Dielettrici (Isolanti)
N.B. nelle operazioni che svolgeremo avremo a che fare con condensatori
carichi. Si può operare in due diverse condizioni:
1) a carica costante: condensatore caricato e poi scollegato dal generatore
2) a potenziale costante: condensatore sempre collegato al generatore
Dielettrici 1
Carica costante
Inseriamo una lastra metallica tra le armature di un condensatore caricolastra metallica
V0 V
Q costante , V < V0, C = Q/V aumenta
Equivale ad un condensatore di separazione tra le due armature d = h-s
Dielettrici 2
Inseriamo una lastra di dielettrico (isolante):( )
prima, lastra di spessore < separazione fra le armature : V’ < V0 (a)
poi in modo da riempire tutto lo spazio fra le armature Vk < V’ < V0 (b)
Definiamo costante dielettrica (relativa) del dielettrico, k ,il rapporto
Dielettrici 3
Allora:Allora:
con ε = k ε0 ( costante dielettrica assoluta/ permettività del dielettrico)
E
0 ( p )
e σp = σ0 /k
Calcoliamo l’extra-campo elettrico prodotto dal dielettrico, Ei
Ei =i
La χ (chi) si definisce “ suscettività dielettrica”
4Dielettrici
All’i t d l di l tt i i f l tt i (di l i i )All’interno del dielettrico si forma un campo elettrico (di polarizzazione)
(Ei ) di segno opposto a quello tra le armature del condensatore (E0) , per
cui il campo totale (Ek) decresce. Ek = Eo - Ei
Sulle facce del dielettrico compare una densità di carica, σp, di segno
opposto a quella sulle armature di fronte , ma di valore minore
$+ + + + +E0 Ei
Dielettrici 5
N B Le cariche sulle armature e quelle sul dielettrico non possono combinarsiN.B. Le cariche sulle armature e quelle sul dielettrico non possono combinarsi,
perché quelle sul dielettrico non sono cariche mobili e quelle sulle armature non
t l di l tt i h è i l tpossono entrare nel dielettrico che è isolante.
Se moltiplichiamo le σ per l’area delle armature ,Σ, otteniamo le cariche
totali. Quindi da si ottiene
6Dielettrici
La capacità di un condensatore pieno di dielettrico diventa
In particolare per il condensatore f.p.p. si ha
ε = kε0 si chiama costante dielettrica assoluta del dielettrico
Tutte le formule viste in precedenza per il condensatore vuoto, valgono anche
ll i di di l tt i i tit i
7Dielettrici
per quello pieno di dielettrico, se si sostituisce ε0 con ε.
Si definisce Rigidità dielettrica il più elevato valore del campo elettrico nel qualeg p p q
può trovarsi il dielettrico prima che al suo interno comincino a scorrere delle cariche
(il dielettrico “si buca”)
8Dielettrici
EsempioEsempio
Condensatore parzialmente riempito di dielettrico di cost. diel. k
Quanto valgono V’k e Ceq ?
Fuori dal dielettrico campo elettrico è
come nel cond. vuoto E = σ0/ε0 .
Nel dielettrico Ek = σ0/kε0
N.B. E non dipende dalla posizione del p p
dielettrico e V’k dipende solo dallo spessore
9Dielettrici
V’k
Ceq
Come si vede il sistema equivale a due condensatori in serie, uno vuoto, di
Dielettrici 10
separazione (h-s), e l’altro pieno di dielettrico di spessore s e costante k
Potenziale costantePotenziale costante
Il condensatore è sempre collegato a un generatore che mantiene costante
la d.d.p. ai suoi capi, V0 , facendo variare, se necessario la carica sulle
armature.
Cond. vuoto:
Dielettrici 11
Con dielettrico C = k C0 , quindi:
Il generatore deve fornire una l’extra-carica qp , producendo un lavoro
W VW = qp V0
Dielettrici 12
Forza di risucchio su una lastra di dielettricoForza di risucchio su una lastra di dielettrico
In un condensatore a f.p.p., di lato l e separazione h, collegato a unp p p g
generatore, è inserita una lastra di dielettrico per una lunghezza x.
N.B. Il campo elettrico non è (mai) uniforme in prossimità dei bordi!
Cosa succede?
13Dielettrici
Il campo del condensatore interagisce con le cariche indotte sul dielettrico
(anche fuori dalle armature).
