MOVIMIENTO CURVILINEO «2° PARTE»
Ing. Francisco Alfredo Díaz Manzano
Universidad de Oriente
COMPONENTES TANGENCIAL Y
NORMAL • Primero considérese una partícula que se mueve a lo
largo de una curva contenida en el plano. Sea P la
posición de la partícula en un instante dado. Se une en P
a un vector unitario et tangente a la trayectoria de la
partícula y que apunta en la dirección de movimiento.
COMPONENTES TANGENCIAL Y
NORMAL • Sea et’ el vector unitario correspondiente a la posición P’
de la partícula en un instante posterior.
• Si se dibujan ambos vectores desde el mismo origen O’,
se define el vector ∆et =et’ - et
COMPONENTES TANGENCIAL Y
NORMAL • Puesto que et y et’ son de longitud unitaria, sus puntas
se encuentran sobre un círculo de radio 1.
• Si se denota por ∆θ el ángulo formado por et y et’, se
encuentra que la magnitud de ∆ et es 2 sin(∆θ/2)
• A medida el Angulo ∆θ se aproxima a cero, el vector ∆et
se vuelve tangente a la circunferencia unitaria y esto es
perpendicular a et y que su magnitud tiende a:
COMPONENTES TANGENCIAL Y
NORMAL • En consecuencia, el vector obtenido en el límite es un
vector unitario a lo largo de la normal a la trayectoria de la
partícula, en la dirección hacia la cual cambia et. Al
denotar este vector por en, se escribe:
• Puesto que la velocidad v de la partícula es tangente a la
trayectoria, puede expresarse como el producto del
escalar v y el vector unitario et. Se tiene
COMPONENTES TANGENCIAL Y
NORMAL • Para calcular la aceleración de una partícula se sigue el
proceso ya conocido:
COMPONENTES TANGENCIAL Y
NORMAL • Elaborando las sustituciones tenemos que:
• Donde finalmente tenemos
• Se puede observar que la aceleración tiene dos
componentes, una componente tangencial y una
componente normal.
COMPONENTES TANGENCIAL Y
NORMAL • Si aumenta la velocidad de la partícula, at es positiva y la
componente vectorial at apunta en la dirección de movimiento. Si disminuye la velocidad de la partícula, at es negativa y at apunta contra la dirección del movimiento
• La componente vectorial an, por otro lado, siempre se dirige hacia el centro de curvatura C de la trayectoria
COMPONENTES RADIAL Y
TRANSVERSAL • En ciertos problemas de movimiento plano, la posición de
la partícula P se define mediante sus coordenadas
polares.
• En ese caso es conveniente descomponer la velocidad y
la aceleración de la partícula en componentes paralela y
perpendicular, respectivamente, a la línea OP. Éstas se
conocen como componentes radial y transversal.
COMPONENTES RADIAL Y
TRANSVERSAL
COMPONENTES RADIAL Y
TRANSVERSAL • Una operación similar a la que se usó en la sección
anterior para determinar la derivada del vector unitario et
produce las relaciones.
• Donde er denota un vector unitario de sentido positivo
respecto a er.
COMPONENTES RADIAL Y
TRANSVERSAL • Mediante la regla de la cadena, se expresan las
derivadas del tiempo de los vectores unitarios er y eθ del
modo siguiente:
• Para obtener la velocidad v de la partícula P, se expresa
la posición del vector r de P como el producto del escalar
r y el vector unitario er y se deriva con respecto a t
COMPONENTES RADIAL Y
TRANSVERSAL
• Donde finalmente:
• Al derivar nuevamente tenemos:
COMPONENTES RADIAL Y
TRANSVERSAL
• Donde finalmente:
• Al derivar nuevamente tenemos:
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