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* Producto Cruz o Vectorial de dos Vectores
* El producto vectorial de dos vectores es otro vector y est dad
=
Y se lee es igual a cruz
Magnitud.La magnitud de se define como
= 0 < <
Direccin.El vector tiene una direccin perpendicular al plandado que se conoce la magnitud y la direccin de , podemos esc
= = ()
Donde: , define la magnitud de y el vector unitario .
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* Expresin Vectorial Cartesiana
Consideremos ahora el producto vectorial de dos vectores y los cuales se expresan en forma vectorial cart
=
+ +
=
+
+
Luego: =
para determinar el producto cruz de dos vectores cartesianos es necesario, desarrollar un determinant
elementos conste los vectores unitarios i, j, k y cuyas segunda y tercera fila representan las componentes x, desarrollando el determinante ser:
=( ) ( ) + ( )
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* Propiedades
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0kxkjxjixi.4
kjxi.1
ikxj.2
jixk.3
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* Momento de una Fuerza Aplicada en un Punto
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El momento de una fuerza , con respecto al punto O, o con respecto
que pasa por O y es perpendicular al plano que contiene a o y a est
momento () de fuerza y no es ms que el producto vectorial del ve
vector fuerza. Se escribe as: =
Donde:
es el vector de posicin trazado desde O hasta cualquier punto qu
la lnea de accin de
Magnitud: la magnitud del momento est dado por:
= = =
Direccin: La direccin del momento est dado por la regla de la m
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El momento de la fuerza ser positivo si la fuerza apsentido anti horario al cuerpo y ser de signo negativo si ghorario las manecillas del reloj.
Veamos el caso cuando usamos un desarmador para sacar
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* Aplicaciones del Momento de Fuerza
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* Momento de una Fuerza Formulacin Escalar
El momento de una fuerza con respecto a un punto o eje proporciotendencia de la fuerza a ocasionar que un cuerpo gire alrededor del pun
Por ejemplo la Fx , que acta perpendicular al mango de la llave y distancia dydel punto O, se ve que esta fuerza tiende a girar el tubo alre
Ahora si al aplicar la fuerza FZel tubo no gira con respecto al eje z, erespecto al eje x
Finalmente, si una fuerza FYes aplicada a la llave fig. c, no se producerespecto al punto O. Esto resulta en una ausencia de giro ya que la lneapaso por O
El momento MO con respecto a O, o con respecto a un eje que pase por O y sees una cantidad vectorial, tiene magnitud, direccin y sentido
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* Direccin de l Momento MO
La direccin de MOser especificada usando la regla de la m
Para hacer esto, los dedos de la mano derecha son enrolladsigan el sentido de rotacin que ocurrira se la fuerza pudidel punto O.
En la figura . El Pulgar seala entonces a lo largo del ej
manera que da la direccin y el sentido del vector momarriba y perpendicular al plano sombreado que contiene a F
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El momento de una fuerza F con respecto a un punto O, del eje de momentos que pasa a travs de O y que es perpendic
O y F
r
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O
F
OM
Eje de momento
FxO
rM
r O
F
O
M
Eje de mome
d
)sen(rFsenFO
rM
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* Momento de una Fuerza Formulacin Vectorial
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x
z
yO
A
A
r
F
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Expresin vectorial
1.- Consideramos una Fuerza F aplicado en el punto A
2.- El momento causado por esta fuerza F con respecto al p
M O = r A x F
3.- El vector r puede extenderse desde O a cualquier accin de la fuerza F
4.- Entonces se obtendr el mismo momento:
M O = r A x F = r B x F = r C x F
5.- La direccin del vector momento est dado por los ng
Expresin vectorial cartesiana
C
B
.
.
.
C
r
BrO
M
rFr(j)FrFr(i)FrF
FFF
rrr
kji
FxrM
yxxzzxyzz
zyx
zyx
y
O
(r
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* Problema Ejemplo 01
Si = 45, determine el momento producido por la fuerza de 4 kN
Solucin.
= (0.45)(4 cos 45) 3 445 =
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* Problema Ejemplo 02
El mango del martillo est sometido a la fuerza de F = 20 lb. Determinfuerza respecto del punto A.
Solucin = 2030
18 2030 5 = 361.77 = 362 .
Roberto Gil Aguilar
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* Problema ejemplo 03
Determine la direccin para < < 180de la fuerza F, de mmomento mximo respecto al punto A. Calcule este momento.
Solucin.
Para obtener mximo momento la fuerza y d deben de ser perpen
= 400 3 + 2 = 1442 .
=
= 33. 69
= 90 33. 69 = 56.3
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* Problema ejemplo 4
La fuerza de 70 N acta sobre el extremo del tubo en B. Determine fuerza con respecto al punto A y (b) la magnitud y la direccin daplicada en C, que produce el mismo momento. Considere que = 60
Solucin.
(a) = 70 60 0.7 + 70c os 60 0.9 = 73.9 .
(b) 0.9 = 73.9
= 82.2
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* Problema ejemplo 4
Determine el momento producido por la fuerza FB respecto al resultado como un vector cartesiano.
Solucin.
Para determinar el momento podemos calcular con cualquiera dposicino debido a que pasan por la lnea de accin de la fu
= (6 k) m y = 2.5
Determinemos ahora la fuerza temiendo en cuenta su vector unitario
= = 7800 0 + 2.5 0 + 0 6
( 0 0)+(2.4 0)+(0 6)= 300
Calculemos el momento con respecto a O:
= = 0 0 60 300 720
= 1800 = 1
Se debe llegar al mismo resultado con el vector de posicin
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* Problema ejemplo 5
Determine el momento producido por cada fuerza respecto del ppunta del taladro. Exprese los resultados como vectores cartesian
Solucin
Determinemos los vectores de posicin:
= 0.15 0 + 0.3 0 + 0 0 = 0.15 = 0 0 + 0.6 0 + 0.15 0 = 0.6
Calculemos el momento que produce la FUERZA FA
= x=
0.15 0.3 040 100 60
= 18 + 9 3 .
Calculemos el momento que produce la FUERZA FB
= x= 0 0.6 0.15
50 120 60
= 18 + 7.5 + 30 .
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* Problema Ejemplo 6Determine la magnitud del momento que ejerce la fuerza F con respecResuelva el problema con un mtodo vectorial cartesiano y despus con
Solucin.
Mtodo vectorial cartesiano.
Calculemos primero el vector de posicin = 0.2 cos 45
0) + (0 0 + 0.2 45 0 = 0.141 0
Determinemos F en su expresin cartesiana:
= 1630 + 1630 = 13.856 + 8.0
Calculemos ahora el momento que produce esta fuerza con respecto al eje y
= . =0 1 0
0.141 0 0.14113.856 0 8.00
= 0.828
Mtodo Escalar
= 1630 0.245 + 1630 0.245 = 0.828 .
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*
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* Problema Ejemplo 7
Si F = 450 N, determine la magnitud del momento producido por eje x.
Solucin.
Determinemos el vector de posicin que pasa por la lnea de accin
= 0.15 0 + 0.3 0 + 0.1 0 = 0.15
Ahora calculemos la fuerza en su expresin vectorial:
= 450 60 + cos60 + cos 45 = (225 + 2
Finalmente el momento con respecto al eje x:
= . =
1 0 0
0.15 0.3 0.1225 225 318.20 = 73.0
Roberto Gil Aguilar 17
R. C. HIBBEESTATICA D
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