-
periodik. Fungsi konvolusi clan korelasi dapat pula dihitung dengan
menggunakan transformasi ini dengan lebih mudah clan sederhana
Berta cepat. Kecepatan proses dalam penggunaan Transformasi Fourier
Cepat inilah yang sebenarnya menjadikan transformasi ini sangat
menarik clan diminati banyak orang dalam pemakaiannya. Dengan
perkembangan perangkat keras maupun perangkat lunak komputer
digit, Berta perkembangan metodologi perhitungan, maka pemakaian
Transformasi Fourier Cepat akan mempunyai aplikasi yang semakin
luas dalam masa-masa yang akan datang.
118
Perhitungan Transformasi FourIer Cepal J-DimenslDengan Radiks Gabungan Empal don Dua SerloConloh Penggtlnaannya (RS [,asijo)
/SSN /4// -348/
DAFT AR PUST AKA
1. PRESS, W.H., TEUKOLSKY, S.A., VETTERLING, W.T., FLANNERY,
B.P., "Numerical Recipes in Fortran", 2nd edition, Cambridge
University Press, 1992, p.491.
2. BRIGHAM,E.O., "The Fast Fourier Transform", Prentice-Hall Inc.,
1974.
OPPENHEIM, A.V., SCHAFER, : Time
Processing", Prentice-Hall Inc., 1989.
RABINER,L.R., GOLD,B., "Theory and Application of Digital Signal
Processing", Prentice-Hall Inc., 1975.
OPPENHEIM, A.V., WILSKY, A.S., YOUNG, I.T., "Signals and
Systems", Prentice-Hall Inc., 1983.
SignalR.W.,
3
"Discrete
4
5
NUSSBAUMER, H.J., "Fast Fourier Transform and Convolution
Algorithms", Springer-Verlag, 1990.
6.
2: Kembali ke Jurnal
Top Related