คณตศำสตร ตำมมำตรฐำนกำรเรยนรและตวชวดกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560)ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551
ชนมธยมศกษำปท 2 เลม 2
ผเรยบเรยงนำงกนกวลอษณกรกล
นำงสำวปำจรยวชชวลค
ดร.สเทพบญซอน
ผตรวจนำงจนดำอยเปนสข
นำยรณชยมำเจรญทรพย
นำยสกจพทธชำตเสว
บรรณาธการรศ.ดร.อ�ำพลธรรมเจรญ
หนงสอเรยนรำยวชำพนฐำน
ม.2เลม 2
สงวนลขสทธตามพระราชบญญตปทพมพ 2562
พมพครงท 1จานวนพมพ 30,000 เลมISBN : 978-616-203-820-4
รหสสนคา 2216012
พหนามทเปนตวประกอบแตละ
ตวจะมดกรตากว าพหนามท
กาหนด
¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ
¢ŒÍ¤ÇÃÃÐÇѧ
พจารณาการเขยน 6x2y + 15xyz ใหอยในรป A × B เมอ A เปนตวประกอบรวมของ 6x2y + 15xyz และ B เปนพหนาม
6x2y + 15xyz = 3xy(2x + 5z) เปนการแยกตวประกอบของพหนาม เนองจาก ไมสามารถหา
ตวประกอบรวมทไมใช 1 ของ 2x และ 5z ได
1.3 การแยกตวประกอบของพหนาม โดยใชสมบตการแจกแจง พจารณาพหนาม 6x2y + 15xyz ซงสามารถเขยนใหอย ในรปของการคณกนของ
พหนามสองพหนามไดเปน 3xy(2x + 5z) นนคอ 3xy และ 2x + 5z เปนตวประกอบของ
6x2y + 15xyz กลาวไดวา 3xy(2x + 5z) เปนการแยกตวประกอบของพหนาม (factorization of
polynomials) 6x2y + 15xyz
พหนามทกาหนด พหนามทเปนตวประกอบพหนามทเปนตวประกอบ
6x2y + 15xyz = 3xy (2x + 5z)
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 4x + 12 2) 5x + 10y 3) 2x3 + 3xy
วธทา 1) ตวประกอบรวมของ 4x และ 12 คอ 4 ดงนน 4x + 12 = 4(x + 3)
2) ตวประกอบรวมของ 5x และ 10y คอ 5 ดงนน 5x + 10y = 5(x + 2y)
3) ตวประกอบรวมของ 2x3 และ 3xy คอ x ดงนน 2x3 + 3xy = x(2x2 + 3y) ตอบ
ตวอยางท 8
การแยกตวประกอบของพหนาม 13
แนวขอสอบ O-NET เพอใหผเรยนไดศกษาแนวคดกอนสอบจรง
คณตนำร เสรมความร หรอขอสงเกต ทไดจากเนอหา
สรปแนวคดหลก โดยรวมของทงหนวยการเรยนร เพอทบทวนความรใหแกผเรยน
H.O.T.S. ค�ำถำมทำทำยกำรคดขนสง
ตามทฤษฎการเรยนรของบลม (Bloom’s Taxonomy)
แบบฝกทกษะประจ�ำหนวย กำรเรยนร เพอประเมนความรความเขาใจของผเรยนประจาหนวยการเรยนร
มมเทคโนโลย ความรเกยวกบการใชเทคโนโลยเปนเครองมอเพอชวยตรวจสอบคาตอบ
คณตศาสตรในชวตจรง
ทรงสามมตใดมความจมากทสด
ปจจบนการออกแบบบรรจภณฑตาง ๆ มความสาคญอยางมาก
ซงสงผลใหเกดการสรางสรรคงานทมรปทรงหลากหลายปรากฏ
ใหเหน เชน กลองนม ลงผลไม อาหารกระปอง
สมมตวา มกระดาษ 21 นว × 35 นว อย 1 แผน ตองการสรางทรงสามมต เชน
ทรงกระบอก ปรซมสเหลยมจตรส ปรซมสเหลยมผนผา ปรซมสามเหลยมหนาจว นกเรยนคดวา
จะใชกระดาษแผนนสรางพนทผวดานขางทรงสามมตทรงใดทมความจมากทสด
แนวคด เนองจาก กระดาษมความยาว 35 นว ควรใชดานนเปนความยาวรอบฐานของ
ทรงสามมต และดานซงมความกวาง 21 นว กจะเปนความสงของทรงสามมต
และเนองจาก ปรมาตรของทรงสามมตเทากบผลคณของพนทฐานกบความสง
ดงนน จงเปรยบเทยบเฉพาะพนทฐานของแตละทรงกจะทราบคาตอบ
ทมา : คลงภาพ อจท.
35 นว
21 นว
132
ทมา : คลงภาพ อจท.
สรปแนวคดหลก
ทฤษฎบทพทาโกรส จากรป สามารถสรปเปนทฤษฎบทพทาโกรสได 2 แบบ ดงน
1. ในรปสามเหลยมมมฉากใด ๆ กาลงสองของความยาว
ดานตรงขามมมฉากเทากบผลบวกของกาลงสองของความยาว
ดานประกอบมมฉาก
2. ในรปสามเหลยมมมฉากใด ๆ พนทของรปสเหลยมจตรสบนดาน
ตรงขามมมฉากเทากบผลบวกของพนทของรปสเหลยมจตรส
บนดานประกอบมมฉาก
a2 + b2 = c2
บทกลบของทฤษฎบทพทาโกรส จากรป สามารถสรปเปนบทกลบของทฤษฎบทพทาโกรสได 2 แบบ ดงน
1. ในรปสามเหลยมใด ๆ ถากาลงสองความยาวของดานดานหนงเทากบผลบวกของกาลงสอง
ของความยาวอกสองดาน แลวรปสามเหลยมนนเปนรปสามเหลยมมมฉาก
2. ในรปสามเหลยมใด ๆ ถาพนทของรปสเหลยมจตรสบนดานดานหนงเทากบผลบวกของ
พนทของรปสเหลยมจตรสบนดานอกสองดาน แลวรปสามเหลยมนนเปนรปสามเหลยม
มมฉาก
c2 = a2 + b2
การนาความรเกยวกบทฤษฎบทพทาโกรสไปใชในชวตจรง ความรเรองทฤษฎบทพทาโกรสและบทกลบ สามารถนาไปใชแกปญหาไดในชวตจรง เชน
การคานวณหาระยะทาง ความกวาง ความยาว หรอความสงของสงตาง ๆ
ทเกยวของกบรปสามเหลยมทเชอมโยงกบทฤษฎบทพทาโกรส
กาลงสองของความยาวดาน ABหรอพนทของ □ ABDE
กาลงสองของความยาวดาน ABหรอพนทของ □ ABDE
กาลงสองของความยาวดาน BCหรอพนทของ □ BCHI
กาลงสองของความยาวดาน BCหรอพนทของ □ BCHI
กาลงสองของความยาวดาน ACหรอพนทของ □ ACFG
กาลงสองของความยาวดาน ACหรอพนทของ □ ACFG
a
a
a
a
b
bb
b
A
E
D
C
B I
H
FG
cc
cc
ทฤษฎบทพทาโกรส 85
แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 3
หมอนขวานมลกษณะเปนปรซมสามเหลยมหนาจว
á¹Ðá¹Ç¤Ô´
1. จงหาพนทผวดานนอกและปรมาตรของทรงสามมตในแตละขอตอไปน
1) 2)
2. ปรซมสเหลยมผนผาแทงหนงยาว 4 หนวย และความกวางกบความยาวของฐานเทากบ
2 หนวย และ 3 หนวย ตามลาดบ จงหาพนทผวและปรมาตรของปรซม
3. รศมของฐานทรงกระบอกตนเทากบ 2 นว และความสง 3 นว จงหา
1) ปรมาตร 2) พนทผวขาง
3) พนทผว (กาหนดให π ≈ 3.14)
4. พนทผวขางของทรงกระบอกเทากบ 880 ตารางเซนตเมตร และถาทรงกระบอกนสง
10 เซนตเมตร จงหาความยาวเสนรอบรปของฐานและพนทฐานของทรงกระบอกน
(ตอบในรปของ π)
5. ทอทรงกระบอกยาว 30 เซนตเมตร มความยาวเสนผานศนยกลางภายนอก 10 เซนตเมตร
และหนา 2 เซนตเมตร (กาหนดให π ≈ 3.14) จงหา
1) พนทผวภายนอก 2) พนทผวภายใน 3) ปรมาตรของวสดทใชทาทอ
6. หมอนขวานใบหนงมความยาวฐาน 12 นว ดานประกอบมมยอด
ยาว 10 นว หมอนมความยาว 16 นว สรโชคตองการมอบ
หมอนขวานใบนใหแดคณยาเนองในโอกาสวนเกดครบ 72 ป
สรโชคตองใชกระดาษหอของขวญทมพนทอยางนอยเทาใด
7. มานตตองการซอผาใบมาทาหลงคาเตนทมความกวาง 7 เมตร ความยาว 24 เมตร มลกษณะ
เปนทรงกระบอกผาครง มานตจะตองซอผาใบทาหลงคาอยางนอยกตารางเมตร
(กาหนดให π ≈ 227 )
2 ซม. 2 ซม.
4 ซม.2 ซม.
2 ซม.
2 ซม.2 ซม.2 ซม.
2 ซม.
2 ซม.
2 ซม.
พนทผวและปรมาตร 135
เกรดนำร เสรมความรทวไปทสอดคลองกบเนอหา
จะได ปรมาตรของปรซม = 2.88 × 0.05
= 0.144 ลกบาศกเมตร
ดงนน จะตองใชปยคอกเทากบ 0.144 ลกบาศกเมตร ตอบ
บอเลยงปลามลกษณะเปนปรซมสเหลยมมมฉากทมฐานเปนรปสเหลยมผนผา ซงมความกวาง
8 เมตร ความยาว 12 เมตร และบอนลก 3 เมตร ถาตองการเตมนาโดยสงไมเกน 2 เมตร
จะตองเตมนาลงบอเลยงปลาทงหมดเทาไร
ลองทาด
หนวยการวดความจของตเยน มหนวยเปนคว ซงมาจาก
คาเตมวา ควบกฟต หรอลกบาศกฟต ขนาดของตเยนจะ
คานวณจากความจของเนอทภายในตเยน โดยวดความกวาง
ความลก และความสงภายในตเยนใชหนวยเปนฟต แลวนามา
คณกน เชน ตเยนตหนงวดความกวาง 1.8 ฟต ความลก
1.4 ฟต และความสง 6.5 ฟต แลวนามาคณกนจะไดความจ
ของตเยนประมาณ 17 คว1
เกรด นาร
นกเรยนสามารถใชเครองคดเลขเพอตรวจสอบคาตอบได ดงตวอยางตอไปน
1) 1.2 × 2.4
1 2 .× 4. 2 =
2) 2.88 × 0.05
2 8 .× 5. 8 0 0 =
เทคโนโลยÁØÁ
ทมา : คลงภาพ อจท.
