บทนา
เอกสารประกอบการเรยนรายวชา 261107 หลกฟสกส 1 ตอนตน เปนเอกสารทประกอบดวยบทเรยนจานวน 7 บทเรยน ซงเนอหาจะอยในครงแรกของวชาหลกฟสกส ประกอบดวย เวกเตอร การเคลอนทใน 1 มต การเคลอนทใน 2 และ 3 มต กฎการเคลอนท การเคลอนทแบบหมนและอนๆ การประยกตกฎของนวตน งานและพลงงาน พลงงานศกยและกฎการอนรกษพลงงาน โมเมนตมเชงเสนและการชน การเคลอนทแบบหมนของวตถแขงเกรง การเคลอนทแบบกลง โมเมนตมเชงมมและทอรกเนอหาภายในเลมจะประกอบดวยคาอธบาย ตวอยาง และแบบฝกหด เพอใหนสตเขาใจเนอหาไดงายขน นสตสามารถคนควาเนอหาเพมเตมไดจากหนงสอเรยนฟสกสอนๆ ซงทางภาควชาฟสกสขอขอบคณ ผชวยศาสตราจารย ดร.ชมพนช วรางคณากล ทไดเรยบเรยงและจดพมพเนอหาในเอกสารฉบบน และหวงเปนอยางยงวาเอกสารฉบบนจะทาใหนสตสามารถเรยนรวชาฟสกสไดดยงขน และถามขอผดพลาดประการใดภาควชาฟสกสขออภยมา ณ โอกาสน ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยนเรศวร
สารบญ เรอง หนา
บทท 1 เวกเตอร และคณตศาสตรทใชในฟสกส 1 บทท 2 การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต 18 บทท 3 กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน 34 บทท 4 งานและพลงงาน 54 บทท 5 โมเมนตมเชงเสนและการชน 74 บทท 6 การเคลอนทแบบหมน 96 บทท 7 การเคลอนทแบบกลง โมเมนตมเชงมม และทอรก 118
ผสอน ผศ.ดร. ชมพนช วรางคณากล
บทท 1 เวกเตอร และคณตศาสตรทใชในฟสกส
ปรมาณเวกเตอร เปนปรมาณทตองการทงขนาดและทศทาง จงจะเขาใจความหมายไดสมบรณ เชน ความเรว ความเรง แรง ปรมาณสเกลาร เปนปรมาณทบอกแตขนาดอยางเดยวกสมบรณแลว เชน มวล อณหภม ปรมาตร การเขยนเสนตรงแทนเวกเตอร การเทากนของเวกเตอร เวกเตอรนเสธ คอเวกเตอรใดๆ ทมขนาดเทากน แตมทศทางตรงขาม การบวกเวกเตอร
การบวกเวกเตอร Av ดวย Bv ไดผลลพธเปน Cv ดงรป เขยนสมการไดเปน BAC vvv += (1.1)
ขนาดของ Cv หรอ BA vv + เปน
เวกเตอร ใดๆ สามารถแทนไดดวยเสนตรง โดยทความยาวแทนขนาดของเวกเตอร หวลกศรแทนทศของ เวกเตอร ดงรปขนาดของเวกเตอร เขยนแทนดวย A หรอ Av
Av และ Bv จะเปนเวกเตอรทเทากน เมอมขนาดเทากน และมทศไปทางเดยวกนดงรป เขยนแสดงไดวา BA vv =
จากรป ไดวา BA vv −= หรอ AB vv −=
θ++= cosAB2BAC 22 (1.2) เมอ θ เปนมมระหวาง Av กบ Bv
คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 2
เวกเตอร BA vv + และ AB vv + จะไดเวกเตอรลพธทเทากน ดงรป จะได ABBAC vvvvv +=+= (1.3)
การบวกเวกเตอรมากกวา 2 ตว โดยการเขยนรป
DCBAR vvvvv +++= (1.4) การลบเวกเตอร
BA)B(AD vvvvv −=−+= เมอ θ เปนมมระหวาง Av กบ Bv เดม โดยขนาด
θ−+= cosAB2BAD 22 (1.5) สมบตพนฐานของเวกเตอร
เมอให B,A vv และ Cv เปนเวกเตอร m และ n เปนสเกลาร แลวจะได 1. ABBA vvvv +=+ กฎการสลบท 2. C)BA()CB(A vvvvvv ++=++ กฎการสมทบการบวก 3. ผลคณของ Av ดวย m ไดเปน Amv จะมขนาด m เทาของ Av มทศเหมอน Av เมอ
m > 0 และตรงขามกบ Av เมอ m < 0 แสดงดงรปขางลาง
เมอ Amv =0 เรยกวา เวกเตอรศนย (Zero Vector or Point Vector)
คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 3
4. การบวกและลบเวกเตอรมากกวาสองตวขนไป ทาไดโดยกลบทศเฉพาะเวกเตอรทมเครองหมายลบนาหนา เชน
DCBAE vvvvv +−−= เขยนใหมไดเปน D)C()B(AE vvvvv +−+−+=
5. mAAm vv = 6. A)mn()An(m vv = 7. AnAmA)nm( vvv +=+ 8. BmAm)BA(m vvvv +=+
ตวอยาง 1.1 ถาให Av มขนาด 6 หนวย และ Bv มขนาด 7 หนวย มทศดงรป วธทา ก. หาขนาดของ BA vv + จากรปจะเหนวา Av และ Bv นนทามมตอกน 150o
จะเหนวาในขอน ขนาดของ BA vv + มคานอยกวาขนาดของ Av หรอขนาดของ Bv เนองจากเวกเตอรทงสองกระทาตอกนเปนมมปานจงทาใหขนาดของการบวกเวกเตอรมคาลดลง
ข. ขนาดของ BA vv −
จะเหนวาในขอน ขนาดของ BA vv − มคามากกวาขนาดของ BA vv + เนองจากเวกเตอรทงสองกระทาตอกนเปนมมปานจงทาใหขนาดของการลบเวกเตอรมคามากขนดงรป
จงหา ก. ขนาดของ BA vv + ข. ขนาดของ BA vv −
R เปนเวกเตอรลพธ โดยท o22 150cosAB2BAR ++= o22 150cos)7)(6(276R ++= 253.12R = R = 3.5 หนวย
P เปนเวกเตอรลพธ โดยท o22 150cosAB2BAP −+= o22 150cos)7)(6(276R −+= 746.157R = R = 12.56 หนวย ตอบ
คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 4
ลองทาด นกสารวจแรเดนทางจากทพกไปทางทศเหนอ 3 กโลเมตร แลวเดนไปทางทศตะวนออกเฉยงเหนออก 5 กโลเมตร พบแหลงแรพอด อยากทราบวาทพกอยหางจากแหลงแรเทาใด ทศทางไหน
เวกเตอรหนงหนวย (Unit Vector)
AAav
=
AaA =v (1.6) เวกเตอรหนงหนวยในระบบพกดฉาก 3 มต ในระบบ 3 มต เรานยมให k,j,i เปนเวกเตอรหนงหนวยตามแนวแกน X, Y, Z ดงรป สมบตพเศษของเวกเตอร
1. เวกเตอรหนงหนวย k,j,i มทศตงฉากซงกนและกน 2. เปนเวกเตอรคงท (Constant Vector) นอกจากขนาดจะคงทแลว ทศยงคงทดวย 3. ชดเวกเตอรหนงหนวย k,j,i จะเรยงตามลาดบกฎมอขวา คอกามอขวารอบแกน
k ใหนวหวแมมอชไปตามแกน k แลวหมนแกน i วนไปตามนวมอทกาเปนมม 90o แกน i จะบรรจบกบแกน j ได
สวนประกอบของเวกเตอร ก. เวกเตอรใน 2 มต
หมายถงเวกเตอรทมขนาดหนงหนวย จากรปถาให aเปนเวกเตอรหนงหนวยในทศของ Av แลว เขยนสมการแสดงนยามของเวกเตอรหนงหนวย a ไดเปน
จาก yx AAA vvv += (1.7) และ iAA xx =v jAA yy =v ดงนน jAiAA yx +=v (1.8)
คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 5
ถาใหมม θ เปนมมท Av กระทากบแนวแกน X จะได Ax = A cos θ
Ay = A sin θ ขนาดของเวกเตอร Av หาไดจาก
2y
2x AAA += (1.10)
ข. เวกเตอรใน 3 มต
kAjAiAAAAA zyxzyx ++=++= vvvv
โดยท 2z
2y
2x AAAA ++= (1.12)
โคไซนบอกทศ (Direction Cosine) ตวอยาง 1.2 ให k4j3i2A ++=v จงหาขนาดและโคไซนบอกทศของ Av วธทา
θ คอมมท Av กระทากบแกน Z และ φ คอมมทเงาของ A
v ทฉายลงบนระนาบ XY กระทากบแกน X
φθ= cossinAA x φθ= sinsinAA y (1.11)
θ= cosAA z
จากรป ให γβα ,, เปนมมท Av กระทากบแกน X,Y,Z
ไดวา AAcos x=α
AA
cos y=β (1.13)
AAcos z=γ
ขนาดของ Av 2
z2y
2x AAAA ++=
222 432A ++= = 5.39 ตอบ
(1.9)
คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 6
และ โคไซนบอกทศของ Av จะได
37.039.52
AAcos x ===α
56.039.53
AA
cos y ===β
74.039.54
AAcos z ===γ ตอบ
เวกเตอรตาแหนง (Position Vector) เปนเวกเตอรทใชบอกตาแหนงของอนภาคทอยใน Space ซงอยนงหรอเคลอนทกตามเทยบกบจดกาเนด O เรานยมให rv เปนเวกเตอรตาแหนงของจด P(x,y,z) ดงแสดงในรป
ระยะทางระหวางจดสองจด
ระยะทางระหวางจด P1 กบ P2 จะเทากบขนาดของเวกเตอร 21rv นนคอ
212
212
21221 )zz()yy()xx(r −+−+−= (1.16)
และสมการของเวกเตอรตาแหนงของจด P (x,y,z) เขยนไดเปน
kzjyixr ++=v (1.14)
จากรปจะเหนวา 1rv เปนเวกเตอรตาแหนงของ P1 kzjyixr 1111 ++=v 2rv เปนเวกเตอรตาแหนงของ P2 kzjyixr 2222 ++=v 21rv เปนเวกเตอรตาแหนงของจด P2 เทยบกบ P1 k)zz(j)yy(i)xx(r 12121221 −+−+−=v (1.15)
คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 7
ตวอยางท 1.3 อนภาคตวหนงวางอยท P (2,3,-1) เมตร และมอนภาคอกตวหนงวางอยทจด Q (4,-3,2) เมตร จงหา ก. เวกเตอรตาแหนงของจด Q สมพทธกบจด P ข. ระยะหางระหวางอนภาคทงสอง วธทา ก. ให 21r
v เปนเวกเตอรตาแหนงของจด Q สมพทธกบจด P จะได 1221 rrr vvv −=
k)12(j)33(i)24(r21 ++−−+−=v k3j6i2r21 +−=v เมตร ตอบ ข. ให d เปนระยะหางระหวางอนภาคทงสอง
22221 3)6(2rd +−+== v
d = 7 เมตร ตอบ ผลคณเวกเตอร 1. ผลคณเชงสเกลาร (Scalar Product or Dot Product) 2. ผลคณเชงเวกเตอร (Vector Product or Cross Product) ผลคณเชงสเกลาร
จากรป ให 1rv และ 2r
v เปนเวกเตอรตาแหนงของจด P และ Q ตามลาดบ kj3i2r1 −+=v k2j3i4r2 +−=v
ผลคณเชงสเกลารของ Av และ Bv เขยนแทนดวย BA vv ⋅ (อานวา เวกเตอร A dot เวกเตอร B) มคาเทากบผลคณของขนาดของ Av กบ Bv กบโคไซนของมมระหวาง Av กบ Bv เขยนไดเปน θ=⋅ cosABBA vv (1.17)
ABBAcosvv ⋅
=θ (1.18)
คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 8
กฎของผลคณเชงสเกลาร ให B,A vv และ Cv เปนเวกเตอร ใดๆ m เปนสเกลาร 1. ABBA vvvv ⋅=⋅ กฎการสลบท 2. CABA)CB(A vvvvvvv ⋅+⋅=+⋅ กฎการกระจาย 3. )Bm(AB)Am()BA(m vvvvvv ⋅=⋅=⋅ 4. เมอให k,j,i เปน Unit Vector ตามแนวอางอง X,Y,Z แลว
4.1 1kkjjii =⋅=⋅=⋅ 4.2 0ikkjji =⋅=⋅=⋅ 4.3 0kijkij =⋅=⋅=⋅
5. เมอให kAjAiAA zyx ++=v และ kBjBiBB zyx ++=v จะได 5.1 ABBABABABA zzyyxx
vvvv ⋅=++=⋅ 5.2 22
z2y
2x AAAAAA =++=⋅ vv
6. เรยก Cosine ของมมท Av ทากบเวกเตอรหนวย k,j,i คอ )j,Acos(),i,Acos( vv
และ )k,Acos(v ตามลาดบ วาเปน Direction Cosine ดงรป 7. ถา BA vv = แสดงวาเวกเตอรทงสองเหมอนกนทกประการ มมระหวางเวกเตอรทงสองจะ
เทากบศนย เราได 1)B,Acos( =vv
และ 22 BABA ==⋅ vv 8. ถา 0BA =⋅ vv โดยท 0A ≠v และ 0B ≠v แสดงวา Av และ Bv ตงฉากกน ดงนน
0)B,Acos( =vv 9. ถา b,a เปนเวกเตอรหนวยของ B,A vv ตามลาดบ ผลคณเชงสเกลารของ aกบ b ยอม
เทากบ )B,Acos( vv คอ )B,Acos(ba vv=⋅
10. ขนาดของ Av ทฉายไปบน Bv คอ θcosA เทากบผลคณเชงสเกลารของ Av กบ b นนคอ
bAcosA ⋅=θ v
6.1 iaAA)i,Acos( x ⋅==v
6.2 jaAA
)j,Acos( y ⋅==v
6.3 kaAA)k,Acos( z ⋅==v
คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 9
จากรปซายมอ bacos ⋅=θ baA)ba(AcosA ⋅=⋅=θ bAcosA ⋅=θ
v ในทานองเดยวกน ขนาดของ Bv ฉายลงบน Av กเทากบผลคณเชงสเกลารของ Bv กบ a นนคอ aBcosB ⋅=θ
v ตวอยาง 1.4 ถาให kj2i2A −+=v และ k2j3i6B +−=v จงหา ก. BA vv ⋅ และ AB vv ⋅ ข. มมระหวาง Av และ Bv วธทา ก. zzyyxx BABABABA ++=⋅vv = (2)(6)+ (2) (-3) +(-1) (2) = 4 ตอบ zzyyxx ABABABAB ++=⋅vv = (6)(2)+(-3)(2)+(2)(-1) = 4 ตอบ
ข. มมระหวาง Av และ Bv เราตองหาขนาดของ Av และ Bv กอน โดยท 3)1(22AAAA 2222
z2y
2x =−++=++=
และ 72)3(6BBBB 2222z
2y
2x =+−+=++=
ดงนน 191.0)7)(3(
4AB
BAcos ==⋅
=θ
vv
o1 79)191.0(cos == −θ ตอบ
คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 10
ผลคณเชงเวกเตอร ผลคณเชงเวกเตอรของ Av และ Bv เขยนแทนดวย BA vv× (อานวา Av cross Bv ) โดยใหนยามดงน θ=× sinABBA vv (1.19) เมอ θ เปนมมระหวาง Av และ Bv โดยท π<θ<0
AB
BAsinvv×
=θ (1.20)
กฎของผลคณเชงเวกเตอร ให B,A vv และ Cv เปนเวกเตอร ใดๆ m เปนสเกลาร 1. ABBA vvvv ×≠× แต ABBA vvvv ×−=× 2. CABA)CB(A vvvvvvv ×+×=+× 3. )Bm(AB)Am()BA(m vvvvvv ×=×=× 4. ผลคณเชงเวกเตอรของ k,j,i จะไดเปน
4.1 0kkjjii =×=×=× 4.2 jik,ikj,kji =×=×=× 4.3 jki,ijk,kij −=×−=×−=×
5. ถาให kAjAiAA zyx ++=v และ kBjBiBB zyx ++=v จะได k)BABA(j)BABA(i)BABA(BA xyyxzxxzyzzy −+−+−=× vv
6. ผลคณเชงเวกเตอรหาจากคาดเทอรมแนนตดงน
zyx
zyx
BBB
AAAkji
BA =× vv
7. ถา 0BA =× vv โดยท 0A ≠v และ 0B ≠v แลว จะไดวา Av และ Bv มทศขนานกน
หรอไมก BA vv =
n เปนเวกเตอรหนวยมทศตงฉากกบระนาบของ Av และ Bv ตามกฎมอขวา
คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 11
8. ขนาดของ BA vv× จะเทากบพนทของสเหลยมดานขนานทม Av และ Bv เปนดานประกอบ
9. B,A vv และ Cv มความสมพนธตางๆ ดงน
9.1 ผลคณเชงสเกลารของ B,A vv และ Cv )BA(C)CA(B)CB(A vvvvvvvvv ×⋅=×⋅=×⋅
9.2 ผลคณเชงเวกเตอรของ B,A vv และ Cv 1. )BA(C)CA(B)CB(A vvvvvvvvv ⋅−⋅=×× 2. )CB(A)CA(BC)BA( vvvvvvvvv ⋅−⋅=××
ตวอยางท 1.5 จงหาพนทสเหลยมดานขนานซงม kj2i4A −+=v เมตร และ
k2j3i3B −+=v เมตร เปนดานประชด วธทา พนทสเหลยมดานขนาน = ขนาดของ BA vv× )k2j3i3()kj2i4( −+×−+=
233124
kji
−−=
k6j5i +−−=
222 6)5()1( +−+−= 87.762 == ตารางเมตร ตอบ การหาคาอนพนธของเวกเตอร (Derivative of Vector Functions) นยาม ถาให )u(AA vv = เปนฟงกชนเวกเตอรทมคาขนอยกบตวแปรสเกลาร u เพยงตวเดยวแลว อนพนธของ Av เทยบกบ u จะนยามดงน
uAlimA
dud
0u ∆∆
=→∆
vv
u)u(A)uu(AlimA
dud
0u ∆−∆+
=→∆
vvv (1.21)
พนทสเหลยมดานขนาน = ฐาน x สง = Ah = AB sin θ BA vv×=
พนทสามเหลยม θ=×= sinAB21BA
21 vv
คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 12
เมอ limit หาคาไดจรง และเรยก (1.21) นวาเปนอนพนธอนดบทหนงของ Av เทยบกบ u
ถาให kAjAiAA zyx ++=v เปนฟงกชนเวกเตอรของตวแปรสเกลาร u แลว อนพนธอนดบทหนงของ Av เทยบกบ u ในเทอมผลรวมขององคประกอบของเวกเตอร จะ
เขยนไดเปน kAdudjA
dudiA
dudA
dud
zyx ++=v (1.22)
และอนพนธอนดบทสองของ Av เทยบกบ u ได
kAdudjA
dudiA
dudA
dud
z2
2
y2
2
x2
2
2
2
++=v (1.23)
สตรเบองตนสาหรบการหาอนพนธของเวกเตอร ถาให B,A vv และ Cv เปนฟงกชนเวกเตอร ทขนกบตวแปรสเกลาร u และ φ เปนฟงกชน สเกลารของตวแปร u แลว จะไดสตรการหาอนพนธดงน
1. AdudA
dud)A(
dud vvv
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= φφφ
2. BdudA
dud)BA(
dud vvvv +=+
3. BAdudB
dudA)BA(
dud vvvvvv ⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⋅=⋅
4. BAdudB
dudA)BA(
dud vvvvvv ×⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛×=×
ตวอยาง 1.6 ถาให k3juiuA 2 +−=v และ kuj2iuB −+=v จงหา
ก. )BA(dud vv + ข. )BA(
dud vv ⋅ ค. )BA(
dud vv×
วธทา ก. จาก BdudA
dud)BA(
dud vvvv +=+
)kuj2iu(dud)k3juiu(
dud)BA(
dud 2 −+++−=+ vv
)ki()jiu2()BA(dud
−+−=+ vv
kji)1u2()BA(dud
−−+=+ vv ตอบ
ข. จาก
)kuj2iu()k3juiu(
dud
)kuj2iu(dud)k3juiu()BA(
dud
2
2
−+⋅+−+
−+⋅+−=⋅ vv
คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 13
)}kuj2iu()jiu2{()}ki()k3juiu{()BA(dud 2 −+⋅−+−⋅+−=⋅ vv
2u230u)BA(dud 22 −+−+=⋅ vv
5u3)BA(dud 2 +=⋅ vv ตอบ
หรอ )kuj2iu()k3juiu(BA 2 −+⋅+−=⋅ vv u3u2uBA 3 −−=⋅ vv u5uBA 3 −=⋅ vv
ดงนน )u5u(dud)BA(
dud 3 −=⋅ vv
5u3)BA(dud 2 −=⋅ vv ตอบ
ค. จาก
zyx
zyx
BBB
AAAkji
BA =× vv
เราได u2u
3uu
kji
BA 2
−−=× vv
ku3j)u3u(i)6u(BA 232 +++−=× vv
ดงนน }ku3j)u3u(i)6u{(dud)BA(
dud 232 +++−=× vv
ku6j)3u3(iu2)BA(dud 2 +++=× vv ตอบ
คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 14
ตวอยาง 1.7 กาหนด ktjtit5A 32 −+=v จงหาคาของ )AA(dtd vv ⋅ เมอ t = 1
วธทา จาก 6242 ttt25AAA ++==⋅ vv
)ttt25(dtd)AA(
dtd 624 ++=⋅ vv
53 t6t2t100)AA(dtd
++=⋅ vv
แทนคา t = 1 จะได
10862100)AA(dtd
=++=⋅ vv ตอบ
ตวอยาง 1.8 ให ktj)tcos(i)tsin(R ++=v จงหา
ก. Rdtd v ข. R
dtd
2
2 v
วธทา ก. จาก ktj)tcos(i)tsin(R ++=v
}ktj)tcos(i)t{sin(dtdR
dtd
++=v
kj)tsin(i)tcos(Rdtd
+−=v
ดงนน 222 1)t(sin)t(cosRdtd
++=v
414.1211Rdtd
==+=v ตอบ
ข. จาก ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= R
dtd
dtdR
dtd
2
2 vv
}kj)tsin(i)t{cos(dtdR
dtd
2
2
+−=v
j)tcos(i)tsin(Rdtd
2
2
−−=v
)t(cos)t(sinRdtd 22
2
2
+=v
11Rdtd
2
2
==v ตอบ
คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 15
การอนทเกรตเวกเตอร (Integration of Vector) การอนทกรลแบบไมจากดเขต (Indefinite Integrals) นยาม ถาให kAjAiA)u(A zyx ++=v เปนฟงกชนเวกเตอรของตวแปรสเกลาร u แลว อนทกรลแบบไมจากดเขตของ )u(Av เทยบกบ u เขยนไดดงน ∫∫∫∫ ++= dzAkdyAjdxAidu)u(A zyx
v (1.24)
และถามฟงกชนเวกเตอร )u(Bv ตวหนง โดยทอนพนธเทากบ )u(Av นนคอ )u(Bdud)u(A vv =
แลว อนทกรลใน (1.24) จะหาผลลพธไดเปน C)u(B)u(Bddu)u(A vvvv +== ∫∫ (1.25) เมอ C
v เปนเวกเตอรคงทตามใจชอบของการอนทเกรต ตวอยาง 1.9 จงหาคาของ ∫ duAv เมอ ku6ju2iu3A 22 +−=v วธทา ∫∫ +−= du)ku6ju2iu3(duA 22v duu6kudu2jduu3iduA 22
∫∫∫∫ +−=v Cku2juiuduA 323 vv ++−=∫ ตอบ การอนทกรลแบบจากดเขต (Definite Integrals) นยาม อนทกรลแบบจากดเขตของฟงกชนเวกเตอร )u(Av จากชวง u = a ถง u = b นยามไดดงน
b
a
b
au
b
auC)u(B)u(Bddu)u(A vvvv +== ∫∫
==
)a(B)b(Bdu)u(Ab
au
vvv +=∫=
(1.26)
ตวอยาง 1.10 ถาให k4j)3u3(i)1u2()u(A 2 −−+−=v จงหา ∫=
2
1udu)u(Av
วธทา du4kdu)3u3(jdu)1u2(idu)u(A2
1u
2
1u
22
1u
2
1u∫∫∫∫====
−−+−=v
2
1
322
1u}ku4j)u3u(i)uu{(du)u(A −−+−=∫
=
v
)k4j20()k8j2i2(du)u(A2
1u−−−−+=∫
=
v
k4j4i2du)u(A2
1u−+=∫
=
v ตอบ
คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 16
การอนทเกรตเชงเสน (Line Integrals) ถา kAjAiA)u(A zyx ++=v เปนสนามเวกเตอร อนทกรลขององคประกอบของ Av ในแนวสมผสเสนโคง C ดงรป เรยกวา อนทกรลเชงเสน และใหนยามดงน
∫∫ ++=⋅C
zyx )dzAdyAdxA(rdA vv (1.27)
ถาเสนโคง C เปนเสนโคงทลากจาก P1 ไปยง P2 แลว อนทกรลเชงเสนตาม (1.27) จะเปน
∫∫ ++=⋅2
1
P
Pzyx )dzAdyAdxA(rdA vv (1.28)
และถา C เปนเสนโคงปดอยางงายแลว อนทกรลรอบเสนโคงปด C จะได ∫∫ ++=⋅
Czyx )dzAdyAdxA(rdA vv (1.29)
ตวอยาง 1.11 ถาให kxzjx2iyzA −+=v จงหา ∫ ⋅ rdA vv เมอ C เปนเสนโคงซงม สมการพารามเตอร x = t , y = 2t , z = t2 จาก t = 0 ถง t = 1
วธทา จาก ∫∫ ++=⋅2
1
P
Pzyx )dzAdyAdxA(rdA vv
∫∫ −+=⋅2
1
P
P)xzdzxdy2yzdx(rdA vv
∫∫=
−+=⋅1
0t
233 )}t(dt)t2(td2dtt2{rdA vv
∫∫=
−+=⋅1
0t
43 )dtt2tdt4dtt2(rdA vv
1
0
52
4
5t2t2
2trdA −+=⋅∫
vv
1.210210
522
21rdA ==−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+=⋅∫
vv ตอบ
คณตศาสตรทใชในฟสกส หนา 17
แบบฝกหด บทท 1 คณตศาสตรทใชในฟสกส
กาหนดให k2j4iB,kj3i2A ++=−+= vv และ k2j2iC +−=v จงหา 1. BA vv + 2. BA vv − 3. BA vv ⋅ 4. BA vv× 5. )CxB(A vvv ⋅ 6. )CxB(A vvv× 7. C)BA( vvv ⋅× 8. )CB(A vvv ⋅⋅ 9. กาหนดให k)4t2(jt3it2A 2 ++−=v และ ktjt2itB 2++=v แลว จงหา
)BA(dtd vv ⋅ เมอ t = 2
10. กาหนด kxz3jyz2ixy4A +−=v จงหาคาของ ∫ ⋅C
