Electrostatics Note
1
3-2 Electrostatics in Free Space
ในท�น� จะศกษาเก�ยวกบสนามไฟฟาในปรภมเสร (Free Space) ท�ม Permittivity เทากบ ε0 หรอประมาณ
(1/36π)×10-9 = 8.854×10-12 (F/m) เร�มตน Electric Field Intensity (ความเขมสนามไฟฟา) ไดรบการกาหนดนยามใหเปนแรงตอหนวยประจไฟฟา ซ�งประจไฟฟาทดสอบขนาดเลกท�หยดน�ง (very small stationary test charge) ไดรบในกรณถกวางในบรเวณท�มสนามไฟฟา กลาวคอ
FE
0lim→
= (V/m) (3-1)
E แปรผนตรงตามแรงและมทศทางเดยวกบแรง และสงเกตวา หนวย Newton/Coulomb = V/m จาก (3-2) แรงท�กระทาตอประจไฟฟาหยดน�งในสนามไฟฟาเทากบ
EF q= (N) (3-2) สมการพ�นฐานสาหรบ Electrostatics ใน Free space กาหนด divergence และ curl ของ Electric Field Intensity ไว ดงน�
0ερv=⋅∇ E (3-3) และ 0E =×∇ (3-4)
โดย ρv แสดงความหนาแนนของประจไฟฟา (Volume charge density) และมหนวยเปน (C/m3) โดยนยามของ ρv คอ
v
q
vv ∆
∆=
→∆ 0limρ (C/m3)
เง�อนไข (3-4) ระบใหสนามไฟฟาเปน irrotational และเง�อนไข (3-3) ทาใหสนามไฟฟาไมเปน solenoidal (ยกเวน ρv เทากบ 0) เง�อนไขท�งสองน� เปนสมการพ�นฐานท�แสดง Electrostatics และใชในการหาทฤษฎ กฎ และความสมพนธตางๆใน Electrostatics อน�ง (3-3),(3-4) อยในรป differential form เม�อทาการหา volume integral ของท�งสองขางของ (3-3) ดานขวามอ (Right-hand side; RHS) จะเทากบ
00 εερ Q
dvV
v =∫
โดย Q แสดงประจรวมในปรมาตร V และเม�อใช Divergence Theorem ดานซายมอ (Left-hand side; LHS) จะเทากบ
∫∫ ⋅=⋅∇SV
ddv sEE
ดงน�น จะได
0εQ
dS
=⋅∫ sE (Gauss’s law) (3-6)
ในทานองเดยวกน เม�อทาการหา Surface integral ของท�งสองขางของ (3-4) และใช Stokes’ Theorem RHS จะเทากบ
∫∫ ⋅=⋅×∇CS
dd lEsE
ดงน�น จะได
0=⋅∫C dlE (3-7)
Electrostatics Note
2
ซ�งหมายถง “the scalar line integral of the static electric field intensity around any closed path vanishes” (3-6),(3-7) เรยกวา integral form ของ (3-3),(3-4) อน�ง สงเกตวา แรงดนไฟฟาไดจากการ integrate สนามไฟฟา
∫ ⋅=C
dV lE (V)
ดงน�น (3-7) จงหมายถง Kirchhoff’s voltage law : the algebraic sum of voltage drops around any closed circuit is zero
3-3 Coulomb’s Law เม�อพจารณาประจไฟฟาจด (point charge) q ใน Free space ท�ไรขอบเขต (boundless) เม�อเราวาดทรงกลมท�มจดศนยกลางอยตาแหนงเดยวกบ q เน�องจาก point charge ไมมทศทางเจาะจง ทาใหสนามไฟฟาท�เกดจาก point charge บนทรงกลมมขนาดเทากน และมทศทางพงออกจากทรงกลม (ทศทาง r) เม�อใช (3-6) กบรปท� 1 (a) จะได
0
ˆ)ˆ(εq
dsrErdS
rS
=⋅=⋅ ∫∫ sE หรอ 0
24ε
πq
rEdsE rS
r ==∫
ดงน�น
2
04ˆˆ
r
qrEr r πε
==E (V/m) (3-8)
รปท� 1 (3-8) ทาใหรวา the electric field intensity of a point charge is in the outward radial direction and has a magnitude proportional to the charge and inversely proportional to the square of the distance from the charge กรณท� point charge ไมไดอยท�จดกาเนด ดงแสดงในรปท� 1 (b) เม�อกาหนด vector ดงรป จะไดสนามไฟฟาท�จด P ดงน�
2
0 |'|4ˆ
rrE
−=
πεq
aqPP
แตเน�องจาก |'|
'ˆ
rr
rr
−−
=qPa
3
0 |'|4
)'(
rr
rrE
−−
=πεq
P (V/m) (3-11)
Example 3-1 Determine the electric field intensity at P(-0.2,0,-2.3) due to a point charge of +5 (nC) at Q(0.2,0.1,-2.5) in air. All dimensions are in meters.