1 ขนาดของตเยน. สบคนเมอ 10 กนยายน 2561, https://home.kapook.com/view171008.html
114
แบบฝกทกษะ แบงระดบความยากงายเหมาะสมกบระดบการเรยนรของผเรยน
คณตศำสตรในชวตจรง เชอมโยงความรคณตศาสตร ไปใชในชวตจรง
ขอควรระวง อธบายในสงทผเรยน มกเขาใจผดหรอคลาดเคลอน
วธสราง ขนท 1 ลากเสนจานวน กาหนดจด A แทน 0 และจด C แทน 1 จะได
AC = 1 หนวย
ขนท 2 ลาก BC ตงฉากกบ AC ทจด C
โดยให BC = AC = 1 หนวย แลวลาก AB
ขนท 3 ใชจด A เปนจดศนยกลาง รศมยาวเทากบ AB
เขยนสวนโคงตดเสนจานวนทจด D และจด F ตามลาดบ
จากทฤษฎบทพทาโกรส AB2 = AC2 + BC2
= 12 + 12
= 2
จะได AB = 2
ดงนน จด D แทนจานวน 2 บนเสนจานวน และจะไดจด F แทนจานวน - 2
บนเสนจานวน
¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ
นกคณตศาสตรชอ ธโอดรส ไดคดสรางเสนเวยนกนหอยธโอดรสหรอเรยกอกอยางหนงวา รากเสนเวยน
กนหอย เสนเวยนกนหอยพทาโกรสเปนเสนเวยนกนหอยทประกอบดวยรปสามเหลยมมมฉากเขยน
ตอเนองกน โดยมดานหนงเปนดานรวมของรปสามเหลยมมมฉากทงสอง ดงรป
ทมา : http://en.wikipedia.org/wiki/spiral_of_Theodorus
ในระดบชนนนกเรยนจะไดศกษาตวอยางการนาทฤษฎบทพทาโกรสไปใชในการหา
ความกวาง ความยาว หรอความสงของสงตาง ๆ ดงตวอยาง
1
11 1
1
1
1
1
1
1111
1
15
1413
1210
9
8
7
6
543
2
11
ทฤษฎบทพทาโกรส 73
ลองท�ำดเพอใหผเรยนไดฝกทาจนเกดความชานาญ
กจกรรม คณตศาสตร
กจกรรมท 1
1) สราง Δ ABC โดยให AB = 3 เซนตเมตร
BC = 4 เซนตเมตร
และ AC = 5 เซนตเมตร
2) ตดกระดาษเปนรปสเหลยมจตรส 3 รป ทมความยาวดานละ 3 เซนตเมตร 4 เซนตเมตร
และ 5 เซนตเมตร ตามลาดบ
3) นารปสเหลยมจตรสทตดในขอ 2) มาวางตามความยาวของดานทเทากนกบ Δ ABC ท
จด A จด B และจด C ตามลาดบ ดงรป
A
B C
จากรปใหนกเรยนตอบคาถามในแตละขอตอไปน
1. พนทของรปสเหลยมจตรสบนดาน AC, AB และ BC เทากบกตารางเซนตเมตร
2. Δ ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากหรอไม
3. พนทของรปสเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉากเทากบผลบวกของพนทรปสเหลยมจตรส
บนดานประกอบมมฉากหรอไม
4. ถากาหนดใหพนทของรปสเหลยมจตรสบนดาน AC ซงเปนดานตรงขามมมฉากเทากบ AC2
พนทของรปสเหลยมจตรสบนดาน AB และ BC ซงเปนดานประกอบมมฉากเทากบ AB2 และ
BC2 ตามลาดบ จะเขยนความสมพนธของพนทรปสเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉากและ
พนทรปสเหลยมจตรสบนดานประกอบมมฉากไดอยางไร
5. ความสมพนธทไดจากขอ 4. เปนไปตามทฤษฎบทพทาโกรสหรอไม
ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹·Ó¡Ô ¡ÃÃÁµ‹Í仹Õé â´Â·Óŧã¹ÊÁØ
ทฤษฎบทพทาโกรส 59
ถงนาทรงกระบอกใบหนงมรศม 40 เซนตเมตร และสง 70 เซนตเมตร ถาใสนาลงในถงนาเพยง
ครงถงแลวนาในถงจะมปรมาตรประมาณเทาไร
1) 124,000 ลกบาศกเซนตเมตร
3) 162,000 ลกบาศกเซนตเมตร
2) 136,500 ลกบาศกเซนตเมตร
4) 176,000 ลกบาศกเซนตเมตร
แนวคด จากโจทย สรางรปจาลองได ดงน
เนองจาก ปรมาตรของทรงกระบอก = πr2h
จะได ปรมาตรของทรงกระบอก ≈ 227 × 40 × 40 × 35
= 176,000 ลกบาศกเซนตเมตร
นนคอ ถาใสนาลงในถงนาเพยงครงถงแลวนาในถงจะมปรมาตรประมาณ
176,000 ลกบาศกเซนตเมตร
ดงนน คาตอบ คอ ขอ 4)
แนวขอสอบ O-NET
บรษทผลตชาเขยวแหงหนงใหพนกงานประกวดการออกแบบกลองบรรจชาเขยว โดยมกตกา
วากลองตองมปรมาตร 240 ลกบาศกเซนตเมตร และประหยดกระดาษทใชทากลองมากทสด
ในรอบสดทายมกลองทเขารอบ 2 กลอง ดงรป นกเรยนคดวากรรมการตดสนควรเลอกกลอง
แบบใดเปนกลองบรรจชาเขยวของบรษท เพราะเหตใด (กาหนดให 3 ≈ 1.732)
คาถามทาทายการคดขนสง
3570
5 ซม.4 ซม.4 ซม.
240 ลกบาศกเซนตเมตร 240 ลกบาศกเซนตเมตร
130
กจกรรมคณตศำสตร เพอสงเสรมการเรยนรแบบ Active Learning
แบบฝกทกษะ 3.3 คระดบ พนฐาน
1. ถงใสขยะทรงกระบอกสง 6 ฟต และมเสนผานศนยกลางภายนอกของถงเทากบ 7 ฟต
ถาตองการทาสรอบถงภายนอก จะมพนทผวทตองทาสเทาไร (กาหนดให π ≈ 227 )
2. แทงกเกบนาฝนทรงกระบอกแทงกหนงมรศมภายใน 1.8 เมตร และมความสง 3.6 เมตร
แทงกเกบนาฝนนจะมปรมาตรเทาไร เมอฝนตกหนกและไดนาเตมแทงกพอด
ระดบ กลาง
3. นายสญญามแทงเหลกตน A กบ แผนเหลกตน B ดงรป
จงตอบคาถามในแตละขอตอไปน
1) ปรมาตรของแทงเหลก A
และแผนเหลก B เปนเทาไร
2) ปรมาตรของแทงเหลก A
และแผนเหลก B ตางกนเทาไร
3) อตราสวนของพนทผวภายนอกของแทงเหลก A ตอแผนเหลก B เทากบเทาไร
หลงเรยนจบหนวยนแลว ใหนกเรยนบอกสญลกษณทตรงกบระดบความสามารถของตนเอง
1. อธบายลกษณะและสมบตของปรซมและทรงกระบอกได
2. หาพนทผวของปรซมและทรงกระบอกได
3. หาปรมาตรของปรซมและทรงกระบอกได
4. สามารถนาความรเกยวกบพนทผวและปรมาตรของปรซม
และทรงกระบอกไปใชในการแกปญหาได
ตรวจสอบตนเอง
ด พอใชควร
ปรบปรง
5 ซม.1 ซม.
4 ซม.
5 ซม.
พนทผวและปรมาตร 131
A
B
ตรวจสอบตนเอง แบบประเมนเพอใหผเรยนสามารถตรวจสอบความรความเขาใจของตนเอง
แนะแนวคด เทคนคตาง ๆ ทชแนะวธการแกโจทยทางคณตศาสตร
หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2 เลม 2จดท�ำขนส�ำหรบใชประกอบกำรเรยนกำรสอนชนมธยมศกษำปท2 โดยด�ำเนนกำรจดท�ำใหสอดคลอง
ตำมมำตรฐำนกำรเรยนรและตวชวดกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร(ฉบบปรบปรงพ.ศ.2560)
ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช2551 ทกประกำร เพอสงเสรมทกษะ
ทจ�ำเปนส�ำหรบกำรเรยนรในศตวรรษท21ทงทกษะดำนกำรคดวเครำะหกำรคดอยำงมวจำรณญำณ
กำรแกปญหำกำรคดสรำงสรรคกำรใชเทคโนโลยกำรสอสำรและกำรรวมมอเพอใหผเรยนรเทำทน
กำรเปลยนแปลงของระบบเศรษฐกจสงคมวฒนธรรมและสภำพแวดลอมสำมำรถแขงขนและ
อยรวมกบประชำคมโลกได
หนงสอเรยนกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตรในระดบชนมธยมศกษำปท2น
คณะผเรยบเรยงไดจดแบงออกเปน2เลมดงน
Thinking Timeค�ำถำมกระตนใหผเรยนคดตอยอดจำกเนอหำทเรยน
ควรรกอนเรยน ทบทวนควำมรเดมเพอเชอมโยงเขำสเนอหำใหม
ถำหำกน�ำรปหลำยเหลยมดำนเทำมมเทำใดๆ ทไมใชรปสเหลยมจตรสไปสรำงบนดำนประกอบ
มมฉำกและดำนตรงขำมของรปสำมเหลยมมมฉำกนกเรยนคดวำผลสรปจำกกจกรรมท3ยงคงเปนจรง
อยหรอไม
Thinking Time
นกเรยนจะพบวำ รปสเหลยมทงสรป ในขอ4) และรปสเหลยมจตรสทมดำนยำว3 หนวย
สำมำรถบรรจในรปสเหลยมจตรสทมดำนยำว5หนวยไดพอดดงรป
3
4
5
จำกรปใหนกเรยนตอบค�ำถำมในแตละขอตอไปน
1.รปสเหลยมทง4รปในขอ4)มพนทรวมกนทงหมดเทำกบเทำใด
พนทของรปสเหลยมจตรสทมดำนยำว3หนวยเทำกบเทำใด
พนทของรปสเหลยมจตรสทมดำนยำว5หนวยเทำกบเทำใด
2.เมอน�ำรปสเหลยม 4 รป ในขอ 4) และรปสเหลยมจตรสทมดำนยำว 3หนวยบรรจในรป
สเหลยมจตรสทมดำนยำว5หนวยไดพอดจะเขยนควำมสมพนธของพนทตำงๆ ไดอยำงไร
3.ควำมสมพนธทไดจำกขอ2.เปนไปตำมทฤษฎพทำโกรสหรอไม
จำกกจกรรมท3สรปไดวำพนทของรปสเหลยมจตรสทอยบนดำนตรงขำมมมฉำกซงยำว
5 หนวย จะเทำกบผลรวมของพนทของรปสเหลยมจตรสทอยบนดำนประกอบมมฉำกซงยำว
3หนวยและ4หนวยตำมล�ำดบ
ทฤษฎบทพทาโกรส62
ค�ำถำมประจ�ำหนวย กำรเรยนร ทครอบคลมตวชวดสงสดในหนวยกำรเรยนร
ตวชวด
• เขำใจและใชทฤษฎบทพทำโกรสและบทกลบในกำรแกปญหำคณตศำสตรและปญหำในชวตจรง(ค 2.2 ม.2/5)
สาระการเรยนรแกนกลาง
•ทฤษฎบทพทำโกรสและบทกลบ•กำรน�ำควำมรเกยวกบทฤษฎบทพทำโกรสและบทกลบไปใชในชวตจรง
โดยทวไปโทรทศนจะมหลายขนาด เชน โทรทศนขนาด
32 นว 43 นว และ 52 นว ซงขนาดของโทรทศนคอความยาว
ของเสนทแยงมมของหนาจอทเปนรปสเหลยมผนผาทไมรวมขอบนอก
ถาโทรทศนเครองหนงมหนาจอกวาง 53.7 เซนตเมตร ยาว 98.7
เซนตเมตร และขอบนอกกวาง
1.5 เซนตเมตร
อยากทราบวา
â·Ã·Ñȹ�à¤Ã×èͧ¹ÕéÁÕ¢¹Ò´¡Õè¹ ÔéÇ
Q.
ทฤษฎบทพทาโกรสหนวยการเรยนรท
2
ทมา : คลงภาพ อจท.
หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2 เลม 1 หนวยการเรยนรท 1-6
หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2 เลม 2 หนวยการเรยนรท 1-5
ค�ำแนะน�ำในกำรใชสอ
องคประกอบตำง ๆ ในแตละหนวย
ตวชวด ทสอดคลองกบ
เนอหำในหนวย
กำรเรยนร
สำระกำรเรยนรแกนกลำง ขอบขำยเนอหำในหนวยกำรเรยนร
ควรรกอนเรยน
รปคลของรปเรขาคณตสามมต
ความยาวรอบรปและพนทของรปเรขาคณตสองมต
ชอ รปเรขาคณตสามมต รปคล
ทรงกระบอก
ปรซมสำมเหลยม
รปเรขาคณตสองมต ความยาวรอบรป พนท
a + b + c 12 × a × h
2 × (a + b) a × b
4 × a a × a
2 × (a + b) a × h
4 × a a × h
a + b + c + d 12 × (a + c) × b
แบบทดสอบพนฐานกอนเรยน
c b
a
h
b
a
a
b
a
h
h
a
b
ad
c
พนทผวและปรมาตร 91
QR Code รองรบกำรเรยนรผำนสอดจทล
กำรแยกตวประกอบของพหนำม 2 1.1กำรหำรพหนำม 4 1.2ตวประกอบของพหนำม 10 1.3กำรแยกตวประกอบของพหนำม โดยใชสมบตกำรแจกแจง 13 1.4กำรแยกตวประกอบของพหนำมดกรสองตวแปรเดยว 161.5กำรแยกตวประกอบของพหนำมดกรสอง ทเปนก�ำลงสองสมบรณ 331.6กำรแยกตวประกอบของพหนำมดกรสอง ทเปนผลตำงก�ำลงสอง 39
คณตศาสตรในชวตจรง 47 สรปแนวคดหลก 48 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1 49
ทฤษฎบทพทำโกรส 502.1ทฤษฎบทพทำโกรส 52 2.2บทกลบของทฤษฎบทพทำโกรส 672.3กำรน�ำควำมรเกยวกบทฤษฎบทพทำโกรส และบทกลบไปใชในชวตจรง 72
คณตศาสตรในชวตจรง 84 สรปแนวคดหลก 85 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 2 86
พนทผวและปรมำตร 903.1ควำมรเกยวกบปรมำตร 92 3.2ปรซม 933.3ทรงกระบอก 117
คณตศาสตรในชวตจรง 132 สรปแนวคดหลก 134 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 3 135
กจกรรมคณตศำสตรเชงสะเตม 246อภธำนศพท 248บรรณำนกรม 251
สถต 1364.1กำรน�ำเสนอกำรวเครำะหและกำรแปลควำมหมำย ขอมล 138 4.2คำกลำงของขอมล 1634.3กำรเลอกและกำรใชคำกลำงของขอมล 1804.4กำรใชควำมรเกยวกบสถตประกอบกำรตดสนใจ 188
คณตศาสตรในชวตจรง 194 สรปแนวคดหลก 195 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 4 196
กำรใหเหตผลเกยวกบกำรสรำงทำง 200
เรขำคณต 5.1ประโยคเงอนไขและบทกลบ 202 5.2กำรใหเหตผลเกยวกบกำรสรำงทำงเรขำคณต 2085.3กำรน�ำควำมรเกยวกบกำรสรำงทำงเรขำคณต และกำรใหเหตผลไปใชในชวตจรง 233
คณตศาสตรในชวตจรง 240 สรปแนวคดหลก 241 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 5 243
หนวยกำรเรยนรท
4
หนวยกำรเรยนรท
5
QR Code หนา 62, 122, 214, 217, 221, 223, 224, 237
สำรบญ
กำรแยกตวประกอบของพหนำม 2 1.1กำรหำรพหนำม 4 1.2ตวประกอบของพหนำม 10 1.3กำรแยกตวประกอบของพหนำม โดยใชสมบตกำรแจกแจง 13 1.4กำรแยกตวประกอบของพหนำมดกรสองตวแปรเดยว 161.5กำรแยกตวประกอบของพหนำมดกรสอง ทเปนก�ำลงสองสมบรณ 331.6กำรแยกตวประกอบของพหนำมดกรสอง ทเปนผลตำงก�ำลงสอง 39
คณตศาสตรในชวตจรง 47 สรปแนวคดหลก 48 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1 49
ทฤษฎบทพทำโกรส 502.1ทฤษฎบทพทำโกรส 52 2.2บทกลบของทฤษฎบทพทำโกรส 672.3กำรน�ำควำมรเกยวกบทฤษฎบทพทำโกรส และบทกลบไปใชในชวตจรง 72
คณตศาสตรในชวตจรง 84 สรปแนวคดหลก 85 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 2 86
พนทผวและปรมำตร 903.1ควำมรเกยวกบปรมำตร 92 3.2ปรซม 933.3ทรงกระบอก 117
คณตศาสตรในชวตจรง 132 สรปแนวคดหลก 134 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 3 135
หนวยกำรเรยนรท
หนวยกำรเรยนรท
1
หนวยกำรเรยนรท
2
3
คณตศำสตร ชนมธยมศกษำปท 2 เลม 2
ควรรกอนเรยน
พหนาม
นพจนทอยในเอกนามหรอเขยนใหอยในรปการบวกของเอกนามตงแตสองเอกนามขนไป
เรยกวา “พหนาม” และดกรสงสดของพหนามทอยในรปผลสาเรจทไมมพจนทคลายกน เรยกวา
“ดกรของพหนาม”
การบวกและการลบพหนาม
1. การหาผลบวกของพหนาม ทาไดโดยนาพหนามมาเขยนในรปการบวก จากนนบวกพจน
ทคลายกนในแตละพหนามเขาดวยกน
ตวอยาง (2x2 + 3y2) + (5x2 + 7y2) = (2x2 + 5x2) + (3y2 + 7y2) = 7x2 + 10y2
2. การหาผลลบของพหนาม ใชหลกการ ดงน
พหนามตวตง - พหนามตวลบ = พหนามตวตง + พหนามตรงขามของตวลบ
ตวอยาง (2x2y + 7y2) - (6x2y + 5y2) = (2x2y + 7y2) + [-(6x2y + 5y2)]
= 2x2y + 7y2 - 6x2y - 5y2
= -4x2y + 2y2
การคณพหนาม
1. การคณระหวางเอกนามกบพหนาม ทาไดโดยใชสมบตการแจกแจง
ตวอยาง (5x)(3x - 2y) = 15x2 - 10xy
2. การคณระหวางพหนามกบพหนาม ทาไดโดยนาแตละพจนของพหนามหนงมาคณ
กบทก ๆ พจนของอกพหนามหนง จากนนนาผลคณทงหมดมาบวกกน
ตวอยาง (2x + 3)(3x - 2) = 2x(3x - 2) + 3(3x - 2) = 6x2 - 4x + 9x - 6 = 6x2 + 5x - 6การหารพหนาม
การหารพหนามดวยเอกนาม ทาไดโดยหารแตละพจนของพหนามตวตงดวยเอกนาม
ทเปนตวหาร จากนนนาผลหารแตละพจนมาบวก
หรอลบกน ถาไดผลหารเปนพหนาม จะกลาววา
การหารนนเปนการหารลงตว
ตวอยาง 4x3 - 8x2x = 4x3
2x - 8x2x = 2x2 - 4
ตรวจสอบผลหาร (2x)(2x2 - 4) = 4x3 - 8x ตวหาร × ผลหาร = ตวตง
แบบทดสอบพนฐานกอนเรยน
การแยกตวประกอบของพหนาม 3
ตวชวด
• เขาใจและใชการแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ในการแกปญหาคณตศาสตร (ค 1.2 ม.2/2)
สาระการเรยนรแกนกลาง
• การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใช
- สมบตการแจกแจง
- กาลงสองสมบรณ
- ผลตางของกาลงสอง
ดนสอสไม เปนอปกรณเครองเขยนทนกเรยนทกคนเคยใชใน
การระบายสรปภาพ ดนสอสไมมสวนประกอบหลกอย 2 สวน ไดแก
ไสดนสอส และตวดนสอสททามาจากไม ดนสอสไมทรงกระบอก
ทยงไมไดเหลาแทงหนงยาว 18 เซนตเมตร มรศมยาว 4 มลลเมตร
และไสดนสอสมรศมยาว 1 มลลเมตร
นกเรยนสามารถ
ใชความรเกยวกบ
การแยกตวประกอบพหนาม
ชวยในการËÒ»ÃÔÁҵâͧµÑÇ´Ô¹ÊÍÊÕäÁŒ
ไดอยางไร
Q.
การแยกตวประกอบของพหนาม
หนวยการเรยนรท
1
ทมา : คลงภาพ อจท.
x - 4 (-4x) ÷ x = -4
x - 4
(x + 1) × (-4) = -4x - 4
(-4x - 4) - (-4x - 4) = 0
4) หารพจนท 1 ของผลลบทไดจากขอ 3) ดวยพจนท 1 ของตวหาร จะไดพจนท 2
ของผลหาร
x + 1 x2 - 3x - 4
x2 + x
- 4x - 4
5) คณตวหารดวยพจนท 2 ของผลหารทได แลวนาไปลบออกจากตวตง โดยพจนทม
ดกรเทากนใหวางในตาแหนงตรงกน จะเหนไดวา ผลลบทไดเปนพหนาม 0 นนคอ
ไมมจานวนใหหารตอแลว จงหยดการหาร
x + 1 x2 - 3x - 4
x2 + x
- 4x - 4
- 4x - 4
0
ดงนน x2 - 3x - 4 หารดวย x + 1 ไดผลหารเทากบ x - 4 ตอบ
0 ÷ (x + 1) มผลหารเทากบ
เทาใด
Thinking Time
จากการหารพหนามในตวอยางท 1 จะเหนวา การหาร x2 - 4 - 3x ดวย x + 1
ไดผลหารเปน x - 4 และไมมเศษเหลอ หรอมเศษเปน 0 กลาวไดวา การหาร x2 - 4 - 3x ดวย x + 1 เปนการหารลงตว (exact division) ซงเขยนสมการแสดงความสมพนธไดวา
x2 - 4 - 3x = (x + 1)(x - 4)
จงหาผลลพธของการหารพหนามในแตละขอตอไปน
1) x2 + 6 - 5x หารดวย x - 22) x2 + 2x - 15 หารดวย x + 5
ลองทาด
การแยกตวประกอบของพหนาม 5
1.1 การหารพหนาม นกเรยนเคยศกษาเกยวกบการหารพหนามดวยเอกนามมาแลว หวขอตอไปนจะมาศกษา
เกยวกบการหารพหนามดวยพหนามทมสมประสทธของแตละพจนเปนจานวนเตม ซงสามารถ
ทาไดโดยใชวธตงหารยาว ดงตวอยางตอไปน
จงหาผลลพธของการหาร x2 - 4 - 3x ดวย x + 1
วธทา 1) เรยงลาดบพจนในพหนามทงตวตงและตวหาร จากพจนทมดกรมากไปพจนทม
ดกรนอยแลวนามาตงหาร
ตวตง x2 - 4 - 3x ตวหาร x + 1
เรยงลาดบพจนในพหนามของตวตง เรยงลาดบพจนในพหนามของตวหาร
จากพจนทมดกรมากไปพจนทมดกรนอย จากพจนทมดกรมากไปพจนทมดกรนอย
จะได x2 - 3x - 4 จะได x + 1
เมอนามาตงหาร จะได
x + 1 x2 - 3x - 4
2) หารพจนท 1 ของตวตงดวยพจนท 1 ของตวหาร จะไดพจนท 1 ของผลหาร
x + 1 x2 - 3x - 4
3) คณตวหารดวยพจนท 1 ของผลหารทได แลวนาไปลบออกจากตวตง โดยพจนทม
ดกรเทากนใหวางในตาแหนงตรงกน
x + 1 x2 - 3x - 4 x2 + x - 4x - 4
ตวอยางท 1
ดกรเทากบ 0
ดกรเทากบ 1
ดกรเทากบ 0
ดกรเทากบ 2ดกรเทากบ 1
พจนท 1 พจนท 2 พจนท 3
ตวตง x2 -3x -4
ตวหาร x 1
x x2 ÷ x = x
x
(x + 1) × x = x2 + x
(x2 - 3x - 4) - (x2 + x) = -4x - 4
4
จากกจกรรมคณตศาสตรจะเหนไดวา ความสมพนธระหวางตวตง ตวหาร และผลลพธของ
การหารจานวนเตมดวยจานวนเตม เปนดงน
ตวตง = (ตวหาร × ผลหาร) + เศษ
เมอใชความสมพนธขางตนในการตรวจสอบผลลพธในตวอยางท 1 และ 2 จะได
ตวอยางท 1 (x + 1)(x - 4) = x2 - 4x + x - 4 = x2 - 3x - 4 ตวอยางท 2 (x - 2)(x + 4) + 3 = x2 + 4x - 2x - 8 + 3 = x2 + 2x - 5
จะเหนวา ความสมพนธระหวางตวตง ตวหาร และผลลพธของการหารพหนามดวย
พหนาม เปนเชนเดยวกบความสมพนธระหวางตวตง ตวหาร และผลลพธของการหารจานวนเตม
ดวยจานวนเตม ดงน
ตวตง = (ตวหาร × ผลหาร) + เศษ
เมอผลหารเปนพหนาม และเศษเปนศนยหรอเปนพหนามทมดกรนอยกวาดกรของตวหาร
กจกรรม คณตศาสตร
ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹µÃǨÊͺ¼ÅÅѾ �¢Í§¡ÒÃËÒèӹǹàµçÁ ŒÇ¨ӹǹàµçÁ·Õè¡Ó˹´ áŌǵͺ¤Ó¶ÒÁ
µ‹Í仹Õé â´Â·Óŧã¹ÊÁØ
ตวตง ตวหาร ผลลพธ เศษ
7,182 21 …………………………… ……………………………
8,227 32 …………………………… ……………………………
40,950 75 …………………………… ……………………………
1. นกเรยนใชวธการใดในการตรวจสอบผลลพธขางตน
2. จากตาราง นกเรยนสามารถเขยนความสมพนธระหวางตวตง ตวหาร และผลลพธของการหาร
จานวนเตมดวยจานวนเตมไดวาอยางไร
3. ใหนกเรยนใชความสมพนธในขอ 2. ชวยในการตรวจสอบผลลพธของการหารพหนามดวย
พหนามในตวอยางท 1 และ 2 แลวพจารณาวาสามารถใชความสมพนธในขอ 2. ตรวจสอบ
ผลลพธของการหารพหนามดวยพหนามไดหรอไม
การแยกตวประกอบของพหนาม 7
จงหาผลลพธของการหาร x2 + 2x - 5 ดวย x - 2
วธทา จากวธทาในตวอยางท 1 จะไดวา
x - 2 x2 + 2x - 5
x2 - 2x
4x - 5
4x - 8
3
ดงนน x2 + 2x - 5 หารดวย x - 2 ไดผลหารเทากบ x + 4 เศษ 3 ตอบ
ตวอยางท 2
x + 4
x2 ÷ x = x
4x ÷ x = 4
(x - 2) × x = x2 - 2x
(x2 + 2x - 5) - (x2 - 2x) = 4x - 5
(x - 2) × 4 = 4x - 8
(4x - 5) - (4x - 8) = 3
การหารพหนามดวยพหนาม
จะดาเนนการหารไปเรอย ๆ จน
กระทง ผลลบทไดจากการนา
ตวตงลบดวยผลคณระหวางตว
หารกบผลหารเปนศนยหรอเปน
พหนามทมดกรนอยกวาตวหาร
¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ
จากการหารพหนามในตวอยางท 2 จะเหนวา การหาร x2 + 2x - 5 ดวย x - 2 ไดผลหาร
เปน x + 4 และมเศษเปน 3 กลาวไดวา การหาร x2 + 2x - 5 ดวย x - 2 เปนการหารไมลงตว
(inexact division) ซงเขยนสมการแสดงความสมพนธไดวา
x2 + 2x - 5 = (x - 2)(x + 4) + 3
นกเรยนคดวา การหาร x2 + 2x - 5 ดวย x + 4 จะมผลลพธเปนเทาใด
Thinking Time
จงหาผลลพธของการหารพหนามในแตละขอตอไปน
1) x2 - 5x - 4 หารดวย x - 62) x2 + 9x + 20 หารดวย x + 7
ลองทาด
6
ตรวจสอบคาตอบ
(2x - 5)(2x2 + 2x + 5) + 8= 4x3 + 4x2 + 10x - 10x2 - 10x - 25 + 8= 4x3 - 6x2 - 17
จงหาผลลพธของการหาร 5y3 + 6y2 - 17y - 31 ดวย y2 - 4y - 5 พรอมตรวจสอบคาตอบ
วธทา y2 - 4y - 5 5y3 + 6y2 - 17y - 31
5y3 - 20y2 - 25y
26y2 + 8y - 31
26y2 - 104y - 130
112y + 99
ดงนน ผลลพธของการหาร 5y3 + 6y2 - 17y - 31
ดวย y2 - 4y - 5 เทากบ 5y + 26 เศษ 112y + 99 ตอบ
ตวอยางท 5
5y + 26
112y + 99 เปนพหนามทเปนตวตง มดกรเทากบ 1 ซงมดกรนอยกวา y2 - 4y - 5 เปนพหนามทเปนตวหารมดกรเทากบ 2 ดงนน จงหยดการหาร
á¹Ðá¹Ç¤Ô´
จงหาผลลพธของการหารพหนามในแตละขอตอไปน พรอมตรวจสอบคาตอบ
1) 8x3 + 6x + 55 หารดวย 2x + 32) 6x3 + 14x2 - 7x - 13 หารดวย 3x + 4
ลองทาด
จงหาผลลพธของการหารพหนามในแตละขอตอไปน พรอมตรวจสอบคาตอบ
1) 4y3 - 10y2 + 12y - 53 หารดวย y2 + 3y - 2
2) 2y3 - 7y2 + 79y - 36 หารดวย y2 - y + 5
ลองทาด
การแยกตวประกอบของพหนาม 9
ตรวจสอบคาตอบ
(y2 - 4y - 5)(5y + 26) + (112y + 99)
= 5y3 + 26y2 - 20y2 - 104y - 25y - 130 + 112y + 99
= 5y3 + 6y2 - 17y - 31
จงหาผลลพธของการหาร x3 + 5x2 - 7x - 39 ดวย x + 3 พรอมตรวจสอบคาตอบ
วธทา x + 3 x3 + 5x2 - 7x - 39
x3 + 3x2
2x2 - 7x 2x2 + 6x - 13x - 39
- 13x - 39
0
ดงนน x3 + 5x2 - 7x - 39 หารดวย x + 3 ไดผลหารเทากบ x2 + 2x - 13 ตอบ
จงหาผลลพธของการหาร 4x3 - 6x2 - 17 ดวย 2x - 5 พรอมตรวจสอบคาตอบ
วธทา 2x - 5 4x3 - 6x2 + (0)x - 17
4x3 - 10x2
4x2 + (0)x 4x2 - 10x 10x - 17
10x - 25
8
ดงนน 4x3 - 6x2 - 17 หารดวย 2x - 5
ไดผลหารเทากบ 2x2 + 2x + 5 เศษ 8 ตอบ
ตวอยางท 3
ตวอยางท 4
x2 + 2x - 13
2x2 + 2x + 5
พจารณา 4x3 - 6x2 - 17 จะ เหนว า เป นพหนาม ทประกอบดวยพจนทมดกร 3, 2 และ 0 ตามลาดบ ซงไมมพจน ท ม ด ก ร เ ท า ก บ 1 ในการตงหารจะทาใหเกดความสบสน จงเพมพจน (0)x เขาไปในพหนาม ซงพหนามดงกลาวยงคงเทาเดม
á¹Ðá¹Ç¤Ô´
จงหาผลลพธของการหารพหนามในแตละขอตอไปน พรอมตรวจสอบคาตอบ
1) x3 - 3x2 - 6x + 16 หารดวย x - 22) x3 + 4x2 - 7x + 30 หารดวย x + 6
ลองทาด
8
ตรวจสอบคาตอบ
(x + 3)(x2 + 2x - 13)= x3 + 2x2 - 13x + 3x2 + 6x - 39= x3 + 5x2 - 7x - 39
2x เปนตวประกอบของ 4x2 และ 6xy หรอไม เพราะเหตใด
วธทา พจารณา 4x2 ÷ 2x = 2x และ 6xy ÷ 2x = 3y
ดงนน 2x เปนตวประกอบของ 4x2 และ 6xy เพราะ 2x หาร 4x2
และ 6xy ลงตว ตอบ
ตวอยางท 6
จากตวอยางท 6 จะเหนวา 2x เปนตวประกอบของ 4x2 และ 6xy เรยก 2x วาเปน
ตวประกอบรวมของ 4x2 และ 6xy
กจกรรม คณตศาสตร
จงหาพหนามทเปนตวประกอบรวมของ 4x และ 2xy พหนามทหาร 4x ลงตว ไดแก ………………………………………………………………………………………………………………………
พหนามทหาร 2xy ลงตว ไดแก ………………………………………………………………………………………………………………………
ตวหารรวมของ 4x และ 2xy คอ …………………………………………………………………………………………………………………
ดงนน พหนามทเปนตวประกอบรวมของ 4x และ 2xy คอ ……………………………………………………………….
นกเรยนคดวา ตวหารรวมของพหนามกบตวประกอบรวมของพหนาม มความสมพนธกนอยางไร
ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹àµÔÁ¤ÓµÍºã¹ª‹Í§Ç‹Ò§ áŌǵͺ¤Ó¶ÒÁµ‹Í仹Õé â´Â·Óŧã¹ÊÁØ
จากกจกรรมคณตศาสตรจะเหนไดวา นกเรยนสามารถนาความรเกยวกบการหาตวหารรวม
มาชวยในการหาตวประกอบรวมของพหนามตงแตสองพหนามขนไปได
1) 3y เปนตวประกอบของ 9xy และ 12x2y หรอไม เพราะเหตใด
2) 5a เปนตวประกอบของ 5b และ 10ab3 หรอไม เพราะเหตใด
ลองทาด
การแยกตวประกอบของพหนาม 11
แบบฝกทกษะ 1.1ระดบ พนฐาน
1. จงหาผลลพธของการหารในแตละขอตอไปน
1) (x2 + 5x + 6) ÷ (x + 2) 2) (3x2 - 4x - 1) ÷ (x - 2)
3) (6x2 - 8x - 8) ÷ (3x + 2) 4) (2x2 + 5x + 4) ÷ (2x + 1)
5) (x3 + 7x2 + 7x - 15) ÷ (x + 3) 6) (2x3 + 7x2 + 14x - 21) ÷ (2x - 1)
7) (10x3 - 37x2 + 32x - 5) ÷ (2x - 5) 8) (8x3 - 6x2 - 5x + 3) ÷ (2x + 5)
9) (12x3 - x2 - 62x - 45) ÷ (4x2 - 7x - 9) 10) (2x3 - x2 - 8x + 15) ÷ (2x2 + 3x - 2)
2. จงหาผลลพธของการหารในแตละขอตอไปน
1) (2x4 - 3x3 + x2 + 4x - 5) ÷ (x + 1) 2) (3x4 + 2x2 + 3x - 3) ÷ (x + 1)
3) (x4 - 2x2 + 3x - 1) ÷ (x2 - 2x + 1) 4) (x4 + 10x3 + 36) ÷ (x2 + 5x + 6)
5) (3x4 + 21x + 15) ÷ (3x2 + 6x - 15) 6) (6x4 - 5x2 - 5x - 2) ÷ (2x2 + 1)
7) (x3 - 1) ÷ (x - 1) 8) (x4 + 2x2 + 1) ÷ (x - 1)
9) (x4 + x2 + 1) ÷ (x2 + 1) 10) (4x4 - 6x3 + 3) ÷ (2x2 - 3)
1.2 ตวประกอบของพหนามนกเรยนเคยทราบมาแลววา ตวประกอบของจานวนนบใด ๆ คอ จานวนนบทหารจานวนนบนน
ไดลงตว เชน
2 เปนตวประกอบของ 6 เพราะ 2 หาร 6 ลงตว
5 เปนตวประกอบของ 15 เพราะ 5 หาร 15 ลงตว
ในทานองเดยวกน ตวประกอบของพหนามใด ๆ คอ พหนามทหารพหนามนนลงตว เชน
3 เปนตวประกอบของ 3x เพราะ 3 หาร 3x ลงตว 4y เปนตวประกอบของ 4xy เพราะ 4y หาร 4xy ลงตว
ระดบ กลาง
10
พหนามทเปนตวประกอบแตละ
ตวจะมดกรตากว าพหนามท
กาหนด
¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ
¢ŒÍ¤ÇÃÃÐÇѧ
พจารณาการเขยน 6x2y + 15xyz ใหอยในรป A × B เมอ A เปนตวประกอบรวมของ 6x2y + 15xyz และ B เปนพหนาม
6x2y + 15xyz = 3xy(2x + 5z) เปนการแยกตวประกอบของพหนาม เนองจาก ไมสามารถหา
ตวประกอบรวมทไมใช 1 ของ 2x และ 5z ได
1.3 การแยกตวประกอบของพหนาม โดยใชสมบตการแจกแจง พจารณาพหนาม 6x2y + 15xyz ซงสามารถเขยนใหอย ในรปของการคณกนของ
พหนามสองพหนามไดเปน 3xy(2x + 5z) นนคอ 3xy และ 2x + 5z เปนตวประกอบของ
6x2y + 15xyz กลาวไดวา 3xy(2x + 5z) เปนการแยกตวประกอบของพหนาม (factorization of
polynomials) 6x2y + 15xyz
พหนามทกาหนด พหนามทเปนตวประกอบพหนามทเปนตวประกอบ
6x2y + 15xyz = 3xy (2x + 5z)
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 4x + 12 2) 5x + 10y 3) 2x3 + 3xy
วธทา 1) ตวประกอบรวมของ 4x และ 12 คอ 4 ดงนน 4x + 12 = 4(x + 3)
2) ตวประกอบรวมของ 5x และ 10y คอ 5 ดงนน 5x + 10y = 5(x + 2y)
3) ตวประกอบรวมของ 2x3 และ 3xy คอ x ดงนน 2x3 + 3xy = x(2x2 + 3y) ตอบ
ตวอยางท 8
การแยกตวประกอบของพหนาม 13
จงหาตวประกอบรวมของ 5x2 และ 10xy
วธทา ตวประกอบของ 5x2 ไดแก 1, 5, x, x2, 5x, 5x2
ตวประกอบของ 10xy ไดแก 1, 2, 5, 10, x, y, 2x, 2y, 5x, 5y, 10x, 10y, xy, 2xy, 5xy, 10xy
ดงนน ตวประกอบรวมของ 5x2 และ 10xy คอ 1, 5, x, 5x ตอบ
ตวอยางท 7
แบบฝกทกษะ 1.2ระดบ พนฐาน
1. จงพจารณาวาขอความตอไปนเปนจรงหรอเทจ
1) 2x เปนตวประกอบของ 6x3
2) 3x เปนตวประกอบของ 3xy2
3) 5xy เปนตวประกอบของ 10x2y
4) 4xy เปนตวประกอบของ 2x2y2
5) 12a2b เปนตวประกอบของ 24ab2
2. จงเขยนพหนามทเปนตวประกอบของพหนามทกาหนดใหในแตละขอมา 3 พหนาม
1) 6xy 3) 10x2y
5) xyz
2) 2xy2
4) 7x2y2
6) 5xyz
ระดบ กลาง
3. จงเขยนพหนามทเปนตวประกอบรวมของพหนามทกาหนดใหในแตละขอ โดยพหนามทเปน
ตวประกอบรวมมสมประสทธเปนจานวนเตมมา 3 จานวน
1) 6x และ 8x 3) 5x2y และ 4xy2
2) 2xy และ 3xy 4) 7xyz และ 5yz
จงหาตวประกอบรวมของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 2y2 และ 6yz
2) 4a2b และ 12a3b
ลองทาด
12
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) ax + ay + bx + by 2) 7x2z - 2x2 - 2y + 7yz
ลองทาด
(a - b) เปนตวประกอบรวมของx(a - b) และ y(a - b)
(3x2 - 1) เปนตวประกอบรวมของx(3x2 - 1) และ 7(3x2 - 1)
แบบฝกทกษะ 1.3ระดบ พนฐาน
1. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 4 + 6x 3) 2x + 8y 5) 3x2y + 9xy2
2) 3y - 6
4) 5x2 - 15x 6) 4xyz + 6xy2z - 8x2yz
2. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) x(x + y) + 2(x + y) 3) x(x - y) - z(x - y) 5) a(x + y + z) - b(x + y + z)
2) x(x + 3) - 5(x + 3) 4) a(x + y) + b(x + y) 6) a(x + y) + b(x + y) + c(x + y)
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) ax - by - bx + ay 2) 3x3 - x + 21x2 - 7
วธทา 1) ax - by - bx + ay = (ax - bx) + (ay - by) = x(a - b) + y(a - b) = (a - b)(x + y) ดงนน ax - by - bx + ay = (a - b)(x + y)
2) 3x3 - x + 21x2 - 7 = (3x3 - x) + (21x2 - 7)
= x(3x2 - 1) + 7(3x2 - 1)
= (3x2 - 1)(x + 7) ดงนน 3x3 - x + 21x2 - 7 = (3x2 - 1)(x + 7) ตอบ
ตวอยางท 10
การแยกตวประกอบของพหนาม 15
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน โดยใชสมบตการแจกแจง
1) 12x3y2 - 9x2y3 2) 16xz2 + 18x2z3 - 6x2z2
วธทา 1) ตวประกอบรวมของ 12x3y2 และ 9x2y3 คอ 3x2y2
ดงนน 12x3y2 - 9x2y3 = 3x2y2(4x - 3y)
2) ตวประกอบรวมของ 16xz2, 18x2z3 และ 6x3z4 คอ 2xz2
ดงนน 16xz2 + 18x2z3 - 6x3z4 = 2xz2(8 + 9xz - 3x2z2) ตอบ
ตวอยางท 9
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 3x + 9 2) 4x + 6y 3) 7x2 - 5xy
ลองทาด
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน โดยใชสมบตการแจกแจง
1) 30xy2 - 25x2y 2) 20x4y3 - 18x3y4 + 22x4y5
ลองทาด
จากตวอยางท 8 เมอคณพหนามทไดจากการแยกตวประกอบ โดยใชสมบตการแจกแจง
จะไดพหนามทกาหนดให จงกลาวไดวา ตวอยางท 8 เปนการแยกตวประกอบโดยใชสมบต
การแจกแจง
ถา a, b และ c เปนพหนาม แลวสามารถแยกตวประกอบของพหนาม ab + ac
