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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
Unidad de Laboratorios - Laboratorio A
Sección Fenómenos de Transporte
Laboratorio de Fenómenos de Transporte I (TF-2281)
CONDUCCIÓN NO ESTACIONARIA
Barbra Roa #05-38813
Mara Talavera #03-36535
Luis Rausseo #06-40149
Grupo C
Sartenejas, 15 de Octubre de 2010
i
INDICE
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CAPITULO PÁGINA
Sumario ii
Introducción 1
Fundamentos Teoricos 1
Descripción del Equipo 9
Metodología Experimental 10
Datos Experimentales 16
Resultados Experimentales 21
Discusión de Resultados 22
Conclusiones 23
Recomendaciones 23
Bibliografía 24
Apéndice A 25
SUMARIO
En la práctica realizada se hizo un estudio de la conducción en
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estado no estacionario, mediante la determinación del coeficiente
convectivo y la conductividad térmica de piezas de distinto material y
geometría. En el presente caso, un cilindro de polivinilcloruro (PVC) y un
cubo y un cilindro de material desconocido. Durante la experiencia se
determinaron estos parámetros usando un baño termostático de agua a
temperatura constante (aproximadamente 60 ºC), cada una de las
piezas con termopares en su centro, un cronómetro para medir el
tiempo tiempo y un termómetro digital para realizar las medidas de
temperatura tanto en el baño como en las piezas a estudiar.
El procedimiento se basó en la introducción de las piezas dentro
del baño, el cual estaba ya a temperatura constante; se midió el tiempo
por cada grado centígrado de temperatura aumentado para cada una
de las piezas hasta que llegara al menos al 98,5% de la temperatura del
baño (Temperatura final mínima 59,5ºC) y se midieron las dimensiones
de las mismas con un vernier. Las medidas de temperatura del baño y
de las piezas se midieron simultáneamente en cada experiencia y con
el mismo termómetro digital.
Los cálculos de los parámetros que se pedían se realizaron a partir
de MATLAB y también se utilizó EXCEL, suponiendo valores de h y k,
comprobando con la temperatura final del centro de cada pieza. Los
procedimientos son muy parecidos y solo se diferencian en que para la
figura de PVC se considera la conductividad térmica tabulada a la
temperatura final como válida y se busca determinar el coeficiente
convectivo. Para el cilindro de material desconocido se toma el
coeficiente del cilindro como el mismo ya que este solo depende de la
geometría y se busca determinar la conductividad térmica. Para el cubo,
se tomó la misma conductividad térmica del material desconocido y se
buscó el coeficiente de convección.
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Los valores obtenidos a través del programa fueron coherentes
con los resultados experimentales, y además con los valores teóricos
que reportaba la bibliografía consultada. A partir de los resultados
obtenidos, se pudieron establecer comparaciones entre los parámetros
que rigen los procesos de transferencia de calor y su relación con la
geometría y material de los distintos sólidos.
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INTRODUCCIÓN
La práctica realizada tuvo como objetivo principal determinar el
coeficiente convectivo y la conductividad térmica de figuras con
distintas formas y de distintos materiales sometidos a conducción en
estado no estacionario, para determinar la dependencia que tienen
estos parámetros entre si. Estudiar este tipo de transferencia de calor
es de suma importancia en el campo industrial, debido a que estos
conocimientos son de gran utilidad, como la determinación de
materiales desconocidos según sus propiedades, la selección de
materiales óptimos para usos de transferencia de calor, etc. Es por esto
que la realización de esta experiencia es básica para la formación de los
estudiantes como profesionales en el campo de la ingeniería química.
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FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Aquellos procesos de transición en los que la temperatura en un
punto dentro de un cuerpo varía con el tiempo, son los casos en donde
interviene la conducción en estado no estacionaria. Este tipo de
conducción es un ejemplo de los múltiples problemas transitorios que
pueden ser encontrados en el día a día y cuyas condiciones de frontera
cambian usual y continuamente.
Es importante entender los mecanismos físicos que gobiernan los
modos de transferencia de calor entre cuerpos a distintas temperaturas,
para así desarrollar modelos que proporcionen la cantidad de energía
que se transfiere por unidad de tiempo. Estos mecanismos son la
conducción, la convección y la radiación; en el análisis realizado en este
informe se desprecian los efectos del intercambio de calor por radiación
entre los materiales utilizados.
