A DIDÁTICA DA MATEMÁTICA FUNDAMENTADA NA TEORIA DE
FORMAÇÃO POR ETAPAS DAS AÇÕES MENTAIS DE GALPERIN1
Prof. Dr. Oscar Tintorer Delgado (UERR)
Prof. Dr. Héctor José García Mendoza (UFRR)
RESUMO
Na atualidade é frequente encontrar professores de Matemática ministrando aulas de
forma empírica na Educação Básica, ainda que nos cursos de formação de professores
exista a disciplina Didática da Matemática. Por outro lado se tem professores de
Matemática que atuam no Ensino Superior, por exemplo o bacharel em Matemática, que
não teve uma formação para ser professor e com frequência desconhecem os princípios
básicos da Didática da Matemática. Fundamentado nos trabalhos de Leóntiev toda
atividade de estudo está composta por ações, com suas respectivas operações, para
alcançar o objetivo de ensino. Então no processo de aprendizagem as ações devem
transformar-se de material à mental, de não generalizada à generalizada, de detalhada à
abreviada, de compartilhada à independente e de consciente à automatizada. Este
processo de transformação se conhece como a teoria de formação por etapas das ações
mentais de Galperin, que é resultado da evolução da teoria histórico cultural de
Vygotsky e da teoria da atividade de Leóntiev. O objetivo deste capítulo é propor um
sistema de ações para desenvolver a Didática da Matemática fundamentada na teoria de
Galperin, centrada na resolução de problemas e guiada pela teoria geral de direção do
processo de estudo, com o fim de melhorar a preparação dos professores de Matemática
na elaboração das disciplinas específicas ao que se denominou A Atividade de Situações
Problema da Didática. Fundamenta-se a proposta em desenvolver três momentos:
identificar o problema, planejar e construir a atividade de situações problema em
Matemática.
1.- INTRODUÇÃO.
O trabalho do professor é caracterizado por constantes desafios didáticos no ato de
ensinar, seja para atender diferenças individuais ou coletivas associadas à aprendizagem
1 Livro em fase de publicação em: NÚÑEZ, Isauro Beltrán; RAMALHO, Betânia Leite. Ya. Galperin e e
Teoria da Assimilação mental por etapas: pesquisas e experiências para um ensino inovador.
Editora Mercado de Letras
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de novos conhecimentos ou aprimoramento de habilidades e hábitos na formação
intelectual e moral de seus estudantes.
A necessidade de formar um cidadão, seja profissional ou não, para viver num
mundo cada vez mais complexo exige dos professores buscar estratégias didáticas cada
vez mais eficientes; mas com frequência essa busca se faz de maneira empírica sem
considerar como o estudante aprende e quais as exigências da teoria geral da direção. O
professor assim não está devidamente preparado para organizar o processo de ensino
aprendizagem, o que leva a construir mais fracassos que sucessos e, por conseguinte
muitas vezes chega até a frustração profissional.
Outra maneira de enfrentar esses desafios é tratar de resolvê-los como se resolve
um problema, utilizando a resolução de situações problema como uma metodologia de
ensino, isto é, o problema é meio e fim do trabalho docente para alcançar qualidade na
aprendizagem de seus estudantes, o que significa que aqueles adquiram conhecimentos
mais duradouros e com maiores possibilidades de transferi-los para novas situações.
No caso da disciplina didática da matemática os conteúdos abrangem aspectos
pedagógicos e matemáticos que devem ser mobilizados de maneira interdisciplinar para
resolver as situações que se apresentam no processo ensino aprendizagem.
Em alguns cursos de licenciatura em Matemática a disciplina Didática é
ministrada ainda por profissionais não matemáticos, freqüentemente por pedagogos que
apresentam os aspectos mais gerais sem ter em conta as necessidades dos conteúdos
matemáticos que o futuro professor deve saber ensinar. É preciso acabar com essa
anomalia e aceitar a responsabilidade de assumir as didáticas específicas pelos próprios
matemáticos. Com frequência nos cursos de graduação as disciplinas de conteúdos
matemáticos são ministradas por profissionais que não tem formação pedagógica, pelo
seria necessário incluir em sua formação continuada aspetos essenciais de didática da
Matemática.
Deve-se prover condições para que os estudantes da disciplina didática assimilem
os conhecimentos, o que significa estimular a transformação de suas ações mentais
através de um processo de direção que oriente de maneira completa respeitando cada
etapa.
Os autores deste capítulo organizaram uma atividade de estudo com base na teoria
da formação por etapas das ações mentais de Galperin para resolver problemas
matemáticos que aplicaram com sucesso para o caso particular de sistemas de equações
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lineares com quatro ações invariantes e suas respectivas operações. (MENDOZA,
2009).
A partir dessa experiência se analisou a possibilidade de organizar e executar a
tarefa docente como uma atividade para resolver problemas didáticos, que pode ser
utilizada para ministrar a disciplina Didática da Matemática nos cursos de licenciatura e
na preparação das disciplinas específicas de Matemática.
O objetivo deste capítulo é propor um sistema de ações para desenvolver a
Didática da Matemática fundamentada na teoria de Galperin, centrada na resolução de
problemas e guiada pela teoria geral de direção do processo de estudo, com o fim de
melhorar a preparação dos professores de Matemática na elaboração das disciplinas
específicas que se denominou A Atividade de Situações Problema da Didática.
Também se discutirá o conceito de Didática da Matemática para logo propor uma
atividade, com suas respetivas ações e operações, com base na resolução de problemas
didáticos e a teoria de formação por etapas das ações mentais, com um exemplo de uma
situação problema em limite na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral.
2.- FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA DA CONSTRUÇÃO DA ATIVIDADE DE
SITUAÇÕES PROBLEMA DA DIDÁTICA EM MATEMÁTICA.