โดยใชสมบตการแจกแจงไดเปน a(b + c) นนคอ ab + ac = a(b + c)
ในบางครง การแยกตวประกอบของพหนามทมหลายพจนไมสามารถใชสมบตการแจกแจง
มาใชแยกตวประกอบไดทนท แตเมอจดเรยงพจนในพหนามดงกลาวใหม โดยใชสมบตการเปลยน
หมหรอการสลบทแลวสามารถแยกตวประกอบได ดงตวอยางตอไปน
14
พหนามทเขยนไดในรป ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนคาคงตวท a ≠ 0 และ x เปนตวแปร เรยกวา พหนามดกรสองตวแปรเดยว
จงบอกคา a, b, c ของพหนามดกรสองตวแปรเดยวในแตละขอตอไปน
ซงอยในรป ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนคาคงตวท a ≠ 0 และ x เปนตวแปร
1) 4x2 + 5x + 63) 3x2 - 12
2) 2x2 - 7x - 94) 5x2 - 15x
วธทา 1) 4x2 + 5x + 6 เทยบกบ ax2 + bx + c จะได a = 4, b = 5 และ c = 6
2) 2x2 - 7x - 9 เทยบกบ ax2 + bx + c จะได a = 2, b = -7 และ c = -9
3) 3x2 - 12
เทยบกบ ax2 + bx + c จะได a = 3, b = 0 และ c = -12
4) 5x2 - 15x เทยบกบ ax2 + bx + c จะได a = 5, b = -15 และ c = 0 ตอบ
ตวอยางท 11
จงบอกคา a, b, c ของพหนามดกรสองตวแปรเดยวในแตละขอตอไปน ซงอยในรป
ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนคาคงตวท a ≠ 0 และ x เปนตวแปร
1) 8x2 - 3x - 9 2) -4x2 + 1 3) 7x2 - 4x
ลองทาด
1. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a, b เปนจานวนเตม และ c = 0
พหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a, b เปนจานวนเตม และ c = 0 คอ พหนาม
ทอยในรป ax2 + bx เชน 2x2 + 4x, 3y2 - 9y, -4x2 - 8x เปนตน
การแยกตวประกอบของพหนามในรป ax2 + bx สามารถทาไดโดยใชสมบตการแจกแจง
ทเคยกลาวมาแลวในหวขอ 1.3 ดงตวอยางตอไปน
การแยกตวประกอบของพหนาม 17
ระดบ กลาง
3. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 6a(x + y) + 4a(x + y) 3) 8x2y(a + b) + 12xy2(a + b)
5) (x2 + xy) + (2x + 2y)
2) 3xy(a + b) - 6x(a + b) 4) 10(x + y) - 12(ax + ay) 6) 15x2y(a + b) - 10xy2(3a + 3b)
4. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) x2 - xz + xy - yz 3) 6x2 - 3xy + 2xy - xy
2) x3 - x2 + x - 1 4) 2ax2 + 3axy - 2bxy - 3by2
5. จงแยกตวประกอบของ a2x + abx - ac + aby - bc + by2
6. จงแยกตวประกอบของ x2 + y2 - 3x - 3y + 2xy
ระดบ ทาทาย
1.4 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ตวแปรเดยว พจารณาพหนามตอไปน
7x2 + 4x + 5 3x2 + 2x - 1 y2 - 3y - 4
x2 - 4
y2 - 8y
-x2 + 7x
พหนามขางตนเปนตวอยางของพหนามดกรสองตวแปรเดยว (quadratic polynomial in
one variable)
เมอพจารณาพหนามขางตน นกเรยนจะพบวา พหนามดงกลาวมตวแปรตวเดยว เชน
7x2 + 4x + 5 ม x เปนตวแปรเพยงตวเดยว y2 - 8y ม y เปนตวแปรเพยงตวเดยว และพหนาม
เหลานมดกรสงสดเทากบ 2 ในทางคณตศาสตร กลาวไดวา
นกเรยนคดวา พหนามดกรสอง
ตวแปรเดยวคออะไร
Thinking Time
16
พหนามทกาหนด m n b c
(x + 3)(x + 4)
(x - 3)(x - 4)
(x + 3)(x - 4)
(x - 3)(x + 4)
จากตาราง ตอบคาถามตอไปน
1) m และ n มความสมพนธกบ b อยางไร
2) m และ n มความสมพนธกบ c อยางไร
3. จากความสมพนธทไดในขอ 2. นกเรยนคดวา x2 + 6x - 7 สามารถแยกตวประกอบ
ไดอยางไร
3) (x + 3)(x - 4)
คณ x 4
x x2
3 -12
ดงนน (x + 3)(x - 4)
= …………………………………………
4) (x - 3)(x + 4)
คณ x 4
x x2
-3 -12
ดงนน (x - 3)(x + 4)
= …………………………………………
2. กาหนดให (x + m)(x + n) = x2 + bx + c เมอ b, c, m, n เปนจานวนเตม
พจารณาผลคณของพหนามทกาหนดในขอ 1. ใหอยในรปขางตน แลวเขยนลงในตาราง
ตอไปน
จากกจกรรมคณตศาสตรจะเหนไดวา การคณของพหนามทอยในรป (x + m)(x + n)
เมอ m, n เปนจานวนเตม ผลคณทไดจะอยในรป x2 + bx + c เมอ b และ c เปนจานวนเตม
และ c ≠ 0 กลาวไดวา
การแยกตวประกอบของพหนาม 19
พจารณาการแยกตวประกอบท
กาหนดใหตอไปนวาถกตองหรอไม
1) -4x2 - 8x = 4x(-x - 2)2) -7y2 + 49y = 7y(-y + 7)
Thinking Time
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 2x2 + 4x 2) 3y2 - 9y 3) -4x2 - 8x 4) -7y2 + 49y
วธทา 1) 2x2 + 4x = 2x(x + 2) 2) 3y2 - 9y = 3y(y - 3)
3) -4x2 - 8x = -4x(x + 2) 4) -7y2 + 49y = -7y(y - 7) ตอบ
ตวอยางท 12
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) x2 - x 2) 5y2 + 10y 3) -3x2 - 12 4) -11y2 + 44y
ลองทาด
2. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a = 1, b และ c เปนจานวนเตม และ c ≠ 0
พหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a = 1, b และ c เปนจานวนเตม และ c ≠ 0 คอ พหนามทอยในรป x2 + bx + c เชน x2 + 4x + 3, y2 - 5y - 6
กจกรรม คณตศาสตร
1. จงหาผลคณของพหนามในแตละขอตอไปน โดยใชตาราง
ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹·Ó¡Ô ¡ÃÃÁµ‹Í仹Õé â´Â·Óŧã¹ÊÁØ
1) (x + 3)(x + 4)
คณ x 4
x x2
3 12
ดงนน (x + 3)(x + 4)
= …………………………………………
2) (x - 3)(x - 4)
คณ x 4
x x2
-3 12
ดงนน (x - 3)(x - 4)
= …………………………………………
18
จงหาจานวนเตม m และ n ททาให m + n = b และ m × n = c เมอกาหนด b และ c ดงตอไปน
1) b = 16 และ c = 63
3) b = 1 และ c = -72
2) b = -11 และ c = 28
4) b = 0 และ c = -9
วธทา 1) b = 16 และ c = 63
c = 63 = 1 × 63
= 3 × 21
= 7 × 9
เนองจาก 7 + 9 = 16 และ 7 × 9 = 63
ดงนน m = 7 และ n = 9
2) b = -11 และ c = 28
c = 28 = 1 × 28 = (-1) × (-28)
= 2 × 14 = (-2) × (-14)
= 4 × 7 = (-4) × (-7)
เนองจาก (-4) + (-7) = -11 และ (-4) × (-7) = 28
ดงนน m = -4 และ n = -7
3) b = 1 และ c = -72
c = -72 = 1 × (-72) = (-1) × 72
= 2 × (-36) = (-2) × 36
= 3 × (-24) = (-3) × 24
= 4 × (-18) = (-4) × 18
= 6 × (-12) = (-6) × 12
= 8 × (-9) = (-8) × 9
เนองจาก (-8) + 9 = 1 และ (-8) × 9 = -72
ดงนน m = -8 และ n = 9
4) b = 0 และ c = -9
c = -9 = 1 × (-9) = (-1) × 9
= 3 × (-3)
เนองจาก 3 + (-3) = 0 และ 3 × (-3) = -9
ดงนน m = 3 และ n = -3 ตอบ
ตวอยางท 13
ในการหา m และ n นกเรยนคดวา
ควรหาจาก m × n = c กอน หรอ
หาจาก m + n = b กอน
Thinking Time
การแยกตวประกอบของพหนาม 21
(x + m)(x + n) = x2 + bx + c เมอ b, c, m, n เปนจานวนเตม และ c ≠ 0
เมอพจารณาความสมพนธระหวาง b, c, m และ n ของพหนามทกาหนดใหในกจกรรม
คณตศาสตร จะไดวา
b = m + n และ c = m × n
โดยใชสมบตของการเทากน จะกลาวไดวา
x2 + bx + c = (x + m)(x + n) เมอ b, c, m, n เปนจานวนเตม และ c ≠ 0
โดยท b = m + n และ c = m × n
จากกจกรรมคณตศาสตร เมอพจารณาเครองหมายหนาสมประสทธของพหนามและ
ตวประกอบทอยในรป x2 + bx + c = (x + m)(x + n) เมอ b, c, m, n เปนจานวนเตม และ c ≠ 0 โดยท b = m + n และ c = m × n พบวา
x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) = (x + 4)(x + 3)
b เปนจานวนเตมบวก และ c เปนจานวนเตมบวก กตอเมอ
m เปนจานวนเตมบวก และ n เปนจานวนเตมบวก
x2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = (x - 4)(x - 3)
b เปนจานวนเตมลบ และ c เปนจานวนเตมบวก กตอเมอ
m เปนจานวนเตมลบ และ n เปนจานวนเตมลบ
x2 - x - 12 = (x + 3)(x - 4) = (x - 4)(x + 3)
b เปนจานวนเตมลบ และ c เปนจานวนเตมลบ กตอเมอ
m เปนจานวนเตมบวก, n เปนจานวนเตมลบ และ �m� < �n�
หรอ m เปนจานวนเตมลบ, n เปนจานวนเตมบวก และ
�m� > �n�
x2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4) = (x + 4)(x - 3)
b เปนจานวนเตมบวก และ c เปนจานวนเตมลบ กตอเมอ
m เปนจานวนเตมลบ, n เปนจานวนเตมบวก และ �m� < �n�
หรอ m เปนจานวนเตมบวก, n เปนจานวนเตมลบ และ
�m� > �n�
20
b = -9 และ c = -90
b = -24 และ c = 144
b = 0 และ c = -144
จงแยกตวประกอบของ x2 - 9x - 90
วธทา เนองจาก 6 × (-15) = -90
และ 6 + (-15) = -9
ดงนน x2 - 9x - 90 = (x + 6)[x + (-15)] = (x + 6)(x - 15) ตอบ
จงแยกตวประกอบของ x2 - 24x + 144
วธทา เนองจาก (-12) × (-12) = 144
และ (-12) + (-12) = -24
ดงนน x2 - 24x + 144 = [x + (-12)][x + (-12)] = (x - 12)(x - 12) ตอบ
จงแยกตวประกอบของ x2 - 144
วธทา เนองจาก (-12) × 12 = -144
และ (-12) + 12 = 0
ดงนน x2 - 144 = [x + (-12)](x + 12) = (x - 12)(x + 12) ตอบ
ตวอยางท 17
ตวอยางท 18
ตวอยางท 19
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) x2 + 17x + 303) x2 + 12x - 64
2) x2 - 15x + 504) x2 - 6x - 72
ลองทาด
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) x2 - 26x + 169 2) x2 - 169
ลองทาด
x2 - 144 เปนพหนามทอยในรป
x2 + bx + c หรอไม
Thinking Time
การแยกตวประกอบของพหนาม 23
จงหาจานวนเตม m และ n ททาให m + n = b และ m × n = c เมอกาหนด b และ c ดงตอไปน
1) b = -13 และ c = 36
3) b = -3 และ c = -108
2) b = 18 และ c = 77
4) b = 0 และ c = -16
ลองทาด
จงแยกตวประกอบของ x2 + 15x + 44
วธทา เนองจาก 4 × 11 = 44
และ 4 + 11 = 15
ดงนน x2 + 15x + 44 = (x + 4)(x + 11) ตอบ
จงแยกตวประกอบของ x2 - 16x + 48
วธทา เนองจาก (-4) × (-12) = 48
และ (-4) + (-12) = -16
ดงนน x2 - 16x + 48 = [x + (-4)][x + (-12)] = (x - 4)(x - 12) ตอบ
จงแยกตวประกอบของ x2 + 14x - 72
วธทา เนองจาก (-4) × 18 = -72
และ (-4) + 18 = 14
ดงนน x2 + 14x - 72 = [x + (-4)](x + 18) = (x - 4)(x + 18) ตอบ
ตวอยางท 14
ตวอยางท 15
ตวอยางท 16
b = 15 และ c = 44
b = -16 และ c = 48
b = 14 และ c = -72
22
4. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) x2 + 21x + 54
3) x2 + 23x + 132
5) x2 + 6x - 112
7) x2 + 33x - 108
9) x2 - 14x - 95
11) y2 - 2y - 195
13) 36 - 15x + x2
15) 70 - 17x + x2
17) 195 + x2 - 28x
19) a2 - 169
2) x2 - 18x + 65
4) x2 - 30x + 104
6) x2 - 3x - 108
8) x2 + 15x - 154