Electrostatics Note
3
เม�อ point charge q2 ถกวางในสนามไฟฟาท�เกดจาก point charge q1 จะทาใหเกดแรงกระทาตอ q2 เทากบ
2
120
211212212
4ˆ
R
qqaq
πε== EF (N) ; |||| 121212 rrR −==R (3-13)
(3-13) เปนสมการคณตศาสตรแสดง Coulomb’s law : the force between two point charges is proportional to the product of the charges and inversely proportional to the square of the distance of separation.
Example 3-2 The electrostatic deflection system of a cathode-ray oscillograph is depicted in the right figure. Electrons from a heated cathode are given an initial velocity v0=zv0 by a positively charged anode. The electrons enter at z=0 into a region of deflection
plates where a uniform electric field Ed=-yEd is maintained over a width w. Ignoring gravitational effects, find the vertical deflection of the electrons on the fluorescent screen at z=L. 3-3.1 Electric field due to a system of discrete charges
สมมตวา สนามไฟฟาถกสรางข�นจาก point charge จานวน n ประจ q1, q2, …, qn ท�อยในตาแหนงตางกน เน�องจากความเขมสนามไฟฟาเปน linear function ของ rq/r2 จงสามารถใช principle of superposition ได กลาวคอ สนามไฟฟารวมจะไดจากผลรวม vector ของสนามไฟฟาท�เกดจากประจแตละอน จาก (3-13) จะได
3
0
2
3
20
22
3
10
11
||4
)(
||4
)(
||4
)(
n
nqqq
rr
rr
rr
rr
rr
rrE
′−
′−++
′−
′−+
′−
′−=
πεπεπεL หรอ
∑= ′−
′−=
n
k k
kkq
13
0 ||
)(
4
1
rr
rrE
πε (V/m) (3-14)
3-3.2 Electric field due to a continuous distribution charges
สนามไฟฟาถกสรางข�นจากประจท�ตอเน�องกนดงแสดงในรปขวามอ สามารถหาไดจากการ integrate สนามไฟฟาท�เกดจากสวนยอยของประจตอเน�องน�น ถากาหนดให ρv แทน volume charge density (C/m3) แลว สนามไฟฟาท�เกดจาก qdv’ จะเทากบ
2
04
'ˆ
R
dvad v
R περ
=E
Electrostatics Note
4
ดงน�น
∫∫∫ ===' 3
0' 2
0'
'4
1'ˆ
4
1
Vv
V
vR
Vdv
RR
dvad ρ
περ
πεR
EE (V/m) ; R
aR
R=ˆ (3-16)
กรณท�เปนประจตอเน�องบนพ�นผวท�ม surface charge density ρs (C/m2) (3-16) จะเปล�ยนเปน
∫=' 2
0
'ˆ
4
1
S
sR
R
dsa
ρπε
E (V/m) (3-17)
กรณท�เปนประจตอเน�องบนเสนท�ม line charge density ρl (C/m) (3-16) จะเปล�ยนเปน
∫=' 2
0
'ˆ
4
1
L
lR
R
dla
ρπε
E (V/m) (3-18)
Example 3-3 Determine the electric field of an infinitely long, straight, line charge of uniform density ρl (C/m) in air
3-4 Gauss’s Law and Applications
Gauss’s law อยในรป integral form ท�หาไดโดยตรงจาก (3-3) ซ�งเปนเง�อนไข divergence ในรป differential form
ของ Electrostatics กลาวคอ 0ε
Qd
S=⋅∫ sE (3-6)
Gauss’s law : the total outward flux of the E-field over any closed surface in free space is equal to the total charge enclosed in the surface divided by ε0 โดยพ�นผว S อาจเปนส�งสมมตข�น (hypothetical) หรอเปนทางคณตศาสตร (mathematical) ท�เลอกตามความสะดวก และไมจาเปนตองเปนอนเดยวกบพ�นผวทางกายภาพ (physical surface) Gauss’s law เหมาะกบปญหาท�สนามไฟฟามลกษณะสมมาตร อนสงผลให normal component ของสนามไฟฟาบนพ�นผว (ท�เลอกใหเปน Gaussian Surface) เปนคาคงท� เพ�อใหสามารถทาการ integrate ดานซายมอของสมการได Example 3-4 Use Gauss’s law for Example 3-3
Electrostatics Note
5
Example 3-5 Determine the electric field intensity due to an infinite planar charge with a uniform surface charge density ρs.