D’Amore (2007) coloca duas maneiras de compreender a didática: primeiro
como divulgador de ideias, fixando a atenção na fase do ensino, ou seja, o professor é
um especialista em didática onde o centro de sua atenção é o conteúdo. A segunda
interpretação é como pesquisa empírica, concentrando sua atenção na aprendizagem,
mas do ponto de vista dos fundamentos não aceitando um modelo único de teoria de
aprendizagem.
Para os autores deste trabalho é necessário avançar num processo complexo de
integração dos aspectos didáticos relacionados como os conteúdos matemáticos e os
associados à aprendizagem dos estudantes, portanto, não deve-se reduzir apenas a uma
compreensão.
Talízina (1984, 1988, 1992) coloca que o processo ensino aprendizagem deve
estar fundamentado sob base da Psicologia da Educação e uma metodologia que permita
ao professor organizar e dirigir o processo de estudo, respondendo as particularidades
de dito processo com o apoio dos meios técnicos.
2.1.- FORMAÇÃO DAS AÇÕES MENTAIS NA DIDÁTICA.
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Na teoria histórica cultural de Vygotsky, o processo de assimilação do homem
está dado pela experiência social. Vygotsky, Leóntiev e Galperin entre outros
reconhecem a natureza social da atividade interna (psíquica) do homem e sua unidade
com a atividade externa, prática ou material (TALÍZINA, 1984, 1988, 1994;
VYGOTSKY, 2001, 2003a, 2003b).
Na teoria da atividade de Leóntiev (2004) o estudante se relaciona com o mundo
através da atividade que está formada por ações com suas respectivas operações para
alcançar um objetivo. As ações constituem a unidade principal, o objetivo e a motivação
devem estar próximos para constituir uma atividade de estudo. Leóntiev reconhece nos
trabalhos de Vygotsky que a atividade interna ou mental é reflexo da atividade externa
ou material, mas não indica como é esta transformação.
Posteriormente Galperin indica o caminho para a transformação, não resolvida por
Leóntiev, ao colocar que a atividade antes de ser mental deve passar por cinco etapas
qualitativas, que são: primeira etapa, formação da base orientadora da ação; segunda
etapa, formação da ação em forma material ou materializada; terceira etapa, formação
da ação verbal externa; quarta etapa, formação da linguagem interna para si e a quinta
etapa, formação da linguagem interna. Isto se conhece como a teoria de formação por
etapas das ações mentais de Galperin (GALPERIN; TALÍZINA, 1967, TALÍZINA,
1984, 1988). Os autores deste trabalho sugerem a utilização do ensino centrado na
resolução de problema como elemento motivador para os estudantes.
O processo de ensino aprendizagem deve estar sob o comando do professor
seguindo os princípios da teoria geral de direção, constituída por: o objetivo de ensino
(D1), o estado de partida da atividade psíquica dos estudantes (D2), o processo de
assimilação (D3), a retroalimentação (D4) e a correção (D5). Este processo deve ser
cíclico e transparente visando, como elemento principal, o processo de transformação da
atividade externa à atividade interna (TALÍZINA, 1984, 1988, 1994).
Se representará a direção da atividade a partir da figura 1, onde E1, E2 até E5
significa as cinco etapas de formação das ações mentais.
D1 D2
D3
D5
D4 Atividade
D3
D5
D4 Atividade
E1 E5
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Figura 1: Direção da Atividade de Estudo
Segundo Pais (2001) a didática da Matemática é uma tendência da educação
matemática, cujo objeto de estudo é a elaboração de conceitos e teorias que sejam
compatíveis com a especificidade do saber matemático, tanto no nível teórico como na
prática pedagógica experimental. Por isso a didática da Matemática que se propõe tem
abordagem cognitiva, considerando-se o estudante como ser ativo, respondendo as
particularidades do contéudo que se ensina, articulando objetivos, técnicas, métodos,
recursos didáticos e avaliação.
O processo de ensino aprendizagem é realizado através da atuação conjunta de
professores e estudantes, organizado sob a direção do professor, com a finalidade de
prover as condições e meios pelos quais os estudantes assimilam ativamente
conhecimentos, habilidades, atitudes e convicções (LIBÂNEO, 1994).
Dentro da perspectiva da teoria adotada, segundo Talízina (1988), para a
construção do sistema de ações nas soluções de problemas didáticos devem realizar-se
os seguintes atos: definir o objetivo de ensino da atividade de estudo, determinar o nível
de partida na atividade cognoscitiva, formar a base orientadora da ação, selecionar as
tarefas do processo de assimilação e os instrumentos de controle, executar a
retroalimentação e correção. A seguir será detalhado cada ato.
Sendo o objetivo de ensino o aspecto hierárquico, deve definir-se a atividade em
função do mesmo que responda a dito objetivo, ou seja, selecionar um sistema
invariante de ações, com suas respectivas operações. Podendo consistir na formação de
uma nova atividade ou elevação da qualidade da atividade existente segundo algumas
características.
Um elemento muito importante no processo de ensino aprendizagem é o nível de
partida dos estudantes em relação à atividade cognitiva que se deseja formar e está
constituído pelo sistema de conceitos, os métodos e a etapa mental da atividade. É
impossível planejar e dirigir o processo com sucesso sem ter em conta este elemento.
Segundo a função do método da atividade, ela deve permitir analisar
independentemente todos os elementos da atividade de estudo ou restabelecer um
conjunto de fenômenos particulares com relação a um aspecto dado.
Quando o objetivo de ensino é formar uma nova atividade devem-se planejar
todas as etapas de formação das ações mentais, o que não é necessário quando o
objetivo é elevar o nível de uma atividade existente.
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Para determinar a etapa que se encontra os estudantes tem que recorrer às
características primárias e secundárias das ações. As primárias são: a forma, o caráter
generalizado, explanado e assimilado e as secundárias são: o caráter razoável,
consciente, abstrato e a solidez (TALÍZINA, 1998)
A base orientadora da ação deve assegurar a execução correta da ação, assim
como a seleção racional pelo menos de um método de solução. Para ser eficaz ela
necessita ser completa, geral e obtida de forma independente pelos estudantes.
