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P*ffmi
per
la
rapida
verifica
di
elementi
snelli
di
c.a.
presso:
rnrlessr
Prof.
Ing.
Pier
Paolo
Diotallevi
(o),
Dott.
Ing.
Lorenzo
Ricci
(o.*)
1.
Preméssa
..
La vérifica
di
elementi
snelÌi
di c:a.,
per
i
quali
non
sia
leciio
tra_
sóurare gli
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del
secondo
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(òome'si
verifica
"d
.r.-pio
aiiche per
struttúre
in
zona
sismica
in
conseguenza
di
.ileuanti
sio-
stamenti
-oiizzòntali),
può
essere
condotta
coi
metodi semplifi
cativi,
fra
i
quali
il
metodo
delÌa
ocolonna
modelloo
[],
l3],
controllando
l.'equilibrio
Blcibale
con
I'analisi
dello
stato
di
solllcitazlone
soltanto
in.àlcune.sezioni
critiche.
euesto
ed
altri
metodi
più
laboriosi
[d
richiedono
genèralmente
h
"onor."rr."
,"i d;;;;r--a
momento_
curvatura per
la sezione
critica,
considerando la
f."..nzu
dello sfor-
zo
normale.
Numerosi
sono
i riferimenti
per
la
costruzione
di
tali
.liagrammi
[4,5,
8,9,
11,
14,
ló]
e rr,r-".à..
sono anche
le
tabelle
ed
i
grafici.già
disponibili
che
forniscono
le
curve
di
interazione
M_
I.Yq
O"r
la.ùerifica
suddetta
e
per
poter
operare
in
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più
iapida.si
è
pensaio
di
integrare
rrà
toro
dette
eraborazioni
costr.uen-
do
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intèrazione
M-N
all,interno
clelle
quali
,ono
,lpo.tnt"
curve
a.curvatura
costante per
l,elemento
strutturàle:
con
tali
dia-
grammi
è
possibile
dedurre
rapidamente,
e
con
ottima
precisione,
il
diagramma
M-1
della
sezione
per
qualunque
valore
di
N
con
una
semplice
costruzioné
grafica.
La
potenzialìta
dei
diagram_l
e
p"ì
fîTT
"1,"
amplifi
cata
dalla
formulazione
adim
ensio.,àt..
N"t
."
g',rì
_
tosi
fa-rà
comlleto
riferimentb
àil'Eurocodice
2
che
ortre a
richiJde-
''
re
verifiche
del
tipo
sopracitato
è
stato assunto
come
riferinrenr.o
per
la
quantificazióne
delle
caratteristiche
dei
materiari
e
dei
coefficienri
òhe
ne'fissano
il
comportamento.
?.
RichiaqÍ
iui rnetodir
della
colonna
modello
..'
Pèr
la
geneiica
asta
iloldta.riportata
nello
schema
di
figura
1
I
esp5edsio.ne
del inomenro
fl ettente,,.r."ao-"Ài.
^àegti
effetti"
aei
ri
ordine,può'esserèpostanellafdamà:
..
-
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lj
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:-
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=
MI(1 Mr(x)=Ifx+Pe1+Py(x)
ot
"
1t4tl(1)=Py(x)
esprime
appunto gli
effetti
del
II
ordine.
poiché
le
due
componenti
del
momento
(Mr
ed
Àr1rr)
raggiungono
il
valore
massimo
entrambe
contemporàneamente
nella
a"rló.r"
ii
irr"uat.o,
per
essa
si
.verifica
la
condizioni
di
resistenza
che
assicura
anche
iequilibrio
dell'elemento.
Ma mentre
MI
è
immediat"-"r,r"
l.i.oi.bile,
per
ottene-
re
Mrr'occòrre
definire
l'eccentricita
der
II
ordine
"r=u
che
resta
indivi-
dgata
quando
si
conosca
Ia
deformata
d"ll;
.;;;;;.
rporizzando
Lìna
deformata
sinusoidale del
tipo.y(x)
= v.sen
rDíll,
lon
t
àt,"rro
effetiva
delia
colonna,
l=2h
luce
libera
à-i
ìnflessi";"
";:yl;t;posramenro
delta
sommiià
della
colonna,
la variabile
v
risulta
"ri"É
iini"o parametro
geometrico
necessario
per
definire
la
deformata
flessionale
dll
pilastro.