Example 3-6 Determine the E field due to a spherical cloud of electrons with a volume charge density ρ0 inside and 0 outside.
3-5 Electric Potential
เน�องจาก ( ) 0≡∇×∇ V และ 0E =×∇ ใน Electrostatics จงสามารถกาหนดให E เทากบ V−∇=E (3-26)
โดย V มช�อเรยกวา Electric Potential และเปน Scalar เน�องจากเม�อกาหนดให W เปนงาน (Work) สาหรบเคล�อนประจ q จากจด P1 ไปยงจด P2 จะได
∫ ⋅−=2
1
P
Pd
q
WlE (J/C หรอ V) (3-27)
ดงน�น Electric potential จงหมายถง work done in carrying a charge from one point to another in the presence of E ซ�งไมข�นกบ integration path จากจด P1 ถงจด P2 เน�องจาก E เปน conservative field ความแตกตางระหวาง potential ท�จด 2 จด เปรยบไดกบเปนพลงงานศกยในกลศาสตร กลาวคอ potential difference (Electrostatic voltage) หมายถง ความแตกตางระหวางพลงงานศกยท�จด 2 จดตอหนวยประจ หรอ
∫ ⋅−=−2
112
P
PdVV lE (V) (3-28)
ใหสงเกตวา 12
2
1
2
1
2
1
ˆ VVdVdlVdP
P
P
Pl
P
P−==⋅∇=⋅− ∫∫∫ alE
และ P1 เปรยบเสมอนเปน reference point ขอสงเกตเก�ยวกบ Electric Potential 1. เน�องจากเคร�องหมายลบ ทศทางของ E จะตรงขามกบทศทางการเพ�มข�นของ V 2. ทศทางของ V∇ ต�งฉากกบ surfaces of constant V ดงน�น E ต�งฉากกบ equipotential lines หรอ equipotential surfaces
Electrostatics Note
6
3-5.1 Electric Potential due to a charge distribution
เม�อกาหนดให infinity เปน reference point Electric potential จาก point charge เทากบ
R
qdr
r
qV
R
0
2
0 4ˆ
4ˆ
πεπε=⋅−= ∫∞ rr (V) (3-29)
ดงน�น Electric potential ระหวางจด 2 จดเทากบ
−=−=
120
21
11
412 RR
qVVV PP πε
(3-30)
กรณท�ม point charge จานวน n ประจ q1, q2, …, qn ในตาแหนงตางกน
∑= ′−
=n
k k
kqV
10 ||4
1
rrπε (V) (3-31)
กรณท�เปนประจตอเน�อง V เทากบ
∫='
0
'
4
1
V
v
R
dvV
ρπε
(V/m) (volume charge) (3-38)
∫='
0
'
4
1
S
s
R
dsV
ρπε
(V) (surface charge) (3-39)
∫='
0
'
4
1
L
l
R
dlV
ρπε
(V) (line charge) (3-40)
Example 3-7 Electric potential due to an electric dipole consisting of charges +q and –q with a small separation of d
Example 3-8 Obtain a formula for the electric field intensity on the axis of a circular disk of radius b that carries a uniform surface charge density ρs.