Com freqüência os professores ao orientar as ações direcionam a solução de casos
particulares e os estudantes obtêm as ações preparadas pelo professor, sendo pouco
efetivo na transferência dos conhecimentos para novas situações. Isto pode ser agravada
em ocasiões quando as orientações não são completas (TINTORER; MENDOZA;
CASTAÑEDA, 2009; MENDOZA; TINTORER, 2010).
Depois de formada a base orientadora da ação deve-se apresentar para os
estudantes o conjunto de tarefas do processo de assimilação que está constituído pelo
objetivo de ensino, a atividade, o conteúdo da base orientadora e a ordem de seu
cumprimento. Tudo isso permite iniciar de forma plena o processo de ensino
aprendizagem.
Os instrumentos de controle devem permitir avaliar o nível alcançado na atividade
formada correspondente ao objetivo de ensino, segundo o conteúdo e as etapas de
formação das ações mentais dos estudantes.
A partir dos instrumentos de controle são coletadas as informações do retorno
sistemático (retroalimentação) através de indicadores como: se o estudante realiza a
ação programada, e a realiza corretamente, se a forma da ação corresponde à etapa
planejada.
A correção do processo deve ser realizada, considerando a retroalimentação e pela
lógica interna do processo de assimilação. Não deve ser realizada considerando somente
o descumprimento dos elementos da ação, senão as causas que a suscitaram como:
deficiência no nível de partida na atividade cognitiva, ou na etapa anterior do processo
de assimilação ou causas eventuais. Também, se necessário, dar atendimento de reforço
ou passar o estudante para uma etapa posterior antes do previsto, assim como avaliar o
próprio programa de ensino.
2.2.- O QUE É A ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA DA DIDÁTICA
EM MATEMÁTICA?
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O processo ensino aprendizagem deve estar centrado na resolução de problemas
através da Atividade de Situações Problema (ASP) em Matemática, que está formada
pelo sistema de quatro ações invariantes: compreender o problema, construir o modelo
matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução (MENDOZA,
2009; MENDOZA et al., 2009; MENDOZA; TINTORER; CASTAÑEDA, 2009;
MENDOZA; TINTORER, 2010).
As situações problema da Didática da Matemática está orientada para a solução
de problemas do processo ensino aprendizagem na zona desenvolvimento atual e
proximal, onde existe uma interação entre o estudante e a situação problema, orientada
pelo professor considerando um objetivo de ensino vinculando a conteúdos de
Matemática, num contexto de aprendizagem, utilizando métodos, recursos didáticos e
técnicas para colocar em prática as estratégias metodológicas.
A ASP da Didática Matemática está fundamentada pela teoria de formação das
ações mentais de Galperin, pela direção do processo ensino aprendizagem e pela ASP
em Matemática. O objeto de estudo está constituído por um sistema invariante de ações,
com suas respectivas operações, com o objetivo de contribuir na formação da teoria
científica prática do professor de Matemática para resolver problemas de ensino
aprendizagem no planejamento e exposição de aulas (TINTORER; MENDOZA, 2010).
A estratégia para a solução de problemas didáticos é divido em três momentos:
identificar o problema da ASP da Didática da Matemática, planejar e construir a ASP
em Matemática que a seguir será descrito com suas ações e operações correspondentes.
Momento nº1: Identificar o problema ASP da Didática da Matemática.
1ª-Ação: Compreender a situação problema.
• Identificar o problema e extrair todos os elementos desconhecidos;
• Estudar e compreender os elementos desconhecidos;
• Determinar os dados e suas condições, tais como as principais propostas do
projeto pedagógico no contexto em que se desenvolve o processo de ensino
aprendizagem da Matemática e as características dos estudantes, professores e
recursos didáticos referidas à atividade;
• Identificar o(s) objetivo(s) do problema.
2ª-Ação: Identificar a atividade cognoscitiva.
• Determinar o(s) objetivo(s) de ensino do conteúdo matemático;
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• Identificar a existência de um sistema invariante de ações com suas operações
para alcançar o objetivo anterior (atividade);
• Identificar a existência de métodos para executar a atividade;
• Identificar se deseja formar uma nova atividade ou elevar a existente por
meio de determinadas características.
3ª-Ação: Determinar o nível de partida da atividade cognitiva dos estudantes.
• Determinar o nível dos conhecimentos matemáticos referido ao objetivo de
ensino;
• Determinar o nível dos estudantes em relação ao sistema de ações da
atividade que se deseja formar;
• Verificar o nível dos estudantes relacionada à métodos para executar a
atividade;
• Determinar a etapa mental dos estudantes;
• Verificar a atitude e motivação dos estudantes diante da atividade;
No primeiro momento se deve identificar a situação problema que vai ser
enfrentada pelo professor. A primeira ação compreender a situação problema sem
dúvida é primária, pois ela permite iniciar a atividade na direção certa. Com frequência
a situação didática é apenas reconhecida como determinada pelo estudante e/ou a
carência de recursos didáticos na escola, o que leva a que o professor não se sinta
responsável pela solução e, por conseguinte espere que a direção da escola ou as
famílias dos estudantes tratem de resolver o problema. É tarefa do professor como
profissional da educação compreender em sua plenitude a situação e as condições em
que este se apresenta, incluindo os elementos desconhecidos. O que não significa que
deva atuar sozinho.
Quando o problema já foi compreendido e está ainda em via de solução podem
aparecer novos elementos que modifiquem parcial ou totalmente o problema.
Os projetos pedagógicos devem servir sempre de referência, pois a Matemática
não é a única disciplina do currículo e ela deve contribuir de forma harmônica, junto às
outras disciplinas, para a formação do estudante. No projeto pedagógico podem
aparecer diretrizes específicas para a Matemática para ser atendidas pelo professor, mas
também esta primeira ação pode contribuir para o aperfeiçoamento do Projeto quando
algumas diretrizes ou metas não são coerentes com as condições reais do processo de
ensino, como podem ser as características dos estudantes, dos professores ou a
existência de recursos didáticos.