rdA vv เมอ C เปนเสนโคงทมสมการ
พารามเตอรเปน x = t, y = 2t และ z = 3t จาก t = 0 ถง t = 3
ผสอน ผศ.ดร. ชมพนช วรางคณากล
บทท 2 การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต
ความเรว (Velocity) คออตราการเปลยนระยะกระจด เปนปรมาณเวกเตอร อตราเรว (Speed) คอขนาดของความเรวเปนปรมาณสเกลาร ความเรวเฉลย (Average Velocity) อนภาคเคลอนทจากจด A ทเวลา t1ไปยงจด B ทเวลา t2 1r
v = ตาแหนงของอนภาคทเวลา t1 2r
v = ตาแหนงของอนภาคทเวลา t2 ในเวลา 12 ttt −=∆ อนภาคเคลอนท
ไดการกระจด 12 rrr vvv −=∆ ดงนนจะได
ความเรวเฉลย tr
ttrrv12
12av ∆
∆=
−−
=vvv
v (2.1)
ความเรวบดดล (Instantaneous Velocity) คอความเรวขณะใดขณะหนง หรอความเรวทจดใดๆ ความเรวบดดลของการเคลอนทของอนภาคจะหาไดจากคาจากดความของความเรวเฉลย เมอ 0t →∆
dtrd
trlimv
0t
vvv =
∆∆
=→∆
(2.2)
สวนประกอบของเวกเตอรความเรว เมอให )t(rr vv = เปนเวกเตอรตาแหนงของวตถทเวลา t ใดๆ ซงเขยนสมการไดเปน
kzjyixr ++=v (2.3) โดยท x,y,z เปนฟงกชนของเวลา t ดงนน ความเรว vv ของวตถ เมอหาจากอนพนธของ rv เทยบกบเวลา t จะได
kdtdzj
dtdyi
dtdxv ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=v (2.4)
ให vx,vy และ vz เปนสวนประกอบของความเรวในแนวแกน x,y,z ซงจะได
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=
dtdzv,
dtdyv,
dtdxv zyx (2.5)
และความเรว vv ของวตถเมอเขยนในเทอมขององคประกอบของความเรว kvjvivv zyx ++=v (2.6) อตราเรวบดดล หรอเรยกสนๆ วา “อตราเรว” หมายถงขนาดของความเรว นนคอ 2
z2y
2x vvvvv ++== v (2.7)
หนวยของความเรวในระบบ SI ใชเปนเมตร/วนาท (m/s) และในระบบอนๆ อาจใชหนวยของความเรวเปน ft/s, cm/s, km/hr เปนตน
การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต หนา 19
ตวอยาง 2.1 อนภาคตวหนงเคลอนทไป ณ เวลา t ใดๆ มเวกเตอรตาแหนง kt4j)1t2(i)2t4t(r 222 +++++=v เมอ r วดเปนเมตร และ t วดเปนวนาท จงหาความเรว และอตราเรว ณ เวลา t = 1 วนาท วธทา หาความเรว เมอ t = 1 วนาท
]kt4j)1t2(i)2t4t[(dtd
dtrdv 222 +++++==v
v
kt8jt4i)4t2(v +++=v แทนคา t = 1 k8j4i6v 1t ++==
v m/s ตอบ และอตราเรว v เมอ t = 1 วนาท ได 76.10116846vvvv 2222
z2y
2x ==++=++= m/s ตอบ
ความเรง (Acceleration) คอคาความเรวทเปลยนไปตอหนงหนวยเวลา หรอเรยกวาอตราการเปลยนความเรว ความเรงเฉลย (Average Acceleration) ความเรวเปลยนไป )t(v)t(vv 12
vvv −=∆ ความเรงเฉลยในการเคลอนทของอนภาค จะได
tv
tt)t(v)t(va
12
12av ∆
∆=
−−
=vvv
v (2.8)
ความเรงบดดล (Instantaneous Acceleration) คอความเรงขณะใดขณะหนงหรอ ความเรงทจดใดๆ หาไดจากคาจากดความเรงเฉลยเมอเวลาสนๆ 0t→∆ นนคอ
2
2
0t dtrd
dtvd
tvlima
vvvv ==
∆∆
=→∆
(2.9)
องคประกอบของความเรง ความเรง av ในการเคลอนทของอนภาคตามสมการ (2.9) เมอเขยนในเทอมขององคประกอบในแนวแกน x, y, z จะได
kvdtdjv
dtdiv
dtd
dtvda zyx ++==v
v (2.10)
จากรป )t(v 1v และ )t(v 2
v เปนความเรวของอนภาคทจด A และ B ณ เวลา t1 และ t2 ตามลาดบ ในชวงเวลา 12 ttt −=∆
การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต หนา 20
และ dtrdvv
v = ดงนน จะได
kdt
zdjdt
ydidt
xda 2
2
2
2
2
2
++=v (2.11)
ให ax, ay, az เปนขนาดขององคประกอบความเรงแลว ความเรง av จะเขยนไดเปน kajaiaa zyx ++=v (2.12)
โดยท
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
==
==
==
2
2z
z
2
2y
y
2
2x
x
dtzd
dtdva
,dt
yddt
dva
,dt
xddt
dva
(2.13)
ขนาดความเรง av หาจาก 2
z2y
2x aaaaa ++== v (2.14)
ตวอยาง 2.2 จงหาความเรงในการเคลอนทของอนภาคตวหนงไปตามเสนโคงขณะใดๆ มสมการพารามเตอรของตาแหนงเปน x = t2 + 4t +3, y = 2t2 + 2, z = 4t2 เมอ x, y และ z มหนวยเปน เมตร และ t มหนวยเปนวนาท วธทา ให rv เปนเวกเตอรตาแหนงของอนภาคเมอเวลา t ใดๆ kzjyixr ++=v kt4j)2t2(i)3t4t(r 222 +++++=v ให av เปนความเรงในการเคลอนทของอนภาค จะได
]kt4j)2t2(i)3t4t[(dtda 222
2
2
+++++=v
]kt8jt4i)4t2[(dtda +++=v
k8j4i2a ++=v m/s2 ตอบ
การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต หนา 21
A Bivv x=v
การเคลอนทในหนงมต (One Dimensional Motion with Constant Acceleration) การเคลอนทเชงเสน (Linear Motion) การเคลอนทเชงเสน เปนการเคลอนทของวตถในหนงมต เชนการเคลอนทของรถยนตในแนวแกน x ขณะใดๆ การกระจด จะเปนฟงกชนของเวลา เขยนไดเปน
i)t(xixr ==v (2.15) ความเรว ของการเคลอนทเชงเสนในแนวแกน x จะได
idtdxivv x ==v (2.16)
เมอ x = x(t) ถาความเรว vv ไมคงทแลว ความเรว vv จะเปนฟงกชนของเวลา t ดงนนตาแหนง x ณ เวลา t ใดๆ ทวตถเคลอนทไดจะหาไดจากการอนทเกรต dx = vdt ดงน
∫∫ =t
tx
x
x 00
dtvdx (2.17)
เมอ x0 และ x เปนตาแหนงทเวลา t0 และ t อนทกรลของ (2.17) จะได
∫=−t
tx0
0
dtvxx
∫+=t
tx0
0
dtvxx (2.18)
จากสมการ (2.18) ตองทราบคา vx = v(t) จงหาคาของอนทกรลได กรณ ความเรว vv คงท จะได )tt(vxx 0x0 −+= (2.19) เปนสมการหนงของการเคลอนท ความเรง ความเรงของการเคลอนทเชงเสนตรงในแนวแกน x จะได
idt
xdidt
dviaa 2
2x
x ===v (2.20) ความเรว vv ของการเคลอนทเชงเสน ณ เวลา t ใดๆ จะได
∫+=t
t0
0
dtavv vvv (2.21)
การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต หนา 22
ตวอยาง 2.3 อนภาคตวหนงเคลอนทในแนวแกน x ในขณะเวลา t ใดๆ มสมการของตาแหนง 5t5t2x 23 ++= จงหาความเรวและความเรงของอนภาค
ก. ทเวลา t ใดๆ ข. ทเวลา t = 3 s วธทา ก. ความเรว
i)5t5t2(dtdi
dtdxv 23 ++==v
i)t10t6(v 2 +=v m/s ตอบ ความเรง
i)t10t6(dtda 2 +=v
i)10t12(a +=v m/s2 ตอบ ข. ความเรวทเวลา t = 3 s
i)t10t6(v 2 +=v แทน t = 3 ได i)]3(10)3(6[v 2 +=v
i84v =v m/s ความเรงทเวลา t = 3 s i)10t12(a +=v แทน t = 3 ได i]10)3(12[a +=v
i46a =v m/s2 ตอบ การเคลอนทเชงเสนดวยความเรงคงท สาหรบสมการ (2.21) จะอนทเกรตหาคาได เมอทราบคาความเรงเปนฟงกชนของเวลา คอ )t(aa vv = และถา a มคาคงทแลว ความเรว v ณ เวลา t ใดๆ ของการเคลอนทเชงเสน โดยการอนทเกรตสมการ (2.21) จะได
∫+=t
t0
0
dtavv vvv
)tt(avv 00 −+= vvv (2.22) จากสมการ (2.22) เมอการเคลอนทเชงเสนตรงไปตามแกน x ดวยความเรงคงท แลวตาแหนง x ทอนภาคเคลอนทไปถง ณ เวลา t ใดๆ จะหาไดดงน
การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต หนา 23
จาก )tt(avdtdx
00 −+=
dt)]tt(av[dx 00 −+= อนทเกรตจะได
∫∫ −+=t
t00
x
x 00
dt)]tt(av[dx
∫∫ −+=−t
t0
t
t00
00
dt)tt(adtvxx
t
t
2000
0
)tt(a21tvxx ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −++=
จะได
20000 )tt(a
21)tt(vxx −+−+= (2.23)
ถา t0 = 0, x0 = 0
20 at
21tvx += (2.24)
เอาคาของ t - t0 จากสมการ (2.22) คอ avvtt 0
0−
=− แทนลงใน (2.23)
20000 )
avv(a
21)
avv(vxx −
+−
+=
จดสมการ ได )xx(a2vv 0
20
2 −+= (2.25) หมายเหต สมการทวไปของการเคลอนทเชงเสนทมความเรง a = คาคงท กไดตาม สมการ (2.22), (2.24),(2.25) นน ถาวตถเรมเคลอนทตาแหนง x = 0 เมอเวลา t0 = 0 แลวจะได
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
+=
+=
+=
ax2vv
,at21tvx
,atvv
20
2
20
o
(2.26)
การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต หนา 24
ตวอยาง 2.4 รถยนตคนหนงเคลอนทจากจดหยดนงไปดวยความเรง 8 m/s2 เปนเวลา 10 s แลวจงเคลอนทตอไปดวยความเรวคงทนาน 20 s ตอจากนนจงลดความเรวลง เคลอนทไปดวยความหนวง 8 m/s2 จนกระทงหยดนง จงหา ก. ระยะทางทงหมดทรถเคลอนทไปได ข. เวลาทงหมดทรถใชในการเคลอนท ก. หาระยะทางทงหมดทรถเคลอนทได
ให x เปนระยะทางทงหมด = x1 + x2 + x3 (1) ตอนท 1 ( BA → ) BA → ม a = 8 m/s2 เปนเวลา 10 s หาระยะทาง x1 ไดดงน
201 at
21tvx +=
400)10)(8(21)10)(0(x 2
1 =+= เมตร (2)
หาความเรวทจด B )tt(avv 00B −+= s/m80)10(80vB =+= (3) ตอนท 2 ( CB→ )
CB→ มความเรวคงท 80 m/s เปนเวลา 20 วนาท หาระยะทาง x2 ได tvx B2 = 160)20)(80(x2 == เมตร (4) ตอนท 3 ( DC → )
DC → รถมความหนวง(a = -80 m/s2) มความเรวตน 80 m/s และความเรวสดทาย vD = 0 จงหา x3 3
20
2D ax2vv −=
32 x)8(2)80(0 −=
x3 = 400 เมตร (5) แทนคา x1, x2 และ x3 ใน (1) ไดระยะทางทงหมด x = 400 + 1600 + 400
x = 2400 เมตร ตอบ
การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต หนา 25
ข. หาเวลาทงหมด t = t1 + t2 + t3 เมอ t1 = 10 วนาท, t2 = 20 วนาท และ t3 = เวลารถแลนในชวง DC → จะได
vD = vC - at3 แทนคา 0 = 80 - 8(t3) t3 = 10 วนาท
เวลา t = 10 + 20 + 10 = 40 วนาท ตอบ การเคลอนทในแนวดงและการตกของวตถอยางเสร (Free Falling Body) หลกการคานวณสาหรบการเคลอนทในแนวดง 1. ความเรงคงท a = - g = -9.8 m/s2 2. ใหใชพนโลกเปนแกนอางองปรมาณ v0, vy และ y จะมเครองหมายเปนบวกเมอวตถเคลอนทขน และเปนลบเมอเคลอนทลง 3. วตถตกอยางเสร v0 = 0 วตถเคลอนทขนถงจดสงสด vy = 0 4. เครองหมายของเวลา t ตองเปนบวกเสมอ ตวอยาง 2.5 วตถอนหนงถกปลอยใหตกจากยอดตกสง h ขณะทปลอยวตถอนแรกน วตถอนทสองถกยงสวนขนไปในแนวดง ดวยความเรวทพอด ทาใหวตถอนทสองขนไปถงยอดตก อยากทราบวาวตถทงสองอนนจะสวนกน ณ ทสงเทาใด วธทา
การเคลอนทในแนวดงหรอตามแกน y เปนการเคลอนทเชงเสนทมความเรงคงท a = - g = - 9.8 m/s2 จะไดสมการเปน vy = v0 - gt
⎪⎭
⎪⎬⎫
−=
−=
gy2vv
gt21tvy
20
2y
20
(2.27)
คดการเคลอนทของวตถอนแรกเมอตกลงมาไดทาง h - y จะสวนกบวตถอนทสองในเวลา t ดงนนได
20 gt
21tvy −=
แทนคา 2gt210)yh( −=−−
2gt21yh =− (1)
การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต หนา 26
คดการเคลอนทของวตถอนทสอง จะได
20 gt
21tvy −= (2)
หา v0 ไดจาก gy2vv 20
2y −=
เมอ vy = 0 จะได gh2v0 20 −=
gh2v0 = แทนใน (2) จะได 2gt
21gh2ty −= (3)
(1) และ (2) เวลาเทากน (1)+(3) จะได gh2th =
ดงนน g2ht = (4)
แทน t จาก (4) ลงใน (3) จะได
( )2
g2hg
21gh2
g2hy ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
4h3y = ตอบ
ตวอยาง 2.6 ถาปากอนหนขนไปในแนวดงดวยความเรว 30 m/s จงหา ก. เวลาทกอนหนขนไปถงจดสงสด ข. ระยะทางสงสดทกอนหนขนไปได ค. เวลาทกอนหนอยสงเหนอพน 40 เมตร
วธทา
ก. หาเวลาทกอนหนขนไปสงสด จาก vy = v0 - gt 0 = 30 - 10t 30 = 10t t = 3 วนาท ตอบ
การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต หนา 27
ข. ระยะทางสงสดทกอนหนขนไปได จาก gh2vv 2
02y −=
vy = 0 , v0 = 30 m/s 0 = (30)2 - 2(10)h
451023030h =
××
= เมตร
นนคอกอนหนขนไปไดสงสด 45 เมตร ตอบ ค. หาเวลาทกอนหนอยสงเหนอพนดน 40 เมตร
จาก 20 gt
21tvy −=
จดสมการใหมเปน t2- 6t + 8 = 0 t = 2, 4 วนาท นนคอกอนหนอยเหนอพนเปนระยะ 40 เมตร ในเวลา 2 วนาท (ขาขน) และ 4 วนาท (ขาลง) ตอบ การเคลอนทในสองมต (Two-Dimensional Motion) อนทเกรต (2.30) จะได เวกเตอรตาแหนงของอนภาคทเคลอนท ณ เวลา t ใดๆ ดงน
∫∫ =t
t
r
r 00
dtvrd vv
∫=−t
t0
0
dtvrr vvv
นนคอจะได ∫+=t
t0
0
dtvrr vvv (2.31)
ตองทราบ vv จงจะหา rv ได และถาความเรว vv มคาคงท อนทกรล (2.31) ได )tt(vrr 00 −+= vvv (2.32)
เวกเตอรตาแหนง rv ของอนภาคทเคลอนทใน 2 มต บนระนาบ xy คอ iyixr +=v (2.28) และความเรว vv ของอนภาค จะได
jdtdyi
dtdx
dtrdv +==v
v (2.29)
dtvrd vv = (2.30)
การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต หนา 28
ความเรง av ของการเคลอนทในสองมต จะได
jdt
dvi
dtdv
dtvda yx +==v
v (2.33)
ดงนนจะได dtavd vv = เมออนทเกรต จะได vv ทเวลา t ใดๆ ดงน
∫∫ =t
t
v
v 00
dtavd vvv
∫=−t
t0
0
dtavv vvv (2.34)
นนคอจะได ∫+=t
t0
0
dtavv vvv (2.35)
จะหาคาอนทกรลไดเมอทราบความเรง av และในกรณทความเรง av มคาคงท จะได )tt(avv 00 −+= rvv (2.36) เมอความเรง av คงท เวกเตอรตาแหนง rv ของอนภาคทเคลอนทในระบบ 2 มต ณ เวลา t ใดๆ จะหาไดดงน จาก dtvrd vv = และ )tt(avv 00 −+= rvv ดงนนจะได [ ]dt)tt(avrd 00 −+= vvv
[ ]dt)tt(avrdt
t00
r
r 00
∫∫ −+= vvv
20000 )tt(a
21)tt(vrr −+−=− vvvv
20000 )tt(a
21)tt(vrr −+−+= vvvv (2.37)
การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต หนา 29
ตวอยาง 2.7 อนภาคตวหนงเคลอนทไปตามเสนโคงในระนาบ xy โดยมความเรงแปรคาตาม เวลา t ดวยสมการ 2s/mjt4i)t21(a ++=v ถาเรมตน t = 0 อนภาคอยทตาแหนง (1,2) m และมความเรว s/mj2i3 − จงหา ก. ความเรวของอนภาคทเวลา t = 2 s ข. ตาแหนงของอนภาคทเวลา t = 2 s วธทา ก. ความเรวท t = 2 s
จาก ∫+=t
t0
0
dtavv vvv
[ ]∫ +++−=2
0dtjt4i)t21()j2i3(vv
[ ] 2
0
22 jt2i)tt()j2i3(v +++−=v
)j8i6()j2i3(v ++−=v ฉะนน j6i9v +=v m/s ตอบ
ข. หาเวกเตอรตาแหนง rv ของอนภาคท t = 2 s
จาก ∫+=t
t0
0
dtvrr vvv
j2ir,0t +== v และจากขอ ก.จะหา vv ทเวลา t ใดๆ ไดเปน j)2t2(i)tt3()t(vv 22 −+++== vv ดงนน [ ]dtj)2t2(i)tt3(j2ir
2
0
22∫ −+++++=v
2
0
332
j)t2t32(i)
3t
2tt3(j2ir ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+++++=v
j)4316(i)
3826(j2ir −+++++=v
j310i
335r +=v เมตร ตอบ
การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต หนา 30
การเคลอนทแบบโพรเจกไทล (Projectile Motion) ความเรว vv ของวตถ ณ เวลา t จะได jvivv yx +=v (2.40) เมอ 00x cosvv θ= คงท (2.41 ก) gtsinvv 00y −θ= (2.41 ข) แทนคา (2.41ก และ ข) ลงใน (2.40) จะได j)gtsinv(i)cosv(v 0000 −θ+θ=v (2.42) และอตราเรวของโพรเจกไทล ขณะเวลา t ใดๆ จะได 2
y2x vvv += (2.43)
หาทศของความเรว v ไดจาก x
y
vv
tan =θ (2.44)
เวกเตอรตาแหนง rv ของโพรเจกไทล jyixr +=v j)gt
21sintv(i)costv(r 2
0000 −θ+θ=v (2.45)
เวลาในอากาศ เปนเวลาทงหมดทวตถใชในการเคลอนทแบบโพรเจกไทลจากจดเรมตนไปยงจดสงสด แลวโคงลงมายงพนในระดบเดยวกนกบจดเรมตน ดงรป เวลาในอากาศ
gsinv2t2T 00 θ
== (2.46)
วตถเคลอนทแบบโพรเจกไทลระนาบ xy ดวยความเรวตน 0vv ในทศทามม
0θ กบแนวแกน x ดงรป จะได jvivv y0x00 +=v (2.38)
⎪⎭
⎪⎬⎫
θ=
θ=
00y0
00x0
sinvv
cosvv (2.39)
การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต หนา 31
ระยะทางสงสดในแนวดง H เปนระยะสงสดในแนวดง
g2
sinvH 022
0 θ= (2.47)
พสย (Range: R) เปนระยะทางในแนวระดบทโพรเจกไทลเคลอนทได จะได
g2sinvR 0
20 θ
= (2.48)
ตวอยาง 2.8 ถาเตะลกบอลในทศทามม 30o กบแนวระดบดวยความเรวตน 20 m/s จงหา
ก. เวลาทลกบอลขนไปถงจดสงสด ข. ระยะทางสงสดทลกบอลขนไปได ค. พสยทลกบอลเคลอนทได ง. เวลาทงหมดทลกบอลอยในอากาศ จ. ความเรวของลกบอลหลงเตะแลว t = 2 s ฉ. เวกเตอรตาแหนงของลกบอลทเวลา t = 2 s
วธทา ก. จากเวลาทลกบอลขนไปถงจดสงสด
g
sinvt 00 θ=
s02.18.9
5.0208.930sin20t
o
=×
== ตอบ
ข. ระยะทางสงสดทลกบอลขนไปได
)8.9(230sin)20(
g2sinvH
o220
220 =
θ=
m1.5)8.9(2
)5.0)(5.0)(20)(20(H == ตอบ
ค. พสยทลกบอลเคลอนทได
8.9
)30(2sin)20(g2sinvR
o20
20 =
θ=
8.9
60sin)20)(20(Ro
=
การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต หนา 32
m34.358.9
)866.0)(20)(20(R == ตอบ
ง. เวลาทงหมดทลกบอลลอยอยในอากาศ
gsinv2t2T 00 θ
==
( ) s04.28.9
30sin202To
== ตอบ
จ. ความเรวของลกบอลหลงจากเตะไปแลว 2 s จาก jvivv yx +=v (1)
เมอ s/m32.17v30cos20cosvv
x
o00x
==θ=
(2)
)2)(8.9(30sin20v
gtsinvvo
y
00y
−=
−θ=
s/m6.9vy −= (3) แทน(2)และ(3)ลงใน(1) s/mj6.9i32.17v −=v ตอบ ฉ. เวกเตอรตาแหนงของลกบอลทเวลา t = 2 s jyixr +=v
เมอ m64.34x30cos)20)(2(costvx o
00
==θ=
m4.0y
)2)(8.9(2130sin)20)(2(y
gt21sintvy
2o
200
=
−=
−θ=
j4.0i46.34r +=∴ v ตอบ
การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต หนา 33
บทท 2 การเคลอนทใน 1, 2 และ 3 มต
1. อนภาคตวหนงเคลอนทในแนวแกน x ในขณะเวลา t ใดๆ มสมการตาแหนง x = 3t2 + 4t +2 จงหา ความเรว ความเรงของอนภาคทเวลา t ใดๆ และทเวลา t = 2 วนาท
2. อนภาคตวหนงเคลอนทในหนงมตตามแนวแกน x ขณะใดๆ มอตราเรวแปรคาตามเวลา t ใหไดดวยสมการ v = 3t2 + 4t + 5 m/s ถาขณะเรมตนเมอเวลา t = 0 อนภาคอยทตาแหนง x = 2 เมตรจากจดอางอง อยากทราบวาระยะทางทอนภาคนเคลอนทไดใน 3 วนาทแรกเปนเทาใด
ขอมล รถไฟเรมเคลอนจากจดหยดนงดวยความเรงคงท เมอเวลาผานไปชวระยะหนง วดอตราเรวได 30 m/s และเมอเคลอนทไปอก 160 เมตร วดอตราเรวได 50 m/s จงหา 3. ความเรงของรถไฟน 4. เวลาทใชในการเคลอนทไดระยะทาง 160 เมตร 5. เวลาจากจดเรมตน จนมอตราเรว 30 m/s 6. ระยะจากจดเรมตนจนมอตราเรวเปน 30 m/s ขอมล วตถถกโยนขนดวยอตราเรวตนตามแนวดง 30 m/s จงหา 7. เมอเวลาผานไป 2 วนาท วตถอยสงจากพนเทาใด 8. ความเรวของวตถหลงจากโยนแลว 2 วนาท 9. เวลาทวตถเคลอนทถงจดสงสด 10. เวลาเมอวตถตกถงพน ขอมล ดดลกหนกอนหนงในทศทามม 45o กบแนวระดบ ดวยอตราเรวตน 20 m/s จงหา 11. เวลาทลกหนขนไปถงจดสงสด 12. ระยะทางสงสดทลกหนขนไปได 13. เวลาทลกหนลอยอยในอากาศ 14. ระยะทางทลกหนเคลอนทไดมากทสดในแนวระดบ 15. เวกเตอรตาแหนงของลกหนเมอเวลา 1 วนาท
ผสอน ผศ.ดร. ชมพนช วรางคณากล
บทท 3 กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน
กฎการเคลอนท (Laws of Motion) แรง (Force) เปนอานาจททาใหวตถอยนงเกดการเคลอนท และทาใหวตถทเคลอนทเกดการหยดนง ตวอยางเชน แรงดงในเสนเชอก
กฎการเคลอนทของนวตน
นวตนไดเสนอการเคลอนทของวตถไว 3 ขอเรานยมเรยกวา กฎการเคลอนทของ นวตน มสาระดงน กฎขอท 1 ของนวตน กลาววา “วตถทกชนดจะดารงสภาพหยดนง หรอเคลอนทดวยความเรวคงทตราบใดทไมมแรงภายนอกมากระทา”