1. Conducción
La transferencia de energía por conducción se realiza en dos
formas; la primera de ellas se debe a la interacción molecular, donde las
moléculas de mayor energía, es decir, aquellas que se encuentran a
mayor temperatura, estimulan a las moléculas adyacentes de menor
energía a moverse. Este tipo de transferencia tiene lugar en cualquier
sistema (sólido, líquido o gaseoso)
La segunda forma de transferencia de calor por conducción se
debe a los electrones libres, que transportan energía cuando existe una
diferencia de temperatura especialmente en los sólidos, de allí que no
sea sorprendente que los materiales que son buenos conductores de
calor también son buenos conductores eléctricos (MELENDEZ y
GUTIERREZ, 2004).
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En 1822, el matemático francés Joseph Fourier dio una expresión
matemática precisa que hoy se conoce como ley de Fourier de la
conducción del calor. Esta ley afirma que la velocidad de conducción de
calor a través de un cuerpo por unidad de sección transversal es
proporcional al gradiente de temperatura que existe en el cuerpo (con
el signo cambiado), de forma que:
−=dx
dT kAq x (1)
Donde:
qx= Rapidez de la transferencia de calor en dirección x [Watts]
A= Área normal a la dirección del flujo de calor [m2]
dx
dT = Gradiente de temperatura en la dirección de x [K/m]
k= Conductividad Térmica [W/(m*K)]
1.1 Conductividad térmica
La conductividad térmica k, expresa la capacidad de un material
para conducir calor, en otras palabras, es la capacidad de los materiales
de transferir el movimiento cinético de sus moléculas a sus propias
moléculas adyacentes o a otros materiales cercanos. Esta propiedad es
inherente a cada material, principalmente función de la temperatura y
varia de manera significativa con la presión solo en el caso de gasessujetos a presiones elevadas (WELTY, WICKS Y WILSON, 1995).
Para hallar la conductividad térmica, es necesario utilizar otra
definición de calor que viene dado por:
Cpmq x ρ = (2)
Donde:
ρ = densidad [3
m
Kg ]
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Cp= Capacidad calorífica [ KgK
KJ ]
De manera que, combinando las ecuaciones (1) y (2) podemos
obtener una expresión matemática para la conductividad térmica, tal
que:
T tA
xCpmk
∆∆
∆=
ρ (3)
Donde:
x= Longitud del material [m]
t= Gradiente de tiempo [s]
T= gradiente de temperatura [K]
2. Convección
La transferencia de calor por convección implica el cambio de
energía entre una superficie y un fluido adyacente; puede clasificarse
como convección forzada, en donde un fluido se hace fluir sobre una
superficie bajo la acción de fuerzas externas y convección natural, endonde el fluido mas caliente o mas frío que se encuentra cerca de la
superficie sólida provoca la circulación a causa de la diferencia de
densidad que resulta de la variación de temperatura a través de una
región de fluido (WELTY, WICKS Y WILSON, 1995).
El calor transferido por convección viene dado por:
T Ahq ∆= (4)
Donde:h= coeficiente convectivo [W/(m*K)]
2.1. Coeficiente convectivo
El mecanismo de transferencia de calor entre una superficie sólida
y un fluido cercanas debe involucrar una conducción a través de las
capas de fluido cercanas a la superficie. Esta región de fluido presenta
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una resistencia conocida como coeficiente convectivo, que establece el
control en la transferencia de calor por convección.
En general, el coeficiente convectivo es una función de la
geometría del sistema, de las propiedades del fluido y el flujo y de la
magnitud de ∆ T.
3. Numero De Biot Y Numero De Fourier
Existen dos parámetros adimensionales particularmente
importantes en la conducción conocidos como: número de Biot (Bi) ynúmero de Fourier (Fo).
El número de Biot viene definido por:
k
hL Bi c= (5)
Donde:
Bi= numero de Biot [adimensional]
A
V Lc = Es la longitud crítica, donde V representa el volumen que
ocupa el sólido y viene expresado en m3
Así el modulo de Biot relaciona la resistencia conductiva interna
(Lc)/k con respecto a la resistencia convectiva externa a la transferencia
de calor (1/h); de esta manera el numero de Biot indica donde selocaliza la mayor resistencia a la transferencia de calor; además de
proporcionar una medida de la caída de temperatura en el sólido en
relación con la diferencia de temperaturas entre la superficie del sólido
y el fluido
Un valor alto de Bi indica que hay mas capacidad de que el calor
salga por la superficie por convección a la que alcance por conducción,mientras que un valor bajo de Bi indica que la resistencia interna es
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despreciable y que hay mas capacidad de transferencia de calor por
conducción que por convección.
