1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.
2. Pilih pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1]
3. Bentuk jumlah Riemann.
4. Jika n (|P| 0) diperoleh limit jumlah Riemann.
Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis
4/2/2016 2
Z=f(x,y)
x
y
z
b
a
R
c d
xkyk
),( kk yx
n
i
n
i
kkk Ayxf1 1
),(
n
i
n
i
kkkn
Ayxf1 1
),(lim
Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d}
n
i
n
i
kkkn
R
AyxfdAyxf1 1
),(lim),(
)y,x( kk
a. Integral Lipat Dua atas Daerah Persegi Panjang
Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.
4/2/2016 3
n
k
kkkP
Ayxf1
0),(limJika ada, kita katakan f dapat
diintegralkan pada R. Lebih lanjut RR
dxdyyxfdAyxf ),(),(
R
dAyxf ),(
n
k
kkkP
Ayxf1
0),(lim
yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan
oleh :
R
dydxyxf ),(
n
k
kkkkP
yxyxf1
0),(lim
atau
4/2/2016 4
Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) 0 pada persegpanjang R,
maka R
dAyxf ),( menyatakan volume benda padat yang
terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan
di atas R.
Jika f(x,y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu:
(i) Sejajar bidang XOZ
4/2/2016 5
y
x
z z= f(x,y)
ca
b
d
a b
z
x
A(y)
b
a
dxyxfyA ),()(
A(y)
4/2/2016 6
d
cR
dyyAAdyxf )(),(
d
c
b
a
dydxyxf ),(
d
c
b
a
dydxyxf ),(
Maka
R
dAyxf ),(
d
c
b
a
dydxyxf ),(
(ii) Sejajar bidang YOZ
4/2/2016 7
y
x
z z= f(x,y)
ca
b
d
c d
z
y
A(x)
d
c
dyyxfxA ),()(
A(x)
4/2/2016 8
b
aR
dxxAAdyxf )(),(
b
a
d
c
dxdyyxf ),(
b
a
d
c
dxdyyxf ),(
Maka
R
dAyxf ),(
b
a
d
c
dydxyxf ),(
4/2/2016 9
1. Hitung integral lipat dua berikut ini : R
dAyx 22 2
dimana R = {(x,y) | 0 x 6, 0 y 4}
Jawab:
R
dAyx 22 2
6
0
4
0
22 2 dxdyyx
6
0 0
4
32
3
2dxyyx
6
0
2
3
1284 dxx
0
6
3
3
128
3
4xx 544256288
R
6
4
y
x
4/2/2016 10
R
dAyx 22 2
4
0
6
0
22 2 dydxyx
4
0 0
6
23 23
1dyxyx
4
0
21272 dyy
0
4
3472 xx 544256288
Atau,
4/2/2016 11
2. Hitung integral lipat dua berikut ini : R
dAyxsin
dimana R = {(x,y) | 0 x /2, 0 y /2}
R
/2
/2
y
x
Jawab:
R
dAyxsin / 2 / 2
0 0
sin x y dx dy
/ 2 / 2
00
cos( )x y dy
/ 2
0
cos cos2
y y dy
2/
0
2/
0 2sinsin
yy
sin sin sin 2.2 2
4/2/2016 12
1
0
1
0
22
. dxdyexya yx
2
0
1
1
2. dxdyxyb
1
0
2
0
2 1. dxdy
x
yc
1. Hitung
2. R
dydxyxf , untuk fungsi
a. f(x,y)= (x + 2y)2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2]
b. f(x,y)= x2 + y2 dengan R = [0, 1] x [0, 1]
c. f(x,y)= y3 cos2x dengan R = [-/2, ] x [1, 2]
4/2/2016 13
Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R
1. RR
dAyxfkdAyxfk ,,
2. RRR
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ,,,,
3. Jika R = R1 U R2 , maka
21
,,,RRR
dAyxfdAyxfdAyxf
4. Jika f(x,y) g(x,y), maka
RR
dAyxgdAyxf ,,
Ada dua jenis :
◦ Jenis I (x konstan)
D = {(x,y) | a x b , p(x) y q(x) }
◦ Jenis II (y konstan)
D = {(x,y) | r(y) x s(y) , c y d }
4/2/2016 14
Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
4/2/2016 15
D
a b x
q(x)
p(x)
y
b
a
xq
xpD
dxdyyxfdAyxf
)(
)(
),(),(
D={(x,y)| axb, p(x)yq(x)}
x
y
Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
4/2/2016 16
d
c
ys
yrD
dydxyxfdAyxf
)(
)(
),(),(
D={(x,y)|r(y)xs(y), cyd}
x
y
D
c
d
r (y) s (y)
x
Urutan pengintegralan dalam integral lipat duatergantung dari bentuk D (daerah integrasi).
Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubahurutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan denganperubahan urutan pengintegralan akan memudahkandalam proses integrasinya.
Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapatmenggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita dapatmerubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsadaerah integrasi. (pandang daerah integrasi sebagai daerahjenis I atau jenis II)
4/2/2016 17
4/2/2016 18
1. Hitung R
x dAey2 ,R dibatasi x= y2, y =1, sumbu y
xR
R
x dAey2
1
0 0
2
2
y
x dydxey
1
00
2
2 dyeyy
x
1
0
122
dyey y
2111
0
22
eeye y
x
y
x = y2
1
1
R = {(x,y)| 0 x y2, 0 y 1}
4/2/2016 19
Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:
R
R
x dAey2
1
0
1
2x
x dxdyey
1
0
12 dxye
x
x
1
0
dyxee xx
1
0
xxx exee
R = {(x,y)| 0 x 1, x y 1}
y x
y
x = y2
1
1
2)11(2 eee
4/2/2016 20
4
0
2
2
2
.2 dxdyex
y
Daerah integrasinya R = {(x,y)| 0 x 4, x/2 y 2}Jawab:
x R
x
y
y = x/2
4
2
y
Diubah urutan pengintegralannya, yaitu:
R = {(x,y)| 0 x 2y, 0 y 2}Sehingga
4
0
2
2
2
dxdyex
y
2
0
2
0
2
dydxe
y
y
142
0
2
ee y
2
0
2
0
2
dyxeyy
2
0
2
2 dyey y
x=2y
4/2/2016 21
3
1
33
.1 dydxex
y
y
y
2
0 0
sin
cos.2
dxdy
x
xy
1
0
12
.5 dxdyex
y
34 2
0
6. x
y
e dx dy
1
0
2
0
2 1.3 dxdy
x
y
2
0
2
0
)sin(.4
dydxyx
2
0
4
0
2
.7 dxdyyx
x
2
0 0
cos
sin.8
dxdy
x
xy
Hitung
4/2/2016 22
D
yx dAe22
, D={(x,y)|x2+y24}
Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk
diselesaikan.
Sistem Koordinat Polar
rP(r,)
x
y
=0 (sumbu polar)
Hubungan Kartesius – Polarx = r cos x2+y2=r2
y = r sin = tan-1(y/x)
22 yxr
Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang polar D
4/2/2016 23
D={(r, )| a r b, }
?),( D
dAyxf
Sumbu Polar/Kutub
Ak
r=b
r=a
=
=
D
Ak
rk-1
rk
Pandang satu partisi persegipanjang polar Ak
Luas juring lingkaran dengansudut pusat adalah ½ r2
Ak = ½ rk2 - ½ rk-1
2
= ½ (rk2 - rk-1
2) = ½ (rk + rk-1) (rk - rk-1)= r r
Jika |P| 0, maka dA = r dr d (|P| panjang diagonal Ak)
1. Hitung
4/2/2016 24
Sehingga
pk DD
ddrrrrfdAyxf )sin,cos(),(
D
yx dAe22
, D={(x,y)|x2+y24}
Contoh:
2. Hitung D
dAy , D adalah daerah di kuadran I di dalamlingkaran x2+y2=4 dan di luar x2+y2=1
4/2/2016 25
D
yx dAe22
.1 dengan D = {(x,y)| x2+y2 4}
D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) jari-jari 2. D = {(r,)| 0 r 2, 0 2}Sehingga
D
yx dAe22
2
0
2
0
2
ddrrer
14 e
2
0
2
0
2
2
1der
2
0
4
2
1
2
1de
2
2
x
y
D r
Jawab.
4/2/2016 26
D
dAy.2 dengan D adalah persegipanjang polardi kuadran I di dalam lingkaran x2+y2=4di luar x2+y2=1
D = {(r,)| 1 r 2, 0 /2}
Sehingga
D
dAr
2/
0
2
1
sin
ddrrr
3
7cos
3
7 2/
0
2/
0
2
1
3 sin3
1
dr
2/
0
sin183
1
d
21 x
y
D
r
1. Hitung
4/2/2016 27
1
0
1
0
22
2
4
x
dxdyyx
2. Hitung
1
0
1
0
22
2
)sin(
y
dydxyx
3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah paraboloid z = x2+y2 dan di dalam tabung x2 + y2 = 9dengan menggunakan koordinat polar/kutub.