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Sem dúvida o objetivo do problema didático estará sempre relacionado com
aprendizagem, o que levará ao professor a executar a ação dois.
Na segunda ação identificar a atividade cognitiva, o domínio pelo professor dos
conteúdos matemáticos, de como organizar o sistema de ações e como utilizar os
métodos mais adequados são essenciais para tratar de atingir os objetivos de ensino.
Deve-se reconhecer que em muitas ocasiões esta ação necessitará de entender
profundamente experiências já realizadas ou realizar pesquisas próprias, sobre tudo
quando se deseja desenvolver uma nova atividade. No caso que se deseje elevar o nível
de alguma característica de uma atividade que já vem sendo trabalhada, então o foco
será apenas essa característica.
Por exemplo, quando se está trabalhando com a resolução de problemas utilizando
as quatro operações básicas da matemática como uma atividade, no quinto ano do
Ensino Fundamental, é possível que não tenha sido devidamente atendida didaticamente
a interpretação dos resultados dos problemas então, essa será a ação que deve ser
melhorada na identificação da atividade cognitiva. Observe que neste exemplo o sistema
de ações invariantes e suas operações já estão identificados, assim como o método que é
a resolução de problemas matemáticos.
Na terceira ação determinar o nível de partida da atividade cognitiva dos
estudantes se precisa saber se os estudantes, que devem participar do processo de
ensino, tem os requisitos intelectuais mínimos necessários para alcançar os objetivos de
ensino.
Aqui não basta identificar os conhecimentos matemáticos prévios relacionados
com os novos conteúdos a serem trabalhados, se precisa também determinar as
capacidades para executar as ações e os métodos. A não consideração desses outros
elementos pode explicar a situação frequente de que os estudantes dominando os
conteúdos matemáticos não consegue aplicá-los a problemas porque, por exemplo, não
sabem interpretar a situação problema, sendo esta uma ação invariante dessa atividade.
Considerando que para assimilar o conhecimento se deve passar pelas etapas
proposta por Galperin, então é necessário determinar em que etapa mental se encontra o
estudante para iniciar a atividade ou continuá-la.
Para realizar as operações desta ação podem-se utilizar diversos instrumentos de
diagnóstico que a sua vez devem ser avaliados com vista a seu aperfeiçoamento para
futuras determinações do nível de partida dos estudantes.
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Determinar a atitude e motivação dos estudantes para a atividade deve manter-se
durante todo o processo e não apenas neste primeiro momento, pois uma atividade nova
pode ser atrativa inicialmente, mas com o tempo os estudantes podem perder motivação,
e sem motivação a atividade se converte em ação apenas.
Fazendo um resumo, as ações até aqui representa o momento prévio ao
planejamento considerando principalmente os objetivos de ensino, o nível inicial dos
estudantes e as condições gerais da escola.
Este trabalho deve ser feito para um tempo longo de pelo menos um bimestre,
sendo recomendável usar metodologias que por sua generalidade possam ser usadas
durante vários períodos ou ainda durante toda a Educação Básica. Isso produz maior
eficiência no processo de ensino aprendizagem, porque o tempo consumido neste
momento pode ser recuperado em outras situações.
Momento nº2: Planejar a ASP em Matemática.
4ª-Ação: Formular o sistema invariante das ações.
• Propor a ponte necessária entre o nível de partida dos estudantes e a
atividade, que inclui conteúdos e método, que se deseja formar;
• Constituir o sistema invariante de ações com suas respectivas operações.
5ª-Ação: Formular a base orientadora da ação (1ª Etapa);
• Selecionar a estratégia do sistema de ações considerando sua generalidade
(invariante), plenitude e a forma de obtenção pelos estudantes de acordo com
o objetivo de ensino;
• Estabelecer a parte orientadora, executora e de controle do sistema de ações.
6ª-Ação: Selecionar os recursos didáticos.
• Verificar os recursos didáticos disponível no contexto de aprendizagem;
• Analisar os recursos didáticos tomando sua contribuição de todas as etapas da
transformação;
• Selecionar os recursos didáticos, visando o tipo de base orientadora da ação.
7ª-Ação Selecionar o sistema de avaliação
• Analisar o tipo de avaliação considerando a etapa mental a formar;
• Analisar os possíveis instrumentos a ser utilizado em cada tipo de avaliação.
Agora se está no momento para planejar a ASP em Matemática. Na quarta ação
formular o sistema invariante das ações é um momento de decisões para o professor
logo de analisar os resultados das ações anteriores. Deve decidir como levar aos
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estudantes da zona de desenvolvimento real à potencial. É o momento de construir a
zona de desenvolvimento proximal.
Não se descarta atendimento diferenciado para alguns estudantes que dado seu
nível de partida estão muito longe das necessidades impostas pelos objetivos de ensino e
podem colocar em risco o desenvolvimento do resto dos estudantes. É bom lembrar que
um ensino que apenas trabalhe com os estudantes na zona de desenvolvimento real não
os desenvolve.
A construção do sistema de ações invariantes é uma ação complexa que dependem
dos objetivos de ensino dirigidas a aumentar a eficiências do processo de aprendizagem,
pois os estudantes estarão melhor preparados para resolver maiores números de
situações. Talízina (1988) explica várias situações de ensino pesquisadas em condições
reais que permitem entender como construir este sistema, ainda que se precisa de
professores bem preparados tecnicamente e pedagogicamente e com alguma experiência
na execução desta ação. Para os iniciantes se recomenda aproveitar experiências
relatadas na literatura que podem ser avaliadas após sua execução para seu
aperfeiçoamento. O trabalho coletivo pode ajudar a diminuir a dificuldade para executar
a ação.
