2ELE030 – Circuitos Elétricos I – Prof. Ernesto – Gabarito da 1ª prova – 18/04/2013 – Pág. 1
OBS: Prova sem consulta; Permitido uso de calculadora; Respostas sem os cálculos ou justificativas serão desconsideradas.
Questão 1: Para o circuito ao lado, encontre as três correntes de malha j1, j2 e j3 [3,6 pontos]. Em seguida, encontre as correntes (mostre o sentido) em todos os bipolos do circuito [1,6 pontos].
Questão 2: No circuito ao lado, formule as matrizes do método de nós. [1,2 pontos]
Use a forma CBA ====⋅⋅⋅⋅ , onde:
A = matriz dos coeficientes;
C = vetor das fontes;
B = vetor das variáveis = [e1 e2 e3]T.
Questão 3: No circuito ao lado, use as leis de Kirchoff e as definições para calcular em relação à carga de 25Ω:
(a) a tensão de Thévenin Vth; [1,2 pontos] (b) a corrente de Norton In. [1,2 pontos]
Use os resultados encontrados anteriormente e as leis de Kirchoff para encontrar a potência fornecida pela fonte controlada. [1,2 pontos]
Consultas para a prova
+-
VTH
RTH
IN RTH
A A
B B
(a) Thévenin (b) Norton
Definições:
VTH = VAB (aberto)
RTH = RAB (aberto com fontes nulas)
IN = IAB (curto)
Propriedade: VTH = RTH ⋅ IN
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Questão 1:
Na malha 1:
j1 = iX (por inspeção)
10 j1 + 5 (j1 - j3) + 15 (j1 - j2) = 0
30 j1 - 15 j2 - 5 j3 = 0
6 j1 - 3 j2 - j3 = 0
j3 = 6 j1 - 3 j2 [Eq. 1.1]
Na malha 2:
15 (j2 - j1) + 5 (j2 - j3) + 5 j2 = 40
- 15 j1 + 25 j2 - 5 j3 = 40
- 3 j1 + 5 j2 - j3 = 8
Usando a Eq. 1.1, teremos:
- 3 j1 + 5 j2 - 6 j1 + 3 j2 = 8
- 9 j1 + 8 j2 = 8 [Eq. 1.2]
Na malha 3:
5 (j3 - j2) + 5 (j3 - j1) + 2 j3 = - 15 iX
Como iX = j1, teremos:
12 j3 - 5 j2 - 5 j1 = - 15 j1
12 j3 - 5 j2 + 10 j1 = 0
Usando a Eq. 1.1, teremos:
12(6 j1 - 3 j2 ) - 5 j2 + 10 j1 = 0
82 j1 - 41 j2 = 0
j2 = 2 j1
Substituindo na Eq. 1.2, teremos:
- 9 j1 + 8 (2 j1 ) = 8
j1 = 8 / 7 = 1,1429 A
Disto:
j2 = 2 j1 = 16 / 7 = 2,2857 A
j3 = 6 j1 - 3 j2 = 0 A
Figura 1.1 – Correntes nos bipolos.
Relacionando as correntes nos bipolos (vide Figura
1.1) com as correntes de malha, teremos:
iX = j1 = 8 / 7 = 1,1429 A
i1 = j2 - j1 = 1,1429 A
i2 = j1 - j3 = 1,1429 A
i3 = j2 - j3 = 16 / 7 = 2,2857 A
i4 = j2 = 2,2857 A
i5 = - j3 = 0 A
Questão 2:
Usando as regras do método de nós:
• aii = soma das condutâncias ligadas ao nó i;
• aij = -(soma das condutâncias entre os nós i e j);
• ci1= (fontes de corrente que entram no nó i) -(fontes de
corrente que saem do nó i),
teremos:
====
⋅⋅⋅⋅
++++++++−−−−−−−−
−−−−++++++++−−−−
−−−−−−−−++++++++
0
15
0
3
2
1
111
71
21
71
21
71
71
51
31
51
21
51
51
21
11
e
e
e
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Questão 3:
(a) Cálculo de VTH: Inserindo uma variável iX
(corrente no resistor de 15 Ω) e fazendo a análise
de nós, usando as leis das correntes de Kirchoff,
encontramos a Figura 3.1.
Figura 3.1 – Cálculo de VTH.
Observamos que: VTH = 15 iX + 50 iΦ
Na malha externa temos:
15 iX + 50 iΦ - 20 iΦ - 660 + 5 iX = 0
iX = 33 - 1,5 iΦ [Eq. 3.1]
Na malha 1:
-20 iΦ + 10 (iΦ - iX) + 50 iΦ = 0
40 iΦ - 10 iX = 0
iX = 4 iΦ
Substituindo na Eq. 3.1, teremos:
4 iΦ = 33 - 1,5 iΦ
5,5 iΦ = 33
iΦ = 6 A
iX = 4 iΦ = 24 A
Disto: VTH = 15 iX + 50 iΦ = 660 V
(b) Cálculo de IN: Inserindo uma variável iX
(corrente no resistor de 15 Ω) e fazendo a análise
de nós, usando as leis das correntes de Kirchoff,
encontramos a Figura 3.2.
Figura 3.2 – Cálculo de IN.
Na malha 1:
-20 iΦ + 10 (iΦ - iX) + 50 iΦ = 0
40 iΦ - 10 iX = 0
iX = 4 iΦ
Na malha 2:
-50 iΦ -15 iX = 0
Usando o resultado da malha 1, temos:
-50 iΦ -15 (4 iΦ ) = 0
-110 iΦ = 0
Logo:
iΦ = 0
iX = 4 iΦ = 0
Usando estes resultados na malha externa, teremos:
- 20 iΦ - 660 + 5 ( iX + IN ) = 0
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0 - 660 + 5 ( 0 + IN ) = 0
5 IN = 660
Disto: IN = 132 A
Cálculo da Potência na fonte controlada:
O RTH do circuito em relação à carga de 25 Ω será
dado por: RTH = VTH / IN = 660 / 132 = 5 Ω.
Disto, o equivalente Thévenin do circuito com a
carga de 25 Ω é mostrado na Figura 3.3.
Figura 3.3 – Equivalente Thévenin com a carga.
A corrente i25 no resistor de 25 Ω será dada por:
i25 = 660 / (5 + 25) = 22 A
Fazendo a análise de nós, usando leis das correntes
de Kirchoff, encontramos a Figura 3.4.
Figura 3.4 – Circuito com a carga de 25 Ω.
Na malha 1:
-20 iΦ + 10 (iΦ - iX) + 50 iΦ = 0
40 iΦ - 10 iX = 0
iX = 4 iΦ
Na malha 2:
-50 iΦ -15 iX + 25 i25 = 0
-50 iΦ -15 iX + 25 (22) = 0
-10 iΦ -3 iX + 5 (22) = 0
Usando o resultado da malha 1, temos:
-10 iΦ -3 (4 iΦ )+ 5 (22) = 0
-22 iΦ = -110
Logo:
iΦ = 5 A
Assim, a corrente que passa na fonte controlada
será: iΦ + i25 = 5 + 22 = 27 A.
A tensão nessa fonte será: 20 iΦ = 100 V.
Finalmente, a Potência na fonte controlada (usando
a convenção gerador) será dada por:
Potência = 100 V · 27 A = 2.700 W
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