เราเรยกกฎขอท 1 ของนวตนวา กฎแหงความเฉอย (law of inertial) คอเฉอยตอการเปลยนสภาพการเคลอนท กฎขอท 2 ของนวตน กลาววา “ความเรงของวตถเปนปฏภาคโดยตรงกบแรงลพธทกระทาตอวตถ โดยมทศทางเดยวกนและเปนปฏภาคผกผนกบมวลของวตถ”
แรง 3 แรง กระทาตอวตถเดยวกน แบงเปน 2 กรณ 1. ผลรวมของแรงเปนศนย วตถจะหยดนง หรอเคลอนทดวยความเรวคงท 2. ผลรวมของแรงมากกวาศนย วตถเคลอนทดวยความเรง
จากรป ถา ∑ = 0Fv ความหมายกฎขอท 1 คอ 1. วตถอยนงตลอดไป หรอ 2. วตถเคลอนทดวยความเรวคงท
แรงลพธมากกวาศนย มผลทาใหวตถมวล m เคลอนทดวยความเรง จากกฎขอท 2 ของ นวตน จะได
∑ = amF vv (3.1)
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 35
จาก (3.1) เมอแยกเปนสวนประกอบของแรงตามแนวแกน x, y, z จะได
zz
yy
xx
amF
amF
amF
vv
vv
vv
=
=
=
(3.2)
ตวอยาง 3.1 วตถมวล 10 kg ถกแรงกระทาใหเคลอนทจากจดนงเปนเวลา 3 วนาท จนมความเรวเปน 48 m/s จงหาขนาดของแรงลพธททาใหวตถนเคลอนท วธทา
F = ma (1) หาความเรง a จาก v = vo + at
48 = 0 + a(3) a = 16 m/s2
แทนใน (1) F = (10 kg)(16 m/s2) = 160 N ตอบ กฎขอท 3 ของนวตน กลาววา “ทกแรงกรยายอมมแรงปฏกรยาทมขนาดเทากน หรอแรงกระทาซงกนและกน ในทศทางตรงขามกนเสมอ” BAAB FF vv −= (3.3)
แรงกรยา = - แรงปฏกรยา เมอ ABFv เปนแรงทวตถ B กระทาตอวตถ A และ BAFv เปนแรงทวตถ A กระทาตอวตถ B
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 36
การประยกตใชกฎของนวตน ตวอยาง 3.2 ไฟจราจรมนาหนก 100 N แขวนดวยลวด 2 เสน ดงรป ทามม 37o และ 53o กบแนวระดบดงรป จงหาแรงดงในลวดทง 3 เสน จากรป แยกแรง T1 และ T2 เขาสแกน x และ y สวนแรงดง T3 เทากบนาหนกของวตถ มขนาดเทากบ 100 N เมอวตถอยนง เราไดวา ∑ = 0Fv สงผลให ∑ =−= 037cosT53cosTF o
1o
2x (1) ∑ =−+= 0N10053sinT37sinTF o
2o
1y (2) จาก (1) เราไดวา
1o
o
12
o1
o2
T33.153cos37cosTT
37cosT53cosT
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=
แทนคา T2 ลงในสมการท (2) ไดวา
N8.79T33.1T
N60T0N100)53)(sinT33.1(37sinT
12
1
o1
o1
===
=−+
ฉะนน เราไดวา T1 = 60 N, T2 = 79.8 N และ T3 = 100 N ตอบ
วธทา วตถคงสภาพอยนงได แสดงวาวตถ อยในสภาพสมดล แรงลพธทกระทาตอวตถเปนศนย เขยนแนวแรงใหมไดเปนดงรป
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 37
ตวอยาง 3.3 วตถมวล m เลอนลงมาจากพนเอยงเรยบ ทามม θ กบแนวระดบดงรปจงหาความเรงในแนวพนเอยง วธทา วตถเคลอนทลงมาดวยแรงดงลงตามแนวพนเอยง ตวอยาง 3.4 มวล 2 กอน แขวนผานรอกในแนวดงดงรป ถามวล m1 นอยกวา m2 จงหาความเรงของระบบ และแรงดงในเสนเชอก
จากรป masinmg =θ asing =θ
ฉะนน ความเรงตามแนวพนเอยง = θsing ตอบ
วธทา พจารณามวล m1 จะเหนวาวตถเลอนขน ดวยความเรง a ดงรป
จากกฎขอท 2 ของนวตน F = ma ไดวา T - m1g = m1a (1)
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 38
พจารณามวล m2 จะเหนวาวตถเลอนลง ดวยความเรง a เชนกน ดงรป
แทน (3) ลงใน (1) จะได gmm
mm2T21
21⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= ตอบ
แรงเสยดทาน เปนแรงกระทาระหวางผววตถทกาลงจะเคลอนทหรอเคลอนทแลว เกดขนระหวางผวสมผส หรอพดอกอยางวาเปนแรงตานการเคลอนทของวตถ มทศสวนกบทศการเคลอนทของวตถ เมอ F เปนแรงดง และ f เปนแรงเสยดทาน ไดวา ถา F นอยกวาหรอเทากบ f วตถจะหยดนง และถา F มากกวา f วตถจะเคลอนท เราแบงแรงเสยดทานออกเปน 2 แบบ ไดแก 1. แรงเสยดทานสถต (fs) เปนแรงเสยดทานทเกดขนเมอวตถถกแรงกระทาแลวยงไมเคลอนท จนกระทงเรมเคลอนท ฉะนนแรงเสยดทานสถตจงมคามากทสด ถา แรง F นอยกวา fs วตถยงคงหยดนงและเมอ แรง F มากกวา fs แลว วตถกจะเคลอนท เมอวตถเคลอนท แรงเสยดทานทเกดขนจะเปนแรงเสยดทานจลน fk
ไดวา m2g - T = m2a T = m2g - m2a (2) แทนคา (2) ลงใน (1) ไดวา m2g - m2a - m1g = m1a m2g - m1g = m1a + m2a
gmmmma
21
12⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
= (3)
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 39
2. แรงเสยดทานจลน (fk) เปนแรงเสยดทานทเกดขนเมอวตถมการเคลอนท ขนาดของแรงเสยดทานจลนจะมคานอยกวาขนาดของแรงเสยดทานสถต ขนาดของแรงเสยดทาน ขนอยกบตวประกอบ 2 ตว ตวท 1 คอ แรงในแนวตงฉากทกดระหวางผวสมผส (N) ตวท 2 คอ ชนดของผวสมผส Nf µ= (3.4)
เมอ µ เปนสมประสทธของความเสยดทาน และ N เปนแรงปฏกรยาในแนวตงฉาก
ถาวตถยงไมเคลอนท Nf ss µ= เมอ fs เปนแรงเสยดทานสถต และ sµ เปนสมประสทธของความเสยดทานสถต
ถาวตถเคลอนทแลว Nf kk µ= เมอ fk เปนแรงเสยดทานจลน และ kµ เปนสมประสทธของความเสยดทานจลน
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 40
fk
ตารางคา sµ และ kµ สาหรบพนผวสมผสแบบตางๆ ชนดของผวสมผส sµ kµ
เหลกบนเหลก 0.74 0.57 อลมเนยมบนเหลก 0.61 0.47 ทองแดงบนเหลก 0.53 0.36 ทองเหลองบนเหลก 0.51 0.44 สงกะสบนเหลกหลอ 0.85 0.21 ทองแดงบนเหลกหลอ 1.05 0.29 แกวบนแกว 0.94 0.40 ทองแดงบนแกว 0.68 0.53 ยางบนผวคอนกรต(แหง) 1.00 0.80 ยางบนผวคอนกรต(เปยก) 0.30 0.25
ตวอยาง 3.5 วตถไถลลงมาตามพนเอยงทมสมประสทธความเสยดทาน พนเอยงจะตองทามมเทาใด วตถจงจะเคลอนทลงดวยความเรวคงท
วธทา จากรปเราแยกแรงเขาสแนวแกน x และ y ของพนเอยงไดดงรปขวามอ และเมอวตถเลอนลงดวยความเรวคงท ความเรง a = 0
ไดวาทางแกน x ∑ = 0Fx แทนคา 0fsinmg k =−θ
0Nsinmg k =− µθ θµ = sinmgNk (1)
ในแกน y ∑ = 0Fy 0cosmgN =− θ
θ= cosmgN (2)
(1)/(2) ไดวา θθ
θµ == tan
cossin
k
ดงนน จะเหนวาวตถไถลลงมาดวยความเรวคงท ตอบ
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 41
การเคลอนทในแนววงกลม (Circular Motion) เมอวตถเคลอนทเปนวงกลม ความเรวของวตถจะมทศสมผสเสนรอบวงกลมซง
เปลยนแปลงตามเวลา นนคอวตถจะเคลอนทดวยความเรง และความเรงนจะมทศเขาสศนยกลางของวงกลมเสมอ เราเรยกความเรงนวา ความเรงสศนยกลาง ให Tp เปนเวลาทอนภาคเคลอนทครบ 1 รอบ หาไดจาก ระยะทางทเคลอนได r2π= เวลาทใชครบ 1 รอบ = Tp
อตราเรว pTr2
vπ
= (3.7)
เวลาทใชในการเคลอนทครบรอบ v
r2Tp
π=
แทน v ใน (3.7) ลงใน (3.5) ได
2p
2
r Tr4a π
= (3.8)
ขนาดของความเรงสศนยกลาง
rva
2
r = (3.5)
เมอ Fr เปน แรงสศนยกลาง มทศพงเขาสศนยกลางของการเคลอนท
ขนาดของแรง r
vmmaF2
rr == (3.6)
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 42
ตวอยาง 3.6 ลกบอลมวล 0.5 kg ผกดวยเชอกยาว 1.5 เมตร แกวงลกบอลเปนวงกลมในแนวราบ ถาเชอกทนแรงดงไดสงสด 50 N ลกบอลจะมอตราเรวสงสดเทาใด กอนทเชอกจะขาด วธทา ตวอยาง 3.7 วตถเลกๆ มวล m แขวนดวยเชอกยาว L แกวงวตถเปนวงกลมในแนวระดบดวยรศม r มอตราเรวคงท v ดงรป การแกวงลกษณะนเรยกวา conical pendulum เพราะคลายรปกรวย จงหาอตราเรวของวตถ และคาบของการเคลอนท; Tp
จากรป θsinT ทาหนาทเปนแรงสศนยกลาง
เราได r
vmsinT2
=θ (1)
และในแนวดง mgcosT =θ (2)
(1)/(2) เราได rgvtan
2
=θ (3.9)
จากความรทางเรขาคณต รศม θ= sinLr ดงนนอตราเรวของวตถเปน θθθ == tansinLgtanrgv ตอบ
แรงสศนยกลางมาจากแรงดงในเสนเชอก
ดงนน r
vmFT2
r ==
อตราเรว mTrv =
แทนคา s/m2.125.0
5.150v =×
= ตอบ
วธทา จากรป เชอกทามม θ กบแนวดง เราสามารถแยกแรงดงในเสนเชอก T ใหอยในแนวระดบ และในแนวดงได
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 43
v
f
คาบของการเคลอนท Tp θ
π=
π=
tanrgr2
vr2Tp
g
cosL2Tpθ
π= วนาท ตอบ
ขอสงเกต คาบเวลาของการเคลอนท Tp ไมขนอยกบมวล m ถาใหเชอกยาว L = 1 เมตร และมม = 20o เราหาคาบของการเคลอนทได
8.920cos12
gcosL2T
o
p π=θ
π=
95.1Tp = วนาท ตอบ ตวอยาง 3.8 รถยนตมวล 1500 kg ขบมาถงทางโคงรศมความโคง 35 เมตร ดงรป ถาสมประสทธความเสยดทานระหวางยางรถกบพนถนนเปน 0.05 จงหาอตราเรวสงสดของรถทจะเลยวโคงไดอยางปลอดภย วธทา ในทน แรงเสยดทานทาหนาทเปนแรงสศนยกลาง
r
vmf2
=
จาก mgNf µµ ==
ดงนน r
vmmg2
=µ
rgv µ= (3.10) แทนคา s/m1.138.93505.0v =××= ตอบ
ในโจทย ถาถามหาแรงเสยดทานทกระทาตอยางรถ ไดเปน mgNf µµ ==
N73508.9150005.0f =××= ตอบ
และ v ยงหาไดจาก mfrv =
s/m1.131500
357350v =×
= ตอบ
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 44
ตวอยาง 3.9 ถาทางโคงทามม θ กบแนวระดบ และถนนไมมแรงเสยดทาน รถเคลอนทดวยความเรว v จงหามม θ ทเหมาะสม ทาใหรถไมลนไถล ทความเรวสงสดแรงปฏกรยาในแนวระดบตองเทากบแรงสศนยกลาง ดงนน
2
rmvsinN =θ (1)
และ mgcosN =θ (2)
(1)/(2) เราได rgvtan
2
=θ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −θ
rgvtan
21 (3.11)
ถารศมความโคงของถนนเปน 50 เมตร และรถมอตราเรว 13.4 m/s จะตองยกพนถนน
o2
1 1.20)8.9)(50(
)4.13(tan =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −θ ตอบ
กฎแรงโนมถวงสากลของนวตน
เรามกเรยกวา แรงดงดดระหวางมวล คอแรงดงดดระหวางมวลคหนง ซงกระทาในแนวเสนตรง
มวล m1 และ มวล m2 จะสงแรงดงดดระหวางกน โดยท F21 เปนแรงทมวล m1 กระทาตอมวล m2 และ F12 เปนแรงทมวล m2 กระทาตอมวล m1 แรงทงสองอยในแนวเสนทเชอมระหวางศนยกลางมวลทงสอง เราสามารถเรยกแรงในลกษณะนวา แรงสศนยกลาง และยงพบวา แรง F21 = F12 แตมทศทางตรงกนขาม โดยทขนาดของแรงขนาดจะแปรผนตรงกบมวล
วธทา จากรป แรงปฏกรยาททางโคงกระทากบรถไมไดอยในแนวดง แตตงฉากกบทางโคงเอยงทามม θ กบแนวดง แยกแรงปฏกรยา N ใหอยในแนวระดบได เปน θsinN และแยกใหอยในแนวดงได
θcosN
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 45
ทงสอง และแปรผกผนกบระยะหางยกกาลงสอง เขยนสมการของแรงดงดดระหวางมวลทงสองไดเปน
221
rmGmF = (3.12)
เมอ G = 6.67 x 10-11 Nm2/kg2 เรยกวา คานจโนมถวงสากล และสมการ (3.12) เรยกวา กฎแรงโนมถวงสากลของนวตน ตวอยาง 3.10 จงหาแรงดงดดระหวางมวล 2 กอน กอนละ 1 kg วางอยหางกน 1 เมตร
วธทา จาก 221
rmGmF =
2
2211
)m1()kg1)(kg1)(kg/Nm1067.6(F
−×=
N1067.6F 11−×= ตอบ การหาคา g และมวลของโลก แรงโนมถวงทโลกดงดดมวล m หาไดจาก
2e
G rmGMF =
แต mgFG =
ไดวา 2e
rmGMmg = (3.13)
ดงนนคาความโนมถวง ณ ตาแหนง r จากจดศนยกลางโลก คอ
2e
rGMg = (3.14)
ถามวล m อยทผวโลกจะได r = Re
ดงนน 2e
e
RGMg =
ได G
gRM2e
e = (3.15)
จากรป อนภาคมวล m อยหางจากจดศนยกลางของโลกทมมวล Me รศม Re เปนระยะ r
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 46
จากขอมลของโลก g = 9.8 m/s2, Re = 6.38 x 106 m, G = 6.67 x 10-11 Nm2/kg2
kg1098.5Mkg/Nm1067.6
)m1038.6)(s/m8.9(M
GgRM
24e
2211
262
e
2e
e
×=×
×=
=
−
ตวอยาง 3.11 ดาว A มคา g เปน 4 เทาของดาว B ถาดาวทงสองมมวลเทากน ดาว A จะมรศมเปนกเทาของดาว B วธทา ใหดาว A มคา g = gA มมวล MA และมรศม RA
จาก (3.14) 2A
AA R
GMg = (1)
ใหดาว B มคา g = gA มมวล MA และมรศม RA
จาก (3.14) 2B
BB R
GMg = (2)
(1)/(2) B
2B
2A
A
B
A
GMR
RGM
gg
×=
gA = 4gB , มวล MA = MB
B
2B
2A
B
B
B
GMR
RGM
gg4
×=
2A
2B
RR4 =
4RR
2B2
A =
ดงนน BA R21R = ตอบ
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 47
การเคลอนทของดาวเคราะหและดาวเทยม จะเหนวา แรง F เปนแรงสศนยกลาง จะได
rmr
mvF 22
G ω== (3.16)
rmr
mvr
GmM 22
2 ω==
v เปนความเรวของดาวเทยม ω เปนความเรวเชงมมของดาวเทยม
โดยท T
2π=ω (3.17)
r
mvr
GmM 2
2 =
r
GMv2 =
r
GMv = (3.18)
และจาก rmr
GmM 22 ω=
32
rGM
=ω
3rGM
=ω (3.19)
พจารณาดาวเทยมหรอดาวเคราะหมวล m เคลอนทเปนวงกลมรอบดาวทมมวล M มรศมการเคลอนท r
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 48
ตวอยาง 3.12 จงหาคาบเวลาในการเคลอนทของดาวเทยม ซงมวงโคจรเปนวงกลมรอบโลก เมอดาวเทยมโคจรอยเหนอผวโลก 8.05 x 105 เมตร กาหนดใหรศมโลกมคา 6.44 x 106 เมตร วธทา ใหรศมของโลก คอ Re และ ระยะจากผวโลกไปยงดาวเทยม คอ d
ระยะจากศนยกลางโลกไปยงดาวเทยม = r ได dRr e +=
และจาก 3e
rGM
=ω
โดยท T
2π=ω
3e
e
)dR(GM
T2
+=
π
e
3e
GM)dR(2T +
π=
3
ee
3e
Rd1
GMR2T ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+π=
จาก 2e
e
RGMg =
3
e
e
Rd1
gR2T ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+π=
แทนคา Re = 6.44 x 106 m, d = 8.05 x 105 m และ g = 9.80 m/s2
3
6
5
2
6
m1044.6m1005.81
s/m8.9m1044.62T ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
××
+×
π=
T = 6077.69 s = 101.29 นาท ตอบ
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 49
กฎของเคปเลอร (Kepler’s laws) เปนกฎทใชในการอธบายการเคลอนทของดาวเคราะหรอบดวงอาทตย ประกอบไปดวย
กฎ 3 ขอ ดงน 1. ดาวเคราะหจะโคจรรอบดวงอาทตยเปนวงร โดยมดวงอาทตยอยทจดโฟกสจดหนงของวงร 2. เวกเตอรรศม (radius vector) ทวดจากดวงอาทตยไปยงดาวเคราะห จะกวาดไดพนทเทากนในชวงเวลาทเทากนเรยกกฎขอนวา กฎของพนท (law of area) จากรป ถาเวลาในการเคลอนทจากตาแหนง 1 ไป 2, 3 ไป 4 และ 5 ไป 6 เทากน พบวาพนท A, B และ C ทกวาดไปไดจะเทากน ดงนน
พนท A = B = C 3. อตราสวนระหวางกาลงสามของครงแกนหลก (semimajor axis) ของวงรกบกาลงสองของคาบในการโคจรครบรอบของดาวเคราะห ทงหลายจะมคาเทากน
ttanconsTa
2
3
=
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 50
กฎขอท 1 และ 2 ของเคปเลอร การทดาวเคราะหเคลอนทเปนวงรแสดงวาตองมแรงกระทาบนดาวเคราะหเหลานน
(เกดความเรง) ซงนวตนไดตงสมมตฐานวา แรงทกระทาบนดาวเคราะหมตนกาเนดมาจากดวงอาทตยและตองเปนแรงเขาสศนยกลาง ดงรป ซงแรงดงกลาวกคอ แรงดงดดระหวางมวล นนเอง พจารณาดาวเคราะหมวล m ถกแรง F มทศพงเขาสจด O กระทาโดยทเวลา t ดาวเคราะหอยทตาแหนง rv เมอเวลาผานไป dt อยทตาแหนง rdr vv + จะเหนวากวาดพนทไปได
rdr21Ad vvv ×=
ถากาหนดให Adv เปนเวกเตอรพนท จะได
rdr21Ad vvv ×= (3.20)
dtrdr
21
dtAd v
vv
×=
m2L)pr(
m21vr
21
dtAd v
vvvvv
=×=×= (3.21)
เมอ vmp vv = เรยกวาโมเมนตม และเรยก prL vvv ×= วา โมเมนตมเชงมม (angular momentum)
จาก dtpd
dtvdmamF
vvvv ===
dtLdp
dtrd
dt)pr(d
dtpdrFr
vv
vvvvvvv =×−
×=×=×
แตแรง Fv อยในแนวเดยวกบ Fr vv× ดงนน
0
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 51
ดงนน dtLd0v
= (3.22)
จะได ttanconsL =v
ดงนน ttanconsm2L
dtAd
==vv
(3.23)
นนคอ ในชวงเวลาเทากน จะกวาดพนทไปไดเทากน กฎขอท 3 ของเคปเลอร
ถาสมมตใหวงโคจรของดาวเคราะหมวล m เปนวงกลมรศม a โดยมดวงอาทตยมวล M อยทจดศนยกลาง
a
mvF2
c =
22
2 Ta2
am
amv
aGMm
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
==
2
Ta2
aGM
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
=
ttancons4GM
Ta
22
3
=π
= (3.24)
เปนไปตามกฎขอท 3 ของเคปเลอร
บทท 3 กฎการเคลอนท และกฎการเคลอนทของนวตน
1. ออกแรง 10 นวตน กระทาตอวตถ A มวล 60 กโลกรม ซงตดกบวตถ B มวล 40 กโลกรม ถาพนไมมแรงเสยดทาน จงหาวาวตถทงสองจะเคลอนทดวยความเรงเทาใด
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 52
ขอมล มวล 6 กโลกรม วางอยบนโตะลน ผกตดกบเชอกเบาเสนหนงทปลายขางหนงของเชอกมมวลแขวนอย 4 กโลกรม เชอกคลองผานรอกลนดงรป จงหา
1. ความเรงของระบบ 2. แรงดงในเสนเชอก
ขอมล จากรปมวล 3 กโลกรม และ 2 กโลกรม คลองอยบนรอกลน โดยอาศยเชอกเบาเสนหนง จงหา 3. ความเรงของระบบ 4. แรงดงในเสนเชอก
5. จากการแขงขนการขบรถจกรยานยนตในสนามแขงขนแหงหนง ปรากฏวาเมอรถมาถงทาง
โคงรศม 40 เมตร คนขบจะตองเอยงทามม 45o กบแนวดง ขณะนนรถมอตราเรวเทาใด 6. รถยนตเลยวโคงบนถนนราบทมรศมความโคง 25 เมตร ถาสมประสทธความเสยดทาน
ระหวางยางรถกบพนถนนเปน 0.4 รถคนนจะเลยวโคงดวยอตราเรวเทาใด
ขอมล วตถมวล 1 กโลกรม ผกดวยเชอกยาว 1 เมตร แกวงเปนวงกลมในแนวดง ขณะเชอกทามม 30o กบแนวดง วตถมอตราเรว 2 m/s จงหา 7. ความเรงสศนยกลาง 8. ความเรงตามแนวสมผส 9. ความเรงลพธ 10. แรงดงในเสนเชอก
11. ดาว A อยหางจากดาว B เปนระยะ d ออกแรงดงดดกน F ถาดาว A อยหางจากดาว B เปนระยะ 2d จะออกแรงดงดดกนเทาใด
12. ดาวเทยมดวงหนงจะตองโคจรสงจากพนโลกเทาใด จงจะทาใหความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลกเหลอเพยง g/4 กาหนดใหรศมโลกเปน 6400 กโลเมตร
13. ดาวเคราะหดวงหนงมเสนผานศนยกลางประมาณครงหนงของเสนผานศนยกลางของโลก และมมวล 1/10 เทาของมวลโลก ชายคนหนงหนก 600 N บนผวโลก เขาจะหนกเทาใดเมอขนไปอยบนผวดาวเคราะหดวงน
14. ดาวดวงหนงมมวลเปน 3 เทาของมวลโลก และมรศมเปน 2 เทาของรศมโลก จงหาความเรงทพนผวดาวดวงนน กาหนดให g เปนความเรงทผวโลก
3 kg
2 kg
2 m/s
30o
กฎการเคลอนท และการประยกตกฎของนวตน หนา 53
15. มวล A และ B วางหางกน 6 เมตร ทาใหเกดแรงดงดดระหวางกน F ถาตองการใหเกดแรงกระทาตอกนเปน 4/9 เทาของแรงเดม ตองวางมวลทงสองหางกนกเมตร
16. ถามวล 1 kg หนก 9.8 N บนพนโลก จงหานาหนกบนดวงจนทร ถารศมโลกเทากบ 4 เทาของรศมดวงจนทร และมวลโลกเทากบ 8 เทาของมวลดวงจนทร
17. ดาวเคราะหดวงหนงมมวลเปน 2 เทาของมวลโลก แตมรศมเปนครงหนงของรศมโลก คาความเรงเนองจากแรงโนมถวงของดาวเคราะหนนเปนกเทาของความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก
18. จงหาอตราสวนของแรงโนมถวงโลกกบแรงโนมถวงทกระทาตอยานอวกาศเมออยทระดบเหนอผวโลกเปนระยะทางเทากบครงหนงของรศมโลก
19. ชายคนหนงชงนาหนกตนเองบนดาวเคราะหดวงหนงได 1/5 เทาของนาหนกทชงไดบนผวโลก ถาดาวเคราะหดวงนนมรศมเปน 1/3 เทาของรศมโลก จงหามวลของดาวเคราะหดวงนน
20. ถาโลกมรศม R ทระยะสงจากผวโลกเทาใด วตถจงจะมนาหนกเปนครงหนงของนาหนกทชงบนผวโลก
