บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 1
บทที่ 6อินทิกรัลตามพื้นผิว
รองศาสตราจารย ดํารงค ทิพยโยธาภาควิชาคณิตศาสตรและวิทยาการคอมพิวเตอรคณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
http://www.math.sc.chula.ac.th/~tdumrong/2301217
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 2
6.1 สมการเวกเตอรของพื้นผิวในเนื้อหาแคลคูลัส 2 เราไดเคยศึกษา สมการเวกเตอรของเสนตรง และ ระนาบ มาแลว เชนสมการเวกเตอรของเสนตรง L ผานจุด 0P ( 0x , 0y , 0z )และมี A
v เปนเวกเตอรแสดงทิศทาง คือ Pv = 0P
v + tAv
สมการเวกเวกเตอรของระนาบ M ซึ่งผานจุด 0P
และมี Nv เปนเวกเตอรแนวฉากคือ PP0 ⋅Nv = 0
ในหัวขอนี้เราจะศึกษาเก่ียวกับสมการเวกเตอรของพื้นผิวการเขียนกราฟของฟงกชันคาเวกเตอรที่มีโดเมนเปนจํานวน
จริง และ กราฟของฟงกชันคาเวกเตอรที่มีโดเมนเปนสับเซตของ2R โดยจะแสดงภาพของโดเมน และ พิสัยของฟงกชัน
ในรูปที่ 6.1.1 เปนภาพที่แสดง กราฟของฟงกชันคาเวกเตอรrv(t) = (0, t, 2t ) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 4ซึ่งแสดงทั้งโดเมน [0, 4] และพิสัยของ rv(t) ซึ่งก็คือ วิถี C ของ rv(t)
รูปที่ 6.1.1
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 3
สําหรับฟงกชัน rv : T → 3R เมื่อ T เปนสับเซตของ 2R
นิยามโดย rv(u, v) = (X(u, v), Y(u, v), Z(u, v)) ... (1)สมการ (1) เรียกวา สมการเวกเตอรของพื้นผิวสมการอิงตัวแปรเสริมของพื้นผิว คือ x = X(u, v)
y = Y(u, v)z = Z(u, v)
เมื่อ (u, v) เปนสมาชิกของ Tกราฟของ rv ในปริภูมิสามมิติเรียกวาพื้นผิวของสมการเวกเตอร rv ใชสัญลักษณแทนดวย rv(T)ในการแสดงความหมายของฟงกชันคาเวกเตอร rv จาก 2R ไปยัง 3R จึงตองแสดงโดเมนของ rv ซึ่งเปนสับเซตของ 2R และ พิสัยของ rv ซึ่งเปนสับเซตของ 3R
เพราะฉะนั้นการแสดงกราฟของ rv พรอมโดเมนและพิสัยสามารถแสดงในลักษณะดังนี้
รูปที่ 6.1.2
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 4
ตัวอยาง 6.1.1จงเขียนกราฟของ rv(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))1. rv(u, v) = (u, v, 4) เมื่อ rDv = [0, 4] × [0, 3]2. rv(u, v) = ( 2
u , v, 4) เมื่อ rDv = [0, 4] × [0, 3]3. rv(u, v) = (u, v, 6 – 2u – 3v) เมื่อ u ≥ 0 และ v ≥ 0 และ 6 – 2u – 3v ≥ 04. rv(u, v) = (u, v, 2u + 2v ) เมื่อ u และ v เปนจํานวนจริงวิธีทาํ1. rv(u, v) = (u, v, 4) เมื่อ rDv = [0, 4] × [0, 3]ภาพของโดเมน rv
คือส่ีเหลี่ยมผืนผา [0, 4] × [0, 3] บนระนาบ UVกราฟของ rv ในปริภูมิ XYZคือ พื้นผิว {(x, y, 4) | (x, y) ∈ [0, 4] × [0, 3]}เพราะฉะนั้นกราฟของ rv เปนดังรูปที่ 6.1.3
รูปที่ 6.1.3
Calculus III page 1 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 5
2. rv(u, v) = ( 2u , v, 4) เมื่อ rDv = [0, 4] × [0, 3]
ภาพของโดเมน rv
คือส่ีเหลี่ยมผืนผา [0, 4] × [0, 3] บนระนาบ UVกราฟของ rv ในปริภูมิ XYZคือพ้ืนผิว {(x, y, 4) | (x, y) ∈ [0, 2] × [0, 3]}เพราะฉะนั้นกราฟของ rv เปนดังรูปที่ 6.1.4
รูปที่ 6.1.43. rv(u, v) = (u, v, 6 – 2u – 3v)เมื่อ u ≥ 0 และ v ≥ 0 และ 6 – 2u – 3v ≥ 0ภาพของโดเมน rv คือบริเวณ u ≥ 0 และ v ≥ 0และ 6 - 2u - 3v ≥ 0 บนระนาบ UVกราฟของ rv ในปริภูมิ XYZ คือพื้นผิว {(x, y, z) | z = 6 – 2x – 3y และ x ≥ 0และ y ≥ 0 และ 6 - 2x - 3y ≥ 0}เพราะฉะนั้นกราฟของ rv เปนระนาบ z = 6 – 2x – 3y
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 6
หรือ 2x + 3y + z = 6ซึ่งมีกราฟในในอัฐภาคที่หนึ่งดังรูปที่ 6.1.5
รูปที่ 6.1.54. rv(u, v) = (u, v, 2u + 2v ) เมื่อ u และ v เปนจํานวนจริงภาพของโดเมน rv คือบริเวณระนาบ UVกราฟของ rv ในปริภูมิ XYZคือพ้ืนผิว {(x, y, z) | z = 2x + 2y เมื่อ x, y เปนจํานวนจริง}เพราะฉะนั้นกราฟของ rv เปนกราฟของพื้นผิวอิลลิปติกพาราโบลอยด z = 2x + 2y ดังรูปที่ 6.1.6
รูปที่ 6.1.6
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 7
ตัวอยาง 6.1.2 พื้นผิวซึ่งมีสมการเวกเตอรrv(u, v) = (u cos v, u sin v, u) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 4 และ 0 ≤ v ≤ 2π}มีกราฟเปนรูปอะไรวิธีทาํ rv(u, v) = (u cos v, u sin v, u) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 4 และ 0 ≤ v ≤ 2π}เมื่อ x = u cos v, y = u sin v, z = uจะได 2x + 2y = 2u 2cos v + 2u 2sin v = 2u = 2z
เพราะฉะนั้นพื้นผิว rv เปนรูปกรวย
รูปที่ 6.1.7
หมายเหตุ ผลจากตัวอยางขางตนเราสรุปเปนกรณีทั่วไปไดวากรวย 2x + 2y = 2z และ 0 ≤ z ≤ kมีสมการเวกเตอรของพื้นผิวเปนrv(u, v) = (u cos v, u sin v, u) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ k และ 0 ≤ v ≤ 2π}
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 8
ตัวอยาง 6.1.3 พื้นผิวซึ่งมีสมการเวกเตอรrv(u, v) = (k sin u cos v, k sin u sin v, k cos u)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ π และ 0 ≤ v ≤ 2π}มีกราฟเปนรูปอะไรวิธีทาํ
รูปที่ 6.1.8rv(u, v) = (k sin u cos v, k sin u sin v, k cos u)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ π และ 0 ≤ v ≤ 2π}เมื่อ x = k sin u cos v, y = k sin u sin v, z = k cos uจะได 2x + 2y + 2z
= 2k 2sin u 2cos v + 2k 2sin u 2sin v + 2k 2cos u= 2k 2sin u( 2cos v + 2sin v) + 2k 2cos u= 2k 2sin u(1) + 2k 2cos u = 2k ( 2sin u + 2cos u) = 2k
เพราะฉะนั้นพื้นผิว rv เปนพื้นผิวทรงกลมรัศมี kและมีจุดศูนยกลางที่จุด (0, 0, 0)
Calculus III page 2 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 9
หมายเหตุ 1. ผลจากตัวอยางขางตนจะไดวาทรงกลม2x + 2y + 2z = 2k มีสมการเวกเตอรของพื้นผิวเปน
rv(u, v) = (k sin u cos v, k sin u sin v, k cos u)เมื่อ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ π และ 0 ≤ v ≤ 2π}
2. พื้นผิวครึ่งทรงกลมเหนือระนาบ XYมีสมการเวกเตอรของพื้นผิวเปนrv(u, v) = (k sin u cos v, k sin u sin v, k cos u)เมื่อ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2
π และ 0 ≤ v ≤ 2π}3. พื้นผิวครึ่งทรงกลมใตระนาบ XY
มีสมการเวกเตอรของพื้นผิวเปนrv(u, v) = (k sin u cos v, k sin u sin v, k cos u)เมื่อ T = {(u, v) | 2
π ≤ u ≤ π และ 0 ≤ v ≤ 2π}4. รูปแบบอื่น ๆ ของพ้ืนผิวครึ่งทรงกลมเหนือระนาบ XY
มีสมการเวกเตอรของพื้นผิวเปนrv(x, y) = (x, y, 222 yxk −− ) เมื่อ (x, y) ∈ Tโดยที่ T = {(x, y) | 2x + 2y ≤ 2k เมื่อ k > 0}
5. รูปแบบอื่น ๆ ของพ้ืนผิวครึ่งทรงกลมใตระนาบ XYมีสมการเวกเตอรของพื้นผิวเปนrv(x, y) = (x, y, – 222 yxk −− ) เมื่อ (x, y) ∈ Tโดยที่ T = {(x, y) | 2x + 2y ≤ 2k เมื่อ k > 0}
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 10
ตัวอยาง 6.1.4 จงหาสมการเวกเตอรของพื้นผิวพาราโบลอยดz = 2x + 2y เมื่อ 0 ≤ z ≤ 9วิธีทาํ
รูปที่ 6.1.9ให P(x, y, z) เปนจุดบนพาราโบลอยด z = 2x + 2y
เมื่อ 0 ≤ z ≤ 9โดยใชพิกัดทรงกระบอก จะไดวา พื้นผิวพาราโบลอยดจะมีสมการอิงตัวแปรเสริมเปน
x = u cos vy = u sin vz = 2u
เมื่อ (u, v) ∈ T โดยที่ T = [0, 3] × [0, 2π]จะไดสมการเวกเตอรของพื้นผิวrv(u, v) = (u cos v, u sin v, 2u ) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 3 และ 0 ≤ v ≤ 2π}
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 11
หมายเหตุ1. ผลจากตัวอยางขางตนจะไดวา
พาราโบลอยด z = 2x + 2y เมื่อ 0 ≤ z ≤ kมีสมการเวกเตอรเปน rv(u, v) = (u cos v, u sin v, 2u )เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ k และ 0 ≤ v ≤ 2π}
2. พาราโบลอยด z = 2x + 2y เมื่อ 0 ≤ z ≤ kสามารถกําหนดสมการเวกเตอรของพื้นผิวไดเปนrv(x, y) = (x, y , 2x + 2y ) เมื่อ (x, y) ∈ Tโดยที่ T = {(x, y) | 2x + 2y ≤ k}
ตัวอยาง 6.1.5 จงหาสมการเวกเตอรของทรงกระบอก 2x + 2y = 16 และ 0 ≤ z ≤ 5วิธีทาํ
รูปที่ 6.1.10
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 12
ให P(x, y, z) เปนจุดบนทรงกระบอก 2x + 2y = 16เมื่อ 0 ≤ z ≤ 5โดยใชพิกัดทรงกระบอก จะไดวา พื้นผิวทรงกระบอกจะมีสมการอิงตัวแปรเสริมเปน
x = 4 cos uy = 4 sin uz = v
เมื่อ (u, v) ∈ T โดยที่ T = [0, 2π] × [0, 5]จะไดสมการเวกเตอรของพื้นผิวrv(u, v) = (4 cos u, 4 sin u, v)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2π และ 0 ≤ v ≤ 5}หมายเหตุเมื่อ h, k เปนจํานวนจริงบวกผลจากตัวอยางขางตนจะไดวาทรงกระบอก 2x + 2y = 2k เมื่อ 0 ≤ z ≤ hมีสมการเวกเตอรเปน rv(u, v) = (k cos u, k sin u, v)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2π และ 0 ≤ v ≤ h}
Calculus III page 3 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 13แบบฝกหัด 6.11. จงหาสมการเวกเตอรของพื้นผิว
1.1 3x + 2y - 6z = 241.2 2x + 2y = 161.3 2x + 2y = z1.4 4 2x - 9 2y = 36z1.5 49 2x + 9 2y + 2z = 25
2. พ้ืนผิวซึ่งมีสมการเวกเตอร rv (u, v) และ โดเมน T ที่กําหนดใหตอไปนี้ มีพ้ืนผิวเปนรูปอะไร2.1 rv (u, v) = (2u, v, 4 2u + 2v ) เมื่อ T = {(u, v) | 0 ≤ 4 2u + 2v ≤ 4}2.2 rv (u, v) = (4 cos u, 4 sin u, v) เมื่อ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2π และ -4 ≤ v ≤ 4}2.3 rv (u, v) = (u + v + 4, u - v + 5, 2u) เมื่อ T = {(u, v) | u และ v เปนจํานวนจริง}2.4 rv (u, v) = (u, v, 22 vu1 −− ) เม่ือ T = {(u, v) | 0 ≤ 2u + 2v ≤ 1}
เฉลยแบบฝกหัด 6.11. 1.1 rv (u, v) = (u, v, 6
v2u324−
−− )1.2 rv (u, v) = (4 cos u, 4 sin u, v)1.3 rv (u, v) = (u cos v, u sin v, 2u )1.4 rv (u, v) = (3u, 2v, 2u - 2v )
แนะนาํ ให x = 3u และ y = 2v จะได 4 2x = 36 2u และ 9 2y = 36 2v
เพราะฉะนั้น 4 2x - 9 2y = 36 2u - 36 2v = 36( 2u - 2v ) = 36z1.5 rv (u, v) = ( 7
5 sin u cos v, 35 sin u sin v, 5 cos u)
แนะนาํ ให 7x = 5 sin u cos v และ 3y = 5 sin u sin v และ z = 5 cos uเพราะฉะนั้น 49 2x + 9 2y + 2z = (5 sin u cos v) 2 + (5 sin u sin v) 2 + (5 cos u) 2 = 25
2. 2.1 พ้ืนผิวอิลลิปติกพาราโบลอยด 2x + 2y = z โดยที่ 0 ≤ z ≤ 42.2 พ้ืนผิวทรงกระบอก 2x + 2y = 16 โดยที่ -4 ≤ z ≤ 42.3 พ้ืนผิวระนาบ x + y - z = 9
แนะนาํ ให x = u + v + 4 และ y = u - v + 5 และ z = 2uเพราะฉะนั้น x + y = 2u + 9 = z + 9 เพราะฉะนั้น x + y - z = 9
2.4 พ้ืนผิวครึ่งทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1 เหนือระนาบ XY
Calculus III page 4 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 14
6.2 การหาพื้นที่ของพื้นผิวการหาพื้นที่ผิวของรูปทรงที่รูสมการเวกเตอร เชน ระนาบพื้นผิวไฮเพอรโบลิกพาราโบลอยด
รูปที่ 6.2.1(ก) รูปที่ 6.2.1(ข)หมายเหตุ || A
v × Bv ||
= พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานที่มีดานประชิดเปน A
v และ Bv
ดังรูปที่ 6.2.2 รูปที่ 6.2.2ตัวอยาง 6.2.1 จงหาพื้นที่ผิวของระนาบรูปสี่เหลี่ยมดานขนานS ที่มีดานประชิดเปน A
v = (1, –1, 2) และ Bv = (–1, 2, –1)
วิธีทาํ Av × B
v = 12 12 11 k j i
−−
−
vvv
= 12 2 1 −
− iv – 11
2 1 −− jv + 2 1
11 −− k
v
= (1 – 4) iv – (–1 + 2) j
v + (2 – 1)kv = –3 i
v – jv + k
v
เพราะฉะนั้น พื้นที่ระนาบ S = || Av × B
v ||= 222 1)1()3( +−+− = 11
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 15
ตัวอยาง 6.2.2 จงหาพื้นที่ผิวของพื้นผิวระนาบ2x + y + 3z = 6 ในอัฐภาคที่หนึ่งวิธีทาํ
รูปที่ 6.2.3 พื้นที่ผิวของระนาบ = 2
1 || AB × AC ||= 2
1 || ((0, 6, 0) – (3, 0, 0)) × ((0, 0, 2) – (3, 0, 0)) ||
= 21 || (–3, 6, 0) × (–3, 0, 2) ||
= 21 ||
2 0 30 6 3k j i
−−
vvv
||
= 21 || 20
06 iv – 23
03 −− j
v + 0363 −
− kv ||
= 21 || 12 i
v + 6 j
v + 18kv ||
= 21 32436144 ++
= 21 504
= 3 14
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 16
บทนิยาม 6.2.1 กําหนดให S เปนพื้นผิวในปริภูมิสามมิติภาพฉายของพื้นผิว S บนระนาบ XYหมายถึงเซต XYS = {(x, y, 0) | มี z ที่ทําให (x, y, z) ∈ S}ภาพฉายของพื้นผิว S บนระนาบ YZหมายถึงเซต YZS = {(0, y, z) | มี x ที่ทําให (x, y, z) ∈ S}ภาพฉายของพื้นผิว S บนระนาบ XZหมายถึงเซต XZS = {(x, 0, z) | มี y ที่ทําให (x, y, z) ∈ S}ตัวอยางเชนS = {(x, y, z) | 2x + 2y = z และ 0 ≤ z ≤ 4}
XYS = {(x, y, 0) | 2x + 2y ≤ 4}เปนจุดภายในวงกลมซึ่งมีจุดศูนยกลางที่จุด (0, 0)และมีรัศมีเทากับ 2 บนระนาบ XYภาพของ S และ XYS เปนดังรูปที่ 6.2.4
รูปที่ 6.2.4