Na quinta ação formular a base orientadora da ação (BOA) é necessário
considerar os objetivos de ensino e o nível de partida dos estudantes. É necessário
selecionar as estratégias concretas para orientar as ações da atividade, que deve ser
sempre plena e a mais geral possível ainda que em alguns casos possa ser preparada
pelo professor ou com maior participação dos estudantes.
Recomenda-se utilizar como critério para decidir o modo de obtenção da BOA o
caráter essencial da atividade dentro dos objetivos gerais do sistema de ensino, pois uma
BOA obtida independentemente pelos estudantes deve consumir mais tempo que uma
preparada pelo professor. Sem dúvidas outros critérios podem ser utilizados como a
preparação do professor e os recursos disponíveis na escola para a execução da ação.
Ainda é apropriado lembrar que em quaisquer das situações didáticas planejar a
obtenção da BOA de forma independente pelos estudantes pode contribuir para
desenvolver nos mesmos a capacidade de ser cidadãos críticos. Portanto utilizar uma
BOA geral, completa e construída de forma independente pelos estudantes é a mais
eficiente, ainda que possa construir-se BOA concreta para resolver situações
particulares e também preparada.
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Com a sexta ação, selecionar os recursos didáticos, se busca um auxiliar para
garantir um processo de ensino mais eficiente, sempre que selecionados coerentemente
com a teoria de aprendizagem adequada e as exigências da teoria geral da direção.
Recursos didáticos que não garantam, por exemplo, a etapa material ou
materializada não devem ser utilizados, mas esses mesmos recursos podem ser úteis nas
etapas de generalização e automatização. Por exemplo, o uso do computador na
resolução de problemas que envolvem sistema de equações lineares pode influenciar
negativamente quando o estudante se está apropriando dos procedimentos matemáticos
para a solução do sistema aplicando matrizes. Quando assimilados esses procedimentos
é recomendável utilizar o computador para realizar os numerosos cálculos mecânicos na
resolução de sistema de equações lineares e aproveitar o tempo disponível para
aprimorar a ação de interpretar os resultados do problema assim como, trabalhar
problemas mais complexos, ou seja, potencializar a generalização.
Na sétima ação selecionar o sistema de avaliação é importante considerar a etapa
de formação das ações mentais em que se encontra o estudante. A avaliação deve ser
sistemática combinada com uma inicial e final, mas a mais efetiva é a sistemática que
permite realizar a correção do processo de ensino aprendizagem.
Primeiramente deve-se realizar um diagnóstico inicial relacionado com objetivo
de ensino para conhecer o nível de partida dos estudantes, com estas informações se
elabora a BOA. Na etapa material e verbal o controle das ações deve ser detalhadas
através da interação estudante - professor na sala aula, provas de lápis e papel ou de
forma que seja adequada. Na etapa verbal externa para si o controle deve ser esporádico
ao pedido do estudante. Deve-se realizar uma avaliação final para verificar o
cumprimento do objetivo de ensino
O sistema de avaliação deve servir como forma de controle de todo o processo de
ensino e de aprendizagem para poder realizar os ajustes necessários durante todo o
processo e não apenas ao final. A variável fundamental é a etapa mental do estudante.
Assim na BOA (etapa inicial) a avaliação deve ser dirigida para a compreensão das
orientações. Se a BOA, quando executada não satisfaz as exigências propostas deve ser
corrigida até que seja assimilada pelos estudantes; pois para garantir a aprendizagem o
estudante deve passar por todas as etapas. Sendo que as etapas de generalização e
automatização ficam limitadas pelos objetivos de ensino.
Talízina (1988) considerando um conjunto de pesquisas realizadas chega as
seguintes conclusões sobre a forma de organizar a avaliação: nas primeiras etapas do
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processo de assimilação o controle deve realizar-se por operações e de forma
sistemática. Nas duas últimas etapas deve ser esporádico e a pedido do estudante. O
controle mútuo entre estudantes contribui para incentivar a motivação positiva entre
eles.
Em resumo, neste momento se planeja a atividade, preferencialmente com ações
invariantes, incluindo os recursos didáticos e o sistema de avaliação.
Momento nº3: Construir a ASP em Matemática.
8ª-Ação: Preparar o plano de ensino das etapas seguintes;
• Estabelecer as ações com suas respectivas operações centradas na resolução
de problema;
• Elaborar o plano de ensino, segundo o objetivo de ensino guiado pelas etapas
de formação das ações mentais com suas características primárias e
secundárias.
9ª-Ação: Fazer os planos de aulas;
• Selecionar as tarefas seguindo a lógica do processo de aprendizagem;
• Elaborar as situações problema que devem guiar os planos de aulas.
10ª-Ação: Preparar os instrumentos do sistema de avaliação.
• Organizar os instrumentos para saber quanto e como os estudantes aprendem
através das etapas de formação das ações mentais que permitam verificar as
características primárias e secundárias do sistema invariante.
Entra-se no momento de construir a ASP em Matemática e se começa com a
oitava ação que é preparar o plano de ensino, como havia sido comentado o processo
de ensino e aprendizagem deve ser centrado na resolução de problema, ou seja, ela é
considerada como o ponto inicial para a assimilação dos conteúdos matemáticos. Para
realizar o plano de ensino deve ser considerado a lógica e características dos conteúdos
matemáticos e as etapas mentais. Sugerem-se para sua construção analisar os seguintes
elementos: conteúdos, objetivos, tipo de aulas, horas aulas e etapas mentais.
Na nona ação fazer os planos de aulas deve-se manter a coerência com os
princípios teóricos expostos enquanto a formação das etapas mentais e a direção da ASP
em Matemática. Portanto, propõe-se uma estrutura a continuação para o planejamento
da aula proposta.
Plano de Aula
Elementos de identificação: Disciplina, unidade, assunto e tempo.
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Objetivos
Definir as habilidades dos estudantes que devem alcançar em relação aos
conteúdos.
Determinar a(s) meta(s) dos procedimentos lógicos e psicológicos do processo
de assimilação dos conteúdos dos estudantes.