21. ดาวเคราะหดวงหนงมมวลเทากบมวลของโลก ถาปลอยวตถชนหนงจากทสง 5 เมตร บนดาวเคราะหดวงน พบวาความเรวของวตถเมอตกถงพนเปน 2 เทาของความเรวเมอปลอยวตถชนนใหตกลงสพนโลกจากความสงเทากน จงหาวารศมของดาวเคราะหดวงนเปนกเทาของรศมโลก
ผสอน ผศ.ดร.ชมพนช วรางคณากล
m m A B
บทท 4 งานและพลงงาน
งาน (work) งานคอผลคณระหวางขนาดของแรงทกระทาตอวตถกบระยะทางทเคลอนทไดในแนว
เดยวกน เปนปรมาณสเกลาร มหนวยเปนจล (J) โดยท 1 J = 1 Nm งานของแรงคงท
แรง Fv ดงวตถใหเคลอนทจาก A ไปยง B ไดการกระจด sv แรง Fv มทศทามม θ กบแนวกระจด s งานททาโดยแรง Fv จะได sFW vv ⋅= (4.1) หรอ θθ == cosFss)cosF(W (4.2) ถาแรง Fv มองคประกอบ
kFjFiFF zyx ++=r
และระยะกระจด sv มสวนประกอบ kzjyixs ++=v งานทงหมดททาโดยแรง Fv จะได zyx zFyFxFsFW ++=⋅= vr (4.3) ถามแรงเสยดทานเขามาเกยวของดงรป
งานและพลงงาน หนา 55
งานทไดเปนงานลพธจะตองคดงานเนองจากแรงเสยดทานดวย fF WWW += ถาเปนดงรปจะได
fscosFsW
fsWcosFsW
f
F
−=−=
=
θ
θ
ตวอยาง 4.1 แรงคงทขนาด 100 N เคลอนวตถในแนวเสนตรงไดระยะทาง 20 m จงหางานททาได เมอแรงนทามม 0o, 30o, 60o, 90o กบแนวการเคลอนท วธทา เมอ o0=θ ได
J000,20cos)20)(100(
cosFssFWo ==
=⋅= θvv
เมอ o30=θ ได
J732,1)866.0)(20)(100(30cosFsW o
===
เมอ o60=θ ได
J000,1)5.0)(20)(100(60cosFsW o
===
เมอ o90=θ ได
J0)0)(20)(100(90cosFsW o
===
ตอบ
งานและพลงงาน หนา 56
ตวอยาง 4.2 ใชแรง N)j2i5(F +=v ในการเคลอนทอนภาคใหเคลอนทในระนาบ xy ไดการกระจด m)j3i2(s +=v จงหางานททาโดยแรงน วธทา จาก sFW vv ⋅=
)j3j2()i2i5(
Nm)j3i2()j2i5(
⋅+⋅=
+⋅+=
J16W = ตอบ งานเนองจากแรงไมคงท
พจารณาอนภาคเคลอนทตามแนวแกน x จาก xi ถง xf ภายใตแรงกระทาไมคงท ดงรป เราไมสามารถใช (4.2) หางานได
ถาสมมตวาอนภาคเคลอนทเปนการกระจดนอยๆ ดงรป a เราสามารถประมาณไดวา แรงในแนวแกน x คอ Fx มคาคงท ดงนนงานทกระทาโดยแรง Fx ทาใหอนภาคเคลอนทได x∆เขยนไดเปน
xFW x∆=∆ (4.4) และงานทงหมดททาจาก xi ถง xf มคา
∑ ∆≅f
i
x
xx xFW
เปลยน ∑ เปน integration
∫∑ =∆=→∆
f
i
f
i
x
xx
x
xx0x
dxFxFlimW
เราสามารถหางานเนองจากแรง Fx เมออนภาคเคลอนทจาก xi ถง xf ไดจาก
∫=f
i
x
xxdxFW (4.5)
หรองานมคาเทากบพนทใตกราฟระหวาง Fx และ x ดงรป b
งานและพลงงาน หนา 57
ถามแรงมากกวา 1 แรงกระทาตออนภาคใหเคลอนท จาก xi ถง xf หางานลพธไดจาก
∫ ∑=f
i
x
xxnet dx)F(W (4.6)
ตวอยางของแรงทมขนาดเปลยนไปตามตาแหนงของการเคลอนทของอนภาค เชนแรงของสปรง ดงรป
พจารณางาน WFapp ททาโดยแรงภายนอก Fapp ในการยดหรอหดสปรงอยางชาๆ จากตาแหนง xi ถง xf ซงมคาเทากบแรงของสปรงแตมทศตรงขาม นนคอ Fapp = -(-kx) = kx ดงนนงานเนองจาก Fapp มคา
2i
2f
x
x
x
xappF kx
21kx
21kxdxdxFW
f
i
f
iapp
−=== ∫∫
หมายความวางานททาโดยสปรงจะมขนาดเทากบงานเนองจากแรงภายนอกทใชดงหรอกดสปรงแตมเครองหมายตรงกนขาม
งานและพลงงาน หนา 58
ตวอยาง 4.3 จงหางานในการเคลอนวตถจากตาแหนง x = 0 ถง x = 6 ดงรป ตวอยาง 4.4 มวลตดปลายสปรงซงมคาคงทของแรง 80 N/m สปรงถกอดเปนระยะทาง 3 cm จากตาแหนงสมดล จงหางานททาโดยแรงของสปรงในการเคลอนมวลจากตาแหนง -3 cm ถงตาแหนงสมดล
วธทา จาก ∫∫−−==
0
3
x
xss dx)kx(dxFW
f
i
0
3
2xk21
−−=
22 )m103)(m/N80(21 −×−=
J106.3 2−×= ตอบ กาลง
พจารณาแรงภายนอกกระทาตอวตถและเกดงาน W∆ ในชวงเวลา t∆ เรานยามกาลงเฉลย (average power; Pavg) วาเปนอตราสวนของงานททาตอเวลา
tWPavg ∆
∆= (4.7)
และกาลงขณะใดๆ (instantaneous power; P) คอลมตของกาลงเฉลยเมอ t∆ เขาใกล 0
dtdW
tWP 0t
lim=
∆∆
= →∆ (4.8)
งาน = พนทใตกราฟจาก x=0 ถง x=6 = พนทสเหลยมผนผา+พนทสามเหลยม
Nm)52(21Nm)45( ×+×=
= 25 J ตอบ
งานและพลงงาน หนา 59
จาก sdFdW vv ⋅= ดงนนสมการ (4.8) เขยนไดดงน
vFdt
sdFdtdWP vvvv
⋅=⋅
== (4.9)
หนวยของกาลง ในระบบ SI คอ J/s ซงเรยกวา วตต (Watt; W) โดยท 1 W = 1 J/s = 1 kg m2/s3
ในระบบ British engineering คอ แรงมา (horsepower; hp) โดยท 1 hp = 500 = 746 W
ตวอยาง 4.5 ลฟทมมวล 1,000 kg รบภาระไดมากทสด 800 kg มแรงเสยดทาน 4,000 N ตานการเคลอนทขนดงรป จงหา ก. กาลงนอยทสดทมอเตอรใชในการยกลฟทใหเคลอนทดวยอตราเรวคงท 3 m/s ข. กาลงทมอเตอรใชในการยกลฟทใหเคลอนทขนดวยความเรง 1.0 m/s2 หากาลงจากสมการ (4.9)
W1049.6
)s/m3)(N10164.2(
TvvTP
4
4
×=
×=
=⋅= vv
kW9.64P = หรอ hp1.87P = ตอบ ข. จากกฎขอ 2 ของนวตน F = Ma MaMgfT =−− MafMgT ++= f)ga(M ++=
N104s/m)8.91)(kg108.1( 323 ×++×=
วธทา ก. มอเตอรตองใชแรง Tv ในการดงลฟทใหเคลอนทขนดวยอตราเรวคงท (a = 0) จากกฎขอ 2 ของนวตน F = ma ในทนใหมวลของลฟท + สมภาระ = M
F = Ma = 0 T- f - Mg = 0 เมอ M คอมวลรวมของระบบ (ลฟท+ภาระ) = 1,800 kg ดงนน T = f + Mg = 4x103 N +(8x103 kg)(9.8 m/s2) = 2.164x104 N
งานและพลงงาน หนา 60
N1034.2 4×= หากาลงจากสมการ (4.9) v)1034.2(TvP 4×== ตอบ เมอ v เปนอตราเรวขณะใดๆ ของลฟท
งานและพลงงานจลน พจารณาแรง xF
v กระทาตออนภาคมวล m ใหเคลอนทไปในทศทาง x จาก 0 ถง s งานททา โดยแรง xF
v มคา s)ma(sFW xx == (4.10) เมอ ax มคาคงท เนองจาก Fx คงท เราทราบแลววา ความสมพนธเมออนภาคเคลอนทภายใตความเรงคงท คอ
t)vv(21s fi +=
t
vva if
x−
=
เมอ vi คอความเรวท t = 0 และ vf คอความเรวทเวลา t ใดๆ แทนคาลงในสมการ (4.10) ได
t)vv(21
tvv
mW fiif +⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
=
2i
2f mv
21mv
21W −= (4.11)
เรานยามปรมาณในสมการ (4.11) วาเปนพลงงานจลน (kinetic energy; K) ของอนภาค
2mv21K = (4.12)
พลงงานจลนเปนปรมาณสเกลารและเปนปรมาณทเกยวกบการเคลอนทของอนภาคสมการท (4.12) เขยนไดเปน
2i
2f mv
21mv
21W −= (4.13)
หรอเขยนไดวา KKK if ∆=− (4.14) นนคอ งานททาโดยแรงคงทในการเคลอนอนภาค มคาเทากบการเปลยนแปลง
พลงงานจลนของอนภาค และเรยกสมการท (4.14) วา ทฤษฎงาน-พลงงาน (work-energy theorem)
งานและพลงงาน หนา 61
พจารณากรณแรงทกระทาตออนภาคในทศ x มคาไมคงท ผลรวมของแรงทงหมดมคา ∑ xFv จากกฎขอ 2 ของนวตน maFx =∑
v และจากสมการท (4.6) งานสทธมคา
( )∫ ∫∑ ==f
i
f
i
x
x
x
xxnet dxmadxFW
dxdvv
dtdx
dxdv
dtdva ===
ดงนน
∫ ∫ ∫==⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
f
i
f
i
f
i
x
x
v
v
v
vnet vdvmdvmvdx
dxdvvmW
2i
2fnet mv
21mv
21W −= (4.15)
จากสมการท (4.15) จะเหนไดวาทฤษฎงาน-พลงงาน สามารถใชไดกบกรณทแรงกระทาตออนภาคมคาไมคงท
สาหรบการเคลอนทของอนภาคตามเสนทางใดๆ ใน 3 มตเขยนไดวา
∫ ⋅=f
isdFW vv (4.16)
kdzjdyidxsd ++=v และ kFjFiFF zyx ++=v แทนคาในสมการ (4.16) ได
∫ ++=fff
iii
z,y,x
z,y,xzyx )dzFdyFdxF(W (4.17)
สมการ (4.17) เปนสมการทวไปทใชหางานเมอ อนภาคเคลอนทจาก (xi, yi, zi) ถง (xf, yf, zf) ตวอยาง 4.6 กลองมมวล 6 kg ถกลากจากขณะหยดนงไปทางขวาดวยแรงขนาด 12 N ดงรป จงหาอตราเรวของกลองหลงจากเคลอนทเปนระยะทาง 3 เมตร
งานและพลงงาน หนา 62
ก. เมอลากกลองบนพนเรยบ วธทา งานททาโดยแรง 12 N
J36)m3)(N12(sFW ==⋅= vv จากทฤษฎงาน-พลงงาน
ifF KKW −=
0mv21 2
f −=
22F2f s/m12
kg6)J36(2
mW2v ===
s/m46.3v f =∴ ตอบ
ข. เมอลากกลองบนพนขรขระ ทมคาสมประสทธ ความเสยดทาน 0.15 ใชทฤษฎงาน-พลงงาน เมอ vi = 0
2fnet mv
21W =
22net2f s/m
6)5.9(2
mW2v ==
s/m78.1v f = ตอบ
วธทา เนองจากพนมความเสยดทาน ดงนน งานสทธ คอ fFnet WWW +=
เนองจากแรงเสยดทานมทศทางตรงกนขามกบ การกระจด ดงนนงานมคาเปนลบ คอ
mgsfsWf µ−=−= )m3)(s/m8.9)(kg6)(15.0( 2−= J5.26−=
J5.9J5.26J36Wnet =−=
งานและพลงงาน หนา 63
ตวอยาง 4.7 รถคนหนงเคลอนทดวยความเรว 48 km/hr เมอเบรกพบวารถมระยะหยดนอยสดท 40 m ถารถอกคนหนงมเครองยนตเหมอนกน เคลอนทดวยความเรว 96 km/hr จงหาระยะหยดนอยทสดของรถคนดงกลาว วธทา ใหระยะหยดนอยทสดเทากบ d เมอเบรกแรงเสยดทานระหวางลอและถนนจะมคามากทสด งานททาโดยแรงเสยดทาน คอ -fd ซงมคาเทากบการเปลยนแปลงพลงงานจลนของเครองยนต เนองจากพลงงานจลนสดทายมคาเปน 0 ดงนน if KKW −=
2mv210fd −=−
f2
mvd2
=
เนองจากรถยนต 2 คน เหมอนกน ทาใหมวล m ของรถทง 2 คนเทากน และแรงเสยดทาน f ของรถทง 2 คนเทากน ดงนนไดอตราสวนของระยะหยด คอ
2
1
2
1
2
vv
dd
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
แทนคา v1 = 48 km/h, v2 = 96 km/h และ d1 = 40 m
จะได 1
2
2 d4896d ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
m160)m40(4d4 1 === ตอบ แรงอนรกษและแรงไมอนรกษ
แรงอนรกษ (Conservative force) คอ แรงททาใหเกดงานซงไมขนกบเสนทางการเคลอนทของอนภาค นนคอ งานทกระทาบนอนภาค โดยแรงอนรกษจะขนอยกบตาแหนงเรมตน และตาแหนงสดทายของอนภาคเทานน
งานและพลงงาน หนา 64
พจารณาการเคลอนทของอนภาคตามเสนทางปดใดๆ ภายใตแรงอนรกษ ดงรป a จากนยามของแรงอนรกษ สามารถเขยนไดวา
WPQ(ตามเสนทางท 1) = WPQ(ตามเสนทางท 2) ถาสมมตใหอนภาคเคลอนทจาก P ถง Q ตามเสนทางท 1 และเคลอนทจาก Q ถง P
ตามเสนทางท 2 ดงรป b ดงนน WPQ(ตามเสนทางท 1) = - WPQ(ตามเสนทางท 2) WPQ(ตามเสนทางท 1) + WPQ(ตามเสนทางท 2) = 0
นนหมายความวา ผลรวมของงานทกระทาโดยแรงอนรกษบนเสนทางปดใดๆ จะมคาเทากบ 0 ตวอยางของแรงประเภทนไดแก แรงโนมถวง แรงคนตวของสปรง เปนตน
พจารณาการเคลอนทของอนภาคในแนวดงภายใตแรงโนมถวง mg (ในทศลบ y) จากตาแหนงเรมตน yi ถงตาแหนงสดทาย yf งานททาโดยแรงโนมถวงมคา Wg = - mg(yf-yi)
จะเหนวา Wg ขนอยกบตาแหนง yi และ yf และไมขนกบเสนทางการเคลอนทในกรณอนภาคเคลอนทเปนเสนทางปด จะไดวา yi = yf ดงนน Wg = 0
สาหรบแรงคนตวของสปรง ซง Fs = - kx งานททาใหการยดหรอหดสปรงระหวางตาแหนงเรมตน xi กบตาแหนงสดทาย xf มคา
2f
2is kx
21kx
21W −=
นนคอ Ws ขนอยกบตาแหนงเรมตนและตาแหนงสดทายเทานน และสาหรบการเคลอนทเปนเสนทางปด Ws = 0 เมอ xi = xf ดงนนสรปไดวา แรงโนมถวงและแรงคนตวของสปรงเปนแรงอนรกษ
แรงไมอนรกษ (Nonconservative force) คอแรงททาใหเกดงานซงขนอยกบเสนทางการเคลอนทของอนภาค และงานทกระทาโดยแรงไมอนรกษตามเสนทางปดใดๆ ไมจาเปนตองมคาเทากบ 0 ตวอยางของแรงประเภทน ไดแก แรงเสยดทาน แรงตานของอากาศ เปนตน
พจารณาการเลอนสมดบนโตะขรขระ จาก A ไป B ตามเสนทางในรป ถาสมดเคลอนทไป ตาม เสนตรง งานททาโดยแรงเสยดทาน จะมคา - fd
งานและพลงงาน หนา 65
และ ถาสมดเคลอนทไปตามเสนโคง งานททาโดยแรงเสยดทานจะมคา ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−π
2df และถา
สมดเคลอนทเปนเสนทางปดใดๆ งานททาโดยแรงเสยดทานกจะไมเทากบ 0 พลงงานศกย
การเคลอนทของอนภาคในแนวแกน x จากตาแหนงเรมตน xi ถงตาแหนงสดทาย xf ภายใต แรงอนรกษ Fv งานททาโดยแรงอนรกษจะมคาเทากบพลงงานศกยทลดลง
นนคอ ∫ ∆−==f
i
x
xxc UdxFW (4.18)
เมอ Fx คอ องคประกอบของแรงในทศการกระจด U∆ คอ การเปลยนแปลงพลงงานศกย โดยท if UUU −=∆ ดงนน (4.18) เขยนไดเปน
∫−=−=∆f
i
x
xxif dxFUUU (4.19)
เนองจากแรงคงทขนอยกบตาแหนงของอนภาคเพยงอยางเดยว ดงนนพลงงานศกยจงเปนปรมาณทขนอยกบตาแหนงดวย และเรานยามฟงกชนพลงงานศกยไดเปน
∫ +−=f
i
x
xixf UdxF)x(U (4.20)
(4.20) ใชไดกบแรงคงทเทานน และโดยทวไป Ui = 0 ทตาแหนงอางองใดๆ จากสมการ (4.18) ถาอนภาคเคลอนทเปนระยะทางสนมากๆ dx ดงนน การเปลยนแปลงพลงงานศกยจะมคานอยมากเชนกน นนคอ dUU=∆ ฉะนน (4.18) จะกลายเปน
dUdxFx −= ดงนนเขยนความสมพนธของแรงอนรกษและฟงกชนพลงงานศกยไดดงสมการ
dxdUFx −= (4.21)
การอนรกษพลงงานกล พจารณาการเคลอนทของอนภาคตามแนวแกน x ภายใตอทธพลของแรงอนรกษ Fx
เพยงอยางเดยว จากทฤษฎงาน-พลงงาน พบวา งานมคาเทากบการเปลยนแปลงพลงงานจลนของอนภาค นนคอ KWc ∆= และเนองจากแรงดงกลาวเปนแรงอนรกษ ดงนนงานมคา UWc ∆−= UK ∆−=∆ 0)UK(UK =+∆=∆+∆ (4.22)
งานและพลงงาน หนา 66
เรยก (4.22) วากฎการอนรกษของพลงงานกล (law of conservation of mechanical energy) ซงเขยนในรปแบบอนไดดงน ffii UKUK +=+ (4.23) หรอ fi EE = (4.24) เมอ E คอ ผลรวมของพลงงานกลของระบบ UKE += (4.25)
นนคอ กฎการอนรกษของพลงงานกลกลาววา ถามแรงอนรกษทางานใหแกระบบ ผลรวมของพลงงานกลของระบบจะมคาคงท หรอกลาวอกนยหนงคอ พลงงานจลนและพลงงานศกยของระบบสามารถเปลยนรปไปมาไดโดยทพลงงานรวมของระบบมคาคงทเสมอ ถามแรงอนรกษกระทาตอระบบมากกวาหนงแรง สามารถเขยนกฎการอนรกษของพลงงานกลไดดงน ∑ ∑+=+ ffii UKUK (4.26)
เมอเทอมในเครองหมาย ∑ เทากบจานวนแรงอนรกษทกระทาตอระบบ เชน ถามมวลเชอมตดกบปลายสปรงกาลงสนอยในแนวดง ดงนนจงมแรงอนรกษ 2 แรง ทกระทาตอระบบ คอแรงของสปรง และแรงโนมถวงในระบบทวๆ ไป เราจะพบแรงไมอนรกษเสมอเชนระบบมความเสยดทาน ผลรวมของพลงงานของระบบจะมคาไมคงท
ถาให Wnc คองานททาโดยแรงไมอนรกษ และ Wc คองานททาโดยแรงอนรกษ จากทฤษฎงาน-พลงงาน จะไดวา KWW cnc ∆=+ เนองจาก UWc ∆−= ดงนน )UU()KK(UKW ififnc −+−=∆+∆= (4.27) หรอ ifiiffnc EE)UK()UK(W −=+−+= (4.28)
นนคอ งานทกระทาโดยแรงอนรกษมคาเทากบการเปลยนแปลงพลงงานรวมของระบบ และถา Wnc = 0 ดงนน Ei = Ef ซงกคอกฎการอนรกษของพลงงานกลนนเอง พลงงานศกยโนมถวง
อนภาคเคลอนทจากจด P ถง Q ภายใตแรงโนมถวงคงทดงรป งานทกระทาโดยแรงโนมถวงตามเสนทาง PAQ สามารถแบงเปน 2 สวน คอ งานตามเสนทาง PA และ งานตามเสนทาง AQ นนคอ
งานและพลงงาน หนา 67
mgh0mghWWW AQPAPAQ −=+−=+= WPA เปนลบเพราะ mg มทศทางตรงขามกบการกระจด WAQ เปน 0 เพราะ mg มทศตง
ฉากกบการกระจด ในทานองเดยวกน งานตามเสนทาง PBQ จะมคา - mgh เชนกน สาหรบงานตามเสนทาง PQ พจารณาไดจากการเขยนเสนโคงใหอยในรปขนบนไดตาม
แนวนอนและแนวดง และจะเหนวามงานเกดขนเฉพาะในแนวดงเทานน ทงนเนองจากในแนวนอน mg ตงฉากกบการกระจดจงไมมงานเกดขน ซงงานททาตามขนบนไดในแนวดงสาหรบขนท n ใดๆ มคา nymg∆− เนองจากระยะทางในแนวดงจาก P ถง Q มคาเทากบ h ดงนนงานทงหมดทกระทาโดยแรงโนมถวง จงมคาเทากบพลงงานรวมของงานในแนวดง นนคอ ∑ −=∆−=
nng mghymgW
หรอ fig mgymgyW −= (4.29) สรปไดวา เนองจากงานททาโดยแรงโนมถวงไมขนกบเสนทาง ดงนนแรงโนมถวงจงเปน
แรงอนรกษ และนยามฟงกชนพลงงานศกยโนมถวง Ug ไดดงน mgyUg = (4.30) แทน (4.30) ลงใน (4.29) จะได gfig UUUW ∆−=−= (4.31)
นนคอ งานททาโดยแรงโนมถวงมคาเทากบพลงงานศกยเรมตนลบดวยพลงงานศกยสดทาย สาหรบกรณทวตถตกอยางอสระภายใตอทธพลของแรงโนมถวงเพยงอยางเดยว เราสามารถเขยนกฎการอนรกษของพลงงานกลไดดงน จาก ffii UKUK +=+
f2fi
2i mgymv
21mgymv
21
+=+ (4.32)
ตวอยาง 4.8 ปลอยลกบอลมวล m ทความสง h จากพนดน ดงรป จงหาอตราเรวของลกบอลทความสง y จากพนดน โดยไมคดแรงตานทานของอากาศ
วธทา เมอลกบอลถกปลอยจากขณะหยดนง ทความสง h จากพนดน พลงงานจลน Ki = 0 และพลงงานศกย Ui = mgh เมอลกบอลอยท
ระยะทาง y เหนอพนดน พลงงานจลน 2ff mv
21K =
และพลงงานศกย Uf = mgy จาก ffii UKUK +=+
mgymv21mgh0 2
f +=+
)yh(g2v2f −=
)yh(g2v f −= ตอบ
งานและพลงงาน หนา 68
ตวอยาง 4.9 ลกตมเพนดลมมวล m ผกตดกบปลายเชอกนาหนกเบา ยาว L ดงรป ลกตม ถกปลอยขณะหยดนงโดยทามม 0θ กบแนวดง และทจดตรง 0 ไมมความเสยดทาน จงหา ก. อตราเรวของลกตมตาแหนงตาสดทจด b ข. แรงตงในเสนเชอก ทตาแหนง b แทนคาลงในสมการได
mgLmv21cosmgL0 2
b0 −=− θ
)cosmgLmgL(m2v 0
2b θ−=
)cos1(gL2 0θ−= )cos1(gL2v 0b θ−=∴ ตอบ ข. จากกฎขอท 2 ของนวตน ∑ =−= rbr mamgTF
เมอ ar = ความเรงสศนยกลาง r
v2
=
ในทน r = L
LvmmgT
2b
b =−
)cos1(mg2mgT 0b θ−+=∴ )cos23(mg 0θ−= ตอบ
วธทา ก. พจารณาตาแหนง a และ b จาก กฎการอนรกษพลงงาน
bbaa UKUK +=+ เมอ 0Ka =
2bb mv
21K =
0aa cosmgLmgyU θ−== mgLmgyU bb −== (เปนลบเพราะใชจด 0 เปนตาแหนงอางองของลกตมจงอยในทศ -y)
งานและพลงงาน หนา 69
ตวอยาง 4.10 กลองมมวล 3 kg เคลอนทลงจากพนเอยงขรขระทมแรงเสยดทาน 5 N และพนเอยงทามม 30o ดงรป
ก. ใชทฤษฎของพลงงานคานวณหาอตราเรวของกลองเมอเคลอนทมาถงปลายสดของพนเอยง
ข. ตรวจสอบคาตอบ ขอ ก. โดยใชกฎการเคลอนทของนวตน ก. วธทา ทตาแหนงเรมตน vi = 0 ฉะนน พลงงานจลน = 0 พลงงานรวมคอพลงงานศกยเพยงอยางเดยว
J7.14
)m5.0(sm8.9)kg3(
mgyUE
2
iii
=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
==
ทตาแหนงสดทายพลงงานศกย = 0 เพราะวา yi = 0 พลงงานรวมคอพลงงานจลนเพยงอยางเดยว
2ff mv
21E =
สาหรบในกรณน fi EE ≠ เพราะวาระบบนแรงเสยดทานและงานททาโดยแรงเสยดทานมคา J5)m1)(N5(fsWnc −=−=−= จาก Wnc = Ef - Ei
i2f mgymv
21fs −=−∴
)fsmgy(m2v i
2f −=
)J5J7.14()kg3(
2−=
22 s/m47.6= s/m54.2v f =∴ ตอบ
งานและพลงงาน หนา 70
ข. วธทา จากกฎขอ 2 ของนวตน ∑ = maF maf30sinmg o =−
kg3N5
)5.0)(s/m8.9(
mf30singa
2
o
−=
−=
2s/m23.3= จาก as2vv 2
i2f +=
as2v0v 2f
2i =⇒=
22
2
s/m46.6
)m1)(s/m23.3(2
=
=
s/m54.2v f =∴ ตอบ
ตวอยาง 4.11 นกสกเลนสกบนพนเรยบทามม 20o กบพนสง 20 m ดงรป ดานลางของพนเอยงเปนพนขรขระในแนวนอน คาสมประสทธความเสยดทานจลน ระหวางสกและหมะเทากบ 0.21 จงคานวณวานกสกจะเลนสกไดเปนระยะทางเทาใดบนพนในแนวนอนกอนหยดนง วธทา หาอตราเรวของนกสกทดานลางของพนเอยงจาก
ffii UKUK +=+ 0mv
21mgh0 2
f ==+
gh2v f = )m20)(s/m8.9(2 2= s/m8.19=
งานและพลงงาน หนา 71
ใชทฤษฎงาน-พลงงาน สาหรบการเคลอนทบนพนขรขระในแนวราบ งานททาโดยแรงเสยดทานกอนสกหยดมคา ifnc KKfsW −=−=
2imv
210mgs −=−µ
m2.95)s/m8.9)(21.0(2
)s/m8.19(g2
vs 2
22i ===µ
ตอบ
พลงงานศกยสะสมในสปรง
งานทสปรงทาในการเลอนกลองจากตาแหนง xi ถง xf คอ
2f
2is kx
21kx
21W −=
นยามปรมาณ 2kx21 วาเปนพลงงานศกยยดหยน (elastic potential energy;Us) ท
สะสมไวในสปรง
2s kx
21U = (4.33)
Us มคาเปน 0 เมอสปรงไมมการยดหรอหด และมคามากทสดเมอสปรงถกอดมากทสด (รป c)
พลงงานกลรวมของระบบมคา
2f