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 17
ตัวอยาง 6.2.3 กําหนดสมการระนาบ M : 2x + 3y + z = 24S เปนสับเซตของพื้นผิวระนาบ M ที่มี
XYS = [0, 3] × [0, 4] × { 0 } จงหาพื้นที่ของ Sวิธีทาํ
รูปที่ 6.2.5จุด A(0, 0, 24) บน S มีภาพฉายของจุดบนระนาบ XYเปนจุด (0, 0, 0)จุด B(3, 0, 18) บน S มีภาพฉายของจุดบนระนาบ XYเปนจุด (3, 0, 0)จุด C(3, 4, 6) บน S มีภาพฉายของจุดบนระนาบ XYเปนจุด (3, 4, 0)จุด D(0, 4, 12) บน S มีภาพฉายของจุดบนระนาบ XYเปนจุด (0, 4, 0)
Calculus III page 5 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 18
เพราะฉะนั้น ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนานที่มีดานประชิดเปน AB และ AD ดังแสดงในรูปที่ 6.2.5พื้นที่ S = || AB × AD ||= || ((3, 0, 18) – (0, 0, 24)) × ((0, 4, 12) – (0, 0, 24)) ||= || (3, 0, –6) × (0, 4, –12) ||
= || 21 4 06 0 3k j i
−−
vvv
||
= || 1246 0 −
− iv – 120
6 3 −− j
v + 4003 k
v ||= || 24 i
v + 36 jv + 12k
v || = 12 || 2 iv + 3 j
v + kv ||
= 12 194 ++ = 12 14
ระนาบสัมผัสพื้นผิวA( 0x , 0y , 0z ) บนพื้นผิว S ซึ่งมีสมการพื้นผิว f(x, y, z) = 0M เปนระนาบสัมผัสพื้นผิว S ที่จุด Aเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M คือ ∇ f(A)= ( x∂
∂ f( 0x , 0y , 0z ), y∂∂ f( 0x , 0y , 0z ), y∂
∂ f( 0x , 0y , 0z ))สมการของระนาบ M คือ
x∂∂ f( 0x , 0y , 0z )(x – 0x ) + y∂
∂ f( 0x , 0y , 0z )(y – 0y ) + z∂
∂ f( 0x , 0y , 0z )(z – 0z ) = 0
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 19
ตัวอยาง 6.2.4 จงหาระนาบ M ซึ่งเปนระนาบสัมผัสพื้นผิวz = 4y – 2y – 2x + 2 ที่จุด A(3, 2, 5)และจงหาพื้นที่ S ซึ่งเปนสับเซตของพื้นผิวระนาบ M ที่มี
XYS = [2.9, 3.1] × [1.9, 2.1] × { 0 }วิธีทาํ ให f(x, y, z) = 4y – 2y – 2x + 2 – zเพราะฉะนั้น x
f∂∂ = –2x, y
f∂∂ = 4 3y – 2y, z
f∂∂ = –1
∇ f(3, 2, 5) = ( xf∂∂ (3, 2, 5), y
f∂∂ (3, 2, 5), z
f∂∂ (3, 2, 5))
= (–6, 28, –1)สมการของระนาบ M คือ(–6)(x – 3) + (28)(y – 2) + (–1)(z – 5) = 0 –6x + 28y – z = –18 + 56 – 5
–6x + 28y – z = 33
รูปที่ 6.2.6
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 20
เพราะวา XYS = [2.9, 3.1] × [1.9, 2.1] × { 0 }และสมการระนาบ M คือ z = –6x + 28y – 33เพราะฉะนั้นบริเวณ S บนระนาบ M ปดลอมดวยสี่เหลี่ยมที่มีจุดมุมเปน B(3.1, 1.9, 1.6), C(3.1, 2.1, 7.2),D(2.9, 2.1, 8.4) และ E(2.9, 1.9, 2.8)เพราะฉะนั้นสี่เหลี่ยม BCDE เปนสี่เหล่ียมดานขนาน S ที่มีดานประชิดเปน BC และ BE
รูปที่ 6.2.7พื้นที่ S = พื้นที่ของสี่เหลี่ยมดานขนาน BCDE= || BC × BE ||= || ((3.1, 2.1, 7.2) – (3.1, 1.9, 1.6))
× ((2.9, 1.9, 2.8) – (3.1, 1.9, 1.6)) ||
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 21
= || (0, 0.2, 5.6) × (–0.2, 0, 1.2) ||
= || 2.102.06.52.00k j i
−
vvv
||
= || 2.106.52.0 i
v – 2.12.06.50 − j
v + 02.02.00 − k
v ||= || 0.24 i
v + 1.12 jv + 0.04k
v ||= 222 04.012.124.0 ++
= 0016.02544.10576.0 ++
= 3136.1
ในวิชาแคลคูลัล 1 เราประมาณคาพ้ืนที่ใตโคง y = f(x) กับแกน X บนชวง [x, x + ∆ x] จนสามารถหาคาของพื้นที่ระหวางเสนโคงไดดวยการอินทิเกรต ในวิชาแคลคูลัส 2 เราประมาณความยาวสวนโคง rv(t) ในชวง [t, t + ∆ t] ไดดวยความยาวเสนตรง จากจุด rv(t) ไปยังจุด rv(t + ∆ t) จนสามารถหาความยาวสวนโคงทั้งเสนไดดวยอินทิกรัลตามเสน ในแนวคิดแบบเดียวกันเราจะประมาณคาพ้ืนที่ผิวโคงชิ้นเล็ก ๆ ดวยพื้นที่ระนาบสัมผัส
แนวคิวในการหาพื้นที่ผิวขางตน จะขยายแนวคิดดังกลาวเปนการอินทิเกรตได เพ่ือใหขอสมมติตางๆ ที่จําเปนในการอินทิเกตรสามารถทําได เราจําเปนตองทราบความหมายตาง ๆ เก่ียวกับพื้นผิวเพิ่มเติมดังนี้
Calculus III page 6 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 22
พื้นผิว S ที่กําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอร rv : T → 3R
เมื่อ T เปนสับเซตของ 2R
rv(u, v) = (X(u, v), Y(u, v), Z(u, v))สิ่งที่ควรทราบมีดังนี้1. เมื่อ v = 0v เปนคาคงตัว จะไดวา rv(u, 0v )คือเสนโคง
0vC : rv(u, 0v ) บนพื้นผิว Sและ
ur
∂∂v (u, 0v ) เปนเวกเตอรสัมผัสเสนโคง
0vC : rv(u, 0v )2. เมื่อ u = 0u เปนคาคงตัว จะไดวา rv( 0u , v)คือเสนโคง
0uC : rv( 0u , v) บนพื้นผิว Sและ
vr
∂∂v ( 0u , v) เปนเวกเตอรสัมผัสเสนโคง
0uC : rv( 0u , v)3. rn vv (u, v) =
ur
∂∂v (u, v) ×
vr
∂∂v (u, v)
เรียกวา เวกเตอรแนวฉากของพื้นผิวNv =
|| n ||n
r
rv
vv
v เรียกวา เวกเตอรแนวฉากหนวยของพื้นผิว
4. rn vv ( 0u , 0v ) = ur
∂∂v ( 0u , 0v ) ×
vr
∂∂v ( 0u , 0v )
เรียกวาเวกเตอรแนวฉากของพื้นผิวที่ ( 0u , 0v )5. ภาพที่ใชแสดงความหมายของ จุด rv( 0u , 0v )
rn vv ( 0u , 0v ) = ur
∂∂v ( 0u , 0v ) ×
vr
∂∂v ( 0u , 0v )
เสนโคง 0vC : rv(u, 0v ) บนพื้นผิว S
ur
∂∂v (u, 0v )
เวกเตอรสัมผัสเสนโคง 0vC : rv(u, 0v )
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 23
เสนโคง 0uC : rv( 0u , v) บนพื้นผิว S
vr
∂∂v ( 0u , v)
เวกเตอรสัมผัสเสนโคง 0uC : rv( 0u , v)
โดยสังเขปคือ รูปที่ 6.2.8
รูปที่ 6.2.8บทนิยาม 6.2.1 พื้นผิว S ที่กําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอรrv : T → 3R เมื่อ T เปนสับเซตของ 2R
rv(u, v) = (X(u, v), Y(u, v), Z(u, v))rv( 0u , 0v ) เปนจุดบนพื้นผิวถา
ur
∂∂v และ
vr
∂∂v ตอเนื่องที่จุด ( 0u , 0v )
และ ur
∂∂v ( 0u , 0v ) ×
vr
∂∂v ( 0u , 0v ) ≠ 0
v
แลว rv( 0u , 0v ) เรียกวา จุดปกติถา
ur
∂∂v ไมตอเนื่องที่ ( 0u , 0v ) หรือ
vr
∂∂v ไมตอเนื่องที่ ( 0u , 0v )
หรือ ur
∂∂v ( 0u , 0v ) ×
vr
∂∂v ( 0u , 0v ) = 0
v
แลว rv( 0u , 0v ) เรียกวา จุดเอกฐาน
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 24
ตัวอยาง 6.2.5 ให S เปนพื้นผิวรูปครึ่งทรงกลมกําหนดโดยrv(u, v) = (u, v, 22 vu4 −− )เมื่อ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 4}จงหาจุดเอกฐานและจุดปกติของพื้นผิว Sวิธีทาํ rv(u, v) = (u, v, 22 vu4 −− )
ur
∂∂v = (1, 0, –
22 vu4u
−−)
vr
∂∂v = (0, 1, –
22 vu4v−−
)
rn vv = ur
∂∂v ×
vr
∂∂v =
vu4v10
vu4u01
kji
22
22
−−−
−−−
vvv
=
vu4v1
vu4u0
22
22
−−−
−−−
iv –
vu4v0
vu4u1
22
22
−−−
−−−
jv
+ 1001 k
v
= (22 vu4
u−−
, 22 vu4
v−−
, 1)
เพราะวาจุดบนขอบของครึ่งทรงกลมมีคา 2u + 2v = 4เพราะฉะนั้นจุดบนขอบของครึ่งทรงกลมเปนจุดเอกฐานสวนจุดอื่น ๆ บนพื้นผิวครึ่งทรงกลมจะเปนจุดปกติ
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 25
ตัวอยาง 6.2.6 ให S เปนพื้นผิวรูปครึ่งทรงกลมกําหนดโดยrv(u, v) = (2 sin u cos v, 2 sin u sin v, 2 cos u)เมื่อ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2
π และ 0 ≤ v ≤ 2π}จงหาจุดเอกฐานของพื้นผิว Sวิธีทาํ rv(u, v) = (2 sin u cos v, 2 sin u sin v, 2 cos u)
ur
∂∂v = (2 cos u cos v, 2 cos u sin v, –2 sin u)
vr
∂∂v = (-2 sin u sin v, 2 sin u cos v, 0)
rn vv = ur
∂∂v ×
vr
∂∂v
= 0vcosusin2vsinusin2
usin2vsinucos2vcosucos2kji
−
−
vvv
= 0vcosusin2usin2vsinucos2 − i
v – 0vsinusin2usin2vcosucos2 −
− jv
+ vcosusin2vsinusin2vsinucos2vcosucos2 − k
v
= 4 2sin u cos v iv + 4 2sin u sin v j
v + 4sin u cos ukv
= (4 2sin u cos v, 4 2sin u sin v, 4sin u cos u)= 2 sin u (2 sin u cos v, 2 sin u sin v, 2 cos u)เพราะวา rv(u, v) ไมเปนเวกเตอรศูนยเพราะฉะนั้น rn vv = 0
v ก็ตอเมื่อ sin u = 0เพราะฉะนั้น rn vv = 0
v ก็ตอเมื่อ u = 0เพราะฉะนั้น u = 0 จะไดวา rn vv = 0
v
เพราะฉะนั้นจุด rv(0, v) = (0, 0, 2) เปนจุดเอกฐานCalculus III page 7 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 26
ขอสังเกต บนพื้นผิว S คิดจากฟงกชันคาเวกเตอรตามตัวอยาง 6.2.5 จุด (0, 0, 2) ไมเปนจุดเอกฐาน
บทนิยาม 6.2.2 พื้นผิว S ที่กําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอรrv : T → 3R เมื่อ T เปนสับเซตของ 2R
ถา rv(u, v) เปนจุดปกติ ทุก (u, v) ใน Tแลว พื้นผิว S เปน พื้นผิวเรียบถา พื้นผิว S ไมเปนพื้นผิวเรียบแต S ประกอบดวยพื้นผิวเรียบแลว พื้นผิว S เปน พื้นผิวเรียบเปนสวน ๆตัวอยางเชนพื้นผิวระนาบเปนพื้นผิวเรียบพื้นผิวลูกบาศกประกอบดวยดาน 6 ดานไมเปนพื้นผิวเรียบแตเพราะวาดานทั้ง 6 ดานเปนระนาบซึ่งเปนพื้นผิวเรียบเพราะฉะนั้น พื้นผิวลูกบาศกเปนพื้นผิวเรียบเปนสวน
ขอสังเกต1. พื้นผิว S ในปริภูมิสามมิติ อาจไดมาจากฟงกชันคาเวกเตอร
1 rv ที่มีโดเมน 1T และ S = 1 r
v ( 1T )และ 2 r
v ที่มีโดเมน 2T และ S = 2 rv ( 2T )
โดยที่ 1 rv และ 2rv ตางกัน
เพราะฉะนั้นเปนไปไดที่ จุด P บนพื้นผิว S
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 27
ถา พิจารณาโดยใช 1 rv (u, v) ที่มีโดเมน 1T
แลว จะไดวาจุด P เปนจุดปกติแต ถา พิจารณาโดยใช 2 r
v (u, v) ที่มีโดเมน 2T
แลว จะไดวาจุด P เปนจุดเอกฐาน2. ถา
ur
∂∂v และ
vr
∂∂v เปนฟงกชันตอเนื่อง
แลว ur
∂∂v ×
vr
∂∂v เปนฟงกชันตอเนื่อง
เพราะฉะนั้น ระนาบสัมผัสจะจะการเปลี่ยนแปลงอยางตอเนื่องเพราะฉะนั้นพื้นผิวเรียบจะไมมีการหักมุม3. สําหรับฟงกชัน rv : T → 3R เมื่อ T เปนสับเซตของ 2R
เมื่อ 0vL เปนสวนเสนตรง v = 0v ในโดเมน T บนระนาบ UV
จะไดวา rv(0vL ) เปนเสนโคงบนพื้นผิว rv(T)
ur
∂∂v (u, 0v ) คือ ความเร็วของการเคลื่อนที่บนเสนโคง rv(
0vL )การเคลื่อนที่บนเสนโคง rv(
0vL ) ในชวงเวลา ∆ uมีคาประมาณเทากับ = ความเร็ว × เวลา = ||
ur
∂∂v || (∆ u)
เมื่อ 0uL เปนสวนเสนตรง u = 0u ในโดเมน T บนระนาบ UV
จะไดวา rv(0uL ) เปนเสนโคงบนพื้นผิว rv(T)
vr
∂∂v ( 0u , v) คือ ความเร็วของการเคลื่อนที่บนเสนโคง rv(
0uL )
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 28
การเคลื่อนที่บนเสนโคง rv(0uL ) ในชวงเวลา ∆ v
มีคาประมาณเทากับ = ความเร็ว × เวลา = || vr
∂∂v || (∆ v)
รูปที่ 6.2.9เพราะฉะนั้น จากรูปที่ 6.2.9บริเวณสี่เหลี่ยมผืนผา ∆ T ที่มีพื้นที่ (∆ u)(∆ v)เมื่อสงคาไปยังพ้ืนผิว rv(T)จะสงไปยังบริเวณพ้ืนผิวที่มีคาประมาณเทากับ= พื้นที่สี่เหลี่ยมดานขนานที่มีดานประชิดเปนเวกเตอร
(∆ u)ur
∂∂v ( 0u , 0v ) และ (∆ v)
vr
∂∂v ( 0u , 0v )
= || (∆ u)ur
∂∂v ( 0u , 0v ) × (∆ v)
vr
∂∂v ( 0u , 0v ) ||
= || ur
∂∂v ( 0u , 0v ) ×
vr
∂∂v ( 0u , 0v ) ||(∆ u)(∆ v)
= || rn vv ( 0u , 0v ) || (∆ u)(∆ v)
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 29
เพราะฉะนั้นบริเวณสี่เหลี่ยมผืนผา ∆ T บนโดเมน Tบนระนาบ UV จะสงดวย rv(u, v) ไปยังพ้ืนผิว rv(T)ในปริภูมิสามมิติ จะมีพื้นที่โดยประมาณเทากับ || rn vv ( 0u , 0v ) || (∆ u)(∆ v)
รูปที่ 6.2.10
Calculus III page 8 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 30
6.2.1 การหาพื้นที่ของพื้นผิวเรียบ rv
เมื่อโดเมน T เปนสี่เหลี่ยมผืนผากําหนดใหพื้นผิวเรียบ Sกําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอร rv : T → 3R
เมื่อ T = [a, b] × [c, d] เปนสับเซตของระนาบ UVบนระนาบ UVให UP = { 0u , 1u , 2u , ... , 1iu − , iu , ... , mu }เปนผลแบงก้ันของชวง [a, b]นั่นคือ UP แบงชวง [a, b] ออกเปน m ชวงยอยดวยจุด 0u , 1u , 2u , ... , 1iu − , iu , ... , mu
โดยที่ a = 0u < 1u < 2u < ... < mu = bและ ∆ iu = iu – 1iu − ทุก i = 1, 2, ... , mให VP = { 0v , 1v , 2v , ... , 1jv − , jv , ... , nv }เปนผลแบงก้ันของชวง [c, d]นั่นคือ VP แบงชวง [c, d] ออกเปน n ชวงยอยดวยจุด 0v , 1v , 2v , ... , 1jv − , jv , ... , nv
โดยที่ c = 0v < 1v < 2v < ... < nv = dและ ∆ jv = jv – 1jv − ทุก j = 1, 2, ... , n
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 31
รูปที่ 6.2.11สําหรับคา i = 1, 2, ... , m และ j = 1, 2, ... , n
ijT = [ 1iu − , iu ] × [ 1jv − , jv ]ijS = พื้นที่ของพื้นผิว rv( ijT )
สี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD คือบริเวณ [ 1iu − , iu ] × [ 1jv − , jv ]บนระนาบ UVให rv(AB) = เสนโคง PQ บนพื้นผิว S
rv(BC) = เสนโคง QR บนพื้นผิว Srv(CD) = เสนโคง RM บนพื้นผิว Srv(DA) = เสนโคง MP บนพื้นผิว S
เพราะฉะนั้น rv(ABCD) = พื้นผิว PQRM บนพื้นผิว Sให PQ = rv(B) – rv(A)
= 1ii uu
)A(r)B(r−−
− vv ( iu – 1iu − )
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 32
เพราะวา ur
∂∂v เปนฟงกชันตอเนื่อง
เพราะฉะนั้นตองมี *iju เปนสมาชิกของ [ 1iu − , iu ]
ที่ทําให ur
∂∂v ( *
