ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 1
A R M A D U R A S
(ANLISIS DE 2 ORDEN EFECTO P-DELTA)
La fuerza axial es importante para el anlisis de este tipo de estructuras,
considerando a los nudos como articulaciones perfectas, la flexin
(Momentos y fuerza cortante) y la torsin son igual a cero.
El anlisis de segundo orden establece, como ya se ha dicho, el equilibrio
de la estructura en la geometra deformada.
En este caso los esfuerzos que soportan las barras, como es la fuerza
normal, puede diferir simultneamente de los obtenidos aplicando la
teora de primer orden (calculo lineal elstico), es por ello que aplicaremos
la siguiente matriz de rigidez para cada elemento para un anlisis de
segundo orden en armaduras.
MATRIZ DE RIGIDEZ DE ARMADURAS CON EFECTO P DELTA
( )
[
]
[
]
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 2
(+) Cuando N es de traccin (-) Cuando N es de compresin
Matriz de transformacin
( )
[
]
Criterio de Convergencia:
Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una
iteracin antes y la generada en la iteracin presente
.
|
|
A continuacin presentaremos un ejemplo el cual vamos a resolver en forma
lineal y en forma no lineal, para de esta manera comparar los resultados y ver las
diferencias que tiene la no linealidad con respecto a la linealidad.
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 3
PROBLEMA DE APLICACIN
Resolver el sistema de armadura mostrado en la figura siguiente y calcular la
fuerza axial de cada elemento para:
- Anlisis de 1er orden
- Anlisis de 2do orden
- Verificar el criterio de convergencia.
Considerar para todos los elementos:
E = 2.1 x 106 kg/cm2 ; A = 0.0005 cm2
SOLUCIN:
N de elementos = 5
GDL=5
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 4
ANLISIS DE 1ER ORDEN
1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS:
Elemento 1:
[
]
[
]
2 1 0 5
1
2
0
5
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 5
Elemento 2:
[
]
[
]
2 1 3 4
1
2
3
4
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 6
Elemento 3:
[
]
[
]
2 1 0 0
1
2
0
0
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 7
Elemento 4:
[
]
[
]
0 0 3 4
0
0
3
4
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 8
Elemento 5:
[
]
[
]
5 0 3 4
0
5
3
4
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 9
2. Matriz de Rigidez de la Estructura:
[
]
3. Vector de Fuerzas Externas de la Estructura:
{
}
4. Vector Desplazamiento de la Estructura:
{
}
2 1 3 4 5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 10
5. Vector de Fuerzas Internas de los elementos:
Elemento 1:
{
}
{
}
Eje local:
( )
( )
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 11
Elemento 2:
{
}
{
}
Eje local:
( )
( )
( )
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 12
Elemento 3:
{
}
{
}
Eje local:
( )
( )
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 13
Elemento 4:
{
}
{
}
Eje local:
( )
( )
( )
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 14
Elemento 5
{
}
{
}
Eje local:
( )
( )
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 15
ANALISIS DE SEGUNDO ORDEN
PRIMERA ITERACION (i = 1):
1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS:
ELEMENTO 1:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
2 1 0 5
1
2
0
5
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 16
ELEMEMTO 2:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
ELEMENTO 3:
2 1 3 4
1
2
3
4
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 17
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
ELEMENTO 4:
2 1 0 0
1
2
0
0
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 18
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
ELEMENTO 5:
0 0 3 4
0
0
3
4
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 19
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
2. MATRIZ DEL SISTEMA:
[
]
5 0 3 4
0
5
3
4
2 1 3 4 5
1
2
3
4
5
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 20
3. VECTOR DE FUERZAS EXTERNAS DEL SISTEMA
{
}
4. VECTOR DE DESPLAZAMIENTO DEL SISTEMA
{
}
5. VECTOR DE DESPLAZAMIENTO POR ELEMENTO:
ELEMENTO 1:
En eje Global:
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 21
ELEMENTO 2:
En eje Global:
{
}
ELEMENTO 3:
En eje Global:
{
}
ELEMENTO 4:
En eje Global:
{
}
ELEMENTO 5:
En eje Global:
{
}
6. VECTOR DE FUERZAS INTERNAS:
ELEMENTO 1:
( )
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 22
( )
( )
