A perspektivikus ábrázolás alapösszefüggéseiről és azok alkalmazásáról 1. rész
I. Bevezetés
Ez a munka a közvetlen folytatása az előző dolgozatoknak; ezek: ~ Az orthogonális axonometria alapösszefüggéseiről, illetve azok alkalmazásáról, ~ A klinogonális axonometria alapösszefüggéseiről és azok alkalmazásáról. Sok idő eltelt azóta, hogy ábrázolási összefüggések megformulázásával kezdtünk foglalkozni. Ez vezetett az axonometrikus és a perspektivikus ábrázolás képleteinek felírásához, majd az axonometriával kapcsolatos eredmények szűk körű és részleges közzétételéhez. Aztán a honlap - készítési munkák során sor került az utóbbiak rende -zett formában való összeállítására és nyilvánosságra hozatalára. Már ez óta is sok év eltelt, így most már nem halogatjuk tovább a címbeli nagyobb lélegzetű munkát sem. Úgy tervezzük, hogy ez több részes lesz, a dolgok természetéből fakadóan.
II. A centrális projekció alapvető összefüggéseiről A perspektivikus ábrázolás geometriai alapját a középpontos vetítés, másképpen a centrális projekció képezi. Ennek számunkra legrokonszenvesebb tárgyalását [ 1 ] - ben találtuk meg. Ez alapján indítjuk a munkát. A. ) Az általános eset képleteinek levezetése Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!
1. ábra
2
Itt azt szemléltetjük, hogy az Oxyz térbeli derékszögű koordináta - rendszerben meg -adtuk a P tárgypontot, a C vetítési centrumot, a π képsíkot; utóbbin kijelöltük az O’x’y’ képsíkbeli koordináta - rendszert, melyben a K képpont koordinátáit keressük. Az 1. ábra szerint:
.→ = −C P C Pr = r +q q r r ( 1 ) Majd bevezetjük a z’ skalár paramétert, mellyel
' .z ⋅p = q ( 2 ) Most ( 1 ) és ( 2 ) - vel:
( )' .z ⋅ −C Pp = r r ( 3 )
Másrészt:
.→ = −C K K Cr = r +p r r p ( 4 ) Majd ( 3 ) és ( 4 ) - gyel:
( )' ,z= − ⋅ −K C C Pr r r r ( 5 / 1 )
vagy
( )' 1 ' .z z= ⋅ + − ⋅K P Cr r r ( 5 / 2 )
Látjuk, hogy adott P és C, valamint az alább meghatározandó z’ ismeretében a K képpont térbeli helye is ismertté válik. Másfelől az 1. ábra alapján, a képsíkbeli u1 és u2 egységvektorokkal is:
' ' .x y= + ⋅ + ⋅K O' 1 2r r u u ( 6 ) Itt x’ és y’ – a K indexet elhagyva – a K képpont koordinátái a képsíkbeli k. r. - ben. Most ( 5 / 1 ) és ( 6 ) - tal:
( )' ' ' ,x y z+ ⋅ + ⋅ = + ⋅ −O' 1 2 C P Cr u u r r r
innen:
( ) ( )' ' ' .x y z− + ⋅ + ⋅ = ⋅ −O' C 1 2 P Cr r u u r r ( 7 )
Az ( x’ , y’ , z’ ) adatok meghatározását a ( 7 ) képlet alapján végezzük. Ezt úgy tesszük, hogy a ( 7 ) vektoregyenletet végigszorozzuk egy - egy olyan mennyiséggel, amely kiejti a nem - keresett mennyiségeket tartalmazó tagokat.
3
x’ meghatározása: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
' ' ' .
' ' ' ;
mivel 0 , 0 , ezért
x y z
x y z
− + ⋅ + ⋅ = ⋅ − −
− − + ⋅ − + ⋅ − = ⋅ − −
− = − − =
− −
O' C 1 2 P C 2 P C
O' C 2 P C 1 2 P C 2 2 P C P C 2 P C
2 2 P C P C 2 P C
O' C 2 P C
r r u u r r u × r r
r r u × r r u u × r r u u × r r r r u × r r
u u × r r r r u × r r
r r u × r r
i
i i i i
i i
i ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
' 0 ;
miatt
' 0 ;
' 0 ,
innen:
x
x
x
+ ⋅ − =
⋅ ⋅
− ⋅ − + ⋅ ⋅ − =
− − ⋅ − + ⋅ ⋅ − =
1 2 P C
O' C 2 P C 1 2 P C
2 O' C P C 1 2 P C
u u × r r
a b×c = a×b c
r r ×u r r u ×u r r
u × r r r r u ×u r r
i
( ) ( )( ) ( )' .x
− ⋅ − =− ⋅
P C 2 O' C
P C 1 2
r r u × r r
r r u ×u ( 8 )
y’ meghatározása: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
' ' ' .