iju ) = 1ii uu
)A(r)B(r−−
− vv
เพราะฉะนั้น PQ = ur
∂∂v ( *
iju )( iu – 1iu − )ให PM = rv(D) – rv(A) =
1jj vv)A(r)D(r
−−− vv
( jv – 1jv − )
เพราะวา vr
∂∂v เปนฟงกชันตอเนื่อง
เพราะฉะนั้นตองมี *ijv เปนสมาชิกของ [ 1jv − , jv ]
ที่ทําให vr
∂∂v ( *
ijv ) = 1jj vv
)A(r)D(r−−
− vv
เพราะฉะนั้น PM = vr
∂∂v ( *
ijv )( jv – 1jv − ) ijS = พื้นที่พื้นผิว PQRM ≈ || PQ × PM ||
= || ur
∂∂v ( *
iju ) ( iu – 1iu − ) × vr
∂∂v ( *
ijv )( jv – 1jv − ) ||= ||
ur
∂∂v ( *
iju ) × vr
∂∂v ( *
ijv ) || ( iu – 1iu − )( jv – 1jv − )= ||
ur
∂∂v ( *
iju ) × vr
∂∂v ( *
ijv ) || (∆ iu )(∆ jv )
พื้นที่ของพื้นผิว S = ∑=
m
1 i∑=
n
1 jijS
= ∑=
m
1 i∑=
n
1 j||
ur
∂∂v ( *
iju ) × vr
∂∂v ( *
ijv ) || (∆ iu )(∆ jv )
เมื่อ m, n มีคาเพิ่มขึ้นอยางไมมีขีดจํากัด(m → ∞ และ n → ∞)
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 33
และ ∆ iu มีคาเขาใกล 0 ทุกคา i = 1, 2, ... , mและ ∆ jv มีคาเขาใกล 0 ทุกคา j = 1, 2, ... , nจะไดวา พื้นที่ของพื้นผิว S
= ∞→∞→
n m
lim ∑=
m
1 i∑=
n
1 j||
ur
∂∂v ( *
iju ) × vr
∂∂v ( *
ijv ) || (∆ iu )(∆ jv )
เพราะวา S เปนพื้นผิวเรียบเพราะฉะนั้น ||
ur
∂∂v ( *
iju ) × vr
∂∂v ( *
ijv ) || ตอเนื่องบน Tเพราะฉะนั้น ||
ur
∂∂v ( *
iju ) × vr
∂∂v ( *
ijv ) || อินทิเกรตไดบนโดเมน Tและพื้นที่ของพื้นผิว S = ∫∫
T|| rn vv (u, v) || dudv
เมื่อ rn vv = ur
∂∂v ×
vr
∂∂v
Calculus III page 9 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 34
ตัวอยาง 6.2.7 กําหนดใหพื้นผิว Sมีฟงกชันเวกเตอรของพื้นผิวเปนrv(u, v) = (u, v, 24 – 2u – 3v)และ (u, v) ∈ [0, 3] × [0, 4] จงหาพื้นที่ของ Sวิธีทาํ rv(u, v) = (u, v, 24 – 2u – 3v)
ur
∂∂v = (1, 0, –2)
vr
∂∂v = (0, 1, –3)
rn vv = ur
∂∂v ×
vr
∂∂v
= 310201k ji
−−
vvv
= 3120 −
− iv - 30
21 −− j
v + 1001 k
v
= 2 iv + 3 j
v + kv
|| rn vv (u, v) || = || 2 iv + 3 j
v + kv || = 194 ++ = 14
พื้นที่ของพื้นผิว S = ∫∫T|| rn vv (u, v) || dudv
= ∫4
0∫3
014 dudv
= 14 (3)(4) = 12 14
หมายเหตุ เปรียบเทียบกับ ตัวอยาง 6.2.3 จะไดคําตอบเทากัน
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 35
6.2.2 การหาพื้นที่ของพื้นผิวเรียบ rv
เมื่อโดเมน T เปนบริเวณที่มีขอบเขตกําหนดใหพื้นผิวเรียบ S กําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอรrv : T → 3R เมื่อ T เปนเซตที่มีขอบเขต
รูปที่ 6.2.12(ก) รูปที่ 6.2.12(ข)เพราะวา T เปนเซตมีขอบเขตเพราะฉะนั้นมี a, b, c, d เปนจํานวนจริงที่ทําให T เปนสับเซตของ [a, b] × [c, d]ให UP = { 0u , 1u , 2u , ... , 1iu − , iu , ... , mu }เปนผลแบงก้ันของชวง [a, b]นั่นคือ UP แบงชวง [a, b] ออกเปน m ชวงยอยดวยจุด 0u , 1u , 2u , ... , 1iu − , iu , ... , mu
โดยที่ a = 0u < 1u < 2u < ... < mu = bและ ∆ iu = iu – 1iu − ทุก i = 1, 2, ... , m
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 36
ให VP = { 0v , 1v , 2v , ... , 1jv − , jv , ... , nv }เปนผลแบงก้ันของชวง [c, d]นั่นคือ VP แบงชวง [c, d] ออกเปน n ชวงยอยดวยจุด 0v , 1v , 2v , ... , 1jv − , jv , ... , nv
โดยที่ c = 0v < 1v < 2v < ... < nv = dและ ∆ jv = jv – 1jv − ทุก j = 1, 2, ... , nสําหรับคา i = 1, 2, ... , m และ j = 1, 2, ... , nให ijT = [ 1iu − , iu ] × [ 1jv − , jv ]เพราะฉะนั้น ijT ∩ T ≠ ∅ หรือ ijT ∩ T = ∅
ijS = พื้นที่ของพื้นผิว rv( ijT ) เมื่อ ijT ∩ T ≠ ∅ในทํานองเดียวกันกับการแสดงขางตน จะไดวา
ijS = พื้นที่ของพื้นผิว rv( ijT )= ||
ur
∂∂v ( *
iju ) ( iu – 1iu − ) × vr
∂∂v ( *
ijv )( jv – 1jv − ) ||= ||
ur
∂∂v ( *
iju ) × vr
∂∂v ( *
ijv ) || ( iu – 1iu − )( jv – 1jv − )= ||
ur
∂∂v ( *
iju ) × vr
∂∂v ( *
ijv ) || (∆ iu )(∆ jv )
พื้นที่ของพื้นผิว S = ∑=
m
1 i∑=
n
1 jijS และ ijT ∩ T ≠ ∅
= ∑=
m
1 i∑=
n
1 j||
ur
∂∂v ( *
iju ) × vr
∂∂v ( *
ijv ) || (∆ iu )(∆ jv )
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 37
เมื่อ m, n มีคาเพิ่มขึ้นอยางไมมีขีดจํากัดและ ∆ iu มีคาเขาใกล 0 ทุกคา i = 1, 2, ... , mและ ∆ jv มีคาเขาใกล 0 ทุกคา j = 1, 2, ... , nจะไดวาพื้นที่ของพื้นผิว S
= ∞→∞→
n m
lim ∑=
m
1 i∑=
n
1 j||
ur
∂∂v ( *
iju ) × vr
∂∂v ( *
ijv ) || (∆ iu )(∆ jv )
เพราะวา S เปนพื้นผิวเรียบเพราะฉะนั้น ||
ur
∂∂v ( *
iju ) × vr
∂∂v ( *
ijv ) || มีความตอเนื่องบน Tเพราะฉะนั้น ||
ur
∂∂v ( *
iju ) × vr
∂∂v ( *
ijv ) || อินทิเกรตไดบนโดเมน Tและพื้นที่ของพื้นผิว S = ∫∫
T|| rn vv (u, v) || dudv
Calculus III page 10 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 38
ตัวอยาง 6.2.8 กําหนดใหพื้นผิว Sมีฟงกชันเวกเตอรของพื้นผิวเปนrv(u, v) = (u, v, 3
1(6 – 2u –v)) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 3 และ 0 ≤ v ≤ 6 – 2u}จงหาพื้นที่ของ Sวิธีทาํ
รูปที่ 6.2.13 rv(u, v) = (u, v, 3
1(6 – 2u –v))
ur
∂∂v = (1, 0, –
32)
vr
∂∂v = (0, 1, –
31)
rn vv (u, v) = ur
∂∂v ×
vr
∂∂v =
31103201k ji
−
−
vvv
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 39
=
311320
−
−iv -
310321
−
−jv + 10
01 kv
= 32 iv + 3
1 jv + 1k
v
|| rn vv (u, v) || = || 32 iv + 3
1 jv + 1k
v ||= 3
1 || 2 iv + 1 j
v + 3kv || = 3
1 914 ++ = 31 14
T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 3 และ 0 ≤ v ≤ 6 – 2u}พื้นที่ของพื้นผิว S = ∫∫
T|| rn vv (u, v) || dudv
= ∫3
0∫− u26
0 31 14 dvdu
= 31 14 ∫
3
0∫− u26
0(1) dvdu
= 31 14 ∫
3
0(6 – 2u) du
= 31 14 [ 6u – 2u ] 0 u
3 u ==
= 31 14 (18 – 9)
= 3 14
หมายเหตุ เปรียบเทียบกับ ตัวอยาง 6.2.2 จะไดคําตอบเทากัน
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 40
ตัวอยาง 6.2.9จงหาพื้นที่ของพื้นผิวของระนาบ 2x + 3y + z = 6เฉพาะสวนที่อยูภายในทรงกระบอก 2x + 2y = 16วิธีทาํ
รูปที่ 6.2.14พื้นผิว S กําหนดโดยสมการเวกเตอรrv(u, v) = (u, v, 6 – 2u – 3v) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 16}
ur
∂∂v = (1, 0, –2)
vr
∂∂v = (0, 1, –3)
rn vv (u, v) = ur
∂∂v ×
vr
∂∂v =
310201k ji
−−
vvv
= 3120 −
− iv - 30
21 −− j
v + 1001 k
v = 2 iv + 3 j
v + 1kv
|| rn vv (u, v) || = || 2 iv + 3 j
v + 1kv || = 194 ++ = 14
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 41
พื้นที่ของพื้นผิว S = ∫∫T|| rn vv (u, v) || dudv = ∫∫
T14 dudv
โดยการเปลี่ยนเปนพิกัดเชิงขั้ว ให u = r cos θ , v = r sin θ
จะได T = {(r, θ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 4}และ ∫∫
T14 dudv = ∫
π2
0∫4
014 r drdθ
= 14 ∫π2
0[
2r2 ] 0r
4r== dθ
= 14 ∫π2
08 drdθ
= 14 [ 8θ ] 02
=θπ=θ
= 16 14π
เพราะฉะนั้น พื้นที่ของพื้นผิว S มีคาเทากับ 16 14π
Calculus III page 11 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 42
ตัวอยาง 6.2.10จงหาพื้นที่ผิวของทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2a เมื่อ a > 0วิธีทาํ
รูปที่ 6.2.15เพราะวาทรงกลมสมมาตรกับระนาบ XYเพราะฉะนั้นเราหาพื้นที่ผิวของทรงกลมที่อยูเหนือระนาบ XYสมการของผิวทรงกลมเหนือระนาบ XY คือ z = 222 yxa −−
ให S เปนพื้นผิวครึ่งทรงกลมเหนือระนาบ XYเพราะฉะนั้นพื้นผิว S กําหนดโดยสมการเวกเตอรrv(x, y) = (x, y, 222 yxa −− ) เมื่อ (x, y) ∈ Tโดยที่ T = {(x, y) | 2x + 2y ≤ 2a เมื่อ a > 0}
xr
∂∂v = (1, 0, –
222 yxax
−−)
yr
∂∂v = (0, 1, –
222 yxa
y
−−)
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 43
rn vv (x, y) = xr
∂∂v ×
yr
∂∂v =
yxa
y10
yxax01
k ji
222
222
−−−
−−−
vvv
=
yxa
y1
yxax0
222
222
−−−
−−−
iv -
yxa
y0
yxax1
222
222
−−−
−−−
jv
+ 1001 k
v
= 222 yxa
x−−
iv +
222 yxa
y
−−jv + 1k
v
|| rn vv (x, y) ||= ||
222 yxax
−−iv +
222 yxa
y
−−jv + 1k
v ||
= ( 2222
yxax
−− + 222
2
yxay
−− + 1) 2
1
= 222 yxa
a−−
เพราะวา xr
∂∂v = (1, 0, –
222 yxax
−−),
yr
∂∂v = (0, 1, –
222 yxa
y
−−)
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 44
และ || rn vv || = 222 yxa
a−−
ไมตอเนื่องที่จุด (x, y)
ซึ่ง 2x + 2y = 2a
เพราะฉะนั้นการหาคา ∫∫T|| rn vv (x, y) || dxdy
ตองใชความรูเก่ียวกับอินทิกรัลไมตรงแบบให bT = {(x, y) | 2x + 2y ≤ 2b } เมื่อ 0 < b < aและ A(b) = ∫∫
bT|| rn vv (x, y) || dxdy
โดยการเปลี่ยนเปนพิกัดเชิงขั้ว ให x = r cos θ , y = r sin θ
จะได bT = {(r, θ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ b}และ A(b) = ∫∫
bT|| rn vv (x, y) || dxdy
= ∫π2
0∫b
0 22 raa−
r drdθ = ∫π2
0a( 22 ba −− + a) dθ
= a( 22 ba −− + a)[ θ ] 02
=θπ=θ
= 2aπ( 22 ba −− + a)เพราะวา ∫∫
T|| rn vv (x, y) || dxdy
= −→ab
lim 2aπ( 22 ba −− + a) = 2 2a π
เพราะฉะนั้นพื้นที่ผิวของทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2a
เมื่อ a > 0 มีคาเทากับ 2(2 2a π) = 4 2a π
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 45
หมายเหตุ ในกรณีที่เรากําหนดสมการเวกเตอรของทรงกลม2x + 2y + 2z = 2a
เปน rv(u, v) = (a sin u cos v, a sin u sin v, a cos u)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ π และ 0 ≤ v ≤ 2π}การหาพื้นที่ผิวของทรงกลมทําไดดังนี้ดังนั้น พื้นผิวของวัตถุกําหนดดวยฟงกชันrv(u, v) = (a sin u cos v, a sin u sin v, a cos u)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 2π}
ur
∂∂v = (a cos u cos v, a cos u sin v, –a sin u)
vr
∂∂v = (–a sin u sin v, a sin u cos v, 0)
rn vv = ur
∂∂v ×
vr
∂∂v =
0vcosusinavsinusinausinavsinucosavcosucosa
kji −
−
vvv
= 0vcosusina
usinavsinucosa
−iv
– 0vsinusina
usinavcosucosa −
−jv
+ vcosusinavsinusinavsinucosavcosucosa
−
kv
= 2a 2sin u cos v iv + 2a 2sin u sin v j
v + 2a sin u cos ukv
= ( 2a 2sin u cos v, 2a 2sin u sin v, 2a sin u cos u)Calculus III page 12 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 46
|| rn vv (u, v) ||= ucosusinavsinusinavcosusina 224244244 ++
= 2a usin2
= 2a | sin u |พื้นที่ผิวของทรงกลม = ∫∫
T|| rn vv (u, v) || dudv
= ∫π2
0∫π
0
2a | sin u | dudv
= ∫π2
0∫π
0
2a sin u dudv
= 2a ∫π2
0[ –cos u ] 0u
u=π= dv
= 2a ∫π2
0(1 + 1) dv
= 2 2a ∫π2
01 dv
= 2 2a [ v ] 0v2v
=π=
= 4 2a π
เพราะฉะนั้นพื้นที่ผิวของทรงกลมตองมีคาเทากันถึงแมวาจะเขียนสมการเวกเตอรของพื้นผิวตางกัน
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 47
ตัวอยาง 6.2.11 จงหาพื้นที่ผิวของพาราโบลอยดz = 2x + 2y เมื่อ 0 ≤ z ≤ 9วิธีทาํ
รูปที่ 6.2.16แบบที่ 1 ใชสมการเวกเตอรของพาราโบลอยดrv(x, y) = (x, y, 2x + 2y ) เมื่อ (x, y) ∈ Tโดยที่ T = {(x, y) | 2x + 2y ≤ 9}
xr
∂∂v = (1, 0, 2x) และ
yr
∂∂v = (0, 1, 2y)
rn vv = xr
∂∂v ×
yr
∂∂v =
y210x201
kji
vvv
= y21x20 i
v - y20x21 j
v + 1001 k
v = –2x iv – 2y j
v + 1kv
|| rn vv (x, y) || = || –2x iv – 2y j
v + 1kv ||
= (4 2x + 4 2y + 1) 21
พื้นที่ผิวของพาราโบลอยด = ∫∫T|| rn vv (x, y) || dxdy
= ∫∫T
(4 2x + 4 2y + 1) 21 dxdy
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 48
โดยการเปลี่ยนเปนพิกัดเชิงขั้ว ให x = r cos θ , y = r sin θ
จะได T = {(r, θ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 3}
และ ∫∫T
(4 2x + 4 2y + 1) 21 dxdy
= ∫π2
0∫3
0(4 2r + 1) 2
1 r drdθ
= ∫π2
0 121 [ (4 2r + 1) 2
3 ] 0r
3r== dθ
= 121 ∫
π2
0(37 2
3 – 1) dθ =
121 (37 37 – 1) ∫
π2
01 dθ
= 121 (37 37 – 1)[ θ ] 0
2=θ
π=θ = 6π(37 37 – 1)
แบบที่ 2 ใชสมการเวกเตอรของพาราโบลอยดrv(u, v) = (u cos v, u sin v, 2u ) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ v ≤ 2π}
ur
∂∂v = (cos v, sin v, 2u), v
r∂∂v = (–u sin v, u cos v, 0)
rn vv = ur
∂∂v × v
r∂∂v =
0vcosuvsinuu2vsinvcos
kji −
vvv
= 0vcosuu2vsin
iv –
0vsinuu2vcos
−
jv
+ vcosuvsinu
vsinvcos −
kv
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 49
= 2 2u cos v iv - 2 2u sin v j
v + (u 2cos v + u 2sin v)kv
= 2 2u cos v iv - 2 2u sin v j
v + ukv
|| rn vv (u, v) || = 22424 uvsinu4vcosu4 ++
= 24 uu4 +
= | u | 1u4 2 +