La.curvatura
della
generica
sezione
di
ascissa
x vale
dunque:
ì
y(x)
t
--
X(h)=X"=vnz/12,
(t)
vaìore
dipendente
iinearmenle
da
v.
La
condizione
di equilibrio
alll
base fra
nlomento
flettente
este:ro
ed.
azion"
inter,r"
jdunque:
(,6)=Mr+pv=(Hh+pe1
)+pv
che,
mccliante
la
(l)
può
essere
posto
nella
lbrma:
M(1o)=Mlo+14rro=Hh+per+
Sn
rf.
(2)
Nel.djagramma
M-1
il
nomento
del
II
ordine
è
rappresenrarc
quindi
da
una
retta
che
parte
dall,origine.a
i"
.o"ff-i"i"nte
angolare
4
-
h2P
(fig.
2).
Noto
per
ìa
sezione
critjca
il diagmmma
M_I
e rnacciata
la
retta,
pas.
sante per
lbrigine,
che
rappresenrà
$i
effetti
à.i
Ii-o.ai".,
ra
massima
1(x)
=
-y"(x)
=
r412l12
sselrx/1
e
aila
base
(x=h)
si
ha,
nelÌa
sezione
critica
d'incastro:
_:-__--:-
_
(l)
Professore
associato
di
progetti
di
strutture,
Istitu[o
di
Tecnica
delle
costru-
zÍoiri,
Univeisita
di Bologna.
("*)
Irigelnere.
660
Lindustria
iraliar:a del
Cemenro
l0llgg4
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16/21
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I
gt,S
syr
(
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t.lt,(ero
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SDIESI
DELLE
FAI
I5EGUITE
NEt
DT'E
PRSMMXI
CJlnATîERlZZr.}ro
LA
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P^RAMETRI
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lNcRrsso
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PER
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VALORE
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DI
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COLONNA
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NORMALE
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MOMTNTO
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p .uscrre
nrxne
qu*n
uir'i;ioìi#;;Èfrffif,d#$ii
DAL
SECONDO
PROGRAMMA
(MATUT)
descritta
in
prccedenza,
il
secondo
programma,
di libreria
corrente,
ha
permesso,
con
opportune
lntegriziÀi
*ess"
o
prr.,to
per
lo
sco-
po,
il
tracciamento
dei
diagramÀi
conclusivi.
N"fL
fig;"
f2
"
ù
sono
riportati
gli
schemi
dj
elaborazionè
per
ottenere
i
aì"g.._*l;
,ì
ricorda che
gli
integrali,
riportati
nelle equazionì
ài
equilibrio,
sono
stati
calcolati
con
subroutine
che
sfrutia
l,algorìtmà
t
è;;;;;
composito.
5.
Illustràzioni
di
alcuni
diagrammi
-
a/
Nelle
hgure
74-24
sono
riportati,
a
titolo
esemplificativo,
alcuni
diagrammi
ottenuti
con
il
proiedimento
illustrato.-èiur"un
diagram_
ma
viene
costruito
facendo
riferimento
a
cinque
parametri:
tipo
di
acciaio,.
classe
di
resistenza
del
calcestruzzo,
p"a"Jrrtrr^t"
.meccanica
d'armatura
,V,,rapporto
fra
armatura
compressa
","*
U;i;;;
rnrcnsrone
dcr
coprifel'ro
D
(espressa
anch'essa
in
forma
adimensio_
nale).
Nei
primi
esempi
riportàti (fig"re
r+_iejsifa
riferimento
a
sezioni
rettangolari
con
armatura
doppia
e
simmetrica,
mentre
negli
altri
(figure
20-21)
si è assunto
U variabile,
In
tutti
i
di"g.u_rnì
p?i
il
dominio
della pressoflessione
è
limitato
"o"""*io"uf.rrente
da
una
retta
verticale tratteggiata
per
tenere conto, nei casi
di
sezione
inte_
ramente
compressa,
della
maggiorazione
del
coefficiente
di
sicurez_
za-parziale
7"
(adottata
pari.al
2So/o).