Método de Ensino
Selecionar a Base Orientadora da Ação.
Eleger o tipo de aula. (Aula Expositiva, Aula Mista, Aula Prática, Seminário,
Prática de Laboratórios, entre outras)
Escolher a(s) estratégia(s) de ensino. (Resolução de Problema, Modelação
Matemática, Jogos, História da Matemática, entre outras)
Definir a estratégia de direção do processo de ensino aprendizagem
Introdução
Motivar os estudantes a partir dos objetivos de ensino.
Avaliar nos estudantes os elementos prévios dos conteúdos e a etapa mental em
relação com objetivos de ensino.
Explicar os objetivos de ensino.
Desenvolvimento
Explicar a atividade de estudo com suas ações e operações através da Base
Orientadora da Ação selecionada.
Manter a lógica durante as explicações, isso servirá de modelo para o estudante.
Introduzir as ideias e conceitos mais simples para logo aos mais complexos.
Utilizar os recursos didáticos que possam fazer a aula mais atraente e eficiente.
Avaliar em vários momentos o cumprimento dos objetivos de ensino e se é
preciso realizar as correções pertinentes. Verificar através de perguntas se os
estudantes estão aprendendo.
Analisar o planejamento dos principais recursos e metodologia usada, incluindo
o tempo que está sendo dedicado aos objetivos essenciais da aula.
Conclusões
Avaliar o cumprimento dos objetivos de ensino.
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Corrigir os erros mais significativos dos estudantes.
Sintetizar as ideias centrais, reforçando os objetivos propostos.
Orientar o trabalho extraclasse que possa ser avaliado em aulas posteriores.
Motivar o conteúdo da próxima aula.
Indicar a Referência Bibliográfica
Na última e décima ação preparar os instrumentos do sistema de avaliação como
na ação anterior, tem-se que considerar a etapa de formação das ações mentais e os
conteúdos matemáticos.
As provas de lápis e papel podem ser utilizadas em todas as etapas, devem ser
questões subjetivas onde tenham com frequência a pergunta “Justifique sua resposta”,
ou seja, é importante a argumentação das respostas. Outra prova muito interessante são
as provas orais, sugere-se preferencialmente na etapa verbal externa.
A observação direta na sala de aula será um instrumento muito valioso para
compreender o processo de aprendizagem dos estudantes, o que poderá produzir
mudanças posteriores nos instrumentos a serem definidamente utilizados.
Na formação inicial, o ciclo de formação didática não fica completo considerando
apenas a disciplina Didática, o qual precisa de outras disciplinas, como por exemplo,
estágio supervisionado, o que leva a assumir a teoria de formação por etapas das ações
mentais como parte fundamental do projeto pedagógico do curso em detrimento de
outras teorias e/ou metodologia de ensino. Considerando que em muitos casos o
professor de Matemática assume a sala de aula apenas com a formação inicial
(graduação), pode ser recomendável garantir o domínio de um método didático,
fundamentado teoricamente, a partir de um trabalho integrado e priorizado por várias
disciplinas do curso. Na formação continuada a referida metodologia seria um
complemento de muitas outras que o profissional vá assimilando durante sua formação.
2.3.- UM EXEMPLO DA ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA DA
DIDÁTICA EM MATEMÁTICA.
A continuação será colocada uma situação problema simplificada para
exemplificar o ante exposto.
Um professor com formação em licenciatura em Matemática é indicado pelo
colegiado para ministrar a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral no semestre onde
estão incluído na ementa os temas de limite, derivada e integral de funções reais de uma
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variável. Ele percebe que o conceito de limite é essencial para os temas subsequentes,
portanto, em seu planejamento decide começar com a formação do conceito de limite de
funções reais de uma variável num ponto. Como deve atuar o professor?
Momento nº1: Identificar o problema da Didática da Atividade de Situações Problema
em Limite.
O professor deve analisar o contexto de aprendizagem com os seguintes
elementos: a) estudar o projeto pedagógico, analisando a ementa da disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral, disciplinas precedentes e bibliografias; b) buscar
informações sobre os estudantes nos resultados nas disciplinas anteriores nos registros
acadêmicos e com os professores que ministraram aulas nas disciplinas precedentes; c)
Identificar os recursos didáticos como os livros de textos disponíveis na biblioteca,
laboratório de informática com um sistema de computação algébrica, entre outros e d)
analisar qualquer elemento que esteja relacionado com o contexto de aprendizagem.
Se deseja que os estudantes assimilem o conceito de limite de funções reais de
uma variável, o conteúdo matemático a ser assimilado pelos estudantes é novo. Será
utilizada a resolução de problema como metodologia de ensino, por tanto, deve-se
analisar quais atividades prévias devem dominar os estudantes. Assim, a atividade nova
a formar se denominará Atividade de Situações Problema (ASP) em Limite.
Dita atividade tem como objetivo a formação de habilidade nos estudantes na
resolução de problemas (objeto de estudo ou de assimilação) que tenha como modelo
matemático o cálculo de limites. Portanto, está implícito que é necessário a formação do
conceito e habilidade no cálculo de limites.
Entre os conhecimentos prévios principais são: conceito de função real de uma
variável e suas aplicações, estratégias ou métodos para a resolução de problemas
matemáticos e ações lógicas para a inclusão de conceito. Ao sistema de ações
mencionado se chamará Atividade de Situações Problema (ASP) em Funções.
Devem-se aplicar avaliações diagnósticas através de provas de lápis e papel e a
observação direta na sala de aula visando os domínios das habilidades (incluída as
lógicas) na formação do conceito de função. Necessita-se verificar as habilidades na
resolução de problema onde se inclua o tema de função, também se devem buscar
informações sobre as ações da ASP em Funções como: compreender o problema,
construir o modelo matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução.