พื้นที่ผิวของพาราโบลอยด = ∫∫T|| rn vv (u, v) || dudv
= ∫π2
0∫3
0| u | 1u4 2 + dudv
= ∫π2
0∫3
0u 1u4 2 + dudv
= ∫π2
0 121 [ (4 2u + 1) 2
3 ] 0u
3u== dv
= ∫π2
0 121 (37 2
3 – 1) dv
= 121 (37 37 – 1) ∫
π2
01 dv
= 121 (37 37 – 1) ∫
π2
01 dv
= 121 (37 37 – 1)[ v ] 0v
2v=
π=
= 6π(37 37 – 1)
นั่นคือพ้ืนที่ผิวพาราโบลอยดตองมีคาเทากันถึงแมวาจะเขียนสมการเวกเตอรของพื้นผิวตางกัน
Calculus III page 13 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 50แบบฝกหัด 6.21. จงหาพ้ืนที่ของระนาบ 2x + 3y + 6z = 24 เฉพาะบริเวณที่อยูในอัฐภาคที่ 12. จงหาพ้ืนที่ของระนาบ 3x + 4y + z = 12 เฉพาะบริเวณที่อยูในอัฐภาคที่ 13. จงหาพ้ืนที่ของพ้ืนผิวของระนาบ 3x + 2y + z = 6 เฉพาะบริเวณที่อยูในทรงกระบอก 2x + 2y = 254. จงหาพ้ืนที่ของพ้ืนผิวของกรวย z = 22 yx + เฉพาะบริเวณที่ 0 ≤ z ≤ 35. จงหาพ้ืนที่ของพ้ืนผิวพาราโบลอยด z = 4 2x + 4 2y เฉพาะบริเวณที่ 0 ≤ z ≤ 166. จงหาพ้ืนที่ของพ้ืนผิว S
เมื่อ S เปนพ้ืนผิวของ z = 2x4 − บนบริเวณ {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2 และ 0 ≤ y ≤ 4}7. จงหาพ้ืนที่ของพ้ืนผิว S เมื่อ S เปนพ้ืนผิว z = 2x4 − บนบริเวณ {(x, y) | 2x + 2y ≤ 4}8. จงหาพ้ืนที่ของทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25 และ z ≥ 0
เฉพาะบริเวณที่อยูในทรงกระบอก 2x + 2y = 16เฉลยแบบฝกหัด 6.21. 56 2. 3 14 3. 25 14 π 4. 9 2 π
5. 96)1415125( π− 6. 4π 7. 16 8. 20π
Calculus III page 14 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 51
6.3 อินทิกรัลตามพื้นผิวของฟงกชันคาจริงกอนศึกษาอินทิกรัลตามพื้นผิวของฟงกชันคาจริงในหัวขอนี้
ขอใหสังเกตวาอินทิกรัลสองชั้นที่กลาวมาแลวจากบทที่ 4 เปนเปนอินทิกรัลของฟงกชันคาจริงที่มีมีโดเมนของการอินทิเกรตเปนบริเวณซึ่งเปนสับเซตของระนาบ XY, YZ XZ ในหัวขอนี้เราจะขยายความหมายของอินทิกรัลสองชั้นของฟงกชันคาจริงใหกวางขึ้น โดยจะใหครอบคลุมถึงอินทิกรัลของฟงกชันคาจริงซึ่งมีโดเมนของการอินทิเกรตเปนสับเซตของพื้นผิว
รูปที่ 6.3.1ให S เปนพื้นผิวเรียบ ซึ่งกําหนดดวยสมการเวกเตอรrv(u, v) = (X(u, v), Y(u, v), Z(u, v))เมื่อ (u, v) ∈ T ⊆ 2R
เราจะแบงพ้ืนผิว S ออกเปนสวนยอย โดยมีผลมาจากการแบง Tออกเปนสวนยอยตามขั้นตอนดังนี้ให [a, b] เปนภาพฉายของ T บนแกน U
[c, d] เปนภาพฉายของ T บนแกน V
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 52
แบง [a, b] ออกเปน m ชวงยอยที่จุด 0t , 1t , 2t , ... , mt
โดยที่ a = 0t < 1t < 2t < ... < mt = bแบง [c, d] ออกเปน n ชวงยอยที่จุด 0k , 1k , 2k , ... , nk
โดยที่ c = 0k < 1k < 2k < ... < nk = dแบงบริเวณ T ดวยเสนตรงขนานแกน U และ แกน V ดังนี้
เสนตรง u = it ทุกคา i = 1, 2, 3, ... , mเสนตรง v = jk ทุกคา j = 1, 2, 3, ... , n
จะไดวาบริเวณ T ถูกแบงออกเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผายอยยกเวนบริเวณขอบของ Tดังนั้นจะไดวา พื้นผิว S ถูกแบงออกเปนพื้นผิวยอยภายใตการสงของ rv
ให ∆ A( iuξ ) เปนพื้นที่ของพ้ืนผิวยอย ijS ใน 3R
( iuξ , jvξ ) เปนจุดบนสี่เหลี่ยมผืนผา ijT
ดังนั้น rv( iuξ , jvξ ) เปนจุดบนพื้นผิวยอย ijS ซึ่งสมนัยกับจุด ( iuξ , jvξ )ให f(x, y, z) เปนฟงกชันคาจริง และ f มีความตอเนื่องที่ทุกจุด (x, y, z) บนพื้นผิว S
ถา ∞→∞→
nmlim
TT
ij ⊂∑∑ f( rv( iuξ , jvξ )) ∆ A( ijS ) มีคา
แลว ∞→∞→
nmlim
TT
ij ⊂∑∑ f( rv( iuξ , jvξ )) ∆ A( ijS )
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 53
เรียกวา อินทิกรัลตามพื้นผิวของฟงกชันคาจริง f บน Sซึ่งเราจะเขียนแทนอินทิกรัลตามพื้นผิวของฟงกชันคาจริง fบน S ดวยสัญลักษณ∫∫S
f หรือ ∫∫)T(rvf หรือ ∫∫
Sf dS หรือ ∫∫
)T(rvf dS
การหาคาอินทิกรัลตามพื้นผิวของฟงกชันคาจริง ∫∫S
f dS
ให i∆ u และ j∆ v เปนความยาวของดานสองดานของรูปสี่เหลี่ยมผืนผา ijT
เพราะฉะนั้น ∆ A( ijS ) ≈ || rn vv ( *iu , *
jv ) || i∆ u j∆ v
ดังนั้น TT
ij ⊂∑∑ f( rv( iuξ , jvξ )) ∆ A( ijS )
≈ TT
ij ⊂∑∑ f( rv( iuξ , jvξ )) || rn vv ( *
iu , *jv ) || i∆ u j∆ v
เมื่อ m → ∞, n → ∞และ max( i∆ u) → 0, max( j∆ v) → 0
จะไดวา ∞→∞→
nmlim
TT
ij ⊂∑∑ f( rv( iuξ , jvξ )) ∆ A( ijS )
= ∞→∞→
nmlim
TT
ij ⊂∑∑ f( rv( iuξ , jvξ )) || rn vv ( *
iu , *jv ) || i∆ u j∆ v
เพราะวา f( rv(u, v)) || rn vv (u, v) ||เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่องบน T
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 54
เพราะฉะนั้นฟงกชัน f( rv(u, v)) || rn vv (u, v) ||อินทิเกรตไดบน Tดังนั้น ∫∫
Sf dS = ∫∫
Tf( rv(u, v)) || rn vv (u, v) || dudv
เมื่อ S เปนพื้นผิวที่เกิดจากสมการเวกเตอร rv
S เปนพื้นผิวเรียบมีโดเมน T อยูในระนาบ UVf เปนฟงกชันคาจริงซึ่งมีโดเมนครอบคลุม Sและ f มีความตอเนื่องที่ทุกจุด rv(u, v) ∈ Sเราเรียก S วา โดเมนของการอินทิเกรตขอสังเกต 1. ถา f(x, y, z) = c ทุก (x, y, z) ∈ Sแลว ∫∫
Sf dS = ∫∫
Tc || rn vv (u, v) || dudv
= c ∫∫T|| rn vv (u, v) || dudv
= c × พื้นที่ของพื้นผิว S= คาของฟงกชัน × พื้นที่ของพ้ืนผิว S
2. ให f(x, y, z) และ f( rv(u, v)) เปนคาของฟงกชัน fที่จุด (x, y, z) บนพื้นผิว Sถา f(x, y, z) = 1 ทุก (x, y, z) ∈ Sแลว ∫∫
Sf dS = ∫∫
S1 dS ซึ่งเปนพื้นที่ของพื้นผิว S
Calculus III page 15 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 55
ตัวอยาง 6.3.1 จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫S
f dS
เมื่อ f(x, y, z) = xy + zและ S เปนทรงกระบอก 2x + 2y = 4, 0 ≤ z ≤ 4วิธีทาํ
รูปที่ 6.3.2กําหนดพื้นผิว S ดวยสมการเวกเตอรrv(u, v) = (2 cos u, 2 sin u, v) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 4}
ur
∂∂v = (–2 sin u, 2 cos u, 0)
vr
∂∂v = (0, 0, 1)
rn vv (u, v) = ur
∂∂v ×
vr
∂∂v =
1000ucos2usin2kji
−
vvv
= 10
0ucos2 i
v – 10
0usin2 −
jv
+ 00
ucos2usin2 −
kv
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 56
= 2 cos u iv + 2 sin u j
v + 0 kv
|| rn vv (u, v) || = usin4ucos4 22 + = 2จากสูตร f(x, y, z) = xy + zได f( rv(u, v)) = 4 cos u sin u + vและ ∫∫
Sf dS = ∫∫
Tf( rv(u, v)) || rn vv (u, v) || dudv
= ∫π2
0∫4
0(4 cos u sin u + v) 2 dvdu
= 2 ∫π2
0[ 4 cos u sin u v +
2v2 ] 0v
4v== du
= 2 ∫π2
0(16 cos u sin u + 8) du
= 16 ∫π2
0(2 cos u sin u + 1) du
= 16[ 2sin u + u ] 0u2u
=π=
= 32π
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 57
ตัวอยาง 6.3.2 จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫S
f dS
เมื่อ f(x, y, z) = 2x + y + zและ S เปนพื้นผิวของระนาบ 2x + 3y + z = 6เฉพาะสวนที่อยูภายในทรงกระบอก 2x + 2y = 16วิธีทาํ
รูปที่ 6.3.3พื้นผิว S กําหนดโดยสมการสมการเวกเตอรrv(u, v) = (u, v, 6 – 2u – 3v) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 16}
ur
∂∂v = (1, 0, –2)
vr
∂∂v = (0, 1, –3)
rn vv (u, v) = ur
∂∂v ×
vr
∂∂v =
310201k ji
−−
vvv
= 3120 −
− iv - 30
21 −− j
v + 1001 k
v = 2 iv + 3 j
v + 1kv
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 58
|| rn vv (u, v) || = || 2 iv + 3 j
v + 1kv || = 194 ++ = 14
จากสูตร f(x, y, z) = 2x + y + zได f( rv(u, v)) = f(u, v, 6 – 2u – 3v)= 2u + v + 6 – 2u – 3v = 6 – 2vและ ∫∫
Sf dS = ∫∫
Tf( rv(u, v)) || rn vv (u, v) || dudv
= ∫∫T
(6 – 2v) 14 dudv
โดยการเปลี่ยนเปนพิกัดเชิงขั้ว ให u = r cos θ , v = r sin θ
จะได T = {(r, θ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 4}และ ∫∫
T(6 - 2v) 14 dudv
= ∫π2
0∫4
0(6 – 2r sin θ) 14 r drdθ
= 2 14 ∫π2
0∫4
0(3r – 2r sin θ) drdθ
= 2 14 ∫π2
0[
2r3 2 – sin θ
3r3 ] 0r
4r== dθ
= 2 14 ∫π2
0(24 –
364 sin θ) dθ
= 2 14 [ 24θ + 3
64cos θ ] 02
=θπ=θ
= 96 14π
Calculus III page 16 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 59
แบบฝกหัด 6.3จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫
S
f dS
1. f(x, y, z) = xy + zS เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 3 - 2x + y, 0 ≤ y ≤ x และ 0 ≤ x ≤ 1
2. f(x, y, z) = xyzS เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย 2z = 2x + 2y , 1 ≤ z ≤ 4, x ≥ 0 และ y ≥ 0
3. f(x, y, z) = zS เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 22 yx25 −− , 0 ≤ 2x + 2y ≤ 4
4. f(x, y, z) = 2x + 2y
S เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 4 - 2x - 2y , 0 ≤ 2x + 2y ≤ 45. f(x, y, z) = 2x + 2y + z
S เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = x + y, 0 ≤ x ≤ 1 และ 0 ≤ y ≤ 16. f(x, y, z) = xy
S เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 2x4 − , 0 ≤ x ≤ 2 และ 0 ≤ y ≤ 1เฉลยแบบฝกหัด 6.31. 8
69 2. 1021023 3. 20π
4. 60)117391( π+ 5. 3
35 6. 2
Calculus III page 17 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพ้ืนผิว6 - 60
6.4 อินทิกรัลตามพ้ืนผิวของฟงกชันคาเวกเตอรเมื่อ S เปนพื้นผิวท่ีกําหนดดวยฟงกชันคาเวกเตอร rv บน
โดเมน T ณ แตละจุดปกติ rv (u, v) บน S จะมีเวกเตอรแนวฉากหนวยอยูสองเวกเตอรคือ เวกเตอร 1nv และ 2nv ซึ่งมีทิศทางตรงกันขาม เพราะฉะนั้น 1nv = – 2nv
ดังนั้น เมื่อกําหนดฟงกชันคาเวกเตอร rv (T) ข้ึนแทนพื้นผิว Sจะไดวา ถา 1nv มีทิศทางเดียวกับ rn vv แลว 2nv ตองมีทิศทางตรงกันขามกับ rn vv
รูปที่ 6.4.1บทนิยาม 6.4.1 ให S เปนพื้นผิวสองหนา ซึ่งกําหนดดวยฟงกชันคาเวกเตอร rv (T) และ F
v เปนฟงกชันคาเวกเตอรที่นิยามบนพ้ืนผิว S และ F
v เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่องบน Sเราเรียก ∫∫
SFv ⋅Nv dS วา อินทิกรัลตามพ้ืนผิวของฟงกชันคา
เวกเตอร Fv บน S
เมื่อ Nv เปนเวกเตอรแนวฉากหนวยของพ้ืนผิว S
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพ้ืนผิว6 - 61
การหาคาของอินทิกรัลตามพ้ืนผิวของฟงกชันคาเวกเตอร ∫∫
SFv ⋅Nv dS
เพราะวา Nv มีทิศทางเก่ียวกับ rn vv เพราะฉะน้ัน N
v = ||n||
n
r
rv
vv
v
ดังนั้น ∫∫S
Fv ⋅Nv dS = ∫∫
)T(rvFv ⋅
||n||n
r
rv
vv
v dS
= ∫∫T
Fv ( rv (u, v)) ⋅ ||)v,u(n||
)v,u(nrrv
vv
v || rn vv (u, v) || dudv
เพราะฉะนั้น∫∫S
Fv ⋅Nv dS = ∫∫
TFv ( rv (u, v)) ⋅ rn vv (u, v) dudv ... (1)
ในกรณีที่ Nv มีทิศทางตรงกันขามกับ rn vv จะไดวา
∫∫S
Fv ⋅Nv dS = – ∫∫
TFv ( rv (u, v)) ⋅ rn vv (u, v) dudv ... (2)
จาก (1) และ (2) จะเห็นวาในการคํานวณคาของอินทิกรัลตามพื้นผิวของฟงกชันคาเวกเตอร F
v บนพ้ืนผิว Sจะตองระบุทิศทางของเวกเตอรแนวฉาก N
v ดวยวามีทิศทางเดียวกับ rn vv หรือ มีทิศทางตรงกันขามกับ rn vv
หมายเหตุ1. จุดทุกจุดบนพ้ืนผิว S มีเวกเตอรตําแหนงคือ rv (u, v)เวกเตอร rv (u, v) มีจุดเร่ิมตนอยูที่จุดกําเนิดดังนั้นเวกเตอร rv มีทิศทางพุงออกจากจุดกําเนิดเสมอ2. ทิศทางของเวกเตอร N
v หรือ rn vv จะหมายถึงทิศทางของเวกเตอรที่มีจุดเร่ิมตนอยูที่จุดบนพ้ืนผิว S
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพ้ืนผิว6 - 62
ตัวอยาง 6.4.1 จงหาอินทิกรัลตามพ้ืนผิว ∫∫S
Fv ⋅Nv dS
เมื่อ S เปนสวนของระนาบ x + y + z = 1 ในอัฐภาคท่ีหน่ึงให F
v (x, y, z) = (x, 2y, 3z) และให N
v แทนเวกเตอรแนวฉากหนวยของ S ซึ่งมีพิกัดท่ีสามมีคาไมเปนลบ
รูปที่ 6.4.2วิธีทาํ ระนาบ x + y + z = 1 เขียนในรูปแบบสมการเวกเตอรไดเปน rv (u, v) = (u, v, 1 – u – v) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1 – u}
ur
∂∂v = (1, 0, –1),
vr
∂∂v = (0, 1, –1)
rn vv (v, v) = ur
∂∂v ×
vr
∂∂v
= 110101k ji
−−
vvv
= 1110 −
− iv – 10
11 −− j
v + 1001 k
v
= 1 iv + 1 j
v + 1 kv = (1, 1, 1)
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพ้ืนผิว6 - 63
เพราะวา Nv มีทิศทางเดียวกับ rn vv
เพราะฉะนั้น ∫∫S
Fv ⋅Nv dS = ∫∫
TFv ( rv (u, v)) ⋅ rn vv (u, v) dudv
= ∫1
0∫−u1
0(u, 2v, 3(1 – u – v)) ⋅ (1, 1, 1) dvdu
= ∫1
0∫−u1
0(u + 2v + 3(1 – u – v)) dvdu
= ∫1
0∫−u1
0(3 – 2u – v) dvdu
= ∫1
0[ 3v – 2uv –
2v2 ] 0v
u1v=
−= du
= ∫1
0(3(1 – u) – 2u(1 – u) – 2
1(1 – u)2) du
= ∫1
0(2
5 – 4u + 23 2u ) du
= [ 25u – 2 2u + 2
1 3u ] 0u1u
==
= 1
Calculus III page 18 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 64
ตัวอยาง 6.4.2 จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫S