Nei
diagraÀmi,
il
semipiano
N">0
rappresenta.il
carnp_o
della
pressofle"slo"n"
_.r,tre
quello
con
N*
8/16/2019 5.Instabilità S.L.U.
18/21
o-7
o.6
o.5
o.5
o.2
o.t
sFOAzo
soRu^LE
^ft
xax)aZa-s.r"at
14.
*
4
6
d
16..
I
'È
sÈonzo
NoRvA E
N'(x.-x,a/e.e-r"a)
F.B
J&. Fct-25.
O-52.
u-O.
wEo
7
F.6
&. ÉctÈ25.
OESZ.
UEO.5I
w-O.7
o.4
o
o.6
.
sFoRzoNOR ̂ LENr(N N.d/6_H.Fcd)
Lindustriaitaliamdel.Cemento
1o/19g4
$oRZo
rcRv^LE
i
(N'-x'.
8/16/2019 5.Instabilità S.L.U.
19/21
attinge al massimo
delle
deformazioni
per
i
due materiali
(rottura
bilanciata).
Questo
punto
è
immediatamente
individuabile
nei dia-
grammi
dal
simbolo
*.
p"r
iutte le altre
curve aventi
c=cost
i
pun-
ti estremi
nei
diagrammi
sono
individuati
dai simboli
(o'
e
(+D
oltre
al valore
della corrisponaente
curvatura
adimensionalizzata.
A completamento
dei
grafici,
è
stata
riportata
anche
la curva
iinrite
elastica,
permettendo
così
di
poter
inilividuare
all'interno
del
dominio
elastoplastico
il
più
ristretto
dominio elastico.
Grazie
a
questa
curva,
i
diagrammi possono
fornire
quindi
anche
informa,
zioni
sulla
duttilità
della sezione,
non
evidenziabili tramite
il
solo
dominio
elastoplastico.
Sono
disponibiìi quindi
tutti
gli
elementi
necessari per
Ia
costruzione dei diagrammi momento-curvatura per
asségnato
N*
che
permettono
la verifica
di
resistenza
ailo
stato
iimite
ultimo per
instabilita
condotta
ad esempio,
come
già
detto,
con il
metodo della
colonna
modello.
Il
programma
di caìcolo
permette.di
costruire
direttamente
i
dia-
grammi
a
curvatura
positiva
costante
e
questo
significa
anche
con-
siderare
il
semipiano ad
M*>0, nel
caso
di armatura simmetrica.
Nei diagrammi
relativi a
sezioni
con
aimatura
doppia
e simmetrica
Ia curva a curvatura
c=cost=0
coincide con
un tratto
dell'asse
delle
ascisse
(N*)
come
risulta
evidente
dal fatto
che in
tali ipotesi
,il
momento
flettente risulta
nullo
e
lo sforzo normale centrato.
Volendo
completare.i diagrammi anche
con la
parte
a curvatura
costante negativa,
si
può
sempre
sfruttare
lo
stesso
procedimento
variando
opportuna.mente
due
parametri
di ingresso,
U e
W.
Nel
caso
di
armatura
simmetrica è immediato dedurre che
i
dia-
grammi
con curvatura negativa sono
ottenibili
nrovesciando"
o
capo-
volgendo
il
diagramma delle curvature positive;
il
diagramma comples-
sivo,
che
presenta
curve
a
clO e
cA,
segue
il
procedimento
descri tto;
-
Ìa
seconda
si
effettua
applicando
lo
stesso procedimento
alla
sezione
capovolta
owero
quella che
si ottiene sostituendo A,
con A"
e
viceversa;
si intende
che per
essa
devono
essere
modificati
i
para-
metri in
ingresso e
si
dovrà
porre
U"=1/U'
e
W"=W'/U"iW'U'.