2f
2i
2i kx
21mv
21kx
21mv
21E +=+= (4.34)
งานและพลงงาน หนา 72
และจากรป xi = 0 ดงนน (4.34) กลายเปน
2f
2f
2i kx
21mv
21mv
21E +== (4.35)
หมายความวา ทระยะกระจด xr ใดๆ ผลรวมของพลงงานจลนและพลงงานศกยจะมคาคงท ซงเทางานรวม ในกรณทมแรงไมอนรกษกระทาตอระบบ เราสามารถใชทฤษฎงาน-พลงงาน หางานเนองจากแรงไมอนรกษไดดงน )UK()UK(EEW iiffifnc +−+=−=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ += 2
i2i
2f
2f kx
21mv
21kx
21mv
21 (4.36)
นนคอ ถามแรงไมอนรกษมากระทาตอระบบ พลงงานรวมของระบบจะมคาไมคงท ตวอยาง 4.12 กลองมมวล 0.8 kg เคลอนทไปทางขวาดวยความเรวเรมตน 1.2 m/s ชนกบสปรงเบาซงมคาคงทของแรง 50 N/m ดงรป จงหาระยะทสปรงหดตวมากทสดหลงจากการชน เมอ
ก. พนไมมความเสยดทาน ข. พนมความเสยดทาน โดย 5.0=µ
ข. วธทา เนองจากระบบมแรงไมอนรกษมากระทาดงนนพลงงานของระบบจะมคาไมคงท หางานเนองจากแรงเสยดทานในการเคลอนกลองจาก xi = 0 ถง xf = x fxWnc −= เมอ mgNf µµ == )s/m8.9)(kg8.0(5.0 2= N92.3= Jx92.3Wnc −=∴
ก. วธทา จาก 2f
2f
2i
2i kx
21mv
21kx
21mv
21E +=+=
2f
2i kx
2100mv
21
+=+
2i
2f mv
k1x =
m152.0)s/m2.1(m/N50
kg8.0v
kmx 2
if ===∴
งานและพลงงาน หนา 73
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ += 2
i2i
2f
2fnc kx
21mv
21kx
21mv
21W
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +=− 0mv
21kx
210x92.3 2
i2f
22 )2.1)(8.0(21x
250x92.3 −=−
0576.0x92.3x25 2 =−− ใชสมการ quadratic หา x ได x = 0.0924 m และ -0.249 m เนองจากกลองเคลอนท
มาทางขวา ดงนน เลอก x = 0.924 m ตอบ
แบบฝกหด งานและพลงงาน
1. กลองมมวล 6 kg ถกลากจากหยดนงไปทางขวาดวยแรงขนาด 12 N ในแนวราบ จงหาอตราเรวของกลองหลงจากเคลอนทเปนระยะทาง 3 เมตร 2. จากขอ 1 ถาลากกลองบนพนขรขระทมสมประสทธของความเสยดทาน 0.15 อตราเรวของกลองหลงจากเคลอนทไปได 3 เมตร เปนเทาใด 3. ปลอยลกบอลมวล m ตกอยางอสระในแนวดงสง h จากพนโลก
(a) จงหาอตราเรวของลกบอลเมอลกบอลอยทระยะ y จากพน (ถอวาไมมแรงเสยทานจากอากาศ)
(b) จงหาอตราเรวของลกบอลทระยะ y ถา vi เปนอตราเรวเรมตนทความสง h 4. พนเอยงหยาบยาว 1 เมตร ทามม 30o กบพนราบ ปลอยวตถมวล 3 kg จากจดนงทจดสงสดใหไถลลงลาง โดยมแรงเสยดทานขนาด 5 นวตน
(a) จงหาอตราเรวของวตถทตนพนลาด โดยใชหลกของพลงงาน (b) ใหตรวจคาตอบโดยใชกฎขอท 2 ของนวตน
ผสอน ผศ.ดร.ชมพนช วรางคณากล
บทท 5 โมเมนตมเชงเสนและการชน
(Linear Momentum and Collisions)
โมเมนตมเชงเสนและการดล เรานยามโมเมนตมเชงเสนของอนภาคมวล m ทกาลงเคลอนทดวยความเรว vv วาเปน
ผลคณของมวลและความเรว กลาวคอ vmp vv = (5.1)
จากสมการ (5.1) จะเหนวา โมเมนตมเปนปรมาณเวกเตอร ซงมทศเดยวกบทศของความเรว และถาอนภาคกาลงเคลอนทในทศใดๆ เราสามารถเขยนองคประกอบของ pv ในแนวแกน x, y, z ไดดงน
zzyyxx vmp,vmp,vmp vvvvvv === (5.2) จากกฎขอท 2 ของนวตน
dtpd
dtvdmamF
vvvv === (5.3)
หรอ dtFpd vv = (5.4) integrate สมการ (5.4) เพอหาการเปลยนแปลงโมเมนตมของอนภาคจาก ipv ถง fpv ท
เวลา ti ถง tf ตามลาดบ
∫=−=∆f
i
t
tif dtFppp vvvv (5.5)
เรานยามปรมาณทางขวามอของสมการ (5.5) วาเปนเวกเตอรการดล (Impulse; Iv ) ของแรง Fv ในชวงเวลา t∆ นนคอ
pdtFIf
i
t
t
vvv ∆== ∫ (5.6)
นนคอการดลของแรง Fv มคาเทากบ การเปลยนแปลงโมเมนตมของอนภาค และเรยก
สมการ (5.6) วา ทฤษฎการดล – โมเมนตม (impulse – momentum theorem) ซงเทยบไดกบกฎขอท 2 ของนวตม จากคานยามเราจะเหนวาการดลเปนปรมาณเวกเตอรทมขนาดเทากบพนทใตกราฟระหวางแรงกบเวลา ดงรปท a เนองจากแรงมคาไมคงทเมอเวลาเปลยนไป ดงนนความสมพนธของเวลาและแรงเฉลย avgFv หาไดจาก
โมเมนตมและการชน หนา 75
∫∆
=f
i
t
tavg dtF
t1F vv (5.7)
เมอ if ttt −=∆ ดงนนสมการ (5.6) เขยนไดเปน tFpI avg∆=∆= vvv (5.8) แรงเฉลยแสดงในรปท b ถาแรงทกระทาตออนภาคมคาคงท นนคอ FFavg
vv = ดงนนสมการ (5.8) จะกลายเปน tFpI ∆=∆= vvv (5.9)
เรยกสมการ (5.9) วา impulse approximation การประมาณนจะใชไดกตอเมอ เราสมมตวามแรงกระทาตออนภาคในชวงเวลาสนๆ และแรงดงกลาวมคามากกวาแรงอนๆ มาก ซงโดยทวไปมกใชกบกรณของการชนในชวงเวลาสนมากๆ เชนลกเบสบอลกระทบกบถงมอของนกเบสบอลในชวงเวลาประมาณ 0.01 วนาท และแรงเฉลยทถงมอกระทบกบลกบอล โดยทวไปจะมคาในเรอนพนนวตน ซงมคามากกวาแรงโนมถวงมาก ดงนนจงใช impulse approximation ได
ตวอยาง 5.1 รถมมวล 1500 kg ชนกบกาแพงดงรป ความเรวเรมตนและความเรวสดทายของรถมคา –15 และ 2.6 m/s ตามลาดบ ถาชวงเวลาในการชนคอ 0.15 s จงหาการดลและแรงเฉลยทกระทาตอรถ
วธทา โมเมนตมกอนชน และโมเมนตมหลงชนของรถหาไดจาก ii vmp vv = = (1500 kg)(-15 m/s) = - 2.25 x 104 kg m/s ff vmp vv = = (1500 kg)(2.6 m/s) = 0.39 x 104 kg m/s
โมเมนตมและการชน หนา 76
if pppI vvvv −=∆= = 0.39 x 104 – (- 2.25 x 104) kg m/s = 2.64 x 104 kg m/s
s15.0
s/mkg1064.2tpF
4
avg
×=
∆∆
=vv
= 1.76 x 105 N ตอบ
ตวอยาง 5.2 ลกบอลมวล 100 g ตกจากทสง 2 m เหนอพนดนดงรป และกระดอนกลบในแนวดงสง 1.5 m หลงจากกระทบกบพน จงหา ก) โมเมนตมของลกบอลกอนและหลงกระทบกบพน วธทา ใชวธของงานในการหาความเรวของลกบอลกอน และหลงกระทบพน
กอนกระทบพน : mghmv21 2
i =
s/m)2)(8.9)(2(gh2vi == s/m26.6v i =
หลงกระทบพน : hmgmv21 2
f ′=
s/m)5.1)(8.9)(2(hg2v f =′= s/m42.5v f = ∴ โมเมนตมของลกบอลกอนกระทบพน ii vmp vv = s/mj)26.6)(kg1.0( −= s/mkgj626.0−= ตอบ
โมเมนตมและการชน หนา 77
∴ โมเมนตมของลกบอลหลงกระทบพน ff vmp vv = s/mj)42.5)(kg1.0(= s/mkgj542.0= ตอบ
ข) หาแรงเฉลยทพนกระทาตอลกบอลในชวงเวลาของการชน 0.01 s วธทา จาก tFppp if ∆=−=∆ vvvv
Nj1017.1s10
s/mkg)j626.0(j542.0F 2
2 ×=−−
= −v ตอบ
การอนรกษของโมเมนตมเชงเสน พจารณาระบบอนภาค 2 ตว ทาอนตรกรยากนภายใตระบบปด กลาวคอ ระบบจะถก
แยกออกจากสงแวดลอมและอนภาคจะสงแรงกระทาถงกนโดยไมมแรงจากภายนอกมากระทา ดงรป
สมมตวาทเวลา t โมเมนตมของอนภาคตวท 1 และ 2 คอ 1pv และ 2pv ตามลาดบ ดงนนแรงทอนภาคกระทาตอกนเขยนไดจากกฎขอท 2 ของนวตน กลาวคอ
dtpdF 1
12
vv = และ dtpdF 2
21
vv =
เมอ 12Fv คอ แรงทอนภาคตวท 2 กระทาตออนภาคตวท 1 21Fv คอ แรงทอนภาคตวท 1 กระทาตออนภาคตวท 2
จากกฎขอท 3 ของนวตน 2112 FF vv −= ดงนน 0FF 2112 =+ vv
หรอ ( ) 0ppdtd
dtpd
dtpd
2121 =+=+ vvvv
โมเมนตมและการชน หนา 78
กาหนดให Pv เปนผลรวมของโมเมนตม ดงนน ttanconsppP 21 =+= vvv (5.10) หรอ f22f11i22i11 vmvmvmvm vvvv +=+ (5.11) หรอ f2f1i2i1 pppp vvvv +=+ (5.12)
เรยกสมการท (5.12) วา กฎการอนรกษโมเมนตมเชงเสน ซงจะเหนไดวาผลรวมโมเมนตมของระบบตอนเรมตนมคาเทากบผลรวมโมเมนตมตอนสดทาย
ตวอยาง 5.3 ปนใหญมวล 3000 kg หยดนงดงรป ในปนใหญมลกปนมวล 30 kg เมอจดระเบดทาใหลกปนเคลอนทในแนวราบ ถาขณะนนปนใหญเคลอนทไปทางขวาดวยความเรว 1.8 m/s จงหาความเรวของลกปนหลงออกจากปนใหญ
วธทา จาก f22f11i22i11 vmvmvmvm vvvv +=+ ผลรวมของโมเมนตมกอนจดระเบดมคาเปน 0 ดงนน
0vmvm f22f11 =+ vv
f12
1f2 v
mmv vv −=
)s/m8.1(kg30kg3000⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
s/m180−= ลกปนจะเคลอนทไปทางซายในทศตรงขามกบทศการเคลอนทของปนใหญ ตอบ
โมเมนตมและการชน หนา 79
การชน โดยทวไปการชนอาจเกดในรปแบบของการสมผสกนของวตถ ดงรป a ซงเปน
ปรากฏการณทเราเหนอยเปนประจาสาหรบวตถขนาดใหญ เชน การชนกนของลกบลเลยด หรออาจจะเปนการชนกนในระดบอะตอม ดงรป b ซงเปนการชนกนของโปรตอนกบอนภาคแอลฟา เนองจากประจทงสองมประจบวก ดงนนมนจงผลกกน ซงขบวนการนเรยกวาการกระเจง (scattering process)
พจารณาการชนกนของอนภาคมวล m1 และ m2 ในชวงเวลาสนๆ จะเกดแรงดลขนดงรป ถา 12Fv เปนแรงทกระทาตอมวล m1 เนองจากมวล m2 และสมมตวาไมมแรงภายนอกมากระทาตออนภาค ดงนน การเปลยนแปลงโมเมนตมของ m1 เนองจากการชนเขยนไดเปน
dtFpf
i
t
t121 ∫=∆ vv
ใหโมเมนตมรวมของระบบคอ 21 ppP vvv += ดงนนเราสรปไดวา การเปลยนแปลง โมเมนตมของระบบเนองจากการชนมคาเปน 0 นนคอ constantppP 21 =+= vvv
ดงนนเราสรปไดวาสาหรบการชนชนดใดๆผลรวมโมเมนตมของระบบกอนชนจะมคาเทากบผลรวมโมเมนตมของระบบหลงชน หรอกลาวไดวาผลรวมของโมเมนตมจะอนรกษเสมอ แตอยางไรกตามโดยทวไปแลวเมอมการชนเกดขน ผลรวมของพลงงานจลนไมจาเปนตองอนรกษ ทงนเนองจากพลงงานจลนสามารถเปลยนรปไปเปนพลงงานความรอนและพลงงาน
ในทานองเดยวกน ถา 21Fv เปนแรงทกระทาตอมวล m2 เนองจากมวล m1 ดงนนการเปลยนแปลงโมเมนตมของ m2
dtFpf
i
t
t212 ∫=∆ vv
จากกฎขอท 3 ของนวตนดงนนสรปไดวา 21 pp vv ∆−=∆ 0pp 21 =∆+∆ vv
โมเมนตมและการชน หนา 80
ศกยยดหยนได เมอวตถมรปรางเปลยนไปในระหวางการชนเราสามารถนยามการชนชนดตางๆ ไดดงน 1. การชนแบบไมยดหยน (inelastic collision)
เปนการชนซงโมเมนตมอนรกษ แตพลงงานจลนไมอนรกษ เชนการชนของลกบอลยางกบพนผวแขง เนองจากพลงงานจลนบางสวนของลกบอลจะหายไปในการททาใหมนมรปรางเปลยนไปในขณะทสมผสกบพน 2. การชนแบบไมยดหยนสมบรณ (perfectly inelastic collision)
เปนการชนซงภายหลงการชน วตถจะเคลอนทตดไปดวยกน ดงนนหลงการชน วตถจะมความเรวเหมอนกน 3. การชนแบบยดหยน (elastic collision)
เปนการชนซงทงโมเมนตมและพลงงานจลนอนรกษ เชนการชนกนของลกบลเลยด เปนตน
การชนในหนงมต การชนแบบไมยดหยนสมบรณ
พจารณาอนภาค 2 ตว ทมมวล m1 และ m2 เคลอนทดวยความเรวตน i1vv และ i2vv ในแนวเสนตรงดงรป
ถาหลงการชนอนภาคเคลอนทตดไปดวยกนดวยความเรวเดยวกน fvv ดงนนระบบจะมเฉพาะโมเมนตมเทานนทอนรกษ หรอกลาวไดวา ผลรวมของโมเมนตมกอนชนมคาเทากบผลรวมของโมเมนตมหลงชน นนคอ f21i22i11 v)mm(vmvm vvv +=+ (5.13)
21
i22i11f mm
vmvmv++
=vv
v (5.14)
โมเมนตมและการชน หนา 81
ตวอยาง 5.4 รถคนเลกมวล 900 kg เคลอนทดวยความเรว 20 m/s ชนกบรถคนใหญมวล 1,800 kg ซงหยดนงหลงการชน รถทงสองคนเคลอนทตดไปดวยกน จงหา ก. ความเรวของรถทงสองคนหลงการชน ข. พลงงานจลนทสญเสยไประหวางการชน ก. วธทา เนองจากการชนเปนแบบไมยดหยนสมบรณ ดงนน f21i22i11 v)mm(vmvm vvv +=+ fv)kg800,1900(0)s/m20)(kg900( v+=+
kg700,2
s/mkg000,18vf =∴v
s/m67.6= ตอบ
ข. วธทา
พลงงานจลนกอนชน 2i22
2i11i vm
21vm
21K +=
0)s/m20)(kg900(21 2 +=
J108.1 5×=
พลงงานจลนหลงชน 2f21f v)mm(
21K +=
2)s/m67.6)(kg800,1kg900(21
+=
J106.0 5×= ดงนนพลงงานทสญเสยไปมคา 5
fi 10)6.08.1(KK ×−=− J102.1 5×= ตอบ
การชนแบบยดหยน พจารณาอนภาค 2 ตวภายใตการชนแบบยดหยน ดงรป ในกรณนทงโมเมนตมและ
พลงงานจลนจะอนรกษ ดงนน
โมเมนตมและการชน หนา 82
f22f11i22i11 vmvmvmvm vvvv +=+ (5.15)
2f22
2f11
2i22
2i11 vm
21vm
21vm
21vm
21
+=+ (5.16)
นา 2 คณ (5.16) และจดรปใหมจะได )vv(m)vv(m 2
i22
f222f1
2i11 −=−
)vv)(vv(m)vv)(vv(m i2f2i2f22f1i1f1i11vvvvvvvv +−=+− (5.17)
จากสมการท (5.15) จะได )vv(m)vv(m i2f22f1i11
vvvv −=− (5.18) นาสมการท (5.17)/(5.18) ได i2f2f1i1 vvvv vvvv +=+ หรอ )vv(vv f2f1i2i1
vvvv −−=− (5.19) สมมตวาเรารคามวลและความเรวเรมตนของอนภาคทงสอง เราสามารถหาอตราเรว
สดทายไดจากการแกสมการ (5.15) และ (5.16) คอ
i221
2i1
21
21f1 v
mmm2v
mmmmv vvv
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
= (5.20)
i221
12i1
21
1f2 v
mmmmv
mmm2v vvv
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= (5.21)
ในทน vv เปนบวก เมออนภาคเคลอนทไปทางขวาและ เปนลบเมออนภาคเคลอนทไปทางซายในกรณท m1 = m2 จะพบวา i2f1 vv vv = และ i1f2 vv vv = นนคอหลงการชนอนภาคมการแลกเปลยนความเรวกน เชน ในกรณการชนกนของลกบลเลยด เปนตน
ถาตอนเรมตน m2 หยดนง ดงนน 0v i2 =v ดงนนสมการ (5.20) และ (5.21) จะ
กลายเปน
i121
21f1 v
mmmmv vv
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
= (5.22)
i121
1f2 v
mmm2v vv
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= (5.23)
ถา m1 >> m2 ดงนน i1f1 vv vv ≈ และ i1f2 v2v vv ≈ นนคอ เมอมอนภาคหนกมากๆ ชนกบอนภาคเบามากๆ ซงหยดนง หลงการชนอนภาคหนกจะเคลอนทตอไปอยางไมเปลยนแปลง ในขณะทอนภาคเบาจะกระดอนกลบดวยความเรวเปนสองเทาของความเรวเรมตนของอนภาคหนก เชน การชนกนของอะตอมของธาตยเรเนยมกบอะตอมของธาตไฮโดรเจนเปนตน
โมเมนตมและการชน หนา 83
ถา m2 >> m1 และตอนเรมตน m2 หยดนงดงนน i1f1 vv vv ≈ และ i1f2 vv vv << นนคอ เมออนภาคเบามากๆ ชนกบอนภาคหนกมากๆ ซงหยดนง อนภาคเบาจะมความเรวในทศยอนกลบในขณะทอนภาคหนกยงคงหยดนง เชนลกแกวเลกๆ วงชนกบลกโบวลงทหยดนง เปนตน
ตวอยาง 5.5 กลองมมวล 1.6 kg กาลงเคลอนทไปทางขวาดวยอตราเรว 4 m/s บนพนเรยบปราศจากความเสยดทานแลวชนกบสปรงซงตดกบกลองใบทสองมวล 2.1 kg ซงกาลงเคลอนทไปทางซายดวยอตราเรว 2.5 m/s ดงรปท a ถาคาคงทของสปรงเทากบ 600 N/m จงหาความเรวของกลองใบทสอง และระยะทสปรงถกอดเมอกลองใบทหนงเคลอนทดวยอตราเรว 3 m/s ไปทางขวา ดงรป b วธทา 1. หา f2vv จากกฎการอนรกษของโมเมนตม f22f11i22i11 vmvmvmvm vvvv +=+
2
f11i22i11f2 m
vmvmvmv
vvvv −+
=
kg1.2)s/m3)(kg6.1()s/m5.2)(kg1.2()s/m4)(kg6.1(
v f2
−−+=v
s/m74.1v f2 −=∴v f2vv เปนลบแสดงวามวล m2 ยงคงเคลอนทไปทางซาย ตอบ
2. หาระยะทสปรงถกอดจากกฎการอนรกษของพลงงาน เนองจากระบบปราศจากความเสยดทาน ดงนน
22f22
2f11
2i22
2i11 kx
21vm
21vm
21vm
21vm
21
++=+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−+= 2
f222f11
2i22
2i11
2 vm21vm
21vm
21vm
21
k2x
โมเมนตมและการชน หนา 84
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−−−+= 2222 )74.1)(1.2(
21)3)(6.1(
21)5.2)(1.2(
21)4)(6.1(
21
6002
m173.0x = ตอบ
การชนใน 2 มต พจารณาอนภาคมวล m1 ชนกบมวล m2 โดยทตอนเรมตน m2 หยดนง ดงรป ซง m1
ไมไดชนกบ m2 ตรงๆ แตจะชนแบบเฉยดๆ (glancing) หลงจากการชนมวล m1 เคลอนททามม θ กบแนวระดบ และ m2 เคลอนททามม φ กบแนวระดบ
ใชกฎการอนรกษของโมเมนตมในรปองคประกอบ xfxi PP vv = เมอ 0Pyi =v เราได โมเมนตมในแนวองคประกอบ x:
φθ += cosvmcosvmvm f22f11i11 (5.24a) โมเมนตมในแนวองคประกอบ y:
φθ −= sinvmsinvm0 f22f11 (5.24b) สมมตวาการชนเปนแบบยดหยน ดงนนเขยนการอนรกษของพลงงานกล
ไดวา 2f22
2f11
2i11 vm
21vm
21vm
21
+= (5.25)
สมการ (5.25) ใชไดเฉพาะในกรณการชนแบบยดหยนเทานน
โมเมนตมและการชน หนา 85
ตวอยาง 5.6 รถเกงมวล 1500 kg เคลอนทไปทางทศตะวนออกดวยอตราเรว 25 m/s ชนกบรถแวนมวล 2500 kg ซงกาลงเคลอนทไปทางเหนอดวยอตราเรว 20 m/s ดงรป เมอชนกนแลวรถทงสองเคลอนทตดกนไปทามม θ กบทศตะวนออกดวยความเรวเทากน จงหาความเรวและทศทางของรถหลงการชน วธทา ใหการเคลอนทในทศตะวนออกและทศเหนออยในแกน +x และ +y ตามลาดบ เนองจากโมเมนตมกอนชนตามแนวแกน x มเฉพาะโมเมนตมของรถเกงเทานน ∴ผลรวมโมเมนตมของระบบ (รถเกง + รถแวน) กอนชนตามแนวแกน x คอ )s/m25)(kg1500(Pxi =∑
v = 37500 kg.m/s
เมอรถชนกนแลวเคลอนทตดกนไปดวยความเรวเดยวกนทามม θ ผลรวมโมเมนตมหลงชนตามแนวแกน x คอ
)cosv)(kg4000(Pxf θ=∑v
จาก ∑∑ = xfxi PP vv ∴ 37500 kg.m/s = (4000 kg) (v cos θ) (1) ในทานองเดยวกนสาหรบการอนรกษของโมเมนตมตามแนวแกน y จะได
∑∑ = yfyi PP vv ∴ (2500 kg) (20 m/s) = (4000 kg) (v sin θ) 50000 kg.m/s = (4000 kg) (v sin θ) (2)
โมเมนตมและการชน หนา 86
(2) ÷(1) ได
tan θ = 3750050000 = 1.33
∴ θ = 53.1° แทนคา θ ลงใน (2) ได
v = )1.53)(sinkg4000(
s/mkg50000o
⋅ = 15.6 m/s ตอบ
ตวอยาง 5.7 ในการแขงบลเลยดสมมตวาผเลนตองการใหลกนาเงนลงหลมมมซงอยในทศทามม 35 องศากบแกน x ดงรป อยากทราบวาหลงจากผเลนแทงลกเหลองไปชนกบลกนาเงนแลว ลกเหลองจะเบนไปเปนมมเทาใด โดยไมคดแรงเสยดทานระหวางลกบลเลยดกบพนโตะ
วธทา เนองจากในตอนเรมตนลกนาเงนหยดนง 0v i2 =∴v∴
ดงนนการอนรกษของพลงงานจลนเขยนไดเปน
2f22
2f11
2i11 vm
21vm
21vm
21
+=
แต m1 = m2 ดงนน 2
f22f1
2i1 vvv += (1)
ใชการอนรกษของโมเมนตมกบการชนใน 2 มต ได f22f11i11 vmvmvm vvv += m1 = m2 ⇒ f2f1i1 vvv vvv += (2) ยกกาลงสอง สมการ (2) ทงสองขาง (dot ตวมนเอง) ได
)vv(.)vv(v.v f2f1f2f1i1i1vvvvvv ++=
f2f12
f22f1
2i1 v.v2vvv vv++=
โมเมนตมและการชน หนา 87
แต f2f1 v.v vv = v1f v2f cos (θ + 35o) ดงนน v1i
2 = v1f2 + v2f
2 + 2 v1fv2f cos (θ + 35 o) (3) (3) – (1) ได 2 v1fv2f cos (θ + 35 o) = 0 ⇒ cos (θ + 35 o) = 0 cos 90 o = 0 ⇒ θ + 35 o = 90 o
∴ θ = 55 o ตอบ ตวอยางนแสดงใหเหนวา เมอมวตถมวลเทาชนกนแบบ glancing elastic collision และตอนเรมตนวตถอนหนงหยดนง หลงการชนวตถทงสองจะเคลอนททามมกน 90 องศา
ศนยกลางมวล ในหวขอนจะศกษาการเคลอนทของระบบเชงกลในเทอมของจดศนยกลางมวล ระบบ
เชงกลดงกลาวอาจจะเปนระบบของอนภาคหรอวตถขนาดใหญกได ถามแรงภายนอก Fv มากระทาตอระบบ และระบบมมวลรวม M ศนยกลางมวลจะเคลอนทดวยความเรง mFa vv =
พจารณาระบบเชงกลทประกอบดวยอนภาค 2 ตว เชอมตดกนดวยแทงวตถเบามากๆ ดงรป ศนยกลางมวลจะอยบนแทงวตถทเชอมอนภาคใกลกบอนภาคทมมวลมากกวา ถามแรงมากระทาบนแทงเหลกใกลบรเวณมวลนอย (เหนอศนยกลางมวล) ระบบจะหมนในทศตามเขมนาฬกา ดงรป a ในทางตรงขาม ถามแรงมากระทาใกลบรเวณมวลมาก (ใตศนยกลางมวล) ระบบจะหมนในทศทวนเขมนาฬกา ดงรป b และถามแรงมากระทาทศนยกลางมวลพอด ระบบจะเคลอนทในทศของ Fv โดยไมมการหมน ดงรป c
ตาแหนงของศนยกลางมวลคอตาแหนงเฉลยของระบบอนภาค เชน ศนยกลางมวลของอนภาค 2 ตวในรป หาไดจาก
21
2211c mm
xmxmx++
= (5.26)
โมเมนตมและการชน หนา 88
เชน ถา x1 = 0 , x2 = d , m2 = 2m1 d32xc =∴ หมายความวา ศนยกลางมวลจะวางตว