3-6 Material Media in Static Electric Field
วสดทางไฟฟาท�ใชกนอยในปจจบนสามารถจาแนกไดตามคณสมบตการนาไฟฟาได 3 ประเภทใหญๆคอ ตวนาไฟฟา ฉนวนหรอไดอเลกทรกส และสารก�งตวนา เม�อพจารณาจาก Energy band อนไดมาจากทฤษฎทาง Solid State Physics จะไดดงรปท� 1
Electrostatics Note
7
รปท� 1 Energy band structure 3-6.1 Conductors in Static Electric Field เม�อนาประจไฟฟาเขาในตวนาไฟฟา จะเกดสนามไฟฟา ซ�งสงผลใหเกดแรงทาใหประจไฟฟาเคล�อนท�แยกจากกน การเคล�อนท�น� จะเปนไปอยางตอเน�องจนประจท�งหมดไปอยท�พ�นผวของตวนาไฟฟา เปนผลใหประจและสนามไฟฟาภายในตวนาไฟฟาเปน 0 กลาวคอ
0E =
= 0vρ
ท�งน� เน�องจากไมมประจอสระ (free charge) อยในตวนาไฟฟา 0=vρ และเม�อประยกตใช Gauss’ Law จะทาใหไดเง�อนไข 0E = เม�อพจารณาขอบเขตระหวางตวนาไฟฟากบอากาศ ดงแสดงในรปท� 2
รปท� 2 ขอบเขตระหวางตวนาไฟฟากบอากาศ
ถาทาการหาปรพนธตามเสนทาง abcda แลวทาการกาหนดให 0→∆h จะได
0
or0lim0
=
=∆=⋅∫→∆
t
tabcdah
E
wEdlE
กลาวคอ Tangential component ของ E เทากบ 0 ทาใหพ�นผวของตวนาไฟฟาเปน Equipotential Surface ตอมา ถาทาการหาปรพนธบนพ�นผวในรป จะได
00
orερ
ερ s
n
s
nS
ESSEd =∆=∆=⋅∫ sE
ตวอยาง 3-9 กาหนดใหมประจชนดจดขนาด Q อยท�จดศนยกลางของ conducting shell ดงแสดงตามรป 3(a) จงหา V และ E ใหอยในรปฟงกชนของ r
Electrostatics Note
8
รปท� 3 ตวอยาง 3-9 3-6.2 Dielectrics in Static Electric Field วสดท�งหมดประกอบดวยอะตอมท�มจานวนปะจไฟฟาบวกอยตรงกลาง และลอมรอบดวยประจไฟฟาลบในจานวนท�เทาน�น ดงน�น ในสภาพท�ปราศจากสนามไฟฟา ประจจะอยในสถานะเปนกลาง (macroscopically neutral) เม�อมสนามไฟฟา จะเกดการเคล�อนท�ของประจไปตามแรงไฟฟา (qE) สงผลใหเกดเปน electric dipole moment ตามรป 4(b) (เรยกวา polarization) วสดเหลาน�จะเรยกวา nonpolar แตในวสดบางอยาง จะเกด dipole moment ถงแมจะไมมสนามไฟฟา เน�องจากโครงสรางของวสด ยกตวอยางเชน น� า จะเรยกวาเปนแบบ polar และประกอบดวย polar molecule ซ�งม permanent dipole moment ดงแสดงในรปท� 5 แตในสภาพท�ปราศจากสนามไฟฟา ทศทางของ dipole จะกระจดกระจาย สงผลใหเสมอนกบ dipole moment รวมเปน 0 (macroscopically) เม�อมสนามไฟฟา dipole จะเรยงตามทศทางของสนามไฟฟา ดงแสดงในรปท� 5 (b) สงผลให dipole moment รวมไมเปน 0 ดงแสดงในรปท� 6
รปท� 4 ประจใน dielectrics
รปท� 5 Polar molecule รปท� 6 ภายใน dielectric medium
Electrostatics Note
9
เม�อกาหนดนยามของ polarization vector P ดงน�
)(C/mlim 21
0 v
vN
k
k
v ∆=
∑∆
=
→∆
p
P
โดยให N แสดงจานวนของโมเลกลตอหนวยปรมาตร เวกเตอร P จะแสดง volume density of electric dipole moment ถากาหนดให dipole moment ตอหนวยปรมาตร dp = Pdv’ จะหา electric potential ท�เกดจาก dipole moment น�ไดจาก
'4
ˆ
2
0
dvR
dVπε
RP ⋅=
ดงน�น จะได potential ท�เกดจาก P เปน
∫⋅
=' 2
0
'ˆ
4
1
Vdv
RV
RP
πε
ในการศกษาผลของ polarization vector มการกาหนดนยามของส�งตอไปน� 1. Equivalent polarization surface charge density
nps aP ˆ⋅=ρ (C/m2)
2. Equivalent polarization volume charge density เน�องจาก