Por su parte el número de Fourier, representa un parámetro
adimensional del tiempo y esta dado por:
2
c L
t Fo α = (6)
Donde:
Fo= numero de Fourier [adimensional]
Cp
k
ρ α =
4. Conducción En Estado No Estacionario
La conducción en estado no estacionario o transitorio implica que
la temperatura depende tanto del tiempo como de la posición, para
obtener una solución a este tipo de sistemas es necesario establecer ladefinición de la ecuación diferencial y las condiciones de bordes que
caracterizan el sistema.
El estado no estacionario puede definirse para un sólido
homogéneo partiendo de la siguiente expresión:
T
t
T 2∆=
∂
∂α (7)
Para resolver esta ecuación es necesario establecer la distribución
inicial de la temperatura en el medio conductor, las condiciones en la
frontera; además de la temperatura del medio que rodea al sólido en
estudio, la temperatura en el centro del cuerpo y su temperatura inicial
(INCROPERA, 1996).
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Consideremos la respuesta de temperatura T(x, t) de una placa
que se sumerge respectivamente en un fluido en condiciones en que la
resistencia ala transferencia de calor por convección es muy pequeña,
es decir, presenta un numero de Biot considerable; de manera que la
resistencia convectiva y conductiva tienen una magnitud considerables.
De esta forma la solución en general para una placa plana viene
dado por:
( ) ( )∑∞
=
−=1
*2* cosexpn
nnn x FoC ζ ζ θ (8)
Donde:
Fo= numero de Fourier
( )
( )nn
n
n
sen
senC
ζ ζ
ζ
22
4
+
=
ζ n= las raíces positivas de la ecuación: ( ) Binn =ζ ζ tan
Bi= numero de Biot
Análogamente la solución general para un cilindro viene
dado por:
( ) ( )∑∞
=
=1
*2* expn
nnn r Jo FoC ζ ζ θ (9)
Donde:
Fo= numero de Fourier [adimensional]( )
( ) ( )n
n
n
n
J J
J C
ζ ζ
ζ
ζ 2
1
2
0
12
+
=
ζ n= raíces positivas de la función:( )
( )Bi
J
J
n
n
n=
ζ
ζ ζ
0
1
J1 y J0= funciones de Bessel
4.1. Conducción transitoria en dos y tresdimensiones
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En muchos problemas prácticos se incluyen flujo de calor en dos
y tres dimensiones. Bajo ciertas condiciones especiales, la solución de
problemas de conducción transitoria en dos y tres dimensiones, puede
ser obtenida por la superposición del producto de soluciones de
problemas unidimensionales.
Cilindro finito: La solución para el cilindro finito puede ser obtenida
como el producto de la solución para una placa infinita y la
solución de un cilindro infinito.
De manera que para esta situación se tiene:
El principio de superposición descrito anteriormente puede ser
aplicado a otras situaciones, tales como las indicadas a continuación.
Barra rectangular: formada por el producto de dos placas infinitas.
Paralelepípedo: formado por el producto de tres placas infinitas.
(10)
(11)
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El principio de superposición descrito en esta sección es aplicable
sólo en situaciones en las cuales la temperatura inicial sea uniforme y
que todas las superficies estén expuestas al mismo ambiente
convectivo.
(12)
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DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO
El equipo utilizado en la experiencia del laboratorio fue el siguiente:
• Un baño termostático con un agitador, donde se sumergieron las
muestras de diferentes materiales y geometrías, Marca Masterline
Forma Scientific, modelo 2095 Bath & Circulator.
• Un cilindro de polivinilcloruro (PVC) con las siguientes
propiedades:
ρ = 1,3743 g/cm3
Cp = 0,934 kJ/kg
• Un cilindro y un cubo de material desconocido con las siguientespropiedades:
ρ = 0,942 g/cm3
Cp =1,918 kJ/kg K
• Cada muestra posee un termopar tipo cobre-constatan colocado
en el centro de la misma.
