2. Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri
Berdasarkan defenisi di atas dapat diturunkan
!!!!!!!
!!!
× !!!!!!!!!
!!!
×⋯× !!!!!
!
× !!!!!
!
= 𝑟×𝑟×⋯×𝑟×𝑟!!!
𝑈!×!!!!!!!!
× !!!!!!!!
×⋯× !!!!
× !!!!
× !!!
= 𝑟!!!
!!!!
= 𝑟!!!
𝑈! = 𝑈!𝑟!!!
Barisan geometri adalah susunan bilangan yang terurut dimana rasio antara dua bilangan atau suku yang berurutan adalah sama Bentuk umum barisan geometri adalah
𝑈! ,𝑈! ,𝑈! ,⋯ ,𝑈!!! ,𝑈!!! ,𝑈! dimana 𝑈! adalah suku ke− 𝑛 dan 𝑛 adalah bilangan bulat Rasio 𝑟 = !!
!!!!= !!!!
!!!!= ⋯ = !!
!!= !!
!!
𝑟 =𝑈!𝑈!!!
Suku ke− 𝑛 suatu barisan geometri dengan rasio 𝑟 adalah
𝑈! = 𝑈1𝑟𝑛−1
Persamaan yang lebih umum adalah !!!!
= !!!!!!
!!!!!!
!!!!
= !!!!
!!!!
!!!!
= 𝑟 !!! ! !!!
!!!!
= 𝑟!!!!!!!
!!!!
= 𝑟!!!!!!!
!!!!
= 𝑟!!!!!!!
!!!!
= 𝑟!!!
𝑈! = 𝑈!𝑟!!!
Khusus jika jumlah suku 𝑛 adalah ganjil maka ada suku tengah 𝑡 = !!!
!
dimana 𝑡 merupakan bilangan bulat sehingga berlaku
𝑡 = !!!!
𝑡 − 1 = !!!!− 1
𝑡 − 1 = !!!!− !
!
𝑡 − 1 = !!!!!!
𝑡 − 1 = !!!!
𝑈! = 𝑈1𝑟𝑡−1
𝑈! = 𝑈1𝑟!!!!
𝑈!! = 𝑈1𝑟!!!!
!
𝑈!! = 𝑈12 𝑟!!!!
2
𝑈!! = 𝑈12𝑟!!!
𝑈!! = 𝑈1 𝑈1𝑟!!!
𝑈!! = 𝑈1𝑈𝑛𝑈! = 𝑈1𝑈𝑛
Suku ke− 𝑛 suatu deret geometri jika diketahui rasio 𝑟 dan suku ke− 𝑝 adalah
𝑈! = 𝑈!𝑟!!!
Suku tengah suatu barisan geometri yang jumlah sukunya 𝑛 merupakan bilangan ganjil
𝑈! = 𝑈1𝑈𝑛
b. Deret Geometri
Berdasarkan defenisi deret geometri bisa diperoleh
𝑆! = 𝑈! + 𝑈! + 𝑈! + ⋯+ 𝑈!!!!!!!
+ 𝑈!𝑆! = 𝑆!!! + 𝑈!𝑆! − 𝑆!!! = 𝑈!
Terlihat untuk deret geometri dan deret aritmatika bentuknya sama yang membedakan hanya beda yang tetap pada deret aritmatika dan rasio yang tetap pada deret geometri
Deret geometri adalah jumlah suku suku dari barisan geometri Bentuk umum deret geometri adalah
𝑆! = 𝑈! + 𝑈! + 𝑈! + ⋯+ 𝑈!!! + 𝑈!
Suku ke− 𝑛 suatu barisan aritmatika sama dengan selisih antara jumlah 𝑛 suku pertama dengan jumlah 𝑛 − 1 suku pertamanya
𝑈! = 𝑆! − 𝑆!!!
Berdasarkan defenisi deret geometri bisa diperoleh
𝑆! = 𝑈! + 𝑈! + 𝑈! +⋯+ 𝑈!!! + 𝑈!!! + 𝑈!𝑟𝑆! = 𝑈!𝑟 + 𝑈!𝑟 + 𝑈!𝑟 +⋯+ 𝑈!!!𝑟 + 𝑈!!!𝑟 + 𝑈!𝑟 −
𝑆! = 𝑈! + 𝑈! + 𝑈! +⋯+ 𝑈!!! + 𝑈!!! + 𝑈!𝑟𝑆! = 𝑈! + 𝑈! + 𝑈! +⋯+ 𝑈!!! + 𝑈! + 𝑈!!! −
Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk di bawah 𝑆! = 𝑈! + 𝑈! + 𝑈! +⋯+ 𝑈!!! + 𝑈!!! + 𝑈!𝑟𝑆! = 𝑈! + 𝑈! +⋯+ 𝑈!!! + 𝑈!!! + 𝑈! + 𝑈!!! −
𝑆! − 𝑟𝑆! = 𝑈! − 𝑈!!! Hasilnya adalah 𝑆! − 𝑟𝑆! = 𝑈! − 𝑈!!!1− 𝑟 𝑆! = 𝑈! − 𝑈1𝑟 𝑛+1 −1
1− 𝑟 𝑆! = 𝑈! − 𝑈1𝑟𝑛
1− 𝑟 𝑆! = 𝑈! 1− 𝑟𝑛
𝑆! = !! !!𝑟𝑛
!!!
Jumlah 𝑛 suku pertama deret geometri dengan rasio 𝑟 adalah
𝑆! =𝑈! 1− 𝑟𝑛
1− 𝑟
c. Sisipan Pada Barisan dan Deret Geometri
Sisipan adalah penambahan sejumlah 𝑘 suku baru diantara dua suku yang berdekatan Pada sisipan suku awal dan suku akhir tetap sama yang berubah adalah rasio. Misalkan antara 𝑈! dan 𝑈!!! disisipkan 𝑘 buah suku baru dengan rasio awal adalah 𝑟 dan rasio baru adalah 𝑟′ Sebelum disisipkan Sesudah disisipkan 𝑈!!! = 𝑈!𝑟
𝑈!!!!! = 𝑈!𝑟′ !!!!! !!
𝑈!!!!! = 𝑈!𝑟′!!!!!!!
𝑈!!!!! = 𝑈!𝑟′!!!!!!!
𝑈!!!!! = 𝑈!𝑟′!!!
Karena pada sisipan suku awal dan suku akhir tetap sama maka 𝑈!!! = 𝑈!!!!!𝑈!𝑟 = 𝑈!𝑟′!!!!!!!𝑟 = 𝑟′!!!
𝑟 = 𝑟′!!!𝑟!!! = 𝑟′
Jika antara dua suku yang berdekatan dari barisan geometri yang rasionya 𝑟 disisipkan 𝑘 buah suku baru maka rasio yang baru adalah
𝑟! = 𝑟!!!
Top Related