( ) ∫∫∫ =⋅∇−=⋅−=V
pvVS
n dvdvdsQ ρPaP ˆ
ดงน�น สามารถกาหนดนยามของ polarization volume charge density ดงน� P⋅−∇=pvρ (C/m3)
สงเกตวา ประจรวมภายในตว dielectric จะเทากบ ( ) 0ˆcharge total =⋅∇−⋅=+= ∫∫∫∫ VS
nV
pvS
ps dvdsdvds PaPρρ
สามารถหา potential จาก pvps ρρ , ไดโดยใชวธเดยวกบการหา potential จากประจท�วไป
ตวอยาง 3-10 กาหนดให polarization vector P เทากบ 0ˆPxP = ของไดอเลกทรกสทรงกลมรศม R0 จงหา
pvps ρρ , และประจรวมบนพ�นผวและในปรมาตรของไดอเลกทรกส
3-7 Electric Flux Density and Dielectric Constant
ในไดอเลกทรกส
( )pvv ρρ
ε+=⋅∇
0
1E
แตเน�องจาก P⋅−∇=pvρ
( ) vρε =+⋅∇ PE0 ในท�น� สามารถกาหนดนยามของ Electric Flux Density (หรอ electric displacement) D ใหเปน
Electrostatics Note
10
PED += 0ε (C/m2) ดงน�น จะได
vρ=⋅∇ D และเม�อประยกตใช Divergence Theorem จะได
QdvddvV
vV
==⋅=⋅∇ ∫∫∫ ρS
sDD
ดงน�น
Qd =⋅∫S sD (C)
ในกรณท�เปนวสดแบบ linear และ isotropic สามารถแสดง P ใหอยในรปของ E ไดดงน� EP eχε 0=
โดย eχ มช�อเรยกวา electric susceptibility และไมมหนวย (dimensionless) ในกรณน� สามารถแสดง D ดงน� ( ) EEED εεεχε ==+= re 00 1 (C/m2)
โดย
0
1εε
χε =+= er
มช�อเรยกวา relative permittivity หรอ dielectric constant และไมมหนวย โดยท�วไป สามารถจาแนกประเภทของไดอเลกทรกสไดดงน�
Linear : dielectric constant doesn’t change with applied electric field ↔ non-linear
Isotropic: dielectric constant doesn’t change with direction ↔ anisotropic
Homogeneous: dielectric constant doesn’t change from point to point ↔ inhomogeneous
3-7.1 Dielectric Strength เม�อสนามไฟฟาสงมาก จะสามารถทาใหเกด free charge และ Dielectric จะสามารถนาไฟฟาได ซ�งเรยกวา เกดการ breakdown ความเขมของสนามไฟฟาสงสดท� dielectric สามารถทนได เรยกวา dielectric strength (คลาย strength of material)
ตวอยาง 3-11 กาหนดใหทรงกลมสองลกเช�อมตอกนโดยมประจดงแสดงในรปท� 7 ถากาหนดให b1 < b2 และระยะหางระหวางทรงกลมท�งสองยาวกวารศมเปนอยางมาก จนทาใหประจบนพ�นผวทรงกลมกระจายแบบ uniform distribution จงหาประจบนทรงกลม และ E บนพ�นผวทรงกลม
รปท� 7 ตวอยาง 3-11
Electrostatics Note
11
ตวอยาง 3-9* กาหนดใหมประจชนดจดขนาด Q อยท�จดศนยกลางของ dielectric shell ซ�งม dielectric constant เทากบ εr ดงแสดงตามรป 8(a) จงหา V,E,D,P ใหอยในรปฟงกชนของ r
รปท� 8 ตวอยาง 3-9*
3-8 Boundary Conditions for Electrostatic Fields
รปท� 9 ขอบเขตระหวางวสดสองอยาง
พจารณาขอบเขตของวสดสองอยางดงแสดงในรปท� 9 ถาทาการหาปรพนธตามเสนทาง abcda แลวทาการกาหนดให 0→∆h
จะได
tt
abcdah
EE
EEd
21
210
or0)(lim
=
=∆−+∆=⋅∫→∆wwlE
กลาวคอ Tangential component ของ E ตอเน�องกนท�ขอบเขต ถากาหนดให permittivity ของวสด 1 และ 2 เทากบ ε1 และ ε2 ตามลาดบ จะได
2
2
1
1
εεtt DD
=
Electrostatics Note
12
ตอมา ถาทาการหาปรพนธบนพ�นผวในรป จะได
( ) ( ) SSSd snnnS
∆=∆−⋅=∆⋅+⋅=⋅∫ ρ1222211ˆˆˆ DDaaDaDsD
ดงน�น ( ) snnsn DD ρρ =−=−⋅ 21122 orˆ DDa (C/m2)
