INTEGRAL TERTENTUINTEGRAL TERTENTU
1. Integral Tertentu sebagai Luas Daerah di bidang Datar1. Integral Tertentu sebagai Luas Daerah di bidang Datar
Perhatikan gambar sebuah kurva tertutup dibawah ini !Perhatikan gambar sebuah kurva tertutup dibawah ini !
Luas daerah kurva tertutup dapat dicari dengan menutupi daerah kurva dengan persegi-persegi sebagai berikut :
Luas daerah kurva tertutup dapat dicari dengan menutupi daerah kurva dengan persegi-persegi sebagai berikut :
Jumlah persegi yang ada di dalam kurva ada 21, sedangkan jumlah persegi yang menutupi seluruh kurva ada 46. misalkan luas kurva adalah L maka 21 < L < 46. jika ukuran persegi diperkecil maka akan diperoleh perhitungan luas L yang lebih teliti.
Jumlah persegi yang ada di dalam kurva ada 21, sedangkan jumlah persegi yang menutupi seluruh kurva ada 46. misalkan luas kurva adalah L maka 21 < L < 46. jika ukuran persegi diperkecil maka akan diperoleh perhitungan luas L yang lebih teliti.
next
next
next
Kita dapat menggunakan teknik di atas untuk menghitung luas daerah tertutup yang dibatasi sumbu X, garis x =a, garis x = b, dan grafik y = f(x).
Kita dapat menggunakan teknik di atas untuk menghitung luas daerah tertutup yang dibatasi sumbu X, garis x =a, garis x = b, dan grafik y = f(x).
Perhatikan gambar berikut :Perhatikan gambar berikut :
XX
YYy = f(x)y = f(x)
aa bb
Luas daerah yang di arsir (L) dapat dihitung dengan membuat n persegi panjang dengan lebar sama pada interval [ a,b ], Sbb :
Luas daerah yang di arsir (L) dapat dihitung dengan membuat n persegi panjang dengan lebar sama pada interval [ a,b ], Sbb :
ΔxΔx
Sehingga Sehingga n
abx
Misalkan banyak persegi panjang di dalam daerah arsiran ada K dan yang menutupi daerah arsiran ada M maka K < L < M
Misalkan banyak persegi panjang di dalam daerah arsiran ada K dan yang menutupi daerah arsiran ada M maka K < L < M
next
next
next
Ambil sebuah persegi panjang , seperti gambar dibawah ini : Ambil sebuah persegi panjang , seperti gambar dibawah ini :
XX
YY y = f(x)y = f(x)
a=xoa=xo b=xn
b=xn
ΔxΔxxi
xixi - 1xi - 1
f(x1)f(x1)
f(xi – 1)f(xi – 1)
AA BB
CCDDf(xi – 1)
f(xi – 1)f(x1)
f(x1)
FFEEMisalkan luas ABFE = Ki, luas ABCD = Mi dan luas ABCE = Li.
Misalkan luas ABFE = Ki, luas ABCD = Mi dan luas ABCE = Li.
next
next
next
Maka Ki = f(xi).Δx dan Mi = f(xi + 1). Δx ,jika f(xi) – f(xi – 1) = di maka :
M – K < d1.Δx+d2.Δx+d3 .Δx+...+dn.Δx
Sebanyak n suku
next
n
ii xdKM
1
Jika n di perbesar (n→∞) maka Δx mendekati nol dan di juga mendekati nol, sehingga diperoleh :
KMatauKMxxx 000
limlim....0lim
Oleh karena K< L< M , maka KMLxx 00
limlim
nextOleh karena K< L< M , maka KMLxx 00
limlim
xxfxxfLn
ii
x
n
ii
x
lim lim1
01
0
Bentuk limit jumlah xxfLn
ii
x
lim1
0ditulis dalam bentuk integral :
dxxfLb
a
( dibaca luas L sama dengan integral f(x) terhdap x dari a hingga b )
Keterangan :
K = K1 + K2 + K3 +...+Kn = xxfKn
ii
n
ii
1
11
M = M1 + M2 + M3 +...+ Mn = xxfMn
ii
n
ii
11
xxfxfxxfxfxxfxfKM ii ... 11201
Jika di → 0, maka : f ( xi ) – f (xi – 1) → 0 ↔ f( xi ) → f (xi – 1)
next
next
next2. Menghitung Integral Tertentu 2. Menghitung Integral Tertentu
Jika F(x) integral dari f(x) dan f(x) adalah fungsi dalam interval [a,b] maka :
Jika F(x) integral dari f(x) dan f(x) adalah fungsi dalam interval [a,b] maka :
bFaFxFdxxf ba
b
a
Sifat-sifat Integral Tertentu :Sifat-sifat Integral Tertentu :next
0 .1a
a
dxxf
dxxfdxxfdxxfc
a
c
b .2
b
a
dxxfdxxfa
b
.3b
a
dxxfkdxxfka
b
.4b
a
bb
a
b
a
dxxgdxxfdxxga
xf .5
next
next
next
next
nextContoh soal menggunakan Sifat-sifat Integral Tertentu :Contoh soal menggunakan Sifat-sifat Integral Tertentu :
next
dxx .3
2
21 32
331 )( x 3
313
31 23 )()( 827 3
131 3
83
27
319 3
16
dxx .3
2
22 42
331 )( x 3
313
31 24
)()( 864 31
31
38
364
356
3218
dxx 4
3
2 dxx 4
2
2
nextdxx .
3
3
23 33
331 )( x 3
313
31 33 )()( 2727 3
131
327
327 0 next
dxx .3
2
24
23
331 )( x
3
313
31 23
)()( 827 31
31
38
327
319
316
dxx - 2
3
2
dxx 3
2
2 dxx - 2
3
2 23
331 )( x
3
313
31 32
)()( 278 31
31
327
38
319
316
next
dxx12 .3
1
2 5 next
dxx12 3
1
2 31 )( 3
31 x12 )( 3
313
31 13 12
)( 127 31
31 12 )( 3
19 12 )( 4108 410 next
dxxx 412 .3
1
6 2 3
1
3
1
2 dxxdxx 412
31 )( 3
31 x12 3
1 )( 2214 x
31
3 )( x4 31
2 )( x2
)( 331434 )( 22
1232 )( 14274 )( 1292
)( 4208 )( 218 )( 204 )(16
220
next dx xx 2 4 12 3
1
26. 3122 23 xxx 4
34
122123143232
23
4 121214329227
224618108
4120
116next
dx x x 22
0
27. dx x 2
0
2 4
204331 xx
02423
313
31 40
08831 83
8 32 10
next dx xx 21
0318 sincos.
031
212 xx 3 cossin
0302 31
21 coscossin 2
1sin- 23
13012 21 23 -
3- 232 1 2
3 21
next 0
0
9 dx jika a nilai Carilah a
x-1x.
00
dx a
x-1x
00
dx x-x
a2
003
312
21 a xx
03312
213
312
21 00 aa
03312
21 aa
023 32 aa
023 2 aa
0023 2 aa
032 aa
023 aa
next
1092101
pdx x jika p nilai Tentukan p
5.
10921
pdx x p
5
10952 pxxp
1
1091515 22 ppp
109652 ppp
0442 pp
( p – 2 ) 2 = 0( p – 2 ) 2 = 0
p – 2 = 0 p – 2 = 0
p = 2 p = 2
next
Top Related