' ' ' ;
mivel 0 , 0 , ezért
x y z
x y z
− + ⋅ + ⋅ = ⋅ − −
− − + ⋅ − + ⋅ − = ⋅ − −
− = − − =
− −
O' C 1 2 P C 1 P C
O' C 1 P C 1 1 P C 2 1 P C P C 1 P C
1 1 P C P C 1 P C
O' C 1 P C
r r u u r r u × r r
r r u × r r u u × r r u u × r r r r u × r r
u u × r r r r u × r r
r r u × r r
i
i i i i
i i
i ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
' 0 ;
miatt
' 0 ;
' 0 ,
innen:
y
y
y
+ ⋅ − =
⋅ ⋅
− ⋅ − + ⋅ ⋅ − =
− − ⋅ − + ⋅ ⋅ − =
2 1 P C
O' C 1 P C 2 1 P C
1 O' C P C 2 1 P C
u u × r r
a b×c = a×b c
r r ×u r r u ×u r r
u × r r r r u ×u r r
i
( ) ( )( ) ( )' .y
− ⋅ − =− ⋅
P C 1 O' C
P C 2 1
r r u × r r
r r u ×u ( 9 )
z’ meghatározása:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
' ' ' .
' ' ' ;
mivel 0 , 0 , ezért
x y z
x y z
− + ⋅ + ⋅ = ⋅ −
− ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅
⋅ = ⋅ =
O' C 1 2 P C 1 2
O' C 1 2 1 1 2 2 1 2 P C 1 2
1 1 2 2 1 2
r r u u r r u ×u
r r u ×u u u ×u u u ×u r r u ×u
u u ×u u u ×u
i
4
( ) ( ) ( ) ( )' ,
innen:
z− ⋅ = ⋅ − ⋅O' C 1 2 P C 1 2r r u ×u r r u ×u
( ) ( )( ) ( )' .z
− ⋅=
− ⋅O' C 1 2
P C 1 2
r r u ×u
r r u ×u ( 10 )
Megjegyzés: az ( 5 / 2 ) képletet értelmezi a 2. ábra.
2. ábra B. ) Egy speciális eset – a merőleges perspektíva – képleteinek levezetése Ehhez tekintsük a 3. ábrát is!
3. ábra
5
A 3. ábra azt szemlélteti, hogy a C centrum a π képsík normálisán helyezkedik el. Eszerint:
,d= + ⋅C O'r r u ( 11 ) és
.= 1 2u u ×u ( 12 )
A ( 11 ) képletben: ' .d O C= Most előkészítésként:
,d− = − − ⋅P C P O'r r r r u ( 13 ) majd
.d− = − ⋅O' Cr r u ( 14 ) Ezután ( 8 ), ( 12 ), ( 13 ) és ( 14 ) - gyel:
( ) ( ){ }( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
2
2
' ;
mivel , ezért
0'
ort
ort
d dx
d
d d d dx
d d
d
− − ⋅ ⋅ − ⋅ = − − ⋅ ⋅
=
− − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = = = − − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅
− ⋅ −=
P O' 1 2 2 1 2
P O' 1 2 1 2
2 1 2 1
P O' 1 2 1 P O' 1
P O' 1 2 1 2 P O' 1 2 1 2
P O'
r r u ×u u × u ×u
r r u ×u u ×u
u × u ×u u
r r u ×u u r r u
r r u ×u u ×u r r u ×u u ×u
r r
( ) ( ) ,d
⋅− ⋅ −
1
P O' 1 2
u
r r u ×u
tehát:
( )( )' .ort
dx
d
− ⋅ − ⋅=
− ⋅ −P O' 1
P O'
r r u
r r u ( 15 )
Hasonlóképpen ( 9 ), ( 12 ), ( 13 ) és ( 14 ) - gyel:
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
'
,
ort
d d dy
dd
d
d
− − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = = =− − ⋅ + − − ⋅ ⋅
− − ⋅ ⋅=
− ⋅ −
P O' 1 2 2 P O' 2
P O' 1 2P O' 1 2 2 1
P O' 2
P O' 1 2
r r u ×u u r r u
r r u ×ur r u ×u u ×u
r r u
r r u ×u
tehát:
6
( )( )' .ort
dy
d
− ⋅ − ⋅=
− ⋅ −P O' 2
P O'
r r u
r r u ( 16 )
Végül ( 9 ), ( 12 ), ( 13 ) és ( 14 ) - gyel:
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
2
'
,
ort
dz
d
d
d
− ⋅ − ⋅= = =
− ⋅ − − ⋅ ⋅
−=− ⋅ −
O' C 1 2 1 2
P C 1 2 P O' 1 2 1 2
P O' 1 2
r r u ×u u ×u
r r u ×u r r u ×u u ×u
r r u ×u
tehát:
( )' .ort
dz
d
−=− ⋅ −P O'r r u ( 17 )
Egy másik alakhoz jutunk, ha ( 15 ), ( 16 ) ( 17 ) - ben a nemzéró ( – d ) - vel osztunk:
( )( )
( )( )
( )
' ,
1
' ,
1
1' .
1
ort
ort
ort
x
d
y
d
z
d
− ⋅
= − ⋅ −
− ⋅ = − ⋅ −=
− ⋅ −
P O' 1
P O'
P O' 2
P O'
P O'
r r u
r r u
r r u
r r u
r r u
( 18 )
Most vizsgáljuk meg az utóbbi képletek geometriai jelentését! Ehhez tekintsük a 4. ábrát is! Derékszögű háromszögekből:
( )( ) ( )x
'tgφ ,Kx
d d
− ⋅= =
− ⋅ − +P O' 1
P O'
r r u
r r u
innen ( 15 ) - tel is:
( )( )' ' ;K ort
dx x
d
− ⋅ − ⋅= =
− ⋅ −P O' 1
P O'
r r u
r r u
7
4. ábra hasonlóan:
( )( ) ( )y
'tgφ ,Ky
d d
− ⋅= =
− ⋅ − +P O' 2
P O'
r r u
r r u
innen ( 16 ) - tal is:
( )( )' ' .K ort
dy y
d
− ⋅ − ⋅= =
− ⋅ −P O' 2
P O'
r r u
r r u
Látjuk, hogy viszonylag egyszerűen értelmezhetőek eredményeink. C. ) Egy további speciális eset – a merőleges axonometria – képleteinek levezetése Most végezzük el a d ���� ∞ határátmenetet! Ekkor ( 18 ) - ból:
( )( )
,
,
,
' ' ' ,
' ' ' ,
' ' ' 1 .
K K ort ax
K K ort ax
K K ort ax
x x x
y y y
z z z
∗
∗
∗
→ ≡ = − ⋅→ ≡ = − ⋅ → ≡ =
P O' 1
P O' 2
r r u
r r u ( 19 )
8
A ( 19 ) képletek a merőleges / ortogonális axonometria képletei. Az ennek megfelelő alaphelyzetet az 5. ábrán vázoltuk.
5. ábra Látjuk, hogy ekkor a PC vetítő egyenes is a képsíkra merőleges helyzetű lesz. Most írjuk át ( 18 ) - at ( 19 ) - cel! Ekkor:
( )
( )
( )
'' ,
1
'' ,
1
'' .
1
KK
KK
KK
xx
dy
y
dz
z
d
∗
∗
∗
= − ⋅ −
= − ⋅ −=
− ⋅ −
P O'
P O'
P O'
r r u
r r u
r r u
( 20 )
Az első két – tényleges képsík - koordinátát tartalmazó – egyenletből:
9
' ' ,
' 'K K
K K
y y
x x∗
∗
=
innen:
'' ' .