Sovrapponendo i due diagrammi,.di
cui
il
secondo
sarà
capovolto,
si ottiene
la
curva
completa M*-Nt.sia
con linee aventi
c>0
che col
linee
aventi
c
8/16/2019 5.Instabilità S.L.U.
20/21
ansn
f(s)
=
-
s-0
FlB
JOl. Fcrr25,
O-5r.
Urt. w-O,7
conviene
esprimere
f(s)
come
rapporto
di
due
polinomi
nella
forma:
arsn
pn
f(s)
=-=ao(sn-lapsn.21B2sn-3+.........+Fn-t+
).
s-p
s,f
Le
rispettive
funzioni.primitive, per
i
vaÌori
di
n=1,
2,
3 che
ricorrono
sono:
fb
ars
n=1,
I
ar=arls+Flnls-bl]b
'"
s-F
a
lb
"2"2
f
s2
lb
n=2,
j-
-dr-"rl-+ps+B2lnls-BlI
'u
s-F
Lz
Ju
fb.r.3 fs3
s2
lb
n
=
3,
|
-
ds
=
arl
-
+p+
-
+pz
s+p3
lnls_0|
|
ra.sìp
L: 2
J^
È allora possibile
calcolare
in
modo
esatto
i
valori
delle
(6).
Detto
criterio
è
stato
impiegato per
controllare
(manualmente,
i
risultati
del
programma
di calcolo
nel
quale,
come detto,
le integrazio-
ni
sono
state
eseguite
con íl
metodo
di
Simpson
composito:
gÌi
icosta_
menti
percentuali
sono
risultati
del
tutto
trascuràbili.
Dunqug
anche
i
valori
di M"
ed
Nt
sono
calcolabfi con
tali relazioni,
sostituendole
nelle
equazioni
dél
tipo
esemplificato
in
(5).
Ad esempio,
per
il
diagramma
di
figura
14,
fissiamo M*=cost=O.2
e
la
curvatura
adimensionale
c=l*10-3:
risultano
aìlora individuate
le
seguenti.coppie.di
sollecitazione
adimensionale:
M*=0.2,
N*=0.1;
M*=0.2,
N*=1.5.
il caicoio
manuale
degli,integrali,
ad
esempio
per
la
verifica
del
pri-
mo stato
di
sollecitazione
fornisce
X1=0.129
ed
y;=0.041
mentre
il
pro-
gramma
di
calcolo
ricava.X't=0.129
ed
Yr=0.0+2.
per
quanto
riguàrda
-
irvece gli
stati
di
sollecitazióne
si
ottiene
in
via
analitica:
M*=0.211,
N*=0.108;
M*=0.21i,
N*=1.471
-
Si
trovano
quindi
manualmente
gli
stessi
valori
ottenuti
con
l,elj-
boratoie,
e sostanzialrnente
coincidenti
con
quelli
dedotti
graflca-
mente.
7.Util;-.u^oro.e
diagrammi
ed
alcuni
esempi
di costmzioúe
di
cur-
ve
M*-c
(N*=Cost)
a)
La'principaie
utilizzazione
dei
diagrammi
illustrati
è
relativa
alla
costruzione
grafica
dei
diagrammi
M-1
(ad
N=cost).
..
Si considera
il
diagramma
d'interazione
M*_c
(per
tipo
di
acciaio,
tipo
di
calcestruzzo,
copriferro
D,
rapporto
U
tra
le
Lee
ài
".-utl,*
"o*-
ressa
e tesa,
percentuale
meccanica
d,armatu_r.a
W),
si :accia
in
esso là
retta
verticale
ad
N* fissato
e,
in coirispondenza
dei
punti
di
intersezione
di
questa
retta
con
le varie
curve
a
curvatura
costante
"h"
"i^;;-r-ii;;;;_ecano,
si leggono
sia
il
valore
della
curvatura, sia
iI
momento flettente
relativo al punto
di
intersezione.
per
quel
ffssato
N*
si
vengono
così
a
ricavare
un
certo
numero
di
coppie
Mi-c
che,
riportate
in
a-iagramma,
consentono
il Eacciamento
delle
curve
momento_curvatura.