Criterio de Convergencia:
Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una
iteracin antes y la generada en la iteracin presente. Por lo tanto ser igual
a 3.75 (pg. 83) y el ser igual a 3.744273 (pg. 93)
|
|
|
| |
|
( )
ELEMENTO 2:
( )
( )
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 23
Criterio de Convergencia:
Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una
iteracin antes y la generada en la iteracin presente. Por lo tanto ser igual
a -3 (pg. 83) y el ser igual a -2.998289 (pg. 93)
|
|
|
| |
|
ELEMENTO 3:
( )
Criterio de Convergencia:
Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una
iteracin antes y la generada en la iteracin presente. Por lo tanto ser igual
a 6.25 (pg. 84) y el ser igual a 6.245986 (pg. 94)
|
|
|
| |
|
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 24
ELEMENTO 4:
( )
Criterio de Convergencia:
Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una
iteracin antes y la generada en la iteracin presente. Por lo tanto ser igual
a 0 (cero) (pg. 84) y el ser igual a -0.000321 (pg. 95)
|
|
|
| |
|
( )
ELEMENTO 5:
( )
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 25
Criterio de Convergencia:
Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una
iteracin antes y la generada en la iteracin presente. Por lo tanto ser igual
a 0 (cero) (pg. 85) y el ser igual a -0.002139 (pg. 95)
|
|
|
| |
|
( )
SEGUNDA ITERACION (i = 2):
1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMNTOS:
ELEMENTO 1:
[
]
[
]
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 26
[
]
[
]
[
]
ELEMEMTO 2:
[
]
[
]
2 1 0 5
1
2
0
5
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 27
[
]
[
]
[
]
ELEMENTO 3:
[
]
[
]
2 1 3 4
1
2
3
4
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 28
[
]
[
]
[
]
ELEMENTO 4:
[
]
[
]
2 1 0 0
1
2
0
0
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 29
[
]
[
]
[
]
ELEMENTO 5:
[
]
[
]
0 0 3 4
0
0
3
4
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 30
[
]
[
]
[
]
2. MATRIZ DEL SISTEMA:
[
]
3. VECTOR DE FUERZAS EXTERNAS DEL SISTEMA
{
}
2 1 3 4 5
1
2
3
4
5
5 0 3 4
0
5
3
4
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 31
4. VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DEL SISTEMA:
{
}
5. VECTOR DE DESPLAZAMIENTO POR ELEMENTO:
ELEMENTO 1:
En eje Global:
{
}
ELEMENTO 2:
En eje Global:
{
}
ELEMENTO 3:
En eje Global:
{
}
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 32
ELEMENTO 4:
En eje Global:
{
}
ELEMENTO 5:
En eje Global:
{
}
6. VECTOR DE FUERZAS INTERNAS POR ELEMENTO:
ELEMENTO 1:
( )
( )
( )
Criterio de Convergencia:
Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una
iteracin antes y la generada en la iteracin presente. Por lo tanto ser igual
a 3.744273 (pg. 93) y el ser igual a 3.744277 (pg. 103)
|
|
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 33
|
| |
|
ELEMENTO 2:
( )
( )
( )
Criterio de Convergencia:
Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una
iteracin antes y la generada en la iteracin presente. Por lo tanto ser igual
a -2.998289 (pg. 93) y el ser igual a -2.998292 (pg. 104)
|
|
|
| |
|
ELEMENTO 3:
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 34
( )
Criterio de Convergencia:
Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una
iteracin antes y la generada en la iteracin presente. Por lo tanto ser igual
a 6.245986 (pg. 94) y el ser igual a 6.245990 (pg. 105)
|
|
|
| |
|
ELEMENTO 4:
( )
Criterio de Convergencia:
Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una
iteracin antes y la generada en la iteracin presente. Por lo tanto ser igual
a -0.000321 (pg. 95) y el ser igual a -0.000319 (pg. 105)
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 35
|
|
|
| |
|
( )
ELEMENTO 5:
( )
( )
Criterio de Convergencia:
Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una
iteracin antes y la generada en la iteracin presente. Por lo tanto ser igual
a 0 (cero) (pg. 95) y el ser igual a -0.002139 (pg. 106)
|
|
|
| |
|
( )
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 36
TERCERA ITERACION (i = 3):
1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS:
ELEMENTO 1:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
2 1 0 5
1
2
0
5
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 37
ELEMEMTO 2:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
2 1 3 4
1
2
3
4
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 38