Fv ⋅Nv dS
เมื่อ S แทนพื้นผิวครึ่งทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4, z ≥ 0ให N
v แทนเวกเตอรแนวฉากหนวยมีทิศทางพุงออกจากทรงกลมกําหนดให F
v (x, y, z) = (x, –y, z)วิธีทาํ
รูปที่ 6.4.3แบบที่ 1. พื้นผิว S กําหนดดวยสมการเวกเตอรrv (u, v) = (2 sin u cos v, 2 sin u sin v, 2 cos u)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2
π , 0 ≤ v ≤ 2π}
ur
∂∂v = (2 cos u cos v, 2 cos u sin v, – 2 sin u)
vr
∂∂v = (–2 sin u sin v, 2 sin u cos v, 0)
rn vv (u, v) = ur
∂∂v ×
vr
∂∂v
= 0vcosusin2vsinusin2
usin2vsinucos2vcosucos2kji
−
−
vvv
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 65
= 0vcosusin2
usin2vsinucos2
−iv–
0vsinusin2
usin2vcosucos2 −
−jv
+ vcosusin2vsinusin2
vsinucos2vcosucos2 −
kv
= 4 2sin u cos v iv + 4 2sin u sin v j
v
+ (4 sin u cos u 2cos v + 4 sin u cos u 2sin v) kv
= 4 2sin u cos v iv + 4 2sin u sin v j
v
+ (4 sin u cos u ( 2cos v + 2sin v) kv
= 4 2sin u cos v iv + 4 2sin u sin v j
v + 4 sin u cos u kv
= (4 2sin u cos v, 4 2sin u sin v, 4sin u cos u)= 2 sin u (2 sin u cos v, 2 sin u sin v, 2 cos u)= 2 sin u rv(u, v)เพราะวา sin u ≥ 0 เมื่อ 0 ≤ u ≤ 2
π
เพราะฉะนั้น rn vv มีทิศทางเดียวกับ rv
นั่นคือ rn vv มีทิศทางพุงออกจากทรงกลมเชนเดียวกับ rv
ดังนั้น Nv และ rn vv มีทิศทางเดียวกัน
เพราะฉะนั้น ∫∫S
Fv ⋅Nv dS = ∫∫
TFv ( rv (u, v)) ⋅ rn vv (u, v) dudv
เพราะวา Fv ( rv (u, v))
= Fv (2 sin u cos v, 2 sin u sin v, 2 cos u)
= (2 sin u cos v, –2 sin u sin v, 2 cos u)
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 66
Fv ( rv (u, v)) ⋅ rn vv (u, v)= (2 sin u cos v, –2 sin u sin v, 2 cos u)
⋅ (2 sin u (2 sin u cos v, 2 sin u sin v, 2 cos u))= 8 sin u ( 2sin u 2cos v – 2sin u 2sin v + 2cos u)= 8( 3sin u 2cos v – 3sin u 2sin v + sin u 2cos u)เพราะฉะนั้น ∫∫
SFv ⋅Nv dS
= ∫π2
0∫π2
0(8( 3sin u 2cos v – 3sin u 2sin v + sin u 2cos u)) dvdu
= 8 ∫π2
0∫π2
0( 3sin u( 2cos v – 2sin v) + sin u 2cos u) dvdu
= 8 ∫π2
0∫π2
0( 3sin u cos 2v + sin u 2cos u) dvdu
= 8 ∫π2
0[ 3sin u
2v2sin + (sin u 2cos u) v ] 0v
2v=
π= du
= 8 ∫π2
0(sin u 2cos u)(2π) du = 16π ∫
π2
0sin u 2cos u du
= 16π ∫π2
0(– 2cos u) d(cos u) = 16π[ –
3ucos3 ]
0u2u
=
π=
= 3
16π
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 67
แบบที่ 2. พื้นผิว S กําหนดดวยสมการเวกเตอรrv (u, v) = (2 sin v cos u, 2 sin v sin u, 2 cos v)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ v ≤ 2
π , 0 ≤ u ≤ 2π}
ur
∂∂v = (–2 sin v sin u, 2 sin v cos u, 0)
vr
∂∂v = (2 cos v cos u, 2 cos v sin u, –2 sin v)
rn vv = ur
∂∂v ×
vr
∂∂v =
vsin2usinvcos2ucosvcos20ucosvsin2usinvsin2kji
−
−
vvv
= vsin2usinvcos2
0ucosvsin2
−iv–
vsin2ucosvcos20usinvsin2
−
−jv
+ usinvcos2ucosvcos2ucosvsin2usinvsin2
−
kv
= –4 2sin v cos u iv – 4 2sin v sin u j
v
+ (–4 sin v cos v 2sin u – 4 sin u cos u 2cos u) kv
= 4 2sin v cos u iv + 4 2sin v sin u j
v
– (4 sin v cos v ( 2sin u + 2cos u) kv
= –4 2sin v cos u iv – 4 2sin v sin u j
v – 4 sin v cos v kv
= –(4 2sin v cos u, 4 2sin v sin u, 4 sin v cos v)= –2 sin v (2 sin v cos u, 2 sin v sin u, 2 cos v)= (–2 sin v) rv (u, v)
Calculus III page 19 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 68
เพราะวา sin v ≥ 0 เมื่อ 0 ≤ v ≤ 2π
เพราะฉะนั้น rn vv มีทิศทางตรงขามกับ rv
เพราะฉะนั้น rn vv มีทิศทางพุงเขาสูจุดศูนยกลางของทรงกลมดังนั้น N
v และ – rn vv มีทิศทางเดียวกันเพราะฉะนั้น∫∫S
Fv ⋅Nv dS = ∫∫
TFv ( rv (u, v)) ⋅ (– rn vv (u, v)) dvdu
เพราะวาFv ( rv (u, v)) = F
v (2 sin v cos u, 2 sin v sin u, 2 cos v)= (2 sin v cos u, –2 sin v sin u, 2 cos v)และ rv (u, v) = (2 sin v cos u, 2 sin v sin u, 2 cos v)และ rn vv (u, v) = (–2 sin v) rv (u, v)เพราะฉะนั้น F
v ( rv (u, v)) ⋅ (– rn vv (u, v))= (2 sin v cos u, –2 sin v sin u, 2 cos v) ⋅ (2 sin v rv (u, v))= (2 sin v cos u, –2 sin v sin u, 2 cos v)
⋅ (2 sin v (2 sin v cos u, 2 sin v sin u, 2 cos v))= 8(sin v cos u, –sin v sin u, cos v)
⋅ ( 2sin v cos u, 2sin v sin u, sin v cos v))= 8( 3sin v 2cos u – 3sin v 2sin u + sin v 2cos v)
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 69
เพราะฉะนั้น ∫∫S
Fv ⋅Nv dS
= ∫π2
0∫π2
08 ( 3sin v 2cos u – 3sin v 2sin u + sin v 2cos v) dudv
= ∫π2
0∫π2
08 ( 3sin v 2cos u – 3sin v 2sin u + sin v 2cos v) dudv
= 3
16π
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 70
ตัวอยาง 6.4.3 กําหนดให Fv (x, y, z) = (2x, 2y, 3z)
ให S แทนพื้นผิวของพาราโบลอยด z = 2x + 2y
เมื่อ 0 ≤ z ≤ 9จงหา ∫∫
SFv ⋅Nv dS เมื่อกําหนดให N
v ⋅kv < 0
วิธีทาํ
รูปที่ 6.4.5พื้นผิว S มีสมการเวกเตอรrv (u, v) = (u cos v, u sin v, 2u ) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ v ≤ 2π}
ur
∂∂v = (cos v, sin v, 2u) และ
vr
∂∂v = (–u sin v, u cos v, 0)
rn vv = ur
∂∂v ×
vr
∂∂v =
0vcosuvsinuu2vsinvcos
kji −
vvv
= 0vcosuu2vsin
iv –
0vsinuu2vcos
−
jv
+ vcosuvsinu
vsinvcos −
kv
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 71
= –2 2u cos v iv - 2 2u sin v j
v + (u 2cos v + u 2sin v) kv
= (–2 2u cos v, –2 2u sin v, u)เพราะวา
rn vv ⋅kv = (–2 2u cos v, –2 2u sin v, u) ⋅ (0, 0, 1) = u ≥ 0เพราะฉะนั้น rn vv มีทิศทางตรงกันขามกับ N
v
ซึ่งจะไดวา ∫∫S
Fv ⋅Nv dS = ∫∫
TFv ( rv (u, v)) ⋅ (– rn vv (u, v)) dudv
เพราะวา Fv ( rv (u, v)) ⋅ (– rn vv (u, v))
= (2u cos v, 2u sin v, 3 2u ) ⋅ (2 2u cos v, 2 2u sin v, –u)= 4 3u 2cos v + 4 3u 2sin v – 3 3u
= 4 3u ( 2cos v + 2sin v) – 3 3u
= 4 3u – 3 3u
= 3u
เพราะฉะนั้น ∫∫S
Fv ⋅Nv dS
= ∫∫T
Fv ( rv (u, v)) ⋅ (– rn vv (u, v)) dudv
= ∫π2
0∫3
0( 3u ) dudv
= 2π[ 4
u 4 ] 0u3u
==
= 2
81π
Calculus III page 20 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 72แบบฝกหัด 6.4จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫
S
Fv ⋅ N
v dS
1. Fv (x, y, z) = (-y, x, 9)S เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 22 yx9 −− และ 0 ≤ 2x + 2y ≤ 4
2. Fv (x, y, z) = (x, y, z)S เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 1 - 2x - 2y และ z ≥ 0
3. Fv (x, y, z) = (-y, x, 0)S เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 8x - 4y - 5 เหนือบริเวณสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด (0, 0, 0), (0, 1, 0)และ (1, 0, 0)
4. Fv (x, y, z) = (y, -x, 2)S เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 2y1 − และ 0 ≤ x ≤ 5
5. Fv (x, y, z) = (-2, 3, 5)S เปนพ้ืนผิวกําหนดโดย z = 2x + 2y และ 0 ≤ z ≤ 4
6. Fv (x, y, z) = (x 3
5222 )zyx( ++ , y 3
5222 )zyx( ++ , z 3
5222 )zyx( ++ ))
S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 17. F
v (x, y, z) = (x, y, z)S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1
เฉลยแบบฝกหัด 6.41. 36π 2. 2
3π 3. 2 4. 205. 20π 6. 4π 7. 4π
Calculus III page 21 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 73
6.5 อินทิกรัลตามพื้นผิวในรูป∫∫S
1f (x, y, z) dydz + 2f (x, y, z) dzdx + 3f (x, y, z) dxdy
ให S เปนพื้นผิวเรียบซึ่งกําหนดสมการrv (u, v) = (X(u, v), Y(u, v), Z(u, v)) เมื่อ (u, v) ∈ Tให 3f (x, y, z) เปนฟงกชันคาจริงซึ่งตอเนื่องทุกจุด (x, y, z)บนพื้นผิว Sสัญลักษณ ∫∫
S3f (x, y, z) dxdy หมายถึง อินทิกรัลตามพื้นผิว
∫∫T
3f ( rv (u, v)) )v,u()Y,X(
∂∂ dudv
เพราะฉะนั้น ∫∫S
3f (x, y, z) dxdy = ∫∫T
3f ( rv (u, v)) )v,u()Y,X(
∂∂
dudv
ในทํานองเดียวกัน∫∫S
1f (x, y, z) dydz = ∫∫T
1f ( rv (u, v)) )v,u()Z,Y(
∂∂ dudv
∫∫S
2f (x, y, z) dzdx = ∫∫T
2f ( rv (u, v)) )v,u()X,Z(
∂∂ dudv
การหาคาอินทิกรัลที่เขียนในรูป
∫∫S
1f (x, y, z) dydz + 2f (x, y, z) dzdx + 3f (x, y, z) dxdy
ใหพื้นผิว S กําหนดโดยสมการเวกเตอรrv (u, v) = (X (u, v), Y (u, v), Z(u, v)) เมื่อ (u, v) ∈ Tจะได
ur
∂∂v = (
uX∂∂ ,
uY∂∂ ,
uZ∂∂ ) และ
vr
∂∂v = (
vX∂∂ ,
vY∂∂ ,
vZ∂∂ )
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 74
rn vv (u, v) = ur
∂∂v ×
vr
∂∂v =
vZ
vY
vX
uZ
uY
uX
kji
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
vvv
= vZ
vY
uZ
uY
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
iv -
vZ
vX
uZ
uX
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
jv +
vY
vX
uY
uX
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
kv
= vZ
vY
uZ
uY
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
iv +
vX
vZ
uX
uZ
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
jv +
vY
vX
uY
uX
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
kv
= )v,u()Z,Y(
∂∂ i
v + )v,u()X,Z(
∂∂ j
v + )v,u()Y,X(
∂∂ k
v
= ( )v,u()Z,Y(
∂∂ , )v,u(
)X,Z(∂∂ , )v,u(
)Y,X(∂∂ )
ให Nv เปนเวกเตอรแนวฉากหนวยของพื้นผิว S
ให Fv (x, y, z) = ( 1f (x, y, z), 2f (x, y, z), 3f (x, y, z))
ให Nv มีทิศทางเดียวกับ rn vv จะได
∫∫S
Fv ⋅Nv dS = ∫∫
TFv ⋅Nv dS = ∫∫
TFv ( rv (u, v)) ⋅ rn vv (u, v) dudv
= ∫∫T
( 1f (x, y, z) )v,u()Z,Y(
∂∂ + 2f (x, y, z)
)v,u()X,Z(
∂∂
+ 3f (x, y, z))v,u()Y,X(
∂∂ ) dudv
= ∫∫S
1f (x, y, z) dydz + 2f (x, y, z) dzdx + 3f (x, y, z) dxdy
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 75
ขั้นตอนการหาคา∫∫S
1f (x, y, z) dydz + 2f (x, y, z) dzdx + 3f (x, y, z) dxdy
ขั้นที่ 1 หาสมการเวกเตอรของพื้นผิว Sใหพื้นผิว S กําหนดโดยสมการเวกเตอรrv (u, v) = (X (u, v), Y (u, v), Z(u, v)) เมื่อ (u, v) ∈ Tขั้นที่ 2 หา u
r∂∂v = ( u
X∂∂ , u
Y∂∂ , u
Z∂∂ )
vr
∂∂v = ( v
X∂∂ , v
Y∂∂ , v
Z∂∂ )
rnvv (u, v) = ur
∂∂v × v
r∂∂v
หรือ rnvv (u, v) = ( )v,u()Z,Y(
∂∂ , )v,u(
)X,Z(∂∂ , )v,u(
)Y,X(∂∂ )
= (vZ
vY
uZ
uY
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
, vX
vZ
uX
uZ
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
, vY
vX
uY
uX
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
)
ขั้นที่ 3 ให Nv มีทิศทางเดียวกับ rnvv
ขั้นที่ 4∫∫S
1f (x, y, z) dydz + 2f (x, y, z) dzdx + 3f (x, y, z) dxdy
= ∫∫S
Fv ⋅Nv dS
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 76
ตัวอยาง 6.5.1 ให S เปนพื้นผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 16จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว∫∫S
yz dydz + zx dzdx + xy dxdy
โดยใชฟงกชันคาเวกเตอร rv แทนพื้นผิวซึ่งมี rnvv มีทิศทางพุงออกจากทรงกลมวิธีทาํ
รูปที่ 6.5.1ขั้นที่ 1 หาสมการเวกเตอรของพื้นผิว Sให S กําหนดดวยสมการเวกเตอรrv (u, v) = (4 sin u cos v, 4 sin u sin v, 4 cos u)เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 2π}ขั้นที่ 2 หาคา u
r∂∂v , v
r∂∂v , rnvv (u, v)
ur
∂∂v = (4 cos u cos v, 4 cos u sin v, –4 sin u)
vr
∂∂v = (–4 sin u sin v, 4 sin u cos v, 0)
Calculus III page 22 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 77
rnvv (u, v) = ur
∂∂v × v
r∂∂v
= 0vcosusin4vsinusin4
usin4vsinucos4vcosucos4kji
−
−
vvv
= 0vcosusin4
usin4vsinucos4
−iv
– 0vsinusin4
usin4vcosucos4 −
−jv
+ vcosusin4vsinusin4
vsinucos4vcosucos4 −
kv
= 16 2sin u cos v iv + 16 2sin u sin v j
v
+ (16 sin u cos u 2cos v + 16 sin u cos u 2sin v) kv
= 16 2sin u cos v iv + 16 2sin u sin v j
v
+ (16 sin u cos u ( 2cos v + 2sin v)) kv
= 16 2sin u cos v iv + 16 2sin u sin v j
v + 16 sin u cos u kv
= (16 2sin u cos v, 16 2sin u sin v, 16 sin u cos u)= 8(2 2sin u cos v, 2 2sin u sin v, sin 2u)เพราะวา (16 2sin u cos v, 16 2sin u sin v, 16 sin u cos u)= 4 sin u (4 sin u cos v, 4 sin u sin v, 4 cos u)= 4 sin u rv(u, v)เพราะฉะนั้น rnvv มีทิศทางเดียวกับเวกเตอรรัศมี rv