อยใกลกบอนภาคทมมวลมากกวา ถาอนภาคทง 2 ตว มมวลเทากน ศนยกลางมวลจะอยตรงกลางระหวางอนภาค
กรณอนภาคหลายตวใน 3 มต คาพกดทางแกน x ของศนยกลางมวลของอนภาค n ตวหาไดจาก
∑
∑=++++++++
=i
ii
n321
nn332211c m
xmm...mmm
xm...xmxmxmx (5.27)
เมอ xi คอ คาพกดทางแกน x อนดบท n ของอนภาค ∑mi คอ ผลรวมมวลของระบบ = M สาหรบคาพกดทางแกน y และแกน z ของศนยกลางมวล หาไดจาก
∑
∑=i
iic m
ymy และ ∑
∑=i
iic m
zmz (5.28)
หรอเขยนในรปเวกเตอรบอกตาแหนง crv
kzjyixr cccc ++=v
M
kzmkymixmr iiiiiic
∑ ∑∑ ++=v (5.29)
M
rmr iic
∑=v (5.30)
เมอ crv คอ เวกเตอรบอกตาแหนงอนดบท i ของอนภาค
kzjyixr iiii ++=v กรณวตถเกรงดงรป ศนยกลางมวลหาไดจากการแบงวตถออกเปนชนเลกๆ แตละชนม
มวล ∆mi และมพกดเปน xi , yi ,zi ดงนนคาพกดทางแกน x มคา
Mmxx ii
c∑ ∆
≈
โมเมนตมและการชน หนา 89
ถาใหจานวนชน (n) ของ ∆mi มมากๆ นนคอ n → ∞ ∴∆mi → 0 เปลยน ∑ → integration และ ∆mi → dm จะได
∫∑ =
∆=
→∆dmx
M1
Mmxlimx ii
0mci
(5.31)
ในทานองเดยวกนคาพกดทางแกน y และแกน z ของศนยกลางมวล หาไดจาก
∫= dmyM1yc และ ∫= dmz
M1zc (5.32)
หรอเขยนในรปเวกเตอรบอกตาแหนง
∫= dmrM1rcv (5.33)
ตวอยาง 5.8 ระบบประกอบดวยอนภาค 3 ตว มวล m, 2m, 4m วางอยทมมของสามเหลยม ดงรป จงหาศนยกลางมวลของระบบ วธทา เนองจากระบบวางตวอยในระนาบ xy ∴zc = 0 หา xc และ yc ไดจาก
( ) ( )
m7bdm4bdmmd2
Mxmx ii
c++++
== ∑ b75d +=
( ) ( )
m7mh40m0m2
Mymy ii
c++
== ∑ = h74
74ib
75djyixr ccc +⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +=+=v ตอบ
โมเมนตมและการชน หนา 90
ตวอยาง 5.9 จงหาศนยกลางมวลของแทงวตถมวล M ยาว L ดงรป เมอ ก) แทงวตถมมวลกระจายสมาเสมอ (uniform rod of mass) วธทา แทงวตถวางตวอยในแนวแกน x ∴yc = zc = 0 ให λ = มวลตอหนวยความยาว = M/L ถาเราแบงแทงวตถออกเปนสวนยอย แตละสวนยาว dx ∴มวลของแตละสวนยอยคอ dm = λdx จากสมการ (5.31) จะได
∫=L
0c dmx
M1x
∫∫λ
λ ==L
0
L
0dxx
Mdxx
M1
M2L
2x
M
2L
0
2 λλ=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
แต λ = M/L ∴ 2Lxc =
ข) แทงวตถมมวลไมสมาเสมอ (nonuniform rod of mass) โดยมมวลตอหนวยความยาวแปรผนเชงเสนกบระยะ x ในรป λ = αx เมอ α เปนคาคงท
วธทา จาก ∫∫∫∫α
αλ ====L
0
2L
0
L
0
L
0c dxx
Mdxxx
M1dxx
M1dmx
M1x
M3L
3x
M
3L
0
3 αα=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
หา M จาก 2LdxxdxdmM2L
0
L
0
ααλ ==== ∫∫∫
แทนคาลงใน xc ได
3L2
2/L3Lx 2
3
c ==α
α ตอบ
โมเมนตมและการชน หนา 91
ตวอยาง 5.10 จงหาศนยกลางมวลของสามเหลยมมมฉากตามรป สมมตวาเปน uniform mass per unit area
วธทา ให M เปนมวลทงหมด แบงพนทสามเหลยมเปนพนทเลกๆ มวล dm มคา
dxyab
21Mstriparea
areatotalmasstotal
dm⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=×=
∫∫∫ =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛==
a
0
a
0c dxxy
ab2dxy
abM2x
M1dmx
M1x
เขยน y ใหอยในรปของ x จากรป xaby
ab
xy
=⇒= ดงนน
a32
3x
a2dxx
a2dxx
abx
ab2x
a
0
3
2
a
0
22
a
0c =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= ∫∫
ในทานองเดยวกน สาหรบ yc จะได
b31yc = ตอบ
การเคลอนทของระบบอนภาค
พจารณาเวกเตอรบอกตาแหนงจากสมการท (5.30) M
rmr iic
∑=v ถาสมมตวา
M มคาคงท ดงนนความเรวของศนยกลางมวลคอ
M
vmdt
rdm
M1
dt
rdv iii
ic
c
vvvv ∑
∑ === (5.34)
เมอ ivv คอความเรวของอนภาคตวท i PpvmvM iic
vvvv === ∑∑ (5.35) สรปไดวาผลรวมของโมเมนตมของระบบมคาเทากบผลคณของมวลกบความเรวของศนยกลางมวล
โมเมนตมและการชน หนา 92
ความเรงของศนยกลางมวล คอ
Mam
dtvdm
M1
dtvda iii
ic
c∑
∑ ===vvv
v (5.36)
หรอ ∑∑ == iic FamaM vvv (5.37) เมอ iF
v คอแรงทกระทาตออนภาคตวท i แรงทกระทาตอระบบอาจจะเปนแรงภายในหรอแรงภายนอกกได จากกฎขอท 3 ของ
นวตน 2112 FF vv −= เมอรวมแรงตามสมการท (5.37) แรงภายในจะหกลางกนหมด เหลอแตแรงภายนอก นนคอ
dtPdaMF cext
vvv ==∑ (5.38)
นนคอ ผลของแรงภายนอกทกระทาตอระบบจะเทากบมวลรวมของระบบคณกบความเรงของศนยกลางมวล ถาเปรยบเทยบกบกฎขอท 2 ของนวตน จะเหนวา ศนยกลางมวลเคลอนทเหมอนเปนอนภาคมวล M ภายใตอทธพลของแรงภายนอกทกระทาตอระบบ ถาไมมแรงภายนอกมากระทาตอระบบ ( )0Fext =∑
v ดงนน
0aMdtPd
c == vv
คาคงทvMP c ==∴ vv (5.39) นนคอ ผลรวมของโมเมนตมเชงเสนของระบบอนภาคจะอนรกษ ถาไมมแรงภายมา
กระทาตอระบบ ดงนนถาระบบเปนระบบปด ทงผลรวมของโมเมนตมและความเรวของศนยกลางมวลจะคงท
ตวอยาง 5.11 จรวดลาหนงมความเรว 300 m/s มการจดระเบดเพอปลดจรวดออกเปน 3 สวนทความสง 1000 m หลงการระเบดชนสวนแรกยงคงเคลอนทขนดวยความเรว 450 m/s ชนสวนทสองเคลอนทไปทางทศตะวนออกดวยความเรว 240 m/s จงหา ก) ความเรวของชนสวนท 3 หลงการระเบด วธทา ให M = มวลรวมของจรวด ⇒ M/3 = มวลของแตละชนสวนหลงการระเบด เนองจากแรงของการระเบดเปนแรงภายในและไมมผลตอโมเมนตมรวม ดงนน โมเมนตมรวมกอนการระเบดตองเทากบโมเมนตมรวมของชนสวนทง 3 หลงการระเบด กอนระเบด : jM300vMP 0i == vv (1)
หลงระเบด : v3Mj
3M450i
3M240Pf
vv⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= (2)
เมอ vv เปนความเรวของชนสวนท 3
โมเมนตมและการชน หนา 93
(1) = (2) จะได
jM300v3MjM150iM80 =++ v
( )jM450i240v +−=v m/s ตอบ
ข) ตาแหนงของศนยกลางมวลเทยบกบพนหลงการระเบด 3 วนาท วธทา ศนยกลางมวลของทง 3 สวน เคลอนทแบบวตถตกอยางอสระเพราะการระเบดไมมผลตอการเคลอนทของศนยกลางมวล ถา t = 0 เปนเวลาของการระเบด ⇒ y0 = 1000 m และ v0 = 300 m/s ใชสมการของการเคลอนทในแนวดงในการหา yc
yc = y0 + v0t - 21 gt2 = 1000 + 300t – 4.9t2
ดงนน ท t = 3 s yc = [1000 + 300(3) – 4.9(3)2] m = 1.86 km ตอบ การขบเคลอนจรวด
เมอรถยนต เรอ หรอรถไฟ ถกขบใหเคลอนท แรงขบสาหรบการเคลอนท แรงหนงกคอ แรงเสยดทาน เชนในกรณของรถยนต แรงขบกคอ แรงของถนนทกระทาตอรถ เปนตน สาหรบจรวดทเคลอนทในอวกาศ ซงไมมอากาศแหลงกาเนดทจะกอใหมการขบดนตอตวจรวดจงตางกน การทางานของจรวดจะขนกบกฎการอนรกษของโมเมนตมและกฎการเคลอนทขอท 3 ของนวตน การขบเคลอนของจรวดอาจเปรยบเทยบไดกบการยงปนกลทตดอยกบลอเลอน ขณะทยงปนแตละนด ลกปนจะไดรบโมเมนตม vmv เมอวด vv เทยบกบกรอบทอยนงกบโลก แตละนดทยงลกปน ตวปนและลอเลอนจะไดรบโมเมนตมเทากนในทศทตรงกนขาม นนคอ แรงปฏกรยาของลกปนตอปนจะมอตราเรงตอลอเลอนและปน ถายงลกปน n นดตอวนาท ดงนนแรงเฉลยตอปนเทากบ vnmFav
vv = ดวยวธการเชนน ขณะทจรวดเคลอนทในอวกาศ โมเมนตมจะเปลยนเมอมวลของมน
ถกปลอยในรปของแกสรอน เพราะแกสรอนนมโมเมนตม จรวดจะไดรบโมเมนตมในทศตรงกนขาม ดงนนจรวดจะถกเรงอนเนองจาก “แรงผลก” จากแกสรอน ในเรองจรวดเราถอวา โมเมนตมอนรกษ แตพลงงานจลนเพมขน
สมมตวาทเวลาใดๆ t โมเมนตมของจรวดบวกเชอเพลงเทากบ v m) +(M v∆ ดงในรป a ในเวลาตอมาชวงเวลานอยๆ ∆t จรวดปลอยเชอเพลงออกมา ∆m และอตราเรวของจรวดเพมขนเปน vv vv ∆+ (รป b) ถาเชอเพลงถกปลอยออกมาดวยความเรว evv เทยบกบจรวด และความเรวของกรอบอางองคอ evv vv − ใชหลกการอนรกษของโมเมนตม เราได
โมเมนตมและการชน หนา 94
)vv(m)vv(Mv m) +(M evvKvvv −∆+∆+=∆
mvv M e∆=∆ vv ใหลมต vdv ,0t vv→∆→∆ และ ∆m → dm นอกจากน ถาแกสรอนถกพนออก dm จรวดกจะมมวลลดลง dM ดงนน dm = -dM จะได MdvvdM e
vv −= (5.40) Integrate สมการ (5.40) โดยให Mi = มวลของจรวดและเชอเพลงตอนเรมตน และ Mf = มวลของจรวดและเชอเพลงสวนทเหลอ จะได
∫∫ −=f
i
f
i
M
Me
v
v MMd
vvd vvv
v
f
ieif M
Mnvvv lvvv =− (5.41)
สมการ (5.41) เปนสมการพนฐานของการขบเคลอนจรวด สมการนบอกเราวา
if vv vv − แปรผนโดยตรงกบ evv และ f
i
MMnl และถาตองการให vf มคามาก จรวดตอบรรทก
เชอเพลงมากๆ แรงขบ (trust) ตอจรวด คอแรงทกระทาตอจรวดโดยแกสเชอเพลง จาก (5.40) เราได
แรงขบ dtdMv
dtdvM)trust( e
v== (5.42)
จะเหนวา แรงขบจะเพมขนขณะท evv เพมขน และอตราการเปลยมวล (อตราการเผา
=dtdM ) เพมขน
โมเมนตมและการชน หนา 95
ตวอยาง 5.12 จรวดเคลอนทในอวกาศดวยอตราเรว 3×103 m/s ตอมาจรวดตดเครองยนต เชอเพลงถกขบในทศตรงขามกบการเคลอนทของจรวดดวยอตราเรว 5×103 m/s เทยบกบจรวด จงหา ก) อตราเรวของจรวด ถามวลลดลงเหลอครงหนง
วธทา จาก (5.41) f
ieif M
Mnvvv lvvv =−
i
i33
M5.0Mn105103 l×+×=
= 6.47 x103 m/s ตอบ
ข) แรงขบตอจรวดมคาเทาไร ถาเชอเพลงถกเผาดวยอตรา 50 kg/s
วธทา dtdMv)trust( e
v=
= (5 x103 m/s) (50 kg/s) = 2.5 x 105 N ตอบ
แบบฝกหด
1. ลกฟตบอลมวล 0.5 kg เคลอนทดวยความเรว 20 m/s ถาผรกษาประตใชมอรบลกบอลใหหยดนงภายในเวลา 0.04 วนาท แรงเฉลยทมอกระทาตอลกบอลมขนาดเทาใด
2. วตถ A มมวล 8 kg เคลอนทไปทางแกน +X ดวยความเรว 10 m/s ไดชนกบวตถ B มวล 10 kg ซงกาลงเคลอนทไปทางแกน +Y ดวยความเรว 6 m/s ภายหลงการชน วตถทงสองเคลอนทตดกนไป จงหาความเรวลพธภายหลงการชนดงกลาว
3. ปนใหญมวล 3000 kg อยนงบนสระนาทผวแขงตว บรรจลกปนมวล 30 kg แลวยงในแนวราบ ถาปนถอยหลงไปทางขวาดวยความเรว 1.8 m/s ลกปนออกจากปากกระบอกปนดวยความเรวเทาใด
ผสอน ผศ.ดร.ชมพนช วรางคณากล
บทท 6 การเคลอนทแบบหมน (Rotational motion)
เมอวตถขนาดใหญ เชน วงลอจกรยาน หมนรอบแกนคงท เราจะไมวเคราะหวตถอนนวาเปนอนภาค เพราะทเวลาใดๆ แตละจดของวตถมความเรว และความเรงตางกน ดวยเหตน เราจะพจารณาวตถทมขนาดวาประกอบดวยอนภาคมากมาย แตละอนภาคจะมความเรว และความเรงเฉพาะตวเอง
วตถแขงเกรง (rigid body) คอวตถทมรปทรงแนนอน หรอระยะระหวางแตละคของอนภาค (ทประกอบเปนวตถ) มระยะแนนอน ในเรองนจะพดเฉพาะการหมนบรสทธ (pure rotational motion)
ความเรวเชงมม และความเรงเชงมม (Angular velocity and angular acceleration) พจารณารป เปนวตถแผนราบวางอยในระนาบ xy และหมนรอบแกนคงททผานจด O
และตงฉากกบระนาบ xy จด P(r,θ) หมนรอบ O ดวยรศมคงท ดงนน θ แปรคา สาหรบจด P(x,y)
มมหนงเรเดยน คอ มมทรองรบดวยสวนโคงทมขนาดเทากบรศม เราทราบวามมทจดศนยกลางของวงกลมมคาเทากบ 360o หรอ 2π เรเดยน
ดงนน 1 rad o3.572360
≅=π
เมอ P หมนรอบ O; x, y จะแปรคาทงค ในรปขณะท P เคลอนทเปนวงกลมจากแกน x บวก (θ = 0) ไดสวนโคง s ซงสมพนธกบ θ คอ
s = r θ (6.1a)
rs
=θ (6.1b)
ขอใหสงเกตวา rs ไมมหนวย θ จงเปนตวเลขบรสทธ
แตเรากให θ มหนวย (ตงขน) เปน radian (rad) (= เรเดยน)
การเคลอนทแบบหมน หนา 97
เรามสตร degorad 180θ
πθ =
ttt 12
12
∆∆
=−−
=θθθ
ωv (6.2)
และให ω เปน อตราเรวเชงมมขณะใดๆ (instantaneous angular speed) ซงหมายถงคา t∆
∆θ
เมอ 0t →∆ นนเอง ดงนน
dtd
t0t
lim θθω =
∆∆
= →∆ (6.3)
หนวยของ ω คอ radians per sec, or s-1 เพราะ radians ไมมหนวย ในรปถอวาอนภาคหมนรอบแกน z เราถอวา ω เปนบวก เมอ θ เพมขน คอ r หมนทวนเขมนาฬกา และ ω เปนลบ เมอ θ ลดลง หรอ r หมนตามเขมนาฬกา
ถาอตราเรวเชงมมขณะใดๆ เปลยนจาก ω1 เปน ω2 ในชวง ∆t วตถจะมอตราเรงเชงมมเฉลย ( avα ) ซงมนยามวา
ttt 12
12
∆∆
=−−
=ωωω
αv (6.4)
ทานองเดยวกน เมอ 0t →∆ , avα จะกลายเปนอตราเรงเชงมมขณะใดๆ (α) นนคอ
dtd
t0t
lim ωωα =
∆∆
= →∆ (6.5)
α มหนวยเปน rad/s2 หรอ s-2 , α เปนบวกเมอ ω เพมขนเทยบกบเวลา และเปนลบ เมอ ω ลดลงเทยบกบเวลา
ขณะทอนภาคเคลอนจาก P ถง Q ในเวลา ∆t radius vector rv กวาดไดมม ∆θ = θ2 - θ1 ซงเรยกวา การกระจดเชงมม (angular displacement) ให ωv เปนอตราเรวเชงมมเฉลย ซงหมายถง อตราสวนของระยะกระจดเชงมมตอชวงเวลา ∆t นนคอ
การเคลอนทแบบหมน หนา 98
จลนศาสตรของการหมน การเคลอนทเชงมมดวยอตราเรงเชงมมคงท (Rotational kinematics: Rotational motion with constant angular acceleration)
ในการหาสตรของการเคลอนทเชงมม ทมอตราเรงเชงมมนน เราดาเนนคลายกบการหาสตรของการเคลอนทเชงเสน นนคอ จาก
dtddtd
αωω
α =→=
อนทเกรต โดยใชเงอนไขเรมตนทวา ω = ω0 เมอ t0 = 0 เราได
⇒==∫ ∫ ∫ω
ωααω
0 0
t
t
t
0dtdtd
[ ] [ ] ⇒=−⇒= αωωαω ωω tt 0
t00
ω = ω0 + αt ; α = คาคงท (6.6)
และ ωθ=
dtd
ดงนน dθ = ω0dt + αtdt
∫ ∫ ∫θ
θαωθ +=
0
t
0
t
00 tdtdtd
[ ] [ ] [ ]t02t0 t
21t
0αωθ +=θ
θ
⇒+=− αωθθ 20 t
21t
200 t
21t αωθθ ++= (6.7)
ถาเราขจด t จากสมการ (6.6) และ (6.7) เราจะได )(2 0
20
2 θθαωω −+= (6.8)
ขอใหสงเกตวาสตรของการเคลอนทเชงมมจะมรปเหมอนกบของการเคลอนทเชงเสน ถาเราแทน x → θ, v → ω และ a → α ตาราง 6.1 แสดงการเปรยบเทยบสตรการเคลอนทเชงเสนและเชงมม
การเคลอนทแบบหมน หนา 99
ตาราง 6.1 การเปรยบเทยบสมการของการเคลอนทเชงมม และเชงเสนโดยทอตราเรงคงท
การเคลอนทเชงมมรอบแกนคงท, อตราเรงคงท, θ, ω เปนตวแปร
การเคลอนทเชงเสนโดยท a คงท, x และ v เปนตวแปร
)(2
t21t
t)(21
t
020
2
200
00
0
θθαωω
αωθθ
ωωθθ
αωω
−+=
++=
++=
+=
)xx(a2vv
at21tvxx
t)vv(21xx
atvv
020
2
200
00
0
−+=
++=
++=
+=
ตวอยาง 6.1 Rotating Wheel วงลอหมนรอบแกนกลางดวยอตราเรงคงท 3.5 rad/s2 ถาอตราเรวเชงมมของซวงลอเปน 2 rad/s ท t0 = 0, ก. ในเวลา 2 s ซลอหมนไดกองศา ข. ทเวลา 2 s อตราเรวเชงมมมคาเทาไร
วธทา ก. หามม ใชสตร 200 t
21t αωθθ ++=
แทนคา θ0 = 0, ω0 = 2 rad/s, α = 3.5 rad/s2, t = 2 s
22 )s2)(s/rad5.3(21)s2)(s/rad2( +=∴ θ
= 11 rad = 630o = 1.75 revolutions ตอบ
ข. หา ω ; ω = ω0 + αt = 2 rad/s+(3.5 rad/s)(2s) = 9.0 rad/s ตอบ
การเคลอนทแบบหมน หนา 100
ความสมพนธระหวางปรมาณเชงมม และเชงเสน (Relationships between angular and linear quantities)
ให ω, α เปนอตราเรว และอตราเรงเชงมมของวตถแขงเกรงทหมนรอบจดหมน และให v, a เปนv อตราเรว และอตราเรง ทจดๆ หนงในวตถนน เราจะหาความสมพนธของมน ให s เปนความยาวของสวนโคงท P เคลอนไดมม θ เพราะ s = rθ, โดยท r คงท เราได
dtdr)r(
dtd
dtdsv θ
θ ===
v = rω (6.9)
เราไดทราบแลววา เมอวตถเคลอนทเปนทางโคง จะเกดอตราเรงสศนยกลาง ซงมขนาด r
v2
ม
ทศสศนยกลางของทางโคงดงรป เพราะ v = rω สาหรบจด P ทกาลงหมนรอบจด O, แลวอตราเรงสศนยกลางเขยนไดเปน
4242222r
2t rrraaa ωαωα +=+=+= (6.12)
ตอไปหาความสมพนธของ α และ a
αω
ω ==== rdtdr)r(
dtd
dtdva
a = rα (6.10) a มทศสมผสกบทางเดนของ P บางทแทน a ดวย at
22
r rr
va ω== (6.11)
ความเรงเชงเสนรวมของอนภาค(ทจด P) คอ rt aaa vvv += ดงนนขนาดของความเรงเชงเสน
รวมของจด P บนวตถแขงเกรงทกาลงหมน คอ
การเคลอนทแบบหมน หนา 101
ตวอยาง 6.2 A Rotating Turntable เครองเลนจานเสยง เรมหมนดวยอตราเรวตน 33 rev/min และหยดในเวลา 20 s ก. อตราเรงเชงมมของเครองจานเสยงนมคาเทาไร ข. จานเสยงหมนไดกรอบกอนทมนหยด ค. ถารศมของเครองเลนจานเสยงเปน 14 cm ขนาดของอตราเรงเชงเสนตามแนวรศมและแนว
สมผสของจดทขอบทเวลา t = 0 มคาเทาไร วธทา ก. 1 rev = 2π rad จะได
s/rad46.3smin/601)rev/rad2min)(/rev33(0 =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= πω
ใช ω = ω0 + αt โดยท ω = 0 ท t = 20 s เราได
20 s/rad173.0s20
s/rad46.3
t−=−=−=
ωα
ตอบ (α เปนลบแสดงวา ω ลด)
ข. หา )20)(173.0(21)20)(46.3(t
21t 22
00 −=+=−=∆ αωθθθ
rev50.5rev2
6.34rad6.34 ===∆π
θ
ตอบ ค. หา at และ ar : ใช at = rα และ ar = rω2 แทนคาได
at = rα = (14 cm) (0.173 rad/s2) = 2.42 cm/s2 222
0r s/cm168)s/rad46.3)(cm14(ra === ω ตอบ
พลงงานจลน ของการหมน (Rotational kinetic energy)
พลงงานจลนรวมของอนภาคทงหมดทหมนรอบแกน z จะเปนผลรวมของพลงงานจลนแตละตว นนคอ
ขอใหพจารณาวตถแขงเกรง ซงหมนรอบแกนคงท z ดวยความเรวเชงมม ω ดงรป ใหวตถนประกอบดวยอนภาคเลกๆ มากมาย n ตว อนภาคตวท i มมวล mi
และอตราเรว vi จะมพลงงานจลนเปน 2iii vm
21K =
ถงแมวา mi (i = 1, 2, …∞) จะมอตราเรวเชงมมเทากน ω แต vi ของแตละตวไมเทากน คอ vi = riω
การเคลอนทแบบหมน หนา 102
∑ ∑ ∑=
ω===n
1i
22ii
2iii rm
21vm
21KK
( ) 22iirm
21K ω∑= (6.13)
เรยกปรมาณในวงเลบวา moment of inertia, I : กาหนดให ∑= 2
iirmI (6.14) แทนคา I ใน (6.13) ได พลงงานจลนของวตถแขงเกรงทหมนรอบจด O เปน
2I21K ω= (6.15)
ขอใหสงเกตวา หนวยของ I คอ kg.m2
ตวอยาง 6.3 มวล m1 = 2.3 kg, m2 = 3.2 kg, m3 = 1.5 kg วางอยทมมของสามเหลยมมมฉาก ขนาด 30 cm, 40 cm, 50 cm ดงรป
วธทา ก. ให I1 เปน moment of inertia เมอแกนทถกหมนรอบผาน m1
2
222
233
222
2111
mkg528.0
)m4.0)(kg5.1()m3.0)(kg2.3()m0)(kg3.2(
rmrmrmI
⋅=
++=
++=
ให I2 เปน moment of inertia เมอแกนทถกหมนรอบผาน m2
2
22
233
222
2112
mkg582.0
)m5.0)(kg5.1()kg2.3(0)m3.0)(kg3.2(
rmrmrmI
⋅=
++=
++=
ให I3 เปน moment of inertia เมอแกนทถกหมนรอบผาน m3
2
222
233
222
2113
mkg168.1
)m0)(kg5.1()m5.0)(kg2.3()m4.0)(kg3.2(
rmrmrmI
⋅=
++=
++=
ตอบ
ก. จงหา I เมอแกนทถกหมนรอบผานมวลแตละกอน ข. จงหา I เมอแกนทถกหมนรอบผานจด CM
การเคลอนทแบบหมน หนา 103
m137.0kg7
mkg96.05.12.33.2
)0(5.1)3.0(2.3)0(3.2m
ymy
m086.0kg7
mkg6.05.12.33.2
)4.0(5.1)0(2.3)0(3.2m
xmx
i
iiCM
i
iiCM
=
⋅=
++
++==
=
⋅=
++
++==
∑
∑
∑
∑
2
222CM
2CM3
23
2
222CM2
2CM
22
2
222CM
2CM
21
m117.0
)137.0()086.04.0(y)xx(r
m034.0
)137.030.0()086.0()yy(xr
m026.0
)137.0()086.0(yxr
=
+−=+−=
=
−+=−+=
=
+=+=
2
233
222
211
2iiCM
mkg344.0
)117.0)(5.1()034.0)(2.3()026.0)(3.2(rmrmrmrmI
⋅=
++=++== ∑
ขอสงเกต ขอใหสงเกตวา ICM นอยทสด ตอบ
วธทา ข. หา ICM ซงเปน moment of inertia เมอหมนรอบแกนทผาน CM เราตองหา CM กอน
การเคลอนทแบบหมน หนา 104
ตวอยาง 6.4 The Oxygen Molecule มมวลแบบจด 4 อนวางอยทมมของกรอบสเหลยมผนผาซงเบา ดงรป วธทา ก.