ELEMENTO 3:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
ELEMENTO 4:
2 1 0 0
1
2
0
0
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 39
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
ELEMENTO 5:
0
0
3
4
0 3 4 0
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 40
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
2. MATRIZ DEL SISTEMA:
[
]
2 1 3 4 5
1
2
3
4
5
5 0 3 4
0
5
3
4
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 41
3. VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DEL SISTEMA:
{
}
4. VECTOR DE DESPLAZAMIENTO POR ELEMENTO:
ELEMENTO 1:
En eje Global:
{
}
ELEMENTO 2:
En eje Global:
{
}
ELEMENTO 3:
En eje Global:
{
}
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 42
ELEMENTO 4:
En eje Global:
{
}
ELEMENTO 5:
En eje Global:
{
}
5. VECTOR DE FUERZAS INTERNAS POR ELEMENTO:
ELEMENTO 1:
( )
( )
( )
Criterio de Convergencia:
Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una
iteracin antes y la generada en la iteracin presente. Por lo tanto ser igual
a 3.744277 (pg. 103) y el ser igual a 3.744277 (pg. 113)
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 43
|
|
|
| |
|
ELEMENTO 2:
( )
( )
( )
Criterio de Convergencia:
Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una
iteracin antes y la generada en la iteracin presente. Por lo tanto ser igual
a -2.998292 (pg. 104) y el ser igual a -2.998292 (pg. 114)
|
|
|
| |
|
ELEMENTO 3:
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 44
( )
Criterio de Convergencia:
Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una
iteracin antes y la generada en la iteracin presente. Por lo tanto ser igual
a 6.24599 (pg. 104) y el ser igual a 6.24599 (pg. 115)
|
|
|
| |
|
ELEMENTO 4:
( )
Criterio de Convergencia:
Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una
iteracin antes y la generada en la iteracin presente. Por lo tanto ser igual
a -0.000319 (pg. 105) y el ser igual a -0.000319 (pg. 115)
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 45
|
|
|
| |
|
ELEMENTO 5:
( )
( )
Criterio de Convergencia:
Para el criterio de convergencia se habrn de tomar las fuerzas generadas una
iteracin antes y la generada en la iteracin presente. Por lo tanto ser igual
a -0.002136 (pg. 106) y el ser igual a -0.002136 (pg. 116)
|
|
|
| |
|
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 46
DIAGRAMA DE ESFUERZOS
ANALIS DE PRIMER ORDEN ANALISIS CON P-DELTA
DIAGRAMAS DE ESFUERZO NORMAL
DEFORMADAS
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 47
CUADRO COMPARATIVO DE DESPLAZAMIENTOS
COMENTARIOS:
Al realizar el cuadro comparativo de las deformaciones de cada
elemento, observamos que dichos esfuerzos con un anlisis de 2 orden
o efecto p-delta se reducen a comparacin de un anlisis de 1 orden.
ELEMENTO
ANALISIS
1er Orden Sin P- Delta
2er Orden Con P- Delta
Unid
ELEMENTO 1
Extremo "i" -0.001071 -0.00107 Ton
-0.004524 -0.00452 Ton
Extremo "j" 0.00 0.00 Ton
-0.005667 -0.005661 Ton
ELEMENTO 2 Extremo "i"
-0.001071 -0.00107 Ton
-0.004524 -0.00452 Ton
Extremo "j" 0.00 0.00 Ton
-0.005667 -0.005662 Ton
ELEMENTO 3
Extremo "i" 0.00 0.00 Ton
0.00 0.00 Ton
Extremo "j" -0.001071 -0.00107 Ton
-0.004524 -0.00452 Ton
ELEMENTO 4
Extremo "i" 0.00 0.00 Ton
0.00 0.00 Ton
Extremo "j" 0.00 0.00 Ton
-0.005667 -0.005662 Ton
ELEMENTO 5
Extremo "i" 0.00 0.00 Ton
-0.005667 -0.005661 Ton
Extremo "j" 0.00 0.00 Ton
-0.005667 -0.005662 Ton
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 48
CUADRO COMPARATIVO DE FUERZAS INTERNAS
COMENTARIOS:
Al realizar el cuadro comparativo de las fuerzas internas, observamos
que las fuerzas axiales en un anlisis de 2 orden o efecto p-delta se
reducen a comparacin de un anlisis de 1 orden.
Si las cargas son menores, el anlisis con efecto p delta en armaduras
se podra despreciar dado que las variaciones en los resultados del
anlisis de primer orden y segundo orden son mnimas tal como se
demuestra en el ejemplo resuelto.
ESFUERZOS
ANALISIS
1er Orden Sin P- Delta
2er Orden Con P- Delta
Unid
N1 3.75 3.744277 Ton
N2 -3.00 -2.998292 Ton
N3 6.25 6.24599 Ton
N4 0.00 -0.000319 Ton
N5 0.00 -0.002136 Ton
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 49
PROBLEMA PROPUESTO
Hallar los desplazamientos de los nudos y fuerzas normales en las barras
biarticuladas, mediante un anlisis P-Delta.
Considerar para todos los elementos:
E = 2.1 x 106 kg/cm2
A = 0.0005 cm2