ตวอยาง 3-13 แผน Lucite ถกนาเขาในสนามไฟฟา 0ˆExE = ดงแสดงในรปท� 10 จงหา Ei,Di,Pi ใน Lucite
รปท� 10 ตวอยาง 3-13
ตวอยาง 3-14 ขอบเขตของไดอเลกทรกส 2 ชนดท�ม Dielectric constant เทากบ ε1, ε2 ตามลาดบ ถากาหนดใหขนาดของ E ท�จด P1 ในวสด 1 เทากบ E1 และทศทางดงแสดงในรป จงหาขนาดและทศทางของ E2 ท�จด P2
รปท� 11 ตวอยาง 3-14 3-9 CAPACITANCES AND CAPACITORS
ตวนาไฟฟาใน electrostatics เปน equipotential body และประจจะกระจายบนพ�นผวในลกษณะท�ทาใหสนามไฟฟาภายในเปน 0 ถากาหนดให potential ท�ไดจากประจ Q เทากบ V การเพ�ม V ทาใหประจเพ�มข�นตามไปดวย กลาวคอ อตราสวน Q/V เปนคาคงท� ซ�งอาจเหนไดจาก
∫ ∫−=⋅−= dndV s
0ερ
lE และ ∫ ∫−=⋅−= dnk
dkkV s
0ερ
lE
กลาวคอ ประจรวมจะเพ�มข�น k เทาเชนกน โดยท�วไป อตราสวน Q/V จะถกแสดงดวย Capacitance และใชสญลกษณแทนดวย C มหนวยเปน Farad (หรอ C/V)
CVQ = ส�งท�ประยกตใช Capacitance ไดแก ตวเกบประจไฟฟา (Capacitor, Condenser) ดงตวอยางในรปท� 1
Electrostatics Note
13
รปท� 1 A two-conductor capacitor
ในกรณน� ตวเกบประจไฟฟาประกอบดวยตวนาไฟฟา 2 อนท�แยกจากกนดวย free space หรอวสด dielectric เม�อมแหลงจายแรงดนไฟฟาระหวางตวนาไฟฟาท�งสอง จะเกด +Q ท�ดานหน�ง และ –Q อกดานหน�ง จะสงเกตไดวา field line จะต�งฉากกบพ�นผวตวนาไฟฟา ซ�งเปน equipotential surface ในท�น� ถากาหนดใหแรงดนไฟฟาเทากบ V12 Capacitance จะสามารถแสดงไดดวย
12V
QC = (F)
ตวอยาง 3-15 parallel-plate capacitor ท�ประกอบดวยแผนตวนาไฟฟา 2 แผนท�มพ�นท� S และแยกจากกนดวยวสดท�ม dielectric constant ε ดงแสดงในรปท� 2
รปท� 2 ตวอยาง 3-15 ตวอยาง 3-16 A cylindrical capacitor
รปท� 3 ตวอยาง 3-16 ตวอยาง 3-16* A spherical capacitor
รปท� 4 ตวอยาง 3-16*
3-10 ELECTROSTATIC ENERGY AND FORCES
Electric potential ท�จดหน�ง หมายถง งานท�จาเปนสาหรบการนาประจบวกขนาดหน�งหนวยจากตาแหนงอนนต (reference point) มายงจดน�น ในการนาประจ Q2 จากตาแหนงอนนตตานสนามไฟฟาท�เกดจากประจ Q1 ใน free space ไปท�ระยะ R12 จะตองใชงานเทากบ
Electrostatics Note
14
11
120
21
120
12222
44VQ
R
R
QQVQW ====
πεπε
เน�องจาก E ใน Electrostatics เปนสนาม Conservative ทาให W2 ไมข�นกบเสนทาง (Path-independent) ใหสงเกต
วา หนวยของงาน J = (C)(V) = (C)(J/C) งานขางตนน�จะถกเกบในประจท�งสองในรป Potential energy กลาวคอ
( )221122
1VQVQW +=
ในท�น� ถามประจ Q
3 ถกเขาจากตาแหนงอนนตไปท�ตาแหนง R13,R23 จาก Q1,Q2 งานท�เพ�มข�นจะเทากบ
+==∆
230
2
130
1333
44 R
Q
R
QQVQW
πεπε ผลรวมของ ∆W กบ W
2 จะเปน Potential energy ซ�งจะถกเกบท�ประจท�งสาม กลาวคอ
( )332211
230
2
130
13
230
3
120
12
130
3
120
21
23
32
13
31
12
21
0
23
2
1
4444442
1
4
1
VQVQVQ
R
Q
R
R
Q
R
R
Q
R
R
R
R
QQWWW
++=
++
++
+=
++=∆+=
πεπεπεπεπεπε
πε
ใหสงเกตวา V1 ในสมการขางตนเปน potential ท� Q1 ท�เกดจาก Q
1, Q
2 ในกรณท�ประกอบดวย N ประจไมตอเน�อง
potential energy (หรอ Electrostatic Energy) จะเทากบ
J)(2
1
1
∑=
=N
k
kke VQW
สาหรบประจตอเน�อง potential energy สามารถแสดงไดดวย