17
Na elaboração das avaliações diagnósticas há que incluir elementos que permitam
determinar a etapa mental que estão às ações relacionadas às habilidades das ASP em
Função, uma sugestão é incluir nas perguntas “justifique sua resposta”. Na aplicação das
provas de lápis e papel e nas primeiras aulas se deve verificar a atitude e motivação dos
estudantes.
Momento nº2: Planejar a Atividade de Situações Problema em Limite.
A partir da avaliação diagnóstica na Atividade de Resolução Problema em Função
se deve planejar a ASP em Limite (ver Tabela 01). Se não existem os conhecimentos
prévios se devem organizar atividades para criar o enlace, estas atividades podem estar
incluídas em diferentes momentos da ASP em Limite. Dita atividade está formada pelo
sistema de ações: compreender o problema, construir o modelo matemático (o limite),
solucionar o modelo matemático (solucionar o limite) e interpretar a solução.
O inicio do processo de ensino aprendizagem deve ser as situações problema, mas
quando os estudantes não possuem estratégias para a resolução de problemas pode ser
colocado problemas do tipo heurísticos. A seleção dos problemas deve estar
condicionada a solução do modelo matemático que está relacionada com as
propriedades essenciais do conceito de limite e seu calculo.
A propriedade essencial do conceito é que uma função f(x) estará tão próximo de
um valor L (limite), quanto desejamos, tomando-se a x suficientemente próximo de um
ponto a mas não igual a a. A partir desta ideia inicial (forma material) deve realizar-se
um trabalho por etapas de formação de ações para a construção do conceito na
linguagem (forma verbal e interna). Por tanto, o professor deve planejar o sistema
invariante de ações considerando os conhecimentos prévios.
Para obter uma assimilação e retenção maior se sugere utilizar a base orientadora
da ação do tipo geral formada pelo sistema de ações da ASP em Limite, todas as
orientações (completa) para que o estudante construa junto com o professor
(independente). O professor deve utilizar uma direção da ASP em Limite do tipo cíclica,
para estabelecer a relação da orientação, execução e controle do sistema de ações para
garantir o objetivo de ensino.
Tabela 01: Plano de Ensino da ASP em Limite
nº Conteúdo Objetivos TA H/A Etapa mental
1
Comportamento
de função quando
a variável inde-
pendente se apro-
Compreender a ideia que
uma função estará tão
próximo de um valor L
(limite) quanto dese-
AE 2
Orientação do sistema de ações da
ASP em limite a partir de
problemas padrões de tangente e
velocidades (etapa de formação da
18
Para obter uma efetividade na aprendizagem da ASP em Limite se faz
imprescindível a utilização de um programa de computação algébrica, porque através
deles se pode fazer longos cálculos que às vezes é quase impossível o estudante fazer e
assim poder dedicar mais tempo ao raciocínio lógico na resolução de problema. Hoje se
podem encontrar sistemas de computação algébrica livres com boa qualidade.
Momento nº3: Construir a Atividade de Situações Problema em Limite.
Deve-se elaborar o plano de ensino seguindo a formação por etapas do sistema de
ações da ASP em limite e características dos conteúdos matemáticos, ou seja, pode-se
fazer um planejamento considerando os elementos: conteúdos, objetivos, tipo de aula
(TA), quantidade de hora (H/A) e caraterização da etapa mental.
Será exposto algumas ideias como construir o conceito de limite utilizando a
resolução como metodologia de ensino a partir da ASP em Limite. Foi selecionado três
problemas padrões para a orientação do sistema de ações da ASP em Limite. A solução
dos problemas está orientada para compreender a ideia quanto uma função f(x) estará
xima a um ponto.
Problema da
tangente e da
velocidade
jamos, tomando-se a
variável independente
suficientemente próximo
de um ponto a, mas não
igual a a
BOA)
A ação solucionar o modelo está
vinculado com o objetivo do
problema
2
Resolver problemas que
tenham como solução o
comportamento da fun-
ção quando variável se
aproxima a um ponto.
AP 8
O estudante deve realizar (etapa
material) detalhadamente o sistema
de ações tomando como bases os
problemas padrão.
O professor deve controlar os sis-
tema de ações e corrigir se é neces-
sário
As ações são consciente, comparti-
lhadas, detalhada e não generaliza-
das.
3
Definição de
limites na lingua-
gem de Ɛ - δ
Saber aplicar a definição
de limites na linguagem
de Ɛ – δ na resolução de
problema
AM 2 O estudante deve explicar (etapa
verbal) o sistema de ações sem
ajuda de objetos externos.
As ações são consciente,
compartilhadas, detalhadas e
operações são automatizadas.
4 S 2
5
Saber aplicar a definição
de limites na linguagem
de Ɛ – δ na resolução de
problema em novos
contextos
(transferências)
AP 6
O estudante deve saber aplicar o
sistema de ASP em limite ante
novas situações (etapa verbal
externa para si)
As ações são, independente,
comprimidas, automatizadas e
generalizadas.
Legenda: AE: Aula Expositiva, AP: Aula Prática, AM: Aula Mista, S: Seminário.
Fonte: Elaborado pelos autores
19
tão próxima de um valor L (limite), quanto desejarmos, tomando-se a x suficientemente
próximo de um ponto a, mas não igual à a. Se faz imprescindível a utilização de um
programa do tipo sistema de computação algébrica como o Maxima. Este programa é
livre permite realizar cálculos simbólicos (limite, derivada, entre muitos outros),
numéricos e gráficos em dois e três dimensões e permite programar.
Algumas simbologias utilizada pelo programa máxima é (%i1) significa entrada
nº1 e (%o1) a saída relacionada a sua entrada respetivamente. Continuação se estará
fazendo comentário em letra itálica para explicar algumas instruções didáticas e do
programa.
Problema padrão # 1
A que valor 2)( xxf se aproximará, quando x estará próximo de 2 quanto quiser, mas
não é 2?
(%i1) f(x):=x^2;
Pode-se obeservar que f(x) é uma função definida para todos os reais.