1. D={(r, )| 1() r 2(), }
2. D={(r, )| a r b, 1(r) 2(r)}
4/2/2016 28
Sumbu Polar
r=2()
r=1()
=
=
D
Sumbu Polar
r=b
r=a
=2(r)
=1(r)D
4/2/2016 29
1 2
1
D={(r, )| 0 r 2 cos ,– /2 /2}
Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (1,0) dan berjari-jari 1 D
Jadi, (x – 1)2 + y2 = 1
x2 – 2x + 1 + y2 = 1
x2 + y2 = 2x
r2 = 2r cos
r2 – 2r cos =0
r (r – 2 cos )=0
r = 0 atau r = 2 cos
Untuk batas (dari gambar) =– /2 = /2
Sehingga,
4/2/2016 30
D={(r, )| sec r 2 cos ,0 /4}
=/4
1 2 x
y
D220 xxyy
ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1
Sehingga D dalam koordinat polarnya adalah
Untuk batas r dihitung mulai
x = 1 r cos = 1 r = sec
Untuk batas (dari gambar) =0 = /4
hingga r = 2 cos
21 xxBatas x:
Batas y:
22 2 xxy 02 22 yxx
11 22 yx
4/2/2016 31
D={(r, )| 0 r 2 sin ,0 }
1
1
2 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (0,1) dan berjari-jari 1
Jadi, x2 + (y – 1)2 = 1
x2 + y2 – 2y + 1 = 1
x2 + y2 = 2y
r2 = 2r sin
r2 – 2r sin =0
r (r – 2 sin )=0
r = 0 atau r = 2 sin
Untuk batas (dari gambar) =0 =
Sehingga,
4/2/2016 32
1
1
D={(r, )| 0 r sec ,0 /4}
x = 0 x = 1
y = 0 y = x
Sehingga koordinat polarnya adalah
Untuk batas r
x = 1 r cos = 1 r = sec
Untuk batas (dari gambar) =0 = /4
D
4/2/2016 33
1. Hitung
2
1
2
022
2
1xx
dydxyx
Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y:
x = 1 x = 2
y = 0 y = 22 xx
y2 = 2x – x2 x2 + y2 – 2x = 0
(x – 1)2 + y2 = 1
ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1
=/4
1 2 x
y
D
D dalam koordinat polarnya adalah
D={(r, )| sec r 2 cos ,0 /4}
4/2/2016 34
2
1
2
022
2
1xx
dxdyyx
4/
0
cos2
sec
.1
ddrrr
4/
0tanseclnsin2
4/
0
cos2
sec
dr
4/
0
seccos2
d
Sehingga,
0tan0secln0sin24
tan4
secln4
sin2
1ln12ln22
1.2
12ln2
4/2/2016 35
1. Hitung
S
ddrr , S daerah dalam lingkarandan di luar
2. Hitung 1 1
2
0 x
x dy dx
3. Hitung D
dAyx 224 , D daerah kuadran I darilingkaran x2+y2=1 antaray=0 dan y=x
(dengan koordinat polar)
4. Hitung
D
dAyx 229
1 , D daerah di kuadran I dalamlingkaran dan di luarlingkaran
422 yx
122 yx
4)2( 22 yx
422 yx
1. Partisi balok B menjadi n bagian;B1, B2, …, Bk, …, BnDefinisikan |||| = diagonal ruangterpanjang dari Bk
2. Ambil3. Bentuk jumlah Riemann
4. Jika |||| 0 diperoleh limit jumlah Riemann
Jika limit ada, maka fungsiw = f(x,y,z) terintegralkanRiemann pada balok B, ditulis
4/2/2016 37
x
y
z
xk
yk
)z,y,x( kkk
B
Bk zk
kkkk Bzyx ),,(
k
n
k
kkk Vzyxf
1
0),,(lim
n
k
kkkk Vzyxf1
),,(
k
n
k
kkk
B
VzyxfdVzyxf
1
0),,(lim),,(
vk = xk yk zk dV = dx dy dz
Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:
4/2/2016 38
BB
dzdydxzyxfdVzyxf ),,(),,(
4/2/2016 39
B
dVyzx2Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran
B = {(x,y,z)| 1 x 2, 0 y 1, 1 z 2}
Jawab.
B
dVyzx2 dzdydxyzx
2
1
1
0
2
1
2
dzdyxyz
2
1
1
0
2
1
3
3
1
dzyz
2
1
1
0
2
2
1
3
7
2
1
2
2
1
6
7
z
4
7
Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1)
4/2/2016 40
x
y
z
B
S
S
dVyzx2Hitung , Jika S benda padat sembarang
(gb. 1)
Jika S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=1(x,y) dan z=2(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka:
Catatan:
Jika f(x,y,z) = 1, maka menyatakan volume benda pejal S
4/2/2016 41
b
a
x
x
yx
yxS
dxdydzzyxfdVzyxf
)(
)(
),(
),(
2
1
2
1
),,(),,(
S
dVzyxf ),,(
x
y
z
S
Sxyb
a
y=2(x)y=1(x)
z=2(x,y)
z=1(x,y)
(gb. 2)
4/2/2016 42
2
0 0
2
2
2
12
x
dxdyxxy
2
0 0
242
2
1
4
124 dxyxxx
x
2
0
753
8
12 dxxxx
2
0
864
64
1
6
1
2
1xxx
3
44
3
328
Hitung
2
0 0
2
12
0
2
2
xx
dxdydzxyz
Jawab :
2
0 0
2
12
0
2
2
xx
dxdydzxyz
4/2/2016 43
2/
0 0 0
)sin(
z y
dxdydzzyxHitung
Top Related