A continuación se muestra un diagrama del equipo a utilizar;
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METODOLOGÍA EXPERIMENTAL
La metodología experimental que se siguió en el laboratorio para
determinar los coeficientes convectivos y las conductividades térmicas
fueron los siguientes:
1. Hacer las conexiones de los termopares de las piezas y del baño al
termómetro digital.
2. Verificar que la temperatura del baño se mantiene constante y
tabular su valor cada tres grados centígrados aproximadamente.
3. Medir las dimensiones de la pieza con un vernier antes de
introducirla en el baño y tabularlas.
4. Introducir la pieza conectada en el baño totalmente sumergida y
activar el cronómetro.
5. Medir la temperatura inicial de la pieza reflejada en el termómetro
digital.
6. Medir el tiempo en que la temperatura de la pieza aumenta un
grado centígrado y tabularlo.
7. Repetir el paso anterior hasta alcanzar al menos el 98,5% de la
temperatura del baño.
8. Retirar la pieza y desconectar el termopar del termómetro digital.
9. Medir las dimensiones de la pieza con el vernier nuevamente para
verificar la expansión de la misma.
10. Repetir el procedimiento anterior con el resto de las piezas.
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DATOS EXPERIMENTALES
A continuación se presentan los datos experimentales obtenidos.
Por medio de un cronómetro, se registró el tiempo (s) cada vez que latemperatura aumentaba en el centro del solido 1ºC (Ej.: 20°C21°C). Se
considero estado estacionario cuando la temperatura en la pieza alcanzo
el 95% de la temperatura del medio.
Tabla 1. Tiempos registrados para el cilindro de materialconocido
Temperatura (T ± 0,1)ºC Tiempo (t ± 1) s
24,7 0
25,7 43,87
26,7 65,25
27,7 84,37
28,7 109,86
29,7 140,96
30,7 178,85
31,7 217,27
32,7 262,2
33,7 300,12
34,7 342,75
35,7 380,82
36,7 422,13
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37,7 464,33
38,7 505,34
39,7 552,0940,
7 602,4541,
7 646,6342,
7 698,9143,
7 743,8444,7 819,49
45,7 860,88
46,7 936,97
47,7 995,31
48,7 1083,0849,
7 1151,3550,
7 1247,7751,
7 1368,9552,
7 1447,4453,
7 1565,5154,
7 1757,5555,
7 1898,6356,
7 2075,5957,
7 2392,1
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58,7 2835,75
59,2 3035,66
59,5 3222,49
Tabla 2. Tiempos registrados para el cilindro de materialdesconocido
Temperatura (T±
0,1)ºC Tiempo (t±
1) s
25,9 026,9 1327,9 2828,9 4529,9 6630,9 8831,9 110
32,9 130,8533,9 155,734,9 176,9935,9 199,3436,9 223,7437,9 25138,9 273,7739,9 298,9240,9 327,49
41,9 356,9842,9 389,1143,9 422,244,9 456,2945,9 493,7546,9 537,147,9 579,5248,9 627,8949,9 672,19
50,9 729,451,9 794,23
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52,9 868,6353,9 953,4954,9 1050,6255,9 1172,98
56,9 1314,8157,9 1512,5658,9 183059,1 1901,0359,5 2176,09
Tabla 3. Tiempos registrados para el cubo de materialdesconocido
Temperatura (T ± 0,1)ºC Tiempo (t ± 1) s
25,2 0
26,2 55,527,2 75
28,2 93,4229,2 109,7930,2 129,1431,2 146,5332,2 174,8433,2 188,1434,2 210,2835,2 238,1336,2 258,35
37,2 283,3638,2 308,2639,2 337,3140,2 365,8141,2 394,2242,2 427,8743,2 460,2444,2 493,6645,2 530,11
46,2 560,2447,2 615,12
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48,2 657,8749,2 707,4850,2 764,1951,2 822,4
52,2 883,9953,2 959,8554,2 104555,2 1142,9556,2 1265,6657,2 1407,5258,2 1612,4159,2 1919,6459,5 2027,09
Tabla 4. Dimensiones de los distintos sólidos antes de
calentar
Solido Diametro LongitudArista
(D ± 0,005)cm (L± 0,005)cm
(a ± 0,005)cm
Cilindro (desconocido) 5,000 15,000 - -
-
Cilindro PVC 5,000 15,000 - - -
Cubo (desconocido) - - - - - -5,520
Tabla 5. Dimensiones de los distintos sólidos despues decalentar
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Solido Diametro Longitud
Arista
(D±
0,005)cm (L±
0,005)cm(a ± 0,005)cm
Cilindro (desconocido) 5,200 15,050 - -
-
Cilindro PVC 5,050 15,050 - - -
Cubo (desconocido) - - - - - -
5,580
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RESULTADOS EXPERIMENTALES
Al analizar los datos obtenidos y representarlos en una grafica seobserva la distinción entre los 3 objetos; las curvas de los objetos
desconocidos son más pronunciadas que la del cilindro de PCV, por lo
que podemos decir a priori que se calientan más rápido que este ultimo.
