§7.5 Transportprozesse in Gasen
Transport von:
Gasvolumina Verteilung einer Molekülsorte in einer anderen Energie Impuls
– Gasströmung – Diffusion – Wärmeleitung – Viskosität
Auftreten bei räumlichem Unterschied von Dichte, Temperatur und Strömungsgeschwindigkeit
Gaub 34 WS 2014/15
Diffusion
Nettotransport von Teilchen aus einem Gebiet hoher Konzentration in ein Gebiet niedriger Konzentration
Gaub 35 WS 2014/15
Fluorescence recovery after photobleaching (FRAP)
Gaub 36 WS 2014/15
Diffusion
Bei gegebener Dichteverteilung der Teilchen nA(x), einer mittleren freien Weglänge Λ und isotroper Geschwindigkeitsverteilung (T=const) ist die Wahrscheinlichkeit W- , dass ein bestimmtes Teilchen die Fläche dA an der Stelle x =x0 nach seinem letzten Stoß bei x =x0 – Λ cos ϑ unter dem Winkel ϑ zur Flächennormalen nach rechts durch-quert ist gleich der Wahrscheinlichkeit W+, dass ein bestimmtes Teilchen von rechts nach links läuft.
€
dN+ v( ) = n+ f v( ) dv v dt dA cosϑ dΩ4π
Mit einer Teilchenzahldichte n+ auf der linken Seite durchfliegen dN+Teilchen von links nach rechts in einem Zeitintervall dt aus dem Raumwinkel dΩ mit der Geschwindigkeit v im Intervall dv unter dem Winkel ϑ die Fläche dA:
Aber: die Teilchenzahldichten n sind verschieden!
€
n+ = n0 + Δx dndx
n− = n0 − Δx dndx
€
dN− v( ) = n− f v( ) dv v dt dA cosϑ dΩ4π
dA
Gaub 37 WS 2014/15
Diffusion
Die Netto-Teilchenstromdichte durch dA ist:
€
j =dN+ − dN−
dA dtBeitrag der Teilchen mit v zur Stromdichte :
€
dj v( ) dv = −1dA
dN+ v( )dt
−dN− v( )dt
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ dv
€
=> djx v( ) dv = −2 Λ f v( ) v dvcos2ϑ sinϑ dϑ dϕ
4πdndx
€
=> jx = −2 Λ f v( ) v dv−∞
+∞
∫ 14π
cos2ϑ sinϑ dϑ dϕ0
π /2
∫0
2π
∫ dndx
€
v 2π/3
Ficksches Gesetz:
€
jx = −Λ v 3
dndx
= −D dndx
oder vektoriell:
€
j = −D grad n( )
mit der Diffusionskonstanten
€
D =Λ v 3
=1
n σ8 k T9 π m
38 Gaub WS 2014/15
Diffusion
Schwere Teilchen diffundieren langsamer:
⇒
Heliumatome viel leichter als Luftmoleküle
Heliumatome gleichen den geänderten Partialdruck viel schneller aus!
Gaub 39 WS 2014/15
Brownsche Bewegung
Bewegung von Mikroteilchen unter Einfluss der thermischen Bewegung kleinerer Gas- oder Flüssigkeitsmoleküle.
Die Bewegung besteht aus kurzen geraden Stücken, deren Richtungen und Längen statistisch verteilt sind.
40 WS 2014/15 Gaub
Annalen der Physik, Band 17, 1905, p 549-
Gaub 41 WS 2014/15
Robert Brown Gaub 42 WS 2014/15
See also Jan Ingenhousz J. Philos. 26, 339- (1785)
Gaub 43 WS 2014/15
Annalen der Physik, Band 17, 1905, p 549-
See also Dissertation April 1905 Uni Zürich published in Ann Physik 19, 289-(1906)
Gaub 44 WS 2014/15
Concept of osmotic pressure works for makromolecules, no reason why it should not for suspended particles! Einstein proved this first.
Osmotic pressure gradient results in force on particle.
In steady state this force is balanced by friction (implicit assumption of over-damped regime)
Particles move independently + basic statistics
Outline:
Gaub 45 WS 2014/15
Fluktuations- Disssipations- Theorem
For a comprehensive review see Hänggi, Marchesoni and Nori, Ann. Phys. (Leipzig) 14, 51-70 (2005)
Kubo
Memory-less trajectories, ballistic motion decays after τ ≈ m/6πkP ≈ 10-8 s
Smoluchowski Langevin
Gaub 46 WS 2014/15
Brownian Motor
Gaub 47 WS 2014/15
Up-hill Transport
Gaub 48 WS 2014/15
Wärmeleitung in Gasen
Energieübertrag von Orten höherer Temperatur zu Orten niedriger Temperatur durch Stöße.