10) x2 - 17x - 84
12) a2 - 79a - 332
14) 42 - 13a + a2
16) 232 + 37x + x2
18) 225 + m2 + 34m
20) b2 - 196
5. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) -x2 - 37x - 232
3) -x2 + 28x - 115
5) 116 - 25x - x2
7) 136 + 9x - x2
9) x2 - 729
11) -361 + x2
2) -a2 + 19a + 372
4) -x2 - 24x + 217
6) 336 - 34x - x2
8) 138 + 17x - x2
10) x2 - 289
12) -529 + x2
ระดบ กลาง
ระดบ ทาทาย
การแยกตวประกอบของพหนาม 25
สาหรบพหนามดกรสองบางจานวน เชน x2 + 6x + 1 เมอเทยบกบ x2 + bx + c จะไดb = 6 และ c = 1 นกเรยนจะพบวา ไมสามารถหา m และ n ททาให m × n = 1 และ m + n = 6
กลาวไดวา ไมสามารถเขยนพหนาม x2 + 6x + 1 ใหอยในรปการคณของพหนามดกร
หนงสองจานวนทมสมประสทธเปนจานวนเตม นนคอ ไมสามารถแยกตวประกอบของพหนาม
x2 + 6x + 1 โดยใชเงอนไขขางตนได
แบบฝกทกษะ 1.4 กระดบ พนฐาน
1. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 2x2 + x
3) -8x - 104x2
2) 9y2 - 36y
4) -6y2 + 2y
2. จงหาจานวนเตม m และ n ททาให m + n = b และ m × n = c เมอกาหนด b และ c
ดงตอไปน
1) b = 15 และ c = 56
3) b = 12 และ c = -64
5) b = -24 และ c = 108
7) b = -16 และ c = -105
9) b = 0 และ c = -25
2) b = -18 และ c = 81
4) b = -8 และ c = -65
6) b = 21 และ c = 90
8) b = -10 และ c = 25
10) b = 0 และ c = -100
3. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) x2 - 8x
3) -y2 + 9y
5) x2 + 9x + 2x + 10
7) x2 + 7x - 3x - 21
9) x2 + 12x + 32
11) x2 + 6x - 16
13) x2 - 36
2) 4x2 - 8x
4) -8x2 - 16x
6) x2 - 7x - 6x + 12
8) x2 - 9x + 3x - 27
10) x2 - 13x + 42
12) x2 - 6x - 40
14) x2 - 121
24
จากกจกรรมคณตศาสตร เพอใหงายตอการกลาวถง จะกาหนดใหเรยกพจนในพหนามวา
พจนหนา 2x2 + 7x + 3 พจนหลง
พจนกลาง
พจารณาการหาผลคณของ (2x + 1)(x + 3) จะพบวา (2x + 1)(x + 3) = 2x2 + 7x + 3
เมอพจารณาพจนกลางของพหนามทเปนผลคณ สามารถกลาวไดวา
พจนกลางของพหนามทเปนผลคณไดมาจากผลคณของพจน
ในวงเลบทอยใกลกน บวกกบผลคณของพจนในวงเลบทอย
ไกลกน
พจนกลาง = (ใกล × ใกล) + (ไกล × ไกล)
ไกล × ไกล
ใกล × ใกล
(2x + 1)(x + 3)
จากสมบตการเทากน จะไดวา 2x2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3) ซงเปนการแยกตวประกอบ
ของ 2x2 + 7x + 3 จงสามารถสรปเกยวกบวธการแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป
ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนจานวนเตม และ a ≠ 0, a ≠ 1, c ≠ 0 ไดดงตวอยางตอไปน
พจารณาการแยกตวประกอบของ 6x2 + 19x + 10
พจนหนา 6x2 + 19x + 10 พจนหลง
พจนกลาง
พจนหนาของพหนามทเปนผลคณเกดจากพจนหนาของแตละวงเลบคณกน
2x × x = 2x2
พจนหลงของพหนามทเปนผลคณเกดจากพจนหลง
ของแตละวงเลบคณกน
1 × 3 = 3
พจนกลางของพหนามทเปนผลคณเกดจากผลคณของพจนหนาในวงเลบแรกกบพจนหลง
ในวงเลบหลง บวกกบผลคณของพจนหลงในวงเลบแรกกบพจนหนาในวงเลบหลง
(2x × 3) + (1 × x) = 6x + x = 7x
(2x + 1)(x + 3)
3
x
2x2
6x
การแยกตวประกอบของพหนาม 27
3. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนจานวนเตม และ a ≠ 0, a ≠ 1, c ≠ 0
พหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนจานวนเตม และ a ≠ 0, a ≠ 1, c ≠ 0 เชน 5x2 + 4x - 1 20a2 + 77a + 18
3y2 - 40y + 117
9m2 - 16
นกเรยนจะไดศกษาการแยกตวประกอบของพหนามรปแบบดงกลาวจากกจกรรม
คณตศาสตรตอไปน
กจกรรม คณตศาสตร
พจารณาการหาผลคณของ (2x + 1)(x + 3) แลวตอบคาถามตอไปน
(2x + 1)(x + 3)
= 2x2 + 6x + x + 3
= 2x2 + 7x + 3
1. 2x2 ไดจากการคณกนของพจนใด
2. 7x ไดจากการคณกนของพจนใดบาง
3. 3 ไดจากการคณกนของพจนใด
คณ x 3
2x 2x2 6x1 x 3
26
การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองดงเชนตวอยางทกลาวมา ทตองแยกตวประกอบ
ของพจนหนาทมสมประสทธของตวแปร x2 ทไมใช 1 และตวประกอบของพจนหลง เพอหาพจน
กลางทถกตอง กรณทสมประสทธหรอพจนหลงแยกตวประกอบไดหลายแบบ จะเสยเวลามาก
นกเรยนอาจลองแยกตวประกอบของสมประสทธของตวแปร x2 และแยกตวประกอบของพจนหลง
แลวจบคหาสมประสทธของพจนกลางทถกตองไวกอนนาไปใสวงเลบ เชน
จาก 6x2 + 19x + 10
6 อาจแยกตวประกอบเปน 1 × 6 10 อาจแยกตวประกอบเปน 1 × 10
หรอ 2 × 3 หรอ 2 × 5
ลองจบคจานวนทแยกได แลวเลอกคทบวกลบกนไดเทากบสมประสทธของพจนกลาง
เชน เลอก 6 แยกตวประกอบเปน 2 × 3
เลอก 10 แยกตวประกอบเปน 2 × 5
ถาให 2 คณคกบ 2 จะได 4
ถาให 3 คณคกบ 5 จะได 15
จะเหนวา 4 + 15 = 19 เทากบสมประสทธของพจนกลางพอด จงนาไปใสในวงเลบ
โดยใหได (ใกล × ใกล) + (ไกล × ไกล) เทากบ 19 อาจใสเปนขนตอน ดงน
(2x )(3x ) ใสพจนหนากอน
(2x + 5)(3x + 2) ใสพจนหลง
(2x + 5)(3x + 2) ตรวจสอบพจนกลาง 4x + 15x = 19x
เพอเพมความเขาใจ ใหนกเรยนศกษาเพมเตมไดจากตวอยางตอไปน
พจารณาการแยกตวประกอบของ 6x2 + 5x - 216x2 + 5x - 21
6 อาจแยกตวประกอบเปน 1 × 6 21 อาจแยกตวประกอบเปน 1 × 21
หรอ 2 × 3 หรอ 3 × 7
ลองจบคจานวนทแยกได
เชน เลอก 6 แยกตวประกอบเปน 2 × 3
เลอก 21 แยกตวประกอบเปน 3 × 7
15x
4x
การแยกตวประกอบของพหนาม 29
1. พจนหนา คอ 6x2 แยกตวประกอบไดเปน x × 6x หรอ 2x × 3x 2. พจนหลง คอ 10 แยกตวประกอบไดเปน 1 × 10
หรอ 2 × 5
3. นาตวประกอบของพจนหนาและพจนหลงไปจดใหอยในรปการคณกนของพหนามสอง
พหนาม จะไดเปน
1) (x + 1)(6x + 10) 3) (2x + 1)(3x + 10) 5) (x + 10)(6x + 1) 7) (2x + 10)(3x + 1)
2) (x + 2)(6x + 5) 4) (2x + 2)(3x + 5) 6) (x + 5)(6x + 2) 8) (2x + 5)(3x + 2)
รวมทงหมด 8 กรณ
4. หาพจนกลางของแตละกรณ โดยตองพจารณาเลอกกรณททาใหพจนกลางเปน 19x ไดจาก
พจนกลาง = (ใกล × ใกล) + (ไกล × ไกล)
จะไดวา
1) (1 × 6x) + (x × 10) = 6x + 10x = 16x 2) (2 × 6x) + (x × 5) = 12x + 5x = 17x 3) (1 × 3x) + (2x × 10) = 3x + 20x = 23x 4) (2 × 3x) + (2x × 5) = 6x + 10x = 16x 5) (10 × 6x) + (x × 1) = 60x + x = 61x 6) (5 × 6x) + (x × 2) = 30x + 2x = 32x 7) (10 × 3x) + (2x × 1) = 30x + 2x = 32x 8) (5 × 3x) + (2x × 2) = 15x + 4x = 19x
จะเหนไดวา กรณท 8) ทาใหไดพจนกลางเปน 19x ดงนน 6x2 + 19x + 10 แยกตวประกอบไดเปน
6x2 + 19x + 10 = (2x + 5)(3x + 2)
ซงสามารถตรวจสอบคาตอบไดโดยการคณตวประกอบทได ดงน
(2x + 5)(3x + 2) = 6x2 + 4x + 15x + 10 = 6x2 + 19x + 10
28
จงแยกตวประกอบของ -4x2 + 20x - 25
วธทา -4x2 + 20x - 25 = -(4x2 - 20x + 25) = -[(2x - 5)(2x - 5)] = -(2x - 5)2
ตรวจสอบคาตอบ
พจนหนา = 4x2
พจนกลาง = (-10x) + (-10x) = -20x พจนหลง = 25
จะได (2x - 5)2 = 4x2 - 20x + 25 ดงนน -(2x - 5)2 = -(4x2 - 20x + 25) = -4x2 + 20x - 25 ตอบ
ตวอยางท 21
4) 24a2 - 42a - 27 = (4a - 9)(6a + 3)
ตรวจสอบคาตอบ
พจนหนา = 24a2
พจนกลาง = (-54a) + 12a = -42a
พจนหลง = -27 ตอบ
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 6y2 + 17y + 12
3) 8x2 - 22x + 15
2) 6b2 + b - 12
4) 15n2 - 9n - 42
ลองทาด
คณ 6a 3
4a 24a2 12a
-9 -54a -27
24 = 4 × 6
27 = 3 × 9
คณ 2x -5
2x 4x2 -10x
-5 -10x 25
4 = 2 × 2
25 = 5 × 5
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) -3x2 + 10x + 8 2) -25x2 - 30x - 9
ลองทาด
การแยกตวประกอบของพหนาม 31
ถาให 2 คณคกบ 7 จะได 14
ถาให 3 คณคกบ 3 จะได 9
ตองการสมประสทธของพจนกลางเปน 5 ไดจาก 14 + (-9) จงนาไปใสในวงเลบ
(2x )(3x ) ใสพจนหนากอน
(2x - 3)(3x + 7) ใสพจนหลง ใหสงเกตเครองหมายในวงเลบ
(2x - 3)(3x + 7) ตรวจสอบพจนกลาง 14x + (-9x) = 5x
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 20x2 + 53x + 183) 13x2 + 69x - 54
2) 6m2 - 38m + 56
4) 24a2 - 42a - 27
วธทา 1) 20x2 + 53x + 18 = (4x + 9)(5x + 2) ตรวจสอบคาตอบ
พจนหนา = 20x2
พจนกลาง = 45x + 8x = 53x พจนหลง = 18
2) 6m2 - 38m + 56 = (2m - 8)(3m - 7)
ตรวจสอบคาตอบ
พจนหนา = 6m2
พจนกลาง = (-24m) + (-14m) = -38m
พจนหลง = 56
3) 13x2 + 69x - 54 = (x + 6)(13x - 9) ตรวจสอบคาตอบ
พจนหนา = 13x2
พจนกลาง = 78x + (-9x) = 69x พจนหลง = -54
ตวอยางท 20
-9x
14x
คณ 5x 2
4x 20x2 8x
9 45x 18
20 = 4 × 5
18 = 9 × 2
คณ 3m -7
2m 6m2 -14m
-8 -24m 56
6 = 2 × 3
56 = 7 × 8
คณ 13x -9
x 13x2 -9x
9 78x -54
13 = 1 × 13
54 = 6 × 9
30
ระดบ กลาง
2. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 27 - 30x + 8x2
3) -28x2 + 23x + 15 5) -33x2 - 67x + 56 7) 12x2 - 38x -14 9) 24x2 + 90x - 81
2) 21 - 65x + 24x2
4) -18x2 - 59x +14 6) -39x2 + 31x + 28 8) 18x2 - 75x + 72 10) 105x2 - 39x - 12
3. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 6(x - 3)2 + (x - 3) - 12
3) 9(x - 7)2 - 6(x - 7) + 1
5) (x - 3)2 + 13(x2 - 3x) + 40x2
2) 10 - 19(a + 1) - 15(a + 1)2
4) -9 + 42(x - 2) - 49(x - 2)2
6) (x + 2)2 - 18(x2 + 2x) + 81x2
ระดบ ทาทาย
1.5 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ทเปนกาลงสองสมบรณ จากหวขอทผานมา นกเรยนไดเรยนรเกยวกบการแยกตวประกอบของพหนามทอยในรป
ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนจานวนเตม และ a ≠ 0 ถาตวประกอบทไดอยในรปผลคณของ
พหนามทเหมอนกนสองพหนาม จะเรยกพหนาม ax2 + bx + c วา พหนามดกรสองทเปนกาลง
สองสมบรณ
จงพจารณาวา พหนามในแตละขอตอไปนเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณหรอไม
1) x2 + 6x + 93) 4x2 - 12x + 9
2) x2 - 2x - 84) 4x2 + 5x + 1
วธทา 1) x2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3) = (x + 3)2
ดงนน x2 + 6x + 9 เปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ
ตวอยางท 23
การแยกตวประกอบของพหนาม 33