Además entre los que se desea conocer se nota que el cubo se calienta
más rápido que el cilindro.
Ilustración 1. Comparación entre los objetos estudiados en T vs t.
Para obtener los valores de la conductividad térmica (k ) y el
coeficiente de convección (h) de las piezas se realizo un proceso
suponiendo k y h según corresponda el caso. Para los cálculos se uso el
último punto medido de cada objeto:
Tabla 6. Valores obtenidos de h y k para los distintos sólidos
estudiados
Sólido Conductividad Térmica Coeficiente Convectivo
“k ”(W/m.K)
“h” (W/m2.K)
Cilindro desconocido 0,45 218
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Cubo desconocido 0,45 91
Cilindro de PVC 0,16 218
DISCUSIÓN DE RESULTADOS
Para conocer la conductividad térmica del material desconocido se
baso los cálculos en que el coeficiente de convección (h) es constante
para geometrías similares, también se asumió que las conductividades
no son funciones fuertes de la temperatura y que la dilatación en los
sólidos es despreciable.
Para un material conocido se le calculó el coeficiente “h” por
medio de un proceso iterativo el cual arrojo h=218 W/m2.K , tomando
en cuenta las asunciones tomadas se uso ese valor para calcular la
conductividad usando el mismo método donde obtuvimos un valor de k
= 0,45 W/m.K y análogamente, conociendo este valor se puede
calcular el coeficiente de convección para el cubo como se hizo al
principio para el cilindro de PVC, donde de h = 91 W/m2.K.
Se pudo observar la variación de “h” con respecto a la geometría,
el cubo (de menor area superficial) tuvo un coeficiente de convección
menor al cilindro del mismo material en el mismo medio.
Al comparar los resultados con los obtenidos de una tabla de
valores del coeficiente convectivo, se observó que se encuentran dentro
del rango establecido para convección libre en líquidos, el cual abarca
valores desde 50 hasta 1000 W/m2.K. (INCROPERA, 1999).
Al estudiar los resultados obtenidos se ve que concuerdan con lo
dicho anteriormente al analizar cualitativamente la grafica de T vs. t
para las 3 piezas. Cabe destacar que estos resultados son
aproximaciones debido a los errores cometidos involuntariamente en la
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toma de datos experimentales donde la más influyente fueron los saltos
que registraba el termómetro, la causa más lógica es que el vapor
saliente del baño condensara en el cable del termopar afectando la
medida.
CONCLUSIONES
• Dos figuras de similar geometría tienen el mismo coeficiente de
convección y la de mayor conductividad térmica alcanzara más
rápido el estado estacionario.
• Se observo que la conductividad influye más que el coeficiente de
convección en las condiciones de operación usadas.
• Mientras mayor área superficial tenga un sólido mayor será su
coeficiente de convección con respecto a otro objeto de menor
ares en el mismo medio.
RECOMENDACIONES
• Sugerir el uso de lentes de seguridad para la realización de la
práctica ya que a la hora de quitar la tapa del baño, el agua
salpica y sale vapor de agua caliente que puede lastimar al
operador.
• Colocar una especie de gancho o pinza que mantenga alejado elcable del termopar de la salida de vapor de agua ya que altera lasmediciones.
• Usar un material de mayor conductividad térmica que el PVC, yaque el tiempo de este objeto en alcanzar estado estacionario fue
muy largo (53min aprox).
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
1. Meléndez J. y Gutiérrez B., “Guía para el Laboratorio de: TF2281”,
Caracas 2005.
2. Incropera Franck P., “Fundamentos de Transferencia de Calor”,
4ta edicion, Prentice Hall, México 1999.