A.d
esempio;
irella
figura
25
è
riportato
un
diagramma
M*{
ottenuto
grafieamente
con tale.costruzionè
sula
base
dej
diagramma
di
figura
.
14
e
per
N*=
;
Ie coppie
M*-c
sono
individuate
dal
siíbolo
+.
Si
ri'íeva
che
è possibile
definire
anche
le
coppie
M*_c
al
limite
elastico
ed
al
limite
ultimo:
dal
diagramma
di
ffgura
ZS
si ha:
l/v:t=O.0024,
Mct=0.50,
Iu=0.0041,
M,=0.565
espressi,
si intende,
in
forma
adimensionale
e ottenuti
per
interpolazio_
ne
liireare
dei
valori
riportati
sui grafici
stessi.
666
Lindustria
italiana
del
Cemento
1}ll9g4
cuÀvaruR^
c
(c-r-H)
Per
saggiare
ì'affidabilità
e
la
precisione
ottenibile
con
quesro
pro
dimento
è
stato
preparato
anche
un programma
di
calcoÍà
che,
sfr
tando
le stesie
equazioni
citate al puiug.àfo
4b,
permette
la costruz
ne
diretta
del
diagramma
M*-c
ad
N*=cost.
--
Per
confrontó,
il diagrarnma
completo
M*-c
è
riportato
nella
ster
figura
corr
line-a
continua, poiché
il
passo
di calcoloìele
coppie
M**
stato
molto
raffittito.
Si
può
osservare
la perfetta
coincidenza
con
i
pu
ottenuti
rnediante
il
procedimento
grafico
ed
inoltre
come
sia bene
co
la situazjone
al
limite
elastico
e queila
al limite
ultimo
evidenziando
generale
come sia
lecito
interpolare
lineamente fra
i
punti
individui
ottimi
dati
sono
quindi
deducibili
anche
in
ordine aÌra
duttilita
de
sezione.
Nella
figura 26
è riportato
un
ulteribre
esempio,
costruito
c
gli
stessi
criteri,
ottenuto dal
dlagramma
di figura
14
per
N.*=0.3.
&)
Esempio
di verifica
col metodo
delìa
coùrLna
-àd.llo.
Si consi<
ri
un
pilastro
in
c.a. incastrato
alla
base
e
libero
in
sommità
con
seguenti
caratteristiche
indicate
in
figura
27.
lo
x
I
Le azioni
agenti
in
sommità
sono:
Nd=1011
KN,
Vd=52.4
KN,
Md_l50
K.Nlm
Le
sollecitazioni (del
I
ordine)
nella
sezione
critica di
base
valgono:
Nd=1130
KN,
Vd=52.4
KN,
Md=ó21
KlIm
S
vuole
eseguire
la verifica
uilo
,tuto
limite
ultimo per
instabilit
nel
piano
contenente
l'asse
y
impiegpndo
it
-"toJo
della
colonn
modello
e
nel
rispetto
deile prescrizióni
forrritei.,
merito
dall,Eurc
codice
2.
Ueccentricità
del
I
ordine
.,elte
seriJ
Ji
sommità
e
d
base
sono:
eor=Ma/Na=0.13
m
(in
sommità);
eo2=M4/\u=e.54
m
(alla
base).
I
...
La snellezza
critica
vaìe:
i.r=25(2-eo1/eo2)=44;
Ia
snellezza
effettiva
è
X-u*=140,
\=b,14=96.
I
I
F.E
$k.
Fck-25.
O-sX.
U-t. w-o-7
8/16/2019 5.Instabilità S.L.U.
21/21
I
{
1
Si calcola ora
l'eccentricita
equivalente
del
I
ordine:."
[0.0
eo2+0.+ eor
=
0.375
m
eeq
=
max
I
da
cui
e"o
=
0.375
m.
L0.4eo2=0.215
m
Sono
quindi
soddisfatte le due
condizioni:
1
) lcró21
KNm=Ma.
.
.
I
RIFERIMENTI
BIBLIOGRAFICI
tl]
EuRocoDrcE
2,
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