2
1i
22222iiy
Ma2
)0(m)0(mMaMarmI
=
+++== ∑=
∴ พลงงานจลนของการหมนรอบแกน 22222y Ma)Ma2(
21I
21y ωωω ===
ตอบ
ข. 2222
1i
222iiz mb2Ma2mbmbMaMarmI +=+++== ∑
=
2222222zrot )mbMa()mb2Ma2(
21I
21K ωωω +=+== ตอบ
การคานวณหาโมเมนตของความเฉอย (Calculation of moments of inertia)
เราสามารถหาโมเมนตของความเฉอยของวตถทมขนาด ดวยแบงวตถเปนปรมาณเลกๆ ซงแตละปรมาตรมมวล ∆m แลวเราใชนยาม I = Σr2 ∆m และตอไปใหหา limit ของผลบวกนเมอ ∆m → 0 ดวยการให limit อยางน Σ กจะกลายเปน ∫ , โดยท r เปนระยะตงฉากจาก ∆m ถงจดหมน ดงนน
∫∑ =∆= →∆ dmrmrI 220m
lim (6.16)
ในสมการ (6.16) เราอาจเขยน dm อยในรปของ coordinates คอเขยน
dVdmdVdm
vm
0vlim
ρρ =⇒=∆∆
= →∆
ดงนนเขยน I ไดเปน ∫ ρ= dVrI 2 (6.16a)
ก. ถามวลหมนรอบแกน y ดวยความเรวเชงมม ω จงหา moment of inertia รอบแกน y และพลงงานจลนของการหมนรอบแกนน
ข. ถามวลหมนรอบแกน z ซงตงฉากกบระนาบ xy ดวยความเรวเชงมม ω จงหา Iz และพลงงานจลนของการหมนรอบแกน z
การเคลอนทแบบหมน หนา 105
ตวอยาง 6.5 Uniform Hoop วธทา มวลนอย ∆M อยหางจาก O เทากน เปนระยะ r = R ใชสมการ (6.16) เราจะได moment of inertia รอบแกน z ทผานจด O เปน
∫ ∫ ==== 2222z MRMRdmRdmrI ตอบ
ตวอยาง 6.6 Uniform Rigid Rod
วธทา ใหสวนนอย dx มมวล dm ดงนน LM
dxdm
= หรอ dxLMdm = แทนคานดวยสมการ
(6.16) โดยท r = x ได
∫ ∫ ∫− −
===2L
2L
2L
2L
222y dxx
LMdx
LMxdmrI
22L
2L
3
ML121
3x
LM
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
− ตอบ
จงหา moment of inertia ของวงแหวนเอกรปทมมวล M รศม R หมนรอบแกนทตงฉากกบระนาบของวงแหวน โดยผานจดศนยกลางของมน
จงคานวณหา moment of inertia ของ uniform rigid rod ยาว L และมวล M ดงรป หมนรอบแกนทตงฉากกบ rod (แกน x) และผานจดศนยกลางมวล
การเคลอนทแบบหมน หนา 106
ตวอยาง 6.7 uniform Solid Cylinder
วธทา เพอความงาย ใหแบงทรงกระบอกเปน cylindrical Shells ทมรศม r หนา dr ยาว L
ปรมาตรของแตละ shell คอ dV = (dA)L = (2πrdr)L
ให ρ = mass per unit volume dVdm
=ρ
ดงนน dm = ρdV = ρ2πrLdr แทนในสมการ (6.16) ได
2LR
drrL2dmrI4
R
0
32z
πρ
πρ
=
== ∫ ∫
แต LR
MVM
2πρ == , แทนขางบนได
2z MR
21I =
ใหแทงทรงกระบอกตน มรศม R มวล M ยาว L เนอเปนเอกรป จงหา moment of inertia ของทรงกระบอกรอบแกนของมน (แกน z ในรป)
การเคลอนทแบบหมน หนา 107
ตาราง 6.2 บอก moments of inertia ของวตถแขงเกรงเนอเดยวทมรปตาง ๆ ทฤษฎแกนขนาน (Parallel-axis theorem)
ทฤษฎนจะชวยใหการคานวณหา moment of inertia ของวตถรอบแกนใดๆ ทขนานกบแกนทผาน CM ของวตถนนงายเขา ทฤษฎแกนขนานนกลาววา
สมมตวา Ic เปน moment of inertia ทหมนรอบแกนใดๆ ทผานจด CM ของวตถนน แลว moment of inertia ทหมนรอบแกนใดๆ ทขนานกบ และหางเปนระยะ D จากแกนทผาน CM นนคอ I = Ic + MD2 (6.17)
Parallel-axis theorem ในเมอ M เปนมวลของวตถ
การเคลอนทแบบหมน หนา 108
พสจน (6.17)
เราจะเขยน x,y ใหสมพนธกบ xc, yc และ y,x ′′ จากรปจะเหนวา cc yyy,xxx +′=+′= แทนขางบนได
[ ]dm)yy()xx(I 2c
2c∫ +′++′=
∫ ∫ ∫∫ ++′+′+′+′= dm)yx(dmyy2dmxx2dm])y()x[(I 2c
2ccc
22
พจน 1 คอ moment of inertia รอบแกนทขนานกบแกน z ทผานจด CM พจน 2 ( 2 พจน กลาง) เปนศนยเพราะโดยนยามของ CM ; ∫ ∫ =′=′ 0dmydmx พจน 3 คอ MD2 เพราะ ∫ = Mdm และ 2
c2c
2 yxD += ดงนน เราสรปไดวา
I = Ic+MD2
ตวอยาง 6.8 การประยกตทฤษฎแกนขนาน ใหพจารณา uniform rigid rod มวล M ยาว L ดงในตวอยาง 6.6 ใหหา moment of inertia ของ rod รอบแกนทตงฉากกบ rod และผานจดปลาย (คอรอบแกน y′ ในรป)
สมมตวาวตถนหมนในระนาบ xy รอบแกนทผานจด O ดงรป และ coordinates x,y เทยบกบจดกาเนดแลว moment of inertia รอบจด O คอ
∫ ∫ +== dm)yx(dmrI 222
วธทา ใชทฤษฎแกนขนาน 2
222
cy ML31
2LMML
121MDII =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+=+=′
ตอบ
การเคลอนทแบบหมน หนา 109
ทอรก (Torgue) ทอรกเปนผลจากการออกแรง F
v กระทาตอวตถ เพอใหมการหมนรอบแกนทผานจดใดจดหนง
ในรป F sin φ เทานนทจะทาใหประแจเลอนหมนทวนเขมนาฬกา เรยก d วา moment arm (or lever arm) ของแรง Fv สวน F cos φ ไมกอใหเกดการหมนเพราะมนผานจดหมน
ตวอยาง 6.9 The net torque on a cylinder
วธทา ก. 112221net FRFR −=+= τττ ข. Nm2)m0.1)(N5()m5.0)(N6(net −=−=τ
นนคอ ทอรกสทธมคาเทากบ 2 Nm ในทศตามเขมนาฬกา ตอบ
ตามรป แรง F กระทาทปลายของประแจเลอนในแนว φ กบแนวราบ ให τ (Tau) เปนทอรกอนเนองจากแรง Fv เราจะได
หรอ ⎭⎬⎫
×=
==
τ
φτ
Fr
FdsinrFvvv (6.18)
จากรป มแรง F1, F2 กระทาตอวตถเพอใหหมนรอบ O F1 ทาใหวตถหมนทวนเขมนาฬกา สวน F2 ทาใหวตถหมนตามเขมนาฬกา ยงผลให net torque (τnet) คอ 221121net dFdF −=+= τττ (6.18a) ขอใหสงเกตวาหนวยของทอรก คอ Nm ซงคลายกบของงาน แตทอรกไมใชงาน
ทรงกระบอกอนหนงมสองขนาดทกาหนดดวยรศม R1 และ R2 มเชอกพนรอบแกนนอกรศม R1 ปลายเชอกมแรง F1 ดงอย เชนเดยวกนแกนในมเชอกพนรอบและทปลายมแรง F2 ดงอย ก. จงหา Torque ทกระทาตอทรงกระบอกรอบ
แกน z ทผานจด O ข. สมมตวา F1 = 5 N, R1 = 1.0 m, F2 = 6 N และ
R2 = 0.5 m จงหา net torque
การเคลอนทแบบหมน หนา 110
ความสมพนธระหวางทอรก และอตราเรงเชงมม (Relationship between torque and angular acceleration)
ในทนเราจะแสดงใหเหนวา สาหรบวตถทหมนรอบจดหมน τnet จะแปรผนโดยตรงกบความเรงเชงมมของวตถนน เราจะพจารณาเปนสองกรณ คอ กรณท 1 ทอรกสาหรบอนภาคเดยวๆ (Torque for a single particle) พจารณาอนภาคมวล m หมนรอบจด O โดยมรศม r ดงรป
(a) (b) โดยม
Ft = Tangential force Fr = Central force at = Tangential acceleration Ft จะกอใหเกด at โดยท
Ft = mat ทอรกรอบจดศนยกลาง O อนเนองจาก Ft คอ
τ = Ftr = matr เพราะ at = rα แลวเขยน τ ใหมไดเปน
τ = mr2α แต I = mr2 ดงนน τ = Iα (6.19) นนคอ ทอรกทกระทาตออนภาค แปรผนโดยตรงกบอตราเรงเชงมม และตวคงทของการแปรผน คอโมเมนตของความเฉอย สตร (6.19) คลายกบ F = ma กรณท 2 ทอรกสาหรบวตถมขนาดหมนรอบแกน z ทผานจด O พจารณามวลนอย dm และมแรง dFt กระทาในแนวสมผส ดงรป b นนคอ
dFt = (dm)at dτ ทเกดจากแรง dFt คอ dτ = rdFt = (rdm)at แต at = rα แลว dτ เขยนใหมเปน
การเคลอนทแบบหมน หนา 111
dτ = (rdm) rα = (r2dm)α ขอใหสงเกตวาอนภาคทงหลายม at ตางกน แตม α เทากน ดงนนเราอนทเกรตทงสองขางได ∫ ∫∫ α=α=τ=τ dmr)dmr(d 22
แต ∫ = Idmr2 ดงนน τnet = Iα (6.20)
ตวอยาง 6.10 Rotating rod
วธทา จากรป จะเหนวา F = Mg เปนตวทาใหเกดทอรกรอบจดหมน O
นนคอ MgL21
=τ
ทบานพบมแรงทกระทาตอบานพบอกหนงคา แตแรงนไมกอใหเกดทอรก เพราะ r = 0
เพราะ τ = Iα, 2ML31I =
(ดตาราง 6.2) เราได
L2g3
MLMgL
23121
==α
α นจะเทากน ณ ทกๆ จดตลอดแทงวตถ ในการหา a ทปลายขวาของแทงวตถ เราใช at = Rα โดยท R = L แลวได
g23La t == α
เราจะเหนวา at (ทปลายขวา) > g ดงนนถาเอาเหรยญวางไวทปลายขวา ปลอยจากตาแหนงราบ จะเหนวา ปลายของแทงวตถจะตกเรวกวาเหรยญ
ทจดอนๆ ของแทง g23a t < เชนจดกลางแทง g
43a t =
แทงวตถเอกรปยาว L มวล M หมนรอบปลายขางหนงอยางอสระอยกบแกนหมนทไมมความฝด ดงรป แทงวตถถกปลอยจากนงในแนวราบ จงหาอตราเรงเชงมมเรมตน ของแทงวตถ และอตราเรงเชงเสนเรมตนของปลายขวาของแทง
การเคลอนทแบบหมน หนา 112
ตวอยาง 6.11 Angular acceleration of a wheel
ประยกตกฎขอทสองของนวตน เขากบการเคลอนทของ m ใช free-body diagram ดงรป
∑ ⇒−=−= mamgTFy
mTmga −
= (2)
แต a เทากบอตราเรงเชงเสนในแนวสมผสทรมวงลอ คอ a = Rα ใช (1) และ (2) ได
ImR
2
21mgT
mTmg
ITRRa
+=
⇒−
=== α
เชนเดยวกน แกหา a และ α ได
2mRI1
ga+
=
mRIR
gRa
+==α ตอบ
ลอรศม R มวล M โมเมนตความเฉอย I ตดกบเพลาหมนอยางไมมความฝดดงรป มเชอกเบาพนรอบวงลอ ทปลายเชอกมมวล m ผกตดอย จงหาอตราเรงเชงเสนของมวล m อตราเรงเชงมมวงลอ และแรงดง T ในเสนเชอก วธทา ทอรกทกระทาตอวงลอรอบแกนของการหมน คอ τ = TR นาหนกของลอ และแรงตงฉากของเพลา ผานแกนของการหมน จงไมมทอรก เพราะ τ = Iα เราได
τ = Iα = TR → I
TR=α (1)
การเคลอนทแบบหมน หนา 113
ตวอยาง 6.12 มวล m1 และ m2 ผกอยทแตละปลายของเชอกเบา และคลองอยบนรอกสองตวทเหมอนกน รอกแตละตวมโมเมนตความเฉอย I ดงรป a
จงหาอตราเรงของมวลแตละตว และแรงดง T1, T2 และ T3 ในเชอก (สมมตวาไมมแรงการไถลระหวางเชอกและรอก) วธทา ใชกฎขอ 2 ของนวตน และ free-body diagram รป b ให m2 > m1 ได
T1-m1g = m1a (1) m2g-T3 = m2a (2)
ตอไป คดผลของรอกตอการเคลอนทดวย free-body diagram ของรอก ดงรป c รอกตวซายให net torque เปน (T2-T1)R รอกตวขวาให net torque เปน (T3-T2)R ใชความสมพนธ τnet = Iα สาหรบรอก และรอกแตละตวม α เทากน จงให
(T2-T1)R = Iα (3) (T3-T2)R = Iα (4)
เราม 4 สมการ ตวไมทราบคา 4 ตว คอ a, T1, T2 และ T3 จงแกหาคาไมทราบได (3) + (4) ได (T3-T1)R = 2Iα (5) (1) + (2) ได T1 - T3 + m2g - m1g = (m1 + m2)a หรอ T3 - T1 = (m2 - m1)g - (m1 + m2)a (6) เอา (6) แทน (5) ได
[(m2-m1)g-(m1+m2)a]R = 2Iα
แต Ra
=α แลวสมการบนกลายเปน
2RI
21
12
2mmg)mm(
a++
−= (7)
เอา (7) แทน (1) และ (2) กจะได T1 และ T3 จากสมการ (3) หรอ (4) กสามารถหา T2 ได
การเคลอนทแบบหมน หนา 114
งาน และพลงงานในการเคลอนทแบบหมน (Work and energy in rotational motion)
ขอใหสงเกตวา F sin φ ขนานกบ ds สวน Fr ⊥ ds จงไมเกดงาน แต rF sin φ คอทอรก (τ) เราจงเขยนงานสาหรบการหมนไดมม dθ เปน
dW = τdθ (6.21)
differentiate ทงสองขางไดกาลง (power) และ จากสมการ ωθ=
dtd
จงให τωθ
τ ===dtd
dtdWP (6.22)
กาลงทสงใหแก rigid body
พจน P = τω เทยบไดกบกาลงในการเคลอนทเชงเสน P = Fv และ dW = τdθ เทยบไดกบ dW = Fxdx (การเคลอนทเชงเสน)
ทฤษฎงาน-พลงงานในการเคลอนทแบบหมน ในการเคลอนทเชงเสน เราม work-energy theorem Wc = ∆K ดงนนเราจงคดวา สาหรบการเคลอนทของวตถสมมาตร (เชนวงลอ) รอบแกนคงท งานเนองจากแรงภายนอก จะเทากบ ผลตางของพลงงานจลนของการหมน เราจะพสจนอนน โดยเรมตนจาก τ = Iα ใช Chain rule เขยนทอรกไดเปน
→==== ωθ
ωθ
θ
ωωατ
ddI
dtd
ddI
dtdII
τdθ = Iωdω และ dW = τdθ ดงนน dW = τdθ = Iωdω
อนทเกรตได ∫ ∫∫θ
θ
ω
ωωωωωθτ −====
0 0
20
2 I21I
21dIddWW (6.23)
Work-energy theorem for rotational motion
สมมตวาแกนหมนทผานจด O อยใน inertial frame พจารณาวตถแขงเกรงหมนรอบจด O ดงรป สมมตอกวามแรงภายนอก Fv (1 ตว) กระทาทจด P งานทกระทาโดย Fv ททาใหวตถเคลอนทไดทางนอยๆ ds (= rdθ) ในเวลา dt คอ
θφ=⋅= rd)sinF(sdFdW vv
การเคลอนทแบบหมน หนา 115
จากนเรากลาว ทฤษฎงาน-พลงงาน สาหรบการเคลอนทแบบหมนไดเปน “งานสทธทกระทาโดยแรงภายนอก เพอหมนวตถแขงเกรงสมมาตรรอบแกนคงทอนหนง เทากบ ผลตางของพลงงานจลนของการหมนของวตถนน”
ตวอยาง 6.13 Rotating Rod-Revisited
วธทา ก. ปญหานแกไดโดยพจารณาพลงงานกลของระบบเมอแทงวตถอยในแนวนอน มนไม
มพลงงานจลน พลงงานศกยของ CM ของแทง เมออยในแนวนอนมคาเทากบ 2
MgL เทยบกบ O
เมอวตถอยในแนวดง พลงงานทงหมด กคอ พลงงานจลนเทานน 2I21ω เมอ I เปนโมเมนต
ความเฉอยรอบจดหมน เพราะ 2ML31I = (ตาราง 6.2) และพลงงานกลเปนอนรกษ เราได
⇒⎟⎠⎞⎜
⎝⎛== ωω 222 ML
31
21I
21MgL
21
Lg3
=ω ตอบ
เชน ถา L = 1 เมตร, จะได ω = 5.42 rad/s
ข. gL321
2LrvCM === ωω
จดตาสดของแทงวตถมความเรวเชงเสนเทากบ
)v2vL
vv:note(gL3v2 CMendend
2LCM
CM =⇒=== ω ตอบ
วตถแทงกลมเอกรปยาว L มมวล M หมนรอบหมดไดอยางอสระ ผานปลายหนงดงรป แทงวตถนถกปลอยจากนงในลกษณะทขนานกบพน ก. ความเรวเชงมมของแทงวตถนเปนเทาไร เมอมนอยท
ตาแหนงตาสด ข. จงหาความเรวเชงเสนของ CM ของแทง และความเรว
เชงเสนของจดตาสดเมอแทงอยในแนวตง
การเคลอนทแบบหมน หนา 116
ตวอยาง 6.14 วธทา ถาไมคดความเสยดทานของระบบ แลวพลงงานกลเปนอนรกษ และเราสามารถกลาวไดวา พลงงานจลนของระบบทเพมขน เทากบ พลงงานศกยทลดลง เพราะ Ki = 0 (ระบบเรมตนจากอยนง) เราได
222
21if I
21vm
21vm
21KKK ω++=−=∆
ในเมอ m1 และ m2 มความเรวเทากน แต v = Rω ดงนน 2
221 v)RImm(
21K ++=∆
จากรป เราเหนวา m2 สญเสยพลงงานศกย ขณะท m1 ไดรบพลงงานศกย นนคอ ∆U2 = -m2gh และ ∆U1 = m1gh ประยกตกฎการอนรกษของพลงงานในรป ∆K+∆U1+∆U2 = 0 ให
⇒=−+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++ 0ghmghmv
RImm
21
212
221
21
RI
21
12
)mm(gh)mm(2v
2⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
−=
เพราะ v = Rω ความเรวเชงมมของรอกทขณะน คอ Rv
=ω ตอบ
มมวลสองกอนผกดวยเชอกเบา แลวพาดบนรอกทมโมเมนตความเฉอย I รอบแกน การหมนของมนดงรป เชอกไมไถลบนรอก และระบบถกปลอยจากนง จงหาความเรวเชงเสนของมวล ภายหลง m2 เลอนลงระยะ h และความเรวเชงมมของรอก ณ จดน
การเคลอนทแบบหมน หนา 117
ตาราง 6.3 เปรยบเทยบสมการการเคลอนทเชงเสนและแบบหมน การเคลอนทเชงเสน การเคลอนทแบบหมนรอบแกนคงท
ความเรวเชงเสน dtdxv =
ความเรงเชงเสน 2
2
dtxd
dtdva ==
แรงลพธ ∑ = MaF ถา
a = คงท
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+=
++=
+=
)xx(a2vv
at21tvxx
atvv
020
2
200
0
งาน ∫=x
xx
0
dxFW
พลงงานจลน 2mv21K =
กาลง P = Fv โมเมนตมเชงเสน p = mv
แรงลพธ dtdPF =
ความเรวเชงมม dtdθ
ω =
ความเรงเชงมม 2
2
dtd
dtd θω
α ==
ทอรกลพธ ∑ ατ = I ถา
α = คงท
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+=
+=−
+=
θθαωω
αωθθ
αωω
)(2
t21t
t
020
2
200
0
งาน ∫θ
θθτ=
0
dW
พลงงานจลน 2I21K ω=
กาลง P = τω โมเมนตมเชงมม L = Iω
ทอรกลพธ dtdL
=τ
ผศ,ดร.ชมพนช วรางคณากล
บทท 7 การเคลอนทแบบกลง โมเมนตมเชงมม และทอรก Rolling Motion Angular Momentum and Torque
ในบททแลวเราเรยนการเคลอนทแบบหมนทมแกนหมนอยกบท ในบทนแกนของการ
หมนไมอยกบท จากนนจะศกษาโมเมนตมเชงมม และการอนรกษ รวมทงทอรก 7.1 การเคลอนทแบบกลงของวตถแขงเกรง (Rolling motion of a rigid body) ในหวขอนเราจะศกษาการเคลอนทของ rigid body ทหมนรอบแกนทกาลงเคลอนท การเคลอนทในหวขอนคอนขางยาก และซบซอน เราจงจากดปญหาของเราใหงายเขา โดยถอวาวตถแขงเกรงมเนอเดยว มระดบคาสมมาตรสง เชน ทรงกระบอก ทรงกลม วงแหวน หรอวงลอ ยงกวานน เราสมมตวาการกลงอยบนพนระนาบ
รป 7.1 มดวงไฟทขอบ และจดศนยกลางของทรงกระบอกตน กลงอยบนพนราบ สแดงเปนเสนทางเดนของจดบนขอบใหรป cycloid จดศนยกลางใหเสนตรง
สมมตวา ทรงกระบอกกลงเปนเสนตรงบนพนราบ (รป 7.1) ศนยกลางมวลของทรงกระบอกจะเคลอนทเปนเสนตรง ขณะทจดบนขอบจะเคลอนทไดทางทซบซอน ทเรยกวา cycloid ในรป 7.1 จะเปนการเคลอนทเชงเสนของ CM ผสมกบการหมน (รอบ CM)
รป 7.2 สาหรบการกลงบรสทธ เชนทรงกระบอกหมนไดมม θ
จดศนยกลางของทรงกระบอกเคลอนทไดทาง s = Rθ
การเคลอนทแบบกลง หนา 119
ขอใหพจารณาทรงกระบอกเอกรป รศม R กลงบนพนหยาบ ในพนระนาบ (รป 7.2) ขณะททรงกระบอกหมนไดมม θ, CM ของมนจะเคลอนไดทาง s = Rθ ดงนน ความเรวและความเรงของ CM (ของทรงกระบอก) สาหรบการกลงบรสทธ คอ
ωθ=== R
dtdR
dtdsvCM (7.1)
αωθ==== R
dtdR
dtdR
dtdva 2
2CM
CM (7.2)
ความเรวเชงเสนของจดตางๆ บนทรงกระบอกกลงแสดงดงรป 7.3 ทขณะใดๆ จด P อยนงเทยบกบพน เพราะไมมการไถล
รป 7.3 แสดงความเรว ณ จดตางๆ จะเหนวาความเรวตงฉากกบเสนตรงทลากจากจด P
จด Q มองคประกอบของความเรวทงแนวราบ และแนวดง ทจด P,C,P ′ นนนาสนใจ
เปนพเศษ เทยบกบพนผวททรงกระบอกกลง CM ม vCM = Rω ในขณะท vP = 0, ω==′ R2v2v CMp เพราะจดทงสามบนทรงกระบอกมความเรวเชงมมเทากน
เราสามารถเขยน พลงงานจลนรวมของทรงกระบอกกลงไดเปน
2PI2
1K ω= (7.3)
ในเมอ IP เปนโมเมนตความเฉอยรอบแกนทผานจด P ประยกตทฤษฎแกนขนาน เราแทน IP = ICM+MR2 ในสมการ 7.3 ได
2CM
2CM
222CM
Mv21I
21K
MR21I
21K
+=
+=
ω
ωω
(7.4)
Total kinetic energy of a rolling body
โดยท vCM = Rω
การเคลอนทแบบกลง หนา 120
สมการ (7.4) บอกเราวาพลงงานจลนรวมของทรงกระบอก เทากบพลงงานจลนของ
การหมนรอบจด CM ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ω2
CMI21 บวกกบพลงงานจลนของการเคลอนยาย CM ของ
ทรงกระบอก ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ 2
CMMv21 จากนเรากลาวไดวา
พลงงานจลนรวมของวตถทกลงไปบนพนราบจะเปนผลบวกของพลงงานจลน
ของการหมนรอบจด CM กบพลงงานจลนของการเคลอนยายของ CM เราสามารถใช (7.4) แกปญหาการกลงของวตถแขงเกรงลงพนเอยงหยาบได เราสมมตวาวตถแขงเกรงในรป 7.4 ไมไถล และถกปลอยจากหยดนงทจดสงสดของพนเอยง ขอใหสงเกตวาการกลงจะเปนไปไดถามแรงเสยดทานระหวางวตถและพนเอยง เพอใหเกดทอรกสทธรอบ CM ของวตถ
รป 7.4 การกลงของวตถลงจากพนเอยง โดยไมมการไถล
แมจะมแรงเสยดทาน กไมสญเสยพลงงานกล เพราะทจดสมผสนถอวานงเทยบกบพนเอยงทขณะใดๆ ในทางตรงกนขาม ถาวตถแขงเกรงไถล พลงงานกลจะสญเสยบางตลอดทมการเคลอนท