J)('2
1
'∫=V
ve VdvW ρ
เน�องจากหนวย Joule ใหญเกนไปสาหรบท�จะเปนหนวยของงานทางไฟฟา จงนยมใชหนวย electron-volt (eV)
ซ�งเทากบงานท�จาเปนสาหรบเคล�อนท�อเลกตรอนตานความตางศกย 1 (V) กลาวคอ
J)(1060.1 (eV)1 19−×= ตวอยาง 3-17 หาพลงงานท�จาเปนตอการสรางประจทรงกลมท�มรศม b และมความหนาแนน ρv
รปท� 5 ตวอยาง 3-17 3-10.1 Electrostatic Energy in Terms of Field Quantities
เน�องจาก vρ=⋅∇ D , ∫ ⋅∇='
')(2
1
Ve VdvW D
เม�อใช ( ) VVV ∇+⋅∇=⋅∇ DDD จะได
Electrostatics Note
15
∫∫∫∫ ⋅+⋅=∇−⋅∇=''''
'2
1'
2
1'
2
1')(
2
1
VSVVe dvdVVdvdvVW EDsDDD
เน�องจากโดยท�วไป D แปรผนตาม 1/r2 และ V แปรผนตาม 1/r เปนอยางนอย ดงน�น เม�อกาหนดให V’ เปนทรงกลมรศม r→∞ พจนแรกของ RHS จะเปน 0 ดงน�น
(J)'2
1
'∫ ⋅=V
e dvW ED
ในกรณท�เปน linear, isotropic medium
(J)'2
1
'
2∫=V
e dvEW ε
ในท�น� สามารถกาหนดนยามของ electrostatic energy density we ไดดงน�
∫=='
32 '2
1;)(J/m
Veee dvwWEw ε
ตวอยาง 3-18 A parallel-plate capacitor
รปท� 6 ตวอยาง 3-18 ตวอยาง 3-19 A cylindrical capacitor (รปท� 3) 3-10.2 Electrostatic Forces
Coulomb’s law : the force between two point charges Principle of Virtual Displacement : calculate the force on an object in a charged system from the electrostatic energy of the system
lF ddW Q ⋅=
โดย dW แสดง mechanical work สาหรบเคล�อนท�ไป dl และ FQ แสดง total electric force เน�องจากไมมพลงงานอ�นในระบบ mechanical work ตองเทากบ electrostatic energy ท�เปล�ยนไป กลาวคอ
lF ddWdW Qe ⋅=−=
เน�องจาก ldWdW ee ⋅∇= )(
(N)eQ W−∇=F
ตวอยาง 3-20 the force on conducting plates of a parallel-plate capacitor 3-11 SOLUTION OF ELECTROSTATIC BOUNDARY-VALUE PROBLEMS
ท�ผานมา ไดศกษาเก�ยวกบกรณท�ร charge distribution แลวหา E, D, V, etc. แตในปญหาท�วไป อาจไมสามารถร charge distribution ได จงตองแกปญหาโดยการกาหนดเง�อนไขขอบเขต แลวหาคาตอบท�ไดตามเง�อนไขดงกลาว วธน� เรยกวา วธ Boundary-value problem ซ�งเทากบ differential equation + boundary conditions
Electrostatics Note
16
3-11.1 Poisson’s and Laplace’s Equations
ใน Electrostatics, จะมความสมพนธดงตอไปน� Vv −∇==×∇=⋅∇ E0ED ;;ρ
ใน linear, isotropic medium, เน�องจาก ED ε= , ดงน�น
vV ρεε =∇−⋅∇=⋅∇=⋅∇ )()( ED
เพราะฉะน�น จะได Poisson’s equation และ Laplace’s equation (กรณท� ρv เทากบ 0) ดงตอไปน�
ερ vVsPoisson −=∇ 2:)'( ; 0:)'(
2 =∇ VsLaplace
โดย ∇2(del square) มช�อเรยกวา Laplacian operator 3-11.1* Uniqueness Theorem
Uniqueness theorem เปนส�งท�กาหนดวา มเพยงคาตอบเดยวจากการแก Poisson’s equation หรอ Laplace’s equation พสจน กาหนดให S1, S2, …, Sn เปนพ�นผวรอบตวนาไฟฟา และ S0 เปนพ�นผวรอบปรมาตร V ดงแสดงในรปท� 7
รปท� 7 proof of Uniqueness theorem
สมมตวามคาตอบเกน 1 คาตอบ โดยกาหนดใหเปน V1 และ V2 ซ�งคาตอบท�งสองจะตองเปนคาตอบของ Poisson’s equation ในปรมาตร V
ερ
ερ vv VV −=∇−=∇ 2
2
1
2 ;