A continuação será realizado o gráfico da função f(x), utilizando “wxplotd2”, que
permite no “Maxima” realizar gráficos de duas dimensões.
(%i2) wxplot2d([f(x)], [x,-5,5])$
O comando “makelist(f(x),x,xi,xf,p)” permite criar uma lista de dados, f(x) é função
onde será avaliado para construir a tabela de dados; x indica a variável independente
de f(x),xi valor inicial; xf valor final e p o passo. Vejamos o exemplo a continuação.
(%i3) makelist(f(x), x, 3, 2.1,-0.1);
20
A tabela de dados é:
x 3 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1
f(x) 9.00 8.41 7.84 7.29 6.76 6.25 5.76 5.29 4.84 4.41
Que significa que quando x se aproxima a 2 pela direita então f(x) se aproxima de 4,4
(%i4) makelist(f(x), x, 1, 1.9,0.1);
Significa que quando x se aproxima a 2 pela esquerda então f(x) se aproxima de 3,61
Refinando a aproximação pela direita a partir de 2.01 encontramos que:
(%i5) makelist(f(x), x, 2.01, 2.001,-0.001);
Significa que quando x se aproxima a 2 pela direita então f(x) se aproxima de 4
Refinando a aproximação pela esquerda a partir de 1.99 encontramos que:
(%i6) makelist(f(x), x, 1.99, 1.999,0.001);
Significa que quando x se aproxima a 2 pela esquerda então f(x) se aproxima de 4
Pode-se concluir f(x) se aproxima de 4, quando x se aproxima de 2 pela esquerda
e direita, mas não igual a 2.
Utilizando o sistema de computação gráfica “Maxima” pode-se dar solução aos
problemas da tangente (padrão 2) e da velocidade (padrão 3)
Problema Padrão # 2: Encontre uma equação da reta tangente à parábola 2)( xxf no
ponto x=2.
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Problema Padrão # 3: Seja uma partícula que executa um movimento retilíneo
uniformemente acelerado, com aceleração 2/2 sm , partindo de posição e velocidade
inicial nula. Determine a velocidade para 2 segundos após iniciado o movimento.
Nos três problemas analisados tem em comum que a solução do modelo
matemático é o mesmo, ou seja, a que valor se aproxima f(x) quando x se aproxima a a,
mas não igual a a.
As próximas oitos horas aulas (etapa material) tem por objetivo saber solucionar
problemas que tenham como solução do modelo o comportamento de função f(x)
quando se aproxima a um ponto. O professor deve colocar outros problemas e
estudantes tomam como referências os problemas padrões, a complexidade deve ir
aumentando.
Neste momento se dá uma definição provisória de limite ainda com apoio dos
problemas resolvidos que é:
“Escrevemos Lxfax
)(lim e dizemos ‘o limite de f(x), quando x tende a, é igual
L’, se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximo de L (tão próximo de
L quanto quisermos), tomando x suficientemente próximo de a (por ambos lados), mas
não igual a a”
Deve-se colocar na etapa verbal problemas que entre em conflito com os
anteriores, demostrando que a definição dada até agora não é geral. A continuação se
colocará um exemplo2.
“Foi pedido a um torneiro mecânico que fabricasse um disco de metal circular
com área de 1000 cm2. Se ao torneiro é permitido uma tolerância de ±5 cm2 de área do
disco, então qual será a tolerância do raio?”
Assim podem-se colocar outros problemas que tenham como elemento principal o
analisado anteriormente. O sistema de computação algébrica “Maxima” pode ser
utilizado nesta etapa. Portanto, agora se pode enunciar a definição na linguagem Ɛ-δ
Definição: Seja f(x) uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém
o número a, exceto possivelmente no próprio a, então dizemos que o limite de f(x)
quando x tende a a é L, e escrevemos:
LxfentãoaxquetalLxfax
)(00,0)(lim que
representa em forma simbólica o conceito para funções de uma variável.
2 Exemplo extraído e modificado de Stewart (2010, p. 105).
22
Agora o estudante deve transferir e aplicar a definição de limite em novos
contextos não trabalhado. Entre as novas situações problema pode ser a construção do
conceito de limite infinito e no infinito.
3.- CONCLUSÕES
A Atividade de Situações Problema da Didática da Matemática institui uma
metodologia baseada na teoria de formação por etapas das ações mentais para preparar
os estudantes de Licenciatura em Matemática no planejamento das disciplinas
específicas e também a professores que ministram aulas de matemática nas instituições
de ensino superior.
Esta metodologia exige do professor organizar todo o processo a partir de
situações problemas, o mais próximo da realidade escolar, onde é possível analisar
casos de diversas complexidades em função do objetivo de ensino.
A disciplina está fundamentada na atividade de situações problemas em
Matemática e organizada pelas etapas identificar o problema, planejar e construir a
Atividade de Situações Problema.
A proposta permite desenvolver e acompanhar o processo de assimilação da
atividade em cada uma de suas etapas.
A realização de atividades didáticas que asseguram uma aprendizagem com
qualidade é um processo complexo, portanto seu planejamento não pode ser
simplificado. Mas é importante considerar que a atividade didática, com base nesta
proposta, pode ser construída como uma sucessão de aproximações que permitem cada
vez mais melhorar a formação dos estudantes.
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Oscar Tintorer Delgado
Físico pela Universidad de la Habana, doutor em Ciência e Técnica pela Universidad
24
Central de las Villa, ambas em Cuba. Coordenador da licenciatura em física e professor
permanente do mestrado profissionalizante em Ensino de Ciência na Universidade
Estadual de Roraima.
Héctor José García Mendoza
Matemático pela Universidad Central de las Villas, mestre em Informática Educativa
pela Universidad de Matanzas ambas em Cuba, Doutor em Psicopedagogía pela
Universidad de Jaén, Espanha. Professor de Educação Matemática na Universidade
Federal de Roraima e do mestrado profissionalizante em Ensino de Ciência na
Universidade Estadual de Roraima.
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