จงแยกตวประกอบของ 8x2 + 26x + 20
วธทา
วธท 1 8x2 + 26x + 20 = 2(4x2 + 13x + 10) = 2(4x + 5)(x + 2)
วธท 2 8x2 + 26x + 20 = (8x + 10)(x + 2) = 2(4x + 5)(x + 2)
วธท 3 8x2 + 26x + 20 = (4x + 5)(2x + 4) = (4x + 5)[2(x + 2)] = 2(4x + 5)(x + 2) ตอบ
ตวอยางท 22
จากตวอยางท 22 นกเรยนคดวาการแยกตวประกอบในกรณทแตละพจนในพหนามดกรสอง ซงม
ตวประกอบรวม วธใดสามารถแยกตวประกอบไดงายและสะดวกทสด
Thinking Time
แบบฝกทกษะ 1.4 ขระดบ พนฐาน
1. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 2x2 + 11x + 5 3) 3x2 + 26x + 16 5) 4x2 + 12x + 9 7) 20x2 + 77x + 18 9) 12b2 + 20b + 7
11) 3x2 - 10x - 8
2) 4x2 - 7x + 3 4) 18x2 - 63x + 40 6) 35 - 26x + 3x2
8) 4a2 - 28a + 49
10) 13m2 + 69m - 54
12) 7y2 + 72y - 55
4 = 1 × 4
10 = 2 × 5
8 = 1 × 8
20 = 2 × 10
8 = 2 × 4
20 = 4 × 5
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 4 + 10x + 6x2 2) 12x2 - 21x + 9
ลองทาด
32
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) x2 + 26x + 169 2) x2 - 24x + 144
วธทา 1) x2 + 26x + 169 = x2 + 2x(13) + 132
ดงนน x2 + 26x + 169 = (x + 13)2
2) x2 - 24x + 144 = x2 - 2x(12) + 122
ดงนน x2 - 24x + 144 = (x - 12)2 ตอบ
ตวอยางท 24
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) x2 + 14x + 49 2) x2 - 22x + 121
ลองทาด
ถาใหพจนหนาแทนดวย a และพจนหลงแทนดวย b จะไดสตรการแยกตวประกอบของ
พหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ ดงน
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
นกเรยนอาจจดจางาย ๆ วา หนา2 + 2(หนา)(หลง) + หลง2 = (หนา + หลง)2
หนา2 - 2(หนา)(หลง) + หลง2 = (หนา - หลง)2
กจกรรม คณตศาสตร
การใชความรเกยวกบการหาพนทของรปสเหลยมมมฉาก เพอแสดงวา a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
พจารณารปสเหลยมจตรส ทมดานยาวดานละ a + b หนวย รปสเหลยมนจะมพนทเทาใด
พนทรปสเหลยมจตรส = ความยาวดาน × ความยาวดาน
= × ตารางหนวย
= ตารางหนวย
ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹·Ó¡Ô ¡ÃÃÁµ‹Í仹Õé â´Â·Óŧã¹ÊÁØ
การแยกตวประกอบของพหนาม 35
a + b
a + b
จงพจารณาวา พหนามในแตละขอตอไปนเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณหรอไม
1) x2 - 8x + 16
3) 4x2 + 4x + 1
2) x2 + 6x + 5
4) 6x2 + 7x + 1
ลองทาด
พจารณา (x + a)(x + a) = x2 + 2ax + a2
จากสมบตของการเทากน จะได
x2 + 2ax + a2 = (x + a)(x + a) x2 + 2ax + a2 = (x + a)2
จะเหนวา x2 + 2ax + a2 เปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ
จาก (x + a)2 เรยก x วาพจนหนา และ a วาพจนหลง สามารถเขยนความสมพนธของ
x2 + 2ax + a2 = (x + a)2 ไดวา
(พจนหนา)2 + 2(พจนหนา)(พจนหลง) + (พจนหลง)2 = (พจนหนา + พจนหลง)2
ในทานองเดยวกน สามารถเขยนความสมพนธของ x2 - 2ax + a2 = (x - a)2 ไดวา
(พจนหนา)2 - 2(พจนหนา)(พจนหลง) + (พจนหลง)2 = (พจนหนา - พจนหลง)2
2) x2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) ดงนน x2 - 2x - 8 ไมเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ
3) 4x2 - 12x + 9 = (2x - 3)(2x - 3) = (2x - 3)2
ดงนน 4x2 - 12x + 9 เปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ
4) 4x2 + 5x + 1 = (4x + 1)(x + 1) ดงนน 4x2 + 5x + 1 ไมเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ ตอบ
คณ 3x a
x x2 axa ax a2
34
จงหาคา k ททาใหพหนามทกาหนดในแตละขอเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ
1) x2 + 8x + k 2) 4x2 - 12x + k
วธทา 1) เนองจาก x2 + 8x + k เปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ
จะไดวา x2 + 8x + k = x2 + 2x(4) + k ดงนน k = 42
= 16
2) เนองจาก 4x2 - 12x + k เปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ
จะไดวา 4x2 - 12x + k = (2x)2 - 2(2x)(3) + k ดงนน k = 32
= 9 ตอบ
ตวอยางท 26
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 49x2 + 70x + 25 2) 100x2 - 220x + 121
ลองทาด
จงหาคา k ททาใหพหนามในแตละขอตอไปนเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ
1) x2 + 10x + k 2) 4x2 - 16x + k
ลองทาด
จงแยกตวประกอบของ (x - 2)2 + 6(x - 2) + 9
วธทา ให x - 2 = A จะได (x - 2)2 + 6(x - 2) + 9 = A2 + 6A + 9
= A2 + 2(A)(3) + 32
= (A + 3)2
ดงนน (x - 2)2 + 6(x - 2) + 9 = [(x - 2) + 3]2
= (x + 1)2 ตอบ
ตวอยางท 27
การแยกตวประกอบของพหนาม 37
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 4x2 + 12x + 9 2) 25x2 - 40x + 16
วธทา 1) 4x2 + 12x + 9 = (2x)2 + 2(2x)(3) + 32
ดงนน 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2
2) 25x2 - 40x + 16 = (5x)2 - 2(5x)(4) + 42
ดงนน 25x2 - 40x + 16 = (5x - 4)2 ตอบ
ตวอยางท 25
ถาแบงรปสเหลยมจตรสออกเปนหลาย ๆ สวน ดงรป
จะได รป 1 เปนรปสเหลยมจตรส ทมดานยาวดานละ a หนวย
มพนท เทากบ ตารางหนวย
= ตารางหนวย
รป 2 และ 3 เปนรปสเหลยมผนผา ทมความกวาง b หนวย
และมความยาว a หนวย มพนท เทากบ ตารางหนวย
= ตารางหนวย
รป 4 เปนรปสเหลยมจตรส ทมดานยาวดานละ b หนวย
มพนท เทากบ ตารางหนวย
= ตารางหนวย
จะไดวา มพนทเทากบ
พนทรปสเหลยมจตรสเดม = ผลรวมของพนทรป 1 2 3 และ 4 =
= ตารางหนวย
นกเรยนสามารถใชความรเกยวกบพนทของรปสเหลยมมมฉาก เพอแสดงวา
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 ไดหรอไม อยางไร
36
a + b
a + b
a
a
b
b
1 2
3 4
a
a
b
b
1 2
3 4
3. จงหาคา k ททาใหพหนามในแตละขอตอไปนเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ
1) x2 - 20x + k 2) 64x2 - 176x + k
ระดบ กลาง
4. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) (x + 1)2 + 6(x + 1) + 9 3) (2x - 1)2 + 10(2x - 1) + 25
2) (x - 2)2 - 8(x - 2) + 16 4) (3x + 2)2 - 24(3x + 2) + 144
5. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 9x2 - 6(x2 - 3x) + (x - 3)2
3) 25x2 + 2(5x2 + 10x) + (x + 2)2 2) 16x2 + 8(x2 + 4x) + (x + 4)2
4) (x + 2)2 + 2(x2 + x - 2) + (x - 1)2
ระดบ ทาทาย
1.6 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ทเปนผลตางกาลงสอง จากหวขอทผานมา นกเรยนสามารถแยกตวประกอบของพหนามตอไปนไดวา
x2 - 4 = (x + 2)(x - 2) 4x2 - 64 = (2x + 8)(2x - 8)
เมอพจารณาพหนามดงกลาวจะเหนวา
x2 - 4 = x2 - 22
4x2 - 64 = (2x)2 - 82
เรยกพหนามดกรสองทมลกษณะเชนนวา พหนามดกรสองทเปนผลตางกาลงสอง
เมอพจารณาการแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางของกาลงสองขางตนจะพบวา
1) x2 - 4 = x2 - 22
= (x + 2)(x - 2)
จาก x2 - 22 ถาให x แทนพจนหนา และ 2 แทนพจนหลง สามารถเขยนความสมพนธ
ของการแยกตวประกอบไดวา
(พจนหนา)2 - (พจนหลง)2 = (พจนหนา + พจนหลง)(พจนหนา - พจนหลง)
การแยกตวประกอบของพหนาม 39
จงแยกตวประกอบของ 9x2 + 6(x2 + 5x) + (x + 5)2
วธทา จาก 9x2 + 6(x2 + 5x) + (x + 5)2 = (3x)2 + 6x(x + 5) + (x + 5)2
= (3x)2 + 2(3x)(x + 5) + (x + 5)2
ให 3x = a และ x + 5 = b จะได (3x)2 + 2(3x)(x + 5) + (x + 5)2 = a2 + 2ab + b2
= (a + b)2
= [3x + (x + 5)]2
= (4x + 5)2 ดงนน 9x2 + 6(x2 + 5x) + (x + 5)2 = (4x + 5)2 ตอบ
ตวอยางท 28
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) (x + 1)2 + 20(x + 1) + 100 2) x2 + 2(x2 + x) + (x + 1)2
ลองทาด
แบบฝกทกษะ 1.5ระดบ พนฐาน
1. จงพจารณาวา พหนามในแตละขอตอไปนเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ
หรอไม
1) x2 + 2x + 1 3) x2 - 4x - 3 5) 4x2 + 2x + 1
2) x2 + 6x + 9 4) x2 - 8x + 16 6) 9x2 - 16x + 12
2. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) x2 + 14x + 49 3) x2 + 26x + 169 5) x2 - 46x + 529
2) x2 - 16x + 64 4) x2 - 60x + 900 6) x2 + 52x + 676
38
ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹·Ó¡Ô ¡ÃÃÁµ‹Í仹Õé
กจกรรม คณตศาสตร
1. ตดกระดาษเปนรปสเหลยมจตรส ใหมดานยาวดานละ x หนวย
ดงนน รปสเหลยมจตรสรปนมพนท x2 ตารางหนวย
2. ตดรปสเหลยมจตรสทมดานยาวดานละ y หนวย
ทมมใดมมหนงของรปสเหลยมจตรส ในขอ 1. ออก
รปสเหลยมจตรสรปนมพนท y2 ตารางหนวย
3. จะไดวา รปทเหลออยมพนท x2 - y2 ตารางหนวย
จากนนเขยนเสนประ ดงรป
4. ตดกระดาษในขอ 3. ตามแนวเสนประ แลวนากระดาษ
ทไดจากการตดมาตอเปนรปสเหลยมผนผา ดงรป
5. เมอสารวจดรปในขอ 4. จะพบวา รปสเหลยมผนผาทได มดานยาวยาว x + y หนวย
และมดานกวางยาว x - y หนวย
พนทรปสเหลยมผนผา = ความกวาง × ความยาว
= (x - y)(x + y) แตพนทรปสเหลยมผนผาน มพนทเทากบพนทของรปในขอ 3. ซงมพนท x2 - y2 ตารางหนวย
นนคอ x2 - y2 = (x - y)(x + y)จากกจกรรมขางตน เปนการพสจนการแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางกาลงสอง
นกเรยนคดวาสามารถพสจนดวยวธอนไดอกหรอไม
การแยกตวประกอบของพหนาม 41
x
x
x2 ตารางหนวย
yy
x - y
x - y
x
x
x - y
y
y x
x
y2
y
y
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) x2 - 144 2) 36x2 - 49y2
วธทา 1) x2 - 144 = x2 - 122
= (x + 12)(x - 12) ดงนน x2 - 144 = (x + 12)(x - 12)
2) 36x2 - 49y2 = (6x)2 - (7y)2
= (6x + 7y)(6x - 7y) ดงนน 36x2 - 49y2 = (6x + 7y)(6x - 7y) ตอบ
ตวอยางท 29
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) x2 - 225 2) 64x2 - 121y2
ลองทาด
2) 4x2 - 64 = (2x)2 - 82
= (2x + 8)(2x - 8)
จาก (2x)2 - 82 ถาให 2x แทนพจนหนา และ 8 แทนพจนหลง สามารถเขยนความสมพนธ
ของการแยกตวประกอบไดวา
(พจนหนา)2 - (พจนหลง)2 = (พจนหนา + พจนหลง)(พจนหนา - พจนหลง)