ใช vCM = Rω สาหรบการกลง เราสามารถเขยน (7.4) ไดเปน 2CM
2CM
CM Mv21
RvI
21K +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=
2CM2
CM vMRI
21K ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ += (7.5)
ใชหลกการอนรกษของพลงงานกลสาหรบรป 7.4 ได
⇒=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ + MghvM
RI
21 2
CM2CM
การเคลอนทแบบกลง หนา 121
21
MRICM
2CM1
gh2v ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= (7.6)
ตวอยาง 7.1 Sphere rolling down an incline
ถาวตถในรป 7.4 เปนทรงกลม จงหาความเรวของ CM ของทรงกลมทตนพนเอยง และหาความเรงเชงเสนของ CM ของทรงกลม
วธทา สาหรบทรงกลมตนเอกรป 2CM MR
52I = แลว (7.6) ให
2121
MRMR52CM gh
710
1gh2v
2
2 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+=
การเปลยนแปลงในแนวดง (h) สมพนธกบระยะกระจด x (ตามพนเอยง) ตามสมการ h = x sin θ แทนในสมการบนได
θ= singx710v2
CM
เปรยบเทยบสมการนกบสตรการเคลอนท xa2v CM2CM = เราจะเหนวาอตราเรงของ CM ของ
ทรงกลมคอ
θ= sing75aCM
จากคาตอบของ vCM และ aCM เราจะเหนวาทงคเปนอสระจากมวล และรศมของทรงกลม ถาเราทดลองกบทรงกลมกลวง ทรงกระบอกตน หรอ hoop คาตอบกใหผลเหมอนกน จาก (7.6) จะเหนวา vCM ขนกบ ICM (รวมทง aCM) ไมวากรณใด ๆ จะเหนวา aCM นอยกวา g sin θ สาหรบกรณทไมมแรงเสยดทาน และกลงบนพนเอยง
ตวอยาง 7.2 Another Look at Rolling Sphere ใหทาซาตวอยาง 7.1 ใหม ดวยวธของพลศาสตร (dynamic method)
รป 7.5 Free-body diagram ของทรงกลมตนกลงลงตามพนเอยง
การเคลอนทแบบกลง หนา 122
วธทา ประยกตกฎขอ 2 ของนวตนเขากบการเคลอนทของ CM ของทรงกลม ให (1) ∑ =−= θ CMx MafsinMgF ∑ =−= θ 0cosMgNFy
ตอไปหาทอรกทกระทาตอทรงกลม แกนททรงกลมหมนรอบคอแกนทผานจด CM (ของทรงกลม) และตงฉากกบแผนกระดาษน; N, Mg sin
θ, Mg cos θ ผาน CM จงไมเกดทอรก สวน f
ทาใหเกดทอรก fR ในทศตามเขมนาฬกา ατ == CMCM IfR
เพราะ 2CM MR
52I = และ
RaCM=α ได
(2) CMCM
252
CM Ma52
Ra
RMR
RIf =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
α
แทน (2) ใน (1) ได
θ= sing75aCM
ซงใหคาตอบเหมอนกน ขอใหสงเกตวา aCM < g sin θ เพราะแรงเสยดทานหนวง f
7.2 โมเมนตมเชงมมของอนภาคตวหนง (Angular momentum of a particle) อนภาคตวหนง มวล m อยท rv เคลอนทดวยความเรว vv แลวโมเมนตมเชงมมของ
อนภาคตวน คอ prL vvv ×≡ (7.7) หนวยของ Lv คอ kg m2/s ขอใหสงเกตวา ทงขนาดและทศของ Lv ขนกบการเลอกของจดกาเนด ทศของ Lv ตงฉากกบระนาบทประกอบดวย rv และ pv และทศของมนใชกฎมอขวา เพราะ vmp vv = เราจงเขยนขนาดของ Lv ไดเปน φ= sinmvrL (7.8)
ในเมอ φ เปนมมระหวาง rv และ pv ในรป 7.6 ถา p,r vv อยในระนาบ xy แลว Lv จะอยในแนว z จาก (7.8) L ขนกบ φ ถา φ = 0 ได L = 0 และถา φ = 90o ได Lmax = mvr
รป 7.6 โมเมนตมเชงมม Lv ของมวล m ทเกดจากโมเมนตม pv
และเวกเตอรตาแหนง rv มคาเปน prL vvv ×=
การเคลอนทแบบกลง หนา 123
ในกรณของการเคลอนทเชงเสน เราพบวาแรงรวมทกระทาตออนภาคตวหนงเทากบอตราการเปลยนโมเมนตมเชงเสนเทยบกบเวลา จากนเราจะใชกฎขอ 2 ของนวตนแสดงวาทอรกรวมทกระทาตออนภาคตวหนง เทากบอตราการเปลยนเทยบกบเวลาของโมเมนตมเชงมมของมน
เรมตนดวยการเขยนทอรกตออนภาค (หนง) ในรป
dtpdrFrv
vvvv ×=×=τ (7.9)
จาก (7.7) differentiate เทยบกบ time, t :
dtpdrp
dtrd)pr(
dtd
dtLd
1
vv
43421
vv
vvv
×+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ×=×=
1 เปนศนย เพราะ 0pv,vdtrd
=×= vvvv
เพราะ p//v vv
ดงนน dtpdr
dtLd v
vv
×=
เทยบกบ (7.9) จะเหนวา
dtLdvv =τ (7.10)
Torque equals time rate of change of angular momentum
(7.10) คลายกบ dtpdFvv = สาหรบการเคลอนทเชงเสน
ขอใหสงเกตวา (7.10) จะใชไดถาจดกาเนดของ τv และ Lv อยทเดยวกน และสมการ (7.10) ยงคงใชไดสาหรบแรงหลายๆ แรงทกระทาตออนภาคนน ซงยงผลให τv เปนทอรกสทธนนเอง ยงกวานนสมการ (7.10) จะใชไดถาจดกาเนดอยนงใน inertial frame ระบบของอนภาคหลายตว (A system of particles)
โมเมนตมเชงมม Lv ของระบบ (หนง) ของอนภาค (หลายตว) รอบจดๆ หนง กคอ ผลบวกแบบเวกเตอรของโมเมนตมเชงมมของอนภาคแตละตว
∑=
=+++=ni
in21 LL...LLL vvvvv
เพราะโมเมนตมเชงมมของอนภาคแตละตวอาจเปลยนไปตามเวลา ดงนนโมเมนตมเชงมมรวมกอาจเปลยนไปตามเวลา จากสมการ (7.7) ถง (7.9) เราพบวาอตราการเปลยน
การเคลอนทแบบกลง หนา 124
เทยบกบเวลาของโมเมนตมเชงมมรวม เทากบผลรวมแบบเวกเตอรของทอรกทงหมด รวมทงสวนทสมพนธกบแรงภายในระหวางอนภาค และสวนทเปนของแรงภายนอก อยางไรกตามทอรกสทธทสมพนธกบแรงภายในจะเปนศนย เหลอแตของแรงภายนอก เราจงสรปไดวา
∑ ∑ ∑ =≡=τdtLdL
dtd
dtLd
ii
ext
vv
vv (7.11)
นนคอ อตราการเปลยน (เทยบกบเวลา) ของโมเมนตมเชงมมรวมของระบบ (หนง) รอบจดกาเนดในแกนอางองเฉอยจะเทากบ ทอรกภายนอกสทธทกระทาตอระบบนน
ขอใหสงเกตวาสมการ (7.11) คลายกบ dtpdFext
vv = สาหรบการเคลอนทของระบบอนภาค
ตวอยาง 7.3 Linear motion
รป 7.7
อนภาคตวหนงมวล m เคลอนทในระนาบ xy ดวยความเรว vv ตามเสนตรง (รป 7.7) เมอเทยบกบจดกาเนด 0 ขนาดของโมเมนตมเชงมมของอนภาคมคาเทาใดและทศไปทางไหน วธทา โมเมนตมเชงมม Lv คอ )k(sinmvrprL −=×= φvvv ขนาดของ L คอ L = mvr sin φ = mvd ในเมอ d = r sin φ ทศของ Lv อยตาม k− ตามกฎมอขวา สาหรบโมเมนตมเชงมมรอบจด A เปนศนย
การเคลอนทแบบกลง หนา 125
ตวอยาง 7.4 Circular motion
รป 7.8 อนภาคตวหนงเคลอนทเปนวงกลมรศม r ในระนาบ xy (รป 7.8) ก. จงหาขนาดและทศทางของโมเมนตมเชงมมเทยบกบจด 0 เมอมนมความเรว vv ข. ใหเขยน Lv ในรปของ ω วธทา ก. เพราะ o90,vr =⊥ φ
vv ดงนน
mvr90sinrmvprL o ==×= vvv ทศทางของ Lv ตงฉากกบระนาบของวงกลม และทศขน ทศของ vv ตามรปทศของ Lv จะพงออกตงฉากกบกระดาษคอ k)mvr(L =v
ข. เพราะ v = rω แลว L = mvr = mr2ω = Iω
I เปนโมเมนตความเฉอยของอนภาครอบแกน z ผานจด 0 และ kIL ω=v (รป 7.8)
การเคลอนทแบบกลง หนา 126
7.3 การหมนของวตถแขงเกรงรอบแกนคงท (Rotation of a rigid body about a fixed axis)
รป 7.9 เมอวตถแขงเกรงหมนรอบแกน z Lv จะมทศเหมอน ωv ตามสมการ ω= vv IL
พจารณาวตถแขงเกรงทหมนรอบแกนนง ในทนใหแกน z ซากบแกนหมนของวตถ mi, ri, vi เปนตวแทนของอนภาคตวท i ซงอนภาคทกตวเคลอนทในระนาบ xy แลวขนาดของโมเมนตมเชงมมของอนภาค mi รอบจด O คอ
ω= 2iii rmL
เวกเตอร iLv อยในแนว z สมนยกบทศของ ωv
องคประกอบ –z ของโมเมนตมเชงมมของวตถแขงเกรงนหาไดจากการหาผลบวกของ Li ทกตว คอ ( )∑ ∑ ωω == 2
ii2iiz rmrmL
หรอ Lz = Iω (7.12)
ในเมอ Lz เปนองคประกอบของโมเมนตมเชงมมตามแนว z, I เปนโมเมนตความเฉอยของวตถรอบแกน z
ตอไป differentiate สมการ (7.12) เทยบกบเวลา ขอใหสงเกตวา I คงทสาหรบวตถแขงเกรง
αω== I
dtdI
dtdLz (7.13)
ในเมอ α เปนอตราเรงเชงมมเทยบกบแกนหมน เพราะ Iα เทากบทอรกสทธ เราจงเขยน (7.13) ไดเปน
∑ ατ == Idt
dLzext (7.14)
การเคลอนทแบบกลง หนา 127
นนคอ ทอรกภายนอกสทธทกระทาตอ rigid body ทหมนรอบแกนคงท เทากบผลคณ ของ moment of inertia รอบแกนหมนนนกบอตราเรงเชงมมเทยบกบแกนนน
ตวอยาง 7.5 Rotating Sphere ทรงกลมเอกรปตน รศม R = 0.50 เมตร มวล 15 kg หมนรอบแกน z ผานจดศนยกลางของมน ดงรป 7.10 จงหาโมเมนตมเชงมมเมอความเรวเชงมมเปน 3 rad/s
รป 7.10
วธทา 22CM )m5.0)(kg15(
52MR
52I ==
= 1.5 kg m2 L = Iω = (1.5 kg m2)(3 rad/s)
= 4.5 kg m2/s ตอบ ตวอยาง 7.6 Rotating Rod Rigid rod มมวล M ยาว l หมนในระนาบดงรอบจดหมนไมมความฝด ผานจดศนยกลางของมน (รป 7.11) มมวล m1 และ m2 ตดทปลายของ rod
รป 7.11 มทอรกรอบจด 0 เพราะ 21 mm ≠ ซงยงผลใหเกด α โดยท ατ = Inet
การเคลอนทแบบกลง หนา 128
ก. จงหาโมเมนตมเชงมมเมอมความเรวเชงมมเปน ω ข. หาอตราเรงเชงมมของระบบเมอ rod ทามม θ กบแนวราบ วธทา ก. rod, m1, m2 กอใหเกด I โมเมนตความเฉอยรอบจด 0 คอ
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+= 21
22
2
2
12 mm
3M
42m
2mM
121I llll
กาหนดใหความเรวเชงมมของระบบเปน ω ดงนน
ωω ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++== 21
2
mm3M
4IL l ตอบ
ข. หา α เมอระบบหมนไดมม θ เทยบกบแนวราบ ทอรกเนองจากแรง m1g รอบจดหมน คอ
θτ = cos2
gm11l (พงออกจากกระดาษ)
ทอรกเนองจากแรง m2g รอบจดหมน คอ
θτ −= cos2
gm22l (พงเขาสกระดาษ)
ทอรกสทธรอบจด O คอ
θτττ −=+= cosg)mm(21
2121net l
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
−==
θτα
21
21net
mm3M
cosg)mm(2I l
ตอบ
หมายเหต ถา m1 > m2, τnet พงออก, ถา m1 < m2, τnet พงเขา α เปนศนยเมอ 2π
θ =
หรอ 2π− และ α เปน max เมอ θ = 0 หรอ π คอความเรวเชงมมของระบบจะเปลยนเพราะ
α เปลยนตามเวลา
การเคลอนทแบบกลง หนา 129
ตวอยาง 7.7 Two connected masses
รป 7.12
มวลสองกอน m1 และ m2 มเชอกเบาผกตดทปลายทงสองแลวคลองบนรอกรศม R โมเมนตความเฉอย I รอบแกนของมน (รป 7.12) มวล m2 เลอนบนพนราบและเรยบ ใหหาอตราเรงของมวลทงสองโดยใชความรเรอง โมเมนตมเชงมมและทอรก วธทา ประการแรก หาโมเมนตมเชงมมของระบบ ซงประกอบดวย m1, m2 และรอก เราจะหา L รอบแกนตามเพลาของรอกผานจด 0 ขณะทมวล m1 และ m2 มความเรว v โมเมนตมเชงมมของ m1 คอ m1vR ขณะทของ m2 เปน m2vR ขณะเดยวกน โมเมนตมเชงมมของรอก คอ
RvII =ω ดงนนโมเมนตมเชงมมรวมของระบบ คอ
RvIvRmvRmL 21 ++= (1)
ตอไปหา total external torque ตอระบบรอบเพลารอก เพราะแรงของเพลาตอรอกมแขนโมเมนตเปนศนยจงไมเกดทอรก แรงปฏกรยาของ m2g กหกลางกบแรงของมนเอง แรงเหลานไมกอใหเกดทอรก แรงภายนอก m1g ทาใหเกดทอรกรอบเพลารอก ซงมขนาดเทากบ m1gR เมอ R เปนแขนโมเมนตของแรงรอบเพลา คานเปน total external torque รอบ 0 ; นนคอ τext = m1gR ใชผลลพธน กบ (1) และสมการ (7.14) ให
dtdL
ext =τ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++=
RvIRv)mm(
dtdgRm 211 หรอ
dtdv
RI
dtdvR)mm(gRm 211 ++= (2)
เพราะ dtdva = แกสมการหา a ได
2RI
21
1
)mm(gma++
= ตอบ
การเคลอนทแบบกลง หนา 130
7.4 การอนรกษของโมเมนตมเชงมม (Conservation of angular momentum) ในบทท 4 เราพบวา โมเมนตมเชงเสนรวมของระบบ (หนง) ของอนภาค (หลายตว) จะ
ยงคงท เมอแรงภายนอกรวมทกระทาตอระบบอนภาคเปนศนย อนนเปนกฎอนรกษโมเมนตมเชงเสน ในการเคลอนทแบบหมน กมกฎอนรกษของโมเมนตมเชงมม ซงกลาววา “โมเมนตมเชงมมรวมของระบบอนภาค (ระบบหนง) จะคงท ถาทอรกภายนอกรวมทกระทาตอระบบเปนศนย” อนน ถาเรมตนจากสมการ (7.11) เราจะได
คอถา 0dtLd
ext ==∑τ
vv (7.15)
แลว =Lv คาคงท (7.16)
สาหรบระบบของอนภาค (ระบบหนง) เราเขยนกฎการอนรกษไดเปน ∑ =nLv คาคงท
ถาวตถมการจดตวของมวลอยางสมาเสมอ แลวโมเมนตของความเฉอยเปลยนไป เราจงเขยนกฎอนรกษของโมเมนตมเชงมมในรป
== fi LL vv คาคงท (7.17) ถาระบบเปนวตถทหมนรอบแกนคงท เชนแกน z แลวเราสามารถเขยน ω= vv ILz ใน
เมอ zLv เปนองคประกอบในแนว z ของ Lv ตามแกนของการหมน และ I เปนโมเมนตความ
เฉอยรอบแกนน ในกรณน เราเขยนหลกการอนรกษของโมเมนตมเชงมมไดเปน
fi fi II ω=ω vv =คาคงท (7.18) Conservation of angular momentum
สตรใชไดสาหรบการหมนไมวาจะรอบแกนคงทหรอแกนทผาน CM ของระบบ ตราบ
เทาทแกนยงคงขนานกบแกนของมนเอง ในทนเพยงตองการใหทอรกภายนอกสทธเปนศนยเทานน
โดยไมตองพสจน มทฤษฏทสาคญเกยวกบโมเมนตมเชงมมสมพทธกบ CM ทฤษฎนกลาววา “ทอรกรวมทกระทาตอวตถอนหนงรอบแกนหนงทผานจด CM จะเทากบอตราการเปลยนโมเมนตมเชงมมเทยบกบเวลา โดยไมตองคานงถงการเคลอนทของ CM” ทฤษฎนใชไดแมถา CM กาลงเรง ถา τv และ Lv ถกวดเทยบกบ CM
สตร (7.18) ใชอธบายการหมนของนกสเกตทหมนบนพนนาแขงได
การเคลอนทแบบกลง หนา 131
ตวอยาง 7.8 A projectile cylinder collision ยงวตถมวล m ความเรว 0vv เขาหาทรงกระบอกตนมวล M รศม R (รป 7.13) เรมตน
ทรงกระบอกอยนงและวางตวขนานกบพนราบ โดยหมนรอบเพลาทผาน CM ของมน แนวการเคลอนทของ m ตงฉากกบเพลา ณ ตาแหนงท d < R จากศนยกลาง จงหาอตราเรวเชงมมของระบบภายหลงทมวล m กระทบ และตดอยกบผวของทรงกระบอก
รป 7.13
วธทา เราจะเหนโมเมนตมเชงมมของระบบ (มวล m + ทรงกระบอก) รอบเพลาของทรงกระบอก รอบจดน ทอรกภายนอกสทธตอระบบรอบเพลาจะเปนศนย ดงนนโมเมนตมเชงมมของระบบเหมอนเดมไมวากอน และหลงการชน
กอนชน โพรเจกไทล m มโมเมนตมเชงมมเทยบกบจดบนเพลา ขนาดของโมเมนตมเชงมมคอ dvm 0
v และมทศเขากระดาษตามแนวของเพลา ภายหลงชนโมเมนตมเชงมมรวมของระบบ คอ ωvI ในเมอ I เปนโมเมนตความเฉอยรวมรอบเพลา (projectile + ทรงกระบอก) เพราะโมเมนตมเชงมมรวมอนรกษ เราได
ωω ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +== vvv 22 mRMR
21Idvm 0
2221
0
mRMRdmv+
=ωv ตอบ
การเคลอนทแบบกลง หนา 132
ตวอยาง 7.9 The Merry-Go-Round โตะหมนมพนโตะขนานกบผวโลก และหมนรอบเพลาในแนวดงซงไมมความฝด (รป 7.4)
พนโตะมมวล 100 kg รศม 2 เมตร ชายคนหนงมวล 60 kg เดนชาๆ จากขอบสจดศนยกลาง ถาความเรวเชงมมของระบบเทากบ 2 rad/s เมอนกเรยนอยทรมขอบ ก. จงหาความเรวเชงมมเมอเคาถงจดท 0.5 เมตร จากจดศนยกลาง ข. จงคานวณหาพลงงานจลนเรมตน และสดทายของระบบ
รป 7.14 ขณะทผชายเดนเขาจดศนยกลาง ω ของระบบจะเพมขน
เพราะโมเมนตมเชงมมคงท วธทา ก. ให IP = โมเมนตของ inertia ของ platform Is = moment of inertia ของผชาย ถอวาผชายเปนจดมวล m , Moment of inertia ของระบบหมนรอบเพลาดงตอนเรมตน คอ
22sPi mRMR
21III +=+=
เมอ M และ R เปนมวลและรศมของ platform ตามลาดบ เมอผชายเดนไปอยทตาแหนง r < R moment of inertia ลดเปน
22f mrMR
21I +=
เพราะไมมทอรกภายนอกกระทาตอระบบ (student+platform) รอบแกนหมน เราใชสตร Iiωi = Ifωf ได
⇒⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ + ωω fi
2222 mrMR21mRMR
21 vv
การเคลอนทแบบกลง หนา 133
if 2221
2221
mrMRmRMR
ωω ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
= vv
แทนคาได
s/rad1.4)s/rad2(15200240200
f =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
++
=ωv ตอบ
ข. หาพลงงานจลนของระบบ
J880)s/rad2)(mkg440(21I
21K 222
iii === ω
J800,1)s/rad1.4)(mkg215(21I
21K 222
fff === ω ตอบ
ตวอยาง 7.10 Spinning on a stool มานง(หมนไดรอบแกนไมมความฝด) เรมตนนกเรยนถอ dumbbells กางแขน (outstretched) เมอหบแขนทาไมความเรวเชงมมจงเพม
รป 7.5 a) กางแขน b) หบแขน
คาตอบ ใชกฎอนรกษโมเมนตมเชงมม fi fi II ω=ω vv เพราะ If < II แลว if ω>ω vv
ωi ωf
การเคลอนทแบบกลง หนา 134
ตวอยาง 7.11 The spinning bicycle wheel
รป 7.16 เรมตนวงลอจกรยานกาลงหมน เกาอยงหยดนงอย
เมอกลบทศวงลออะไรจะเกดขน
รป 7.16 นกเรยนกาลงถอวงลอทกาลงหมนอย ใหเพลาของมนอยในแนวดง (ไมมแรงเสยดทานในเพลา) โดยโมเมนตมเชงมมเรมตน 0L
v ชขน จงอธบายวาอะไรจะเกดขนเมอเพลากลบทศรอบจดศนยกลางของมน 180o อธบาย System = student + wheel + stool
0Lv = โมเมนตมเชงมมเรมตน ขณะทกลบวงลอจะเกดทอรกปอนแกนกเรยน แตเปน
ทอรกภายในระบบ ไมมทอรกภายนอกกระทาตอระบบรอบแกนดง ดงนนโมเมนตมเชงมมของระบบตองอนรกษ เรมตน : 0system LL vv = (ทศขน) ภายหลงกลบหว
wheelstootstudent0system LLLL vvvv +== + ในกรณน 0wheel LL vv −= เพราะมนกลบหว ดงนน ⇒−= + 0stoolstudent0 LLL vvv
0stoolstudent L2L vv =+ แสดงวานกเรยนและ stool จะเรมหมน โดยมขนาดของโมเมนตมเชงมมเปนสองเทา
และชขน
การเคลอนทแบบกลง หนา 135
7.5 การเคลอนทของไจโรสโคป และลกขาง (The motion of gyroscopes and tops)
รป 7.17 Precessional motion ของลกขางทหมนรอบแกนสมมาตรของมน
N,Mg v เปนแรงภายนอกทกระทาตอลกขาง ทศ Lv อยตามแกนของลกขาง
เราเรยกการเคลอนทของแกนสมมาตรของลกขางรอบแกนดงวา “precessional motion” ในรป 7.17a มแรง N,Mg v ทเขามาเกยวของกบการเคลอนทของลกขาง แรง Mg เทานนททาใหเกดทอรกภายนอก τv ถาลกขางไมหมน ωv เปนศนยลกขางกตก เมอลกขางหมนจะเกดโมเมนตมเชงมม Lv รอบแกนลกขาง ทศของ Lv กอยตามแกนลกขาง τv จะทาใหแกนของลกขางม precessional motion โดยท
gMr vvv ×=τ รอบจด O ⊥τv plane ทม rv และ gMv อย
แลวเราจะได
tLlim
dtLd
0t∆∆
== →∆τ
vvv
โดยท LL vv ⊥∆ เพราะ fi LL vv = แตทศของ Lv เปลยนตลอดเวลา ในการหาอตราเรวของแกนลกขาง ( Lv ) ทกวาดรอบแกน z กทาไดโดยพจารณารป
7.17b ให dφ เปนมมนอยๆ ท Lv กวาดไป dφ อยระหวาง iLv และ fLv ถา iL
v เปลยนเปน fLv ในเวลา dt เราจะได dt)gMr(dtLd vvv v ×== τ ดงนน (จากรป 7.17b)
การเคลอนทแบบกลง หนา 136
Ldt)sinMgr(
LLdd vv
vθ
φ ==
ถา θ = 90o (กรณของ gyroscope) (ดรป 7.18) เราได
Ldt)Mgr(
LLdd vv
v==φ
ใช p,IL ωω= vvv = ความเรวเชงมมของแกน gyroscope หมนรอบแกน z เราจะได
ω
φω == vv
IMgr
dtd
p (7.19)
รป 7.18 gyroscope
Top Related