'K
K KK
yy x
x∗
∗
= ⋅ ( 21 )
Ez egy egyenes egyenlete; a hozzá tartozó egyenes az 5. ábrán az O’K* egyenes. Ezek szerint a d ���� ∞ átmenet során K ���� K* , egyenes pályán haladva. Megjegyzések: M1. Mind a merőleges perspektíva, mind a merőleges axonometria nagyon fontos képi megjelenítő eljárás; előbbi a fényképészetben és a fotogrammetriában, utóbbi a képies műszaki ábrázolásban alapvető fontosságú. M2. Az emberi szem lényegében a fényképezőgéphez hasonlóan működik: a tárgyak -ról valódi, kicsinyített, fordított állású képet alkot – [ 2 ]. A tárgyakat ennek ellenére egyenes állásúaknak látjuk, mert agyunk látásközpontja előzetes tapasztalat alapján a külvilág tárgyait valós térbeli helyzetüknek megfelelően hozza tudomásunkra – [ 3 ]. M3. A fényképezőgép képalkotása szemlélhető a 6. ábrán.
6. ábra; forrása:[ 4 ]. Erről több fontos információ is leolvasható. a.) A tárgy ( fehér álló nyíl ) képe a K képsíkon ( fekete fordított nyíl ) ugyanolyan, mint az F kép a K* képsíkon, eltekintve a megfordítástól. Minthogy a K* sík az O centrumra szimmetrikus, ezért K helyett a vele gyakorlatilag egyenértékű K* - gal is dolgozhatunk. Más szavakkal: a tárgy és a kép a vetítési középpont ugyanazon oldalán helyezkedhetnek el. Ezt a fejleményt már ki is használtuk elvi ábráink felvételekor.
10
b.) A 6. ábráról jól leolvasható, hogy mindkét fehér álló nyíl képe ugyanaz a fekete F álló nyíl. Ez azt jelenti, hogy a centrális vetítéssel készült képről a tárgy visszaállítása – rekonstruálása, azaz geometriai adatainak megállapítása – , nem megy minden to -vábbi nélkül. A fényképek alapján történő rekonstrukció a fotogrammetria alapfeladata – [ 4 ]. M4. Az ábrázolási képleteket célszerű kiegészíteni egy L léptéktényezővel; ennek feladata valójában csak annyi, hogy vele könnyebben elérjük, hogy a kép ne essen le a véges méretű képernyőről. Tehát ( 18 ) - cal:
( )( )
( )( )
( )
' ,
1
' ,
1
1' .
1
ort
ort
ort
x L
d
y L
d
z
d
− ⋅
= ⋅ − ⋅ −
− ⋅ = ⋅ − ⋅ −=
− ⋅ −
P O' 1
P O'
P O' 2
P O'
P O'
r r u
r r u
r r u
r r u
r r u
( 22 )
A ( 22 ) képlet kétféleképpen is értelmezhető. 1.) Kiszámítjuk a valódi koordinátákkal ( 18 ) szerint a keresett mennyiségeket, majd beszorozzuk x’ és y’ - t L - lel. 2.) A valódi koordináták helyett azok L - szeresével dolgozunk; ekkor is ( 22 ) alakú kifejezések állnak elő, hiszen ~ x’ és y’ számlálójából L kiemelhető, ~ a nevezők második tagjából – egyszerűsítés miatt – L kiesik. M5. A képletekben szereplő d betű a distancia = távolság rövidítő jelölése. Ez a távolság - adat a vetítési centrumnak a képsíktól mért merőleges távolsága. M6. A bevezető sorokban említett két korábbi dolgozatunk lényeges eleme az volt, hogy az ábrázolási összefüggéseket igyekeztünk a képsíkon fellehető mennyiségekre alapozni. Ez is egy használható megoldás – az axonometriában. A perspektívában – úgy tűnik – ez olyan bonyolultságot eredményez, hogy a továbbiakban más utat célszerű követnünk.
11
Irodalom: [ 1 ] – I. D. Faux ~ M. J. Pratt: Computational Geometry for Design and Manufacture Ellis Horwood Limited Publishers, Chichester, Reprinted in 1987. [ 2 ] – Hans Breuer: SH atlasz, Fizika Springer - Verlag, Budapest, 1993. [ 3 ] – Budó Ágoston ~ Mátrai Tibor: Kísérleti fizika III. Tankönyvkiadó, Budapest, 1977. [ 4 ] – Hajdu Endre ~ H. Temesvári Ágota: Konstruktív geometria Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 1995. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2012. augusztus 10.
Top Related