เพราะฉะนั้น rnvv มีทิศทางพุงออกจากทรงกลม
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 78
ขั้นที่ 3 ให Nv = rnvv
ขั้นที่ 4∫∫S
1f (x, y, z) dydz + 2f (x, y, z) dzdx + 3f (x, y, z) dxdy
= ∫∫S
Fv⋅Nv dS
ให Fv (x, y, z) = (yz, zx, xy)
Fv ( rv (u, v)) = ((4 sin u sin v)(4 cos u), (4 cos u)(4 sin u cos v), (4 sin u cos v)(4 sin u sin v))= (8 sin 2u sin v, 8 sin 2u cos v, 8 2sin u sin 2v)= 8(sin 2u sin v, sin 2u cos v, 2sin u sin 2v)และ rnvv (u, v) = 8(2 2sin u cos v, 2 2sin u sin v, sin 2u)เพราะฉะนั้น ∫∫
Syz dydz + zx dzdx + xy dxdy = ∫∫
SFv ⋅Nv dS
= ∫∫T
(8(sin 2u sin v, sin 2u cos v, 2sin u sin 2v))
⋅ (8(2 2sin u cos v, 2 2sin u sin v, sin 2u)) dvdu
= 64 ∫π
0∫π2
0(sin 2u sin v, sin 2u cos v, 2sin u sin 2v)
⋅ (2 2sin u cos v, 2 2sin u sin v, sin 2u) dvdu= 64 ∫
π
0∫π2
0((sin 2u sin v)(2 2sin u cos v)
+ (sin 2u cos v)(2 2sin u sin v) + ( 2sin u sin 2v)(sin 2u)) dvdu
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 79
= 64 ∫π
0∫π2
0( 2sin u sin 2u sin 2v + 2sin u sin 2u sin 2v
+ 2sin u sin 2u sin 2v) dvdu= 64 ∫
π
0∫π2
03 2sin u sin 2u sin 2v dvdu
= 192 ∫π
0∫π2
0
2sin u sin 2u sin 2v dvdu
= 192 ∫π
0
2sin u sin 2u [ – 2v2cos ] 0v
2v=
π= du
= 192 ∫π
0
2sin u sin 2u (0 – 0) du = 0
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 80
ตัวอยาง 6.5.2 จงหาคาของ ∫∫S
(x + y) dydz
เมื่อ S เปนพื้นผิวพาราโบลอยดซึ่งกําหนดโดยสมการเวกเตอร rv (u, v) = (u, v, 2u + 2v )เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 1}วิธีทาํ
รูปที่ 6.5.2ขั้นที่ 1 หาสมการเวกเตอรของพื้นผิว Sพื้นผิว S กําหนดโดยสมการเวกเตอรrv (u, v) = (u, v, 2u + 2v ) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 1}ขั้นที่ 2 หาคา u
r∂∂v , v
r∂∂v , rn vv (u, v)
ur
∂∂v = (1, 0, 2u), v
r∂∂v = (0, 1, 2v)
Calculus III page 23 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 81
rn vv (u, v) = ur
∂∂v × v
r∂∂v =
v210u201
kji
vvv
= v21u20 i
v – v20u21 j
v + 1001 k
v
= –2u iv – 2v j
v + 1 kv
= (–2u, –2v, 1)ขั้นที่ 3 ให N
v มีทิศทางเดียวกับ rn vv
ขั้นที่ 4∫∫S
1f (x, y, z) dydz + 2f (x, y, z) dzdx + 3f (x, y, z) dxdy
= ∫∫S
Fv ⋅Nv dS
จัดรูป ∫∫S
(x + y) dydz เปน
= ∫∫S
(x + y) dydz + (0) dzdx + (0) dxdy
= ∫∫T
(u + v) )v,u()Z,Y(
∂∂ + (0) )v,u(
)X,Z(∂∂ + (0) )v,u(
)Y,X(∂∂ ) dudv
= ∫∫T
(u + v) )v,u()Z,Y(
∂∂ dudv
เพราะวา rnvv (u, v) = ( )v,u()Z,Y(
∂∂ , )v,u(
)X,Z(∂∂ , )v,u(
)Y,X(∂∂ )
= (–2u, –2v, 1)เพราะฉะนั้น )v,u(
)Z,Y(∂∂ = –2u
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 82
เพราะฉะนั้น ∫∫S
(x + y) dydz
= ∫∫T
(u + v)(-2u) dudv
= –2 ∫∫T
( 2u + uv) dudv
= -2 ∫−
1
1∫−
−−
2u1
2u1
( 2u + uv) dudv
= -2 ∫π2
0∫1
0( 2r 2cos θ + (r cos θ)(r sin θ)) r drdθ
(ให u = r cos θ, v = r sin θ)= -2 ∫
π2
0∫1
0( 2cos θ + cos θ sin θ) 3r drdθ
= -2 ∫π2
0( 2cos θ + cos θ sin θ) [ 4
r4 ] 0r1r
== dθ
= -2 ∫π2
0( 2cos θ + cos θ sin θ)( 4
1) dθ
= - 21 ∫
π2
0( 2cos θ dθ + cos θ sin θ) dθ
= - 21 ∫
π2
0( 2
2cos1 θ+ + 22sin θ) dθ
= - 21 [ 2
θ + 42sin θ + 4
2sin θ ] 02
=θπ=θ
= – 2π
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 83
ตัวอยาง 6.5.3 ให S เปนพื้นผิวครึ่งทรงกลมทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1 และ z ≥ 0จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫
S(x + y + z) dxdy
วิธีทาํ
รูปที่ 6.5.3ขั้นที่ 1 หาสมการเวกเตอรของพื้นผิว Sให S กําหนดดวยสมการเวกเตอรrv (u, v) = u, v, 22 vu1 −− ) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | -1 ≤ u ≤ 1, -1 ≤ v ≤ 1}ขั้นที่ 2 หาคา u
r∂∂v , v
r∂∂v , rn vv (u, v)
ur
∂∂v = (1, 0,
22 vu1u−−
− )
vr
∂∂v = (0, 1,
22 vu1v−−
− )
rn vv (u, v) = ur
∂∂v × v
r∂∂v = (
22 vu1u−−
, 22 vu1
v−−
, 1)
ขั้นที่ 3 ให Nv = rn vv
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 84
ขั้นที่ 4 ∫∫S
(x + y + z) dxdy
จัดรูปเปน ∫∫S
(0) dydz + (0) dzdx + (x + y + z) dxdy
= ∫∫S
1f (x, y, z) dydz + 2f (x, y, z) dzdx + 3f (x, y, z) dxdy
ให Fv (x, y, z) = (0, 0, x + y + z)
เพราะฉะนั้น ∫∫S
(x + y + z) dxdy = ∫∫S
Fv ⋅Nv dS
= ∫∫S
(0, 0, u + v + 22 vu1 −− )
⋅(22 vu1
u−−
, 22 vu1
v−−
, 1) dvdu
= ∫−
1
1∫−
−−
2v1
2v1
(u + v + 22 vu1 −− ) dvdu
= ∫π2
0∫1
0(r cos θ + r sin θ + 2r1 − ) r dr dθ
(ให u = r cos θ, v = r sin θ)
= ∫π2
0 [ 3
r3 (cos θ + sin θ) - 31(1 - 2r ) 2
3] 0r
1r== dθ
= 31 [ sin θ - cos θ - θ] 0
2=θ
π=θ
= 32π
Calculus III page 24 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 85แบบฝกหัด 6.51. จงหาคา ∫∫
S
2 dydz + 3 dzdx + 6 dxdy
S เปนพ้ืนผิวของระนาบ 3x + 2y + z = 6 เฉพาะบริเวณที่อยูในทรงกระบอก 2x + 2y = 12. จงหาคา ∫∫
S
x(y + z) dydz
S เปนพ้ืนผิวกรวย 2z = 2x + 2y , 0 ≤ z ≤ 23. ∫∫
S
(x + y + z) dydz
S เปนระนาบ 2x + 3y + 6z = 12 ในอัฐภาคที่ 14. จงหาคา ∫∫
S
z dydz + y dzdx + (2x - 1) dxdy
S เปนพ้ืนผิว z = 2x1 − และ 0 ≤ y ≤ 15. จงหาคา ∫∫
S
2x dydz + 2y dzdx + 2z dxdy
S เปนพ้ืนผิวของพาราโบลอยด z = 2x + 2y , 0 ≤ z ≤ 16. จงหาคา ∫∫
S
2z dxdy
S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4 ในอัฐภาคที่ 1เฉลยแบบฝกหัด 6.51. 18π⋅ 2. 4π⋅ 3. 3
22 4. -2 5. 3π 6. 2π⋅
Calculus III page 25 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 86
6.6 ไดเวอรเจนซและเคิลของเวกเตอรหัวขอจะศึกษาเกี่ยวกับ ไดเวอรเจนซ และ เคิล
ของเวกเตอร ซึ่งมีความสัมพันธกับอินทิกรัลตามพื้นผิวและนําอินทิกรัลตามพื้นผิวไปใชประโยชนบทนิยาม 6.6.1 ให F
v = ( 1f , 2f , 3f ) เมื่อ 1f , 2f , 3f เปนฟงกชันคาจริงของสามตัวแปรซึ่งมีอนุพันธยอย ไดเวอรเจนซของ F
v คือฟงกชันคาจริง ซึ่งเขียนแทนดวยสัญลักษณ divFv
นิยามโดย divFv = x
f1∂∂ + y
f2∂∂ + z
f3∂∂
ขอสังเกตให ∇ = ( x∂
∂ , y∂∂ , z∂
∂ ) F
v = ( 1f , 2f , 3f )และนิยาม ∇ ⋅ Fv ในทํานองเดียวกันกับผลคูณสเกลารกลาวคือ
∇ ⋅ Fv = xf1∂∂ + y
f2∂∂ + z
f3∂∂
ดังนั้นเราอาจเขียนแทน divFv ไดดวยสัญลักษณ ∇ ⋅ Fv
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 87
ตัวอยาง 6.6.1 ให Fv (x, y, z) = (3xy, 2x 3y , yz)
จงหา divFv ที่จุด (1, 2, 4)
วิธีทาํ divFv (x, y, z) = x∂
∂ (3xy) + y∂∂ (2x 3y ) + z∂
∂ (yz)= 3y + 6x 2y + y
divFv (1, 2, 4) = 6 + 24 + 2
= 32
ตัวอยาง 6.6.2 ให Fv (x, y, z) = (xyz, xz + 3y , 2x + yz)
จงหา divFv ที่จุด (2, 1, –1)
วิธีทาํ divFv (x, y, z)
= x∂∂ (xyz) + y∂
∂ (xz + 3y ) + z∂∂ ( 2x + yz)
= yz + 3 2y + ydivF
v (2, 1, –1) = –1 + 3 + 1 = 3
บทนิยาม 6.6.2 ให Fv = ( 1f , 2f , 3f ) เมื่อ 1f , 2f , 3f
เปนฟงกชันคาจริงของสามตัวแปรซึ่งมีอนุพันธยอย เคิล ของ Fv
คือฟงกชันคาเวกเตอร ซึ่งเขียนแทนดวยสัญลักษณ curl Fv
นิยามโดย curl Fv = ( y
f3∂∂ – z
f2∂∂ , z
f1∂∂ – x
f3∂∂ , x
f2∂∂ – y
f1∂∂ )
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 88
ขอสังเกต ให ∇ = ( x∂∂ , y∂
∂ , z∂∂ ) และ F
v = ( 1f , 2f , 3f )และนิยาม ∇ × F
v ในทํานองเดียวกับผลคูณเวกเตอรกลาวคือ
ให ∇ × Fv =
fffzyx
kji
321
∂∂
∂∂
∂∂
vvv
หรือ ∇ × Fv = ( y
f3∂∂ – z
f2∂∂ , z
f1∂∂ – x
f3∂∂ , x
f2∂∂ – y
f1∂∂ )
ดังนั้น เราอาจเขียนแทน curl Fv ดวยสัญลักษณ ∇ × F
v
หมายเหตุ การหาคา curl Fv ในรูปของคากําหนดทําไดดังนี้
curl Fv =
fffzyx
kji
321
∂∂
∂∂
∂∂
vvv
ตัวอยาง 6.6.3 ใหFv (x, y, z) = (2 2x + 3yz, 3 2y + 2xz, 4 2z + xy)จงหา curl F
v
วิธีทาํ จาก Fv (x, y, z) = (2 2x + 3yz, 3 2y + 2xz, 4 2z + xy)
curl Fv =
xy4zxz2y3yz32xzyx
kji
222 +++∂∂
∂∂
∂∂
vvv
= (x – 2x) iv – (y – 3y) j
v + (2z – 3z) kv
= –x iv + 2y j
v – z kv
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 89
ตัวอยาง 6.6.4 ให Fv (x, y, z) = (3yz, 2xz, xy) จงหา curl F
v
วิธีทาํ จาก Fv (x, y, z) = (3yz, 2xz, xy)
curl Fv =
xyxz23yzzyx
kji
∂∂
∂∂
∂∂
vvv
= (x – 2x) iv – (y – 3y) j
v + (2z – 3z) kv
= –x iv + 2y j
v – z kv
ตัวอยาง 6.6.3 กําหนดให u = 2x yz จงหา div(grad u)วิธีทาํ div(grad u) = ∇ ⋅ (∇ u)เนื่องจาก ∇ u = ( x
u∂∂ , y
u∂∂ , z
u∂∂ ) = (2 xyz, 2x z, 2x y)
ดังนั้น div(grad u) = x∂∂ (2xyz) + y∂
∂ ( 2x z) + z∂∂ ( 2x y)
= 2yz ตัวอยาง 6.6.4 กําหนดให u เปนฟงกชันคาจริงซึ่งมีอนุพันธยอยอันดับที่สองมีความตอเนื่องจงพิสูจนวา curl (grad u) = 0
v
วิธีทาํ curl (grad u) =
zu
yu
xu
zyx
kji
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
vvv
= ( zyu2
∂∂∂ – yz
u2
∂∂∂ , xz
u2
∂∂∂ – zx
u2
∂∂∂ , yx
u2
∂∂∂ – xy
u2
∂∂∂ ) = 0
v
Calculus III page 26 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 90
แบบฝกหัด 6.6จงหา div F
v และ curl Fv
1. Fv (x, y, z) = ( 2x yz, 3xy 3z , 2x - 2z )
2. Fv (x, y, z) = ( 2x , -2xy, y 2z )
3. Fv (x, y, z) = (yz, xz, xy)
4. Fv (x, y, z) = ( xe cos y, xe sin y, z)
5. Fv (x, y, z) = ( 2x , 2y , 2z )
6. Fv (x, y, z) = (3z, 5x, -2y)
7. Fv (x, y, z) = (y - x, z - y, x - z)
8. Fv (x, y, z) = (x + z, y + x, z + y)
9. Fv (x, y, z) = (x + cos y, y + sin z, z + xe )
10. Fv (x, y, z) = (( 2x + 2y + 2z )x, ( 2x + 2y + 2z )y, ( 2x + 2y + 2z )z)
เฉลยแบบฝกหัด 6.61. div F
v = 2xyz + 3x 3z - 2z, curl Fv = (-9xy 2z , 2x y - 2x, 3y 3z - 2x z)
2. div Fv = 2yz, curl F
v = ( 2z , 0, -2y)3. div F
v = 0, curl Fv = (0, 0, 0)
4. div Fv = 2 xe cos y + 1, curl F
v = (0, 0, 2 xe sin y)5. div F
v = 2x + 2y + 2z, curl Fv = (0, 0, 0)
6. div Fv = 0, curl F
v = (-2, 3, 5)7. div F
v = -3, curl Fv = (-1, -1, -1)
8. div Fv = 3, curl F
v = (1, 1, 1)9. div F
v = 3, curl Fv = (-cos z, - xe , sin y)
10. div Fv = 5( 2x + 2y + 2z ), curl F
v = (0, 0, 0)
Calculus III page 27 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 91
6.7 ความสัมพันธระหวางอินทิกรัลตามพื้นผิวกับอินทิกรัลตามเสน
หัวขอนี้จะกลาวถึงความสัมพันธของอินทิกรัลตามพื้นผิวของฟงกชันคาเวกเตอรบนพื้นผิวเปดสองหนาที่มีขอบเปนเสนโคงเรียบปดกับอินทิกรัลตามเสนของฟงกชันคาเวกเตอรที่มีความสัมพันธกับฟงกชันแรกบนเสนโคงเรียบปดซึ่งเปนขอบของพื้นผิวนั้นรูปที่ 6.7.1 S เปนพื้นผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1และ z ≥ 0ขอบของพื้นผิว S คือเสนโคง C คือ (cos θ, sin θ, 0)เมื่อ 0 ≤ θ ≤ 2π
รูปที่ 6.7.1
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 92
รูปที่ 6.7.2 S เปนพื้นผิวพาราโบลอยด z = 4 2x + 2y
และ 0 ≤ z ≤ 4ขอบของพื้นผิว S คือเสนโคง C คือวงรี (cos θ, 2 sin θ, 0)เมื่อ 0 ≤ θ ≤ 2π
รูปที่ 6.7.2รูปที่ 6.7.3 S เปนพื้นผิวกรวย 2z = 2x + 2y และ 0 ≤ z ≤ 4ขอบของพื้นผิว S คือเสนโคง C คือวงกลม(4 cos θ, 4 sin θ, 0) เมื่อ 0 ≤ θ ≤ 2π
รูปที่ 6.7.3
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 93
6.7.1 ทฤษฎีบทของสโตกสทฤษฎีบทที่ 6.7.1 (ทฤษฎีบทของสโตกส)กําหนดให1. T เปนอาณาบริเวณแบบเชื่อมโยงเชิงเดียวในระนาบ UV
และ Γ เปนเสนโคงปดเชิงเดียวซึ่งเรียบเปนชวงๆและลอมรอบบริเวณ T
2. มีเซตเปด D ซึ่ง T ∪ Γ ⊆ Dให rv : D → 3R เปนฟงกชัน 1 – 1 ซึ่งมีอนุพันธยอยอันดับที่สองตอเนื่องและ rnvv (u, v) ≠ 0 บน T
ถา S คือพ้ืนผิว rv(T) และ C คือเสนโคง rv(Γ) ; P, Q, Rเปนฟงกชันคาจริงซึ่งมีอนุพันธยอยตอเนื่องบน Sจะไดวา
C$ (P dx + Q dy + R dz)
= ∫∫S
[( yR∂∂
– zQ∂∂ ) dydz + ( z
P∂∂
– xR∂∂ ) dzdx + ( x
Q∂∂
– yP∂∂ ) dxdy]
... (I)โดยที่การอินทิเกรตบน C กระทําในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาของΓ ภายใตการสงของ rv
ถา Fv = (P, Q, R) และ rNv
v = n
nrrv
vv
v
เราอาจเขียนสูตร (1) ไดอีกรูปแบบหนึ่ง
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 94
คือ C$ F
v ⋅ dαv = ∫∫S
curl Fv ⋅ rNv
v dS ... (II)
เมื่อ αv (t) = rv(βv(t))โดยที่ βv นิยาม Γ ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