3. Alejandra Van Dewalle D. y Rómulo Rothe G., “DISEÑO DESIMULADORES DIDÁCTICOS PARA DOS PRÁCTICAS
SELECCIONADAS DEL LABORATORIO DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE I USB”, Caracas 2009.4. Welty J., Wicks C. y Wilson R., “Fundamentos de Transferencia de
momento, calor y masa”, 2da edición, Limusa Wiley, México 1995.
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APENDICE A
A continuación se presentan los algoritmos usados para los
cálculos, tablas de Excel usando esos modelos y el código en matlab
que se uso para el cálculo de los eigenvalores (ζ) usados.
Algoritmo usado para calcular h conociendo k:
a) Se utilizo el último dato de temperatura y tiempo registrados
(cuando casi se alcanza estado estacionario).
b) Se supuso un valor de h.
c) Se calcularon los números de Biot y Fourier.
d) Con los números de Biot, se buscaron en tablas los eigenvalores
(ζ) y los valores de las constantes necesarias para las ecuaciones.
e) Se calcularon los valores de θsup utilizando las ecuaciones de
conducción no estacionaria.
f) Con las T registradas se calculo θ y se comparo con θsup. Si
coinciden FIN, si no se supone otra h (paso b)
Ejemplo de Cálculo: k=0.16 y h=218
T (°C) 59,5 Fo(pl) λ1(pl) λ2(pl) λ3(pl)
To (°C) 24,70,071410
26 1,55763 4,66658 7,77719
t (s)
3222,4
9 Bi(pl) C1(pl) C2(pl) C3(pl)r 0,025 102,1875 1,27313 -0,42397 0,25391
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L/2 0,075Tr(prom) 60,4k (W/m.K) 0,16 Fo(cil) Bi(cil) λ1(cil) C1(cil)Cp
(J/Kg.K) 934
0,642692
34 34,0625
2,333407
5 1,598092ρ 1374,3
θ θ(pl) θ(cil) θch'(W/K*m2) 218
0,02521008
0,984452427
0,04829077
0,04753997
error
-0,022329
89 Ts (°C) 58,67
Algoritmo usado para calcular k conociendo h:
a) Se utilizo el último dato de temperatura y tiempo registrados
(cuando casi se alcanza estado estacionario). b) Se supuso un valor de k .
c) Se calcularon los números de Biot y Fourier.
d) Con los números de Biot, se buscaron en tablas los eigenvalores
(ζ) y los valores de las constantes necesarias para las ecuaciones.
e) Se calcularon los valores de θsup utilizando las ecuaciones de
conducción no estacionaria.
f) Con las T registradas se calculo θ y se comparo con θsup. Sicoinciden FIN, si no se supone otra h (paso b)
Ejemplo de Cálculo: k=0.45 y h=218
T (°C) 59,5 Fo(pl) λ1(pl) λ2(pl) λ3(pl)
To (°C) 25,90,096353
46 1,52830 4,58170 7,63930
t (s) 2176,09 Bi(pl) C1(pl) C2(pl) C3(pl)
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r 0,02536,33333
33 1,27213 -0,42093 0,24901L/2 0,075Tr(prom) 60,4k
(W/m.K) 0,45 Fo(cil) Bi(cil) λ1(cil) C1(cil)Cp(J/Kg.K) 1918
0,86718118
12,11111111 2,2153
1,57701166
ρ 942θ θ(pl) θ(cil) θc
h'(W/K*m2) 218
0,02608696
0,960973235
0,02236615
0,02149327
error
0,004593
69 Ts (°C)
59,65848
23
Para el cálculo de los eigenvalores (ζ) se uso el método deNewton-Raphson programado en matlab, haciendo como uso deaproximaciones iniciales los valores dados en las tablas del Incropera.
Metodo de N-R:
function [Xn,Iter]=newton(F,Xo,Tol)
Iter=0;
Error=1;while Error>=Tol
f=feval(F,Xo);
dx=sqrt(abs(Xo*Tol)/2);
df=(feval(F,Xo+dx)-feval(F,Xo-dx))/dx;
Xn=Xo-(f/df);
Error=abs((Xn-Xo)/Xo);
Xo=Xo+0.01/Xn;
Iter=Iter+1;
End
Funciones de los eigenvalores:
function F=func(Bn,Bi)
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F=Bn*tan(Bn)-Bi;
function F=func2(Bn,Bi)
F=Bn*(besselj(1,Bn)/besselj(0,Bn))-Bi;
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