Gas zwischen zwei Platten an den Orten und :
€
x1
€
x2
Transport abhängig vom Verhältnis der mittleren freien Weglänge zum Plattenabstand.
Falls Λ > d : Energie der Moleküle, die von Platte 1 kommen:
€
Ekin1=12m v1
2 =32k T1
Auf das Flächenelement dA treffen pro Zeiteinheit bei einer Teilchendichte n aus dem Raumwinkel Ω um die Richtung ϑ kommend:
€
ddtN v,ϑ( ) = n cosϑ dA v f v( ) dv∫( ) dΩ
4πGaub 49 WS 2014/15
Wärmeleitung in Gasen
Integriert ergibt sich:
Unter der Annahme, dass jedes Molekül beim Kontakt die Temperatur der Platte annimmt, verliert das Flächenelement dA pro Zeiteinheit die Energie:
€
dNdt
=n v dA4π
sinϑ cosϑ dϑ dϕ0
2π
∫0
π
2
∫
€
=n v dA4
€
dW1
dtdA = −
dN1dt
dA U1 mit:
€
U1 =f2k T1
Gleichzeitig gewinnt das Flächenelement Energie:
€
dW2
dtdA = −
dN2
dtdA U2 mit:
€
U2 =f2k T2
Die Netto-Wärmeleistung ist also:
€
dWdt
= κ A1 T2 −T1( )
mit der Wärmeübergangszahl κ:
€
κ =n v k f8
€
κ[ ] = 1 Js m2 K
Gaub 50 WS 2014/15
Wärmeleitung in Gasen
Weil der Druck an jeder Stelle gleich ist, gilt für die Dichten:
€
n1n2
=T2T1
Moleküle stoßen oft zwischen den Platten und übertragen die Energie auf andere.
Es stellt sich ein Temperaturgradient im Gas ein.
Wärme wird „diffusiv“ transportiert =>
€
dWdt
=13Λ
ddx
v n U( )
weil:
Falls Λ << d :
⇒
€
=13Λ n f
2k T dv
dx
€
U n = n f2k T
Gaub 51 WS 2014/15
Wärmeleitung in Gasen
mit:
mit der Wärmeleitfähigkeit λ
wird:
€
dv dx
=dv dT
dTdx
=8 k
2 T π mdTdx
€
dWdt
= λdTdx
€
λ =112
f n k v Λ
€
λ[ ] =J
s m K
λ wird im Druckbereich Λ << d unabhängig von der Dichte, weil:
€
Λ =1n σ ⇒
€
λ =112
f k v σ
Gaub 52 WS 2014/15
Viskosität von Gasen
Liegt zusätzlich zur thermischen Bewegung noch eine Bewegung des Systems vor (Strömung), tritt viskose Reibung auf.
Die Bewegung der Moleküle in einer Schicht ist eine Überlagerung von (statistischer und isotroper) thermischer Bewegung und Strömungsgeschwindigkeit u(x).
Strömt ein Gas in y-Richtung über eine Fläche, bewegt sich die der Fläche nächste Schicht auf Grund der Reibung nicht.
€
x = x0 ±Δx2
Aufgrund der thermischen Bewegung wechseln die Teilchen in andere Schichten und übertragen bei Stößen abhängig vom Geschwindigkeitsgradienten Impuls
Gaub 53
Viskosität von Gasen
Die Impulsstromdichte (transportierter Impuls pro Fläche und Zeit) lässt sich schreiben als:
€
jp
€
jp = ηdudx
mit dem Viskositätskoeffizienten η:
€
η =13
n m v Λ
Gaub 54 WS 2014/15
§7.6 Die Erdatmosphäre Die verschiedenen Bestandteile neigen einerseits dazu, sich durch Diffusion zu vermischen und werden andererseits durch die Gravitation auseinander gezogen.
Im stationären Gleichgewicht sind der Diffusionsstrom und der nach unten gerichtete gravitative Strom gleich groß:
Bei Fall eines Teilchens wirkt eine Reibungskraft der Schwerkraft entgegen.
€
jD z( ) + jg z( ) = 0
⇒ konstante Sinkgeschwindigkeit, damit konstanter Strom
€
jg = n vg
Gaub WS 2014/15
§7.6 Die Erdatmosphäre
Aus der barometrischen Höhenformel ergibt sich, dass das Konzentrationsverhältnis eines leichten Gases zu einem schwereren mit der Höhe zunimmt.
⇒
Das sich aus Messungen ergebende konstante Konzentrationsverhältnis ist mit der nicht konstanten Temperatur zu begründen.
Starke vertikale Strömungen
Starke Durchmischung der atmosphärischen Schichten
schwerere
Gaub 56 WS 2014/15
§7.6 Die Erdatmosphäre
Temperaturverlauf:
Standardatmosphäre:
Gaub 57 WS 2014/15
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