และไดตามเง�อนไขขอบเขต กลาวคอ V1, V2 ตองเปนไปตามเง�อนไขขอบเขตท� S1, S2, …, Sn และ S0 ในท�น� ถากาหนดให Vd= V1-V2 จะได
nSSdV
d VV,,in in
2
1
0;0K
==∇
เม�อใช ( ) fff ∇+⋅∇=⋅∇ AAA และกาหนดให f=Vd, A= ∇Vd จะได
( ) 222)()()( dddddddddd VVVVVVVVVV ∇=∇+∇=∇⋅∇+∇⋅∇=∇⋅∇
ทาการหาปรพนธของท�งสองขางของสมการขางตน จะได
( ) ( )∫ ∫∫ ∇=⋅∇=∇⋅∇S V
dddV
dd dvVdVVdvVV2
s
เน�องจาก Vd เทากบ 0 บน S1, S2, …, Sn และบน S0
22 ;/1;/1; rdsrVrVr dd ∝∝∇∝∞→ ดงน�น ปรพนธท�ไดจะตองเปน 0 สงผลให |∇Vd|
2 ตองเปน 0 และเน�องจาก Gradient เปน 0 ทาให Vd ตองเทากบ
Vd บน S1, S2, …, Sn กลาวคอ ตองเทากบ 0 เชนกน ดงน�น V1=V2 และสรปไดวา มไดเพยงคาตอบเดยว ตวอยาง 3-21 parallel conducting plates separated by d with ρ
v=- ρ
0y/d
รปท� 8 ตวอยาง 3-21 ตวอยาง 3-22 Two infinite insulated conducting plates maintained at potentials 0 and V0 (รปท� 9) จงหา potential distribution บรเวณ 0<φ <α และ α <φ<2π
Electrostatics Note
17
รปท� 9 ตวอยาง 3-22 ตวอยาง 3-23
รปท� 10 ตวอยาง 3-23 ตวอยาง 3-16** A spherical capacitor
รปท� 11 ตวอยาง 3-16** 3-11.5 Method of Images
วธน� เปนการแทนท�เง�อนไขขอบเขตดวย Images ท�เหมาะสม เพ�อทาใหงายตอการแกปญหา โดยไมตองทาการแก Poisson’s equation หรอ Laplace’s equation ตวอยาง 3-24 Point Charges Near Conducting Planes ดงแสดงในรป (a)
(a) Physical arrangement
(b) Image charge and field lines รปท� 12 ตวอยาง 3-24
เน�องจากรคาตอบกรณท�ไมม Grounded plane conductor ในท�น� จงพยายามหาคาตอบโดยแทนท� conductor ดวย image charge ท�เหมาะสม ในท�น� จะแทนท�ดวยประจ –Q ท� (0,-d,0) ซ�งจะได
<
≥
+++−
+−+=
−=
−+
00
0)(
1
)(
1
4
11
4),,(
2222220
0
y
yzdyxzdyx
Q
RR
QzyxV
πε
πε
สงเกตวา
จะไดตามเง�อนไข V=0 ท� y=0 E ท� y≥0 จะหาไดจาก
[ ] [ ]
+++
+++−
+−+
+−+=−∇=
2/32222/32220 )(
ˆ)(ˆˆ
)(
ˆ)(ˆˆ
4 zdyx
zdyx
zdyx
zdyxQV
zyxzyxE
πε
Electrostatics Note
18
ดงน�น ( ) 2/322200
2 zdx
QdE
yys
++−==
= περ
Line charge near a parallel conducting cylinder
พจารณาปญหาในรป (a) ในการใช Method of Images ใหสงเกตวา (a) Image ควรจะอยในทรงกระบอก เพ�อทาใหระนาบ r=a เปน equipotential surface (b) Image ควรจะอยบนเสน OP ในท�น� ส�งท�ตองหาคอ ρi,di (ขนาดประจและจด Pi) ในข�นตอนแรกใหกาหนดคา
lρρ −=i จากน�น ทาการหาคา potential จากประจชนดเสน จะ
ได
r
rdr
rdrEV
r
r
r
rr
0
00
ln2
1
2 00 περ
περ
ll ∫∫ =−=−=
ดงน�น potential ท�จด M จะเทากบ potential จากประจชนดเสนท�งสอง กลาวคอ
r
r
r
r
r
rV i
i
M ln2
ln2
ln2 0
0
0
0
0 περ
περ
περ
lll =−=
เพ�อใหระนาบ r=a เปน equipotential surface, ri/r เปนคาคงท� และ ∆OMPi คลายกบ ∆OPM ทาใหได ∠
OMPi=∠ OPM ดงน�น
constantor; =====d
a
a
d
r
r
OP
OM
OM
OP
PM
MP iiii
เพราะฉะน�น di=a
2/d จด Pi มช�อเรยกวา inverse point of P with respect to a circle of radius a ตวอยาง 3-25 Capacitance per unit length between two long parallel circular conducting wires of radius a
Top Related