รูปที่ 6.7.4ตัวอยาง 6.7.1 จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว∫∫S
curl Fv ⋅Nv dS เมื่อ F
v (x, y, z) = (y, z, x)
และ S เปนสวนของพื้นผิวพาราโบลอยดz = 1 – 2x – 2y , z ≥ 0ให N
v เปนเวกเตอรแนวฉากหนวยซึ่งมีสวนประกอบที่สามเปนบวก โดย
1. ใชทฤษฎีบทของสโตกส2. ไมใชทฤษฎีบทของสโตกส
Calculus III page 28 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 95
วิธีทาํ
รูปที่ 6.7.5ใหพื้นผิว S กําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอร rv โดยมีคาrv(u, v) = (u, v, 1 – 2u – 2v ), (u, v) ∈ Tเมื่อ T = {(u, v) | 2u – 2v ≤ 1 }
ur
∂∂v = (1, 0, –2u)
vr
∂∂v = (0, 1, –2v)
rn vv = ur
∂∂v × v
r∂∂v
rn vv (u, v) = (2u, 2v, 1)ดังนั้น N
v มีทิศทางเดียวกับ rnvv และ Nv = ||n||
nrrv
vvv
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 96
1. โดยใชทฤษฎีบทของสโตกสจากทฤษฎีบทของสโตกส ∫∫
Scurl F
v ⋅Nv dS = C" F
v ⋅ dαv
เราจะหาอินทิกรัลตามเสนแทนการหาอินทิกรัลตามพื้นผิวซึ่งทําไดดังนี้เสนโคง Γ ซึ่งลอมรอมบริเวณ Tกําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอร βv ดังนี้βv(t) = (cos t, sin t) เมื่อ t ∈ [0, 2π]ให αv (t) = rv(βv(t)) = rv(cos t, sin t)= (cos t, sin t, 1 – tcos2 – tsin2 )= (cos t, sin t, 0) ทุกคา t ∈ [0, 2π]จะไดเสนโคง C ซึ่งเปนขอบของพื้นผิวพาราโบลอยดกําหนดโดยฟงกชัน αv และมีทิศทางสืบเนื่องมาจากทิศทางทวนเข็มนาฬิกาของ βv
จาก Fv (x, y, z) = (y, z, x)
ได Fv (αv (t)) = (sin t, 0, cos t)
เพราะฉะนั้น C$ Fv ⋅ dαv = ∫
π2
0Fv (αv (t)) ⋅ α′v (t) dt
= ∫π2
0(sin t, 0, cos t) ⋅ (–sin t, cos t, 0) dt
= ∫π2
0(– 2sin t) dt
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 97
= ∫π2
0( 2
1t2cos − ) dt
= [ 41 sin 2t – 2
1 t ] 0t2t
=π= = –π
2. โดยไมใชทฤษฎีบทของสโตกส
curl Fv =
xzyzyx
kji
∂∂
∂∂
∂∂
vvv
= (–1, –1, –1)
∫∫S
curl Fv ⋅Nv dS = ∫∫
Tcurl F
v ⋅ rnvv (u, v) dudv
= ∫∫T
(–1, –1, –1) ⋅ (2u, 2v, 1) dudv
= ∫∫T
(–2u – 2v – 1) dudv
เปลี่ยนเปนระบบพิกัดเชิงขั้ว ให u = r cos θ, v = r sin θ
เมื่อ 0 ≤ r ≤ 1 และ 0 ≤ θ ≤ 2πจะได ∫∫
T(–2u – 2v – 1) dudv
= ∫π2
0∫1
0(–2 r cos θ – 2 r sin θ – 1) r drdθ
= ∫π2
0[ –2 cos θ 3
r3 – (2 sin θ) 3r3 – 2
r2 ] 0r1r
== dθ
= ∫π2
0(–3
2cos θ – 32 sin θ – 2
1) dθ
= [ –32sin θ + 3
2cos θ – 21θ) ] 0
2=θ
π=θ = –π
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 98
หมายเหตุ การหาอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫S
curl Fv ⋅Nv dS
เมื่อ S เปนพื้นผิวเปดสองหนาที่มีขอบเปนเสนโคงเรียบปดนอกจากจะทําไดโดยการหาอินทิกรัลตามเสนแทนแลวยังอาจกระทําไดอีกวิธีหนึ่งโดยการหาอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫
1Scurl F
v ⋅ 1Nv dS แทน เมื่อ 1S เปนพื้นผิวระนาบมีโดเมน
เดียวกับ S และผานเสนโคงเรียบปดที่เปนขอบของ Sทั้งนี้ 1S ตองกําหนดดวยฟงกชัน 1 r
v
ซึ่งทําให 1 rn vv มีทิศเดียวกับเวกเตอรแนวฉากของ S ดวยความจริงขอนี้จะไมพิสูจน ณ ที่นี้แตจะแสดงใหเห็นดวยตัวอยางดังนี้ จากโจทยในตัวอยาง 6.7.1ให 1S เปนสวนของพื้นผิวระนาบ z = 0 ซึ่งมีขอบเปนวงกลม 2x + 2y = 1, z = 0ดังนั้นพื้นผิวระนาบ 1S และพ้ืนผิวพาราโบลอยด Sในโจทยมีขอบเปนเสนโคงเดียวกันให 1S กําหนดดวยฟงกชัน
1 rv (u, v) = (u, v, 0) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 1}ได
ur1 ∂∂v = (1, 0, 0),
vr1 ∂∂v = (0, 1, 0) และ 1 rn vv = (0, 0, 1)
จะเห็นวา 1 rn vv และ Nv ของพื้นผิวพาราโบลอยด
มีทิศทางเดียวกันCalculus III page 29 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 99
พิจารณา C : 2x + 2y = 1, z = 0ซึ่งเปนขอบของพื้นผิวทั้งสองให C กําหนดดวยฟงกชัน 1 α
v
ซึ่งไดมาจาก βv ภายใตการสงของ 1rv
เนื่องจาก Γ : βv(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π] 1C : 1 α
v (t) = 1 rv (βv(t)) = 1 r
v (cos t, sin t) = (cos t, sin t, 0)จะเห็นวา 1 α
v และ αv มีทิศทางเดียวกัน(ในที่นี้เปนฟงกชันเดียวกันดวย ดูคา αv (t) จากตัวอยาง 6.7.1)ดังนั้น
C1$ F
v ⋅ d 1 αv =
C$ F
v ⋅ dαv
โดยอาศัยทฤษฎีบทของสโตกส จึงสรุปไดวา ∫∫1S
curl Fv ⋅ 1N
v dS
= ∫∫S
curl Fv ⋅Nv dS ... (1)
ซึ่งอาจแสดงใหเห็นจริงไดดังนี้∫∫1S
curl Fv ⋅ 1N
v dS = ∫∫T
(–1, –1, –1) ⋅ (0, 0, 1) dudv
= ∫∫T
(–1) dudv = –π
(หมายเหตุ ∫∫T
dudv เปนพื้นที่ของวงกลมรัศมียาว 1 หนวย)
จากตัวอยาง 6.7.1 หาไวแลววา ∫∫S
curl Fv ⋅Nv dS = –π
จึงเห็นวา (1) เปนจริง
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 100
ตัวอยาง 6.7.2 จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫
Scurl F
v ⋅Nv dS เมื่อกําหนดให Fv (x, y, z) = (y, z, x)
และ S เปนพื้นผิวครึ่งทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4, z ≥ 0ให N
v เปนเวกเตอรแนวฉากหนวยของ S ซึ่ง Nv ⋅kv > 0
วิธีทาํ
รูปที่ 6.7.6แบบที่ 1 โดยใชทฤษฎีบทของสโตกสจากสูตร ∫∫
Scurl F
v ⋅Nv dS = C$ F
v ⋅ dαv
rv(u, v) = (u, v, 22 vu4 −− ), (u, v) ∈ Tเมื่อ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 4 }ดังนั้นเราจะใชการหาอินทิกรัลตามเสนแทนการหาอินทิกรัลตามพื้นผิวในที่นี้ Γ เปนขอบของ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 4 }Γ : βv(t) = (2 cos t, 2 sin t), t ∈ [0, 2π]จะเห็นวา βv มีทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 101
ให C เปนภาพของ Γ ภายใตการสงของ rv
C : αv (t) = rv(βv(t))= rv(2 cos t, 2 sin t)= (2 cos t, 2 sin t, 0) เมื่อ t ∈ [ 0, 2π]
C$ F
v ⋅ dαv = ∫π2
0Fv (αv (t)) ⋅ αv ′(t) dt
= ∫π2
0(2 sin t, 0, 2 cos t) ⋅ (–2 sin t, 2 cos t, 0) dt
= ∫π2
0(–4 2sin t) dt
= ∫π2
02(cos 2 t – 1) dt
= [ sin 2t – 2t ] 0t2t
=π= = –4π
แบบที่ 2 หาอินทิกรัลตามพื้นผิวระนาบซึ่งผานขอบของทรงกลมแทนการหาอินทิกรัลตามพื้นผิวทรงกลมให 1S แทนสวนของพื้นผิวระนาบ z = 0ซึ่งกําหนดดวย 1 r
v (u, v) = (u, v, 0) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 4}ได u
r1 ∂∂v = (1, 0, 0), v
r1 ∂∂v = (0, 1, 0) และ 1 rn vv = (0, 0, 1)
จะเห็นวาพ้ืนผิว 1S และทรงกลมมีขอบเปนเสนโคงปดเดียวกันและนอกจากนั้นเมื่อกําหนด 1S ดวย 1 r
v
เวกเตอรแนวฉาก 1 rn vv ก็มีทิศทางเดียวกับ Nv
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 102
โดยอาศัยทฤษฎีบทของสโตกส จึงได∫∫S
curl Fv ⋅Nv dS = ∫∫
1Scurl F
v ⋅ 1Nv dS
= ∫∫T
(–1, –1, –1) . (0, 0, 1) dudv
= ∫∫T
(–1) dudv
= - ∫∫T
(1) dudv
= –4π (เนื่องจาก ∫∫
T(1) dudv คือพ้ืนที่ของวงกลมรัศมียาว 2 หนวย )
Calculus III page 30 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 103
ตัวอยาง 6.7.3 จงใชทฤษฎีบทของสโตกสหาคาของอินทิกรัลตามเสน
C$ –z 2x dx + yz dy + x 2y dz
เมื่อ C เปนรอยตัดระหวางทรงกระบอก 2x + 2y = 2yและระนาบ y = zพรอมทั้งระบุทิศทางของการอินทิเกรตซึ่งจะทําใหอินทิกรัลตามเสนมีคาตามคําตอบที่ไดวิธีทาํ
รูปที่ 6.7.7ให F
v (x, y, z) = (–z 2x , yz, x 2y )จากทฤษฎีบทของสโตกส
C$ F
v ⋅ dαv = ∫∫S
curl Fv ⋅Nv dS
ในที่นี้ให S คือสวนของพื้นผิวระนาบ y = z ซึ่งมีขอบเปนเสนโคง C ซึ่งเปนรอยตัดระหวางระนาบ y = zกับทรงกระบอก 2x + 2y = 2y
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 104
เพราะฉะนั้น C เปนเสนโคงปดเราจะคํานวณคาของอินทิกรัลตามเสนโดยใชทฤษฎีบทของสโตกสนั่นคือจะหาคาของ ∫∫
Scurl F
v ⋅Nv dS แทน
ซึ่งทําไดดังนี้ curl Fv =
xyyzzxzyx
kji
22−∂∂
∂∂
∂∂
vvv
= (2xy – y, – 2y – 2x , 0)พื้นผิว S กําหนดไดดวยฟงกชันrv(u, v) = (u, v, v) เมื่อ (u, v) ∈ Tโดยที่ T = {(u, v) | 2u + 2v – 2v ≤ 0}เพราะฉะนั้น u
r∂∂v = (1, 0, 0),
vr
∂∂v = (0, 1, 1)
และ rn vv (u, v) = (0, –1, 1) ∫∫
Scurl F
v ⋅Nv dS
= ∫∫T
curl Fv ( rv(u, v)) ⋅ rn vv (u, v) dudv
= ∫∫T
( 2u + 2v ) dudv
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 105
เปลี่ยนเปนระบบพิกัดเชิงขั้ว ให u = r cos θ, v = r sin θ
จะไดสมการวงกลมเปน 2r – 2 r sin θ = 0 หรือ r = 2 sin θ
∫∫T
( 2u + 2v ) dudv = ∫π
0∫θsin2
0
2r r drdθ
= ∫π
0[ 4
r4 ] 0rsin2r
=θ= dθ
= 23π
เพราะฉะนั้น ∫∫S
curl Fv ⋅Nv dS = 2
3π
ตอไปเราจะพิจารณาวาคําตอบที่ไดมาจากการอินทิเกรตตามเสนซึ่งกระทําในทิศทางใดจาก T = {(u, v) | 2u + 2v – 2 v ≤ 0}พิจารณาวงกลม 2u + 2v – 2 v = 0 ... (1)สมการ (1) แทนเสนโคงปดเชิงดียวซึ่งเปนขอบของ Tจาก (1) ได 2u + (v – 1)2 = 1ให βv(t) = (cos t, 1 + sin t), t ∈ [0, 2π]จะเห็นวา βv เปนฟงกชันคาเวกเตอรแทนเสนโคงปดเชิงเดียวซึ่งเปนขอบของ T และมีทิศทางทวนเข็มนาฬิกาให αv (t) = rv(βv(t))= rv(cos t, 1 + sin t )= (cos t, 1 + sin t, 1 + sin t ) เมื่อ t ∈ [0, 2π]
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 106
ดังนั้น αv เปนฟงกชันคาเวกเตอรซึ่งแทนเสนโคงปดเชิงเดียวซึ่งเปนขอบของ Sและมีทิศทางสืบเนื่องมาจากทิศทางทวนเข็มนาฬิกาของ βv
จึงไดวาถาการอินทิเกรตตามเสนโคง C กระทําในทิศทางเดียวกับทิศทางของ αv
แลวโดยทฤษฎีบทของสโตกสจะได
C$ –z 2x dx + yz dy + x 2y dz = 2
3π
ถาการอินทิเกรตตามเสนโคง C กระทําในทิศทางตรงกันขามกับทิศทางของ αv
แลว จะได C$ –z 2x dx + yz dy + x 2y dz = – 2
3π
Calculus III page 31 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 107แบบฝกหัด 6.7จงใชผลของทฤษฎีบทของสโตกสชวยในการคํานวณคา
C$ F
v ⋅ d αv
1. Fv (x, y, z) = (3z, 5x, -2y)C เปนรอยตัดของระนาบ z = y + 3 กับทรงกระบอก 2x + 2y = 1
2. Fv (x, y, z) = (2z, 8x - 3y, 3x + y)C เปนเสนรอบรูปสามเหลี่ยม ABC เมื่อ A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) และ C(0, 0, 2)C เปนเสนโคงปด AB + BC + CA
3. Fv (x, y, z) = (2z, x, 3y)C เปนเสนโคงที่เปนรอยตัดของระนาบ z = x กับพ้ืนผิวทรงกระบอก 2x + 2y = 4
4. Fv (x, y, z) = (y - x, x - z, x - y)C เปนเสนโคงที่เปนขอบของระนาบ x + 2y + z = 2 ในอัฐภาคที่ 1
5. Fv (x, y, z) = (y - z, y, x)C เปนเสนโคงที่เปนรอยตัดของพื้นผิวทรงกระบอก 2x - x + 2y = 0 กับพื้นผิวทรงกลม
2x + 2y + 2z = 1 และ z ≥ 06. F
v (x, y, z) = (2z, x, 3y)C เปนเสนโคงที่เปนรอยตัดของระนาบ z = x และพ้ืนผิวทรงกระบอก 2x + 2y = 4
7. Fv (x, y, z) = ( 2x - y, 4z, 2x )C เปนเสนโคงที่เปนรอยตัดของระนาบ z = 2 และพ้ืนผิวกรวย z = 22 yx +
8. Fv (x, y, z) = (xz, xy, 3xz)C เปนเสนโคงที่เปนขอบของระนาบ 2x + y + z = 2 ในอัฐภาคที่ 1
9. Fv (x, y, z) = ( 2x , 2x, 2z )C เปนเสนโคงที่เปนขอบของพื้นผิวทรงกระบอก 4 2x + 2y = 4 บนระนาบ XY
10. Fv (x, y, z) = (y, xz, 2x )C เปนเสนโคงที่เปนขอบของระนาบ x + y + x = 1 ในอัฐภาคที่ 1
11. Fv (x, y, z) = ( 2y + 2z , 2x + 2z , 2x + 2y )C เปนเสนโคงที่เปนขอบของสี่เหลี่ยมบนระนาบ XY ที่ปดลอมดวย x = ± 1, y = ± 1
จงใชผลของทฤษฎีบทของสโตกสชวยในการคํานวณคา ∫∫S
curl Fv ⋅ N
v dS
12. Fv (x, y, z) = (y, -x, yz)S เปนพ้ืนผิว z = 2x + 2y และ 0 ≤ z ≤ 4
13. Fv (x, y, z) = (3y, -2x, xyz)S เปนพ้ืนผิว z = 22 yx4 −− และ 0 ≤ z ≤ 2
14. Fv (x, y, z) = (y, -x, yz)S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + (z - 4) 2 = 10 ที่อยูใตระนาบ z = 1
Calculus III page 32 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 10815. F
v (x, y, z) = (y + z, 2x + 2z , y)S เปนพ้ืนผิวทรงกระบอก z = 2x1 − และ 0 ≤ y ≤ 1
16. Fv (x, y, z) = (yz, 3xz, 2z )S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 16 และ z ≤ 2
17. Fv (x, y, z) = (yz, -xz, 3z )S เปนพ้ืนผิวกรวย z = 22 yx + และ 1 ≤ z ≤ 3
18. Fv (x, y, z) = (y, -x, 0)S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 9 และ z ≥ 0
19. Fv (x, y, z) = (y, 2x , ( 2x + 4y ) 2
3sin( xyze ))
S เปนพ้ืนผิวของ 4 2x + 9 2y + 36 2z = 36 และ z ≥ 020. F
v (x, y, z) = (2z, 3x, 5y)S เปนพ้ืนผิวที่มีสมการอิงตัวแปรเสริมเปน rv (r, θ) = (r cos θ, r sin θ, 4 - 2r ), 0 ≤ r ≤ 2และ 0 ≤ θ ≤ 2π
21. Fv (x, y, z) = ( 2x y, 2 3y z, 3z)S เปนพ้ืนผิวที่มีสมการอิงตัวแปรเสริมเปน rv (r, θ) = (r cos θ, r sin θ, r), 0 ≤ r ≤ 1และ 0 ≤ θ ≤ 2π