Consideriamo il sistema come due
cond (uno pieno e uno vuoto) in- - - - - -
cond. (uno pieno e uno vuoto) in
parallelo+ ++ +++
se x aumenta di dx, (la lastra entra di più tra le armature) C cresce di dCse u e d , ( s e d p ù e u e) C c esce d C
con spostamento della carica dq = VdC da una faccia all’altra ad opera del
Dielettrici 14
generatore
Il generatore compie un lavoroIl generatore compie un lavoro
l’energia elettrostatica aumenta di
L’altra metà del lavoro del generatore viene fatto tramite la forza di risucchio
N.B. il segno di F
Dielettrici 15
Polarizzazione dei dielettrici
Di h t è l i h ll f d l di l tt i ?Di che natura è la carica che appare sulle facce del dielettrico?
Un dielettrico sottoposto a un campo elettrico si dice polarizzato
Struttura dei dielettrici:
Elementi (atomi o molecole) senza (1) o con (2) momento di dipolo spontaneo.
1) Senza m.d.d.
Es.atomo
Effetto del campo elettrico esterno: Spostamento dei
“baricentri” delle cariche + e -, con formazione di un
m.d.d. indotto: p = Zex
16Dielettrici
2) Molecole con m.d.d. spontaneo p0 (es. H2O)
Effetto del campo esterno: orientazione media dei dipoliEffetto del campo esterno: orientazione media dei dipoli.
E’ come se all’interno del dielettrico si
formassero delle catene di dipoli (efficaci)formassero delle catene di dipoli (efficaci)
da una faccia all’altra.
Dielettrici 14
Supponiamo di individuare un volumetto cubico τ all’interno del
dielettrico polarizzato, che contenga N atomi o molecole, ognuno con
m.d.d. medio <p>
Il m.d.d. totale è p = N <p> .
Definiamo Momento di dipolo per unità di volume
n = densità di atomi o molecole (m-3),
U ità di i < > C P C / 3 C / 2 d ità fi i l di
Il vettore P (sempre // a E) si definisce anche Polarizzazione (del dielettrico)
Unità di misura: <p>: C m; P : C m / m3 = C /m2 = densità superficiale di
carica.
18Dielettrici
Prendiamo un volumetto, dτ, all’interno del dielettrico polarizzato di area dΣ0
e spessore dh, nella direzione di P e E, il suo m.d.d. è: dp = P dτ
Possiamo sostituirlo con un altro sistema che non alteri il m d d totale ?
Sostituiamolo con due lamine metalliche di area dΣ0 e separate di dh.
Possiamo sostituirlo con un altro sistema che non alteri il m.d.d. totale ?
Che carica dq dobbiamo mettere sulle armature pe avare lo stesso m.d.d.?
P dτ = dq dh = σ dΣ dh = σ dτP dτ = dq dh = σp dΣ 0 dh = σ dτ
quindi σp = P e dq = P dΣ0
Dielettrici 19
Se ora consideriamo due cubetti adiacenti, le cariche –dq e +dq sulle due
facce in contatto si annullano e restano solo le cariche –dq e +dq sulle
facce estreme, ad una distanza 2dh.
Continuando ad aggiungere cubetti si arriva alle due superfici
Quindi sulle facce di una lastra di dielettrico polarizzato è presente una carica
Dielettrici 20
di polarizzazione di densità σp = |P|
Se il dielettrico non ha forma regolare, dato un prismetto di superficie,Se il dielettrico non ha forma regolare, dato un prismetto di superficie,
sulla faccia interna –dq = σ’p dΣ0 = P dΣ0 mentre sulla faccia esterna
dq = σ dΣ quindidq = σp dΣ , quindi
Se 0 < θ < π/2 σp > 0, se π/2 < θ < π σp < 0
Per una lastra θ = 0 e θ = π
21Dielettrici
In generale (cristalli cubici. amorfi,…) P ∝ E:
P = ε0 χ E = ε0 (κ-1) E
quindi χ è uno scalare.
Ma per i cristalli χ può essere un tensore! Pi = ε0 Σj χij Ej
D h l i h di l i iDato che le cariche di polarizzazione qp sono
cariche “vere”, possiamo inserirle nella Legge di
Gauss applicata alla scatola cilindrica in figura,
con la base (di area Σ ) parallela alle armature.
Dielettrici 22
Considerando che P è nulla all’interno delle armature si ha
Calcoliamo il flusso di P attraverso la stessa superficie chiusa Σ
Considerando che P è nulla all interno delle armature si ha
= σpΣ = qp
per cui
(cariche libere)
23Dielettrici
Definiamo D il vettore Induzione Dielettrica.Definiamo D il vettore Induzione Dielettrica.
Quindi le Legge di Gauss in presenza di dielettrici, si può scrivere
( = D Σ …)
Il modulo di D coincide con la densità di cariche libere σ
Come si vede P e D e σ hanno le stesse dimensioni quindi le stesse unità di
misura: C / m2
24Dielettrici
In un dielettrico in un C.F.P.P.
La forma locale della Legge di Gauss in presenza di un dielettrico diventa:
Dielettrici 25
Top Related