ในกรณทวไป ถาใหพจนหนาแทนดวย a และพจนหลงแทนดวย b จะไดสตรการแยก
ตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางของกาลงสอง ดงน
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
สามารถใชสตรนในการแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางของกาลงสอง และ
เพอใหงายแกการจดจาและการนาไปใช นกเรยนอาจจดจางาย ๆ วา
หนา2 - หลง2 = (หนา + หลง)(หนา - หลง)
40
จงแยกตวประกอบของ (3x - 5)2 - (2x + 3)2
วธทา (3x - 5)2 - (2x + 3)2 = [(3x - 5) + (2x + 3)][(3x - 5) - (2x + 3)] = (3x - 5 + 2x + 3)(3x - 5 - 2x - 3) = (5x - 2)(x - 8) ดงนน (3x - 5)2 - (2x + 3)2 = (5x - 2)(x - 8) ตอบ
จงแยกตวประกอบของ 16(x + 4)2 - 4(x - 1)2
วธทา 16(x + 4)2 - 4(x - 1)2 = [4(x + 4)]2 - [2(x - 1)]2
= [4(x + 4) + 2(x - 1)][4(x + 4) - 2(x - 1)] = (4x + 16 + 2x - 2)(4x + 16 - 2x + 2) = (6x + 14)(2x + 18) = [2(3x + 7)][2(x + 9)] = 4(3x + 7)(x + 9) ดงนน 16(x + 4)2 - 4(x - 1)2 = 4(3x + 7)(x + 9) ตอบ
ตวอยางท 31
ตวอยางท 32
วงกลมสองวงมจดศนยกลางรวมกน โดยวงกลมวงหนงมรศม 73 หนวย อกวงหนงมรศม
53 หนวย ใหนกเรยนใชความรเกยวกบการแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง เพอหาวา
วงกลมสองวงนมพนทตางกนเทาใด (กาหนดให π ≈ 227 )
คาถามทาทายการคดขนสง
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) (5x + 3)2 - (4x - 7)2 2) (7x - 3)2 - (x + 11)2
ลองทาด
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 25(x - 3)2 - 9(x + 2)2 2) (x + 5)2 - 49(x + 1)2
ลองทาด
การแยกตวประกอบของพหนาม 43
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) (x - 3)2 - 196 2) (2x + 1)2 - 81 3) x2 - (x - 7)2
วธทา 1) (x - 3)2 - 196 = (x - 3)2 - 142
= [(x - 3) + 14][(x - 3) - 14] = (x + 11)(x - 17) ดงนน (x - 3)2 - 196 = (x + 11)(x - 17)
2) (2x + 1)2 - 81 = (2x + 1)2 - 92
= [(2x + 1) + 9][(2x + 1) - 9] = (2x + 10)(2x - 8) = [2(x + 5)][2(x - 4)] = 4(x + 5)(x - 4)
ดงนน (2x + 1)2 - 81 = 4(x + 5)(x - 4)
3) x2 - (x - 7)2 = [x + (x - 7)][x - (x - 7)]
= (x + x - 7)(x - x + 7)
= (2x - 7)(7)
= 7(2x - 7)
ดงนน x2 - (x - 7)2 = 7(2x - 7) ตอบ
ตวอยางท 30
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) (x + 2)2 - 256 2) (2x - 1)2 - 49 3) x2 - (x + 12)2
ลองทาด
การแยกตวประกอบ ถามตวประกอบรวมจาเปนตองดงตวประกอบรวมนนทกครงหรอไม
Thinking Time
42
จงแยกตวประกอบของ (16x2 + 56x + 49) - (4x2 - 36x + 81)
วธทา วธท 1 (16x2 + 56x + 49) - (4x2 - 36x + 81) = (4x + 7)2 - (2x - 9)2
= [(4x + 7) + (2x - 9)][(4x + 7) - (2x - 9)] = (6x - 2)(2x + 16) = [2(3x - 1)][2(x + 8)] = 4(3x - 1)(x + 8) ดงนน (16x2 + 56x + 49) - (4x2 - 36x + 81) = 4(3x - 1)(x + 8)
วธท 2 (16x2 + 56x + 49) - (4x2 - 36x + 81) = 16x2 + 56x + 49 - 4x2 + 36x - 81 = 12x2 + 92x - 32 = 4(3x2 + 23x - 8) = 4(3x - 1)(x + 8) ดงนน (16x2 + 56x + 49) - (4x2 - 36x + 81) = 4(3x - 1)(x + 8) ตอบ
ตวอยางท 35
แบบฝกทกษะ 1.6ระดบ พนฐาน
1. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) x2 - 36
3) x2 - 441
5) 196 - x2
7) 25x2 - 49
9) 400 - 36x2
11) 982 - 32
2) x2 - 324
4) 121 - x2
6) 676 - x2
8) 81x2 - 121
10) 625 - 361y2
12) 9982 - 9952
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) (x2 - 32x + 256) - (x2 + 24x + 144) 2) (25x2 - 60x + 36) - (9x2 + 48x + 64)
ลองทาด
การแยกตวประกอบของพหนาม 45
จงหาคาของ 9992 - 9972
วธทา 9992 - 9972 = (999 - 997)(999 + 997)
= 2(1,996)
= 3,992
ดงนน 9992 - 9972 = 3,992 ตอบ
จงแยกตวประกอบของ (4x2 + 4x + 1) - x2
วธทา วธท 1 (4x2 + 4x + 1) - x2 = (2x + 1)2 - x2
= [(2x + 1) + x][(2x + 1) - x] = (2x + 1 + x)(2x + 1 - x) = (3x + 1)(x + 1) ดงนน (4x2 + 4x + 1) - x2 = (3x + 1)(x + 1)
วธท 2 (4x2 + 4x + 1) - x2 = 4x2 + 4x + 1 - x2
= (4x2 - x2) + 4x + 1 = 3x2 + 4x + 1 = (3x + 1)(x + 1) ดงนน (4x2 + 4x + 1) - x2 = (3x + 1)(x + 1) ตอบ
ตวอยางท 33
ตวอยางท 34
จงหาคาของ
1) 992 - 112 2) 1212 - 212
ลองทาด
จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) (4x2 + 12x + 9) - x2 2) (9x2 - 30x + 25) - x2
ลองทาด
44
คณตศาสตรในชวตจรง
สวนสาธารณะ เปนสถานทสาหรบพกผอนและออกกาลงกายของทกเพศทกวย เนองจากสวน
สาธารณะสวนใหญจะมพนทกวางขวางและมอากาศด ซงสวนสาธารณะแตละแหงจะมตาแหนงทตง
ของสงตาง ๆ แตกตางกน หรอตามการวางผงและออกแบบของเจาของสถานท
สวนสาธารณะแหงหนงเปนรปสเหลยมจตรสทมดานยาวดานละ 72 เมตร และมตาแหนงทตง
ของสงตาง ๆ ในสวนสาธารณะ ดงรป
ทางเดน
สนามหญา
แปลงดอกไม
นาพ2 ม.
2 ม.
66 ม.
72 ม.
66 ม.72 ม. 2 ม.2 ม.
นกเรยนสามารถใชความรเกยวกบการแยกตวประกอบของพหนามมาชวยในการหาพนท
สวนทเปนทางเดนไดอยางไร
ทมา : คลงภาพ อจท.
การแยกตวประกอบของพหนาม 47
ระดบ กลาง
2. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) (x + 8)2 - 100 3) 169 - (5a + 3)2
5) (x + 9)2 - (x + 4)2
7) (x - 5)2 - (x + 8)2
9) (2x - 13)2 - (x - 4)2
2) (4x + 1)2 - 289 4) 576 - (2x - 3)2
6) (x + 11)2 - (x - 7)2
8) (x - 7)2 - (x - 12)2
10) (6x - 1)2 - (3x + 1)2
3. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 81(x - 8)2 - 196(x - 6)2
3) x3 - x2
5) x2m - 1
7) (x2 - 22x + 121) - 4x2
9) 400x2 - 81(x2 - 4x + 4)
2) 36(3x - 7)2 - 25(2x - 1)2
4) 4(x + y)3 - (x + y) 6) x4m - y2m
8) 16(x2 - 2x + 1) - 225x2
10) (16x2 - 40x + 25) - (9x2 + 6x + 1)
ระดบ ทาทาย
หลงเรยนจบหนวยนแลว ใหนกเรยนบอกสญลกษณทตรงกบระดบความสามารถของตนเอง
1. เขาใจความหมายของการแยกตวประกอบของพหนาม
2. สามารถแยกตวประกอบของพหนาม โดยใชสมบตการแจกแจงได
3. สามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสองตวแปรเดยวได
4. สามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ทเปนกาลงสองสมบรณได
5. สามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ทเปนผลตางของกาลงสองได
ตรวจสอบตนเอง
ด พอใชควร
ปรบปรง
46
แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1
1. จงหาผลลพธของการหารในแตละขอตอไปน พรอมทงตรวจสอบคาตอบ
1) (x2 + 3x + 2) ÷ (x + 1) 2) (x2 - 4x + 5) ÷ (x - 3)
3) (4y3 - 2y2 + y + 1) ÷ (y + 2) 4) (3y3 + 6y2 - 5y - 17) ÷ (y2 + 2y - 1)
2. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน
1) 5x2 - 40x3 2) 8y6 - 12y7
3) 4a2 + 12a5 + 40a10 4) 12m5 - 8m3 + 2m
5) x(x + 4) + 2(x + 3) 6) (x + 7)2 + 4(x + 7) 7) (2c + 1)2 - 8(2c + 1) 8) ab - 2ac + bc - 2c2
9) mr2 - 3mp + 15np - 5nr2 10) 5a2c - 3b + 5bc - 3a2
11) x2 - 26x - 56 12) x2 + 11x - 60 13) x2 + x - 110 14) x2 - 19x - 42 15) 2x2 - x - 6 16) 11x2 - 12x - 20 17) 8x2 - 34x + 33 18) 12x2 + 8x - 4 19) 28 + 3x - 18x2 20) 6 - 11x - 10x2
21) 81x2 + 360x + 400 22) 64y2 - 176y + 121
23) (x - 4)2 + 12(x - 4) + 36 24) (2x - 3)2 - 26(2x - 3) + 169 25) 81(x + 3)2 - 196x2 26) (4x + 7)2 - (2x - 3)2
27) (2a - 1)2 - (4a2 - 12ab + 9b2) 28) (16xy + 40xy + 25y2) - (4x2- 28xy + 49y2)
29) 16(3x - 1)3 - 4(2x - 1)2 30) (2x - 3y)3 - (2x - 3y)
3. จงหาคา k ททาใหพหนามในแตละขอตอไปนเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ
1) x2 + 16x + k 2) x2 - 14x + k 3) 9x2 + 36x + k 4) 81x2 - 180x + k
4. จงหาคาของ
1) 5112 - 112 2) 4782 - 782
3) 1,5912 4) 9,9912
การแยกตวประกอบของพหนาม 49
สรปแนวคดหลก
1. การเขยนพหนามทกาหนดให ในรปการคณกนของพหนามทมดกรตากวาตงแตสองพหนามขนไป
เรยกวา การแยกตวประกอบของพหนาม
2. การแยกตวประกอบของพหนามโดยใชสมบตการแจกแจง ทาไดโดยใชสมบตการแจกแจงทกลาววา
ถา a, b และ c แทนจานวนเตมใดๆ แลว
a(b + c) = ab + ac หรอ (b + c)a = ba + ca
อาจเขยนสมบตการแจกแจงขางตนใหมเปน
ab + ac = a(b + c) หรอ ba + ca = (b + c)a
3. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองตวแปรเดยวทเขยนไดในรป ax2 + bx + c เมอ a, b, c
เปนคาคงตวท a ≠ 0 และ x เปนตวแปร จะแยกตวประกอบไดเปน 2 วงเลบ ทาไดโดยแยกพจนหนา
และพจนหลง แลวตรวจคาตอบไดจากหาผลบวกของผลคณของพจนทอยใกลกนในวงเลบกบผลคณของ
พจนทอยไกลกนในวงเลบ ซงจะไดพจนกลาง หรอกลาววา
พจนกลาง = (ใกล × ใกล) + (ไกล × ไกล)
4. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองตวแปรเดยวทเขยนไดในรป ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปน
คาคงตวท a ≠ 0 และ x เปนตวแปรทเมอแยกตวประกอบแลวไดตวประกอบเปนพหนามดกรหนงทซากน
หรอไดเปนกาลงสองของพหนามดกรหนงเรยกวา กาลงสองสมบรณ
ถาให A แทนพจนหนา และ B แทนพจนหลง จะแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนกาลงสอง
สมบรณได โดยใชสตร
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
หรอเพอใหงายตอการจดจาในการนาไปใช อาจจดจางาย ๆ วา
(หนา)2 + 2(หนา)(หลง) + (หลง)2 = (หนา + หลง)2
(หนา)2 - 2(หนา)(หลง) + (หลง)2 = (หนา - หลง)2
5. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางกาลงสอง คอ การแยกตวประกอบทในกรณทวไป
ถาให A แทนพจนหนา และ B แทนพจนหลง จะแยกตวประกอบของพหนามในรปแบบนไดตามสตร
A2 - B2 = (A + B)(A - B)
หรอเพอใหงายตอการจดจาในการนาไปใช อาจจดจางาย ๆ วา
(หนา)2 - (หลง)2 = (หนา + หลง)(หนา - หลง)
48
Top Related