22. Fv (x, y, z) = (3y, 5 - 2x, 2z - 2)S เปนพ้ืนผิวที่มีสมการอิงตัวแปรเสริมเปนrv (φ, θ) = ( 3 sin φ cos θ, 3 sin φ sin θ, 3 cos φ), 0 ≤ φ ≤ 2
π และ 0 ≤ θ ≤ 2π
เฉลยแบบฝกหัด 6.71. 2π 2. 4 3. -8π 4. -25. 4
π 6. -8π 7. 4π 8. -19. 4π 10. - 6
5 11. 012. -2π 13. -20π 14. -2π 15. -216. -48π 17. -52π 18. -18π 19. -6π20. 12π 21. - 4
π 22. -15π
Calculus III page 33 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 109
6.8 ความสัมพันธระหวางอินทิกรัลตามพื้นผิวกับอินทิกรัลสามชั้นทฤษฎีบท 6.8.1(ทฤษฎีบทไดเวอรเจนซหรือทฤษฎีบทของเกาส)กําหนดให1. S เปนพื้นผิวเรียบเปนสวน ๆ ซึ่งปดลอมรูปทรงสามมิติ V
และ Nv เปนเวกเตอรแนวฉากหนวยของพื้นผิว S
ซึ่งมีทิศทางพุงออกจาก V2. F
v (x, y, z) เปนฟงกชันคาเวกเตอรซึ่งมีความตอเนื่องและอนุพันธยอยอันดับที่หนึ่งของ F
v ก็มีความตอเนื่องทุกจุด (x, y, z) ∈ V
จะได ∫∫∫V
divFv dxdydz = ∫∫
SFv ⋅Nv dS
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 110
ในรูปที่ 6.8.1 V เปนรูปทรงในสามมิติที่ปดลอมดวย Sซึ่งประกอบดวย 3 พื้นผิวคือ
1S = {(x, y, z) | z = h(x, y), (x, y) ∈ 1T }2S = {(x, y, z) | z = g(x, y), (x, y) ∈ 1T }3S เปนพื้นผิวทรงกระบอกปดลอม V และตั้งฉากกับระนาบ XYให 1T เปนภาพฉายของรูปทรงสามมิติ V บนระนาบ XYเราสามารถเขียน V ไดดังนี้V = {(x, y, z) | g(x, y) ≤ z ≤ h(x, y), (x, y) ∈ 1T }
รูปที่ 6.8.1ในการหาคา ∫∫
SFv ⋅Nv dS ตองแบงการอินทิเกรตเปน 3 สวนคือ
∫∫S
Fv ⋅Nv dS = ∫∫
1SFv ⋅Nv dS + ∫∫
2SFv ⋅Nv dS + ∫∫
3SFv ⋅Nv dS
โดยทฤษฎีบทไดเวอรเจนซคํานวณคา ∫∫∫V
divFv dxdydz
จะได ∫∫S
Fv ⋅Nv dS = ∫∫∫
VdivF
v dxdydz
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 111
ตัวอยาง 6.8.1 จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫S
Fv ⋅Nv dS
เมื่อ Fv (x, y, z) = ( 3x , 3y , z) และ s เปนพื้นผิวซึ่งลอมรอบรูป
ทรงสามมิติ V โดยที่ S ประกอบดวยพื้นผิวทรงกระบอก 2x + 2y = 1 ระนาบ z = 0และระนาบ z = x + 2ให N
v เปนเวกเตอรแนวฉากหนวยมีทิศทางพุงออกจาก Vวิธีทาํ
รูปที่ 6.8.2วิธีที่ 1 โดยใชทฤษฎีบทไดเวอรเจนซเรามีสูตร ∫∫
SFv ⋅Nv dS = ∫∫∫
VdivF
v dxdydz
เนื่องจาก Fv (x, y, z) = ( 3x , 3y , z)
ได divFv (x, y, z) = 3 2x + 3 2y + 1
เพราะฉะนั้น ∫∫S
Fv ⋅Nv dS = ∫∫∫
V(3 2x + 3 2y + 1) dxdydz
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 112
จากลักษณะของรูปทรงตัน เปลี่ยนตัวแปรใหอยูในระบบพิกัดทรงกระบอก x = r cos θ, y = r sin θ, z = zเพราะฉะนั้น∫∫S
Fv ⋅Nv dS = ∫∫∫
T(3 2r + 1) r dzdrdθ
เมื่อ T = {(r, θ, z) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1,0 ≤ z ≤ r cos θ + 2}
∫∫S
Fv ⋅Nv dS = ∫
π2
0∫1
0∫+θ 2cosr
0(3 2r + 1) r dzdrdθ
= ∫π2
0∫1
0(3 3r + r)(r cos θ + 2) drdθ
= ∫π2
0∫1
0cos θ (3 4r + 2r ) + 2(3 3r + r) drdθ
= ∫π2
0[ cos θ ( 5
r3 5 + 3r3 ) + 2
r3 4 + 2r )] 0r1r
== dθ
= ∫π2
0(15
14cos θ + 25) dθ
= [ 1514sin θ + 2
5θ ] 02
=θπ=θ
= 5π
Calculus III page 34 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 113
วิธีที่ 2 ไมใชทฤษฎีบทไดเวอรเจนซ พื้นผิว S ประกอบดวยพื้นผิวสามพื้นผิว คือ
1S เปนพื้นผิวระนาบ z = x + 22S เปนพื้นผิวทรงกระบอก 2x + 2y = 13S เปนผิวระนาบ z = 0เพราะฉะนั้น ∫∫
SFv ⋅Nv dS
= ∫∫1S
Fv ⋅Nv dS + ∫∫
2SFv ⋅ 2N
v dS + ∫∫3S
Fv ⋅ 3N
v dS
ให 1S กําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอร 1 rv โดยมี
1 rv (u, v) = (u, v, u + 2), (u, v) ∈ 1T
เมื่อ 1T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 1} u
r1 ∂∂v = (1, 0, 1), v
r1 ∂∂v = (0, 1, 0)
และ 1 rn vv (u, v) = (–1, 0, 1)จะเห็นวา 1 rn vv มีทิศทางพุงออกจาก Vได ∫∫
1SFv ⋅ 1N
v dS = ∫∫1T
Fv ( 1 rv (u, v) ) ⋅ 1 rn vv (u, v) dudv
= ∫∫1T
( 3u , 3v , u + 2) ⋅ (–1, 0, 1) dudv
= ∫∫1T
(– 3u + u + 2) dudv
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 114
เปลี่ยนเปนระบบพิกัดเชิงขั้ว ให u = r cos θ , v = r sin θ
เพราะฉะนั้น
∫∫1S
Fv ⋅ 1N
v dS = ∫π2
0∫1
0(– 3r 3cos θ + r cos θ + 2) rdrdθ
= ∫π2
0[(– 3cos θ) 5
r5 + (cos θ) 3r3 + 2r )] 0r
1r== dθ
= ∫π2
0(–5
1 3cos θ + 31cos θ + 1) dθ
= ∫π2
0–5
1 (1 – 2sin θ) dsin θ + [ 31sin θ + θ ] 0
2=θ
π=θ
= [ –51 sin θ + 15
1 3sin θ ] 02
=θπ=θ + 2π
= 2π
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 115
ใหพื้นผิว 2S กําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอร 2 rv
โดยมี 2 rv (u, v) = (cos u, sin u, v), (u, v) ∈ 2T
เมื่อ 2T = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ cos u + 2} u
r 2 ∂∂v = (–sin u, cos u, 0), v
r 2 ∂∂v = (0, 0, 1)
และ 2 rn vv (u, v) = (cos u, sin u, 0)จะเห็นวา 2 rn vv มีทิศทางพุงออกจาก V ได
∫∫2S
Fv ⋅ 2N
v dS = ∫∫2T
Fv ( 2 rv (u, v)) ⋅ 2 rn vv (u, v) dudv
= ∫π2
0∫+2ucos
0( 3cos u, 3sin u, v) ⋅ (cos u, sin u, 0) dvdu
= ∫π2
0∫+2ucos
0( 4cos u + 4sin u) dvdu
= ∫π2
0( 4cos u + 4sin u)(cos u + 2) du
= ∫π2
0
5cos u du + ∫π2
0
4sin u cos u du
+ 2 ∫π2
0( 4cos u + 4sin u) du
= ∫π2
0(1 – 2 2sin u + 4sin u) d(sin u) + ∫
π2
0
4sin u d(sin u)
+ 21 ∫
π2
0(3 + cos 4u) du
= [ sin u – 3usin2 3 + 5
usin2 5 + 23u + 8
u4sin ] 02
=θπ=θ
= 3π
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 116
ใหพื้นผิว 3S กําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอร 3 rv
โดยมี 3 rv (u, v) = (u, v, 0), (u, v) ∈ 3T
เมื่อ 3T = {(u, v) | 2u + 2v ≤ 1} u
r3 ∂∂v = (1, 0, 0), v
r3 ∂∂v = (0, 1, 0)
และ 3 rn vv (u, v) = (0, 0, 1) มีทิศทางชี้เขาหา Vได – 3 rn vv (u, v) = (0, 0, –1) มีทิศทางพุงออกจาก V ∫∫
3SFv ⋅ 3N
v dS = ∫∫3T
Fv ( 3 rv (u, v)) ⋅ (– 3 rn vv (u, v)) dudv
= ∫∫3T
( 3u , 3v , 0) ⋅ (0, 0, –1) dudv
= 0ดังนั้น ∫∫
SFv ⋅Nv dS
= ∫∫1S
Fv ⋅Nv dS + ∫∫
2SFv ⋅ 2N
v dS + ∫∫3S
Fv ⋅ 3N
v dS
= 2π + 3π + 0 = 5π
Calculus III page 35 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 117
หมายเหตุ 1. จะเห็นวา ตัวอยาง 6.8.1เมื่อทําโดยอาศัยทฤษฎีบทไดเวอรเจนซ คือหาอินทิกรัลตามพื้นผิวจากการหาอินทิกรัลสามชั้นจะสะดวกกวาหาโดยตรงจากสูตร ∫∫
SFv ⋅Nv dS
2. ในการหา 3 rn vv (u, v) นั้นอาจจะกําหนดใหเปนเวกเตอร (0, 0, -1) ไดเนื่องจากเรารูวาเวกเตอร –k
v จะตั้งฉากกับระนาบ XYและพุงออกจาก V
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 118
ตัวอยาง 6.8.2 จงหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫S
Fv ⋅Nv dS
เมื่อ S เปนพื้นผิวหาหนาของรูปปริซึม ซึ่งประกอบดวยระนาบ y = 0 ระนาบ y = x ระนาบ x = 1 ระนาบ z = 0และระนาบ z = 1ให F
v (x, y, z) = (2x, 3y, z)และ N
v เปนเวกเตอรแนวฉากหนวยซึ่งพุงออกจากรูปปริซึมวิธีทาํ
รูปที่ 6.8.3จากลักษณะของ S ซึ่งประกอบดวยพื้นผิวถึง 5 พื้นผิวจึงเห็นวาถาหาคาของอินทิกรัลตามพื้นผิวโดยใชหาจากอินทิกรัลสามชั้นจะงายกวา
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 119
ให V เปนปริมาตรของปริซึม และใหภาพฉายของ Vอยูบนระนาบ XY V = {(x, y, z) | 0 ≤ z ≤ 1 ทุก (x, y) ∈ T}เมื่อ T = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}เพราะวา F
v (x, y, z) = (2x, 3y, z)เพราะฉะนั้น divF
v = 2 + 3 + 1 = 6โดยทฤษฎีบทไดเวอรเจนซ ∫∫
SFv ⋅Nv dS
= ∫∫∫v
divFv dxdy xz
= ∫1
0∫x
0∫1
0(6) dzdydx
= ∫1
0∫x
0[ 6z ] 0z
1z== dydx
= ∫1
0∫x
06 dydx
= ∫1
0[ 6y ] 0y
xy== dx
= ∫1
06x dx
= 6[ 2x2 ] 0x
1x==
= 3
Calculus III page 36 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 120แบบฝกหัด 6.8จงใชผลของทฤษฎีบทของเกาสชวยคํานวณอินทิกรัลตามพื้นผิว ∫∫
S
Fv ⋅ N
v dS
1. Fv (x, y, z) = ( 3x + tan(yz), 3y - xze , 3z + 3x )S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงที่ปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2y = 4 และระนาบ z = 0, z = 3
2. Fv (x, y, z) = ( 2x y, 2xz, y 3z )S เปนพ้ืนผิวของทรงสี่เหลี่ยมที่ปดลอมดวย x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0 และ z = 3
3. Fv (x, y, z) = ( 2x , 2y , 2z )S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงที่ปดลอมดวยพาราโบลอยด z = 2x + 2y และระนาบ z = 4
4. Fv (x, y, z) = (x + 2z , y - 2z , x)S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงที่ปดลอมดวยทรงกระบอก 0 ≤ 2y + 2z ≤ 1 และระนาบ z = 0, z = 2
5. Fv (x, y, z) = (2x, 3y, 4z)S เปนพ้ืนผิวของอาณาบริเวณที่ 9 ≤ 2x + 2y + 2z ≤ 16
6. Fv (x, y, z) = (2x + yz, 3y, 2z )S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1
7. Fv (x, y, z) = ( 2x , 2y , 2z )S เปนพ้ืนผิวทรงกลม (x - 2) 2 + 2y + 2z = 1
8. Fv (x, y, z) = ( 2x , 0, 0)S เปนพ้ืนผิวของทรงสี่เหลี่ยมที่ปดลอมดวย x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 และ z = 1
9. Fv (x, y, z) = (x + z, y + x, z + y)S เปนพ้ืนผิวของทรงสี่หนาในอัฐภาคที่ 1 ที่ปดลอมดวยระนาบ XY, YZ, ZX และ 3x + 4y + 2z = 12
10. Fv (x, y, z) = ( 3x , 3y , 3z )S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1
11. Fv (x, y, z) = (x + cos y, y + sin z, z + xe )S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงที่ปดลอมดวย z = 1 - 2x , y = 0 และ y = 2
12. Fv (x, y, z) = (x 222 zyx( ++ , y 222 zyx( ++ , z 222 zyx( ++ )S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงที่ปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2y = 4 และระนาบ z = 0, z = 3
13. Fv (x, y, z) = (x, y, z)S เปนพ้ืนผิวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4
14. Fv (x, y, z) = (x + y, y + z, z + x)S เปนพ้ืนผิวของทรงสี่หนาในอัฐภาคที่ 1 ที่ปดลอมดวยระนาบ XY, YZ, ZX และ x + y + z = 1
15. Fv (x, y, z) = ( 3x , 3y , 3z )S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงที่ปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2y = 9 และระนาบ z = -1, z = 4
16. Fv (x, y, z) = ( 2x + yze− , y + sin(xz), cos(xy))S เปนพ้ืนผิวของทรงสี่หนาในอัฐภาคที่ 1 ที่ปดลอมดวยระนาบ XY, YZ, ZX และ x + y + z = 1
Calculus III page 37 / 38
บทที่ 6 อินทิกรัลตามพื้นผิว6 - 12117. F
v (x, y, z) = (x, y, 3)S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงที่ปดลอมดวยพาราโบลอยด z = 2x + 2y และระนาบ z = 4
18. Fv (x, y, z) = (x + y, y + z, z + x)18.1 S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตัน {(x, y, z) | 0 ≤ z ≤ 4 - 2x - 2y และ 0 ≤ 2x + 2y ≤ 4}18.2 S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตัน
{(x, y, z) | -4 + 2x + 2y ≤ z ≤ 4 - 2x - 2y และ 0 ≤ 2x + 2y ≤ 4}18.3 S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตัน {(x, y, z) | 0 ≤ 2x + 2y ≤ 9 และ 0 ≤ z ≤ 5}18.4 S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตัน {(x, y, z) | -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1 และ -1 ≤ z ≤ 1}
19. Fv (x, y, z) = (xy, yz, xz)S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตัน {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 และ 0 ≤ z ≤ 1}
20. Fv (x, y, z) = (y - x, z - y, y - x)S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตัน {(x, y, z) | -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1 และ -1 ≤ z ≤ 1}
21. Fv (x, y, z) = (y, xy, -z)S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตัน {(x, y, z) | 0 ≤ z ≤ 4 - 2x - 2y และ 0 ≤ 2x + 2y ≤ 4}
22. Fv (x, y, z) = ( 2x , -2xy, 3xz)S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตันที่ปดลอมดวยทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4 ในอัฐภาคที่ 1
23. Fv (x, y, z) = ( 222 zyx ++ (x, y, z))S เปนพ้ืนผิวของรูปทรงตัน {(x, y, z) | 1 ≤ 2x + 2y + 2z ≤ 2}
เฉลยแบบฝกหัด 6.81. 108π 2. 60 3. 3
64π 4. 4π5. 1176π 6. 3
20π 7. 316π 8. 1
9. 36 10. 512π 11. 8 12. 300π
13. 4π 14. 21 15. 2
2385π 16. 41
17. 16π18. 18.1 24π 18.2 48π 18.3 135π 18.4 2419. 2
3 20. -16 21. -8π 22. 3π23. 12π
Calculus III page 38 / 38
Top Related